第五章 非周期信号的频谱分析

同理
1 1 jω 0 t F[ f (t ) sinω0t ] = F [ f (t )e ] − F [ f (t )e - jω 0t ] 2j 2j
j j = F[ j(ω + ω0 )] − F[ j(ω − ω0 )] 2 2
[例5-8] 试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cosω0 t 相乘后信号的频谱函数。 [解] 由例5-1知宽度为τ、幅值为A的矩形脉冲 解 信号对应的频谱函数为：
F ( jω ) = ∫ f (t )e − jωt dt = ∫
−∞
∞
∞
0
e − (α + jω ) t ∞ 1 −αt − jωt = e e dt = − (α + jω ) 0 α + jω
幅度频谱为 相位频谱为
F ( jω ຫໍສະໝຸດ Baidu =
1
α 2 +ω2
ω φ (ω ) = −arctg ( ) α
物理意义: F(jω)是单位频率所具有的信号频谱， 称之为非周期信号的频谱密度函数 频谱密度函数，简称频谱函数 频谱函数。 频谱密度函数 频谱函数
3.傅立叶反变换
1 f (t ) = 2π
∫
∞
−∞
F ( jω ) e
jω t
dω
物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为ω， 复振幅为[F(jω)/2π]dω 的复指数信号ejω t的线性组合。 符号表示：
1 f (τ )dτ ← → F ( jω ) + πF (0)δ (ω ) jω
若f (t ) ← F ( jω ), 记f ， t ) ← → ( → f1 (t ), f1 (t ) ← F1 ( jω ) →
式中ω0为任意实数 信号在时域相移，对应频谱函数在频域的频移。 应用：信号f(t)与余弦信号cosω0 t相乘后，其频谱是 应用 将原来信号频谱向左右搬移ω0，幅度减半。
1 1 jω 0 t F [ f (t ) cos ω 0t ] = F [ f (t )e ] + F [ f (t )e - jω 0t ] 2 2 1 1 = F [ j (ω − ω 0 )] + F [ j (ω + ω 0 )] 2 2
F ( jω ) = Aτ ⋅ Sa (
f (t )
A
ωτ
2
)
F ( jω )
−τ / 2
0
τ /2
t
0
ω
1 jω 0 t 1 − jω 0 t f (t ) cos ω0t = f (t ) e + f (t ) e 频移特性 2 2 1 1 F [ f (t ) cos ω0t ] = F [ j (ω − ω0 )] + F [ j (ω + ω0 )] 2 2
8.单位矩形脉冲
利用例5-1的计算结果有：
F ( jω ) = AτSa (
ωτ
2
) = Sa (ω / 2)
单位矩形信号
单位矩形信号的频谱
5.3 Fourier变换的基本性质
1. 线性特性 2. 共轭对称特性 3. 对称互易特性 4. 展缩特性 5. 时移特性 6. 频移特性 7. 时域卷积特性 8. 频域卷积特性 9. 时域微分特性 10. 积分特性 11. 频域微分特性 12. 能量定理
F(jω)为复数，可以表示为
F ( jω ) = F ( jω ) e jφ (ω ) = FR ( jω ) + jFI ( jω )
当f(t)为实函数时，有 |F(j ω)| = |F(−j ω)| ， φ(ω) = −φ(−ω)
FR ( jω ) = FR (− jω ), FI (− jω ) = − FI (− jω )
3.互易对称特性
若f (t ) ← F ( jω ) →
则F ( jt ) ← 2πf ( −ω ) →
F (ω ) (2π )
t
直流信号及其频谱
1
0
0
F (ω ) 1
ω
δ (t )
(1) 0
单位冲激信号及其频谱
t
0
ω
→ 互易对称特性：矩形脉冲 ← 抽样信号
F (ω )
f (t )
A
Eτ
−
(ω − ω 0 )τ (ω + ω 0 )τ 1 = { Aτ ⋅ Sa[ ] + Aτ ⋅ Sa[ ]} 2 2 2
f (t ) cos ω0 t
A
F ( jω )
−τ / 2
τ /2
t
−ω0
0
ω0
ω
7.时域卷积特性
若f1 (t ) ← F1 ( jω ) → f 2 (t ) ← F2 ( jω ) →
F ( jω ) = lim TCn
T →∞
F ( jω ) Cn = T
ω = nω 0
[例5-1] 试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数 [解] 非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为
A， f (t ) = 0，
τ
| t |≤ τ / 2 | t |> τ / 2
由傅立叶正变换定义式，可得
f(2t)
f(t/2) f (0.5t)
f (t)
f (1.5t)
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
一段语音信号(“对了”) 。抽样频率 =22050Hz
5． 时移特性
若f (t ) ← F ( jω ) →
则f (t − t0 ) ← F ( jω ) ⋅ e -jωt 0 →
课 程 内 容
第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 第6章 第7章 第8章 信号与系统分析导论 时域分析 信号的时域分析 系统的时域分析 信号的频域分析 周期信号的频域分析 频域分 析 非周期信号的频域分析 系统的频域分析 连续时间信号与系统的复频域分析 离散时间信号与系统的z域分析
第5章
非周期信号的频域分析
F ( jω ) = ∫ f (t )e − j ωt dt = ∫ 2τ A ⋅ e − j ωt dt
−∞ − 2 ∞
= A τ ⋅ Sa (
F (ω ) τA
ωτ
2
)
f (t ) A
−
τ
2
τ
2
t
−
2π
2π
ω
τ
τ
5.2 常见非周期信号的频谱
1.单边指数信号
f (t ) = e −αt u (t )，α > 0，
f (t ) = F −1[ F ( jω )]
Fourier正/反变换的符号简单表示：
f (t ) ←→ F ( jω )
F
4. 频谱函数与频谱密度函数的区别
（1）周期信号的频谱为离散频谱， 周期信号的频谱为离散频谱， 周期信号的频谱为离散频谱 非周期信号的频谱为连续频谱。 连续频谱 非周期信号的频谱为连续频谱 （2）周期信号的频谱为 n的分布，表示每个谐波 周期信号的频谱为C 周期信号的频谱为 的分布， 分量的复振幅； 分量的复振幅 非周期信号的频谱为T 的分布， 非周期信号的频谱为 Cn的分布，表示每单位带宽内 所有谐波分量合成的复振幅，即频谱密度函数。 所有谐波分量合成的复振幅，即频谱密度函数。 两者关系：
(式中t0为任意实数) 信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域 信号在时域中的时移， 中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。 中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。
6. 频移特性（调制定理）
若 则
f (t ) ← F ( jω ) →
f (t) ⋅ ejω0t ←F →F[ j(ω −ω0 )]
τ
2
0
τ
2
t
ω0 = τ
−4π
−2π
2π
4π 6π
τ
τ
τ
τ
τ
F (t )
A
2π
A
f (ω )
ω0 2π
其中：
ω0 = τ
0
t
−
ω0
2
ω0
2
ω
4. 展缩特性
若f (t ) ← F ( jω ) →
ω 1 则f (at ) ← → F ( j ) a a
时域压缩，则频域展宽； 时域展宽，则频域压缩。
ω≠0 ω =0
0 2α F [1] = lim[ 2 ]= a →0 α + ω 2 ∞
∫
∞
−∞
2α ω ∞ dω = 2arctg ( ) = 2π 2 2 α +ω α −∞
F (ω )
1 t
(2π ) 0
0
ω
直流信号及其频谱
对照冲激、直流时频曲线可看出: 时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄； 时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。
nω 0τ Cn = Sa ( ) T 2
τA
Cn lim TC n = lim T →∞ T →∞ f
2.傅立叶正变换
1 Cn = T0
∫
t 0 +T0
t0
f (t )e − jn ω0t dt
F ( jω ) = ∫
符号表示：
∞
−∞
f (t )e
− j ωt
dt
F ( jω ) = F [ f (t )]
6.符号函数信号
符号函数定义为
− 1 t < 0 sgn(t ) = 1 t>0
2 F ( jω ) = jω
7. 单位阶跃信号u(t)
图 形 推 导
1 1 1 1 u (t ) = {u (t ) + u (−t )} + {u (t ) − u (−t )} = + sgn(t ) 2 2 2 2 1 F [u (t )] = πδ (ω ) + jω
f (t ) 1
f (t ) = e −αt u (t )，α > 0，
F ( jω ) =
1
α 2 +ω2
ω φ (ω ) = −arctg ( ) α
F (ω ) 1/ α
0
0
t
φ (ω )
π /2
ω
0
ω
−π / 2
单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱
2.双边指数信号 e
−α t
F ( jω ) = ∫ e
第5章 连续非周期信号的频谱分析
5.1 连续非周期信号的频谱 5.2 常见连续信号的频域分析
5.2.1 常见非周期信号的频谱 5.2.2 常见周期信号的频谱
Fourier变换的性质 5.3 Fourier变换的性质
5.1 连续非周期信号的频谱
1．从傅立叶级数到傅立叶变换
讨论周期T增加对离散谱的影响： 周期为T宽度为τ的周期矩形脉冲的Fourier系数为
1. 线性特性
若f1 (t ) ← → F1 ( jω )；
F
f 2 (t ) ← → F2 ( jω )，
F
则af1 (t ) + bf 2 (t ) ← aF1 ( jω ) + bF2 ( jω ) →
其中a和b均为常数。
2.共轭对称特性
若 f (t ) ←→ F ( jω )
则
f * (t ) ←→ F * (− jω ) f * (−t ) ←→ F * ( jω )
−∞ 0
αt − jωt
dt + ∫ e −αt e − jωt dt
0
∞
1 1 =− + α − j ω α + jω
2ω =−j 2 α +ω2
“双曲线”指数信号的频谱
2ω − 2 α +ω2
4.单位冲激信号δ(t)
F [δ (t )] = ∫ f (t )e
−∞ ∞ − jωt
dt = ∫ δ (t )e − jωt dt = 1
f ( 1 t) 2
2 F (2ω )
2 Aτ
−τ
0
τ
t
−
π 0 π τ τ
ω
f (t ) F (ω ) Aτ
−
τ
2
τ
2
t
−
2π
0
2π
ω
τ
τ
1 1 F( ω) 2 2 1 Aτ 2
f (2t )
A
τ − 4
τ 4
t
−
4π
0
4π
ω
τ
τ
例：尺度变换变换后语音信号的变化
f(t)
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 0
则f1 (t ) ∗ f 2 (t ) ← F1 ( jω ) ⋅ F2 ( jω ) →
应用： 应用：第六章频域法求解系统零状态响应
8.乘积特性（频域卷积特性）(调制特性)
若f1 (t ) ← F1 ( jω ) → f 2 (t ) ← F2 ( jω ) →
1 则f1 (t ) ⋅ f 2 (t ) ← → [ F1 ( jω ) ∗ F2 ( jω )] 2π
9.时域微分特性
若 则
f (t ) ← F ( jω ) →
df ← ( jω ) ⋅ F ( jω ) → dt
dn f ← ( jω ) n ⋅ F ( jω ) → n dt
应用： 应用：第六章的微分方程频域解法
10.积分特性 10
若f (t ) ← F ( jω ) →
则∫
t −∞
−∞
∞
−α t
e
− jωt
dt
=∫ e e
−∞
0
αt − jωt
dt + ∫ e −αt e − jωt dt
0
∞
1 1 2α = + = 2 α − jω α + jω α + ω 2
幅度频谱为
2α F ( jω ) = 2 α +ω2
3.“双曲线”指数信号
F ( jω ) = − ∫ e e
−∞
∞
δ (t )
(1) 0 t 1
F (ω )
0
ω
单位冲激信号及其频谱
5.直流信号 直流信号不满足绝对可积条件,可采用 极限的方法求出其傅里叶变换。（图示）
直流信号的频谱求解的计算过程
F [1] = lim F [1 ⋅ e
α →0
−α | t |
2α ] = 2πδ (ω ) ] = lim[ 2 2 α →0 α + ω