人教版数学-高一数学寒假作业四

高一数学寒假作业四 一.选择题（每小题3分,共计30分） 1.设全集U=R ,集合M={|1}x x >,P=2
{|1}x x >,则下列关系中正确的是 A ．M=P B ．P M ⊂≠ C ．M P ⊂≠ D ．
U M P =∅ 2.函数()2
()lg 311f x x x
=++-的定义域为 A.1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B.1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
3.下列四个函数中,在()0,+∞上为增函数的是
A.()3f x x =-
B.2()3f x x x =-
C.1()1f x x =-
+ D.()f x x =- 4.下列函数中,定义域与值域相同的是
A.2x y =
B.2y x =
C.2log y x =
D.2y x
= 5.设{|02},{|12}A x x B y y =≤≤=≤≤,在下列各图中,能表示从集合A 到集合B 的映射的是
A B C D 6．长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球面上,则这个球面的表面积为（ ）
A ．27π
B ．56π
C ．14π
D ．64π
7．棱锥被平行于底面的平面所截,当截面分别平分棱锥的侧棱.侧面积.体积时,相应的截面面积分别为S 1.S 2.S 3,则（ ）
A ．S 1<S 2<S 3
B ．S 3<S 2<S 1
C ．S 2<S 1<S 3
D ．S 1<S 3<S 2
8．图8-23中多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD 的顶点A 作
截面AB 1C 1D 1而截得的,且B 1B=D 1D.已知截面AB 1C 1D 1与底面
ABCD 成30°的二面角,AB=1,则这个多面体的体积为（ ）
A ．26
B ．36
C ．46
D ．6
6 9．设地球半径为R,在北纬30°圈上有甲.乙两地,它们的经度差为
120°,那么这两地间的纬线之长为（ ）
A ．33πR
B ．3πR
C ．πR
D ．2πR
10．如图8-24,在一个倒置的正三棱锥容器内,放入一个钢球,钢球恰好与棱锥的四个面都接触
y 1 2 1 2 x o 1 2 1 2 y x o 1 2 1 2 y o x y y 1 2 2 o 1 x y
上,经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是（ ）
二.填空题（每小题4分,共计24分）
11.661log 12log 2_______2
-= 12.若函数2()(1)2f x kx k x =+-+是偶函数,则()f x 的递减区间是_______
13.若幂函数()y f x =的图象过点19,3⎛⎫ ⎪⎝⎭,则(25)f 的值为______
14.圆x 2+y 2-2x-2y+1=0上的动点Q 到直线3x+4y+8=0距离的最小值为______.
15.集合A=｛(x,y)｜x 2+y 2=4｝,B=｛(x,y)｜(x-3)2+(y-4)2=r 2｝,其中r ＞0,若A ∩B 中有且
仅有一个元素,则r 的值是______________.
16.α.β是两个不同的平面,m .n 是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断:①m ⊥n ,②α⊥β,③n ⊥β,④m ⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:_______________
三.解答题：（共46分,其中17题10分,其他各题12分）解答题应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
17.设{|||6}A x Z x =∈≤,{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==,求：
（1）()A B C ； （2）()A A B C .
18.已知函数()1(22)2
x x f x x -=+-<≤ （1）用分段函数的形式表示该函数；
（2）画出该函数的图象 ；
（3）写出该函数的值域.
19. 如图8－12,球面上有四个点P.A.B.C,如果PA,PB,PC 两两互相垂直,且PA=PB=PC=a ,求这个球的表面积.
20.如图7-15,在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,各棱长都等于a,D.E 分
别是AC 1.BB 1的中点,
（1）求证：DE 是异面直线AC 1与BB 1的公垂线段,并求其长
度；
（2）求二面角E —AC 1—C 的大小；
（3）求点C 1到平面AEC 的距离.
高一数学寒假作业四参考答
案
一、选择题（每小题3分,共计30分）
1-5 CBCDD 6-10 CADAB
二.填空题（每小题4分,共计24分）
11.12 12.()f x 13.15 14.2 15.3或7 16.⇒①③④②或⇒②③④①
三.解答题：（共46分,其中17题10分,其他各题12分）解答题应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
17.解：
{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------ （1）又
{}3B C =,∴()A B C ={}3； （2）又{}1,2,3,4,5,6B C =,
得{}()6,5,4,3,2,1,0A C B
C =------. ∴ ()A A C B C {}6,5,4,3,2,1,0=------
18.1,201()+41
,02x x f x x --<≤⎧=⎨<≤⎩解：（）分（2）略 +7分 （3）[)1,3y ∈ 19.解 如图8－12,设过A.B.C 三点的球的截面圆半径为r,圆心为O ′,球心到该圆面的距离为d.在三棱锥P —ABC 中,
∵PA,PB,PC 两两互相垂直,且PA=PB=PC=a ,
∴AB=BC=CA=2a ,且P 在△ABC 内的射影即是△ABC 的中心O ′.
由正弦定理,得 ︒60sin 2a =2r,∴r=3
6a . 又根据球的截面的性质,有OO ′⊥平面ABC,而PO ′⊥平面ABC,
∴P.O.O ′共线,球的半径
R=22d r +.又PO ′=22r PA -=2232a a -=3
3a , ∴OO ′=R － 33a =d=22r R -,(R －33a )2=R 2 – (3
6a )2,解得R=23a , ∴S 球=4πR 2=3πa 2.
注 本题也可用补形法求解.将P —ABC 补成一个正方体,由对称性可知,正方体内接于球,则球的直径就是正方体的对角线,易得球半径R=2
3a ,下略 20.如图7-15,在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,各棱长都等于a,D.E 分别是AC 1.BB 1的中点,
（1）求证：DE 是异面直线AC 1与BB 1的公垂线段,
并求其长度；
（2）求二面角E —AC 1—C 的大小；
（3）求点C 1到平面AEC 的距离.
解 （1）过D 在面AC 1内作FG ∥A 1C 1分别交
AA 1于F.G,则面EFG ∥面ABC ∥面A 1B 1C 1,
∴△EFG 为正三角形,D 为FG 的中点,ED ⊥FG.
连AE,E C 1 ∵D.E 分别为11BB 、AC 的中点,
∴1EC AE = 1AC DE ⊥.又∵面EFG ⊥BB 1,
∴ED ⊥BB 1,故DE 为AC 1和BB 1的公垂线,计算得DE=2
3a. （2）∵AC=CC 1,D 为AC 1的中点,∴CD ⊥AC 1,又由（1）可知,ED ⊥AC 1,∴∠CDE 为二面角E —AC 1—C 的平面角,计算得∠CDE=90°.或由（1）可得DE ⊥平面AC 1,∴平面AEC 1⊥平面AC 1,∴二面角E —AC 1—C 为90°.
（3）用体积法得点C 1到平面ACE 的距离为
2
3a.。