正方形的性质与判定课件(上课)资料.
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正方形的性质课件ppt
角判定法
总结词
若四边形所有角都是直角，则该四边形是正方形。
详细描写
正方形的一个基本性质是其所有角都是直角，因此，如果一个四边形的所有角都 是直角，那么它就是正方形。
对角线判定法
总结词
若四边形的对角线互相垂直且相等，则该四边形是正方形。
详细描写
正方形的对角线不仅相等，而且还互相垂直，因此，如果一 个四边形的对角线互相垂直且相等，那么它就是正方形。
正方形的性质课件
汇报人： 202X-12-30
目录
• 正方形的定义与特性 • 正方形的性质 • 正方形的判定 • 正方形的面积与周长 • 正方形的应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
正方形的定义与特性
定义
正方形是四边相等且四个角都 是直角的四边形。
正方形的所有边长相等，所有 内角都是直角，即90度。
正方形的对角线相等且互相平 分，对角线将正方形分成两个 全等的等腰直角三角形。
正方形瓷砖在地面铺设中应用广 泛，其规整、简洁的特性使得地
面整洁美观。
墙面装潢
正方形瓷砖也常用于墙面装潢，特 别是厨房、卫生间等空间的墙面， 既美观又易清洁。
家居摆设
正方形形状的家居摆设如相框、画 框等也十分常见，符合人们的审美 习惯。
THANKS
感谢观看
04
正方形的面积与周长
面积计算公式
面积计算公式
正方形的面积等于边长的平方，即边 长乘以边长。
举例说明
如果正方形的边长为5厘米，则其面 积为5厘米 x 5厘米 = 25平方厘米。
周长计算公式
周长计算公式
正方形的周长等于四倍的边长，即4倍的边长。
举例说明
如果正方形的边长为5厘米，则其周长为5厘米 x 4 = 20厘米。
正方形的性质与判定ppt课件
A
D
P
B
C
巩固训练
3. 如图，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓 库P和Q分别位于AD和DC上，且PD= QC．证明两条直路BP=AQ且 BP⊥AQ．
巩固训练
4.在一个正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小 路将花坛分成大小、形状完全相同的四部分（不考虑道路的宽 度）．你有几种方法？（至少说出三种）
如图所示即为所求（答案不唯一）.
BD 相交于点 O.
求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.
A
D
O
B
C
任务二
正方形的性质
定理 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
韦恩图：
四边形 平行四边形
菱形 正方形 矩形
巩固训练
根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”.
性质\图形
平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等 边
四边相等
√
√√ √
√√
角
四个角都是直角
对角线相互平分
√
对 角
对角线相互垂直
线
对角线相等
每条对角线平分一组对角
√
√
√√ √
√√
√
√
√√
巩固训练
例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 边延长线 上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由.
A
D
E
B
CF
小结
正方形 的性质
定义 性质
3.正方形的性质与判定第1课时正方形的性质PPT课件(北师大版)
第一章
特殊平行四边形 3．正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
第1课时 正方形的性质
1 …知…识…回…顾…. 2 …新…知…导…航…. 3 …轻…松…过…招….
第1课时 正方形的性质
知识回顾
正方是轴对称图形，它有 4 条对称轴，即经 过对边中点的直线或两对角线所在直线：正方形又 是中心对称图形，两对角线交点是它的对称中心 （也是对边中点的直线的交点）。 .
第1课时 正方形的性质
新知导航
变式训练
1.已知正方形ABCD的对角线相交于点O. （1）若周长为8，则对角线长为 2 2 ， 面积为 4 ； （2）图中共有 8 个等腰直角三角形．
第1课时 正方形的性质
新知导航
2.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A，C 作l的垂线，垂足分别为E，F，若 AE＝1，CF＝3.求AB的长．
第1课时 正方形的性质
轻松过招
3．如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为 BC延长线上一点，且CE＝CF. （1）求证：△BCE≌△DCF；
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°
CE＝CF
在△BCE和△DCF中， ∠BCE＝∠DCF ，
∴△BCE≌△DCF.
解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBF＋∠FBA＝90°，AB＝BC， ∵CF⊥BE，∴∠CBF＋∠BCF＝90°， ∴∠BCF＝∠ABE， ∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC， ∴△ABE≌△BCF(AAS)，∴AE＝BF＝1，BE＝CF＝3， ∴AB＝ AE2＋BE2 ＝ 1＋9 ＝ 10 .
第1课ห้องสมุดไป่ตู้ 正方形的性质
轻松过招
正方形的性质与判定ppt课件
①有一组邻边相等的矩形是正方形 ②对角线互相垂直的矩形是正方形 ③有一个角是直角的菱形是正方形 ④对角线互相垂直的矩形是正方形
归纳总结
2. 四边形的中点四边形与原四边形的对角线有关
(1)当对角线不相等不垂直时，中点四边形是平行四边形 (2)当对角线相等时，中点四边形是菱形 (3)当对角线垂直时，中点四边形是矩形 (4)当对角线垂直且相等时，中点四边形是正方形
D
结论1 有一组邻边相等的矩形是正方形
几何语言： ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AB四=B边C形ABCD是正方形
O
B
C
结论2 对角线互相垂直的矩形是正方形
几何语言： ∵ 四边形ABCD是矩形，AC⊥BD ∴ 四边形ABCD是正方形
探究一：正方形的判定
D
问题2：满足怎样条件的菱形是正方形？ A
结论3 有一个角是直角的菱形是正方形
第一章 特殊平行四边形
1.3.2 正方形的性质与判定 第二课时
温故知新
菱形
平行四边形
① 有一组邻边相等 ②对角线互相垂直
矩形
①有一个角是直角 ②对角线相等
探索新知
如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开， 怎样剪才能剪出一个正方形？
探究一：正方形的判定
A
问题1：满足怎样条件的矩形是正方形？
B
E
C
基础练习
3. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是
A(－2，0)，B(0，－2)，C(2，0)，D(0，2).
求证：四边形ABCD是正方形.
y D(0，2)
A(－2，0)
C(2，0) x
B(0，－2)
能力提升
1. 在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是 正方形，还需添加一组条件. 下面给出了五组条件： ①AB=AD，且AC=BD；②AB⊥AD，且AC⊥BD； ③AB⊥AD，且AB=AD；④AB=BD，且AB⊥BD； ⑤OB=OC，且OB⊥OC. 其中符合条件的有
北师大版数学九年级上册1.3：正方形的性质与判定 课件(共18张PPT)
H D
B F
C G
二、合作交流，探究新知
如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH 会有怎样的变化呢？ 原四边形可以是：
平行四边形
矩形
菱形
正方形
二、合作交流，探究新知
特殊四边形的中点四边形：
平行四边形的中点四边形是平行四边形
矩形的中点四边形是菱形
菱形的中点四边形是矩形
正方形的中点四边形是正方形
猜想结论，分组验证
1. 如图，在ΔABC中，
EF为ΔABC的中位线，
①若∠BEF=60°，则∠A= .
E
②若EF=8cm,则AC = .
A
B F C
二、合作交流，探究新知
2. 在AC的下方找一点D, 做CD和AD的 E
中点G、H,问EF和GH有怎样的关系？ EH和FG呢？
A 思考：四边形EFGH的形状有什么特征？
二、合作交流，探究新知
归纳： 特殊四边形的中点四边形：
◆平行四边形的中点四边形是平行四边形 ◆矩形的中点四边形是菱形 ◆菱形的中点四边形是矩形 ◆正方形的中点四边形是正方形
二、合作交流，探究新知
问题： 1. 矩形和等腰梯形是形状不同的四边形，为什么中点
四边形都由平行四边形变化为菱形？ 2. 平行四边形变化为菱形需要增加什么条件？ 3. 你是从什么角度考虑的？你从哪儿得到的启发？ 4. 你能用你的发现解释其它的图形变化吗？
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开， 怎样剪才能剪出一个正方形？
二、合作交流，探究新知
正方形的判定定理： 1. 有一组邻边相等的矩形是正方形. 2. 对角线互相垂直的矩形是正方形. 3. 有一个角是直角的菱形是正方形. 4. 对角线相等的菱形是正方形.
B F
C G
二、合作交流，探究新知
如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH 会有怎样的变化呢？ 原四边形可以是：
平行四边形
矩形
菱形
正方形
二、合作交流，探究新知
特殊四边形的中点四边形：
平行四边形的中点四边形是平行四边形
矩形的中点四边形是菱形
菱形的中点四边形是矩形
正方形的中点四边形是正方形
猜想结论，分组验证
1. 如图，在ΔABC中，
EF为ΔABC的中位线，
①若∠BEF=60°，则∠A= .
E
②若EF=8cm,则AC = .
A
B F C
二、合作交流，探究新知
2. 在AC的下方找一点D, 做CD和AD的 E
中点G、H,问EF和GH有怎样的关系？ EH和FG呢？
A 思考：四边形EFGH的形状有什么特征？
二、合作交流，探究新知
归纳： 特殊四边形的中点四边形：
◆平行四边形的中点四边形是平行四边形 ◆矩形的中点四边形是菱形 ◆菱形的中点四边形是矩形 ◆正方形的中点四边形是正方形
二、合作交流，探究新知
问题： 1. 矩形和等腰梯形是形状不同的四边形，为什么中点
四边形都由平行四边形变化为菱形？ 2. 平行四边形变化为菱形需要增加什么条件？ 3. 你是从什么角度考虑的？你从哪儿得到的启发？ 4. 你能用你的发现解释其它的图形变化吗？
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开， 怎样剪才能剪出一个正方形？
二、合作交流，探究新知
正方形的判定定理： 1. 有一组邻边相等的矩形是正方形. 2. 对角线互相垂直的矩形是正方形. 3. 有一个角是直角的菱形是正方形. 4. 对角线相等的菱形是正方形.
正方形的性质与判定课件北师大版数学九年级上册
第3课时 正方形的性质与判定
知识点❶ 正方形的性质与判定
17 (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°． ∵AE＝AF，∴∠AFE＝∠AEF． ∵∠CEF＝45°，∠C＝90°，∴∠CFE＝45°． ∴∠AFD＝∠AEB． ∴△ABE≌△ADF(AAS)． ∴AB＝AD．∴矩形ABCD是正方形．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，CD的垂 直平分线分别交AC，CD，BC于点E，O，F．求证：四边形CEDF是正 方形． 证明：∵EF垂直平分CD，∴EC＝ED，FC＝FD． ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD． ∵OC＝OC，∠COE＝∠COF＝90°， ∴△COE≌△COF(ASA)． ∴ED＝EC＝CF＝FD． ∴四边形CEDF为菱形． ∵∠ACB＝90°， ∴四边形CEDF为正方形．
巩固训练
1．如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中 点．若AB＝2，AD＝4，则图中阴影部分的面积是 4 ．
2．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA 的中点，则下列说法正确的是( D )
C 第2题图
3．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为 8 cm2．
第3题图
4．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC上一点，连接AE，以AE为 一边作正方形AEFG，连接DG．求证：DG＝BE．
5．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是边CD上一点， 连接OE，过点O作OF⊥OE，交AD于点F．若四边形EOFD的面积是1， 则AB的长为 2 ．
6．如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AE＝AB，EF⊥AC，交BC于 点F，连接AF．求证：BF＝EC．
3.正方形的性质与判定第2课时 正方形的判定PPT课件(北师大版)
证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90° ∴∠CFD＝∠DEC＝∠FCE＝90° ∴四边形CFDE是矩形 又∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DE⊥BC ∴DF＝DE，∴矩形CFD松过招
第二招
3．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，D、E、F分 别是BC、AB、AC边上的中点． 求证：四边形AEDF是正方形．
第2课时 正方形的判定
新知导航
知识点3：四边相等且有1个角是直角 【例3】已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是∠ACB 的平分线，CD的垂直平分线分别交AC，CD，BC于点E，O，F. 求证：四边形CEDF是正方形．
证明：∵CD的垂直平分线分别交AC，CD， BC于点E，O，F，∴EC＝ED，FC＝FD， ∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°，又CD⊥EF ∴△CEF为等腰直角三角形，∴CE＝CF ∴ED＝EC＝CF＝FD，∴四边形CEDF为菱形， ∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF为正方形．
证明：如图，过点D作DN⊥AB于点N， ∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠C＝∠DEC＝∠DFC＝90°，∴四边形CFDE是矩形， ∵∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于 点F，DN⊥AB于点N， ∴DE＝DN，DN＝DF，∴DF＝DE， ∴矩形CFDE是正方形．
证明：∵D，E，F分别是BC，
AB，AC的中点．∴AE∥DF，DE∥AF
∵∠BAC＝90°，∴四边形AEDF是矩形
∵D，E，F分别是BC，AB，AC的中点
∴DE＝12
AC，DF＝
1 2
AB
又AB＝AC，∴DE＝DF.∴矩形AEDF是正方形．
第2课时 正方形的判定
第二招
3．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，D、E、F分 别是BC、AB、AC边上的中点． 求证：四边形AEDF是正方形．
第2课时 正方形的判定
新知导航
知识点3：四边相等且有1个角是直角 【例3】已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是∠ACB 的平分线，CD的垂直平分线分别交AC，CD，BC于点E，O，F. 求证：四边形CEDF是正方形．
证明：∵CD的垂直平分线分别交AC，CD， BC于点E，O，F，∴EC＝ED，FC＝FD， ∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°，又CD⊥EF ∴△CEF为等腰直角三角形，∴CE＝CF ∴ED＝EC＝CF＝FD，∴四边形CEDF为菱形， ∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF为正方形．
证明：如图，过点D作DN⊥AB于点N， ∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠C＝∠DEC＝∠DFC＝90°，∴四边形CFDE是矩形， ∵∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于 点F，DN⊥AB于点N， ∴DE＝DN，DN＝DF，∴DF＝DE， ∴矩形CFDE是正方形．
证明：∵D，E，F分别是BC，
AB，AC的中点．∴AE∥DF，DE∥AF
∵∠BAC＝90°，∴四边形AEDF是矩形
∵D，E，F分别是BC，AB，AC的中点
∴DE＝12
AC，DF＝
1 2
AB
又AB＝AC，∴DE＝DF.∴矩形AEDF是正方形．
第2课时 正方形的判定
正方形的性质与判定-优质课件
(2) BH⊥AF
7、如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE 和ACFG，连结BG、CE，交点为N。 求证：∠CEA＝∠ABG
证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。 ∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90°
又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC
D O
B
C
例题1 如图，在正方形ABCD中，点E
在对角线AC上，那么，BE和DE相等吗？
为什么？
D
C
解：BE=DE.
因为 对角线AC所在的直
线是正方形ABCD的对
E
称轴，而点E在对称轴 A
B
上，点B为点D关于AC
的对称点，
所以 BE=DE
2.在正方形ABCD中，点P是对角线 AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂 足分别是点E、F.求证：DP=EF
矩形
正方形
一组邻边相等的矩形
叫正方形
菱 形 一个角是直角
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形叫正 方形
如何来给正方形下定义？
菱形
平行四边形
正方 形
矩形
平行四边形
一组邻边相等 一内角是直角
正方形
定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边
形叫做正方形
平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系
平行四边形
正
矩形 方 菱形
练:正方形ABCD中，M为AD中点， ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若
ME+MF =8cm，则AC=___1_6_c_m__.
F
B A
MC D
F
E
O
B
C
7、如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE 和ACFG，连结BG、CE，交点为N。 求证：∠CEA＝∠ABG
证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。 ∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90°
又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC
D O
B
C
例题1 如图，在正方形ABCD中，点E
在对角线AC上，那么，BE和DE相等吗？
为什么？
D
C
解：BE=DE.
因为 对角线AC所在的直
线是正方形ABCD的对
E
称轴，而点E在对称轴 A
B
上，点B为点D关于AC
的对称点，
所以 BE=DE
2.在正方形ABCD中，点P是对角线 AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂 足分别是点E、F.求证：DP=EF
矩形
正方形
一组邻边相等的矩形
叫正方形
菱 形 一个角是直角
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形叫正 方形
如何来给正方形下定义？
菱形
平行四边形
正方 形
矩形
平行四边形
一组邻边相等 一内角是直角
正方形
定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边
形叫做正方形
平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系
平行四边形
正
矩形 方 菱形
练:正方形ABCD中，M为AD中点， ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若
ME+MF =8cm，则AC=___1_6_c_m__.
F
B A
MC D
F
E
O
B
C
正方形的性质与判定-ppt课件
∵AF＝5，∴在 Rt△ABF 中，BF＝ AF2－AB2＝
52－42＝3.∵点 F 为 BC 的中点，∴BC＝2BF＝6.
∴在 Rt△BCE 中，CE＝ BC2＋BE2＝ 62＋22＝2 10.
感悟新知
(2)若AF=CE，求证：四边形ABCD 是正方形.
知3－练
证明：在 Rt△ABF 中，AF2＝AB2＋BF2，
∴四边形ACED 是正方形(正方形的定义).
感悟新知
知3－练
3-1. 如图， 在矩形ABCD 中，点E，F 分别是AB，BC 的
中点，连接AF，CE.
感悟新知
知3－练
(1)若AE=2，AF=5，求CE 的长；
解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠B＝90°.
∵点 E 为 AB 的中点，AE＝2，∴AB＝4，BE＝2.
数学表达式
∵在ABCD 中，AB=BC(或
AB=AD 或BC=CD 或
AD=CD)，且∠ A=90°(或
∠ B=90°或∠ C=90°或
∠ D=90°)，∴ ABCD 是
正方形
感悟新知
知1－讲
2. 图解
感悟新知
知1－讲
3. 四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形间的关系
感悟新知
知1－讲
特别提醒
2
四边形A2 024B2 024C2 024D2 024 的面
3
积为______ ．
22 022
课堂小结
正方形的性质与判定
性质
正
方
形
正方形的面积公式
一组邻边相等
特殊的矩形
对角线互相垂直
一个角是直角
判定
特殊的菱形
对角线相等
∴四边形 ABCD 是正方形．
52－42＝3.∵点 F 为 BC 的中点，∴BC＝2BF＝6.
∴在 Rt△BCE 中，CE＝ BC2＋BE2＝ 62＋22＝2 10.
感悟新知
(2)若AF=CE，求证：四边形ABCD 是正方形.
知3－练
证明：在 Rt△ABF 中，AF2＝AB2＋BF2，
∴四边形ACED 是正方形(正方形的定义).
感悟新知
知3－练
3-1. 如图， 在矩形ABCD 中，点E，F 分别是AB，BC 的
中点，连接AF，CE.
感悟新知
知3－练
(1)若AE=2，AF=5，求CE 的长；
解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠B＝90°.
∵点 E 为 AB 的中点，AE＝2，∴AB＝4，BE＝2.
数学表达式
∵在ABCD 中，AB=BC(或
AB=AD 或BC=CD 或
AD=CD)，且∠ A=90°(或
∠ B=90°或∠ C=90°或
∠ D=90°)，∴ ABCD 是
正方形
感悟新知
知1－讲
2. 图解
感悟新知
知1－讲
3. 四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形间的关系
感悟新知
知1－讲
特别提醒
2
四边形A2 024B2 024C2 024D2 024 的面
3
积为______ ．
22 022
课堂小结
正方形的性质与判定
性质
正
方
形
正方形的面积公式
一组邻边相等
特殊的矩形
对角线互相垂直
一个角是直角
判定
特殊的菱形
对角线相等
∴四边形 ABCD 是正方形．
正方形的性质与判定完整ppt课件
A B
D C
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
A
D
B
C
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
A
D
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
拓展讨论:
正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？
A
D
O
B
C
结论：
分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、 △ADC、 △ABD、 △BCD ； △AOB、 △BOC、 △COD、 △DOA.
。
A
B
O
D
C
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
12.正已方知形正具方有形而的菱一形条不边一长定为具2c有m的,则性这质个是正（方形C）的
周长A为.对8角c线m,对互角相线垂长直为B.对2角,面线2积c互m为相平分. 4cm2
性质 图形 平行四
分类
边形
矩形 (所特有)
菱形 (所特有)
正方形
边 对边平行
且相等
四条边相等
对边平行且 四条边相等
角
对角相等
四个角都 是直角
四个角都 是直角
对角线互
对角线 相平分
对角线 相等
对角线互相 垂直，每条 对角线平分 一组对角
对角线相等且互 相垂直平分，每 条对角线平分一 组对角
D C
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
A
D
B
C
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
A
D
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
拓展讨论:
正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？
A
D
O
B
C
结论：
分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、 △ADC、 △ABD、 △BCD ； △AOB、 △BOC、 △COD、 △DOA.
。
A
B
O
D
C
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
12.正已方知形正具方有形而的菱一形条不边一长定为具2c有m的,则性这质个是正（方形C）的
周长A为.对8角c线m,对互角相线垂长直为B.对2角,面线2积c互m为相平分. 4cm2
性质 图形 平行四
分类
边形
矩形 (所特有)
菱形 (所特有)
正方形
边 对边平行
且相等
四条边相等
对边平行且 四条边相等
角
对角相等
四个角都 是直角
四个角都 是直角
对角线互
对角线 相平分
对角线 相等
对角线互相 垂直，每条 对角线平分 一组对角
对角线相等且互 相垂直平分，每 条对角线平分一 组对角
正方形的性质与判定ppt课件
北师大版九年级数学
第一章 特殊平行四边形
第3节 正方形的性质与判定
情境引入
情景引入
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个 角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？
情景引入
正方形的判定定理： 1.对角线相等的菱形是正方形。 2.对角线垂直的矩形是正方形。 3.有一个角是直角的菱形是正方形。
情景引入
运用巩固
位置关系 垂直
对称性 有
合作学习
第二类图形就是正方形，我们给出定义： 有一组邻边相等的矩形叫做正方形.
议一议： （1）正方形是菱形吗? （2）你认为正方形有哪些性质？
从我们得到数据分析：正方形既是矩形 又是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质.
请同学们参照下表或独立整理矩形菱形
的性质. 矩形 性质
菱形 性质
么特征？
H
F
C G D
第三环节 猜想结论，分组验证
如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边 形EFGH会有怎样的变化呢？
原四边形可以是：
平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
直角梯形
梯形
第三环节 猜想结论，分组验证
特殊四边形的中点四边形：
平行四边形的中点四边形是平行四边形
矩形的中点四边形是菱形
菱形的中点四边形是矩形
想一想： 正方形有几条对称轴
解析： 正方形有4条对称轴. 经验层面：可通过折叠. 分析层面：正方形具有矩形、菱形的 所有性质，所以必然具有矩形过每组 对边中点的对称轴和菱形过对角线的 对称轴.
性质应用
例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD 上一点，F为BC边延长线上一点，且 CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说 明理由.
第一章 特殊平行四边形
第3节 正方形的性质与判定
情境引入
情景引入
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个 角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？
情景引入
正方形的判定定理： 1.对角线相等的菱形是正方形。 2.对角线垂直的矩形是正方形。 3.有一个角是直角的菱形是正方形。
情景引入
运用巩固
位置关系 垂直
对称性 有
合作学习
第二类图形就是正方形，我们给出定义： 有一组邻边相等的矩形叫做正方形.
议一议： （1）正方形是菱形吗? （2）你认为正方形有哪些性质？
从我们得到数据分析：正方形既是矩形 又是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质.
请同学们参照下表或独立整理矩形菱形
的性质. 矩形 性质
菱形 性质
么特征？
H
F
C G D
第三环节 猜想结论，分组验证
如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边 形EFGH会有怎样的变化呢？
原四边形可以是：
平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
直角梯形
梯形
第三环节 猜想结论，分组验证
特殊四边形的中点四边形：
平行四边形的中点四边形是平行四边形
矩形的中点四边形是菱形
菱形的中点四边形是矩形
想一想： 正方形有几条对称轴
解析： 正方形有4条对称轴. 经验层面：可通过折叠. 分析层面：正方形具有矩形、菱形的 所有性质，所以必然具有矩形过每组 对边中点的对称轴和菱形过对角线的 对称轴.
性质应用
例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD 上一点，F为BC边延长线上一点，且 CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说 明理由.
正方形的性质与判定课件课件
度。 45
用
第12页，幻灯片共38页
例2、如图，正方形ABCD中，
正方形的面积为64平方厘米，则正方
形对角线AC=
8√2 cm。
A
B
O
D
C
第13页，幻灯片共38页
12.正已方知形正具方有形而的菱一形条不边一长定为具2c有m的,则性这质个是正（方形）的C
周长A为.对角8线c,对m互角相线垂长直为B.对角,面线2积互为相2c平m分.
A
D
1
E
2 3
G
F
B
C
第35页，幻灯片共38页
例题赏析
⒉在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分
∠BAC,试猜想AB、BE 、AC之间的大小关系，
并证明你的猜想．
A
D
B G
F
E
C
第36页，幻灯片共38页
例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，
MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N， 求证：BM＝CN。
正
方形
对边平行，
四条边
都相等
四个角
都是直角
对角线互相垂直平分且
相等，每条对角线平分 轴对称图形、
一组对角
中心对称图形
第19页，幻灯片共38页
知识点二：
正方形的判定
第20页，幻灯片共38页
图形之间的变化关系
矩形
平行四边形
有一组邻边相等
有一个角是直角
正方形
菱形
第21页，幻灯片共38页
正方形的判定方法：
关于正方形的性质 与判定课件
第1页，幻灯片共38页
四边形
平行四边形
矩形 菱形
正方形的性质及判定定理—【教学课件】-最新经典通用版
正方形
菱形法
高效上好每节课·快乐上好每天学
3、 矩形
一组邻边相等
正方形
矩形法
高效上好每节课·快乐上好每天学
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分 成四个全等的等腰直角三角形．
要判定一个三角形是等腰直 角三角形需要什么条件？判定两 个三角形全等的条件又是什么？
图中共有多少个等腰直角三 角形？
结束
课堂小结
3 植物妈妈有办法
高效上好每节课·快乐上好每天学
结束
字 词 学 习 读一读，认一认下面课的堂生小字结。
zhí
fǎ rú
wéi
jiǎo
状元成才路 状元成才路
植物 办法 如果 四海为家 手脚
状元成才路
lǚ
bèi tā wá
fēn
tā
旅行
准备
它
娃娃状元成才路
纷纷状元成才路
她
cì
带刺
lí
离开
高效上好每节课·快乐上好每天学
结束
课堂小结
“穿上带刺的铠甲”是什么意思？
苍耳果实的外皮长满 刺，对苍耳种子起保护作 用，所以说“穿上带刺的 铠甲”，这样写更加生动、 形象。
高效上好每节课·快乐上好每天学
结束
∴AP=MN
高效上好每节课·快乐上好每天学
随堂练习
1、如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE=AC， 连接AE，交CD于F，求∠AFC的度数.
A
D
B
E C
高效上好每节课·快乐上好每天学
2、 直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC， DF⊥AB.求证：四边形CEDF是正方形.
★ 正方形是特殊的矩形
《正方形的性质及判定》PPT课件(福建省县级优课)
正方形的性质
正方形的性质：
1、对边平行，四条边都相等； 2、四个角都是直角； 3、对角线互相垂直平分，每一条对
角线平分一组对角。
正方形中的特殊结论：
正方形ABCD中，AC⊥BD，
AC=BD，OA=OC=1/2AC，
OB=OD=1/2BD
1
8
∴OA=OB=OC=OD
2
7
∴ ∠1=∠2=∠3=∠4=
∠5=∠6=∠7=∠8=45° 3 4
56
问题1如图，四边形ABCD是正方形．P是 BC上任意一点，DE⊥AP于点E，BF∥DE， 且交AP于点F．求证：AF－BF＝EF．
中考链接：
（2015长春）如图，正方形ABCD中，三 角形ADE的面积等于8，BE=3，则线段AE 的长为___5__.
问题2
如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AD， DC上，且DE＝CF，AF与BE交于点P．
（1）猜想线段BE，AF之间的关系，并加以证明；
（2）若AB＝8，CF＝2，求PE的长．
课堂小结
1.正方形有哪些性质？
2.正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之 间有什么关系？试着用列表或框图表示这 些关系？
OB=OD=1/2BD ∴OA=OB=OC=OD
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
8
2
7
∴ ∠1=∠2=∠3=∠4=
∠5=∠6=∠7=∠8=45°
S正= AB2 AC2
2
3 4
56
3.你觉得对一个几何图形的研究通常是怎样 进行的？对于正方形，你觉得还需要研究 什么？
正方形的性质：
1、对边平行，四条边都相等； 2、四个角都是直角； 3、对角线互相垂直平分，每一条对
正方形的性质：
1、对边平行，四条边都相等； 2、四个角都是直角； 3、对角线互相垂直平分，每一条对
角线平分一组对角。
正方形中的特殊结论：
正方形ABCD中，AC⊥BD，
AC=BD，OA=OC=1/2AC，
OB=OD=1/2BD
1
8
∴OA=OB=OC=OD
2
7
∴ ∠1=∠2=∠3=∠4=
∠5=∠6=∠7=∠8=45° 3 4
56
问题1如图，四边形ABCD是正方形．P是 BC上任意一点，DE⊥AP于点E，BF∥DE， 且交AP于点F．求证：AF－BF＝EF．
中考链接：
（2015长春）如图，正方形ABCD中，三 角形ADE的面积等于8，BE=3，则线段AE 的长为___5__.
问题2
如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AD， DC上，且DE＝CF，AF与BE交于点P．
（1）猜想线段BE，AF之间的关系，并加以证明；
（2）若AB＝8，CF＝2，求PE的长．
课堂小结
1.正方形有哪些性质？
2.正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之 间有什么关系？试着用列表或框图表示这 些关系？
OB=OD=1/2BD ∴OA=OB=OC=OD
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
8
2
7
∴ ∠1=∠2=∠3=∠4=
∠5=∠6=∠7=∠8=45°
S正= AB2 AC2
2
3 4
56
3.你觉得对一个几何图形的研究通常是怎样 进行的？对于正方形，你觉得还需要研究 什么？
正方形的性质：
1、对边平行，四条边都相等； 2、四个角都是直角； 3、对角线互相垂直平分，每一条对
正方形的性质与判定_优质课件
A D
j
F
解： ∵四边形ABCD是正方形 ∴ ∠BCD=90º 且AC平分∠BCD
∴ ∠DCE=90º ， ∠ACE=45º ∴ ∠ACE=135º
B
C
∵CE=AC ∴∠E=∠CAE –135º E ∴∠E= 180º =22.5º 2 ∵∠AFC是⊿CEF的一个外角 ∴∠AFC=∠E+∠FCE=22.5°+90°=112.5°
知识点3：正方形的判定方法：
1、
平行四边形 一内角是直角 一组邻边相等 正方形
定义法
2、
一内角是直角
菱形
正方形
菱形法
3、
矩形
一组邻边相等
正方形
矩形法
判断题:
(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的
等腰直角三角形（
√
） ）
(3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定 是正方形 （
√
）
(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它 一定是正方形 （ 是正方形（
D
A
∴四边形ABCD是正方形
例3、已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上
一点，CE⊥AF于E，交AD于M， 求证：∠MFD＝45°
证明：
∵CE⊥AF 四边形ABCD是正方形 ∴∠ADC＝∠AEM＝90° ∵∠CMD＝∠AME ∴∠1＝∠2 又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC=900 ∴Rt△CDM≌Rt△ADF ∴DM=DF (AAS) ∴∠MFD＝45°
√
）
(5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形
√
）
×
(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（
（6）正方形一定是矩形．（√ ） （7）正方形一定是菱形．（√ ） （8）菱形一定是正方形．（ ） （9）矩形一定是正方形．（ ） (10)正方形、矩形、菱形都是平行四边 形． （√ ）
j
F
解： ∵四边形ABCD是正方形 ∴ ∠BCD=90º 且AC平分∠BCD
∴ ∠DCE=90º ， ∠ACE=45º ∴ ∠ACE=135º
B
C
∵CE=AC ∴∠E=∠CAE –135º E ∴∠E= 180º =22.5º 2 ∵∠AFC是⊿CEF的一个外角 ∴∠AFC=∠E+∠FCE=22.5°+90°=112.5°
知识点3：正方形的判定方法：
1、
平行四边形 一内角是直角 一组邻边相等 正方形
定义法
2、
一内角是直角
菱形
正方形
菱形法
3、
矩形
一组邻边相等
正方形
矩形法
判断题:
(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的
等腰直角三角形（
√
） ）
(3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定 是正方形 （
√
）
(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它 一定是正方形 （ 是正方形（
D
A
∴四边形ABCD是正方形
例3、已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上
一点，CE⊥AF于E，交AD于M， 求证：∠MFD＝45°
证明：
∵CE⊥AF 四边形ABCD是正方形 ∴∠ADC＝∠AEM＝90° ∵∠CMD＝∠AME ∴∠1＝∠2 又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC=900 ∴Rt△CDM≌Rt△ADF ∴DM=DF (AAS) ∴∠MFD＝45°
√
）
(5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形
√
）
×
(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（
（6）正方形一定是矩形．（√ ） （7）正方形一定是菱形．（√ ） （8）菱形一定是正方形．（ ） （9）矩形一定是正方形．（ ） (10)正方形、矩形、菱形都是平行四边 形． （√ ）
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添加辅助线,无需证明)
A
E
F
B
D
C
如图，正方形ABCD的边长为8， M 在DC上，且DM=2，N是AC上一个动 点，求DN+MN的最小值。
A
D
N
M
B
C
作业
2.在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一
点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别是点E、
F.求证：DP=EF
D
CPFA来自EB作业
已知，如图在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂 足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
连接AE，BE
(1)求证：四边形AEBD是矩形.
(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？
试说明理由.
B
E
O
D
A
C
在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别是E,F.
1)试说明:DE=DF
2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.
请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外
正方形性质与判定
×
判断题:
(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的
等腰直角三角形（ √ ）
(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（ ）
(3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定
是正方形 （ √ ）
(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它
一定是正方形 （ √ ）
(5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形
证明：
∵CE⊥AF 四边形ABCD是正方形 ∴∠ADC＝∠AEM＝90° ∵∠CMD＝∠AME ∴∠1＝∠2 又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC=90°
∴Rt△CDM≌Rt△ADF (AAS) ∴DM=DF ∴∠MFD＝45°
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC 的角平分线，
点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
是正方形（ √ ）
3、下列命题正确的是（ D ） A、四个角都相等的四边形是正方形 B、四条边都相等的四边形是正方形 C、对角线相等的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直的矩形是正方形
4．四个内角都相等的四边形一定是（ C）
A、正方形 B、菱形 C、矩形 D平行四边形
如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB且
CE⊥AN垂足为点E，
①求证：四边形ADCE是矩形。
②当△ABC满足什么条件时，四边形
M
ADCE是正方形，说明理由。
AE
N
BD
C
MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。
证明：
∵四边形ABCD是正方形 ∴OA＝OB AB=BC ∠1＝∠2＝∠3＝45° 又∵MN∥AB ∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45° ∴OM＝ON ∴OA－OM＝OB－ 即O：NAM=BN
∴△ABM≌△BCN ∴BM=CN
已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点， CE⊥AF于E，交AD于M， 求证：∠MFD＝45°