最新完全平方公式变形的应用练习题-2(1)

乘法公式的拓展及常见题型整理
一.公式拓展:
拓展一：a2 b2=(a b)2— 2ab a2 b2=(a -b)2 2ab
2 2 2 2 2 2 拓展二：(a b) —(a—b) =4ab a b a-b i；=2a 2b
拓展三：a2 b2 c2 =(a b c)2 _2ab _2ac _2bc
拓展四：杨辉三角形
拓展五：立方和与立方差
二.常见题型：
(一)公式倍比
2+b2
例题：已知a b=4,求a b ab。

2
(⑴如果a _b =3,a _c = 1，那么(a -b f +(b -c )2+ (c -a f 的值是__________________
1 2i 2
⑵ x y =1，贝U —x xv - V =
2 2
2 + 2
⑶已知口x(x _1) _(x2 _ v) = -2,贝卩-———-xy= _________
2
(二)公式组合
例题：已知(a+b) 2=7,(a-b) 2=3, 求值：(1)a 2+b2 (2)ab
⑴若(a—b)2=7, (a+b)2 =13, 则a2十b2 = _______________ , ab = _________
⑵设(5a+ 3b) 2= (5a—3b) 2+ A，贝U A= _________
⑶若(x - y)^ (x y)2 a，贝U a为_____________________
⑷如果(x-y)2• M =(x y)2，那么M等于_____________________
⑸已知(a+b) 2=m (a —b) 2=n,贝U ab 等于____________
2 2
⑹若(2a -3b
)=(2a 3b) N，则N的代数式是_______________
⑺已知(a • b)2=7,(a -b)2=3,求a2 b2 ab 的值为___________________ 。

⑻已知实数a,b,c,d 满足ac bd=3, ad-be = 5，求(a2 b2)(c2 d2) (三)整体代入
例1: x2 - y2 = 24 , x • y = 6，求代数式5x 3y 的值。

1 、
例1：已知
x
x
= 2,
求:
O
a
$；(
2)
a 4
1 1
F (3)a — a
2
例 2：已知 a — 7a +1 = 0.
a 2
\2
a — 的值;
a
⑴已知x 「3x 「1 = 0，求①
4=
x
⑵若x 2 —
19
x 4
v x +1=0
，求 ;
1
的值为
1 1 1 222
x + 20, b= x + 19, c= x + 21,求 a + b + c — ab — be — ac 的值 0
20
⑴若 x —3y =7, x 2 _9y 2 =49，贝y x +3y =
⑵若 a • b =2，则 a 2 -b 2 4b= ___________ 若 a • 5b = 6，则 a 2 5ab 30b = _________
a 亠b
⑶已知a 2+ b 2=6ab 且a > b > 0，求
的值为 _____________
a —b
⑷已知 a 二 2005x 2004， b = 2005x 2006， e 二 2005x 2008，则代数式
a 2
b 2 • e 2 -ab -be -ca 的值是 _____________________ .
(四) 步步为营
例题：3 (2 2 +1) (2 4+1) (2 8+1) ( 216 +1)
6
(7 1) (7 2+1) (7 4 +1) (7 8+1)+1
a —
b a b 2 a 2 b 4 a 4 b 8 a 8 b
20122 -20112 20102 -20092
22 -12 1 ±
_丄 〔_丄 … — 1 2
八一云八42丿「歸丿
(五) 分类配方
例题：已知 m 2 ■ n 2 -6m 10n ■ 34 = 0，求 m ，n 的值。

⑴已知：x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，贝U x+y+z 的值为 _____________ 。

1 1
⑵已知x2+y2-6x-2y+10=0，则
1
-的值为 ________________ 。

x y
⑶已知x 2+y 2-2x+2y+2=0,求代数式x 2003 - y 2004的值为 _________________________ .
⑷若x 2 y 2 4x _6y 130 ，x ，y 均为有理数，求 x y 的值为
⑸已知a+b+6a-4b+13=0,求(a+b)的值为 ______________
⑹说理：试说明不论x,y 取什么有理数，多项式x 2+y 2-2x+2y+3的值总是正数.
(六) 首尾互倒
例2：已知a= 20
(七) 知二求一
例题：已知a - b =5,ab =3 ,
2
2
2
2
2
⑷若 x+y=12,xy=4,则(x-y) = ___________ .a +b =7, a-b=5，则 ab= ___________
2 2
⑸若 a b =3, ab =-4，贝U a-b= ________
⑹已知:a+b=7,ab=-12,求①a 2+b 2= _________ ②a 2-ab+b 2= _____ ③(a-b) 2= ______
⑺已知 a + b=3, a 3 + b 3=9，则 ab= _____ , a 2+b 2= __ , a- b= _________
第五讲
乘法公式应用与拓展
【基础知识概述】
一、基本公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a
2
— b 2
完全平方公式：(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2
变形公式：(1) a 2 • b 2 二 a b ：［ -2ab
2 2 * 2
(2) a b = a -b 2ab
⑶如果a 1
2 1 -=2 ,那么 a - p = _____ 2
a
x
1
=5 、已知 x
x 那么
x
⑷已知
1
卩的值是
且 0<a<1,求 a — 1
1
的值是
a
1
⑹已知a 2— 3a + 1 = 0 .求a 和
a
1 2 1
⑺已知x 3，求①x 2 =
x
x a —
a 2 ^2的值为
a
2 1
⑻已知a — 7a + 1 = 0 •求a 亠一、
4
1
②x
4
=
x
1 2 a 的值;
a
求：①a 2 b 2
2
-b 2
④—- ⑤ a 2 _ ab b 2
b
⑥ a 3 b 3
⑴已知m
5=2
⑵若 a 2+2a=1 则(a+1) 2=___
2 2
⑶若a b =
7, a+b=5,则
,mn = -2，贝y
(1
-
m)(1
- n)=
ab=
2 2
若 a b =
7, ab =5 ,
则 a+b=
(a-b) =a 2-2ab+b 2
/ 、 2 2 2 2
(3) a b j 亠[a -b 2a 2b
2 2
(4) a • b i [a -b 4ab
二、思想方法：①a、b可以是数，可以是某个式子；
②要有整体观念，即把某一个式子看成a或b,再用公式。

③注意公式的逆用。

2
④a》0o
⑤用公式的变形形式。

三、典型问题分析：
1、顺用公式：
例1、计算下列各题：
① 3(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1)( 216+1)+1
2、逆用公式:
例 2.① 19492-1950 2+19512-1952 2+……+20112-20122
1 2
20102
③1.23452+0.76552+2.469 X 0.7655
【变式练习】
填空题：①a2+6a+ _____ =
② 4x2+1+ _= ( ___________________ )2
6. x+ax+121是一个完全平方式，则a为( )
A . 22
B . - 22
C .土22
D . 0
3、配方法：
例3.已知：x2+y2+4x-2y+5=0，求x+y 的值。

【变式练习】
1 1
①已知x2+y2-6x-2y+10=0，求一-—的值。

x y
②已知：x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，求：x+y+z 的值。

③当x二_____ 时，代数式x2取得最小值，这个最小值是_________
当x= ______ 时，代数式x24取得最小值，这个最小值是________
2
当x= _____ 时，代数式(X-3)+4取得最小值，这个最小值是_____________ 当x = ______ 时，代数式x2 -4x -3取得最小值，这个最小值是 ___________
对于-2X 2 -4x-3呢？
4、变形用公式：
2
例5.若(X —Z ) —4(x —y X y —z )= 0 ,试探求x+z 与y 的关系。

2 2
例6 •化简：a ，b ・c ・d]4[a ・b-c-d
例7.如果3(a 2 b 2 c 2^(a b c)2，请你猜想：a 、b 、c 之间的关系，并说明你的猜 想。

完全平方公式变形的应用练习题
2 2
1 已知 m +n -6m+10n+34=0，求 m+n 的值
2、已知x 2 • y 2 • 4x -6y • 13 = 0 , x 、y 都是有理数，求x y 的值
1 •已知(a -b) =5,ab =3求(a b)2与 3(a
2 b 2)的值
2 2
2 .已知 a • b =6,a-b =4求 ab 与 a • b 的值。

3、已知 a ^4,a 2 b^4求 a 2b 2与(a-b)2 的值
4、已知(a+b)2=60, (a-b)2=80,求 a 2+b 2及 ab 的值 5. 已知 a • b = 6, ab = 4，求 a 2b ■ 3a 2b 2 ab 2 的值。

6. 已知 x 2 • y 2 -2x - 4y • 5 = 0，求 3(x T)2 - xy 的值。

1
1
7 •已知X-—=6，求x 2
2
的值。

x
x
1 1 8、X
2 3x 1 = 0，求(1) x 2 -y (2)x 4 〒
x
x
9、 试说明不论x,y 取何值，代数式x 2 y 2 6^4y 15的值总是正数。

10、 已知三角形 ABC 的三边长分别为a,b,c 且 a,b,c 满足等式 3 a 2 b 2 C 2)= (a • b ,，请说明该三角形是什么三角形?
B 卷：提高题
、七彩题
3 .已知 (a b)2
=16,ab =4,求 a 2 b 2
与(a -b)2的值
1. (多题—思路题)计算：
(1) (2+1) (2+1) (24+1)…(22n +1) +1 (n 是正整数);
4016
(2) (3+1) (32+1 ) (34+1 )…(32008+1 ) ---------
2
2
2.
(一题多变题)利用平方差公式计算： 2009 >2007—
2008 .
、知识交叉题 2
x (x+2) + (2x+1 ) ( 2x — 1) =5 (x +3).
三、实际应用题
4.广场内有一块边长为 2a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短
3米，东西方
向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？
课标新型题
2
2
3
1. (规律探究题)已知 x Ml,计算(1+x ) (1 — x ) =1 — x , ( 1 — X ) (1+x+x ) =1 — x ,
(1 — x ) (?1+x+x 2+x 3) =1 — x 4. (1) 观察以上各式并猜想： ___________ (1 — x ) (1+x+x 2+…+x n ) =
. (n 为正整数)
(2) 根据你的猜想计算：
2 3
4
5
◎ ( 1— 2) (1+2+2 +2 +2 +2 ) = ______ . ②2+22+23+…+2n = ______ (n 为正整数).
99
98
97
2 八
3
2
2
3
@( a — b ) (a +a b+ab +b ) = _______ . 2.
(结论开放题)请写出一个平方差公式，使其中含有字母
m , n 和数字4.
3•从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为 b 的小正方形纸板后，？将剩下的纸板沿虚
线裁成四个相同的等腰梯形，如图 1 — 7—1所示，然后拼成一个平行四边形，如图
1 —
7
—2所示，分别计算这两个图形阴影部分的面积，结果验证了什么公式？请将结果与同伴
(1) 一变：利用平方差公式计算:
2007
20072 - 2008 2006
(2)二变：利用平方差公式计算:
20072 2008 2006 1
3.(科内交叉题)解方程:
@( x — 1) (x +x +x + …+x +x+1 ) = __________ . (3) 通过以上规律请你进行下面的探索： ®( a — b ) (a+b ) = ________ .
2
2
®( a — b ) (a +ab+b ) = _______ . 交流一下.
4、探究拓展与应用
2
4
(2+1)(2 +1)(2 +1)
=(2 — 1)(2+1)(2 2+1)(2 4+1)=(2 2- 1)(2 2+1)(2 4+1) =(24- 1)(2 4+1)=(2 8— 1). 根据上式的计算方法，请计算 364
(3+1)(3 2+1)(3 4+1)…(332+1)-—的值.
2
“整体思想”在整式运算中的运用
“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，有些问题局部 求解
各个击破，无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，思路 清淅，演算简单，复杂问题迎刃而解，现就“整体思想”在整式运算中的运用，略举几例解析 如下，供同学们参考：
1、 当代数式x 2 3x 5的值为7时,求代数式3x 2 • 9x - 2的值.
3 3 3 2
2 2
2、 已知 a x-20 ,b x -18 ,c x -16，求：代数式 a b c- ab - ac - be
8 8 8
的值。

2 2
3、 已知x y =4 , xy =1，求代数式(x 1)(y - 1)的值
5
3
4、 已知x = 2时，代数式ax bx • ex - 8 = 10，求当x = -2时，代数式
ax 5 - bx 3 • ex -8 的值
5、 若 M -123456789 123456786, N -123456788 123456787
试比较M 与N 的大小 6、
已知 a 2 a -^0，求 a 3 2a 2 2007 的值.
一、填空(每空 3分)
1. 已知a 和b 互为相反数，且满足a 3^ b 3 2 =18,则a 2 b 3二 __________________
2. 已知：5亦=a, 4^b ，则10歸= _____________
3. 如果x 2 -12x m 2恰好是另一个整式的平方，那么
m 的值 _____________
4. 已知a 2 - Nab 64b 2是一个完全平方式，则 N 等于 ___________________
5. 若a2b2+a2+b2+1=4ab，则a= ,b=
6. 已知10=4,10 =5,求10 的值
2 2 2
7. (a +9) —(a+3)(a —3)(a +9)= __________
1 1 1
8. 若a——=2,贝H a2 _ —= ___________ a 4+ —4 =________
a a a
9. 若Jx -2 + y +応+(3-m) 2=0，则(my) x= ________
8n 4 3n 21
10. 右5 25 125 =25 ，则n = _________
2n 3n、2 - 2 2n
11. 已知m =3, (3m ) — 4(m ) = __________
2
12. 已知(x+m(x+ n)=x +ax+12 ( m, n是整数)则a的取值有_________________ 种
13. 若三角形的三边长分别为a、b、c，满足a2b—a2c ■ b2c—b3 =0，则这个三角形
是________________
2 2
3 3 2 14. 观察下列各式(x —1) (x + 1) =x —1 , (x-1 ) (x + x + I ) =x —I . (x—l ) (x + x + x +1 ) =x4-1，根据前面各式的规律可得(x—1) (x n+ x n-1+…+ x+ 1)=
二、计算(每题6分)
(1) (2x y - z 5)(2x - y z 5) (2) (a - 2b 3c)(a 2b - 3c)
三、
四、解答题
1. (5 分)计算：(3 1)(32• 1)(34 1)(38 1)(316 1)
2. （5分）若4x2+5xy+m$和nx2-16xy+36y 2都是完全平方式，求（m-丄）2的值.
n
3. 阅读下列材料：（1+1+5分）
让我们来规定一种运算： a b =ad - be ,
c d
2 3
例如：=2汉5—3汉4 =10 —12 =—2，再如:
4 5
按照这种运算的规定：请解答下列各个问题:
-1
-2 0.5 只填最后结果）
；
②当x= 0.5 —x
③求
=0;( 只填最后结果）
0.5x -1 y x -y
8 3 0.5 -1
x,y的值，使=—7 （写出解题过程）。