2014中考复习备战策略 数学PPT专题三 开放型问题

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方法总结 添加条件时，首先分析具备了哪些条件，然后按照 三角形全等的判定方法确定缺少的条件.
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考点二 例2
结论开放型
(2013· 吉林)如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB
于点 C，连接 OA，OB.点 P 是半径 OB 上任意一点，连 接 AP.若 OA＝5 cm，OC＝3 cm，则 AP 的长度可能是 _______cm(写出一个符合条件的数值即可)．
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【点拨】因为 OC⊥AB，所以由垂径定理，可得 AC＝BC.在 Rt△AOC 中，OA＝5 cm，OC＝3 cm，由 勾股定理，可得 AC ＝ 4 cm ，所以 AB ＝ 8 cm. 因为 AO≤AP≤AB，所以 5 cm≤AP≤8 cm，当点 P 与点 O 重合时，AP＝AO＝5 cm；当点 P 与点 B 重合时，AP ＝AB＝8 cm；当点 P 在 O 与 B 之间时，AO＜AP＜AB. 所以 AP 可以是 5 cm 与 8 cm 之间的任意数值． 【答案】 6(答案不唯一，5 cm≤AP≤8 cm 即可)
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方法总结 先假设问题的结论正确，然后再根据条件进行推 理，若得出正确的结论，则假设成立，否则就不成立 .
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一、选择题 (每小题 4 分，共 20 分 ) 1．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为 2，宽为 1，A，B 两点在网格格点上，若点 C 也在网格 格点上，以 A， B， C 为顶点的三角形的面积为 2，则 满足条件的点 C 的个数是 ( C )
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(1)求证：△ ABE∽△ ECM； (2)探究：在△ DEF 运动过程中，重叠部分能否构 成等腰三角形，若能，求出 BE 的长；若不能，请说明 理由； (3)当线段 AM 最短时，求重叠部分的面积．
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【点拨】 (1)利用全等三角形的对应角相等确定相 似的条件； (2)分情况讨论，显然 AE， AM 不能作腰， 讨论当 AE，EM 作腰时，求得 BE＝ 1；当 AM，EM 作 腰时，利用 △ CAE∽△ CBA 求得 CE，进而求出 BE 的 值； (3)设 BE 为 x，通过相似用 x 表示出 CM，进而表 示出 AM，通过二次函数顶点确定 AM 的最小值，进而 确定重叠部分的面积．
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2
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1 又∵ BE＝x＝3＝ BC， 2 ∴点 E 为 BC 的中点． ∴ AE⊥ BC，∴ AE＝ AB2－ BE2＝ 4. 12 此时， EF⊥ AC，∴ EM＝ CE － CM ＝ . 5
2 2
1 1 16 12 96 ∴ S△ AEM＝ AM · EM＝ × × ＝ . 2 2 5 5 25
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结论“存在”， 然后从条件出发进行计算或推理论证，
与已知条件或相关定理相一致，则说明其存在；否则，
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考点一 例 1
条件开放型 (2013· 青海)如图，BC＝EC，∠1＝∠2，添
加一个适当的条件使△ABC≌△DEC， 则需添加的条件 是_________________________ (不添加任何辅助线)．
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解析：由 BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D，交 AB 于点 E， 可以证明 BE＝CE， BF＝CF.再由 BE＝BF 可得 BE＝CE＝BF＝CF， 所以四边形 BECF 是菱形． 由 BC＝AC 得∠ABC＝45° ，所以∠EBF＝90° ，从而可证 四边形 BECF 是正方形； 由 CF⊥BF 可得∠CFB＝90° ， 从而可证四边形 BECF 是正方形； 由 BD＝DF 可得 BC ＝EF，从而可证四边形 BECF 是正方形；只有选项 D 不能证明四边形 BECF 为正方形．故选 D.
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3．判断型开放题：称判定几何图形的形状大小、 图形的位置关系、 方程 (组 )的解的情况或判定具有某种 性质的数学对象是否存在的开放型问题为判断型开放 题，又称存在型探索题．解题的基本思路是：先假设 直接找出或证得符合条件的结论，若推理所得的结论 说明其不存在．
(2)能构成等腰三角形．理由如下： ∵∠ AEF＝∠ B＝∠ C，且∠ AME＞∠ C， ∴∠ AME＞∠ AEF，∴ AE≠ AM. 当 AE＝ EM 时，则△ ABE≌△ ECM， ∴ CE＝ AB＝ 5，∴ BE＝ BC－ EC＝ 1. 当 AM＝ EM 时，则∠ MAE＝∠ MEA， ∴∠MAE＋∠ BAE＝∠ MEA＋∠ CEM， 即∠ CAB＝∠ CEA.
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1．条件开放型：称条件不充分或没有确定已知条 件的开放型问题为条件开放题．由于满足结论的条件 不唯一，解题时需执果寻因，根据结论和已有的已知 条件，寻找使得结论成立的其他条件．
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2．结论开放型：称结论不确定或没有确定结论的 开放型问题为结论开放题．给出问题的条件，让解题 者根据给出的条件探索相应的结论，而符合条件的结 论往往呈现多样性，解题时需由因导果，由已知条件 导出相应的结论，并且得出的结论应尽可能地使用题 目给出的全部条件．
CM CE (3)设 BE＝x，∵△ ABE∽△ ECM，∴ ＝ . BE AB CM 6－x ∴ ＝ . 5 x x 6 1 2 9 ∴ CM＝－ ＋ x＝－ (x－ 3) ＋ . 5 5 5 5 1 2 16 ∴ AM＝ 5－ CM＝ (x－ 3) ＋ . 5 5 16 ∴当 x＝ 3 时， AM 最短为 . 5
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2．(2013· 贵阳)如图，M 是 Rt△ ABC 的斜边 BC 上 异于 B， C 的一定点，过点 M 作直线截△ ABC，使截 得的三角形与△ABC 相似，这样的直线共有( A．1 条 B． 2 条 C． 3 条 D． 4 条 C )
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解析：若根据 SAS 证明时，则可以添加 AE＝AD 或 CE＝BD；若根据 ASA 证明时，则可以添加∠C＝ ∠B； 若根据 AAS 证明时， 则可以添加∠AEB＝∠ADC 或∠CEB＝∠BDC.
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7．(2013· 义乌)如图，已知∠B＝∠ C，添加一个条 件使△ ABD≌△ ACE( 不标注新的字母，不添加新的线 段 )， 你添加的条件是 AB＝ AC(或 AD＝ AE 或 BD＝ CE 或 BE＝ CD) (写出一个即可)．
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方法总结 解答结论开放型问题，要熟练掌握常见图形的性 质、函数的性质等，然后由因导果添加适当的结论.
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考点三 例3
判断型开放题 (2012· 宜宾)如图，在△ABC 中，已知 AB
＝ AC＝ 5， BC＝ 6，且△ABC≌△DEF，将△DEF 与 △ABC 重合在一起，△ABC 不动，△DEF 运动，并满 足：点 E 在边 BC 上沿 B 到 C 的方向运动．且 DE 始 终经过点 A，EF 与 AC 交于 M 点．
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解：(1)证明：∵ AB＝ AC，∴∠ B＝∠ C. ∵△ ABC≌△ DEF，∴∠ AEF＝∠ B. ∵∠ AEF＋∠ CEM＝∠ AEC＝∠ B＋∠ BAE， ∴∠ CEM＝∠ BAE.∴△ ABE∽△ ECM.
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5 ．如图，已知矩形 ABCD ，一条直线将该矩形 ABCD 分割成两个多边形， 若这两个多边形的内角和分 别为 M 和 N，则 M＋N 不可能是( D )
A．360° C．720°
B．百度文库40° D．630°
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解析：直线将四边形分割成两个三角形，内角和为 分割成两个四边形，内角和为 720° ，所以不可能得到 630° .故选 D.
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∵∠C＝∠C，∴△CAE∽△CBA. CE AC AC 25 25 11 ∴AC＝CB. ∴CE＝ CB ＝ . ∴BE＝6－ ＝ . 6 6 6 11 综上所述，当 BE＝1 或 时，重叠部分能构成等 6 腰三角形．
2
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解析：本题给出∠B＝∠C，公共角∠A，根据全等 三角形的判定方法，有两个角全等的判定方法有 AAS， ASA，只要添加其中任意一个角的对边或邻边相等即 可，即 AB＝AC 或 AD＝AE 或 BD＝CE；也可添加 BE ＝CD，再得出 BD＝CE.
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专题三
开放型问题
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开放型问题是中考题多样化和时代发展要求的产 物，是中考的热点题型，是考查学生探索能力、创新 能力的重要方式．开放型问题是相对于封闭型问题而 言，是指那些条件不完整、结论不确定、解法不限制 的数学问题，它的显著特点是正确答案不唯一，从所 呈现问题的方式看，有下列几种基本形式：
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4．如图是由一些大小相同的小立方体组成的几何 体的主视图和左视图， 则组成这个几何体的小立方体的 个数不可能是( D )
A．3
B．4
C．5
D．6
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解析： 根据主视图与左视图，第一行的正方体有 1(只有一边有)或 2(左右都有)个，第二行的正方体可能 有 2(左边有)或 3(左右都有)个，∵1＋2＝3,1＋3＝4,2＋ 2＝4,2＋3＝5，故不可能有 6 个．故选 D.
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解析：过点 M 分别作 AC 和 AB 的平行线，截得的 三角形与 △ABC 相似；过点 M 作 BC 的垂线，截得的 三角形与 △ABC 相似．故选 C.
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3．(2013· 威海)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90° ， BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，且 BE＝BF.添加一个条件， 仍不能证明四边形 BECF 为正 方形的是( D ) A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF
A． 2
B． 3
C． 4
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D． 5
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解析： 如图， 根据三角形的面积公式可知， 欲使△ABC 的面积为 2，且顶点 C 也在网格格点上，那么，此三角 形的底边、高的值应该分别为 4,1 或 2,2.结合题目所给 图形，可以找到符合条件的点共有 4 个．故选 C.
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【点拨】 由 ∠1 ＝ ∠2 ，可得 ∠ACB ＝ ∠DCE ，又 BC＝EC，要使△ABC≌△DEC，可添加∠B＝∠E，由 “ASA”得证；添加∠A＝∠D，由“AAS”得证；添加 AC ＝DC，由“SAS”得证． 【答案】 不唯一， 如∠B＝∠E(或∠A＝∠D 或 AC ＝DC)
360° ； 分割成一个三角形， 一个四边形， 内角和为 540° ；
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二、填空题 (每小题 4 分，共 20 分 ) 6 ． (2013·娄 底 ) 如 图 ， AB ＝ AC ， 要 使 △ ABE≌△ ACD ， 应 添 加 的 条 件 是 ∠ C ＝ ∠ B( 或 ∠ AEB＝ ∠ ADC 或 ∠ CEB＝ ∠ BDC 或 AE＝ AD 或 CE ＝ BD) (添加一个条件即可)．