第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导教学文稿
2019-分享教案-12倒易点阵
§2.3倒易点阵与爱瓦尔德球图解法一、倒易点阵的概念X 射线衍射晶体结构分析工作是通过衍射花样（包含衍射方向和强度信息）反推出衍射晶体的结构特征。
通过衍射花样反推晶体结构是复杂而困难的工作。
1921年爱瓦尔德（P.P.Ewald ）通过倒易点阵可以把晶体的衍射斑点直接解释成晶体相应晶面的衍射结果。
也可以说，电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵中某一截面上阵点排列的像。
倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的三维空间（倒易空间）点阵，它是一个虚拟点阵（通常将晶体点阵称为正点阵）。
它的真面目只有从它的性质及其与正点阵的关系中才能真正了解。
一、 倒易点阵中基本矢量的定义设正点阵的原点为O ，基矢为a 、b 、c ，倒易点阵的原点为O *，基矢为a *、b *、c *（图2-9），则有Vba c V a cb Vc b a ⨯=⨯=⨯=***,, （2-11） 式中，V 为正点阵中单胞的体积： )()()(b a c a c b c b a V ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅= 图2－9 倒易基矢和正空间基矢的关系 二、 倒易点阵的性质a ） 根据式（2-11）有（因为00cos *=⋅⋅=⋅=⋅b a b a b a θ）0******=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅b c a c c b a b c a b a （2-12） 1***=⋅=⋅=⋅c c b b a a （2-13）b ） 在倒易点阵中，由原点O *指向任意坐标为hkl 的阵点的倒易矢量g hkl 为***lc kb ha g hkl ++= （2-14）Φ3在倒易空间中，画出衍射晶体的倒易点阵，以倒易原点O*为端点作入射波的波矢量k ，该矢量平行于入射束方向，长度等于波长的倒数，即λ1=k ，以O 为中心，1/λ为半径作一个球，这就是爱瓦尔德球。
若有倒易阵点G （指数为hkl ）正好落在爱瓦尔德球的球面上，则相应的晶面组（hkl ）与入射束的方向必满足布拉格条件，而衍射束的方向就是OG ，或者写成衍射波的波矢量k ´，其长度也等于反射球的半径1/λ。
第二章晶体衍射和倒格子案例
一格点A的格矢则为
0
R ll1 a 1l2 a 2l3 a 3
劳厄衍射方程
从图中看出，光程差为CO+OD
Rl •(SS0)
当光程差为波长整数倍时则衍射加强，即
R l•(SS0)n
考 则虑劳到厄衍射方k程0 也和可2表S示0 为
，k
2
S
S0
CO Rl • S0 A OD Rl • S
R l•(kk0)2n
[110]方向记作Σ： [111]方向记作Λ：
H 2 a
N 2 2 2a
P 3 2 2a
4）面心立方正格子的布里渊区 晶格的基矢和倒格子的基矢为
可见其倒格子为体心立 方结构
a1
a2
a jk
2
a k + i
2
b1
2
a
-i
b2
2
a
i
+ -
j k j+k
a3
a 2
i
j
b3
2
a
i
j
的垂直平分线
同第I布里渊区边界线围成的区域 称为第II布里渊区，其大小为
( 2 )2 a
(4 )
(1 )
b2 b1
(2 )
(3 )
第三布里渊区 由4个倒格点
2b1, 2b2
(2 )
2b1, 2b2
的垂直平分线
同第Ｉ区的边界线和第二II区的边 界线围成第III区，其大小为
( 2 )2 a
(3 )
§2.2.1 倒格子的定义
假设晶格的原胞基矢为 、、，
原胞体积 a 1 a 2 a 3
a1(a2a3)
构建一新的空间，其基 矢为
倒易点阵与晶体衍射
利用透射电镜进行物相形貌观察（如图2-12中的各种结果）仅是一种较为直接的应用，透射电镜还可得到另外一类图像---电子衍射图（图2-15所示）。
图中每一斑点都分别代表一个晶面族，不同的电子衍射谱图又反映出不同的物质结构。
图2-15 金蒸发膜的多晶和钢中Mo23C6单晶的电子衍射花样按照一定规则进行分析，我们可以标定出每一斑点对应的晶面指数，再由标准物质手册，可以查出这两种物质分别是金的多晶体和Mo23C6单晶碳化物。
可见，利用电子衍射图也可以分析未知的物相。
电子衍射原理和X射线衍射原理是完全一样的，但较之其还有以下特点：1.电子衍射可与物像的形貌观察结合起来，使人们能在高倍下选择微区进行晶体结构分析，弄清微区的物象组成；2.电子波长短，使单晶电子衍射斑点大都分布在一二维倒易截面内，这对分析晶体结构和位向关系带来很大方便；3.电子衍射强度大，所需曝光时间短，摄取衍射花样时仅需几秒钟。
下面我们就来讨论为什么透射电镜中的电子束可以产生上述衍射花样----电子衍射原理。
电子衍射原理已知，当波长为l 的单色平面电子波以入射角θ照射到晶面间距为d的平行晶面组时，各个晶面的散射波干涉加强的条件是满足布拉格关系：2dsinθ =nλ（11）式中n=0，1，2，3，4….，称为衍射级数，为简单起见，至考虑n=1的情况，即可将布拉格方程写成2dsinθ =l 或更进一步写成：( )这一关系的几何意义为布拉格角的正玄函数为直角三角形的对边(1/d)与斜边(2/λ)之比，而满足上式关系的点的集合是以1/λ为半径，以2/λ为斜边的球的所有内接三角形的顶点---球面上所有的点均满足布拉格条件。
可以想象，AO'为入射电子束方向，它照射到位于O点处的晶体上，一部分透射出去，一部分使晶面间距为d的晶面发生衍射，在OG方向产生衍射束。
由于该表示方法首先由爱瓦尔德（Ewald）提出，故亦称为爱瓦尔德球。
图 2-16 爱瓦尔德球图解如果我们要想判断一个特定的晶面能否产生衍射，或者衍射的方向如何，可以假想将这个晶面放在球心O处，沿其法线方向从Ｏ＇点出发，射出一长度为１／ｄ的射线，其与球面相交处若能满足布拉格关系（入射角等于反射角），则说明其衍射成立，反之，说明不满足衍射条件。
倒格空间晶体的X射线衍射演示文稿
设A为任一格点，格矢
S0
A
Rl l1 a1l2 a2l3 a3
S
Rl
波程差
CO D
C O O D R lS 0R lSR lSS0
衍射加强条件为：
R lS S 0 (为)整劳数 厄衍射方程
波矢 k02πS0,k2πS
λ
λ
R lk k 0 2 π μ
R lk k 0 2 π μ
*(2)3a2a3(a3a 1a 1a2)
A B C (A C ) B (A B ) C
a 3 a 1 a 1 a 2
a 3 a 1 a 2 a 1 a 3 a 1 a 1 a 2 Ω a 1
Ω * 2π 3a2a3Ω a1(2)3
Ω
正点阵中晶面族与倒易位矢的关系
倒格空间晶体的X射线衍射演示文稿
晶体结构是怎么测定的？
晶体结构与衍射图样的对应关系？
晶体的X光衍射
按照衍射理论，当辐射的波长与晶格中原子的间距 相同或更小时，即可发生显著的衍射现象。
晶体衍射的基本方法
1、X射线衍射
X射线是由被高电压V
加速了的电子，打击在
hmaxeU
h
c
min
eU
“靶极”物质上而产生
(1)证明 Khh1b1h2b2h3b3 与晶面族(h1h2h3)正交。
设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，
ABC在基矢
a1,a2,a3上的 截距分别为
a1 , a2 , a3 。
h1 h2 h3
a3
由图可知： CAOAOCa1 a3
C Kh
h1 h3 CBOBOCa2 a3
h2 h3
h12 h22 h32
晶体的投影和倒易点阵
六、广义晶带理论
在倒易点阵中，同一晶带的所有晶面的倒易矢量共面，即倒阵中每 一阵面上的阵点所表示的晶面均属于同一晶带轴。当阵面通过原点 时则 uh+vk+wl = 0 当倒阵面不过原点，而是位于原点的上方或下方，则此时
uh+vk+wl = N ➢ 当N>0时，倒易阵面在原点上方； ➢ 当N<0时，倒易阵面在原点的下方。
10
极式网的用途： 直接读出极点的球面坐标，获得该晶面或晶向的空间位相； 当晶面或晶向的极点在同一直径上，其间的纬度差即为晶面或晶
向间的夹角，可以从极式网上直接读出； 但是，当两极点不在同一直径上时，无法测量其角度，应用受到
限制。
11
2. 乌氏网：(Wulff net)
以同时过NS和EW的平面为投影面，投影光源为投影面中心法线与投影球的 交点，即前后极点F或L，经纬线坐标网的极射平面投影即为乌式网。 南北轴NS和东西轴EW的投影分别过乌式网中心的水平直径和垂直直径。前后 轴FL的投影为乌式网的中心； 经线的投影为一簇以N、S为端点的大圆弧； 纬线的投影是一组圆心位于南北轴上的小圆弧。 实际使用的乌式网直径为20 mm，圆弧间隔均为2° 乌式网的应用：1.夹角测量；2.晶体转到；3.投影面转换
求得其相应倒易点阵参数，从而建
立其倒易点阵。
c
a b V
20
2021年6月23日8时50分
四、倒易点阵的基本性质
根据定义在倒易点阵中，从倒易原点到任一倒易点的矢
量称倒易矢量，记为g*hkl
g* hkl
ha*
kb*
lc*
可以证明: 1. g*矢量的方向与晶面相垂直
g* //N(晶面法线) 2. g*矢量长度等于其对应晶面 间距的倒数
现代材料分析测试技术-第02章-3倒易点阵爱瓦尔德作图法 (2)精选全文
爱瓦尔德球反映的性质
• 三个矢量的相对关系 • g代表与正空间相应的（hkl）衍射晶面的
特性：大小 方向 • 应用
14
72-Biblioteka 爱瓦尔德图解法• 倒易点阵的另一个应用 • 爱瓦尔德图解法是布拉格定律的几何表达形式
8
• 由于晶体中晶面方位，面间距不同，所以 当入射线沿一定方位入射时，可能同时存 在若干束衍射线
• 采用爱瓦尔德图解法，可求得衍射线的方 向
9
爱瓦尔德作图法
10
爱瓦尔德作图法
• 1.作倒易点阵，倒易原点为O* • 2.入射波的波矢量k＝oo* • 则以o为中心，1/λ＝半径作球
从性质可看出，如果正点阵与倒易点阵具有 同一坐标原点，则 • 正点阵中的每组平行晶面（hkl)在倒易点阵中只须 一个阵点就可以表示，此点处于hkl的公共法线 （倒易矢量方向上） • 倒易阵点用它所代表的晶面指数标定， • 正点阵中晶面取向和面间距只须倒易矢量一个参量 就能表示。 • 若已知某一正点阵，可求出相应的倒易点阵。
• 无数倒易点组成点阵－倒易点阵 • 倒易点阵的倒易是正点阵。 • 倒易矢量及性质：
从倒易点阵原点向任一倒易阵点所 连接的矢量叫倒易矢量，表示为：
Hhkl = ha* + kb* + l c* 两个基本性质
6
两个基本性质 ：
1) Hhkl垂直于正点阵中的hkl晶面 2) Hhkl长度等于hkl晶面的晶面间距dhkl的倒数
• a*·a = b*·b = c*·c =1
• a* b* c*的表达式为：V空间点阵单位晶胞
的体积
a b c ;b a c ;c a b
V
V
V
4
• 某一倒易基矢垂直于正点阵中和自己异名的二 基矢所成的平面
第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导
基晶胞的体积；(b) 证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身．
[证明] (a)
知， 倒易点阵初基晶胞体积为 b1 ⋅ ( b2 × b3 ) ，现计算 b1 ⋅ ( b2 × b3 ) ．由式(2． 1)
b1 =
2π 2π 2π a2 × a3 , b2 = a3 × a1 , b3 = a1 × a2 Vc Vc Vc
2π n G
(2.4)
这里 n 是 G 与
G G ( hkl )
(2.5)
由倒易点阵矢量与点阵晶面间的关系得到， 点阵平面的面指数就是和该点阵 平面垂直的最短倒易点阵矢量在特定的一组倒易点阵初基矢量上的三个坐标。 3．X-射线衍射的布喇格定律和劳厄条件 X-射线的衍射条件有两种等价的表示法： (i)布喇格定律：布喇格假设入射波从晶体中的平行原子平面作镜面反射，每 个原子平面只反射很少一部分辐射，而将大部分辐射透射到下一层原子平面．如 图 2.1 所示．当来自平行原子平面的反射有相同位相时，发生相长干涉，于是得 到尖锐的反射峰(称为布喇格峰)，由此导出 X-射线反射的布喇格定律为
根据式(2．1)计算倒易点阵矢量
b1 =
2π 2π 2π a2 × a3 , b2 = a3 × a1 , b3 = a1 × a2 Vc Vc Vc ˆ y a 2 a − 2 ˆ y a − 2 a 2 ˆ y a 2 a 2 ˆ z a a2 ˆ+ y ˆ) = (x 2 2 a 2 ˆ z a a2 ˆ+z ˆ) = (y 2 2 a − 2 ˆ z a a2 ˆ) ˆ+x − = (z 2 2 a 2
nλ = 2d sin θ
(2．6)
其中 λ 是入射波波长，n 为相应的反射级，θ 是入射束的布喇格角，d 为面间距． (ii) 劳厄条件: 劳厄对 X-射线衍射的处理方法和布喇格不同，他不需要把晶 体分解为互相平行的原子平面，也不需要作镜面反射的假定，而是把晶体看作由 放置在布喇格点阵阵点上的微观物体所组成， 每个微观物体都向各个方向将入射 辐射再辐射出去．由相距 r 的体元散射出的射线束之间的位相差因子是
《晶体材料结构学》课件PPT08-倒易点阵2
2)
d hkl
=
G1 G hkl
一族晶面用倒易点阵中一个阵点来表示，就 是以正点阵中面指数为指数的倒易矢量。
G c
C
(hkl)
G
c
G hkl
l
b d hkl
O
k
a
BG b
hA G
证明1)：BA
=
1
G a
−
1
G b
a
hk
( ) G
BA ⋅ G hkl
=
⎜⎛
1
G a
−
1
G b
⎟⎞
⋅
h
G a
′
+
G kb ′ +
附加面的影响
立方晶系：
f c c 当(hkl)不为全奇、偶数时，有附加面：
d hkl
=
1 2
a h2 + k2 + l2
如：(100)，(110)
b c c 当h＋k＋l＝奇数时，有附加面：
d hkl
=
1 2
a h2 + k2 + l2
如：(100)，(111)
六方晶系:
当h+2k=3n,(n=0,1,2,……),l=奇数，有附加面：
四方晶系 d hkl =
1 ⎜⎛ h ⎟⎞ 2 + ⎜⎛ k ⎟⎞ 2 + ⎜⎛ l ⎟⎞ 2 ⎝a⎠ ⎝a⎠ ⎝c⎠
正
交
晶
系
d
hk
＝
l
（
1 h ）2＋ （ k ）2＋ （
l ）2
a
b
c
六方晶系
d
＝
hkl
1
1-4倒易点阵
四、倒易点阵
2 怎样拟定倒易点阵
2.1 什么是倒易基矢 我们将正点阵中晶胞中旳a、b、c、、、六个点阵
常数用三个基矢 a、b、c 来替代，那么 a、b、c 就能
四、倒易点阵
4 实际晶体中旳倒易点阵
倒易点阵中出现节点旳条件： 正点阵中相互平行旳（hkl）面旳全体包括（经过）全部旳正点阵节 点。 例如：BCC和FCC旳（002）平行晶面族包括了全部原子
（001）平行晶面族只包括了二分之一原子 所以：在BCC和FCC旳倒易点阵中只出现（0，0，2）节点，而不 出现（0，0，1）节点。
四、倒易点阵
1 什么是倒易点阵
• 为了从几何学上形象旳拟定衍射条件， 人们就找到一个新旳点阵（倒易点阵），使 其与正点阵（实际点阵）相相应。
•
相应旳条件：新点阵中旳每一个结点都 相应着正点阵旳一定晶面，该结点既反O映P 该
晶面旳取向也反映该晶面旳面间距。
•
具体条件：OP 1/d(hkl)
• a. 新点阵中原点O到任意结点P(hkl) （倒易 点）旳矢量 正好沿正点阵中{hkl}面旳法 线方向。
（100）
四、倒易点阵
2.2 怎样拟定倒易基矢 2经过怎正样点拟阵定，倒能易够点得阵到：
d(100) =a
b b
c c
（2）
将（2）式代入（1）式得到：
a*= bc bc abc V
一样：b*
=
c
a V
c*
ab V
V 为正点阵晶胞旳体积。
（100）
四、倒易点阵
2 怎样拟定倒易点阵
固体物理学 的答案【胡安】
第一部分 晶体结构-总结与习题指导1 布喇菲点阵和初基矢量晶体结构的特点在于原子排列的周期性质。
布喇菲点阵是平移操作112233R n a n a n a =++所联系的诸点的列阵。
布喇菲点阵是晶体结构周期性的数学抽象。
点阵矢量112233R n a n a n a =++，其中，1n ，2n 和3n 均为整数，1a ，2a 和3a 是不在同一平面内的三个矢量，叫做布喇菲点阵的初基矢量，简称基矢。
初基矢量所构成的平行六面体是布喇菲点阵的最小重复单元。
布喇菲点阵是一个无限的分立点的列阵，无论从这个列阵中的哪个点去观察，周围点的分布和排列方位都是完全相同的。
对一个给定的布喇菲点阵，初级矢量可以有多种取法。
2 初基晶胞(原胞)初基晶胞是布喇菲点阵的最小重复单元。
初基晶胞必定正好包含布喇菲点阵的一个阵点。
对于一个给定的布喇菲点阵，初基晶胞的选取方式可以不只一种，但不论初基晶胞的形状如何，初基晶胞的体积是唯一的，()123c V a a a =⋅×。
3 惯用晶胞(单胞)惯用晶胞是为了反映点阵的对称性而选用的晶胞。
惯用晶胞可以是初基的或非初基的。
惯用晶胞的体积是初基晶胞体积的整数倍，c V nV =。
其中，n 是惯用晶胞所包含的阵点数。
确定惯用晶胞几何尺寸的数字叫做点阵常数。
4 维格纳-赛兹晶胞(W-S 晶胞)维格纳-赛兹晶胞是另一种能够反映晶体宏观对称性的晶胞，它是某一阵点与相邻阵点连线的中垂面(或中垂线)所围成的最小体积。
维格纳-赛兹晶胞是初基晶胞。
5 晶体结构当我们强调一个实际的晶体与布喇菲点阵的抽象几何图案的区别时，我们用“晶体结构”这个名词[1]。
理想的晶体结构是由相同的物理单元放置在布喇菲点阵的阵点上构成的。
这些物理单元称为基元，它可以是原子、分子或分子团(有时也可以指一组抽象的几何点)。
将基元平移布喇菲点阵的所有点阵矢量，就得到晶体结构，或等价地表示为基元十点阵＝晶体结构[2]当选用非初基的惯用晶胞时,一个布喇菲点阵可以用带有基元的点阵去描写。
晶体学基础-倒易点阵
倒易点阵晶体学中最关心通常是晶体取向，即晶面的法线方向。
倒易点阵是在晶体点阵的基础上按一定对应关系建立起来的空间几何图形（倒易空间），是晶体点阵的另一种表达形式。
将晶体点阵空间称为正空间。
倒易空间中的结点称为倒易点。
部分。
a a * = b把正点阵基矢与倒易点阵基矢的关系代入，得正点阵与倒易点阵的关系•O 点到(hkl)晶面的垂直距离就是晶面间距d hkl 。
倒数关系（大小）●d hkl =h a H H H1=•确定倒易矢量H ，就确定了正点阵晶面。
S hkl P 及Q ⊥•倒易矢量[hkl]的大小（模）就是其正点阵中相邻平行(hkl)晶面间距的倒数。
(倒—Reciprocal)进行矢量相乘并且展开。
a H hkl •在倒易点阵中，从原点指向阵点[坐标hkl ]的倒易矢量H hkl = ha* +kb* +lc*•H hkl 必和正点阵的(hkl )面垂直，•即倒易点阵的阵点方向[hkl ]*和正点阵的(hkl )面垂直：[hkl ]*⊥(hkl )。
CBAx y z(010)(100)(001)a例：由单斜点阵导出其倒易点阵•单斜点阵：b轴垂直于a和c轴。
左图图面为（010）面。
•从作图可以看出，正点阵和其对应的倒易点阵同属一种晶系。
把上面三个式子写成矩阵形式：•同理，可按下式求出与方向指数为[uvw]的方向相垂直的面的面指数(hkl):•例如，对立方系而言，a*●a* = b* ●b* = c*●c *=1/a2;a*●b* = b* ●c* = c*●a *=0;•u:v:w=h:k:l。
所以(hkl)面的法线指数和面指数同名，即为[hkl]。
第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导教学文稿
第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导竭诚为您提供优质文档/双击可除第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导篇一：第十二章习题答案new1、分析电子衍射与x衍射有何异同？答：相同点：①都是以满足布拉格方程作为产生衍射的必要条件。
②两种衍射技术所得到的衍射花样在几何特征上大致相似。
不同点：①电子波的波长比x射线短的多，在同样满足布拉格条件时，它的衍射角很小，约为10-2rad。
而x射线产生衍射时，其衍射角最大可接近2?。
②在进行电子衍射操作时采用薄晶样品，增加了倒易阵点和爱瓦尔德球相交截的机会，使衍射条件变宽。
③因为电子波的波长短，采用爱瓦尔德球图解时，反射球的半径很大，在衍射角θ较小的范围内反射球的球面可以近似地看成是一个平面，从而也可以认为电子衍射产生的衍射斑点大致分布在一个二维倒易截面内。
④原子对电子的散射能力远高于它对x射线的散射能力，故电子衍射束的强度较大，摄取衍射花样时曝光时间仅需数秒钟。
2、倒易点阵与正点阵之间关系如何？倒易点阵与晶体的电子衍射斑点之间有何对应关系？答：倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的一个三维空间点阵，通过倒易点阵可以把晶体的电子衍射斑点直接解释成晶体相对应晶面的衍射结果，可以认为电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵某一截面上阵点排列的像。
关系：①倒易矢量ghkl垂直于正点阵中对应的（hkl）晶面，或平行于它的法向nhkl②倒易点阵中的一个点代表正点阵中的一组晶面③倒易矢量的长度等于点阵中的相应晶面间距的倒数，即ghkl=1/dhkl④对正交点阵有a*//a，b*//b，c*//c，a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c。
⑤只有在立方点阵中，晶面法向和同指数的晶向是重合的，即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl]平行⑥某一倒易基矢量垂直于正交点阵中和自己异名的二基矢所成平面。
3、用爱瓦尔德图解法证明布拉格定律。
证：如图，以入射x射线的波长λ的倒数为半径作一球（厄瓦尔德球），将试样放在球心o处，入射线经试样与球相交于o*；以o*为倒易原点，若任一倒易点g落在厄瓦尔德球面上，则g对应的晶面满足衍射条件产生衍射。
倒易点阵和布里渊区一定义二倒易点阵和晶体点阵的关系三倒
1.4 倒易点阵和布里渊区(Reciprocal lattice; Brillouin zones)一. 定义二. 倒易点阵和晶体点阵的关系三. 倒易点阵的物理意义四. 倒易点阵实例五. 布里渊区一. 定义：假设是一个晶格的基矢，该点阵的格矢为：原胞体积是：现在定义另一晶格的3个基矢：，它们与的关系满足：123,,a a a 123()a a a Ω=⋅⨯ 123123n R n a n a n a =++ 123,,b b b 123,,a a a 2i j ij a b πδ⋅== 2,i j π=0,i j ≠,1,2,3i j =则称这两种格子互为正倒格子。
若基矢的格子为正格子，则的格子就是倒格子。
反之亦然。
123,,a a a 123,,b b b 位移矢量就构成了倒易点阵。
上面变换公式中出现的因子，对于晶体学家来说并没有多大用处，但对于固体物理研究却带来了极大的方便。
倒易点阵的概念是Ewald 1921年在处理晶体X 射线衍射问题时首先引入的，对我们理解衍射问题极有帮助，更是整个固体物理的核心概念。
123hkl G hb kb lb =++ 2π4. 正点阵晶面族与倒易点阵格矢相互垂直，123(,,)h h h 123h h h G 123h h h 123123G =++ h b h b h b 且有：1231232h h h h h h d G π= 证明：先证明倒格矢与正格子的晶面系正交。
如图所示，晶面系中最靠近原点的晶面（ABC ）在正格子基矢的截距分别为：123,,123123h h h G h b h b h b =++ 123()h h h 123()h h h 123,,a a a 123123,,a a a h h h3 3)ah6. 同一晶格的正格子和倒格子有相同的点群对称性设α为正格子的一个点群对称操作，即当R n 为一正格矢时，αR n 也为正格矢，同样α－1R n 也是正格矢。
第二章-晶体衍射和倒格子
G n(r)
即可用 G 展成傅氏
级数，用数学式子来表示就是：
n(r)
neiGr
G
G
22
证：
若
n(r)
n(G)eiGr
G
则
n (rR )
n G eiG reiG R
G
G R(hAkBlC )(uavbw c)
∴ 2(h uk vlw )2整数
必有
故
eiGR 1
n (r ) n (r R )
电子衍射 总能在微区细节上显神通，但晶胞参数等定量结果不能作为标准，而 且电子衍射的制样困难，好的制样技术甚至比电镜操作本身更难以掌 握 。物质对电子的散射作用很强[主要来源于原子核对电子的散射作 用，远强于物质对X射线的散射作用]，因而电子(束)穿透物质的能力 大大减弱，故电子衍射只适于材料表层或薄膜样品的结构分析
（ h、k、l 为整数），具有以上形式的矢量称 为倒易点阵矢量，即倒易点阵平移矢量，同 晶体点阵类似，倒易点阵就是由倒易点阵矢 量所联系的诸点的列阵。
21
期可函以数证n明(r )由n 此(r 定R 义)傅的氏倒级易数点中阵的矢波量矢正，是即前G面 由周
n(r)
neiG r
G
若
R u a v b w c ，则
h 、k 、l ，
只需证明
GCA
GCB
则 G 肯定垂直于（ hkl）平面。
32
∵
CA
= OA
-
OC
=
ac hl
而
CB = OB
-OC
= ah
c l
G h A k B lC
∴
GCA
=
(h A k B lC )(a c ) 2 2 0 hl
第二节倒点阵和X射线衍射条件
布拉格方程 Bragg equation
Bragg衍射方程： DB=BF=d sin
n = 2d sin 光程差为 的整数倍时加强；
| sin | ≤1；当n = 1 时 / 2d = | sin | ≤1即 ≤ 2d ； 只有当入射X射线的波长 ≤2 倍晶面间距时，才能产生衍 射
布拉格方程的讨论
c n
n
OM dhkl
nrhkl/rhkl
C
b
M
B
O
a
h a kb lc A 1
dhk lOn A a/h(
rh*kl1dhkl
r h kl )r h kl
晶 带 Zone
所有平行或相交于同一直线的这些晶面构成一个晶 带，此直线称为晶带轴。属此晶带的晶面称为晶带 面（共带面）。
三.X射线衍射的条件
劳厄方程 Laue equation :
1912年劳厄（M. Van. Laue）用X射线照射五水硫酸 铜并（由C光u的SO干4·涉5H条2O件）出获发得导世出界描上述第衍一射张线X空射间线方衍位射与照晶片， 体结构关系的公式（称劳埃方程）
a(cos-cos0)=H b(cos-cos0)=K c(cos-cos0)=L
晶面指数 Miller Index ：
对晶体中的一个晶面，可通过下列5个步骤标定其密 勒指数：（1）定坐标：三个坐标轴分别与晶 胞棱边平行 ，且符合右手法则；坐标原点位于晶胞的一个顶角，但不 能在该晶面上；（2）求截距：以晶格常数为单位，求该 晶面在坐标轴上的截距；（3）取倒数: 对三个截距值取倒 数；（4）化整数：将三个截距值化为一组最小整数；（5 ）加括号；给该组整数加上小括号（ ）。
一、晶体特性 二、倒点阵
第二节 倒点阵和X射线衍射条件
2.4倒易点阵、晶带
倒易点阵的数学表达形式
设V为正点阵单胞的体积
因为 (a b) // c
所以 c a b V
V c.(a b)
c 1 d(h,k ,l)
同理 b a c V
a bc V
按同样的方法可得
倒易点阵的性质
（1）正点阵和倒易点阵的同名基矢的点积为1， 不 同名基矢的点积为0.
倒易点阵
❖ 人们在研究晶体对X射线或电子束的衍射效应时知道， 某晶面（h,k,l)能否产生衍射的重要条件是该面相对 于入射束的取向，以及晶面间距d(h,k,l)。
❖ 因此为了从几何上形象地描述衍射条件，人们试图 找到一种新的点阵，使该点阵的每一结点都对应着 点阵中的一定晶面，即不仅反映该晶面的取向，而 且还反映晶面间距。
33 3
选择=结果
汇报结束 谢谢观看！ 欢迎提出您的宝贵意见！
晶面间距公式的推导：从
Z
C
原点作(h k l)晶面的法线，
γ
N
则法线被最近的(h k l)面所
D
O
β
交截的距离就是。
α
BY
A
dhkl
a h
cos
b k
cos
c l
cos
X 晶面指数与晶面位向间的关系
d2 hkl
h a
2
k b
2
l c
2
cos2
cos2
cos2
正交晶系
dhkl
所以，只要晶面指数一旦确定，晶面位向即可求得。 因此，晶面（hkl）的法线矢量为：
ON
1
(hi kj lk )
h2 k2 l2
即晶面（hkl）的法线与晶向[hkl]的方向平行
倒易点阵与衍射
4埃
0.25埃-1
(010)
b
(110) (210)
020
120 110
220
(100) 010
210
b*
H110
H210
c
a
000
c* a*
100
200
图3. a=4埃 的立方晶体及其倒易点阵
磁学与磁性材料
Xi’an Jiaotong University
倒易点阵的应用举例 1、单胞体积 c* 单胞体积等于底面积乘高。 底面积为 a b sin γ=a×b 高是（001）面的面间 距，为 c cosδ 故体积： O V= a b sin γ c cosδ
=（a×b）· c =（b×c）· a =（c×a）· b
磁学与磁性材料
b*
δ
c b γ (001) a
a*
图2.晶体点阵基矢与倒易 点阵基矢的关系
Xi’an Jiaotong University
倒易点阵的应用举例
2、晶面间距 Hhkl=1/dhkl，两边平方得： H2=1/d2=H · H=（ha*+kb*+lc*）·（ha*+kb*+lc*）= =h2a*2+k2b*2+l2c*2+2hk(a* · b*)+2kl(b* ·c*)+2kl(b* ·c*) 对立方晶系 a*2=b*2=c*2 ，(a* · b*)=(b* ·c*)=(b* ·c*)=0 代入上式得： 1/d2=h2a*2+k2a*2+l2a*2=(h2+k2+l2)a*2= =(h2+k2+l2) / a2 故: d= a / √ h2+k2+l2 对其他晶系，把参数带入公式中，可求出晶面间距。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导竭诚为您提供优质文档/双击可除第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导篇一：第十二章习题答案new1、分析电子衍射与x衍射有何异同？答：相同点：①都是以满足布拉格方程作为产生衍射的必要条件。
②两种衍射技术所得到的衍射花样在几何特征上大致相似。
不同点：①电子波的波长比x射线短的多，在同样满足布拉格条件时，它的衍射角很小，约为10-2rad。
而x射线产生衍射时，其衍射角最大可接近2?。
②在进行电子衍射操作时采用薄晶样品，增加了倒易阵点和爱瓦尔德球相交截的机会，使衍射条件变宽。
③因为电子波的波长短，采用爱瓦尔德球图解时，反射球的半径很大，在衍射角θ较小的范围内反射球的球面可以近似地看成是一个平面，从而也可以认为电子衍射产生的衍射斑点大致分布在一个二维倒易截面内。
④原子对电子的散射能力远高于它对x射线的散射能力，故电子衍射束的强度较大，摄取衍射花样时曝光时间仅需数秒钟。
2、倒易点阵与正点阵之间关系如何？倒易点阵与晶体的电子衍射斑点之间有何对应关系？答：倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的一个三维空间点阵，通过倒易点阵可以把晶体的电子衍射斑点直接解释成晶体相对应晶面的衍射结果，可以认为电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵某一截面上阵点排列的像。
关系：①倒易矢量ghkl垂直于正点阵中对应的（hkl）晶面，或平行于它的法向nhkl②倒易点阵中的一个点代表正点阵中的一组晶面③倒易矢量的长度等于点阵中的相应晶面间距的倒数，即ghkl=1/dhkl④对正交点阵有a*//a，b*//b，c*//c，a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c。
⑤只有在立方点阵中，晶面法向和同指数的晶向是重合的，即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl]平行⑥某一倒易基矢量垂直于正交点阵中和自己异名的二基矢所成平面。
3、用爱瓦尔德图解法证明布拉格定律。
证：如图，以入射x射线的波长λ的倒数为半径作一球（厄瓦尔德球），将试样放在球心o处，入射线经试样与球相交于o*；以o*为倒易原点，若任一倒易点g落在厄瓦尔德球面上，则g对应的晶面满足衍射条件产生衍射。
令入射方向矢量为k（k=1/λ），衍射方向矢量为k，，衍射矢量为g。
则有g=2ksinθ。
∵g=1/d；k=1/λ，∴2dsinθ=λ。
即厄瓦尔德球图解与布拉格方程等价。
4、画出fcc、bcc晶体的倒易点阵，并标出基本适量a*，b*，c*。
5、何为零层倒易面和晶带定理？说明同一晶带中各晶面及其倒易矢量与晶带轴之间的关系。
答：在倒易点阵中，通过倒易原点o*且与某一晶带轴[uvw]垂直的二维平面称为零层倒易面。
因为零层倒易面上的倒易面上的各倒易矢量都和晶带轴r=[uvw]垂直，故有g.r=0即hu+kv+lw=0这就是晶带定理。
6、为何对称入射时，即只有倒易点阵原点在爱瓦尔德球面上，也能得到除中心斑点以外的一系列衍射斑点？答：如果倒易点是几何点，那么对称入射时就没有倒易点落在厄瓦尔德球上。
但是，由于电镜样品是薄样品，倒易点拉长成倒易杆。
倒易杆与厄瓦尔德球相交可以产生衍射。
8、举例说明如何用选区衍射的方法来确定新相的惯习面及母相与新相的位向关系。
答：例如分析钢淬火时，马氏体在奥氏体的一定结晶面上形成的，此面为惯习面，它在相变过程中应该保持不变形与不转动。
由于马氏体相变时原子规则地发生位移,使新相(马氏体)和母相之间始终保持一定的位向关系。
在铁基合金中由面心立方母相γ变为体心立方(正方)马氏体m 时具有著名的K-s关系：{111}γ∥{011}m,γ∥m和西山关系：{111}γ∥{110}m，γ∥m。
惯性面的取向分析：利用透射电镜测定惯性面的指数，其根据是选区衍射花样与选区内组织形貌的微区对应性。
这里特介绍一种最基本、较简便的方法。
该方法的基本要点为：使用双倾台或旋转台倾转样品，使惯性面平行于入射束方向，在此位向下获得的衍射花样中将出现该惯性面的衍射斑点。
把这个位向下拍照的形貌像和相应的选区衍射花样对照，经磁转角校正后，即可确定惯性面的指数。
其具体操作步骤如下：1)利用双倾台倾转样品，使惯性面处于与入射束平行的方向。
2)拍照包含有惯性面的形貌像，以及该视场的选区电子衍射花样。
3)标定选区电子衍射花样，经磁转角校正后（即确保Tem方式下和sAeD方式下，没有磁转角差异），将惯性面在形貌像中的迹线（Tem图像的得边界线）画在衍射花样中。
4)由透射斑点作迹线的垂线，该垂线所通过的衍射斑点的指数即为惯性面的指数。
例如：镍基合金中的片状—ni3nb相常沿着基体(面心立方结构)的某些特定平面生长。
当片状相表面相对入射束倾斜一定角度时，在形貌像中片状相的投影宽度较大(见图实4—1a)；如果倾斜样品使片状相表面逐渐趋近平行于入射束，其在形貌像中的投影宽度将不断减小；当入射束方向与片状相表面平行时，片状相在形貌像中显示最小的宽度(图实4—1b)。
图实4—1c是入射电子束与片状相表面平行时拍照的基体衍射花样。
由图实4—1c所示的衍射花样的标定结果，可以确定片状相的生长惯习面为基体的(111)面。
通常习惯用基体的晶面表示第二相的惯习面。
母相与新相的位向分析：利用两相合成的电子衍射花样的标定结果，可以直接确定两相间的取向关系。
具体的分析方法是，在衍射花样中找出两相平行的倒易矢量，即两相的这两个衍射斑点的连线通过透射斑点，其所对应的晶面互相平行，由此可获得两相间一对晶面的平行关系；另外，由两相衍射花样的晶带轴方向互相平行，可以得到两相间一对晶向的平行关系。
由图实4—3a给出的两相合成电子衍射花样的标定结果可确定两相的取向关系：(200)m∥(002)，[011]m∥。
例如根据书上p176的衍射斑点的结果，可知马氏体的晶带轴是[001],奥氏体的晶带轴是[011]。
?11?A//?10?m?马氏体和奥氏体的位向关系：??011?A//?001?m?9、说明多晶、单晶及非晶衍射花样的特征及形成原理。
答：多晶体的电子衍射花样是一系列不同半径的同心圆环单晶衍射花样是由排列得十分整齐的许多斑点所组成的非晶态物质的衍射花样只有一个漫散中心斑点单晶花样是一个零层二维倒易截面，其倒易点规则排列，具有明显对称性，且处于二维网络的格点上。
因此表达花样对称性的基本单元为平行四边形。
单晶电子衍射花样就是(uvw)*0零层倒易截面的放大像。
多晶试样可以看成是由许多取向任意的小单晶组成的。
故可设想让一个小单晶的倒易点阵绕原点旋转，同一反射面hkl的各等价倒易点（即（hkl）平面族中各平面）将分布在以1/dhkl为半径的球面上，而不同的反射面，其等价倒易点将分布在半径不同的同心球面上，这些球面与反射球面相截，得到一系列同心园环，从反射球心向各园环连线，投影到屏上，就是多晶电子衍射图。
非晶的原子表现为近程有序，长程无序；原子的分布在非常小的范围内有一定的序。
由于单个原子团或多面体中原子具有近邻关系反映到倒空间也具有对应原子近邻距离的一个或两个倒易球面，反射球面与它们相交得到的轨迹都是一个或两个半径恒定并且以倒易点阵原点为中心同心圆环。
一、填空题1、电子衍射和x电子和x射线的散射能力不同。
2花样。
3、偏离矢量sθ45心立方和面心立方结构的花样中不会产生多余衍射。
6、倒易矢量的方向是对应正空间晶面的法线；倒易矢量的长度等于对应晶面间距的倒数。
7、只要倒易阵点落在厄瓦尔德球面上，就表示该条件，能产生。
篇二：现代分析习题解材料现代分析方法试题1（参考答案）一、基本概念题（共10题，每题5分）1．x射线的本质是什么？是谁首先发现了x射线，谁揭示了x射线的本质？答：x射线的本质是一种横电磁波，伦琴首先发现了x 射线，劳厄揭示了x射线的本质？2．下列哪些晶面属于[11]晶带？（（1）、（1）、（231）、（211）、（101）、（01）、（13），0），（12），（12），（01），（212），为什么？0）（1）、（211）、（12）、（01）、（01）晶面属于答：（[11]晶带，因为它们符合晶带定律：hu+kv+lw=0。
3．多重性因子的物理意义是什么？某立方晶系晶体，其{100}的多重性因子是多少？如该晶体转变为四方晶系，这个晶面族的多重性因子会发生什么变化？为什么？答：多重性因子的物理(:第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导)意义是等同晶面个数对衍射强度的影响因数叫作多重性因子。
某立方晶系晶体，其{100}的多重性因子是6？如该晶体转变为四方晶系多重性因子是4；这个晶面族的多重性因子会随对称性不同而改变。
4．在一块冷轧钢板中可能存在哪几种内应力？它们的衍射谱有什么特点？答：在一块冷轧钢板中可能存在三种内应力，它们是：第一类内应力是在物体较大范围内或许多晶粒范围内存在并保持平衡的应力。
称之为宏观应力。
它能使衍射线产生位移。
第二类应力是在一个或少数晶粒范围内存在并保持平衡的内应力。
它一般能使衍射峰宽化。
第三类应力是在若干原子范围存在并保持平衡的内应力。
它能使衍射线减弱。
5．透射电镜主要由几大系统构成?各系统之间关系如何?答：四大系统:电子光学系统,真空系统,供电控制系统,附加仪器系统。
其中电子光学系统是其核心。
其他系统为辅助系统。
6．透射电镜中有哪些主要光阑?分别安装在什么位置?其作用如何?答：主要有三种光阑：①聚光镜光阑。
在双聚光镜系统中,该光阑装在第二聚光镜下方。
作用:限制照明孔径角。
②物镜光阑。
安装在物镜后焦面。
作用:提高像衬度；减小孔径角，从而减小像差；进行暗场成像。
③选区光阑:放在物镜的像平面位置。
作用:对样品进行微区衍射分析。
7．什么是消光距离?影响晶体消光距离的主要物性参数和外界条件是什么?答：消光距离:由于透射波和衍射波强烈的动力学相互作用结果，使I0和Ig在晶体深度方向上发生周期性的振荡，此振荡的深度周期叫消光距离。
影响因素:晶胞体积,结构因子,bragg角,电子波长。
8．倒易点阵与正点阵之间关系如何?画出fcc和bcc 晶体的倒易点阵，并标出基本矢量a*,b*,c*。
答：倒易点阵与正点阵互为倒易。
9．红外测试样品需尽可能把游离水驱除干净。
含游离水样品的红外谱图中在哪两个波数范围会出现吸收峰?答:把样品放入110℃烘箱中干燥至少2小时，并抽真空；含游离水样品的红外谱图在3000-3800cm-11590-1690cm-1存在吸收峰。
10．一种化合物含有两个基团与各含一个基团的两种化合物的混合物，其红外谱图有大的差别吗？为什么？答：若该化合物中的两个基团是孤立的，通常两种测试样品的红外谱图没有大的差别，因此测试红外光谱时应尽可能把样品的各组份完全分离后测试。
二、综合及分析题（共5题，每题10分）1．决定x射线强度的关系式是，试说明式中各参数的物理意义?答：I0为入射x射线的强度；λ为入射x射线的波长R为试样到观测点之间的距离；V为被照射晶体的体积Vc为单位晶胞体积p为多重性因子，表示等晶面个数对衍射强度的影响因子；F为结构因子，反映晶体结构中原子位置、种类和个数对晶面的影响因子；φ(θ)为角因子，反映样品中参与衍射的晶粒大小，晶粒数目和衍射线位置对衍射强度的影响；A(θ)为吸收因子，圆筒状试样的吸收因子与布拉格角、试样的线吸收系数μl和试样圆柱体的半径有关；平板状试样吸收因子与μ有关，而与θ角无关。