概率论第一章1.3节

来自“概率”理论的质疑
统计学进入文学领域后，高鹗续写的定论遭到了计 算机的质疑。 1981年，首届国际《红楼梦》研讨会 在美国召开，美国威斯康星大学讲师陈炳藻独树一 帜，宣读了题为《从词汇上的统计论〈红楼梦〉作 者的问题》的论文，首 次借助计算机进行《红楼梦》 研究，轰动了国际红学界。陈炳藻从字、词出现频 率入手，通过计算机进行统计、处理、分析，对 《红楼梦》后40回系高鹗所作这一 流行看法提出异 议，认为120回均系曹雪芹所作。
i =1 m i =1 m
1≤i < j ≤m
∑ ∑
P( Ai Aj ) P( Ai Aj ) +
P (∪ Ai ) ≤ ∑ P( Ai ) −
i =1 i =1 m
1≤i < j ≤m
1≤i < j <k ≤ m
∑
P ( Ai Aj Ak )
提示： Ai =A1 ∪ A1 A2 ∪ A1 A2 A3 ∪⋯∪ A1 A2 ⋯ Am -1 Am ∪
P( A) = P( B ∪ AB ) = P ( B ∪ ( A − B) ) = P( B) + P( A − B)
故
P ( A − B ) = P ( A) − P ( B )
维恩图
A
B
1.3.2 概率的单调性
A⊃ B P ( A) ≥ P ( B )
P ( A − B ) = P ( A) − P ( B ) ≥ 0
称可列并 ∪ Fn 为 {Fn } 的极限事件，记为
n →+∞
lim Fn = ∪ Fn
n =1
+∞
对 F 中的任意单调不增的事件序列 E1 ⊃ E2 ⊃ ⋯ ⊃ En ⋯ +∞ ，称 ∩ En 为 { En } 的极限事件，记为
n =1
n →+∞
lim En = ∩ En
n =1
+∞
。
1.3.4 概率的连续性——连续
i =1
例1.3.6
在一个有n个人参加的晚会上，每个人带 了一件礼物，且假定每个人带的礼物都不 相同。晚会期间各人从放在一起的个礼物 中随机地抽取一件，求至少有一个人自己 抽到自己的礼物的概率。
解答
设 Ai = “第i个人抽到自己的礼物”i = 1, 2,⋯ , n ,
B= “至少有一个人抽到自己的礼物”
练习1-答案
掷一颗骰子4次，至少出现一次6点的概率 1-(5/6)4=0.52 掷两颗骰子24次，至少出现一次双6点的 概率 1-(25/36) 24=0.99 1-(35/36)24=0.49
1.3.2 概率的单调性
若 A⊃ B 则 P ( A − B ) = P ( A) − P ( B ) 证明：因为 A ⊃ B 证明： 所以
i =1 i =1 m m 1≤i < j ≤ m
∑
P( Ai Aj ) +
1≤i < j < k ≤ m
∑
P( Ai Aj Ak ) + ⋯ + (−1) m −1 ⋅ P( A1 A2 ⋯ Am )
那么，n = m + 1 时，有
归纳法
P (∪ Ai ) = P (∪ Ai ∪ Am +1 ) = P (∪ Ai ) + P ( Am +1 ) − P[(∪ Ai ) Am +1 ]
半可加性
对任意两个事件A和B，有
P(A ∪ B) ≤ P(A)+P(B)
对任意n个事件 A1 , A2 ,⋯ An ，有
P(∪ Ai ) ≤ ∑ P( Ai )
i =1 i =1
n
n
证明-课下思考 证明 课下思考
P (∪ Ai ) ≤ ∑ P( Ai )
i =1 m i =1 m m m
P (∪ Ai ) ≥ ∑ P( Ai ) −
P (∪ Ai ) = ∑ P ( Ai )
n
n
A1 ∪ A2 ∪⋯∪ An = A1 ∪ A2 ∪⋯∪ An ∪ ∅ ∪ ∅ ∪⋯
P( A1 ∪ A2 ∪⋯∪ An ) = P( A1 ∪ A2 ∪⋯∪ An ∪ ∅ ∪ ∅ ∪⋯) = P ( A1 ) + P( A2 ) + ⋯ + P( An ) + P(∅) + ⋯
P ( B ) = P (∪ Ai )
= ∑ P( Ai ) −
i =1 n
n
i= i =1
1≤i < j ≤ n
∑
P( Ai Aj ) +
1≤i < j < k ≤ n
∑
P( Ai Aj Ak ) + ⋯ + (−1)n −1 P( A1 A2 ⋯ An )
1 = Cn ⋅
( n − 1)! ( n − n)! 2 ( n − 2)! 3 ( n − 3)! − Cn ⋅ + Cn ⋅ + ⋯ + ( −1) n−1 Cnn ⋅ n n n n ！ ！ ！ ！ 1 1 1 = 1 − + + ⋯ + ( −1) n−1 2! 3! n!
所以 P(Ω) = P(Ω∪∅∪∅∪⋯∪∅∪⋯) = P(Ω) + P(∅) + P(∅) +⋯+ P(∅) +⋯
P (∅ ) + P (∅ ) + ⋯ + P (∅ ) + ⋯ = 0
P (∅ ) = 0
1.3.1 概率的可加性
有限可加性 若有限个事件 A1 , A2 , ⋯ An互不相容，则
i =1 i =1 证明： 因为事件 A1 , A2 ,⋯ An 互不相容，且
= P( A1 ) + P ( A2 ) + ⋯ + P ( An )
P ( A) = 1 − P ( A)
因为
1 = P(Ω) = P( A ∪ A) = P( A) + P ( A)
所以
P ( A) = 1 − P ( A)
例1.3.1
36只灯泡中有4只是60w，其余为40w， 现从中任取3只，求至少取到1只60w灯泡 的概率？
B
AB A
证明
P( A ∪ B) = P( A ∪ BA) = P( A) + P( BA) = P( A) + P( B) − P( AB)
(1) n = 2时，显然有 P ( A1 ∪ A2 ) = P ( A1 ) + P( A2 ) − P( A1 A2 )
(2)假设n = m 时，有
P(∪ Ai ) = ∑ P( Ai ) −
所以 P ( A − B ) = P ( A) − P ( AB )
例1.3.3
口袋中有编号为1，2，…，n的n个球， 从中有放回的任取m次，求取出m个球的 最大编号为k的概率。
3 2 1 … … … … 4 … … n
1.3.3 概率的加法公式
加法公式
对任意两个事件 A, B ，有
PA∪B)=PA +PB)−PA ) ( () ( (B
对 F上的一个概率P，若它对F中任一单调不减的事件序列
{Fn }均成立
n →+∞
lim P ( Fn ) = P ( lim Fn )
n →+∞
则称概率P是下连续的。 若它对 F中的任一单调不增的事件序列{En }均成立
n →+∞
lim P ( En ) = P ( lim En )
n →+∞
则称概率P是上连续的。
概率论的起源
后来为使游戏更刺激，游戏规则有了变化。 玩家这回用 2 个骰子连续掷 24 次，不同时出现 2个6点 玩家赢，否则庄家赢。 2个6点，玩家赢，否则庄家赢。 17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵 族德·梅耳，发现了这样的事实：将一枚骰子连掷 将一枚骰子连掷 四次至少出现一个六点的机会比较多， 四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将 两枚骰子掷24次 两枚骰子掷 次，至少出现一次双六的机会却很 少。
i =1 i =1 i =1 i =1 m +1 m m m
= ∑ P( Ai ) −
i =1
m
1≤i < j ≤ m
∑
P( Ai Aj ) +
1≤i < j < k ≤ m
∑
P( Ai Aj Ak ) + ⋯ + (−1)m −1 ⋅ P( A1 A2 ⋯ Am )
+ P ( Am +1 ) − P ( A1 Am +1 ∪ A2 Am +1 ∪⋯∪ Am Am +1 )
若 则
因为 所以
P ( A) ≥ P ( B )
1.3.2 概率的单调性
对任意两个事件 A, B ，有
P ( AB ) = P ( A − B ) = P ( A) − P ( AB )
证明：因为 证明：
P( A) = P ( ( A − B) ∪ AB ) = P( A − B) + P( AB)
概率的连续性
若P是 F上的概率，则P既是下连续又是上连续的。 先证P的下连续性 设 {Fn }是 F 中一个单调不减的事件序列，即
n →+∞
lim Fn = ∪ Fn
n =1
+∞
+∞
令 F0 = ∅ ，则
+∞ i
∪ F = ∪ (F − F
i
由于 Fi −1 ⊂ Fi ，显然各
i =1
i =1
i −1
1 = 1 − ≈ 0.633 e
练习2
10对夫妻坐成一圈，计算没有一对 夫妻坐在一起的概率。 n对夫妻坐在一起的概率
2n (19 − n)! P( Ai1 Ai2 ⋯ Ain ) = 19!
1.3.4 概率的连续性——极限
定义： 对 F中的任意单调不减的事件序列 定义：
+∞ n =1
F1 ⊂ F2 ⊂ ⋯ Fn ⋯ ,
+ P( Am+1 ) − ∑ P( Ai Am +1 ) +
i =1
1≤i < j ≤ m
∑
P( Ai Aj Am +1 ) −
1≤i < j < k ≤m
∑
= P(∪ Ai ) −
i =1
m +1
1≤i < j ≤ m +1
∑
P( Ai Aj ) +
1≤i < j < k ≤ m +1
∑
P( Ai Aj Ak ) + ⋯ + (−1) m ⋅ P( A1 A2 ⋯ Am+1 )
教学目标
掌握概率的可加性、单调性和加法公式， 并使用公式进行计算。 了解概率的连续性
教学内容
概率的可加性 概率的单调性 概率的加法原则 概率的连续性
概率的公理与计算回顾
三条公理化定义 事件的关系 事件的运算 事件的运算性质
不可能事件φ的概率
P (∅ ) = 0
证明：
因为 Ω = Ω ∪ ∅ ∪ ∅ ∪⋯ ∪ ∅ ∪⋯
)
( Fi − Fi −1 )
两两互不相容，根据可列可加性得
概率的连续性
P (∪ Fi ) = P (∪ ( Fi − Fi −1 ))
i =1 +∞ +∞ i =1
所以，
= ∑ P (Fi − Fi −1 )
i =1
+∞
P ( lim Fn ) = lim P ( Fn )
n →+∞ n →+∞
对任意n个事件 A1 , A2 ,⋯ An，有
P(∪ Ai ) = ∑ P( Ai ) −
i =1 i =1 n n 1≤i < j ≤ n
∑
P( Ai Aj ) +
1≤i < j < k ≤ n
∑
P( Ai Aj Ak ) + ⋯ + (−1) n −1 ⋅ P( A1 A2 ⋯ An )
维恩图
= ∑ P( Ai ) −
i =1
m
m
1≤i < j ≤ m
∑
P( Ai Aj ) +
1≤i < j < k ≤ m
∑
P( Ai Aj Ak ) + ⋯ + (−1) m −1 ⋅ P( A1 A2 ⋯ Am )
P( Ai Aj Ak Am +1 ) + ⋯ + (−1) m P( A1 A2 ⋯ Am Am +1 )
练习1
一赌徒认为掷一颗骰子4次，至少出现一 次6点的概率，与掷两颗骰子24次，至少 出现一次双6点的概率，两者是相等的， 请问是否正确？
概率论的起源
帕斯卡、费尔马和惠更斯： 1657年； 《论掷骰子游戏中的计算》 当时法国贵族盛行掷骰子游戏，游戏规则 是玩家连续掷 4 次骰子，如果其中没有 玩家连续掷 次骰子， 6 点出现，玩家赢，如果出现一次 6 点， 点出现，玩家赢， 则庄家赢。 则庄家赢。按照这一游戏规则，从长期来 看，庄家输少赢多，而玩家总是输多赢少。
i −1
= lim
Байду номын сангаас
n →+∞
∑ P(F − F
i =1 i n i =1 n
n
)
即P是下连续的。
= lim P (∪ ( Fi − Fi −1 ))
n →+∞
= lim P (∪ Fi )
n →+∞ i =1
= lim P ( Fn )
n →+∞
可列可加性的充要条件
性质1.3.8 若P(·)是事件域Φ上满足：非负、正则的集合 函数，则P(·) 有可列可加性的充要条件 充要条件是它 充要条件 具有有限可加性和下连续性 具有有限可加性 下连续性。 下连续性
1.3 概率的性质
任课教师：侯雅文 2011年9月14日
《红楼梦》的作者到底是谁？ 红楼梦》的作者到底是谁？
《红楼梦》成书迄今已逾200年，作为中 国历史上最有影响的小说之一，《红楼 梦》有各种不同的版本、数十种续书， 流传到世界各国，被翻译成多种文字， 感动 了不同民族的长期以来，人们普遍 认为曹雪芹只写了《红楼梦》的前80回， 后40回是高鹗续写的，你认为这是真的 吗？