第五章 非周期信号的频谱分析
信号分析基础非周期信号频域分析
浙江工业大学
矩形脉冲函数的表达式：
x(t)
?
??1, t
? ??
0
,
t
?? ??
x(t)
1
t ?? 0 ?
矩形脉冲信号可视为一个周期 T趋近于无穷大的
方波信号 .
由于： T ? ? ，? w ? dw ， ? ? ? 所以：
非周期信号的频谱
浙江工业大学
?
? x(t) ?
Cne jn? 0t ,(n ? 0,? 1,? 2,...)
?T0 / 2
当T0→∞时， ①积分区间由[- T0/2,T0/2]变为(-∞,∞)；
② ω0=2π/T0 →0， →离散频率nω0→连续变量ω。
? lim
T0 ? ?
Cn
?T0
?
? x(t)e? j? t dt
??
浙江工业大学
? 非周期信号： ? 周期T0 →∞的周期信号 ? 周期信号 x(t)，周期为 T0，则其频谱是离散谱，而相邻谐波之间的
非周期信号的频谱
浙江工业大学
与周期信号相似，非周期信号也可以分解为 许多不同频率分量的谐波和，所不同的是，由于 非周期信号的周期 T?∞，基频 f?df，它包含了
从零到无穷大的所有频率分量，各频率分量的幅 值为 X(f)df ，这是无穷小量，所以频谱不能再用 幅值表示，而必须用幅值密度函数描述。
另外，与周期信号不同的是，非周期信号的谱
? ? 3? 0 ? 2? 0 ? ? 0 0
? 0 2? 0 3? 0 ? ?
非周期信号的频谱
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? lim
T0 ? ?
Cn
?T0
?
? x(t)e? j? t dt
非周期信号的频谱
jnω1t
1 T2 − jnω1t Fn = F (nω1 ) = ∫−T f (t )e dt T 2
i
3.4 非周期信号的频谱
当 T → ∞ 时，
周期信号 离散谱
非周期信号 连续谱
表示频谱就不合适了， 再用 F ( nω1 ) 表示频谱就不合适了，虽然各频 谱幅度无限小，但相对大小仍有区别， 谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，所以我们 在这里引入频谱密度函数。 在这里引入频谱密度函数。 频谱密度函数
jωt
f ( t ) ↔ F ( jω )
3.4 非周期信号的频谱 三、典型信号的傅里叶变换
1.单位冲激信号的频谱 1.单位冲激信号的频谱
f (t ) = δ ( t )
F ( jω ) = ∫ δ ( t ) e− jωt dt = 1
−∞ ∞
即
δ (t ) ↔ 1
3.4 非周期信号的频谱
单位冲激信号的频谱图 单位冲激信号的频谱图 可见， 的频谱是常数1 可见 ， 冲激函数 δ(t) 的频谱是常数 1 。 也就 是说， 中包含了所有的频率分量， 是说 ， δ(t) 中包含了所有的频率分量 ， 而各频率 分量的频谱密度都相等。 显然， 分量的频谱密度都相等 。 显然 ， 信号 δ(t) 实际上 是无法实现的。 是无法实现的。
Fn T jnω1t f (t ) = lim fT (t ) = lim ∑ e T →∞ n =−∞ T
当 T → ∞ 时， Fn T = F ( jω )
i
∞
i
nω1 → ω
n =−∞
1 1 1 = ω1 → dω T 2π 2π
T →∞
lim
∑ →∫
jω t
∞
§3-(3-4 )非周期信号的频谱分析 典型非周期信号的傅里叶变换
0
脉冲趋于幅度无穷大、宽度无穷小的信号。强度其为
10
d
2
2
d( 1 (
)
arctg (
)
2
) |
也即，当α→0，前一项是强度为π的冲激。所以，单位阶 X ( j ) 跃信号的傅里叶变换
( )
ℱ u ( t ) ( )
jk 1 t
dt
取T→∞的极限
T 2
lim
T Ak
T
lim
T
T 2
x (t )e
jk 1 t
dt
x (t )e
j t
dt X ( j )
应该是一确定的函数。
2
对应的傅里叶级数展开式
x (t )
k
Ak e
jk 1 t
0
t
t
u ( t )]
0
于是
X ( j ) lim
0
( )
2
2 j
2 2
j
2
0
2 j
18
2
这个结果也可以通过符号函数的另一种表示得到。因
为 所以
x ( t ) sgn( t ) 2 u ( t ) 1
X ( j ) 2 [ ( )
e
jt
dt 2()
17
x (t )
七、符号函数信号
x ( t ) sgn( t )
非周期信号的频谱ppt课件
0
(a) 振幅频谱
0
- / 2
(b) 相位频谱
图 3.4-3 单边指数函数 e t t 0 15
例 3.4-3 求下图所示双边指数信号的频谱函数。
f1 (t)
1
et
e-t
0
t
解：上图所示的信号可表示为：
f(t)et , 0 1
et, t 0
或者写为 f1(t)et ,
t 0
16
将 f (t) 代入到式 1
f 1
(t
)
的频谱函数为：
F1(
j)222
当 趋近于零时
2 0 , 0 l i0 m 22 , 0
lim d lim d 2
0 2 2
2 0 1 2
lim 2a 0
rc t) an2(
所以
即
l i0m 22 2 2()
ℱ
[1]2() 25
f1 (t)
4 3 2 1
e-t
0
t
-et
-1
解: 上图所示的信号可写为 ：
et, f2(t)et,
t0
（其中 0)
t0
19
F(j 2
) f(t)ejtdt
0 ete d jt t e e dt t jt
0
1 1
j j
2
j
2 2
f2 (t)
1
e-t
0
t
-et
-1
20
f2 (t)
1
e-t
其频谱图如下图所示：
ℱ
[
1 2
]
ℱ
[
1 2
s gn(t )]
ℱ[(t) ]( )j1 ( ) j( 1 ) 30
非周期信号的频谱——傅里叶变换
(3.2-2)
•
式中, |F(ω)|是振幅谱密度函数， 简
称振幅谱； φ(ω)是相位谱密度函数， 简
称相位谱。 一般把式(3.2-1)与式(3.2-2)叫
做傅里叶变换对， 其中式(3.2-1)为傅里
叶变换， 式(3.2-2)为傅里叶反变换。 傅
里叶变换对关系也常用下述符号表示
F( j) F[ f (t)]
信号与系统
非周期信号的频谱——傅里叶变换
• 1.1 从傅里叶级数到傅里叶变换
•
若将非周期信号看作是周期信号
T→∞的极限情况， 非周期信号就可以表
示为
lim
T
fT (t)
f
(t)
• 以周期矩形脉冲为例， 当T→∞时， 周期信号就变成单脉冲信号的非周期信 号。 随着T的增大， 离散谱线间隔ω0就 变窄； 当T→∞， ω0→0， |Fn|→0时， 离 散谱就变成了连续谱。 虽然|Fn|→0， 但 其频谱分布规律依然存在， 它们之间的 相对值仍有差别。 为了表明这种振幅、 相位随频率变化的相对关系， 我们引入 频谱密度函数。
fT (t)
n
1 T
f
T
(
t
)e
jn0t
dt
e
jn
0t
fT (t)
n
0 2
fT (t)e jn0tdte jn0t
f (t)
1
2
fT (t)e j tdt e j td
f (t) 1 F ( j )e j td
2
(3.2-1)
F ( j ) F ( ) e j ( )
• 已知周期函数的傅里叶级
数为
fT (t)
信号分析3.02 非周期信号的频谱分析─傅里叶变换
如果f(t)是实函数
F ( jw)
f (t )e jwt dt F ( jw)
F ( jw) F ( jw) F ( jw) 是w偶函数
F j F () ~ : 幅度频谱
提问:所有信号都可以由时域变换到频域分析吗?
三．傅里叶变换存在的充分条件
注意：
f t d t （有限值或收敛） 即f t 绝对可积
绝对可积 F(jw)存在
1）满足绝对可积，傅里叶变换一定存在（充分条件） 2）不满足绝对可积，傅里叶变换仍可能存在（不是必 1 (t ) (t ) 要条件）
第二节 非周期信号的频谱分析 －傅里叶变换
• 傅里叶变换的提出
•傅里叶变换的物理意义
•傅里叶变换的存在条件
•常用非周期信号的频谱 •非周期信号的频谱的特点
一．傅里叶变换的提出
周期信号向非周期信号过渡 fT t f (t ) T1 时域过渡
2π T1 频域过渡: 谱线间隔 `1 d T1
3）所有能量信号均满足此条件。
四.常用非周期信号的频谱
矩形脉冲（门函数）
单边指数信号
直流信号
单位阶跃信号 单位冲激信号
1．矩形脉冲信号－门函数
f (t ) Eg (t )
E
F ( j ) f (t )e j t d t Ee j t d t
E e .
简写
记做：
f t F j
F f (t ) F ( j )
F
1
F ( j )
非周期信号的频谱分析
X
4．傅里叶变换对
F(
j )
f
(t)ej t
dt
F
f
(t)
正变换
f
(t)
1
2
F
j
e j
t
d
F
1 F
j
反变换
简写
f t F j
记做：
F f (t) F( j) F 1 F( j) f (t)
二、傅里叶反变换的物理意义——信号分解
f (t) 1 F j e j t d F j d e j t
π
2
O
π2
O π 2
注意：只有α＞0时傅里叶变换才存在， α＜0时f(t)不
满足绝对可积条件
8．升余弦脉冲信号（自学）
f
t
E 2
1
cos
π
t
0 t
f t
E
E
2
F j f t ejt d t
O
2
E 2
1
cos π t
e jt
dt
t
2
E
ejt d t E
2
(t)
Sa 2
(
w 2
)
1 f2τ△ (t)
注意对比两 者不同
F j
－τ 0 τ
t
2π O 2π 4π
X
第
五.非周期信号频谱的特点
34 页
1.连续性
特例：直流和阶跃信号的频谱含冲激。
2.收敛性
第 13 页
4）与周期信号傅立叶级数展开的收敛条件比较
f (t) d t （有限值或收敛）
T
傅里叶变换存在的条件与傅立叶级数展开的收敛条 件一样。 信号绝对可积； 任何有限区间里，只有有限个最大值和最小值； 任何有限区间里，有有限个不连续点，且不连续点有值。
第五章 非周期信号频域分析
(1) | f (t) | dt ;
(2) 在任意有限区间内只有有限个极值; (3) 在任意有限区间内仅有有限个不连续点, 且这些点上的值是有限的.
10
例5-1 试求图5-3(a)所示非周期矩形脉冲信号f(t)的频谱 函数F (j) 。
(a)
(b)
图5-3 非周期矩形脉冲信号及其频谱函数
Dn jn0t fT0 (t ) e n=- T0 Dn
T0 / 2 T0 / 2
(5.3) (5.4)
fT0 (t )e jn0t dt
下面说明如何由周期矩形脉冲的频谱得出非周期矩形脉冲 信号的频谱。由4-1节知，周期为T0、宽度为 的周期矩形脉 冲的Fourier系数为
T0 /2
T0 T0 /2
f (t )e jt dt
f (t )e
T0
jt
dt
而(5-3)可写为 f (t ) lim fT0 (t ) lim
Dn jn0t T e T0 n=- 0
D 1 lim n e jt T0 2 n=- 2 总之，有：
F ( j )e jt d
7
5.1 连续非周期信号的频谱
F ( j )
f (t )e jt dt
(时域到频域)
(5 5)
1 f (t ) 2
F ( j)e jt d (频域到时域) (5 6)
式(5-5)称为Fourier正变换，式(5-6)称为Fourier反变换，用 符号表示为 F ( j ) F[ f (t )], f (t ) F 1[ F ( j )] ,
非周期信号的频谱
3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换
• 直流信号1可表示为： P110例3.4-6
f (t) 1 t
F( j)
1
e
jt
dt
（直接积分无法进行）
由傅立叶逆变换的定义式有： (t) 1
1
e
jt
d
令：t
2 () 1 1 e jt dt
2
冲激信号是偶函数： () () 1 1 e jt dt
F( j) F( j) e j() a() jb()
| F( j) | a2() b2()
() arctg b() a()
是ω的偶函数 是ω的奇函数
F( j) F( j) () ()
a( j) a( j) b() b()
3.3.1 傅立叶变换
• 关于连续谱的说明 具有离散频谱的信号，其能量集中在一些谐波分量中。
具有连续频谱的信号，其能量分布在所有的频率中， 每一频率分量包含的能量则为无穷小量。
• 几个重要结论：
当 f (t) 是实函数时：
3.3.1 傅立叶变换
(1) 若 f(t)为t的偶函数，即 f(t) = f(-t)，
则 f(t)的频谱函数 F(jω) 为ω的实函数， 且为ω的偶函数。
(2) 若f(t)为t的奇函数，即 f(-t) = -f(t)， 则f(t)的频谱函数 F(jω) 为ω的虚函数，且为ω的奇函数。
2
f (t) Fne jn1t
T
n
Fn T
2 T
f (t)e jn1t dt
2
周期信号趋于非周期信号。
• 当 T 时： 谱线无限密集，1 d
幅度 Fn 趋于无穷小， n1
令：F
非周期信号的频谱分析
lim T
1 T
f (t)e jt dt
2
傅里叶变换：
F
(
j)
lim
T
TCn
f (t)e jt dt
物理意义: F(j)是单位频率所具有的信号频谱，
称之为非周期信号的频谱密度函数，简称频谱函数。
4
二、周期和非周期信号频谱函数的区别
（1）周期信号的频谱为离散频谱， 非周期信号的频谱为连续频谱。
狄里赫莱条件是充分不必要条件
8
例 试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数。
解： 非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为
f
(t
)
A， 0，
| t | t / 2 | t | t / 2
由傅里叶正变换定义式，可得
F ( j)
f (t)e jt dt
t
2t
A e jt dt
2
At Sa(t )
2π
T , 记 n0 = , 0 = 2p/T = d,
f
(t)
1 2π
F ( j)e jt d
物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为， 复振幅为[F(j)/2p]d 的虚指数信号ej t的线性组合。
6
傅立叶正变换： 傅立叶反变换：
符号表示ห้องสมุดไป่ตู้ 或
F( j) f (t)e jt dt
f
(t)
16
一、常见非周期信号的频谱
4. 直流信号 f (t)
直流信号及其频谱
1
F ( j)
(2π)
0
t
0
对照冲激、直流时频曲线可看出:
时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；
时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。
第五章 非周期信号的频域分析新
2T1
周期T → ∞
F (ω) lim akT = 2T1Sa(ωT1 )
T →∞
F(ω)
2T1
−
π T1
π T1
−
kω0
4π T1
−
3π T1
−
π 2π − T1 T1
π T1
2π T1
3π T1
4π T1
ω
0 ω0
2ω0
0
由周期傅里叶级数：
∞ ⎧ f (t ) = ∑ Fn e jnΩ t ⎪ n = −∞ ⎪ ⇒ ⎨ T ⎪ F = 1 2 f (t )e − jnΩ t dt ⎪ n T ∫− T 2 ⎩ n = 0,±1,±2,...
0
∞
t
− 2 jω = 2 α +ω2
−e
αt
−1
− 2 jω F1( jω) = 2 2 α +ω
2 F( jω) = limF1( jω) = α→0 jω 2 F( jω) =
F( jω)
ω
ω
ϕ(ω) π
2
−
⎧ π − ⎪ 2 ⎪ ϕ(ω) = ⎨ ⎪π ⎪2 ⎩
ω >0 ω <0
π
2
ω
（2）单位冲激信号
F
a 其中 a1 、 2 为任意常数
● 两个信号加权求和的傅氏变换等于各个信号傅 氏变换的加权求和； ● 线性同样适用于多个信号加权求和的情况。
例5－1：已知信号 f (t ) = 2 + 3δ (t ) 根据线性，其傅氏变换为 F (ω ) = 4πδ (ω ) + 3 已知信号f(t)
jω a 的傅氏变换 F (ω ) = jω + a = 1 − jω + a
非周期信号的频谱分析傅里叶变换.
（1）信号绝对可积，即
x(t) dt
（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值和最
小值。
（3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点，
而且在这些点都必须是有限值。
自从在傅里叶变换中引入冲激函数后，使原先许多不
满足绝对可积条件的信号、周期信号等也可能进行傅里
叶变换。
6
2.3.2 典型非周期信号的频谱
当a < 1 ，τ 增大，相当于信号在时域中被扩展，其 频谱将压缩，低频分量相对增加。
由此可见,要压缩信号的持续时间,则不得不以展宽频 带作代价,所以无线电通信中,通信速度与占用频带宽度是 矛盾的。
22
5、时移特征
若 F[ x(t)] = X() = |X()|e j()
则
F[ x(t t0)] = X()e j t0 = |X()|e j[() t0]
/2 0 /2
t
Sa(ct)
1
/c
0
t
X()
1
0
X()
2 0
X()
2/
0
X()
/c
c 0 c
19
4、尺度变换特性
若 F [ x(t)] = X()
则 F[x(at)] 1 X
a a
证明：
F[x(at)] x(at)e j tdt
令u = at, 当a > 0
F[x(at)] 1
证明：
F[x(t t0 )]
x(t
t0
)e
j
t dt
e j t0
x(t
t0 )e j
(tt0 )d(t
t0 )
= X() e j t0
信号在时间轴上右移t0，在频域上其频谱将乘以因子 ej t0 。这意味着信号在时域中延时，将不改变信号的幅 度谱，仅使相位谱产生一个与频率成线性关系的相移。
非周期信号的频谱分析
非周期信号的频谱分析一、实验目的1)掌握用MATLAB 编程，分析门信号的频谱；2)掌握用MATLAB 编程，分析冲击信号的频谱；3)掌握用MATLAB 编程，分析直流信号的频谱；4)掌握用MATLAB 编程，分析阶跃信号的频谱；5)掌握用MATLAB 编程，分析单边信号的频谱；二、实验原理常见的非周期信号有：1、门信号门信号的傅里叶变换对为：12sin()22()()202t g t F j Sa t ττωτωτωττω⎧<⎪⎪⎛⎫=⇔==⎨ ⎪⎝⎭⎪>⎪⎩它的幅度频谱和相位频谱分别为 ()2F j Sa ωτωτ⎛⎫= ⎪⎝⎭0sin()02()sin(02ωτϕωωτπ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩2、冲激信号冲激信号的傅里叶变换对为()1t δ⇔3、直流信号直流信号的傅里叶变换为12()πδω⇔4、阶跃信号阶跃信号的傅里叶变换为111()sgn()()22u t t j πδωω=+⇔+5、单边指数信号单边指数信号的傅里叶变换对为01()00ate tf t j t αω-⎧≥=⇔⎨+<⎩幅度频谱和相位频谱分别为()F j ω=()arctan(a ωϕω=-三、涉及的MATLAB函数1、fourier函数2、ifourier函数四、实验内容与方法1、验证性试验1)门信号的傅里叶变换MATLAB程序：Clear all;syms t wut=sym('heaviside(t+0.5)-heaviside(t-0.5)');subplot(2,1,1);ezplot(ut)hold onaxis([-1 1 0 1.1]);plot([-0.5 -0.5],[0,1]);plot([0.5 0.5],[0,1]);Fw=fourier(ut,t,w);FFP=abs(Fw);subplot(2,1,2);ezplot(FFP,[-10*pi 10*pi]);axis([-10*pi 10*pi 0 1.1]);程序运行结果图2)冲激信号的傅里叶变换MATLAB程序：clear allsyms t wut1=sym('heaviside(t+0.5)-heaviside(t-0.5)');subplot(2,1,1);ezplot(ut1);title('脉宽为1的矩形脉冲信号')xlabel('t')hold onaxis([-1 1 0 1.1]);plot([-0.5 -0.5],[0 1]);plot([0.5 0.5],[0 1]);Fw=fourier(ut1,t,w);FFw=abs(Fw);subplot(2,1,2);ezplot(FFw,[-10*pi 10*pi]);axis([-10*pi 10*pi 0 1.1]);title('脉宽为1的矩形脉冲信号的幅度频谱')hold onpauseut2=10*sym('heaviside(t+0.05)-heaviside(t-0.05)'); subplot(2,1,1);ezplot(ut2);title('脉宽为1、0.1矩形脉冲信号')xlabel('t')hold onaxis([-1 1 0 11]);plot([-0.05 -0.05],[0 10]);plot([0.05 0.05],[0 10]);Fw2=fourier(ut2,t,w);FFw2=abs(Fw2);subplot(2,1,2);ezplot(FFw2,[-10*pi 10*pi]);axis([-10*pi 10*pi 0 1.1]);title('脉宽为1、0.1的矩形脉冲信号的幅度频谱')hold onpauseut3=100*sym('heaviside(t+0.005)-heaviside(t-0.005)'); subplot(2,1,1);ezplot(ut3);title('脉宽为1、0.1和0.01矩形脉冲信号')xlabel('t')hold onaxis([-1 1 0 110]);plot([-0.005 -0.005],[0 100]);plot([0.005 0.005],[0 100]);Fw3=fourier(ut3,t,w);FFw3=abs(Fw3);subplot(2,1,2);ezplot(FFw3,[-10*pi 10*pi]);axis([-10*pi 10*pi 0 1.1]);title('脉宽为1、0.1和0.01的矩形脉冲信号的幅度频谱') hold onpause程序运行结果图3)直流信号的傅里叶变换MATLAB程序：clear all;display('Please input the value of a')a=input('a=');syms tf=exp(-a*abs(t));subplot(1,2,1)ezplot(f);axis([-2*pi 2*pi 0 1]);ylabel('时域波形');F=fourier(f);subplot(1,2,2)ezplot(abs(F));axis([-3 3 0 2/a])程序运行结果图a=0.1时：a=0.01时：a=0.001时：a=0.0001时：4)阶跃信号的傅里叶变换MATLAB程序：clear allsyms w;xw=1/(j*w);ezplot(abs(imag(xw)));axis([-3 3 -1.5*pi 1.5*pi]);hold ony=0:0.01:pi;plot(0,y);hold ony=-pi:pi;plot(0,y);hold ontitle('阶跃信号频谱');xlabel('\omega');axis([-pi pi -6 6]);x=-pi:0.001:pi;plot(x,0)hold ony=-6:0.01:6;plot(0,y);hold on程序运行结果图5)单边指数信号的傅里叶变换MATLAB程序：clear allsyms t v w phase im ref=exp(-2*t)*sym('heaviside(t)'); Fw=fourier(f);subplot(3,1,1);ezplot(f);axis([-1 2.5 0 1.1]);xlabel('时域波形');subplot(3,1,2)ezplot(abs(Fw));xlabel('幅度频谱');im=imag(Fw);re=real(Fw);phase=atan(im/re);subplot(3,1,3);ezplot(phase);xlabel('相位频谱');程序运行结果图2、程序设计实验确定下列信号的傅里叶变换的数学表达式1)的傅里叶变换2()()1t f t e U t -=+1()2()2F j j ωπδωω=++MATLAB 程序：clear allsyms t v w phase im ref=exp(-2*t)*sym('heaviside(t)')+1;Fw=fourier(f);Fw=simple(Fw);subplot(3,1,1);ezplot(f);axis([-1 2.5 0 1.1]);xlabel('时域波形');subplot(3,1,2)ezplot(abs(Fw));im=imag(Fw);re=real(Fw);xlabel('幅度频谱');phase=atan(im/re);subplot(3,1,3);ezplot(phase);xlabel('相位频谱');程序运行结果图2)的傅里叶变换2()(1)()t f t e U t G t -=-+12sin ()1j e F j j ωωωωω--=++MATLAB 程序：clear allsyms t v w phase im ref=exp(-1*t)*sym('heaviside(t-1)')+heaviside(t+1)-heaviside(t-1);Fw=fourier(f);Fw=simple(Fw);subplot(3,1,1);ezplot(f);axis([-2.5 2.5 0 1.1]);xlabel('时域波形');subplot(3,1,2)ezplot(abs(Fw));im=imag(Fw);re=real(Fw);xlabel('幅度频谱');phase=atan(im/re);subplot(3,1,3);ezplot(phase);xlabel('相位频谱');程序运行结果图3)的傅里叶变换()2()(4)f t U t t δ=+-41()2(())j j F j e e j ωωωπδωω--=++MATLAB 程序：clear all syms t v w phase im ref=2*sym('heaviside(t-1)')+dirac(t-4);Fw=fourier(f);Fw=simple(Fw);subplot(3,1,1);ezplot(f)axis([-1 6 0 1.5]);xlabel('时域波形');subplot(3,1,2)ezplot(abs(Fw));im=imag(Fw);re=real(Fw);xlabel('幅度频谱');phase=atan(im/re);subplot(3,1,3);ezplot(phase);xlabel('相位频谱')；程序运行结果图。
非周期信号的频谱分析傅里叶变换.
X( )
1
a j
a2
a
2
j a2 2
Re( )
lim
a0
a2
a
2
0
( 0)
Re( )
lim
a0
a2
a
2
( = 0)
lim
a0
Re( )d lim
a0
d( / a) 1 ( / a)2
lim arctan
a0
a
14
Im( )
lim
a0
a2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
1
Re() = δ()
Im() = –1/
X() = Re() + jIm()
= δ() – j1/
= δ() +1/ e j – /2
阶跃信号的频谱在存在一个冲激，因为含有直流分量， 此外，它不是纯直流信号，在t = 0处有跳变，所以频谱 中还出现其它高频分量。
15
2.3.3 傅里叶变换的性质 １、奇偶性
若x(t)为实函数，则有幅频|X()|为偶函数，相频()
零。 由于频谱幅度趋于0，因此仍采用原来的幅度频谱的
概念将产生困难。事实上，由于频谱已转变为连续谱， 因此说明频谱上某一点频率上的幅度有多少是不行的。
研究频谱密度的变化，即单位频带上频谱幅度的大小，
以X(n1) /1来表示，也是的函数，且与原来幅度谱具
有相似的图形。
T1 ，1 0，X(n1) 0，但X(n1) /1却相对 稳定，将趋于稳定的极限值，这个 的函数称为频谱密
T1增大频谱的谱线变密，谱线变短。
1
x(t) E
0
T1
t
x(t)
§3.2 非周期信号的频谱分析
积分为0 积分为
解释
求和
振幅
余弦信号
四．傅里叶变换存在的条件
所有能量信号均满足此条件。 所有能量信号均满足此条件。
五.典型非周期信号的频谱
•矩形脉冲 矩形脉冲 •单边指数信号 单边指数信号 •直流信号 直流信号 •符号函数 符号函数 •升余弦脉冲信号 升余弦脉冲信号
（一）．矩形脉冲信号
幅度频谱： 幅度频谱：
表示频谱就不合适了， 再用 表示频谱就不合适了，虽然各 频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别， 频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别， 引入频谱密度函数。 引入频谱密度函数。
（1） ）
单位频带上的频 谱值
T1
频谱密度函数 简称频谱函数
−T1
2 2
f ( t )e
ω −j nω1 t
dt
X
频谱密度函数的表示
§3.2 非周期信号的频谱分析 ─ 傅里叶变换
•傅里叶变换 傅里叶变换 •傅里叶变换的特殊形式 傅里叶变换的特殊形式 •傅里叶变换的物理意义 傅里叶变换的物理意义 •傅里叶变换存在的条件 傅里叶变换存在的条件 •典型非周期信号的频谱 典型非周期信号的频谱
一．傅里叶变换
1. 引出
：周期信号 非周期信号 0 0 离散谱 连续谱，幅度无限小； 连续谱，幅度无限小；
− eα t
频谱图
证明
2．反变换
由复指数形式的傅里叶级数
3．傅里叶变换对
二．傅里叶变换的表示
实部
模 相位
虚部
实信号
偶分量
奇分量
欧拉公式
实部
虚部
偶函数 奇分量为零） （奇分量为零） 奇函数 偶分量为零） （偶分量为零）
为实函数， 为实函数，只有 为虚函数， 为虚函数，只有
瞬变非周期信号的频谱分析
瞬变非周期信号的频谱分析1.傅立叶变换当周期信号的周期趋于无穷大时，该信号就成为非周期信号了。
周期信号频谱谱线的频率间隔为△ω=ω0=2π/T ，由于T为无穷大时，其频率间隔Δω为无穷小,所以非周期信号的频谱是连续的。
非周期信号的幅值谱表示单位频宽上的幅值，精确地讲Ｘ（Ｆ）是频谱密度函数。
2.傅立叶变换的主要性质奇偶虚实性：x(t)为实偶函数，X(f)是实偶函数x(t)为实奇函数，X(f)是虚奇函数线性叠加性：假如f1(t)←→F1(jω),f2(t)←→F2(jω)则对于任何常数a1、a2有：a1f1(t)+a2f2(t)←→a1f1(jω)+a2f2(jω)对称性：时间尺度转变特性：时间尺度压缩，频谱的频带加宽，幅值降低；时间尺度扩大，频谱变窄，幅值增高。
时移和频移特性：时域的延时对应频谱在频域内的相位滞后。
卷积特性：该部分内容请同学自己阅读教材。
微分和积分特性：知道震惊系统的位移、速度、或加速度中任一个参数，应用微分、积分特性就可以获得其他参数的频谱。
3.几种典型信号的频谱矩形窗函数的频谱：时域有限区间内有值的信号，频谱可延长至无限频率。
在时域中若截取信号的一段记录长度，则相当于原信号和矩形窗函数之乘积，因而所得到的频谱将是原信号频域函数和sinc函数的卷积，它将是连续的、频率无限延长的频谱。
单位脉冲函数及其频谱：在极短时间内激发一个矩形脉冲（三角、钟形、双边指数），其面积为1。
当激发时间趋于0时，矩形脉冲的极限就称为单位脉冲函数。
单位脉冲函数的筛选性质：具有采样性质。
单位脉冲函数与其他函数的卷积：就是简洁地将x(t)在发生脉冲函数的坐标位置上（以此为坐标原点）重新构图。
δ(t)的频谱：具有无限宽广的频谱，在全部的频段上都是等强度，是抱负的白噪声。
周期性单位脉冲序列的频谱：若时域中脉冲间隔为T，则频域中也为脉冲间隔，间隔为1/T；时域中脉冲幅值为1，频域中幅值为1/T。
时域只要是周期性的，频谱就是离散的。
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F(jω)为复数，可以表示为
F ( jω ) = F ( jω ) e jφ (ω ) = FR ( jω ) + jFI ( jω )
当f(t)为实函数时，有 |F(j ω)| = |F(−j ω)| ， φ(ω) = −φ(−ω)
FR ( jω ) = FR (− jω ), FI (− jω ) = − FI (− jω )
nω 0τ Cn = Sa ( ) T 2
τA
Cn lim TC n = lim T →∞ T →∞ f
2.傅立叶正变换
1 Cn = T0
∫
t 0 +T0
t0
f (t )e − jn ω0t dt
F ( jω ) = ∫
符号表示：
∞
−∞
f (t )e
− j ωt
dt
F ( jω ) = F [ f (t )]
1 f (τ )dτ ← → F ( jω ) + πF (0)δ (ω ) jω
若f (t ) ← F ( jω ), 记f ， t ) ← → ( → f1 (t ), f1 (t ) ← F1 ( jω ) →
物理意义: F(jω)是单位频率所具有的信号频谱， 称之为非周期信号的频谱密度函数 频谱密度函数，简称频谱函数 频谱函数。 频谱密度函数 频谱函数
3.傅立叶反变换
1 f (t ) = 2π
∫
∞
−∞
F ( jω ) e
jω t
dω
物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为ω， 复振幅为[F(jω)/2π]dω 的复指数信号ejω t的线性组合。 符号表示：
式中ω0为任意实数 信号在时域相移，对应频谱函数在频域的频移。 应用：信号f(t)与余弦信号cosω0 t相乘后，其频谱是 应用 将原来信号频谱向左右搬移ω0，幅度减半。
1 1 jω 0 t F [ f (t ) cos ω 0t ] = F [ f (t )e ] + F [ f (t )e - jω 0t ] 2 2 1 1 = F [ j (ω − ω 0 )] + F [ j (ω + ω 0 )] 2 2
F ( jω ) = ∫ f (t )e − jωt dt = ∫
−∞
∞
∞
0
e − (α + jω ) t ∞ 1 −αt − jωt = e e dt = − (α + jω ) 0 α + jω
幅度频谱为 相位频谱为
F ( jω ) =
1
α 2 +ω2
ω φ (ω ) = −arctg ( ) α
F ( jω ) = ∫ f (t )e − j ωt dt = ∫ 2τ A ⋅ e − j ωt dt
−∞ − 2 ∞
= A τ ⋅ Sa (
F (ω ) τA
ωτ
2
)
f (t ) A
−
τ
2
τ
2
t
−
2π
2π
ω
τ
τ
5.2 常见非周期信号的频谱
1.单边指数信号
f (t ) = e −αt u (t )，α > 0，
8.单位矩形脉冲
利用例5-1的计算结果有：
F ( jω ) = AτSa (
ωτ
2
) = Sa (ω / 2)
单位矩形信号
单位矩形信号的频谱
5.3 Fourier变换的基本性质
1. 线性特性 2. 共轭对称特性 3. 对称互易特性 4. 展缩特性 5. 时移特性 6. 频移特性 7. 时域卷积特性 8. 频域卷积特性 9. 时域微分特性 10. 积分特性 11. 频域微分特性 12. 能量定理
6.符号函数信号
符号函数定义为
− 1 t < 0 sgn(t ) = 1 t>0
2 F ( jω ) = jω
7. 单位阶跃信号u(t)
图 形 推 导
1 1 1 1 u (t ) = {u (t ) + u (−t )} + {u (t ) − u (−t )} = + sgn(t ) 2 2 2 2 1 F [u (t )] = πδ (ω ) + jω
(ω − ω 0 )τ (ω + ω 0 )τ 1 = { Aτ ⋅ Sa[ ] + Aτ ⋅ Sa[ ]} 2 2 2
f (t ) cos ω0 t
A
F ( jω )
−τ / 2
τ /2
t
−ω0
0
ω0
ω
7.时域卷积特性
若f1 (t ) ← F1 ( jω ) → f 2 (t ) ← F2 ( jω ) →
同理
1 1 jω 0 t F[ f (t ) sinω0t ] = F [ f (t )e ] − F [ f (t )e - jω 0t ] 2j 2j
j j = F[ j(ω + ω0 )] − F[ j(ω − ω0 )] 2 2
[例5-8] 试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cosω0 t 相乘后信号的频谱函数。 [解] 由例5-1知宽度为τ、幅值为A的矩形脉冲 解 信号对应的频谱函数为：
f(2t)
f(t/2) f (0.5t)
f (t)
f (1.5t)
0.05
0.1
0.15
0.2
0.段语音信号(“对了”) 。抽样频率 =22050Hz
5． 时移特性
若f (t ) ← F ( jω ) →
则f (t − t0 ) ← F ( jω ) ⋅ e -jωt 0 →
(式中t0为任意实数) 信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域 信号在时域中的时移， 中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。 中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。
6. 频移特性（调制定理）
若 则
f (t ) ← F ( jω ) →
f (t) ⋅ ejω0t ←F →F[ j(ω −ω0 )]
第5章 连续非周期信号的频谱分析
5.1 连续非周期信号的频谱 5.2 常见连续信号的频域分析
5.2.1 常见非周期信号的频谱 5.2.2 常见周期信号的频谱
Fourier变换的性质 5.3 Fourier变换的性质
5.1 连续非周期信号的频谱
1．从傅立叶级数到傅立叶变换
讨论周期T增加对离散谱的影响： 周期为T宽度为τ的周期矩形脉冲的Fourier系数为
τ
2
0
τ
2
t
ω0 = τ
−4π
−2π
2π
4π 6π
τ
τ
τ
τ
τ
F (t )
A
2π
A
f (ω )
ω0 2π
其中：
ω0 = τ
0
t
−
ω0
2
ω0
2
ω
4. 展缩特性
若f (t ) ← F ( jω ) →
ω 1 则f (at ) ← → F ( j ) a a
时域压缩，则频域展宽； 时域展宽，则频域压缩。
课 程 内 容
第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 第6章 第7章 第8章 信号与系统分析导论 时域分析 信号的时域分析 系统的时域分析 信号的频域分析 周期信号的频域分析 频域分 析 非周期信号的频域分析 系统的频域分析 连续时间信号与系统的复频域分析 离散时间信号与系统的z域分析
第5章
非周期信号的频域分析
1. 线性特性
若f1 (t ) ← → F1 ( jω )；
F
f 2 (t ) ← → F2 ( jω )，
F
则af1 (t ) + bf 2 (t ) ← aF1 ( jω ) + bF2 ( jω ) →
其中a和b均为常数。
2.共轭对称特性
若 f (t ) ←→ F ( jω )
则
f * (t ) ←→ F * (− jω ) f * (−t ) ←→ F * ( jω )
f (t ) 1
f (t ) = e −αt u (t )，α > 0，
F ( jω ) =
1
α 2 +ω2
ω φ (ω ) = −arctg ( ) α
F (ω ) 1/ α
0
0
t
φ (ω )
π /2
ω
0
ω
−π / 2
单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱
2.双边指数信号 e
−α t
F ( jω ) = ∫ e
−∞
∞
−α t
e
− jωt
dt
=∫ e e
−∞
0
αt − jωt
dt + ∫ e −αt e − jωt dt
0
∞
1 1 2α = + = 2 α − jω α + jω α + ω 2
幅度频谱为
2α F ( jω ) = 2 α +ω2
3.“双曲线”指数信号
F ( jω ) = − ∫ e e
f (t ) = F −1[ F ( jω )]
Fourier正/反变换的符号简单表示：
f (t ) ←→ F ( jω )
F
4. 频谱函数与频谱密度函数的区别
（1）周期信号的频谱为离散频谱， 周期信号的频谱为离散频谱， 周期信号的频谱为离散频谱 非周期信号的频谱为连续频谱。 连续频谱 非周期信号的频谱为连续频谱 （2）周期信号的频谱为 n的分布，表示每个谐波 周期信号的频谱为C 周期信号的频谱为 的分布， 分量的复振幅； 分量的复振幅 非周期信号的频谱为T 的分布， 非周期信号的频谱为 Cn的分布，表示每单位带宽内 所有谐波分量合成的复振幅，即频谱密度函数。 所有谐波分量合成的复振幅，即频谱密度函数。 两者关系：