向量及其应用doc
第5节 空间向量及其应用
第5节 空间向量及其应用知识梳理1.空间向量的有关概念(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底.3.空间向量的数量积(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .(2)两向量的数量积：非零向量a ，b 的数量积a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. 4.空间向量数量积的运算律 (1)结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； (2)交换律：a·b ＝b·a ；(3)分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 5.空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a 的有向线段所在直线与直线l 平行或重合，则称此向量a 为直线l 的方向向量.(2)平面的法向量：直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量.7.空间位置关系的向量表示1.在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O为平面内任意一点.2.在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x＋y ＋z ＝1)，O 为空间任意一点.3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a ·b ＝b ·a ，a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c 成立，但不满足结合律，即(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )不一定成立.4.在利用MN →＝xAB →＋yAC →证明MN ∥平面ABC 时，必须说明M 点或N 点不在平面ABC 内.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( )(2)若直线a 的方向向量和平面α的法向量平行，则a ∥α.( )(3)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则a ，b ，c 中至多有一个零向量.( ) (4)若a ·b <0，则〈a ，b 〉是钝角.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)直线的方向向量不是唯一的，有无数多个；(2)a ⊥α；(3)若a ，b ，c 中有一个是0，则a ，b ，c 共面，不能构成空间一个基底；(4)若〈a ，b 〉＝π，则a ·b <0，故不正确.2.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( ) A.－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C.－12a －12b ＋c D.12a －12b ＋c答案 A解析 由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB→)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c . 3.正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________. 答案2解析 |EF→|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°) ＝2.所以|EF→|＝2，所以EF 的长为 2.4.(多选题)(2021·长沙质检)下列各组向量中，是平行向量的是( ) A.a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，－4，4) B.c ＝(1，0，0)，d ＝(－3，0，0) C.e ＝(2，3，0)，f ＝(0，0，0) D.g ＝(－2，3，5)，h ＝(16，－24，40) 答案 ABC解析 对于A ，有b ＝－2a ，所以a 与b 是平行向量； 对于B ，有d ＝－3c ，所以c 与d 是平行向量； 对于C ，f 是零向量，与e 是平行向量；对于D ，不满足g ＝λh ，所以g 与h 不是平行向量.5.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( ) A.55 B.53 C.255D.35答案 A解析 不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2，可得O (0，0，0)，B (0，0，1)，C 1(0，2，0)，A (2，0，0)，B 1(0，2，1)，∴BC 1→＝(0，2，－1)，AB 1→＝(－2，2，1)， ∴cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝BC 1→·AB 1→|BC 1→||AB 1→|＝4－15×9＝15＝55＞0.∴BC 1→与AB 1→的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角，∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55.6.O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP→＝34OA →＋18OB →＋tOC →，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝________. 答案 18解析 因为OP→＝34OA →＋18OB →＋tOC →，且P ，A ，B ，C 四点共面，所以根据空间向量共面的条件可知34＋18＋t ＝1，解得t ＝18.考点一 空间向量的运算及共线、共面定理1.(多选题)(2020·威海调研)如图所示，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且AP ＝3PN ，ON→＝23OM →，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则下列等式成立的是( ) A.OM→＝12b －12c B.AN→＝13b ＋13c －a C.AP→＝14b －14c －34aD.OP→＝14a ＋14b ＋14c 答案 BD解析 对于A ，利用向量的平行四边形法则，OM→＝12OB →＋12OC →＝12b ＋12c ，A 错误；对于B ，利用向量的平行四边形法则和三角形法则，得AN→＝ON →－OA →＝23OM →－OA →＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12OB →＋12OC →－OA →＝13OB →＋13OC →－OA →＝13b ＋13c －a ，B 正确； 对于C ，因为点P 在线段AN 上，且AP ＝3PN ，所以AP→＝34AN →＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ＋13c －a ＝14b ＋14c －34a ，C 错误；对于D ，OP →＝OA →＋AP →＝a ＋14b ＋14c －34a ＝14a ＋14b ＋14c ，D 正确，故选BD. 2.(多选题)(2021·武汉质检)下列说法中正确的是( ) A.|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件 B.若AB→，CD →共线，则AB ∥CD C.A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若OP→＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面D.若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有P A →＝λPB →＋μPC →(PB →，PC →不共线)，则λ＋μ＝1是A ，B ，C 三点共线的充要条件 答案 CD解析 由|a |－|b |＝|a ＋b |，可得向量a ，b 的方向相反，此时向量a ，b 共线，反之，当向量a ，b 同向时，不能得到|a |－|b |＝|a ＋b |，所以A 不正确； 若AB→，CD →共线，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，所以B 不正确； 由A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若OP→＝34OA →＋18OB →＋18OC →，因为34＋18＋18＝1，可得P ，A ，B ，C 四点共面，故C 正确；若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有P A →＝λPB →＋μPC →(PB →，PC →不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得P A →－PC →＝λ(PB →＋CP →)，即CA →＝λCB →，所以A ，B ，C 三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A ，B ，C 三点共线的充要条件，所以D 正确. 3.在空间四边形ABCD 中，若AB→＝(－3，5，2)，CD →＝(－7，－1，－4)，点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，则EF →的坐标为( )A.(2，3，3)B.(－2，－3，－3)C.(5，－2，1)D.(－5，2，－1)答案 B解析 因为点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，设O 为坐标原点，所以EF →＝OF →－OE→，OF →＝12(OA →＋OD →)，2所以EF→＝12(OA →＋OD →)－12(OB →＋OC →)＝12(BA →＋CD →) ＝12[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)] ＝12(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3).4.已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝VD ，VP→＝13VC →，VM →＝23VB →，VN →＝23VD →.则VA 与平面PMN 的位置关系是________. 答案 平行解析 如图所示，设VA →＝a ，VB →＝b ，VC→＝c ， 则VD→＝a ＋c －b ， 由题意知PM→＝23b －13c ，PN→＝23VD →－13VC →＝23a －23b ＋13c . 因此VA→＝32PM →＋32PN →， ∴VA→，PM →，PN →共面.又∵VA ⊄平面PMN ，∴VA ∥平面PMN .感悟升华 1.(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求.(2)解题时应结合已知和所求观察图形，正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及四边形法则，就近表示所需向量. 2.(1)对空间任一点O ，OP→＝xOA →＋yOB →，若x ＋y ＝1，则点P ，A ，B 共线. (2)证明空间四点P ，M ，A ，B 共面的方法.②对空间任一点O ，OP→＝OM →＋xMA →＋yMB →.考点二 空间向量的数量积及应用【例1】如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点. (1)求证：EG ⊥AB ； (2)求EG 的长；(3)求异面直线AG 和CE 所成角的余弦值. (1)证明 设AB→＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，由题意知EG→＝12(AC →＋AD →－AB →)＝12(b ＋c －a )，所以EG→·AB →＝12(a ·b ＋a ·c －a 2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1×1×12＋1×1×12－1＝0. 故EG→⊥AB →，即EG ⊥AB . (2)解 由(1)知EG→＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG→|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a ·b ＋12b ·c －12c ·a ＝12，则|EG →|＝22，即EG 的长为22.(3)解 AG →＝12(AC →＋AD →)＝12b ＋12c ， CE→＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ， cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －b 2＝－1232×32＝－23，由于异面直线所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.感悟升华 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置.(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角的平面角. (3)可以通过|a |＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解. 【训练1】如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长； (2)求证：AC 1⊥BD ；(3)求BD 1与AC 夹角的余弦值. (1)解 记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6，∴|AC →1|＝6，即AC 1的长为 6.(2)证明 ∵AC 1→＝a ＋b ＋c ，BD →＝b －a ， ∴AC 1→·BD →＝(a ＋b ＋c )·(b －a ) ＝a ·b ＋|b |2＋b ·c －|a |2－a ·b －a ·c ＝b ·c －a ·c＝|b ||c |cos 60°－|a ||c |cos 60°＝0. ∴AC 1→⊥BD →，∴AC 1⊥BD . (3)解 BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66. 考点三 利用空间向量证明平行、垂直【例2】如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.证明： (1)BE ⊥DC ； (2)BE ∥平面P AD ； (3)平面PCD ⊥平面P AD .证明 依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2).由E 为棱PC 的中点，得E (1，1，1).(1)向量BE →＝(0，1，1)，DC →＝(2，0，0)，故BE →·DC →＝0.所以BE ⊥DC .(2)因为AB ⊥AD ，又P A ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥P A ，P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ， 所以AB ⊥平面P AD ，所以向量AB→＝(1，0，0)为平面P AD 的一个法向量，而BE→·AB →＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以BE ⊥AB ， 又BE ⊄平面P AD ， 所以BE ∥平面P AD .(3)由(2)知平面P AD 的法向量AB →＝(1，0，0)，向量PD →＝(0，2，－2)，DC →＝(2，0，0)，设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0，n ·DC →＝0，即⎩⎨⎧2y －2z ＝0，2x ＝0，不妨令y ＝1，可得n ＝(0，1，1)为平面PCD 的一个法向量. 且n ·AB→＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以n ⊥AB →. 所以平面P AD ⊥平面PCD .感悟升华 1.利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理，如在(2)中忽略BE ⊄平面P AD 而致误. 【训练2】如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°的角.求证：(1)CM ∥平面P AD ； (2)平面P AB ⊥平面P AD .证明 以C 为坐标原点，CB 为x 轴，CD 为y 轴，CP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz . ∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4，∴D (0，1，0)，B (23，0，0)，A (23，4，0)，P (0，0，2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，∴DP→＝(0，－1，2)，DA →＝(23，3，0)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32. (1)设n ＝(x ，y ，z )为平面P AD 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，令y ＝2，得n ＝(－3，2，1).∵n ·CM→＝－3×32＋2×0＋1×32＝0， ∴n ⊥CM→.又CM ⊄平面P AD ，∴CM ∥平面P AD .(2)法一 由(1)知，BA→＝(0，4，0)，PB →＝(23，0，－2)，设平面P AB 的一个法向量m ＝(x 0，y 0，z 0)， 即⎩⎪⎨⎪⎧BA →·m ＝0，PB →·m ＝0，即⎩⎨⎧4y 0＝0，23x 0－2z 0＝0，令x 0＝1，得m ＝(1，0，3)，又∵平面P AD 的一个法向量n ＝(－3，2，1)， ∴m ·n ＝1×(－3)＋0×2＋3×1＝0，∴m ⊥n ， ∴平面P AB ⊥平面P AD .法二 如图，取AP 的中点E ，连接BE ， 则E (3，2，1)，BE →＝(－3，2，1). ∵PB ＝AB ，∴BE ⊥P A .又∵BE→·DA →＝(－3，2，1)·(23，3，0)＝0， ∴BE→⊥DA →，∴BE ⊥DA . 又P A ∩DA ＝A ，P A ，DA ⊂平面P AD ， ∴BE ⊥平面P AD . 又∵BE ⊂平面P AB ， ∴平面P AB ⊥平面P AD .A 级 基础巩固一、选择题1.已知平面α内有一点M (1，－1，2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3，6)，则下列点P 中，在平面α内的是( ) A.P (2，3，3) B.P (－2，0，1) C.P (－4，4，0)D.P (3，－3，4)答案 A解析 逐一验证法，对于选项A ，MP →＝(1，4，1)，∴MP→·n ＝6－12＋6＝0，∴MP →⊥n ， ∴点P 在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内.2.已知a ＝(1，0，1)，b ＝(x ，1，2)，且a ·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为( ) A.5π6 B.2π3C.π3D.π6答案 D解析 因为a ·b ＝x ＋2＝3，所以x ＝1， 所以b ＝(1，1，2)， 所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝32×6＝32， 又因为〈a ，b 〉∈[0，π]，所以a 与b 的夹角为π6. 3.在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面；③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c . 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1C.2D.3答案 A解析 a 与b 共线，a ，b 所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②不正确；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0.4.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A.a 2B.12a 2C.14a 2D.34a 2答案 C解析 如图，设AB→＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°. AE→＝12(a ＋b )，AF →＝12c ， ∴AE →·AF →＝12(a ＋b )·12c＝14(a ·c ＋b ·c )＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2.5.(多选题)(2020·济南调研)已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，则下列四式中正确的有( ) A.AB→－CB →＝AC → B.AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→ C.AA′→＝CC ′→ D.AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→ 答案 ABC解析 如图，作出平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，可得AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，则A 正确；AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，则B 正确； C 显然正确；AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AB→＋BC →＝AC →，则D 不正确.综上，正确的有ABC.6.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A.斜交 B.平行C.垂直D.MN 在平面BB 1C 1C 内答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系，由于A 1M ＝AN ＝2a 3， 则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a 3，a 3，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，2a 3，a ，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，0，2a 3. 又C 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，所以C 1D 1→＝(0，a ，0)为平面BB 1C 1C 的一个法向量. 因为MN →·C 1D 1→＝0，所以MN →⊥C 1D 1→，又MN ⊄平面BB 1C 1C ， 所以MN ∥平面BB 1C 1C . 二、填空题7.已知平面α内的三点A (0，0，1)，B (0，1，0)，C (1，0，0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________. 答案 α∥β解析 设平面α的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 由m ·AB→＝0，得x ·0＋y －z ＝0⇒y ＝z ， 由m ·AC→＝0，得x －z ＝0⇒x ＝z ，取x ＝1，∴m ＝(1，1，1)，m ＝－n ，∴m ∥n ，∴α∥β.8.在空间直角坐标系O －xyz 中，已知点A (1，0，2)，B (0，2，1)，点C ，D 分别在x 轴，y 轴上，且AD ⊥BC ，那么|CD →|的最小值是________.答案255解析 设C (x ，0，0)，D (0，y ，0)， 因为A (1，0，2)，B (0，2，1)，所以AD→＝(－1，y ，－2)，BC →＝(x ，－2，－1). 因为AD ⊥BC ，所以AD →·BC →＝－x －2y ＋2＝0，即x ＋2y ＝2.因为CD→＝(－x ，y ，0)， 所以|CD →|＝x 2＋y 2＝（2－2y ）2＋y 2 ＝5y 2－8y ＋4＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －452＋45≥255. 9.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP→＝(－1，2，－1).对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的序号是________.答案 ①②③解析 ∵AB→·AP →＝0，AD →·AP →＝0，∴AB ⊥AP ，AD ⊥AP ，则①②正确； 又AB ∩AD ＝A ，∴AP ⊥平面ABCD ， ∴AP→是平面ABCD 的法向量，则③正确； ∵BD→＝AD →－AB →＝(2，3，4)，AP →＝(－1，2，－1)， ∴BD →与AP →不平行，故④错误. 三、解答题10.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点.(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB .(1)证明 如图，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0，0，0)，A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)， C (0，a ，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0， P (0，0，a )，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2.EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，a 2，DC →＝(0，a ，0).因为EF→·DC →＝0，所以EF →⊥DC →，即EF ⊥CD . (2)解 设G (x ，0，z )，则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2， 若使GF ⊥平面PCB ，则需FG→·CB →＝0，且FG →·CP →＝0，由FG→·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a ，0，0)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2＝0，得x ＝a 2； 由FG →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a )＝a 22＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 2＝0，得z ＝0.所以G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，即G 为AD 的中点.11.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，过点E 作EF ⊥PB 于点F .求证： (1)P A ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .证明 以D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz . 设DC ＝a .(1)连接AC 交BD 于点G ，连接EG .依题意得A (a ，0，0)，P (0，0，a )，C (0，a ，0)， E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2.因为底面ABCD 是正方形，所以G 为AC 的中点， 故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，所以P A →＝(a ，0，－a )，EG→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，－a 2， 则P A →＝2EG→，故P A ∥EG .而EG ⊂平面EDB ，P A ⊄平面EDB ， 所以P A ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a ，0)，所以PB →＝(a ，a ，－a ). 又DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2， 故PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0，所以PB →⊥DE →，所以PB ⊥DE .由题可知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， 所以PB ⊥平面EFD .B 级 能力提升12.如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE .则M 点的坐标为( )A.(1，1，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫24，24，1答案 C解析 设AC 与BD 相交于O 点，连接OE ，由AM ∥平面BDE ，且AM ⊂平面ACEF ，平面ACEF ∩平面BDE ＝OE ，∴AM ∥EO ， 又O 是正方形ABCD 对角线交点， ∴M 为线段EF 的中点.在空间坐标系中，E (0，0，1)，F (2，2，1). 由中点坐标公式，知点M 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.13.(多选题)(2021·重庆质检)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，则下列说法中正确的是( ) A.AC 1＝66 B.AC 1⊥DBC.向量B 1C →与AA 1→的夹角是60° D.BD 1与AC 所成角的余弦值为63答案 AB解析 因为以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，所以AA 1→·AB →＝AA 1→·AD →＝AD →·AB →＝6×6×cos 60°＝18， (AA 1→＋AB →＋AD →)2＝AA 1→2＋AB →2＋AD →2＋2AA 1→·AB →＋2AB →·AD →＋2AA 1→·AD →＝36＋36＋36＋3×2×18＝216，则|AC 1→|＝|AA 1→＋AB →＋AD →|＝66，所以A 正确； AC 1→·DB →＝(AA 1→＋AB →＋AD →)·(AB →－AD →)＝AA 1→·AB →－AA 1→·AD →＋AB →2－AB →·AD →＋AD →·AB →－AD→2＝0，所以B 正确； 显然△AA 1D 为等边三角形，则∠AA 1D ＝60°.因为B 1C →＝A 1D →，且向量A 1D →与AA 1→的夹角是120°，所以B 1C →与AA 1→的夹角也是120°，所以C 不正确；因为BD 1→＝AD →＋AA 1→－AB →，AC →＝AB →＋AD →，所以|BD 1→|＝（AD →＋AA 1→－AB →）2＝62，|AC→|＝（AB →＋AD →）2＝63，BD 1→·AC →＝(AD →＋AA 1→－AB →)·(AB →＋AD →)＝36，所以cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→|·|AC →|＝3662×63＝66，所以D不正确.14.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PD ⊥平面ABCD ，AD ＝1，AB ＝3，BC ＝4. (1)求证：BD ⊥PC .(2)设点E 在棱PC 上，PE →＝λPC →，若DE ∥平面P AB ，求λ的值. 解 如图，在平面ABCD 内过点D 作直线DF ∥AB ，交BC 于点F ，以D 为坐标原点，DA ，DF ，DP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A (1，0，0)，B (1，3，0)，D (0，0，0)，C (－3，3，0). 设PD ＝a ，则P (0，0，a )，(1)证明 BD→＝(－1，－3，0)，PC →＝(－3，3，－a )，因为BD →·PC →＝3－3＝0， 所以BD ⊥PC .(2)由题意知，AB →＝(0，3，0)，DP →＝(0，0，a )，P A →＝(1，0，－a )，PC →＝(－3，3，－a )，因为PE→＝λPC →，所以PE →＝(－3λ，3λ，－aλ)， DE→＝DP →＋PE →＝(0，0，a )＋(－3λ，3λ，－aλ) ＝(－3λ，3λ，a －aλ).设n ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0，P A →·n ＝0，即⎩⎨⎧3y ＝0，x －az ＝0.令z ＝1，得x ＝a ，所以n ＝(a ，0，1)， 因为DE ∥平面P AB ，所以DE→·n ＝0， 所以－3aλ＋a －aλ＝0，即a (1－4λ)＝0， 因为a ≠0，所以λ＝14.。
向量法的原理及应用
向量法的原理及应用一、向量法的原理1. 向量的概念•向量是具有大小和方向的量，可以用有向线段表示。
•向量可表示为字母加箭头或者以加粗方式表示。
•向量通常用大写字母表示。
2. 向量的运算•向量的加法：两个向量相加等于将它们的起点放在一起，并将终点相连所得到的向量。
•向量的减法：将减去的向量取其相反向量，再进行向量的加法运算。
•向量的数乘：向量与一个数相乘，即将向量的长度放大或缩小。
3. 向量的性质•向量的长度：向量的长度等于其终点到起点的距离。
•向量的方向：向量的方向是从其起点指向终点的方向。
•零向量：零向量是长度为零的向量，其方向可以是任意方向。
•平行向量：两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
•共线向量：如果一个向量是另一个向量的常数倍，则它们是共线向量。
4. 向量的表示方法•分量表示法：向量可以表示为其在坐标轴上的投影。
•线段表示法：向量可以表示为有向线段。
•单位向量：向量除以其长度，得到的向量称为单位向量，其长度为1。
二、向量法的应用1. 力的分解•向量法常用于将力分解为水平和垂直分量，便于计算和分析。
•通过将一个力分解为多个分力，可以更好地理解力的作用效果。
•在机械学、物理学等领域，力的分解是解决问题的重要方法之一。
2. 向量的合成•向量法可以将多个向量合成为一个合力。
•合成向量的大小和方向可以通过向量的加法得到。
•合成向量的结果可以用于分析几个向量共同作用的效果。
3. 速度与加速度的计算•利用向量法可以计算物体的速度和加速度。
•速度可以表示为位移向量除以时间，即v = Δr / Δt。
•加速度可以表示为速度的变化率，即a = Δv / Δt。
4. 向量的垂直和平行分解•向量法可以将向量分解为垂直和平行分量。
•垂直分量通常用于计算正交分量之间的关系，平行分量则用于计算同向或反向力的作用效果。
三、总结向量法是一种重要的工具，用于解决许多科学和工程问题。
通过向量的加法、减法和数乘运算，可以更好地理解向量的性质和运算规则。
向量的基础知识及应用
向量的基础知识及应用向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍向量的基础知识，包括向量的定义、性质、表示方法以及向量的应用。
## 一、向量的定义在数学中，向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
向量可以在空间中表示为有向线段，起点和终点分别表示向量的起点和终点。
向量常用字母加上箭头表示，如$\vec{a}$、$\vec{b}$。
向量的大小称为模，通常用两点间的距离表示。
向量的方向可以用与某一坐标轴的夹角表示。
向量的模和方向唯一确定一个向量。
## 二、向量的性质1. 向量相等：两个向量的模和方向完全相同，则这两个向量相等。
2. 零向量：模为0的向量称为零向量，记作$\vec{0}$，零向量的方向是任意的。
3. 平行向量：模相等且方向相同或相反的向量称为平行向量。
4. 共线向量：如果存在一个非零实数$k$，使得$\vec{a}=k\vec{b}$，则称向量$\vec{a}$与向量$\vec{b}$共线。
5. 相反向量：模相等方向相反的向量称为相反向量，记作$-\vec{a}$。
## 三、向量的表示方法1. 坐标表示法：在直角坐标系中，向量可以表示为一个有序数组$(a_1, a_2, a_3)$，其中$a_1$、$a_2$、$a_3$分别是向量在$x$轴、$y$轴、$z$轴上的投影。
2. 分解表示法：将一个向量分解为与坐标轴平行的分量，如$\vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k}$，其中$\vec{i}$、$\vec{j}$、$\vec{k}$分别是$x$轴、$y$轴、$z$轴的单位向量。
3. 几何表示法：在空间中用有向线段表示向量，起点为原点，终点为向量的终点。
## 四、向量的运算1. 向量的加法：向量$\vec{a}$与向量$\vec{b}$的和记作$\vec{a}+\vec{b}$，满足三角形法则。
2. 向量的数乘：实数$k$与向量$\vec{a}$的乘积$k\vec{a}$，其模为$k$倍的$\vec{a}$的模，方向与$\vec{a}$相同（$k>0$）或相反（$k<0$）。
向量运算推导与应用
向量运算推导与应用向量是数学中常见的一种数学工具，通过向量运算可以进行多种数学计算，并应用于不同领域。
本文将系统地推导向量运算的基本原理和应用，并以实例加深理解。
一、向量的定义和基本概念向量是带有大小和方向的量，通常用箭头表示，比如：→AB。
向量具有以下基本概念：1. 向量的模：向量的大小，即向量的长度；2. 向量的方向：向量所指示的方向；3. 零向量：长度为零的向量，方向任意。
二、向量的表示方式向量可以使用不同的表示方式，常见的有：1. 位置向量表示：以某一点作为起点，指向另一点作为终点；2. 线段表示：用起点和终点的线段表示向量。
三、向量的基本运算1. 向量的加法运算：将两个向量的对应分量相加，得到新的向量；2. 向量的减法运算：将一个向量的对应分量减去另一个向量的对应分量，得到新的向量；3. 向量与数的乘法运算：将向量的每个分量与一个数相乘，得到新的向量。
四、向量运算的性质和定理1. 交换律：向量的加法和乘法满足交换律；2. 结合律：向量的加法满足结合律；3. 分配律：数与向量的乘法满足分配律；4. 内积和外积：向量拥有内积和外积两种运算。
五、向量运算的应用向量运算在数学和物理中有广泛的应用，下面举几个例子：1. 矢量力学：力可以表示为向量，通过向量运算可以分解力的合成、求解力的平衡等问题；2. 空间几何：通过向量运算可以求解平面和直线的交点、直线的方向向量、平行线等问题；3. 电磁学：电场和磁场可以表示为向量，通过向量运算可以求解电场和磁场的强度、方向等问题；4. 机器学习：向量运算在机器学习中有广泛的应用，如向量的加法、减法可以表示特征之间的关系，向量的点积可以表示特征之间的相似度等。
六、实例分析假设有两个向量A = (2, 3) 和 B = (4, 5)，求解以下问题：1. A + B 的结果是多少？将 A 和 B 的对应分量相加，得到结果向量(6, 8)；2. A - B 的结果是多少？将 A 和 B 的对应分量相减，得到结果向量(-2, -2)；3. 2A + B 的结果是多少？将 A 的每个分量乘以2，再与 B 的对应分量相加，得到结果向量(8, 11)；4. 计算向量 A 和向量 B 的点积，将 A 的对应分量与 B 的对应分量相乘，再相加，得到结果20。
高中数学公式大全向量的运算与应用
高中数学公式大全向量的运算与应用高中数学公式大全：向量的运算与应用一、定义与基本概念在数学中，向量是具有大小和方向的物理量。
向量通常用有向线段来表示，有长度和方向。
二、向量的表示方法1. 坐标表示法：向量可以用坐标表示，通常用尖括号表示。
例如：向量a = <a1, a2, a3>2. 基本单位向量表示法：使用基本单位向量i、j、k以及系数表示。
例如：向量a = a1i + a2j + a3k三、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。
a +b = b + a(a + b) + c = a + (b + c)2. 向量的减法：向量的减法可以转化为加法。
a -b = a + (-b)3. 向量的数量积（点积）：向量a和b的数量积表示为a·b = |a| |b| cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。
a·b = a1b1 + a2b2 + a3b34. 向量的向量积（叉积）：向量a和b的向量积表示为a×b，满足交换律和分配律。
a×b = |a| |b| sinθ n，其中θ为a和b之间的夹角，n为一个垂直于a 和b的单位向量。
四、向量的应用1. 向量的单位化：将向量转化为单位向量，即长度为1。
单位化的向量往往用于表示方向。
单位向量u = a / |a|，其中a为非零向量。
2. 向量的投影：向量a在向量b上的投影表示为a在b方向上的投影长度，可以计算为：a在b方向上的投影= |a|cosθ，其中θ为a与b之间的夹角。
3. 向量的共线与垂直判定：a与b共线的条件是a×b = 0。
a与b垂直的条件是a·b = 0。
4. 平面向量的共线与垂直判定：a与b共线的条件是a×b = 0。
a与b垂直的条件是a·b = 0。
5. 平面向量的夹角计算：两个向量a和b之间的夹角θ可以计算为：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)6. 向量的线性相关与线性无关：如果存在一组不全为零的系数k1、k2、...、kn，使得k1a1 + k2a2 + ... + knan = 0，则向量组a1、a2、...、an线性相关；如果这样的系数不存在，向量组a1、a2、...、an线性无关。
向量的认识及应用
向量的认识及应用向量是数学中的一个重要概念，广泛应用于许多领域，包括物理学、计算机科学、工程学等。
在数学中，向量是指有大小和方向的量，它可以表示空间中的一个点或一条线段。
下面我将从向量的定义、性质以及应用方面进行介绍。
首先，向量的定义：向量是由一组有序数构成的有向线段，例如(x1, x2, ..., xn)。
其中，x1、x2、...、xn称为向量的分量或坐标。
向量通常用小写拉丁字母或带上箭头的小写字母表示，如a或→a。
其次，向量的性质：向量具有以下几个基本性质：1. 长度（模）：一个向量的长度（模）是指其大小，在标记为a 的绝对值符号中表示。
计算长度的方法是将所有分量的平方和开方。
例如，对于向量a(x1, x2, ..., xn)，其长度为√(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)。
2. 方向：向量具有方向，指向的直线将向量按相等的比例延长或缩短。
3. 加法：向量之间可以进行加法运算。
两个向量a(x1, x2, ..., xn)和b(y1, y2, ..., yn)的和为c(x1+y1, x2+y2, ..., xn+yn)。
4. 数乘：向量可以与一个实数进行数乘运算。
将向量a(x1, x2, ..., xn)与实数k 相乘，结果为b(kx1, kx2, ..., kxn)。
5. 点积：向量a(x1, x2, ..., xn)和b(y1, y2, ..., yn)的点积为c(x1*y1 + x2*y2 + ... + xn*yn)。
点积具有交换律和分配律等性质。
然后，向量的应用：向量在各个领域有着广泛的应用，以下列举几个重要的应用：1. 物理学应用：向量在物理学中扮演着重要角色，例如，位移、速度、加速度等物理量都可以用向量进行表示和计算。
通过对向量的加法、减法和分解，可以方便地解决物理学中的问题。
2. 计算机科学应用：向量在计算机科学中有着广泛的应用，例如，图形处理中的坐标变换、计算机图形学中的几何操作等。
海南省海南中学平面向量及其应用单元测试题+答案doc
一、多选题1．若a →，b →，c →是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ） A ．若a b →→=，则a b →→= B ．若a c b c →→→→⋅=⋅，则a b →→= C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→D ．若a b a b →→→→+=-，则a b →→⊥2．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是（ ）A ．()0a b c -⋅=B ．()0a b c a +-⋅= C ．()0a c b a --⋅=D ．2a b c ++=3．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 2sin c A =，且02C <<π，4b =，则以下说法正确的是（ ）A ．3C π=B ．若72c =，则1cos 7B =C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC 是等边三角形D ．若ABC 的面积是44．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +>B ．若a b >，则cos2cos2A B <C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 5．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，则a 与b 垂直D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2π6．在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6A a c π===则角C 的大小是( ) A ．6π B ．3π C ．56π D ．23π7．在ABC 中，AB =1AC =，6B π=，则角A 的可能取值为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．2π 8．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ） A ．a 与b 的夹角为钝角B ．向量a 在bC ．2m +n =4D ．mn 的最大值为29．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，不解三角形，确定下列判断错误的是（ ）A ．B ＝60°，c ＝4，b ＝5，有两解 B ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3.9，有一解C ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3，有一解D ．B ＝60°，c ＝4，b ＝2，无解10．下列各式中，结果为零向量的是（ ） A ．AB MB BO OM +++ B ．AB BC CA ++ C ．OA OC BO CO +++D ．AB AC BD CD -+-11．下列命题中，结论正确的有（ ） A ．00a ⨯=B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-C ．若//AB CD ，则A ､B ､C ､D 四点共线；D ．在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，0AC BD ⋅=，则四边形ABCD 为菱形. 12．设a 为非零向量，下列有关向量||aa 的描述正确的是（ ） A ．||1||a a =B ．//||a a aC ．||a a a =D ．||||a a a a ⋅=13．有下列说法，其中错误的说法为（ ）．A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cB ．若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是三角形ABC 的垂心 C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ使得a b λ=14．设,a b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ使得a b λ= B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-C ．若||||||a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影为||bD ．若存在实数λ使得a b λ=，则||||||a b a b +=-15．点P 是ABC ∆所在平面内一点,满足20PB PC PB PC PA --+-=,则ABC ∆的形状不可能是( ) A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形二、平面向量及其应用选择题16．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且12MP MN =，则P 点的坐标为( ) A ．(－8,1) B ．31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(8，－1)17．已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=，则::PAB PAC PBC S S S =△△△（ ）A ．1∶2∶3B ．1∶2∶1C ．2∶1∶1D ．1∶1∶218．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若lg lg lg sin a c B -==-，且0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ABC 的形状是（ ）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形19．若O 为ABC 所在平面内任意一点，且满足()20BC OB OC OA ⋅+-=，则ABC 一定为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形20．三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，那么点P 是三角形ABC 的（ ） A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心21．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则 （ ）A ．33AB AC HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO +=- C ．24AB AC HM MO +=+D ．24AB AC HM MO +=-22．在ABC ∆中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为（ ）． A ．4B ．3C ．-4D ．523．在ABC ∆中，6013ABC A b S ∆∠=︒==，，，则2sin 2sin sin a b cA B C-+-+的值等于（ ） A ．239B ．2633C ．833D ．2324．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记ii S Sλ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ） A ．－1B ．1C ．32-D ．3225．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A 33B 53C 73D 83．题目文件丢失！27．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得45BDC ∠=︒，则塔AB 的高是（单位：m ）（ ）A ．102B ．106C ．103D ．1028．设(),1A a ，()2,1B -，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a =（ ）A ．12-B ．12C ．-2D ．229．在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若AB AF 3→→=，则AE BF→→的值为（ ） A ．0B ．833C ．-4D ．430．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ⋅等于（ ）A ．316- B ．316 C ．12D ．12-31．在ABC ∆中，60A ∠=︒，1b =，3ABC S ∆=，则2sin 2sin sin a b cA B C++=++（ ）A ．239B ．263C ．83D ．2332．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进50 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ）A B ．2C D 1 33．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,.a b c ，若cos 2aB c=，则ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形34．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（ ）A ．1233AB AC -+ B ．2133AB AC -C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -+35．ABC 中，5AB AC ==，6BC =，则此三角形的外接圆半径是（ ）A ．4B ．72C ．258D ．259【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．ACD 【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确； 对于，当且时，，但，可以不相等，故错误； 对应，若，，则方向相同 解析：ACD 【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】对应A ，若a b =，则向量,a b 长度相等，方向相同，故||||a b =，故A 正确； 对于B ，当a c ⊥且b c ⊥时，··0a c b c ==，但a ，b 可以不相等，故B 错误； 对应C ，若//a b ，//b c ，则,a b 方向相同或相反，,b c 方向相同或相反， 故,a c 的方向相同或相反，故//a c ，故C 正确；对应D ，若||||a b a b +=-，则22222?2?a a b b a a b b ++=-+，∴0a b =，∴a b ⊥，故D 正确．故选：ACD【点睛】本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．2．ABC 【分析】作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解解析：ABC 【分析】作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】 如下图所示：对于A 选项，四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，a b AB BC AB AD DB -=-=-=，()0a b c DB AC ∴-⋅=⋅=，A 选项正确；对于B 选项，0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=，则()00a b c a a +-⋅=⋅=，B 选项正确；对于C 选项，a c AB AC CB -=-=，则0a c b CB BC --=-=，则()0a c b a --⋅=，C 选项正确；对于D 选项，2a b c c ++=，222a b c c ∴++==，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.3．AC 【分析】对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出； 对于，利用正弦定理可求得，进而可得；对于，利用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得； 对于，根据三角形面积公式求得，利解析：AC 【分析】对于A2sin sin A C A =，即可求出C ； 对于B ，利用正弦定理可求得sin B ，进而可得cos B ；对于C ，利用正弦定理条件可转化为2cos a c B =，结合原题干条件可得B ，进而求得A B C ==；对于D ，根据三角形面积公式求得a ，利用余弦定理求得c ，进而由正弦定理求得R ． 【详解】2sin c A =2sin sin A C A =， 因为sin 0A ≠，故sin 2C =， 因为(0,)2C π∈，则3C π=，故A 正确；若72c =，则由正弦定理可知sin sin c b C B =，则4sin sin 72b B Cc == 因为(0,)B π∈，则1cos 7B =±，故B 错误； 若sin 2cos sin A BC =，根据正弦定理可得2cos a c B =，2sin c A =，即sin a A =sin 2cos A c B =，所以sin A B =，因为23A B C ππ+=-=，则23A B π=-，故2sin()3B B π-=，1sin 2B B B +=，即1sin 2B B =，解得tan B =3B π=，则3A π=，即3A B C π===，所以ABC 是等边三角形，故C 正确； 若ABC的面积是1sin 2ab C =2a =，由余弦定理可得22212cos 416224122c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，即c =设三角形的外接圆半径是R ，由正弦定理可得24sin c R C ===，则该三角形外接圆半径为2，故D 错误， 故选：AC ． 【点睛】本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式，转化思想，计算能力，属于中档题．4．ABD 【分析】对于A ，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【解析：ABD 【分析】对于A ，利用A B π+<及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由a b >，可得sin sin A B >，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用in 12s S ab C =和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【详解】对于A ，∵A B π+<，∴0A B ππ<<-<，根据余弦函数单调性，可得()cos cos cos A B B π>-=-，∴cos cos 0A B +>，故A 正确；对于B ，若sin sin a b A B >⇔>，则22sin sin A B >，则2212sin 12sin A B -<-，即cos2cos2A B <，故B 正确；对于C ，211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅⋅=，故C 错误；对于D ，在ABC 为非直角三角形，()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--⋅，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．5．CD 【分析】对于A 由条件推出或，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断与垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量与的夹角是，所以该命题是真命题. 【详解解析：CD 【分析】对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出()()()222a b a b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 【详解】对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题； 对于B ，()()22222cos cos a ba b a b αα⋅==，而()()2222a ba b ⋅=，由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2cos 1α≠，所以()()()222a b a b ⋅≠⋅，所以该命题是假命题；对于C ，若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.6．BD 【分析】由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案. 【详解】 由正弦定理可得, ,而, , , 故或. 故选:BD. 【点睛】本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握解析：BD【分析】由正弦定理可得sin sin a c A C =,所以sin sin c C A a ==,而a c <,可得A C <,即可求得答案.【详解】 由正弦定理可得sin sin a c A C=,∴ sin sin c C A a ==而a c <, ∴ A C <,∴ 566C ππ<<, 故3C π=或23π. 故选:BD.【点睛】 本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.7．AD【分析】由余弦定理得，解得或，分别讨论即可.【详解】由余弦定理，得，即，解得或.当时，此时为等腰三角形，，所以；当时，，此时为直角三角形，所以.故选：AD【点睛】本题考查余弦解析：AD【分析】由余弦定理得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅，解得1BC =或2BC =，分别讨论即可.【详解】由余弦定理，得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅，即21322BC BC =+-，解得1BC =或2BC =. 当1BC =时，此时ABC 为等腰三角形，BC AC =，所以6A B π==；当2BC =时，222AB AC BC +=，此时ABC 为直角三角形，所以A =2π. 故选：AD【点睛】 本题考查余弦定理解三角形，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题.8．CD【分析】对于A ，利用平面向量的数量积运算判断；对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用()∥判断；对于D ，利用C 的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断.【详解】对于A ，向量(解析：CD【分析】对于A ，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用(a b -)∥c 判断；对于D ，利用C 的结论，2m +n =4，结合基本不等式判断.【详解】对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ⋅=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为22a b b ⋅=，错误；对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12= (2m •n )12≤ (22m n +)2=2，即mn 的最大值为2，正确； 故选：CD.【点睛】 本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.9．ABC【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解.【详解】对于，因为为锐角且，所以三角解析：ABC【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若B 为锐角，当c b <时，三角形有唯一解；当sin c B b c <<时，三角形有两解；当sin c B b >时，三角形无解：当sin c B b =时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解.【详解】对于A ，因为B 为锐角且45c b =<=，所以三角形ABC 有唯一解，故A 错误；对于B ，因为B 为锐角且sin 4 3.92c B b c =⨯==<，所以三角形ABC 有两解，故B 错误；对于C ，因为B 为锐角且 sin 43c B b ==>=，所以三角形ABC 无解，故C 错误；对于D ，因为B 为锐角且sin 42c B b ==>=，所以三角形ABC 无解，故D 正确.故选：ABC.【点睛】本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题. 10．BD【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.【详解】对于选项：，选项不正确；对于选项： ，选项正确；对于选项：，选项不正确；对于选项：选项正确.故选：解析：BD【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.【详解】对于选项A ：AB MB BO OM AB +++=，选项A 不正确；对于选项B ： 0AB BC CA AC CA ++=+=，选项B 正确；对于选项C ：OA OC BO CO BA +++=，选项C 不正确；对于选项D ：()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确.故选：BD【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题. 11．BD【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；【详解】解：对于A ，，故A 错误；对于B ，若，则，所以，，故，即B 正确；对于C ，，则或与共线，故C 错误；对于D ，在四边形中，若解析：BD【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；【详解】解：对于A ，00a ⨯=，故A 错误；对于B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，所以2222||2a b a b a b a b +=++⋅=+，2222||2a b a b a b a b -=+-⋅=+，故||||a b a b +=-，即B 正确；对于C ，//AB CD ，则//AB CD 或AB 与CD 共线，故C 错误；对于D ，在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，即AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形，又0AC BD ⋅=，所以AC BD ⊥，所以四边形ABCD 是菱形，故D 正确； 故选：BD【点睛】本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用，属于基础题.12．ABD【分析】首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项.【详解】表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB 正确，当不是单位向量时，不正确，，所以D 正确.故选：ABD解析：ABD【分析】 首先理解a a表示与向量a 同方向的单位向量，然后分别判断选项. 【详解】 a a 表示与向量a 同方向的单位向量，所以1a a =正确，//a a a 正确，所以AB 正确，当a 不是单位向量时，a a a =不正确， cos 0a a a a a a a a a a⋅==⨯=，所以D 正确. 故选：ABD【点睛】本题重点考查向量a a 的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解a a 表示与向量a 同方向的单位向量.13．AD【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可.【详解】 对于选项A ，当时，与不一定共线，故A 错误；对于选项B ，由，得，所以，，同理，，故是三角形的垂心，所以B 正确；对于选项C ，两个非零向量 解析：AD【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可.【详解】对于选项A ，当0b =时，a 与c 不一定共线，故A 错误；对于选项B ，由PA PB PB PC ⋅=⋅，得0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥，PB CA ⊥， 同理PA CB ⊥，PC BA ⊥，故P 是三角形ABC 的垂心，所以B 正确；对于选项C ，两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向，故C 正确；对于选项D ，当0b =，0a ≠时，显然有a ∥b ，但此时λ不存在，故D 错误. 故选：AD【点睛】本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.14．AB【分析】若，则反向，从而；若，则，从而可得；若，则同向，在方向上的投影为若存在实数使得，则共线，但是不一定成立.【详解】对于选项A ，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得；对于选解析：AB【分析】若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，从而a b λ=；若a b ⊥，则0a b ⋅=，从而可得||||a b a b +=-；若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立.【详解】对于选项A ，若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，由共线定理可得存在实数λ使得a b λ=；对于选项B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，222222||2,||2a b a a b b a b a a b b +=+⋅+-=-⋅+,可得||||a b a b +=-；对于选项C ，若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a ; 对于选项D ，若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 故选：AB.【点睛】本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.15．AD【解析】【分析】由条件可得，再两边平方即可得答案.【详解】∵P 是所在平面内一点，且，∴，即，∴，两边平方并化简得，∴，∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故解析：AD【解析】【分析】由条件可得||||AB AC AC AB -=+，再两边平方即可得答案.【详解】∵P 是ABC ∆所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，∴|||()()|0CB PB PA PC PA --+-=，即||||CB AC AB =+，∴||||AB AC AC AB -=+，两边平方并化简得0AC AB ⋅=，∴AC AB ⊥，∴90A ︒∠=，则ABC ∆一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故不可能是钝角三角形，等边三角形，故选：AD.【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力，是基础题.二、平面向量及其应用选择题16．B【分析】由向量相等的坐标表示，列方程组求解即可.【详解】解：设P(x ，y )，则MP ＝ (x －3，y ＋2)，而12MN ＝12(－8,1)＝14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以34122x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选B.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算，属基础题.17．B【分析】延长PB 至D ，可得出点P 是ADC 的重心，再根据重心的性质可得出结论。
向量的各种运算及其应用
向量的各种运算及其应用随着科技的发展，向量成为了许多学科中不可或缺的重要概念，如物理、计算机科学、数学等。
向量是具有大小和方向的量，可以用于描述空间中的物理量或者图形的位置等信息。
然而，向量不仅仅是一个抽象的概念，还可以进行各种运算并应用于实际问题中。
本文将介绍向量的各种运算及其应用。
一、向量的基本运算向量的基本运算包括加法、减法、乘法。
其中，向量的加法和减法可以用直角坐标系表示，向量乘法分为数量积和叉积。
1. 向量加法和减法向量加法指的是将两个向量相加得到一个新的向量，向量加法可以表示为： A + B = C，其中 A、B、C 为向量。
向量加法可以用平行四边形法则表示，即将两个向量首尾相接，作出第三个向量，第三个向量的起点即为第一个向量的起点，终点即为第二个向量的终点。
向量减法指的是将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量，向量减法可以表示为： A - B = C，其中 A、B、C 为向量。
向量减法可以用三角形法则表示，即将第二个向量取反，再将两个向量相加即可得到第三个向量。
2. 向量乘法向量乘法分为数量积和叉积。
数量积是指两个向量点乘而得到的一个标量，数量积可以表示为：A • B = |A| |B| cos∠(A,B)，其中 A、B 为向量，|A| 和 |B| 分别为对应向量长度，∠(A,B) 为 A、B 之间的夹角。
数量积可以用以下公式快速计算：A • B = Ax*Bx + Ay*By + Az*Bz。
叉积是指两个向量叉乘而得到的一个新的向量，叉积可以表示为：A × B = |A| |B| sin∠(A,B) n，其中 n 为符合右手定则的向量，∠(A,B) 为 A、B 之间的夹角。
叉积可以用以下公式快速计算：A× B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx)。
二、向量的应用向量在物理、计算机科学和数学等学科中都有着广泛的应用。
向量的运算律及其应用
向量的运算律及其应用向量是数学中常用的一种表示方式，它具有大小和方向的特性。
在实际问题中，向量的运算律是解决向量相关问题的重要工具。
本文将介绍向量的基本运算律，并探讨它们在实际应用中的具体运用。
一、向量的基本运算律1. 向量的加法向量的加法是指两个向量相加后得到一个新向量的操作。
对于两个向量A和A来说，它们的加法运算可以表示为A = A + A。
向量的加法满足以下运算律：- 交换律：A + A = A + A- 结合律：(A + A) + A = A + (A + A)2. 向量的减法向量的减法是指两个向量相减后得到一个新向量的操作。
对于两个向量A和A来说，它们的减法运算可以表示为A = A - A。
向量的减法满足以下运算律：- A - A = A + (-A)3. 向量的数乘向量的数乘是指一个向量乘以一个实数得到一个新向量的操作。
对于一个向量A和一个实数A来说，它们的数乘运算可以表示为A= AA。
向量的数乘满足以下运算律：- 结合律：A(AA) = (AA)A- 分配律：(A + A)A = AA + AA二、向量运算律的应用1. 向量的线性组合向量的线性组合是指将若干个向量按一定比例相加得到一个新向量的操作。
例如，给定向量A、A和A，它们的线性组合可以表示为AA + AA + AA，其中A、A和A为实数系数。
2. 向量的数量积向量的数量积（内积）是指两个向量相乘后得到一个实数的操作。
对于两个向量A和A来说，它们的数量积可以表示为A·A = |A||A|cosθ，其中|A|和|A|分别表示向量的模，θ为两个向量之间的夹角。
3. 向量的向量积向量的向量积（叉积）是指两个向量相乘后得到一个新向量的操作。
对于两个向量A和A来说，它们的向量积可以表示为A×A= |A||A|sinθA，其中|A|和|A|分别表示向量的模，θ为两个向量之间的夹角，A为垂直于向量A和A所在平面的单位向量。
向量的基础知识及应用
向量的基础知识及应用向量是数学中的重要概念，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
本文将介绍向量的基础知识，包括向量的定义、向量的表示方法、向量的运算法则，以及向量在几何和物理中的应用。
一、向量的定义向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。
向量通常用字母加上一个箭头来表示，如a→。
向量的大小称为向量的模，用|a→|表示。
向量的方向可以用角度或者与坐标轴的夹角来表示。
二、向量的表示方法向量可以用坐标表示，也可以用分量表示。
在二维空间中，向量a→可以表示为(a1, a2)，其中a1和a2分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
在三维空间中，向量a→可以表示为(a1, a2, a3)，其中a1、a2和a3分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
三、向量的运算法则1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。
即对于向量a→、b→和c→，有(a→+b→)+c→=a→+(b→+c→)和a→+b→=b→+a→。
2. 向量的数乘：向量的数乘满足结合律和分配律。
即对于向量a→和实数k，有k(a→+b→)=ka→+kb→和(k+m)a→=ka→+ma→。
3. 向量的减法：向量的减法可以通过向量的加法和数乘来表示。
即a→-b→=a→+(-b→)。
4. 向量的数量积：向量的数量积也称为点积，表示为a→·b→。
数量积的结果是一个实数，计算公式为a→·b→=|a→||b→|cosθ，其中θ为a→和b→之间的夹角。
5. 向量的向量积：向量的向量积也称为叉积，表示为a→×b→。
向量积的结果是一个向量，计算公式为|a→×b→|=|a→||b→|sinθn→，其中θ为a→和b→之间的夹角，n→为垂直于a→和b→所在平面的单位向量。
四、向量在几何中的应用1. 向量的平移：向量可以表示平移的方向和距离。
如果有一个向量a→表示平移的方向和距离，那么点P经过平移后的位置为P'，P'的坐标可以表示为P' = P + a→。
向量的运算律及其应用
向量的运算律及其应用一、向量的运算律向量是具有大小和方向的量，可以进行一系列运算。
在向量的运算中，有几个重要的运算律需要我们掌握和应用。
下面将逐一介绍这些运算律。
1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
设有向量A、B和C，它们的加法运算可表示为A+B=C。
具体来说，向量的加法满足以下两个运算律：（1）交换律：A+B=B+A（2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C)2. 向量的减法向量的减法是向量加法的逆运算，即A-B=A+(-B)。
其中，-B表示向量B的反向量，大小相等，方向相反。
向量的减法可以用向量的加法和负向量来表示，满足以下运算律：A+(-B)=A-B3. 数乘向量的数乘即将一个向量与一个标量相乘，其结果为新的向量。
设有向量A和标量k，向量A的数乘运算可表示为kA。
数乘满足以下运算律：（1）结合律：k(lA)=(kl)A（2）分配律：k(A+B)=kA+kB（3）分配律：(k+l)A=kA+lA4. 数乘的性质数乘还具有一些重要的性质：（1）0乘任意向量等于零向量：0A=0（2）负数乘向量等于反向量的数乘：(-k)A=-(kA)二、向量运算的应用向量的运算律可以应用于多个领域，下面列举几个常见的应用。
1. 几何应用向量的加法和数乘可以用于求向量的几何性质。
例如，两个向量相加可以得到它们的合向量，该合向量的大小等于两个向量大小之和，方向与其中一个向量相同。
同时，向量的数乘可以用于求向量的倍数关系，如果两个向量共线或反向，它们之间存在数乘的关系。
2. 物理应用向量在物理中有广泛的应用。
例如，速度和加速度是向量，它们的运算通过向量的加法和数乘来表示。
速度的方向和大小可以用向量表示，而速度的变化可以通过加速度向量的数乘来表示。
3. 工程应用在工程领域，向量的运算可以用于求解力的合成、位移的计算等问题。
例如，在静力学中，多个力的合力可以通过向量的加法来求解；在工程测量中，位移和位移的关系可以通过向量的数乘来表示。
向量运算及其应用
向量运算及其应用向量是数学中重要的概念之一，也是物理、工程等领域中广泛应用的数学工具。
本文将介绍向量的基本概念、向量的表示方法、常见的向量运算，以及向量在几何、物理等领域的应用。
一、向量的基本概念向量是有方向和大小的量，用于表示力、速度、位移等物理量。
向量通常用粗体字母或带箭头的小写字母表示，例如$\overrightarrow{a}$。
二、向量的表示方法向量可以用坐标、向量的模和方向角、单位向量等不同方式表示。
1. 坐标表示法：在二维笛卡尔坐标系中，一个向量可以通过它在坐标系中的起点和终点的坐标表示。
例如，向量$\overrightarrow{AB}$可以表示为$(x_2-x_1, y_2-y_1)$，其中$(x_1, y_1)$为起点坐标，$(x_2,y_2)$为终点坐标。
2. 模和方向角表示法：一个向量可以通过它的模和方向角来表示。
模表示向量的大小，方向角表示向量与某个坐标轴之间的夹角。
例如，向量$\overrightarrow{AB}$的模可以表示为$|\overrightarrow{AB}|$，方向角可以表示为$\theta$。
3. 单位向量表示法：单位向量是模为1的向量，可以用于表示方向。
一个向量可以表示为它的模乘以一个单位向量。
例如，向量$\overrightarrow{AB}$可以表示为$|\overrightarrow{AB}|\cdot\hat{u}$，其中$\hat{u}$为单位向量。
三、向量的运算向量运算包括向量的加法、减法、数量乘法、数量除法等。
1. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相连，从第一个向量的终点到第二个向量的终点，所得的向量即为两个向量的和。
加法可以用坐标表示法、三角函数表示法等方式进行计算。
2. 向量的减法：向量的减法可以视为向量的加法的逆运算。
即将减法转化为加法，例如$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}$可以表示为$\overrightarrow{AB}+(-\overrightarrow{CD})$，其中$-\overrightarrow{CD}$表示向量$\overrightarrow{CD}$的反向。
推导向量的运算公式及其应用
推导向量的运算公式及其应用向量是数学中的一个重要概念，在各个学科领域中都有着广泛的应用。
在物理学、工程学、计算机科学等领域中，向量的运算是非常常见的。
本文将围绕向量的加法、减法、数量积、向量积等运算公式展开讨论，并介绍它们在实际问题中的应用。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，它们的加法满足如下规律：a +b = b + a(a + b) + c = a + (b + c)其中第一个规律表明向量加法具有交换律，而第二个规律表明它具有结合律。
这两个规律使得向量加法满足加法群的要求，即满足封闭性、结合律、交换律、存在单位元素和逆元素的要求。
二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，它们的减法可以表示为：a -b = a + (-b)其中-b表示向量b的负向量，它与向量b的方向相反，但大小相等。
向量减法的结果是一个新的向量，它的大小和方向分别由两个向量相应部分的大小和方向决定。
三、数量积和向量积数量积和向量积是向量的两种重要运算。
数量积也称点积、内积或标量积，向量积也称叉积、外积或矢量积。
数量积指两个向量的数量乘积再求和的结果。
假设有两个向量a和b，它们的数量积可以表示为：a·b = |a||b|cosθ其中|a|和|b|分别表示向量a和b的大小，θ表示它们之间的夹角。
数量积的结果是一个标量，它表示两个向量在方向上的相似度。
向量积指两个向量的叉乘积再求和的结果。
假设有两个向量a和b，它们的向量积可以表示为：a×b = |a||b|sinθn其中|a|和|b|分别表示向量a和b的大小，θ表示它们之间的夹角，n为垂直于a和b所在平面的单位矢量。
向量积的结果是一个向量，它的大小等于两个向量所在平面的面积，并且垂直于这个平面。
四、向量的投影向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度。
假设有两个向量a和b，它们的夹角为θ，那么向量a在向量b上的投影可以表示为：|a|cosθ = a·(b/|b|)其中b/|b|为b的单位矢量。
空间向量及其应用
空间向量及其应用一、 空间向量1、空间向量定义：空间既有大小、又有方向的量叫做空间向量。
用带有箭头的线段表示。
以A 为始点，B 为终点的空间向量记作AB ，也可用a 表示，以AB 表示AB 的模。
2、相等的向量、零向量、负向量、单位向量、向量的平移、向量的平行、向量的夹角等概念与平面向量类似。
3、空间向量的运算：空间向量的和、差、数乘向量、数量积等运算的定义及其运算率与平面向量的相应运算及其运算率类似。
加法的平行四边形法则、三角形法则，减法的三角形法则在空间向量中仍适用。
例1、在平行六面体1AC 中，设111,,BA a BC b BD c ===，用,,a b c 表示下列向量： （1）AB ； （2）1BB ； （3）BD ； （4）1CB ； （5）1AC 。
解：（1）AB b c =-； （2）1BB a b c =+-； （3）BD 2c a b =--； （4）1CB 22a b c =+-；（5）1AC 2b c =-。
例2、已知平行六面体1AC ，点M 在对角线1A B 上，且112A M MB =，点N 在对角线1A C 上，且113A N NC =，求证：1,,M N D 三点共线。
证：设1,,AB a AD b AA c ===， 则()111133A M AB a c ==-， 所以()1111133D M D A A M a b c =+=--， ()111144A N AC a c b ==-+， 所以()1111134D N D A A N a b c =+=--， 1143D M D N =，所以1,,M N D 三点共线。
例3、已知向量a b ⊥，向量c 与,a b 的夹角都为60，且1,2,3a b c ===，求A BC1AD1B1C1DNM（1）()()323a b b c -⋅-； （2）2a b c +-； （3）2a b c +-与b 的夹角θ。
解：30,,32a b a c b c ⋅=⋅=⋅=， （1）()()73232a b b c -⋅-=-； （2）211a b c +-=；（3）()25a b c b +-⋅=，所以cos θ，θ=。
第二章平面向量及其应用（讲义+典型例题）（原卷版）
第二章平面向量及其应用（讲义+典型例题）一．平面向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0例1：（1）．如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是（）A．DA和BC B．DC和ABC．DC和BC D．DC和DA（2）．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA a=，OB b=，OC c=．在以A，B，C，D，E，F，O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：（1）与a相等的向量有哪些？（2）b的相反向量有哪些？（3）与c共线的向量有哪些？.举一反三1．下列说法正确的是（）A ．若a b =，则a b =±B ．零向量的长度是0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量2．（多选）如图，在四边形ABCD 中，若AB DC =，则图中相等的向量是（ ）A ．AD 与BCB ．OB 与ODC ．AC 与BDD ．AO 与OC3．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ＝2，M ，N 分别为AD 和BC 的中点，以A ，B ，C ，D ，M ，N 为起点和终点作向量，回答下列问题：(1)在模为1的向量中，相等的向量有多少对？ (2)2二.平面向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差三角形法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb例2：①．如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA a = ，OB b = ，则BC 可以表示为（ ）A ．a b +B ．a b -C ．b a -D ．a b --②．如图，已知下列各组向量a ，b ，求作a b +．③．在ABC 中，已知AB b =，AC c =，求作： (1)2b ； (2)()2b c -；(3)32b c -．④．化简： (1)AB BC DC +-；(2)AB BC DC DE EA +-++； (3)()OA O BC B --． 举一反三1．5()3(2)a b a b ---= ___________.2．如图，已知M ，N 分别是四边形ABCD 的边AB ，CD 的中点，求证：()12MN AD BC =+．3．如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设AB ＝a ，DA ＝b ，OC ＝c ．证明：b c a +-＝OA ．4．（1）设O 是正五边形ABCDE 的中心，求OA OB OC OD OE ++++； （2）设O 是正n 边形12n A A A 的中心，求12n OA OA OA +++．5．如图，已知a ，b 为两个非零向量．(1)求作向量a b +及a b -；(2)向量a ，b 成什么位置关系时，a b a b +=-？（不要求证明）三.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa .例3（1）如图，OA ，OB 不共线，且()AP t AB t =∈R ，用OA ，OB 表示OP ．(2)已知任意两个非零向量a ，b ，若23OA a b =+，22OB a b =+，25OC a b =+，你能判断A ，B ，C 三点之间的位置关系吗？为什么？ 举一反三1．在ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若13CD CA CB λ=+，则λ等于（ ）A ．13B ．23C ．12D ．342．设1e 与2e 是不共线的非零向量，若12ke e +与12e ke +共线且方向相反，则k 的值是（ ） A ．1- B ．1C ．±1D ．任意不为零的实数3．已知1e 与2e 不共线，12AB e e =+，1228BC e e =+，()123CD e e =-．求证：A ，B ，D 三点共线．四．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．例4（1）．等腰直角三角形ABC 中，90A ︒=，,AB AC D =是斜边BC 上一点，且3BD DC =，则AD =（ ）A ．3544AC AB +B ．3144AC AB +C ．5144AC AB +D ．3144AC AB -（2）（多选）．在ABC 中，边BC 上的中线与边AC 上的中线的交点为E ，若CE AB AC λμ=+，则2λμ+=______．举一反三1．在平面四边形ABCD 中，已知ABC 的面积是ACD △的面积的2倍.若存在正实数,x y 使得1141AC AB AD x y ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则2x y +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．（多选）如图，在等腰梯形ABCD 中，222AB AD CD BC ===，E 是BC 的中点，连接AE ，BD 相交于点F ，连接CF ，则下列说法正确的是（ ）A ．3142AE AB AD →→→=+ B ．3255AF AB AD →→→=+ C ．1255BF AB AD →→→=-+D ．13105CF AB AD →→→=-五．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 6．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.例5（1）已知向量(1,4)a =-，(2,3)b =，则2a b -的坐标为（ ） A ．(－3，－10) B ．(－3，－2) C ．(－3，2)D ．(3，－10)（2）．已知向量1(1,)2a =-，(2,)b m =-，若a 与b 共线，则||b =（ ）A ．3B ．5C ．6D ．22（3）．已知向量a ，b 满足()1,2a λ=+，()1,b λ=，//a b ，则实数λ的值为______． 举一反三1．已知向量()3,4a =-，2AB a =，点A 的坐标为()3,4-，则点B 的坐标为______． 2．若(1,1),(1,2)a b ==-，则与a b +同方向的单位向量是_______. 3．已知点A （1，2），B （4，5），O （0，0）及OP mOA AB =+． (1)当m 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第四象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的m 的值；若不能，说明为什么．六．平面向量的数量积1，概念：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是 a·b ＝0，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是 a·b ＝±|a||b|.2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质(1)e·a ＝a·e ＝|a |cos θ； (2)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a·b ＝0； (3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|，a·a ＝|a |2，|a |＝a·a ； (4)cos θ＝a·b |a||b|； (5)|a·b |__≤__|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b ＝b·a (交换律)； (2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c . 5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.例6：（1）．如图，在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是（ ）A ．18B ．22C ．18-D ．22-（2）．已知,a b 是非零向量，且,a b 不共线，3,4a b ==，若向量a kb +与a kb -互相垂直，则实数k 的值为（ ） A ．2± B ．12±C ．43±D ．34±3．已知平面向量a ，b 满足()1,2a =，10b =，522a b ⋅=，则cos a b ⋅=______.举一反三1．设两向量12,e e 满足12122,1,,e e e e ==的夹角为60︒，12122,2=+=+a e e b e e ，则a 在b 上的投影为（ ） A 53B 521C 57D 522．（多选）已知在△ABC 中，2AB =，2AB AM =，2CM CN =，若0AN BC ⋅=，则（ ）A ．23AB AC AN += B ．()2AB ACCM -C ．AB AC ⊥D ．45ACM ∠=︒3．已知向量()3,2a =-，()1,0b =，向量()()2a b a b λ+⊥-，则向量()()a b a kb λ-+时实数k的值为______.4．已知向量()2,3a =，()3,1b =，若()a ab λ⊥+，则λ的值为___________.七．向量在平面几何中的应用 用向量解决常见平面几何问题的技巧： 问题类型 所用知识 公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0， 其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) 垂直问题 数量积的运算性质a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中a ，b 为非零向量夹角问题 数量积的定义 cos θ＝a ·b|a |·|b |(θ为向量a ，b 的夹角)长度问题 数量积的定义|a |＝a 2＝x 2＋y 2，其中a ＝(x ，y )例7：①．已知2a =，4b =，a 与b 的夹角为60︒.（1）计算()a ab ⋅+的值；（2）若()0a a kb ⋅-=，求实数k 的值.②．已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥. （1）求a 与b 的夹角；（2）若14a b +=，求b .③．已知2a =，3b =，在下列情况下，求()2()a b a b +-的值： （1）//a b ；（2）a b ⊥；（3）a 与b 的夹角为120°.举一反三1．已知向量(5,12)a =-，(3,4)b =-.（1）求a 与b 夹角θ的余弦值；（2）若向量a tb +与a b -垂直，求实数t 的值. 2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若()2,4AB =，()1,3AC =.（1）求cos DAB ∠的值；（2）求BD AD ⋅的值．3．已知向量2,1(),1,),3,1(b m a b n b a a k -==+=-=-. (1)若mn ，求k 的值；(2)当=2k 时，求m 与n 夹角的余弦值．八、正弦定理和余弦定理解三角形正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R C cB b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C ++===A +B +A B ．2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=；;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A =;sin sin c b C B =;sin sin c aC A = 5）化角为边： RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===二.三角形面积1.B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆三.余弦定理1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+=2.变形：bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=ab c b a C 2cos 222-+= 注意整体代入，如：21cos 222=⇒=-+B ac b c a利用余弦定理判断三角形形状：设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若，，所以为锐角②若为直角A a b c ⇔=+222 ③若， 所以为钝角，则是钝角三角形三角形中常见的结论三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；三角形三边关系：两边之和大于第三边：，，； 两边之差小于第三边：，，； 在同一个三角形中大边对大角：B A b a B A sin sin >⇔>⇔>4) 三角形内的诱导公式：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-)2sin()2cos()22cos()22sin()22tan(2tan C C C C C B A =--=-=+πππ7) 三角形的五心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点外心——三角形三边垂直平分线相交于一点内心——三角形三内角的平分线相交于一点旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点例9：1．在ABC 中，角,,A B C 分别对应边,,a b c ，已知2a =，3b =．角60B =，求角C ．2．已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，2AB AD ==，60A ∠=︒，5BC =，求CD 的长3．△ABC 中，a ＝7，c ＝3，且sin sin C B ＝35． （1）求b ；（2）求∠A ．4．已知b ，a ，c 是ABC 中B ，A ，C 的对边，且B ，A ，C 成等差数列. （1）求A ；（2）若2b =，6c =，求ABC 的面积.5．已知b ，a ，c 是ABC 中B ，A ，C 的对边，且B ，A ，C 成等差数列. （1）求A ；（2）若2b =，6c =，求ABC 的面积.举一反三1．若ABC 的面积为22,1,6b c ==，且A ∠为锐角. (1) 求cos A 的值；(2) 求sin 2sin A C的值. 2．在ABC ∆中，32b =，6cos 3A =，2B A π=+． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求cos 2C 的值．3．在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A．B．C 的对边，且()2cos cos a c B b C -=. （1）求角B 的大小；（2）若7b =，8a c +=，求ABC 的面积.4．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且22(2)(2)a b c b c b c =-+-． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2cos b c A =，试判断ABC 的形状5．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足1cos 2a b c B +=⋅. （1）求角C ;（2）若2,3a b ==，求ABC 外接圆的半径.6．在ABC中，已知12 tan5A .（1）若ABC外接圆的直径长为132，求BC的值；（2）若ABC为锐角三角形，其面积为6，求BC的取值范围．。
向量的线性相关及其应用.doc
向量的线性相关及其应用:线性相关的内容是线性代数课程的重点和难点，线性相关的相关结论学生很难理解。
向量的相关性反映了数字域中的维度向量空间中的向量之间的关系。
本文总结了判断向量线性相关性和线性独立性的几种方法。
同时，给出了线性相关的一些应用。
关键词:线性相关；线性独立性；线性组合；最大不相关群；坐标变换；过渡矩阵1。
向量线性相关和线性组合的基本概念1。
向量线性相关是向量线性相关和线性独立性的统称。
它描述了数域f上的n 维向量空间中向量之间的关系。
两个向量之间最简单的关系是成比例的，即是否有数k，而多个向量之间的比例关系是线性组合。
所谓线性组合是指，如果在数域f中有数，那么这个向量就叫做向量组的线性组合，或者可以用向量组来线性表示。
特别地，零向量是任何向量集合的线性组合。
因此，线性相关性和线性独立性的定义:定义1: 对于一个维向量，如果有一组数不全是零，等于0，那么该向量组被称为线性相关；否则，向量组被认为是线性独立的。
也就是说，没有不全是零的数字，零被称为线性独立性。
定义2:对于向量组和向量，如果S的数目使得向量是向量组的线性组合。
2.关于线性相关的几个判断1？用定义来判断或证明。
这种方法证明思维直观，也是证明向量线性相关最常用的方法。
具体步骤是:(1)可以使0，这是一个常数；⑵展开并整理上述公式，求解相应的齐次线性方程；(3)如果不是全部为0，则原始向量组是线性相关的；如果都是0，则原始向量组是线性无关的2。
从逻辑解释来看，我们把线性相关性解释为“冗余”，把线性独立性解释为“无冗余”。
由于线性独立性等价于任何一个向量不能由其余向量线性表示，向量组的线性独立性被认为是一个“无冗余”的向量。
例如，“如果向量组中的一些组是线性相关的，则整个向量组也是线性相关的”，这被解释为如果向量组中的一些组具有冗余向量，则整个向量组也具有冗余向量。
“如果向量组是线性独立的，那么它的任何部分也是线性独立的”，这被解释为在向量组中没有冗余向量，那么在从向量组中移除一些向量之后就没有冗余向量。
空间向量基本定理及其应用
空间向量基本定理及其应用教学目的：1、了解空间向量基本定理；2、能利用基向量法解一些简单的空间问题. 教学重点： 教学难点： 教学过程： 一、复习引入： 1、（1）向量的平行四边形法则： （2）向量的三角形法则： （3）向量的多边形法则：2、平面向量基本定理：在平面上，取两个不共线的向量1e 、2e 作基底，则平面内的任一向量a 都可以用1e 、2e 表示，即存在唯一的实数x 、y ，使得12a xe ye =+.二、讲授新课：1、空间向量基本定理：在空间，取三个不共面的向量1e 、2e 、3e 作基底，则空间的任一向量a 都可以用1e 、2e 、3e 表示，即存在唯一的实数x 、y 、z ，使得123a xe ye ze =++.2、将ABCD （包括它的内部）按向量a 平移到A B C D ''''的轨迹所形成的几何体叫做平行六面体，记作平行六面体ABCD A B C D ''''-. 它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱三、讲解范例：例1、三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，求证：ΔABC 为锐角三角形.例2、设两异面直线a 、b 所成的角为θ，直线a 上两点A 、B 在b 上的射影分别是A′、B′，则cos θ=A B AB''. 证：∵AA′⊥A′B ′, BB ′⊥A′B ′，∴cos <AB ,A B ''> =|| | |AB A B AB A B ''⋅''=()|| | |AA A B B B A B AB A B ''''''++⋅''=2|||||| | |||A B A B AB A B AB ''''='', 故cos θ=A B AB''. 练习：三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠ACB=90°且PA=AC=BC=a ，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于________．答：2例3、已知平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4,3,5,90AB AD AA BAD '===∠=， 60BAA DAA ''∠=∠=，（1）用向量AB 、AD 、AA '表示AC '； （2）求AC '的长解：（1）AC AB BC CC AB AD AA '''=++=++（2）22||()AC AB AD AA ''=++222||||||222AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅222435243cos90245cos60235cos60=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯169250201585=+++++=所以，||85AC '=例4、已知O 为空间任意一点，G 为ΔABC 的重心，试用向量OA 、OB 、OC 表示OG ；ABA′B ′ab。
空间向量的线性运算与应用
空间向量的线性运算与应用在线性代数中，空间向量的线性运算是一种常见的运算方式，它涉及向量的加法、减法、数乘、内积和投影等操作。
这些运算不仅在理论上有重要意义，而且在实际应用中也发挥着重要作用。
本文将介绍空间向量的线性运算及其应用。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量进行对应分量的相加。
设有两个向量a=[a₁,a₂,a₃]和a=[a₁,a₂,a₃]，则它们的和记作a+a，即：a+a=[a₁+a₁, a₂+a₂, a₃+a₃]向量的加法满足交换律和结合律，即a+a=a+a和(a+a)+a=a+(a+a)。
向量的加法应用广泛，例如在力学中，我们可以利用向量的加法来求解多个力的合力，进而研究物体的平衡和运动状态。
二、向量的减法向量的减法是指将两个向量进行对应分量的相减。
设有两个向量a=[a₁,a₂,a₃]和a=[a₁,a₂,a₃]，则它们的差记作a-a，即：a-a=[a₁-a₁, a₂-a₂, a₃-a₃]向量的减法和向量的加法类似，满足交换律和结合律。
向量的减法可以用于求解两个物体之间的位移或距离等问题。
三、向量的数乘向量的数乘是指将一个标量与一个向量的每个分量分别相乘，得到一个新的向量。
设有一个向量a=[a₁,a₂,a₃]和一个实数k，它们的数乘记作k a，即：k a=[k a₁, k a₂, k a₃]向量的数乘满足分配律，即k(a+a)=k a+k a。
向量的数乘可以改变向量的大小和方向，在几何上有重要应用。
四、向量的内积向量的内积又称为点积，是指将两个向量的对应分量相乘后相加所得到的一个标量。
设有两个向量a=[a₁,a₂,a₃]和a=[a₁,a₂,a₃]，则它们的内积记作a·a，即：a·a=a₁a₁+a₂a₂+a₃a₃向量的内积有一些重要的性质，如a·a=a·a（交换律）和a·(a+a)=a·a+a·a（分配律）等。
向量的内积可以用于计算夹角、判断两个向量的正交性以及求解投影等问题。
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基础知识梳理
1、已知a =( 5, 4), b =( 3, 2),则与2a —3b平行的单位向量为 _______________
(e—5,2®)
【点拨】可以用两种方法解，常用坐标运算。
关键指出与一个非零向量a共线的单位向
量有两个。
2、(2001.上海.春招.8)
2 —2
【点拨】|a|二a将向量的模运算转化为向量运算，向量的几何意义及数量积运算要熟。
3、已知向量a =( 1, 2),旧匸工5且a+2b与2a-b垂直，求a与b的夹角。
【点拨】本题旨在使学生进一步掌握平面向量的有关基本概念、向量的数量积及垂直的关系。
通过基础题的训练，熟练向量的坐标运算、数量积运算、模运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件。
二、例题的讲解
1、平面向量和函数、三角函数、数列及不等式知识整合
1 - ■ 3
例1:已知平面向量a = 3,-1),b =(―,—)。
(1)若存在实数k和t,使得向量x二a • (t2-3)b , y二-ka tb，且x _ y，试求函数
关系式k=f(t);
(2)根据(1)的结论，确定函数k=f(t)的单调区间。
【思路导引】
①欲求函数关系式k=f(t)，只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的等量关系怎么得到？
②求函数单调区间有哪些方法？(导数法、定义法)导数法是求单调区间的简捷有效的方法？解：(1)v x — y = x y = 0 二[a (t2-3)b]. (- ka tb)= 0
即：-k2a ta b—k(t2—3)a b (t2—3)tb =
2 1
••• |a|=2 ,
|b|=1 , a.b=0
代入上式得
又当t=0时，k = 0,这时y = 0 (不合)
• k=A
令 k ' = 3t 2「3 0，得 t>0 或 t<— 1;
4 4
令k' =3t^- ：：0，得一1<t<0 或 0<f<1 o 4 4
因此，k=f(t)的单调增区间为(一x, 1)U( 1,+x ),
单调减区为(一1, 0)U( 0, 1)o
【题后反思】这类问题主要考查向量的基本知识，包括向量加法、数量积的定义以及基 本运算法则。
以函数为背景，以向量的相关知识为依托，沟通与函数的有机联系，着重 考查函数的性质及综合运用知识和方法解决问题的能力。
例2:平面直角坐标系中有点 P (1, cosx ) ,Q(cosx,1)，且x € [
/ ]. 4 4
(1)求向量OP 与OQ 的夹角B 的余弦值用x 表示的函数f(x);
⑵求9的最值。
【思路导引】
① 直接运用夹角公式得到9的余弦值与x 表示的函数f(x)之间的关系式。
② 求最值有哪些方法？(均值不等式是最基本常用的方法)再思考还可以用什么方法？
OP OQ 二 2cosx | OP | * |OQ 1 cos 2 x ・ cos 2 1 = 1 cos 2 x
即c ”曽1] 又 - [0/1
2
—4k+t(t -3)=0 =
t 3 -3t
••• k4
(t 丰 0, f € k)
解：(1) OP=(1,cosx)
OQ = (cosx,1)
cos
2co 1 C 0 s X
JI x €
「4
JI
4
(2)
cos^ [ - ,1]=
2
f(x)
cosx
cosx [2f,1]
TmaX arCCG^R mi 讦0
3
【题后反思】这类问题主要是依托平面向量的模、数量积，夹角等公式通过形和数的相互转化，实现与三角的有机整合，同时考查三角方面的知识和方法及综合解题能力。
例3:已知平面向量a =(1,1),b =(2,1),c = (t,2),且等差数列｛a.｝的首项为a b，公差为|a -b|，前4项的和为a (b c)，求实数t的值。
【思路导引】在数列运算中找到等量关系。
解：•••等差数列｛a n｝的首项a i= a b = 1X2+ 1X1= 3
公差d=|a_b| = |（1, 1）—（2, 1）|=」（1 匚2）2—（1 匚1）2「=1
4汽3
••• {a n}的前4 项和为S4= 4a1+ £ d=18
即a (b c) =( 1，1) . (2+1，3)= 2+1+ 3
••• 2 +1 + 3= 18二t=13
【题后反思】这类问题主要是运用平面向量的模、数量积等相关知识，实现形到数的转化，巧妙地将平面向量、数形等知识融合在一起，重点考查平面向量、数列的“三基”。
例4 :已知向量a = (1, 2),b = (-•.. 2,1)，若正数k和t使得向量
x = a • (t2 1)b与y 二-ka ■ *b垂直，求k 的最小值。
【思路导引】
①利用向量垂直的充要条件找到k与t之间的等量关系。
②利用均值不等式求最值。
2 1
解：x— y= x y=0 即[a （t 1）b] * （-ka ： b）= 0
-2 严1-2 1-- 2--
=-ka b a b-k（t 1）a b = 0
t t
••• a =（1,、• 2）,b 二（- 21）
/• |a|= 3，|b|= 3
a b = —2 + 2 代入上式
-3k+ 3^ 1 =t 1 一2
t t
当且仅当t=1，即t=1时，取“二”号，即k的最小值是2。
t
【题后反思】这类问题主要是以平面向量的模、数量积、夹角等公式和相互知识为纽带, 促成与不等式知识的相互迁移，有效地考查平面向量有关知识、不等式的性质、不等式的解法、不等式的应用及综合解题能力。