例题习题解答
导数的概念及其意义 高中数学-例题课后习题详解-选必二5-1
第五章一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义5．1．1变化率的问题练习1．求问题1中高台跳水运动员在0.5s t =时的瞬时速度．1.火箭发射s t 后，其高度（单位：m ）为()20.9h t t =．求：（1）在12t ≤≤这段时间里，火箭爬高的平均速度；（2）发射后第10s 时，火箭爬高的瞬时速度．【答案】（1）2.7m s ；（2）18m s .【解析】【分析】（1）根据平均速度的计算公式求解；（2）根据导数的概念求解.【详解】（1）因为()()()22210.920.91 2.721h h v m s -==⨯-⨯=-，所以在12t ≤≤这段时间里，火箭爬高的平均速度为2.7m s ；（2）因为()()()01010lim1010t h t h t ∆→+∆-+∆-()220.9100.910limt t t∆→⨯+∆--⨯=∆()20.918limt t tt∆→∆+∆=∆()lim 0.918t t ∆→=∆+18=所以发射后第10s 时，火箭爬高的瞬时速度18m s .2.一个小球从5m 的高处自由下落，其运动方程为()24.9y t t =-，求1s t =时小球的瞬时速度．【答案】9.8/m s -【解析】【分析】根据瞬时速率计算即可.【详解】由题意知：9.8dyt dt=-当1t =时，小球的瞬时速度为9.8/m s-练习3.你认为应该怎样定义抛物线()2f x x =在点()200,x x 处的切线？试求抛物线()2f x x =在点()1,1-处切线的斜率．【答案】切线的定义见解析，抛物线()2f x x =在点()1,1-处切线的斜率为2-.【解析】【分析】利用切线的定义可得出抛物线()2f x x =在点()200,x x 处的切线的定义，然后利用导数的定义可求得抛物线()2f x x =在点()1,1-处切线的斜率.【详解】在点()2000,P x x 的附任取一点()2,P x x ，当点P 无限趋近于点0P 时，割线0P P无限趋近于一个确定的位置0PT ，这个确定的位置0PT 称为抛物线()2f x x =在点()2,x x 处的切线.抛物线()2f x x =在点()1,1-处的切线的斜率为()()()111limx f x f k f x∆→-+∆--'=-=∆()()211limlim 22x x x x x∆→∆→∆--==∆-=-∆.4.求抛物线()21f x x =+在点()0,1处的切线方程．【答案】10y -=【解析】【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；【详解】解：因为()21f x x =+，所以()2f x x '=，所以()00f '=，故切线方程为10y -=5．1．2导数的概念及其几何意义练习例1设1()f x x=，求(1)f '．解：00011(1)(1)11(1)lim lim lim 11x x x f x f x f x x x∆→∆→∆→-+∆-⎛⎫+∆'===-=- ⎪∆∆+∆⎝⎭．例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。
机电传动控制例题+课后习题答案+华科+第四版
TL T KtI a C
I a
I a E
E U I a Ra E E1
注意：从
U Ra C
不能判断E是如何变化的 E K en
52.5
T
3.15 解：（1） IN=PN/NUN=2200/0.8 ×110=25A （2）求IfN=Uf/Rf=110/82.7=1.33A （3）Pf= Uf IfN=110 ×1.33=0.146kw （4）TN=9.55 × PN/nN=9.55 ×2200/1500=14N.m （5）E= KeN nN=UN-INRa=110-25 ×0.4=100V （6）IST= UN/Ra=110/0.4=275A （7） IST=UN/（Ra+RST）2 IN RST UN/2 IN- Ra=110/2 ×25-0.4=1.8
• 例5-2 有一台三相四极的异步电动机， • 其额定技术数据为nN=1440r/min，R2，E20=20V， • 试求：(l)电动机的同步转速n0 ：(2)电动机启动时的转子电流 I2st ： • (3)电动机在额定转速时转子电动势的频率f2N； • (4)电动机在额定转速时的转子电流 I2N E20 20 • 解 (1) n0=60f1/P=60×50/2=1500r/min 242.5 A I 2 st 2 2 • (2) R2 X 20 0.022 0.082 •
(1)估算Ra
K e N U N I N RN / nN
5.5 103 PN U N Ra 0.51 I 0.51 220 31 0.71 UN IN N
高考数学新课标定积分应用例题习题及详解
图3 定积分应用1、直角坐标系下平面图形面积的计算①连续曲线()(()0),y f x f x x a x b =≥==及及x 轴所围成的平面图形面积为()baA f x dx =⎰②设平面图形由上下两条曲线y f 上(x )及y f 下(x )及左右两条直线x a 及x b 所围成 则面积元素为[f 上(x ) f 下(x )]dx 于是平面图形的面积为： dxx f x f S b a ⎰-=)]()([下上③连续曲线()(()0),x y y c y d φφ=≥==及y 及y 轴所围成的平面图形面积为()dc A y dy φ=⎰④由方程1()x y φ=及2()x y φ=以及,y c y d ==所围成的平面图形面积为12[()()]d c A y y dy φφ=-⎰ 12()φφ>例１ 计算两条抛物线2x y =及2y x =所围成的面积．解 求解面积问题，一般需要先画一草图（图3），我们要求的是阴影部分的面积．需要先找出交点坐标以便确定积分限，为此解方程组：⎩⎨⎧==22y x x y得交点(0,0)和(1,1)．选取x 为积分变量，则积分区间为]1,0[，根据公式(1) ，所求的面积为一般地，求解面积问题的步骤为：(1) 作草图，求曲线的交点，确定积分变量和积分限．(2) 写出积分公式． (3) 计算定积分． 例2 计算抛物线y22x 及直线y x 4所围成的图形的面积解 (1)画图(2)确定在y 轴上的投影区间: [2 4](3)确定左右曲线4)( ,21)(2+==y y y y 右左ϕϕ(4)计算积分例3 求在区间[21,2 ]上连续曲线 y=ln x ,x 轴及二直线 x =21,及x = 2所围成平面区域（如图2）的面积 。
解：已知在[21,2 ]上，ln x ≤ 0 ; 在区间[ 1 , 2 ]上，ln x ≥0 ,则此区域的面积为： A = dx x ⎰221ln = dx x ⎰-221ln + dx x ⎰21ln例4 求抛物线 y 2=x 及x-2y-3=0所围成的平面图形（图 3）的面积 A 。
集合练习题及答案有详解
集合练习题及答案有详解(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--圆梦教育中心 集合例题详解1．已知A ＝{x|3－3x>0}，则下列各式正确的是( ) A ．3∈A B ．1∈A C ．0∈A D ．－1?A【解析】 集合A 表示不等式3－3x>0的解集．显然3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式，故选C. 【答案】 C2．下列四个集合中，不同于另外三个的是( ) A ．{y|y ＝2} B ．{x ＝2} C ．{2} D ．{x|x 2－4x ＋4＝0}【解析】 {x ＝2}表示的是由一个等式组成的集合．故选B. 【答案】 B3．下列关系中，正确的个数为________． ①12∈R ；②2?Q ；③|－3|?N *；④|－3|∈Q . 【解析】 本题考查常用数集及元素与集合的关系．显然12∈R ，①正确；2?Q ，②正确；|－3|＝3∈N *，|－3|＝3?Q ，③、④不正确． 【答案】 24．已知集合A ＝{1，x ，x 2－x}，B ＝{1,2，x}，若集合A 与集合B 相等，求x 的值． 【解析】 因为集合A 与集合B 相等， 所以x 2－x ＝2.∴x＝2或x ＝－1. 当x ＝2时，与集合元素的互异性矛盾． 当x ＝－1时，符合题意． ∴x＝－1.一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列命题中正确的( )①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示．A ．只有①和④ B．只有②和③ C ．只有② D．以上语句都不对【解析】 {0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②符合集合中元素的无序性，正确；③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．故选C.【答案】C2．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )A．{1,1} B．{1}C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}【解析】集合{x|x2－2x＋1＝0}实质是方程x2－2x＋1＝0的解集，此方程有两相等实根，为1，故可表示为{1}．故选B.【答案】B3．已知集合A＝{x∈N*|－5≤x≤5}，则必有( )A．－1∈A B．0∈A∈A D．1∈A【解析】∵x∈N*，－5≤x≤5，∴x＝1,2，即A＝{1,2}，∴1∈A.故选D.【答案】D4．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为( )A．0 B．2C．3 D．6【解析】依题意，A*B＝{0,2,4}，其所有元素之和为6，故选D.【答案】D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知集合A＝{1，a2}，实数a不能取的值的集合是________．【解析】由互异性知a2≠1，即a≠±1，故实数a不能取的值的集合是{1，－1}．【答案】{1，－1}6．已知P＝{x|2＜x＜a，x∈N}，已知集合P中恰有3个元素，则整数a＝________.【解析】用数轴分析可知a＝6时，集合P中恰有3个元素3,4,5.【答案】6三、解答题(每小题10分，共20分)7．选择适当的方法表示下列集合集．(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；(2)大于2且小于6的有理数；(3)由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．【解析】 (1)方程的实数根为－1,0,3，故可以用列举法表示为{－1,0,3}，当然也可以用描述法表示为{x|x(x 2－2x －3)＝0}，有限集．(2)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q |2<x<6}，无限集．(3)用描述法表示该集合为M ＝{(x ，y)|y ＝－x ＋4，x∈N ，y ∈N }或用列举法表示该集合为 {(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．8．设A 表示集合{a 2＋2a －3,2,3}，B 表示集合 {2，|a ＋3|}，已知5∈A 且5?B ，求a 的值． 【解析】 因为5∈A，所以a 2＋2a －3＝5， 解得a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，|a ＋3|＝5，不符合题意，应舍去． 当a ＝－4时，|a ＋3|＝1，符合题意，所以a ＝－4.9．(10分)已知集合A ＝{x|ax 2－3x －4＝0，x∈R }． (1)若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围； (2)若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围． 【解析】 (1)∵A 中有两个元素，∴方程ax 2－3x －4＝0有两个不等的实数根， ∴⎩⎨⎧a≠0，Δ＝9＋16a ＞0，即a ＞－916.∴a＞－916，且a≠0.(2)当a ＝0时，A ＝{－43}；当a≠0时，若关于x 的方程ax 2－3x －4＝0有两个相等的实数根，Δ＝9＋16a ＝0，即a ＝－916；若关于x 的方程无实数根，则Δ＝9＋16a ＜0， 即a ＜－916；故所求的a 的取值范围是a≤－916或a ＝0.1．设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B等于( )A．{x|x≥3}B．{x|x≥2}C．{x|2≤x＜3} D．{x|x≥4}【解析】B＝{x|x≥3}．画数轴(如下图所示)可知选B.【答案】B2．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B＝( )A．{3,5} B．{3,6}C．{3,7} D．{3,9}【解析】A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，A和B中有相同的元素3,9，∴A∩B＝{3,9}．故选D.【答案】D3．50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为________．【解析】设两项都参加的有x人，则只参加甲项的有(30-x)人，只参加乙项的有(25-x)人．(30-x)+x+(25-x)=50，∴x=5.∴只参加甲项的有25人，只参加乙项的有20人，∴仅参加一项的有45人．【答案】454．已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若A∩B＝{9}，求a的值．【解析】∵A∩B＝{9}，∴9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3.当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}．此时A∩B＝{－4,9}≠{9}．故a＝5舍去．当a＝3时，B＝{－2，－2,9}，不符合要求，舍去．经检验可知a＝－3符合题意．一、选择题(每小题5分，共20分)1．集合A ＝{0,2，a}，B ＝{1，a 2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4【解析】 ∵A∪B＝{0,1,2，a ，a 2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}， ∴{a，a 2}＝{4,16}，∴a＝4，故选D. 【答案】 D2．设S ＝{x|2x ＋1>0}，T ＝{x|3x －5<0}，则S∩T＝( ) A ．? B ．{x|x<－|A ．? B ．{x|x<－12}C ．{x|x>53}D ．{x|－12<x<53}【解析】 S ＝{x|2x ＋1>0}＝{x|x>－12}，T ＝{x|3x －5<0}＝{x|x<53}，则S∩T＝{x|－12<x<53}．故选D.【答案】 D3．已知集合A ＝{x|x>0}，B ＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝( ) A ．{x|x≥－1} B ．{x|x≤2} C ．{x|0<x≤2} D．{x|－1≤x≤2} 【解析】 集合A 、B 用数轴表示如图， A∪B＝{x|x≥－1}．故选A.【答案】 A4．满足M?{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】 集合M 必须含有元素a 1，a 2，并且不能含有元素a 3，故M ＝{a 1，a 2}或M ＝{a 1，a 2，a 4}．故选B. 【答案】 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知集合A ＝{x|x≤1}，B ＝{x|x≥a}，且A∪B＝R ，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 A ＝(－∞，1]，B ＝[a ，＋∞)，要使A∪B＝R ，只需 a≤1.【答案】 a≤16．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A 的个数是________．【解析】 由于{1,3}∪A＝{1,3,5}，则A ⊆{1,3,5}，且A 中至少有一个元素为5，从而A 中其余元素可以是集合{1,3}的子集的元素，而{1,3}有4个子集，因此满足条件的A 的个数是4.它们分别是{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．【答案】 4三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知集合A ＝{1,3,5}，B ＝{1,2，x 2－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x 及A∩B. 【解析】 由A∪B＝{1,2,3,5}，B ＝{1,2，x 2－1}得x 2－1＝3或x 2－1＝5. 若x 2－1＝3则x ＝±2； 若x 2－1＝5，则x ＝±6； 综上，x ＝±2或± 6.当x ＝±2时，B ＝{1,2,3}，此时A∩B＝{1,3}； 当x ＝±6时，B ＝{1,2,5}，此时A∩B＝{1,5}．8．已知A ＝{x|2a≤x≤a＋3}，B ＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝?，求a 的取值范围．|8．已知A ＝{x|2a≤x≤a ＋3}，B ＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝?，求a 的取值范围．|8．已知A ＝{x|2a≤x≤a＋3}，B ＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝?，求a 的取值范围．【解析】 由A∩B＝?， (1)若A ＝Ø， 有2a>a ＋3，∴a>3. (2)若A≠Ø， 如图：∴ ，解得- ≤a ≤2.综上所述，a 的取值范围是{a|- ≤a ≤2或a>3}．9．(10分)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人【解析】 设单独参加数学的同学为x 人，参加数学化学的为y 人，单独参加化学的为z 人．依题意⎩⎨⎧x ＋y ＋6＝26，y ＋4＋z ＝13，x ＋y ＋z ＝21，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝8，z ＝1.∴同时参加数学化学的同学有8人，答：同时参加数学和化学小组的有8人．1．集合{a，b}的子集有( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个【解析】集合{a，b}的子集有?，{a}，{b}，{a，b}共4个，故选D.【答案】D2．下列各式中，正确的是( )A．23∈{x|x≤3} B．23?{x|x≤3}C．23?{x|x≤3} D．{2|?{x|x≤3} D．{23}{x|x≤3}【解析】23表示一个元素，{x|x≤3}表示一个集合，但23不在集合中，故23?{x|x≤3}，A、C不正确，又集合{23}?{x|x≤3}，故D不正确．|}?{x|x≤3}，故D不正确．【答案】B3．集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A?B，A?C.则集合A的个数是________．【解析】若A＝?，则满足A?B，A?C；若A≠?，由A?B，A?C知A是由属于B且属于C的元素构成，此时集合A可能为{a}，{b}，{a，b}．【答案】44．已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x<a}，若A?B，求实数a的取值集合．|4．已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x<a}，若A?B，求实数a的取值集合．|4．已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x<a}，若A?B，求实数a的取值集合．【解析】将数集A表示在数轴上(如图所示)，要满足A?B，表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边，所以所求a的集合为{a|a≥4}．一、选择题(每小题5分，共20分)1．集合A＝{x|0≤x<3且x∈Z}的真子集的个数是( )A．5 B．6C．7 D．8【解析】由题意知A＝{0,1,2}，其真子集的个数为23－1＝7个，故选C.【答案】C2．在下列各式中错误的个数是( )①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}⊆{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}A．1 B．2C．3 D．4【解析】①正确；②错．因为集合与集合之间是包含关系而非属于关系；③正确；④正确．两个集合的元素完全一样．故选A.【答案】A3．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则( )A．A>B B．A BC．B A D．A?B【解析】如图所示，，由图可知，B A.故选C.【答案】C4．下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若?A，则A≠?.其中正确的有( )A．0个 B．1个C．2个 D．3个【解析】①空集是它自身的子集；②当集合为空集时说法错误；③空集不是它自身的真子集；④空集是任何非空集合的真子集．因此，①②③错，④正确．故选B.【答案】B二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知?{x|x|5．已知?{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．【解析】 ∵?{x|x|】 ∵?{x|x 2－x ＋a ＝0}， ∴方程x 2－x ＋a ＝0有实根， ∴Δ＝(－1)2－4a≥0，a≤14.【答案】 a≤146．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}，若B?A ，则实数m ＝________.【解析】 ∵B?A，∴m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0∴m＝1，当m ＝1时，A ＝{－1,3,1}，B ＝{3,1}满足B ⊆A.【答案】 1三、解答题(每小题10分，共20分)7．设集合A ＝{x ，y}，B ＝{0，x 2}，若A ＝B ，求实数x ，y.【解析】 从集合相等的概念入手，寻找元素的关系，必须注意集合中元素的互异性．因为A ＝B ，则x ＝0或y ＝0.(1)当x ＝0时，x 2＝0，则B ＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去． (2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.由(1)知x ＝0应舍去． 综上知：x ＝1，y ＝0.8．若集合M ＝{x|x 2＋x －6＝0}，N ＝{x|(x －2)(x －a)＝0}，且N ⊆M ，求实数a 的值． 【解析】 由x 2＋x －6＝0，得x ＝2或x ＝－3. 因此，M ＝{2，－3}．若a ＝2，则N ＝{2}，此时N M ； 若a ＝－3，则N ＝{2，－3}，此时N ＝M ； 若a≠2且a≠－3，则N ＝{2，a}， 此时N 不是M 的子集， 故所求实数a 的值为2或－3.9．(10分)已知集合M ＝{x|x ＝m ＋16，m∈Z }，N ＝{x|x ＝n 2－13，n∈Z }，P ＝{x|x ＝p 2＋16，p∈Z }，请探求集合M 、N 、P 之间的关系．【解析】 M ＝{x|x ＝m ＋16，m∈Z }＝{x|x ＝6m ＋16，m∈Z }．N ＝{x|x ＝n 2－13，n∈Z }11 ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x ＝3n －26，n∈ZP ＝{x|x ＝p 2＋16，p∈Z }＝{x|x ＝3p ＋16，p∈Z }．∵3n－2＝3(n －1)＋1，n∈Z .∴3n－2,3p ＋1都是3的整数倍加1， 从而N ＝P.而6m ＋1＝3×2m＋1是3的偶数倍加1， ∴MN ＝P.。
例题习题
所以，对应晶胞坐标系中为二级衍射。
晶体中的衍射 对于体心立方元素晶体，对应密勒指数(110)的原胞 坐标系的晶面指数可求得为(001)， 同理可求得
K110 G 001
即对于体心立方元素晶体， 密勒指数(110)晶面族的原胞坐 标标系中的一级衍射，对应晶 胞坐标系中的一级射．
小结：由劳厄方程去判断
1
z
2
1
y
简立方单胞与原胞相同，因此，晶面指数与密勒指 数相同。晶面（hkl）对应的倒格矢为：
G h K hkl hb1 kb l b 2 3
x
2 a
hi kj lk
0
晶体中的衍射
入射线方向：S 0 k 0 衍射线方向：S cos i cos 1 j cos 2k 0 劳厄方程：
体心立方元素晶体，对应密勒指数(100)晶 面族的原胞坐标系中的一级衍射时，即
a2
k k 1 G111 n 1
'
2 1 a a3 ( a i b j k c) 2
(a i b j k c)
G111 2K100
k k 2 K100 n 2
2d sinθ＝nλ
可知，面间距d大的晶面，对应一个小的光的掠射角θ．面 间距d小的晶面，对应—个大的光的掠射角θ，θ越大，光 的透射能力就越强，反射能力就越弱 .
晶体中的衍射
F2-4(√)体心立方元素晶体，密勒指数(100)和(110) 面，原胞坐标系中的一级衍射，分别对应晶胞坐标系 中的几级衍射?(习题）
【例F6】如果X射线沿简立方单胞的OZ 轴的负方向入射， 求证：当下式满足时，衍射线在yz平面上。
(新人教版)数学七年级下册：《不等式及其解集》典型例题及习题(含解答)
《不等式及其解集》典型例题例1用不等式表示：（1）是正数；（2）与5的和是负数；（3）的一半不大于10；（4）的与1的差是非负数．分析：列不等式的关键是把数量关系中的“大于”、“是负数”、“不大于”、“是非负数”等文字语言正确地用数学符号表示出来，其中“非负数”是正数与零的统称．解：（1）；（2）（3）；（4）例2用“”或“”号填空若且则：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．解：（1）因为，根据不等式的性质1，有；（2）因为，根据不等式的性质1，有；（3）因为，根据不等式的性质2，有；（4）因为，根据不等式的性质3，有，再由不等式性质1，有；（5）因为，由不等式的性质1，；（6）因为，由不等式的性质1，；（7）因为且，由不等式性质2知；（8）因为且，由不等式性质3，有说明：解这类题应先观察不等号左右两边是由原来的不等式进行了什么样的变形得来的，弄清楚了，再对照不等式的性质，决定是否要改变不等号的方向．例3 判断下列各题的结论是否正确，并说明理由．（1）如果，，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么；（4）如果，且，那么．解：（1）不正确．因为当或时，不成立；（2）正确．因为成立，必有且，根据不等式基本性质2，得；（3）正确．根据不等式基本性质1，由，两边都加上，得；（4）不正确．因为，那么有可能大于0，也有可能小于0，当时，根据不等式基本性质3，两边同除以得．说明：①注意成立则隐含着这个条件且；②要注意（4）小题中的条件“”的讨论，因为代表有理数，所以可能取正，也可能取负数．例4根据不等式的基本性质，把下列不等式化成或的形式．（1）；（2）；（3）；（4）解：（l）根据不等式基本性质1，不等式两边都加上5，不等号的方向不改变，所以，即（2）根据不等式基本性质1，不等式的两边都减去，不等式不改变方向，所以，即（3）根据不等式基本性质2，不等式两边同除以（或乘以），不等号不改变方向，所以，即（4）根据不等式基本性质3，不等式两边同乘以－2（或除以－）；不等号改变方向，所以，即说明：在运用不等式基本性质3时，一定不要忘记改变不等号的方向．例5用不等式表示：（1）x与1的和是正数；（2）的与的的差是负数；（3）的2倍与1的和大于3；（4）的一半与4的差小于．分析：列不等式时要注意抓住关键词的意义，如（1）中“正数”，（4）中“小于”等．解：说明：不等式表示代数式之间的不相等的关系，与方程表示相等关系相对应．研究不等关系列不等式的重点是抓关键词，弄清不等关系．9.1.1《不等式及其解集》同步练习题知识点：1、不等式：含有符号“＜、＞、≥、≤、≠”的式子2、不等式的解：使含有未知数的不等式成立的值 3．不等式解集及其数轴表示法⑴ 不等式表示：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x ≤8．(2)用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．如：同步练习：1.用 连接的式子叫做不等式；2.当x = 3时，下列不等式成立的是 （ ）A 、x ＋3＞5B 、x ＋3＞6C 、x ＋3＞7D 、x ＋3＞8 3.下列说法中，正确的有 （ ）①4是不等式x ＋3＞6的解，②x ＋3＜6的解是x ＜2③3是不等式x ＋3≤6的解，④x ＞4是不等式x ＋3≥6的解的一部分 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4.图中表示的是不等式的解集，其中错误的是（ ） A 、x ≥－2 B 、x ＜C 、x ≠、x ＜05.下列说法中，正确的是 （ ）A 、x=3是不等式2x>5的一个解B 、x=3是不等式2x>5的解集C 、x=3是不等式2x>5的唯一解D 、x=2是不等式2x>5的解6.x 与3的差的2倍小于x 的2倍与3倍的差，用不等式表示为 （ ） A 、2（x-3）<(x-3) B 、2x-3<2(x-3) C 、2（x-3）<2x-3 D 、2x-3<1/2(x-3)7.已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）A 、13cmB 、6cmC 、5cmD 、4cm 9.1.1《不等式及其解集》同步练习题（1）答案： 1.符号“＜、＞、≥、≤、≠” 2-7 ABDACB0-1-2。
有限元方法例题解答
2023《有限元技术》习题一参考答案1、用欧拉方程求泛函()1022[()]'2(0)0,(1)0J y x y y xy dx y y ⎧=--⎪⎨⎪==⎩⎰的极值曲线。
解：22'2F y y xy =--，代入欧拉方程'0y y dF F dx-=， 得：''++0y y x =，解微分方程得通解：12sin cos y C x C x x =+-，代入边界条件(0)0,(1)0y y ==，解得sin sin1xy x =-。
2、如图所示，一长度为L 质量为M 的项链悬挂在跨度为2a 的A 和B 两点，项链在重力场中自然下垂，试求该链悬在稳定状态时的曲线方程。
（重力加速度为g ）解： （方法一）将原坐标系(),x y 向下平移1C 个单位(),x y ，拟采用1cosh y C t =代换求解 在新坐标系中，悬链在稳定状态时能量处于最小值。
悬链线质量密度MLλ=， 长度为dl 的势能为：()Mgy dW dmgy dl gy dl L λ====，悬链总势能泛函：(a a a a Mg W dW dx dx L --===⎰⎰⎰，约束条件为：悬链线长度aL -=⎰，泛函的被积函数：(),F y y '=，势能泛函取极小值时的欧拉方程为：'1'y F y F C -=， 即：21C -=，化简得：y C =于是：dx =x =，令1cosh y C t =（在新坐标系下才能作此代换），得：1sinh sinh dy C tdt t =⎧=，代入x =，得112x C dt C t C ==+⎰所以，21x C t C -=，21cosh cosh x C t C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭回代1cosh y C t =得：211cosh x C y C C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线关于y 轴对称得20C =，1C由悬链线长度112sinhaaL C C -==⎰给出， 故新坐标系下所求曲线方程为11cosh x y C C ⎛⎫=⎪⎝⎭， 1C 由11sinh 2L aC C =确定。
50道C++编程练习题及解答-c编程例题
50道C++编程练习题及解答-c编程例题C+＋作为一种广泛应用的编程语言，通过不断的练习可以帮助我们更好地掌握其语法和编程思维。
以下是为您精心准备的 50 道 C+＋编程练习题及详细解答，希望能对您的学习有所帮助。
练习题 1：计算两个整数之和题目描述：编写一个 C+＋程序，输入两个整数，计算并输出它们的和。
｀｀｀cppinclude ＜iostream>using namespace std;int main(）｛int num1, num2, sum;cout ＜＜＂请输入第一个整数：＂；cin ＞＞ num1;cout ＜＜＂请输入第二个整数：＂；cin ＞＞ num2;sum ＝ num1 ＋ num2;cout ＜＜＂两个整数之和为：＂＜＜ sum ＜＜ endl;return 0;｝｀｀｀练习题 2：判断一个数是否为偶数题目描述：编写一个 C+＋程序，输入一个整数，判断它是否为偶数。
｀｀｀cppinclude ＜iostream>using namespace std;int main(）｛int num;cout ＜＜＂请输入一个整数：＂；cin ＞＞ num;if （num ％ 2 ＝＝ 0) ｛cout ＜＜ num ＜＜＂是偶数" ＜＜ endl;｝ else ｛cout ＜＜ num ＜＜＂不是偶数" ＜＜ endl;｝return 0;｝｀｀｀练习题 3：找出三个数中的最大值题目描述：编写一个 C+＋程序，输入三个整数，找出并输出其中的最大值。
｀｀｀cppinclude ＜iostream>using namespace std;int main(）｛int num1, num2, num3, max;cout ＜＜＂请输入第一个整数：＂；cin ＞＞ num1;cout ＜＜＂请输入第二个整数：＂；cin ＞＞ num2;cout ＜＜＂请输入第三个整数：＂；cin ＞＞ num3;max ＝ num1;if （num2 ＞ max) ｛max ＝ num2;｝if （num3 ＞ max) ｛max ＝ num3;｝cout ＜＜＂三个数中的最大值为：＂＜＜ max ＜＜ endl;return 0;｝｀｀｀练习题 4：计算阶乘题目描述：编写一个 C+＋程序，输入一个正整数，计算并输出它的阶乘。
圆的方程 高中数学例题课后习题详解
第二章直线和圆的方程2.4圆的方程2.4.1圆的标准方程例1求圆心为(2,3)A -，半径为5的圆的标准方程，并判断点1(5,7)M -，2(2,1)M --是否在这个圆上．分析：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在图上．解：圆心为(2,3)A -，半径为5的圆的标准方程是22(2)(3)25x y -++=把点1(5,7)M -的坐标代入方程22(2)(3)25x y -++=的左边，得22(52)(73)25-+-+=，左右两边相等，点1M 的坐标满足圆的方程，所以点1M 在这个圆上．把点2(2,1)M --的坐标代入方程22(2)(3)25x y -++=的左边，得22(22)(13)20--+-+=，左右两边不相等，点2M 的坐标不满足圆的方程，所以点2M 不在这个圆上（图2.4-2）．图2.4-2例2ABC 的三个顶点分别是(5,1)A ，(7,3)B -，(2,8)C -，求ABC 的外接圆的标准方程．分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．显然已知的三个点不在同一条直线上．只要确定了a ，b ，r ，圆的标准方程就确定了．解：设所求的方程是222()()x a y b r -+-=．①因为(5,1)A ，(7,3)B -，(2,8)C -三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①．于是222222222(5)(1),(7)(3),(2)(8),a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪-+--=⎨⎪-+--=⎩即22222222210226,14658,41668,a b a b r a b a b r a b a b r ⎧+--+=⎪+-++=⎨⎪+-++=⎩观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去2a ，2b ，2r ，得到关于a ，b 的二元一次方程组28,1.a b a b -=⎧⎨+=-⎩解此方程组，得2,3.a b =⎧⎨=-⎩代入222(5)(1)a b r -+-=，得225r =．所以，ABC 的外接圆的标准方程是22(2)(3)25x y -++=．例3已知圆心为C 的圆经过(1,1)A ，(2,2)B -两点，且圆心C 在直线:10l x y -+=，求此圆的标准方程．分析：设圆心C 的坐标为(,)a b ．由已知条件可知，||||CA CB =，且10a b -+=．由此可求出圆心坐标和半径．另外，因为线段AB 是圆的一条弦，根据平面几何知识，AB 的中点与圆心C 的连线垂直于AB ，由此可得到另一种解法．解法1：设圆心C 的坐标为(,)a b ．因为圆心C 在直线:10l x y -+=上，所以10a b -+=．①因为A ，B 是圆上两点，所以||||CA CB ==，即330a b --=②由①②可得3a =-，2b =-．所以圆心C 的坐标是(3,2)--．圆的半径||5r AC ===．所以，所求圆的标准方程是22(3)(2)25x y +++=．解法2：如图2.4-3，设线段AB 的中点为D ．由A ，B 两点的坐标为(1,1)，(22)-，可得点D 的坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AB 的斜率为21321AB k --==--．因此，线段AB 的垂直平分线l '的方程是113232y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即330x y --=．由垂径定理可知，圆心C 也在线段AB 的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组330,10x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解．解这个方程组，得3,2.x y =-⎧⎨=-⎩所以圆心C 的坐标是(3,2)--．圆的半径||5r AC ===．所以，所求圆的标准方程是22(3)(2)25x y +++=．图2.4-3练习1.写出下列圆的标准方程.（1）圆心为()3,4C -，半径是；（2）圆心为()8,3C -，且经过点()5,1M --．【答案】（1）（x +3）2+（y ﹣4）2＝5．（2）（x +8）2+（y ﹣3）2＝25．【解析】【分析】（1）根据圆心和半径，直接写出圆的标准方程．（2）先求出圆的半径，可得圆的标准方程．【详解】解：（1）∵圆心在C （﹣3，4）x +3）2+（y ﹣4）2＝5．（2）∵圆心在C （﹣8，3），且经过点M （﹣5，﹣1），故半径为MC ==5，故圆的标准方程为（x +8）2+（y ﹣3）2＝25．2.已知圆的标准方程是()()223216x y -++=，借助计算工具计算，判断下列各点在圆上、圆外，还是在圆内．（1）()14.30, 5.72M -；（2）()25.70,1.08M ；（3）()33,6M -．【答案】（1）1M 在圆内；（2）2M 在圆外；（3）3M 在圆上.【解析】【分析】分别将三个点代入方程，和等号右边比较即可判断.【详解】（1）22(4.303)(5.722)15.528416-+-+=< ，1M ∴在圆内；（2）22(5.703)(1.082)16.776416-++=> ，2M ∴在圆外；（3）22(33)(62)16-+-+= ，3M ∴在圆上.3.已知()14,9P ，()26,3P 两点，求以12PP 为直径的圆的方程，并判断点()6,9M ，()3,3N ，()5,3Q 与圆的位置关系．【答案】点M 在圆上，点N 在圆外，点Q 在圆内【解析】【分析】先求出圆心和半径，得到圆方程，再计算点到圆心的距离，与半径作比较得到答案.【详解】由线段的中点坐标公式，求得圆心()5,6C ．直径12PP ==．故所求圆的方程为()()225610x y -+-=．CM r == ，∴点M在圆上；CN r => ，∴点N 在圆外；3CQ r =< ，∴点Q 在圆内．综上：点M 在圆上，点N 在圆外，点Q 在圆内【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，属于基础题型.4.已知AOB 的三个顶点分别是点()4,0A ，()0,0O ，()0,3B ，求AOB 的外接圆的标准方程．【答案】()22325224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意可确定圆的直径为AB ，根据中点坐标公式求出圆心坐标，结合两点距离公式求出半径即可.【详解】由题意知，AB 为圆的直径，设圆心为()C a b ，，则AB 中点即为3(2)2C ，，所以半径为52OC =，故外接圆的标准方程为：22325(2)()24x y -+-=.2.4.2圆的一般方程例4求过三点(0,0)O ，1(1,1)M ，2(4,2)M 的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．分析：将点O ，1M ，2M 的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程．解：设圆的方程是220x y Dx Ey F ++++=．①因为O ，1M ，2M 三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把它们的坐标依次代入方程①，得到关于D ，E ，F 的一个三元一次方程组0,20,42200.F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解这个方程组，得8,6,0.D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，所求圆的方程是22860x y x y +-+=．由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是(4,3)-，半径5r ==．例5已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．分析：如图2.4-4，点A 运动引起点M 运动，而点A 在已知圆上运动，点A 的坐标满足方程22(1)4x y ++=．建立点M 与点A 坐标之间的关系，就可以利用点A 的坐标所满足的关系式得到点M 的坐标满足的关系式，求出点M的轨迹方程．图2.4-4解：设点M 的坐标是(),x y ，点A 的坐标是()00,x y ，由于点B 的坐标是(4,3)，且M 是线段AB 的中点，所以042x x +=，032y y +=．于是有024x x =-，023y y =-．①因为点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，所以点A 的坐标满足圆的方程，即()220014x y ++=．②把①代入②，得22(241)(23)4x y -++-=，整理，得2233122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这就是点M 的轨迹方程，它表示以33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆．练习5.求下列各圆的圆心坐标和半径.（1）2260x y x +-=；（2）2220x y by ++=；（3）222230x y ax a +--+=．【答案】(1)圆心为(30)，，半径为3；(2)圆心为(0)b -，，半径为b ;(3)圆心为()a ，半径为a .【解析】【分析】结合配方法将圆的一般方程化为标准方程,再求出圆心和半径即可.【详解】(1)方程222260(3)9x y x x y +-=⇒-+=，所以圆心为(30)，，半径为3；(2方程2222220()x y by x y b b ++=⇒++=，所以圆心为(0)b -，，半径为b ；(3)方程222222230()()x y ax a x a y a +--+=⇒-+-=，所以圆心为()a ，半径为a ；6.判断下列方程分别表示什么图形，并说明理由.（1）220x y +=；（2）222460x y x y +-+-=；（3）22220x y ax b ++-=．【答案】答案见解析【解析】【分析】（1）由方程可得0,0x y ==；（2）化简可得()()221211x y -++=可判断；（3）化简可得()2222x a y a b ++=+，分0a b ==和0a ≠或0b ≠时讨论可得.【详解】（1） 220x y +=，0,0x y ∴==，故220x y +=表示点()0,0；（2）222460x y x y +-+-=可化为()()221211x y -++=，所以方程222460x y x y +-+-=表示以()1,2-为半径的圆；（3）22220x y ax b ++-=可化为()2222x a y a b ++=+，当0a b ==时，方程22220x y ax b ++-=表示点()0,0，当0a ≠或0b ≠时，方程22220x y ax b ++-=表示以(),0a -为半径的圆.7.如图，在四边形ABCD 中，6AB =，3CD =，且//AB CD ，AD BC =，AB 与CD 间的距离为3．求等腰梯形ABCD 的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．【答案】圆心坐标为30,8⎛⎫ ⎪⎝⎭,半径长为8.【解析】【分析】设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=,将A,B,C 三点坐标代入求解即可.【详解】由题意可知A (-3,0),B (3,0),C 3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=,则9309309393042D F D F D E F ⎧⎪-+=⎪++=⎨⎪⎪++++=⎩.解得0349D E F =⎧⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，故所求圆的方程为223904x y y +--=,其圆心坐标为30,8⎛⎫ ⎪⎝⎭,3658=.习题2.4复习巩固8.求下列各圆的圆心坐标和半径，并画出它们的图形.（1）22250x y x +--=；（2）222440x y x y ++--=；（3）2220x y ax ++=；（4）222220x y by b +--=．【答案】(1)圆心(10)，，半径r =，图见解析；(2)圆心(12)-，，半径3r =，图见解析；(3)圆心(0)a -，，半径r a =，图见解析；(4)圆心(0)b ，，半径r =，图见解析；【解析】【分析】结合配方法将圆的一般方程化为标准方程,再求出圆心和半径，进而画出图形即可.【详解】(1)方程2222250(1)6x y x x y +--=⇒-+=，所以圆心为(10)，，如图；(2方程22222440(1)(2)9x y x y x y ++--=⇒++-=，所以圆心为(12)-，，半径为3，如图；(3)方程2222220()x y ax x a y a ++=⇒++=，0a ≠所以圆心为(0)a -，，半径为a ；不妨设=2a ，如图；(4)方程222222220()3x y by b x y b b +--=⇒+-=，0b ≠所以圆心为(0)b ，；不妨设=1b ，如图；9.求下列各圆的方程，并面出图形.（1）圆心为点()8,3C -，且过点()5,1A ；（2）过()1,5A -，()5,5B ，()6,2C -三点．【答案】（1）22(8)(3)25x y -++=（图见解析）（2）2242200x y x y +---=（图见解析）【解析】【分析】（1）求出半径，利用圆的标准方程写出即可.（2）设出圆的一般方程，将三点代入解出即可.【详解】（1）由题意知半径5r ==,所以圆的方程为：22(8)(3)25x y -++=.（2）设圆的一般方程为：220x y Dx Ey F ++++=.将()1,5A -，()5,5B ，()6,2C -代入得：1+255042525550236462020D E F D D E F E D E F F -++==-⎧⎧⎪⎪++++=⇒=-⎨⎨⎪⎪++-+==-⎩⎩所以圆的方程为：2242200x y x y +---=.10.已知圆C 经过原点和点()2,1A ，并且圆心在直线:210l x y --=上，求圆C 的标准方程．【答案】22612951020x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】设圆C 的标准方程为()()222x a y b r -+-=，根据题意得到不等式组，解之即可求出结果.【详解】设圆C 的标准方程为()()222x a y b r -+-=，由题意可得()()()()2222220021210a b r a b r a b ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪--=⎪⎩，解得2651102920a b r ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，因此22612951020x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.11.圆C 的圆心在x 轴上，并且过()1,1A -和()1,3B 两点，求圆C 的方程．【答案】()22210x y -+=【解析】【分析】由题意，设圆心坐标和半径表示圆的标准方程，结合待定系数法即可.【详解】设圆C 的圆心坐标为()C a ，0，半径为r ，则圆C 的标准方程为：222()x a y r -+=，有{222222(1)1(1)3a r a r --+=-+=，解得2210a r ==，，所以圆C 的标准方程为：22(2)10x y -+=综合运用12.已知圆的一条直径的端点分别是A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．求证：此圆的方程是（x –x 1）（x –x 2）+（y –y 1）（y –y 2）=0．【答案】证明见解析【解析】【分析】由题意求得圆心和半径，可得圆的标准方程，化简即可．【详解】∵圆的一条直径的端点分别是A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴圆心为C （122x x +，122y y +），半径为2AB =∴此圆的方程是2122x x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭+()()22212121224x x y y y y y -+-+⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即x 2–（x 1+x 2）x +()2124x x ++y 2–（y 1+y 2）y +()()()22212121244y y x x y y +-+-=，即x 2–（x 1+x 2）x +x 1•x 2+y 2–（y 1+y 2）y +y 1•y 2=0，即（x –x 1）（x –x 2）+（y –y 1）（y –y 2）=0．【点睛】本题主要考查圆的标准方程的特征，属于基础题．13.平面直角坐标系中有()0,1A ，()2,1B ，()3,4C ，()1,2D -四点，这四点是否在同一个圆上？为什么？【答案】四点在同一个圆上（证明见解析）【解析】【分析】以、、A B C 三点，求出圆的方程，再将点D 代入即可得出答案.【详解】设过、、A B C 三点的圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=.将、、A B C 三点代入得：1+02412069163405E F D D E F E D E F F +==-⎧⎧⎪⎪++++=⇒=-⎨⎨⎪⎪++++==⎩⎩.所以圆的一般方程为222650x y x y +--+=.将点()1,2D -代入得：22(1)22(1)6250-+-⨯--⨯+=，满足方程.所以四点在同一个圆上.14.已知等腰三角形ABC 的一个顶点为()4,2A ，底边的一个端点为()3,5B ，求底边的另一个端点C 的轨迹方程，并说明它是什么图形．【答案】22(4)(2)10x y -+-=（去掉（3,5），（5,-1）两点）；表示是以()4,2为圆心，半径，且去掉（3,5），（5,-1）两点的圆【解析】【分析】根据等腰三角形和已知顶点A (4,2)，一个端点B (3,5)，利用腰相等且能构成三角形即可求端点C 的轨迹方程；【详解】由题意知：设另一个端点(,)C x y，腰长为r ==，∴C 的轨迹方程：22(4)(2)10x y -+-=，又由A 、B 、C 构成三角形，即三点不可共线，∴需要去掉重合点（3,5），反向共线点（5,-1），即表示是以()4,2为圆心，以半径，且去掉（3,5），（5,-1）两点的圆.15.长为2a 的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求线段AB 的中点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．【答案】轨迹方程为：x 2+y 2＝a 2（a ＞0）．表示圆心在原点半径为a 的圆.【解析】【分析】设AB 的中点坐标为（x ，y ），当A 、B 均不与原点重合时，由直角三角形虚部的中线等于斜边的一半可得AB 中点轨迹，验证A 、B 有一点与原点重合时成立得答案．【详解】解：设线段AB 的中点P （x ，y ），若A 、B 不与原点重合时，则△AOB 是直角三角形，且∠O 为直角，则OP 12=AB ，而AB ＝2a ，∴OP ＝a ，即P 的轨迹是以原点为圆心，以a 为半径的圆，方程为x 2+y 2＝a 2（a ＞0）；若A 、B 有一个是原点，同样满足x 2+y 2＝a 2（a ＞0）．故线段AB 的中点的轨迹方程为：x 2+y 2＝a 2（a ＞0）．表示圆心在原点半径为a 的圆.拓广探索16.已知动点M 与两个定点()0,0O ，()3,0A 的距离的比为12，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状．【答案】22(1)4x y ++=，以(1,0)-为圆心2为半径的圆【解析】【分析】设出点M ,根据题意列出等式，化简即为答案.【详解】设点(,)M x y .则12MO MA==，化简得：2222230(1)4x y x x y ++-=⇒++=为以(1,0)-为圆心2为半径的圆.17.在半面直角坐标系中，如果点P 的坐标(),x y 满足cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩，其中θ为参数．证明：点P 的轨迹是圆心为(),a b ，半径为r 的圆．【答案】证明见解析.【解析】【分析】将参数方程化为普通方程可证得结果.【详解】由cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩可得cos sin x ary b r θθ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，又因为22cos sin 1θθ+=，所以221x a y b r r --⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即222()()x a y b r -+-=，所以点P 的轨迹是圆心为(,)a b ，半径为r 的圆.。
东北大学流体力学例题解答
2 × 9.8 × 40 v= = 2.316（m/s） 4000 × 0.036 + 2.188
2.316 × 0.05 5 = = 1 . 15 × 10 Re = ν 0.01007 ×10 − 4 vd
由△/d及Re，返回查莫迪图，管中流动确实属于过渡区，并且λ的取值 也是合适的。
管中流量：
习题1-1 一底面积为40cm*45cm，高1cm的木块，质量为5kg，沿涂有润滑油的斜面向下 作匀速运动，木块运动速度u=1m/s，油层厚度1mm，斜坡角θ=22.62°，由木 块所带动的油层的速度呈直线分布，求油的粘度
θ
解：木块重量沿斜坡分力 F与剪切力 T 平衡时，匀速下滑
mg sin θ = T = μ A
Q = Av =
π
4
× 0.052 × 2.316 = 0.00455 m
3
s
昼夜供水量： V
= 24 × 3600Q = 24 × 3600 × 0.00455 = 392.7m 3
将上式逐个代入下一个式子
pB = pA + ρ1gh1 − ρ3 gh2 + ρ2 gh3 − ρ3 gh4 − ρ1g (h5 − h4 )
整理后得A,B两点的压强差
p A − p B = ρ1 g (h5 − h4 ) + ρ 3 gh4 − ρ 2 gh3 + ρ 3 gh2 − ρ1 gh1
解：分离器中水面处的真空度为
p V = γ Hg Δ h = 133280 × 0 . 2 = 26656 Pa
自分离器到水封槽中的水，可以看成是静止的，在A、B两点列出 流体静力学基本方程：
0+ 0+
pa
大学物理热学部分例题及习题
前后气体内能之比？
解：E内
i 2
RT
i 2
PT
i
i
E1 2 P1V1, E2 2 P2V2
P1V1
P2V2
V1 V2
(
P2
)
1
,
P1
( CP i 2 5)
CV i 3
E1
P1V1
2
(
1
1
)
2
25
E2 P2V2
2
例1：判断正误
1、功可以全部转变为热, 但热不能全部转变为功 2、热量不能从低温物体传向高温物体
v
v0 2
v0
2v0
3v0
4v0
a 2v0
v)
4v0
,
(2v04v0 )
(5) t
1 2
m0 v2
例、N2分子在标况下平均碰撞次数5.42108 S-1, 分子平均自由程610-6cm,若T不变,P降为0.1atm,
则碰撞次数变为—,平均自由程变为—
解： Z
2d 2vn
2d 2
V
C
B
(2)BC, (3)CA
A
T
解：AB:等压
E>0, A>0, Q=E+A>0, 或QP=CPT>0
BC:等容
E<0,A=0, Q=E+A<0, 或QV=CVT<0
CA:等温
E=0, A<0, Q=E+A<0
例2、一定量理想气体(自由度i),在等压过程中
吸热Q,对外做功A,内能增加E,则A/Q=?
无穷级数习题及解答w
无穷级数例题选解1．判别下列级数的敛散性：212111111!21(1)sin;(2)ln(1);(3);(4)()32n nn n n n n n nnnn ∞∞∞∞+====++-∑∑∑∑2．判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？（1）211(1)[3n nn n ∞-=-+∑； （2）21cos 3nn n n ∞=∑； （3）11(1)n n ∞-=-∑。
3．求幂级数0nn ∞=∑的收敛区间。
4．证明级数1!nnn n x n∞=∑当||x e <时绝对收敛，当||x e ≥时发散。
5．在区间(1,1)-内求幂级数11n n xn+∞=∑的和函数6． 求级数∑∞=-222)1(1n nn 的和。
7．把()arctan f x x =展开成 x 的幂级数，并求级数 0(1)3(21)nnn n ∞=-+∑ 的和8．设11112,()2n n na a a a +==+（1,2,n = ）证明1）lim n n a →∞存在； 2）级数11(1)n n n a a ∞=+-∑收敛。
9．设40tan nn a xdx π=⎰，1） 求211()n n n a a n∞+=+∑的值；2） 试证：对任意的常数0λ>，级数1n n a nλ∞=∑收敛。
10．设正项数列}{n a 单调减少，且∑∞=-1)1(n n n a 发散，试问∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+111n nn a 是否收敛？并说明理由。
11．已知222111358π+++= ，计算1011ln 1xdx x x +-⎛⎜⎠。
12．计算48371115!9!3!7!11!πππππ++++++。
参考答案：1．解：（1）2211sin n n<，而∑∞=121n n收敛，由比较审敛法知∑∞=121sinn n收敛。
（2）)(1~)11ln(∞→+n nn，而∑∞=11n n 发散，由比较审敛法的极限形式知∑∞=+1)11ln(n n发散。
编译原理例题与习题解答
最右推导 E T T*F T*(E) T*(E+T) T*(E+F)
T*(E+i) T*(T+i) T*(F+i) T*(i+i) F*(i+i) i*(i+i)
• 8. 令文法为
E → T|E+T|E-T T → F|T*F|T/F
F → (E)|i
(2) 给出 i+i+i、i+i*i和i-i-i的语法树。 注意：树枝和符号均不可随意增减！
例题与习题解答
第二章
1
回顾
• 程序语言的定义
–一个程序语言是一个记号系统,它主要由以下 方面定义：
• 语法 • 语义
每个句子构成的规律 研究语言
每个句子的含义
语法 语义
2
回顾
语法={词法规则+语法规则}
• 词法规则：单词符号的形成规则。
–单词符号是语言中具有独立意义的最基本结构 。一般包括：常数、标识符、基本字、算符、 界符等。
4
回顾
• 上下文无关文法的定义：一个上下文无关文 法G是一个四元式G=(VT，VN，S，P)，其中
–VT：终结符集合(非空) –VN：非终结符集合(非空)，且VT VN= –S：文法的开始符号，SVN –P：产生式集合(有限)，每个产生式形式为
P， PVN， (VT VN)*
–开始符S至少必须在某个产生式的左部出现一次。
首先：找到此文法对应的一个句子 iiiei 其次：构造与之对应的两棵语法树
S
S
i SeS
iS
iS
i
i S eS
i
ii
结论：因为该文法存在句子iiiei对应两棵 不同的语18 法树，因而该文法是二义的。
诱导公式 高中数学-例题课后习题详解-必修一5-3
第五章三角函数5．3诱导公式例1利用公式求下列三角函数值：（1）cos 225︒：（2）8πsin3；（3）16πsin 3⎛⎫-⎪⎝⎭；（4）()tan 2040-︒.解：（1）()cos 225cos 18045︒=︒+︒2cos 452=-︒=-；（2）8π2πsinsin 2π33⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2ππsinsin π33⎛⎫==- ⎪⎝⎭π3sin32==；（3）16π16πsin sin 33⎛⎫-=- ⎪⎝⎭πsin 5π3⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π3sin 32⎛⎫=--=⎪⎝⎭；（4）()tan 2040tan 2040-︒=-︒()tan 6360120=-⨯︒-︒()tan120tan 18060︒︒=︒=-tan 60=-︒=例2化简()()()()cos 180sin 360tan 180cos 180αααα︒++︒--︒-︒+.解：()()tan 180tan 180αα--︒=-︒+⎡⎤⎣⎦()tan 180α=-︒+tan α=-，()()cos 180cos 180αα-︒+=-︒-⎡⎤⎣⎦()cos 180α=︒-cos α=-，所以原式cos sin cos (tan )(cos )ααααα-==---.例3证明：（1）3πsin cos 2αα⎛⎫-=-⎪⎝⎭；（2）3πcos sin 2αα⎛⎫+=⎪⎝⎭.证明：（1）3ππsin sin π22αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦πsin cos 2αα⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭；（2）3ππcos cos π22αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦πcos sin 2αα⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.例4化简π11πsin(2π)cos(π)cos cos 229πcos(π)sin(3π)sin(π)sin 2αααααααα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫----+ ⎪⎝⎭.解：原式π(sin )(cos )(sin )cos 5π2π(cos )sin(π)[sin(π)]sin 4π2αααααααα⎡⎤⎛⎫---+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎡⎤⎛⎫---++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2πsin cos cos 2π(cos )sin [(sin )]sin 2ααααααα⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎛⎫---+ ⎪⎝⎭sin tan cos ααα=-=-.例5已知()1sin 535α︒-=，且27090α-︒<<-︒，求()sin 37α︒+的值.分析：注意到()()533790αα︒-+︒+=︒，如果设53βα=︒-，37γα=︒+，那么90βγ+=︒，由此可利用诱导公式和已知条件解决问题.解：设53βα=︒-，37γα=︒+，那么90βγ+=︒，从而90γβ=︒-.于是()sin sin 90cos γββ=︒-=.因为27090α-︒<<-︒，所以143323β︒<<︒.由1sin 05β=>，得143180β︒<<︒.所以26cos 5β==-，所以()26sin 37sin 5αγ︒+==-.练习1.将下列三角函数转化为锐角三角函数,并填在题中横线上:(1)13cos9π=________;(2)sin 1()π+=________:(3)sin 5π⎛⎫-= ⎪⎝⎭________;(4)()tan 706︒-'=________;(5)6cos7π=________;(6)tan100021︒'=________.【答案】①.4cos 9π-②.sin1-③.sin5π-④.tan 706︒-'⑤.cos 7π-⑥.tan 7939︒'-【解析】【分析】利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即可得到答案.【详解】（1）1344coscos()cos 999ππππ=+=-；（2）sin(1)sin1π+=-；（3）sin(sin 55ππ-=-；（4）''tan(706)tan 706-=- ；（5）6coscos()cos 777ππππ=-=-；（6）'''tan100021tan(10807939)tan 7939=-=- ；【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，求解时注意三角函数在各个象限的符号，属于基础题.2.利用公式求下列三角函数值：（1）()cos 420-︒；（2）7sin()6π-；（3）()tan 1140︒-；（4）77cos(π)6-（5）tan 315︒；（6）11sin()4π-．【答案】（1）12（2）12（3）（4）（5）1-（6）22-【解析】【分析】（1）用余弦的诱导公式化简后计算；（2）用正弦的诱导公式化简后计算；（3）用正切的诱导公式化简后计算；（4）用余弦的诱导公式化简后计算；（5）用正切的诱导公式化简后计算；（6）用正弦的诱导公式化简后计算；【小问1详解】()1cos 42c 0cos 602os 420=︒=︒=-︒；【小问2详解】771sin()sin sin 6662πππ-=-==；【小问3详解】()tan 1140tan1140tan(360360)tan 60︒-=-︒=-︒⨯+︒=-︒=【小问4详解】7777553cos(π)cos cos(12)cos cos 666662πππππ-==+==-=-；【小问5详解】tan 315tan(36045)tan 451︒=︒-︒=-︒=-；【小问6详解】111152sin()sin 4sin sin 44442πππππ⎛⎫-=-+==-=- ⎪⎝⎭．3.化简:(1)()()sin 180cos()sin 180ααα︒︒----+;(2)33cos ()sin(2)tan ()απααπ-+--.【答案】（1）2sin cos αα⋅（2）4sin α-【解析】【分析】利用诱导公式对所求式子直接进行化简，即可得到答案.【详解】(1)原式()2sin 180cos sin sin cos ααααα︒=-+⋅=⋅;(2)原式()()()3333cos sin tan cos sin tan ααπαααα=⋅⋅-+=⋅⋅-3343sin cos sin sin cos ααααα⎛⎫=⋅⋅-=- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，求解时注意三角函数在各个象限的符号，属于基础题.4.填表:α43π-54π-53π-74π-83π-114π-sin αcos αtan α【答案】见解析【解析】【分析】利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即可得到答案.【详解】α43π-54π-53π-74π-83π-114π-【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，求解时注意三角函数在各个象限的符号，属于基础题.练习5.用诱导公式求下列三角函数值(可用计算工具,第(3)(4)(6)题精确到0.0001):(1)65cos6π;(2)31sin 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭;(3)()cos 118213︒'-;(4)sin 67039︒';(5)26tan 3π⎛⎫-⎪⎝⎭;(6)tan 58021︒'.【答案】(1)32;(2)2【解析】【分析】利用诱导公式将任意角转化为锐角的三角函数，非特殊角再借助计算器求值.【详解】（1）653coscos(11)cos()cos 66662ππππππ=-=-=-=-；（2）31sin()sin(8)sin 4442ππππ-=--==；（3）''''cos(118213)cos(336010213)cos(901213)cos12130.2116=⨯+=+=-=- ；（4）'''sin 67039sin(23604921)sin 49210.7587=⨯-=-=- ；（5）262tan(tan(8)tan 333ππππ-=-+==；（6）'''tan 58021tan(31804021)tan 40210.8496=⨯+== .【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，求解时注意奇变偶不变，符号看象限这一口诀的应用.6.证明:(1)5cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭;(2)7cos sin 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭;(3)9sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭;(4)11sin cos 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析（4）见解析【解析】【分析】对角度进行变形，利用前面学过的诱导公式进行证明推导.【详解】(1)左边cos sin 2παα⎛⎫=-== ⎪⎝⎭右边;(2)左边cos cos sin 22ππααα⎛⎫⎛⎫=-+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭右边;(3)左边sin cos 2παα⎛⎫=-== ⎪⎝⎭右边;(4)左边sin sin cos 22ππααα⎛⎫⎛⎫=--=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭右边.【点睛】本题考查诱导公式的证明，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意利用诱导公式2-4进行证明诱导公式5和6.7.化简:(1)cos 2sin(2)cos(2)5sin 2πααππαπα⎛⎫- ⎪⎝⎭--⎛⎫+ ⎪⎝⎭;(2)()2tan 360cos ()cos 2ααπα︒+--⎛⎫+ ⎪⎝⎭;(3)23cos(3)cos 2sin 2παπαπα⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭.【答案】（1）2sin α（2）21cos cos αα+（3）tan α【解析】【分析】利用诱导公式直接进行化简，即可得到答案.【详解】(1)原式2sin sin cos sin cos ααααα=⋅⋅=;(2)原式22tan 1cos cos sin cos ααααα=-=+-.(3)原式()()()()222cos sin cos sin cos sin tan cos sin sin 22απαπαααααπαπαα----====⎛⎫⎡⎤⎛⎫- ⎪-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.【点睛】本题考查诱导公式的直接应用，考查运算求解能力，求解时注意奇变偶不变，符号看象限的应用.习题5．3复习巩固8.用诱导公式求下列三角函数值（可用计算工具，第（2）（3）（4）（5）题精确到0．0001）：（1）17cos(4π-；（2）sin 1()574-︒；（3）sin 2162(0)5-︒'；（4）cos 1756(1)3-︒'；（5）cos16158︒'；（6）26sin()3π-．【答案】（1）22（2）0.7193-（3）0.0151-（4）0.6639（5）0.9964-（6）【解析】【分析】（1）由余弦的诱导公式化简后求值；（2）由正弦的诱导公式化简后求值；（3）由正弦的诱导公式化简后求值；（4）由余弦的诱导公式化简后求值；（5）由余弦的诱导公式化简后求值；（6）由正弦的诱导公式化简后求值；【小问1详解】17172cos()cos cos(4)cos 44442πππππ-==+==；【小问2详解】sin 1()574-︒sin1574sin(4360134)sin134sin 460.7193=-︒=-⨯︒+︒=-︒=-︒≈-；【小问3详解】()sin(636052)sin 520.sin 2101650152''=-⨯︒-=-≈--︒'【小问4详解】()cos(18cos 1751004824)cos 48240.663936''=-︒+︒=︒≈-︒'【小问5详解】cos16158cos(14401758)cos1758cos 4520.9964'︒'=︒+︒'=︒'=-︒≈-【小问6详解】2626223sin()sin sin(8sin sin 333332ππππππ-=-=-+=-=-=-．9.求证：（1）()sin 360sin αα︒-=-；（2）()cos 360cos αα︒-=；（3）()tan 360tan αα︒-=-.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】【分析】运用360α︒+与α、α-与α的诱导公式进行证明即可.【详解】证明：（1）左边sin 360()sin()sin ααα︒⎡⎤=+-=-=-=⎣⎦右边；（2）左边cos 360()cos()cos ααα︒⎡⎤=+-=-==⎣⎦右边；（3）左边tan 360()tan()tan ααα︒⎡⎤=+-=-=-=⎣⎦右边.【点睛】本题考查了诱导公式的应用，属于基础题.10.化简：（1）21sin(2)sin()2cos ()αππαα+-+--；（2）()()()sin 1071sin 99sin 171sin 261︒︒︒︒-+--.【答案】（1）2cos α-；（2）0【解析】【分析】运用诱导公式、同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】解：（1）原式2221[sin(2)]sin()2cos 1sin sin 2cos cos παπαααααα=+--⋅+-=-⋅-=-.（2）原式()()()sin1071sin 99sin171sin 261︒︒︒︒=-⋅+-⋅-()()()()sin 2360351sin 909sin 1809sin 2709︒︒︒︒︒︒︒︒⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯+⋅++--⋅--⎣⎦⎣⎦⎣⎦sin 351cos9sin 9cos9︒︒︒︒=-⋅-⋅sin 9cos9sin 9cos90︒︒︒︒=⋅-⋅=.【点睛】本题考查了诱导公式的应用，考查了同角三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.11.在单位圆中，已知角α的终边与单位圆的交点为34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，分别求角,,2ππααα+-+的正弦、余弦函数值.【答案】43sin(),cos()55παπα+=-+=；43sin(),cos()55αα-=--=-；34sin ,cos 2525ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】根据三角函数的定义，结合诱导公式进行求解即可.【详解】解：∵角α的终边与单位圆的交点为34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，434sin ,cos ,tan 553ααα∴==-=-.43sin()sin ,cos()cos 55πααπαα∴+=-=-+=-=，43sin()sin ,cos()cos 55αααα-=-=--==-，34sin cos ,cos sin 2525ππαααα⎛⎫⎛⎫+==-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查了三角函数的定义，考查了诱导公式的应用，考查了数学运算能力.综合运用12.已知73sin()25πα+=，那么cos a =（）A.45- B.35- C.35 D.45【答案】B【解析】【分析】根据73sin()25πα+=，利用三角函数的诱导公式求解.【详解】因为7sin()sin 8()sin()222πππαπαα⎡⎤+=+-+=-+⎢⎥⎣⎦，3sin ()sin()cos 225ππααα⎡⎤=--=--=-=⎢⎥⎣⎦，所以3cos 5α=-，故选：B13.已知1sin()2πα+=-，计算：（1）()sin 5πα-；（2）sin()2πα+；（3）3cos()2πα-（4）tan()2πα-．【答案】（1）12；（2）32±；（3）12-；（4）【解析】【分析】直接利用三角函数的诱导公式求解.【详解】因为1sin()sin 2παα+=-=-，所以1sin 2α=，cos 2α=±（1）()()1sin 5sin sin 2παπαα-===-；（2）sin()cos 22παα+==±；（3）3cos()cos()1s 2n 22i ππααα-=+==--（4）sin()cos 2sin cos()tan()22πααπααπα-==-=-14.在ABC 中，试判断下列关系是否成立，并说明理由.（1）cos()cos +=A B C ；（2）sin()sin A B C +=；（3）sinsin 22A B C +=；（4）cos cos 22A B C +=.【答案】（1）不成立，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）不成立，理由见解析；（4）不成立，理由见解析【解析】【分析】根据三角形内角和定理，结合诱导公式逐一判断即可.【详解】解：（1）不成立，cos()cos()cos A B C C π+=-=- ，cos()cos A B C ∴+=不成立；（2）成立，sin()sin()sin ,sin()sin A B C C A B C π∴+=-=∴+=成立；（3）不成立.sin sin cos ,sin sin 222222A B C C A B C π++⎛⎫=-=∴= ⎪⎝⎭不成立；（4）不成立coscos sin ,cos cos 222222A B C C A B C π++⎛⎫=-=∴= ⎪⎝⎭ 不成立.【点睛】本题考查了诱导公式的应用，考查了三角形内角和定理的应用，考查了数学运算能力.15.已知1sin 33x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且02x π<<，求sin 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭和2cos 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】22sin 63x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭；222cos 33x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】解：0,2633x x ππππ<<∴-<-< ，又1sin 033x π⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，0,cos 3333x x πππ⎛⎫∴<-<∴-== ⎪⎝⎭.22sin sin cos 62333x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦；2cos cos cos 3333x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.【点睛】本题考查了诱导公式的应用，考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.拓广探索16.化简下列各式，其中n ∈Z ：（1）sin 2n πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）cos 2n πα⎛⎫- ⎪⎝⎭.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】根据整数n 与4的余数的大小，结合诱导公式进行分类讨论求值即可.【详解】解：当4()n k k Z =∈时，sin sin(2)sin ;cos cos(2)cos 22n n k k ππαπαααπαα⎛⎫⎛⎫+=+=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当41()n k k Z =+∈时，sin sin 2cos 22n k ππαπαα⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；cos cos 2sin 22n k ππαπαα⎛⎫⎛⎫-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当42()n k k Z =+∈时，sin sin(2)sin 2n k παππαα⎛⎫+=++=- ⎪⎝⎭；cos cos(2)cos 2n k παππαα⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭.当43()n k k Z =+∈时，3sin sin 2cos 22n k ππαπαα⎛⎫⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3cos cos 2sin 22n k ππαπαα⎛⎫⎛⎫-=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查了分类讨论思想，考查了诱导公式的应用，考查了数学运算能力.17．借助单位圆，还可以建立角的终边之间的哪些特殊位置关系?由此还能得到三角函数值之间的哪些恒等关系？。
例题练习题答案
例题练习题答案一、选择题1. 地球的自转周期是多久？A. 24小时B. 12小时C. 1个月D. 1年答案：A2. 下列哪个不是中国的传统节日？A. 春节B. 中秋节C. 圣诞节D. 端午节答案：C3. 光年是指什么？A. 光在一年内通过的距离B. 光在一小时内通过的距离C. 光在一分钟内通过的距离D. 光在一秒钟内通过的距离答案：A二、填空题1. 圆的周长公式是C = 2πr，其中 r 代表______。
答案：半径2. 世界上最深的海沟是______。
答案：马里亚纳海沟3. 化学元素周期表中，氧元素的原子序数是______。
答案：8三、简答题1. 请简述牛顿第三定律的内容。
答案：牛顿第三定律指出，对于两个相互作用的物体，它们之间的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反。
2. 什么是温室效应？答案：温室效应是指地球大气层中的某些气体（如二氧化碳、甲烷等）能够吸收和重新辐射地表反射的太阳辐射，导致地球表面温度升高的现象。
四、计算题1. 一个圆的半径是5厘米，求它的面积。
答案：圆的面积公式是 A = πr²。
将半径 r = 5 厘米代入公式，得到A = π × 5² = 25π ≈ 78.54 平方厘米。
2. 如果一个物体从静止开始以恒定加速度运动，经过4秒后的速度是20米/秒，求它的加速度。
答案：根据速度公式 v = at，其中 v 是速度，a 是加速度，t 是时间。
已知 v = 20 米/秒，t = 4 秒，解得 a = v / t = 20 / 4 = 5 米/秒²。
以上是例题练习题答案的全部内容，希望对你有所帮助。
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例题解析与练习第一次2009年11．冯·诺依曼计算机中指令和数据均以二进制形式存放在存储器中，CPU区分它们的依据是（）。
A．指令操作码的译码结果B．指令和数据的寻址方式C．指令周期的不同阶段D．指令和数据所在的存储单元2010年12．下列选项中，能缩短程序执行时间的措施是（）。
Ⅰ．提高CPU时钟频率Ⅱ．优化数据通路结构Ⅲ．对程序进行编译优化A．仅Ⅰ和ⅡB．仅Ⅰ和ⅢC．仅Ⅱ和ⅢD．Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ2011年12．下列选项中，描述浮点数操作速度指标的是（）。
A．MIPS B．CPI C．IPC D．MFLOPS2012年12．假定基准程序A在某计算机上的运行时间为100秒，其中90秒为CPU时间，其余为I/O时间。
若CPU速度提高50%，I/O速度不变，则运行基准程序A所耗费的时间是（）。
A．55秒B．60秒C．65秒D．70秒2013年12. 某计算机主频为1.2GHz，其指令分为4类，它们在基准程序中所占比例及CPI如下表所示。
指令类型所占比例CPIA 50% 2B 20% 3C 10% 4D 20% 5该机的MIPS数是（）A、100B、200C、400D、60015、用海明码对长度为8位的数据进行检/纠错时，若能纠正一位错，则校验位数至少为（）A、2B、3C、4D、5练习1、冯·诺依曼机的工作方式的基本特点是（）A、多指令流单数据流B、按地址访问并顺序执行指令C、堆栈操作D、存储器按内容选择地址2、冯·诺依曼机的基本工作方式为（）A、控制流驱动方式B、多指令流多数据流方式C、微程序控制方式D、数据流驱动方式3、下列选项中不是冯·诺依曼机的最根本特征的是（）A、以运算器为中心B、指令并行执行C、存储器按地址访问D、数据以二进制编码，并采用二进制运算4、以下说法中，正确的是（）A、控制器能理解、解释并执行所有的指令及存储结果B、一台计算机包括输入、输出、控制、存储及算术逻辑运算五个单元C、所有的数据运算都在CPU的控制器中完成D、都不对5、在CPU的组成中不包括（）A、运算器B、存储器C、控制器D、寄存器6、指令流通常是（）A、从主存流向控制器B、从控制器流向主存C、从控制器流向控制器D、从主存流向主存7、数据流通常是（）A、从主存流向控制器B、从控制器流向主存C、从控制器流向运算器D、在运算器和主存之间流动8、下列不同进制的数中，最大的是（）A、（0.101）2B、（0.62）10C、（0.52）8D、（0.75）169、以下数中最小的为（）A、（101001）2B、（52）8C、（101001）BCDD、（233）1610、“春”字的机内码为B4BAH，由此可以推算出它在GB2312-80国家标准中所在的区号是（）A、19区B、20区C、3区D、35区11、信息序列16位，若构成能纠正一位错发现两位错的海明码，至少需（）位校验位A、4B、5C、6D、712、采用CRC校验码时，若生成多项式G(X) = X4+X+1，则对应的二进制编码为（）A、11000B、10010C、11111D、1001113、采用CRC校验码时，若生成多项式G(X) = X4+X+1，其校验位的位数是（）A、3B、4C、7D、1514、从用户观点看，评价计算机系统性能的综合参数是（）A、指令系统B、吞吐率C、主存容量D、主频率第二次2009年12．一个C语言程序在一台32位机器上运行。
程序中定义了三个变量x、y和z，其中x和z为int型，y为short型。
当x=127，y=-9时，执行赋值语句z=x+y后，x、y和z的值分别是（）。
A．x=0000007FH，y=FFF9H，z=00000076HB．x=0000007FH，y=FFF9H，z=FFFF0076HC．x=0000007FH，y=FFF7H，z=FFFF0076HD．x=0000007FH，y=FFF7H，z=00000076H2010年13．假定有4个整数用8位补码分别表示r1=FEH，r2=F2H，r3=90H，r4=F8H，若将运算结果存放在一个8位寄存器中，则下列运算中会发生溢出的是（）。
A．r1×r2 B．r2×r3C．r1×r4 D．r2×r42011年43．（11分）假定在一个8位字长的计算机中运行如下C程序段：unsigned int x=134;unsigned int y=246;int m=x;int n=y;unsigned int z1=x-y;unsigned int z2=x+y;int k1=m-n;int k2=m+n;若编译器编译时将8个8位寄存器R1～R8分别分配给变量x、y、m、n、z1、z2、k1和k2。
请回答下列问题。
（提示：带符号整数用补码表示。
）（1）执行上述程序段后，寄存器R1、R5和R6的内容分别是什么（用十六进制表示）？（2）执行上述程序段后，变量m和k1的值分别是多少（用十进制表示）？（3）上述程序段涉及带符号整数加/减、无符号整数加/减运算，这四种运算能否利用同一个加法器辅助电路实现？简述理由。
（4）计算机内部如何判断带符号整数加/减运算的结果是否发生溢出？上述程序段中，哪些带符号整数运算语句的执行结果会发生溢出？解答：（1）134=128+6=1000 0110B，所以x 的机器数为1000 0110B，故R1的内容为86H。
246=255-9=1111 0110B，所以y 的机器数为1111 0110B。
x-y：1000 0110+0000 1010=(0)1001 0000，括弧中为加法器的进位，故R5的内容为90H。
x+y：1000 0110+1111 0110=(1)0111 1100，括弧中为加法器的进位，故R6的内容为7CH。
（2）m的机器数与x的机器数相同，皆为86H=1000 0110B，解释为带符号整数m（用补码表示）时，其值为-111 1010B=-122。
m-n的机器数与x-y的机器数相同，皆为90H=1001 0000B，解释为带符号整数k1（用补码表示）时，其值为-111 0000B=-112。
（3）能。
n 位加法器实现的是模2n无符号整数加法运算。
对于无符号整数 a 和b，a+b 可以直接用加法器实现，而a-b可用a加b 的补数实现，即a-b=a+[-b]补（mod 2n），所以n 位无符号整数加/减运算都可在n位加法器中实现。
由于带符号整数用补码表示，补码加/减运算公式为：[a+b]补=[a]补+[b]补（mod 2n），[a-b] n），所以n位带符号整数加/减运算都可在n位加法器中实现。
补=[a]补+[-b]补（mod 2（4）带符号整数加/减运算的溢出判断规则为：若加法器的两个输入端（加法）的符号相同，且不同于输出端（和）的符号，则结果溢出，或加法器完成加法操作时，若次高位的进位和最高位的进位不同，则结果溢出。
最后一条语句执行时会发生溢出。
因为1000 0110+1111 0110=(1)0111 1100，括弧中为加法器的进位，根据上述溢出判断规则，可知结果溢出。
另一种答案2012年13．假定编译器规定int和short型长度分别为32位和16位，执行下列C语言语句：unsigned short x=65530;unsigned int y=x;得到y的机器数为（）。
A．0000 7FFAH B．0000 FFFAH C．FFFF 7FFAH D．FFFF FFFAH2013年14、某字长为8位的计算机中，已知整型变量x，y的机器数分别为[x]补= 1 1110100，[y]补=1 0110000。
若整型变量z=2*x + y/2，则z的机器数为（）A、1 1000000B、0 0100100C、1 0101010D、溢出练习1、[x]补= x0.x1x2…x n（n为整数），它的模是（）A、2n-1B、2nC、1D、22、[x]补= x0x1x2…x n（n为整数），它的模是（）A、2n+1B、2nC、2n+1D、2n-13、下列为8位移码机器数[x]移，当求[-x]移时，（）将会发生溢出A、11111111B、00000000C、10000000D、011111114、设[x]补= 1.x1x2x3x4，当满足（）时，x < -1/2成立A、x1必须为1，x2x3x4至少有一个为1B、x1必须为1，x2x3x4任意C、x1必须为0，x2x3x4至少有一个为1D、x1必须为0，x2x3x4任意5、设[x]补= 1.x1x2x3x4，当满足（）时，x > -1/2成立A、x1必须为1，x2x3x4至少有一个为1B、x1必须为1，x2x3x4任意C、x1必须为0，x2x3x4至少有一个为1D、x1必须为0，x2x3x4任意6、若[x]补= 1x1x2x3x4x5x6，其中x i（1≤i≤6）取0或1，若要x>-32，应当满足（）A、x1为0，其他各位任意B、x1为1，x2……x6中至少有一位为1C、x1为1，其他各位任意D、x1为0，x2……x6中至少有一位为17、下列说法中正确的是（）A、采用变形补码进行加减运算可以避免溢出B、只有定点数运算才有可能溢出，浮点数运算不会产生溢出C、定点数补码减法中两个正数相减不会产生溢出D、只有将两个正数相加时才有可能产生溢出8、x，y为定点整数，其格式为1位符号位，n位数值位，若采用补码一位乘法实现乘法运算，则最多需要（）次加法运算A、n-1B、nC、n+1D、n+29、在定点补码除法中，当（）时商上1A、余数为正B、余数的符号与除数的符号不同C、余数的符号与除数的符号相同D、余数的符号与被除数的符号相同10、假设有两个整数x和y，x = -68，y = -80，采用补码形式（含1位符号位）表示，x 和y分别存放在寄存器A和B中。
另外还有两个寄存器C和D。
A、B、C、D都是8位的寄存器。
请回答下列问题（要求最终用十六进制表示二进制序列）：（1）寄存器A和B中的内容分别是什么？（2）x和y相加后的结果存放在寄存器C中，寄存器C中的内容是什么？此时，溢出标志位OF是什么？符号标志位SF是什么？进位标志位CF是什么？（3）x和y相减后的结果存放在D寄存器中，寄存器D中的内容是什么？此时，溢出标志位OF是什么？符号标志位SF是什么？进位标志位CF是什么？解答：（1）A中为：BCH B中为：B0H（2）C中为：6CH，此时OF为1，SF为0，CF为1（3）D中为：0CH，此时OF为0，SF为0，CF为0（够减，没有借位）11、运算器在运算的过程当中，得到的标志位中没有（）A、进位标志位B、溢出标志位C、零标志位D、正数标志位12、二进制整数采用机器码表示时，（）的表示范围最大A、原码B、补码C、反码D、BCD码13、针对8位二进制数，下列说法中正确的是（）A、-127的补码为10000000B、-127的反码等于0的移码C、+1的移码等于-127的反码D、0的补码等于-1的反码第三次2009年13．浮点数加、减运算过程一般包括对阶、尾数运算、规格化、舍入和判溢出等步骤。