概率论第一章1.3节

= ∑ P( Ai ) −
i =1
m
m
1≤i < j ≤ m
∑
P( Ai Aj ) +
1≤i < j < k ≤ m
∑
P( Ai Aj Ak ) + ⋯ + (−1) m −1 ⋅ P( A1 A2 ⋯ Am )
P( Ai Aj Ak Am +1 ) + ⋯ + (−1) m P( A1 A2 ⋯ Am Am +1 )
半可加性
对任意两个事件A和B，有
P(A ∪ B) ≤ P(A)+P(B)
对任意n个事件 A1 , A2 ,⋯ An ，有
P(∪ Ai ) ≤ ∑ P( Ai )
i =1 i =1
n
n
证明-课下思考 证明 课下思考
P (∪ Ai ) ≤ ∑ P( Ai )
i =1 m i =1 m m m
P (∪ Ai ) ≥ ∑ P( Ai ) −
i =1 i =1 m m 1≤i < j ≤ m
∑
P( Ai Aj ) +
1≤i < j < k ≤ m
∑
P( Ai Aj Ak ) + ⋯ + (−1) m −1 ⋅ P( A1 A2 ⋯ Am )
那么，n = m + 1 时，有
归纳法
P (∪ Ai ) = P (∪ Ai ∪ Am +1 ) = P (∪ Ai ) + P ( Am +1 ) − P[(∪ Ai ) Am +1 ]
教学目标
掌握概率的可加性、单调性和加法公式， 并使用公式进行计算。 了解概率的连续性
教学内容
概率的可加性 概率的单调性 概率的加法原则 概率的连续性
概率的公理与计算回顾
三条公理化定义 事件的关系 事件的运算 事件的运算性质
不可能事件φ的概率
P (∅ ) = 0
证明：
因为 Ω = Ω ∪ ∅ ∪ ∅ ∪⋯ ∪ ∅ ∪⋯
所以 P(Ω) = P(Ω∪∅∪∅∪⋯∪∅∪⋯) = P(Ω) + P(∅) + P(∅) +⋯+ P(∅) +⋯
P (∅ ) + P (∅ ) + ⋯ + P (∅ ) + ⋯ = 0
P (∅ ) = 0
1.3.1 概率的可加性
有限可加性 若有限个事件 A1 , A2 , ⋯ An互不相容，则
i =1 i =1 证明： 因为事件 A1 , A2 ,⋯ An 互不相容，且
1.3 概率的性质
任课教师：侯雅文 2011年9月14日
《红楼梦》的作者到底是谁？ 红楼梦》的作者到底是谁？
《红楼梦》成书迄今已逾200年，作为中 国历史上最有影响的小说之一，《红楼 梦》有各种不同的版本、数十种续书， 流传到世界各国，被翻译成多种文字， 感动 了不同民族的长期以来，人们普遍 认为曹雪芹只写了《红楼梦》的前80回， 后40回是高鹗续写的，你认为这是真的 吗？
P( A) = P( B ∪ AB ) = P ( B ∪ ( A − B) ) = P( B) + P( A − B)
故
P ( A − B ) = P ( A) − P ( B )
维恩图
A
B
1.3.2 概率的单调性
A⊃ B P ( A) ≥ P ( B )
P ( A − B ) = P ( A) − P ( B ) ≥ 0
+ P( Am+1 ) − ∑ P( Ai Am +1 ) +
Байду номын сангаасi =1
1≤i < j ≤ m
∑
P( Ai Aj Am +1 ) −
1≤i < j < k ≤m
∑
= P(∪ Ai ) −
i =1
m +1
1≤i < j ≤ m +1
∑
P( Ai Aj ) +
1≤i < j < k ≤ m +1
∑
P( Ai Aj Ak ) + ⋯ + (−1) m ⋅ P( A1 A2 ⋯ Am+1 )
称可列并 ∪ Fn 为 {Fn } 的极限事件，记为
n →+∞
lim Fn = ∪ Fn
n =1
+∞
对 F 中的任意单调不增的事件序列 E1 ⊃ E2 ⊃ ⋯ ⊃ En ⋯ +∞ ，称 ∩ En 为 { En } 的极限事件，记为
n =1
n →+∞
lim En = ∩ En
n =1
+∞
。
1.3.4 概率的连续性——连续
练习1
一赌徒认为掷一颗骰子4次，至少出现一 次6点的概率，与掷两颗骰子24次，至少 出现一次双6点的概率，两者是相等的， 请问是否正确？
概率论的起源
帕斯卡、费尔马和惠更斯： 1657年； 《论掷骰子游戏中的计算》 当时法国贵族盛行掷骰子游戏，游戏规则 是玩家连续掷 4 次骰子，如果其中没有 玩家连续掷 次骰子， 6 点出现，玩家赢，如果出现一次 6 点， 点出现，玩家赢， 则庄家赢。 则庄家赢。按照这一游戏规则，从长期来 看，庄家输少赢多，而玩家总是输多赢少。
所以 P ( A − B ) = P ( A) − P ( AB )
例1.3.3
口袋中有编号为1，2，…，n的n个球， 从中有放回的任取m次，求取出m个球的 最大编号为k的概率。
3 2 1 … … … … 4 … … n
1.3.3 概率的加法公式
加法公式
对任意两个事件 A, B ，有
PA∪B)=PA +PB)−PA ) ( () ( (B
i =1 i =1 i =1 i =1 m +1 m m m
= ∑ P( Ai ) −
i =1
m
1≤i < j ≤ m
∑
P( Ai Aj ) +
1≤i < j < k ≤ m
∑
P( Ai Aj Ak ) + ⋯ + (−1)m −1 ⋅ P( A1 A2 ⋯ Am )
+ P ( Am +1 ) − P ( A1 Am +1 ∪ A2 Am +1 ∪⋯∪ Am Am +1 )
对任意n个事件 A1 , A2 ,⋯ An，有
P(∪ Ai ) = ∑ P( Ai ) −
i =1 i =1 n n 1≤i < j ≤ n
∑
P( Ai Aj ) +
1≤i < j < k ≤ n
∑
P( Ai Aj Ak ) + ⋯ + (−1) n −1 ⋅ P( A1 A2 ⋯ An )
维恩图
来自“概率”理论的质疑
统计学进入文学领域后，高鹗续写的定论遭到了计 算机的质疑。 1981年，首届国际《红楼梦》研讨会 在美国召开，美国威斯康星大学讲师陈炳藻独树一 帜，宣读了题为《从词汇上的统计论〈红楼梦〉作 者的问题》的论文，首 次借助计算机进行《红楼梦》 研究，轰动了国际红学界。陈炳藻从字、词出现频 率入手，通过计算机进行统计、处理、分析，对 《红楼梦》后40回系高鹗所作这一 流行看法提出异 议，认为120回均系曹雪芹所作。
i =1
例1.3.6
在一个有n个人参加的晚会上，每个人带 了一件礼物，且假定每个人带的礼物都不 相同。晚会期间各人从放在一起的个礼物 中随机地抽取一件，求至少有一个人自己 抽到自己的礼物的概率。
解答
设 Ai = “第i个人抽到自己的礼物”i = 1, 2,⋯ , n ,
B= “至少有一个人抽到自己的礼物”
对 F上的一个概率P，若它对F中任一单调不减的事件序列
{Fn }均成立
n →+∞
lim P ( Fn ) = P ( lim Fn )
n →+∞
则称概率P是下连续的。 若它对 F中的任一单调不增的事件序列{En }均成立
n →+∞
lim P ( En ) = P ( lim En )
n →+∞
则称概率P是上连续的。
i −1
= lim
n →+∞
∑ P(F − F
i =1 i n i =1 n
n
)
即P是下连续的。
= lim P (∪ ( Fi − Fi −1 ))
n →+∞
= lim P (∪ Fi )
n →+∞ i =1
= lim P ( Fn )
n →+∞
可列可加性的充要条件
性质1.3.8 若P(·)是事件域Φ上满足：非负、正则的集合 函数，则P(·) 有可列可加性的充要条件 充要条件是它 充要条件 具有有限可加性和下连续性 具有有限可加性 下连续性。 下连续性
P (∪ Ai ) = ∑ P ( Ai )
n
n
A1 ∪ A2 ∪⋯∪ An = A1 ∪ A2 ∪⋯∪ An ∪ ∅ ∪ ∅ ∪⋯
P( A1 ∪ A2 ∪⋯∪ An ) = P( A1 ∪ A2 ∪⋯∪ An ∪ ∅ ∪ ∅ ∪⋯) = P ( A1 ) + P( A2 ) + ⋯ + P( An ) + P(∅) + ⋯
若 则
因为 所以
P ( A) ≥ P ( B )
1.3.2 概率的单调性
对任意两个事件 A, B ，有
P ( AB ) = P ( A − B ) = P ( A) − P ( AB )
证明：因为 证明：
P( A) = P ( ( A − B) ∪ AB ) = P( A − B) + P( AB)