实变函数 课后答案 (何穗 刘敏思)习题1参考答案
第三版实变函数论课后答案
i 1
( Ei (
m j 1
Fj )c ) ( Ek (
m j 1
Fj ) c ) ， （i k ）
aij ci d j ， 1 i n,1 j m
则 易 知
iE
(
m i 1
El )c ) ， （ j k）
i 1
n
2． 证明当 f ( x) 既是 E1 上又是 E2 上的非负可测函数时， f ( x) 也是 E1 E2 上的非负可测函数 证明：显然 f ( x) 0 于 E1 ，且 f ( x) 0 于 E2 表明 f ( x) 0 于 E1 E2 又
由 P64Th5
m( E ) lim mAk ，而 mE ，则 m( E )
k
故 0 ， k0 使 0 m( E ) mAk0 ，
2
，而 Ak0 E 故 m( E \ Ak0 )
2
a R1
由 E0 ， Ak0 可测， 闭集 F1 Ak0 ， m( Ak0 \ F1 )
， 闭集 F0 E0 使
E1 E2 x | f ( x) a E1 x | f ( x) a E2 x | f ( x) a
证毕.
8
m( E \ Ak0 ) m( Ak0 \ F1 )
8
2
8
4
2
E
上 几 乎 处 处 有 限 ， mE 0 . 由 f ( x) 可 测 于 E 上 知 ，
E0 E x | f ( x) 0 E x | f ( x) 0 是可测集（P103Th2,P64Th4 可测集
实变函数参考答案.docx
依然是旧版书的题号19.证明：若E为有界集，根据第15题则存在E中的闭集F使得mF〉O,于是F为有界闭集。
假设Vx w 氏〉0,s"i（EnO（x,氏））=0 ,就有F U U0（X,Q），根据Borel 有XE F限覆盖定理知存在P，使得Fc（j0（x;,^ ）,从而Z=1p P加F =加（尸门［^0（兀，心丿）<工加（£门0（兀，/心））=0，矛盾，故假设不成立，即需证结z=l i=\论成立。
co oo若E为无界集，设B k =O（,0,k）,k=l,2,...,则E = E^R n =En（|J5J = °k=\ k=l由于协E〉0,于是必然存在k,使得m（EC\B k）>Q,而Eg为有界集，由上即知3x e E A , s.t.\/3 > 0, m（（E A B,） A 0（x, ^）） > 0 ,故而对E 而言，相应结论亦成立。
注：此题当然可以不使用Borel有限覆盖定理而得到证明，但作为替代，我们需要求助于习题一的24题（旧版书），此时关于E是否有界的讨论就可以省掉。
在此，我们看到习题一的24题（旧版书）的好处，它能将不可数覆盖转化为至多可数覆盖，从而可以运用（外）测度的相关运算性质。
另外，课本上“提示：利用闭集套定理”，那样做也是可以的，但是感觉繁琐了些，就不在此写出了。
附：对《实变函数参考答案（3）》的补充（一）上次的7.题有个位置有点问题：应该将||处的九4改为m{B - A）“7证明：若mA =+00 ,则m(A U B) + m(A A B) = mA + mB两端皆是+ 8,等式自然成立。
若mA < +8 ,则加(4 U 5) = mA + m(B - A),mB = m(A Cl B) + m(B - A),于是m{A U B) + m{A Pl B) = mA + m(B -A) + mB - m(B - A) = mA + mB ,等式亦成立。
实变函数课后习题答案
第一章习题1.证明：(1) (A -B )-C =A -(B ∪C ); （2）(A ∪B )-C =(A -C )∪(B -C ). 证明：(1) 左=(A ∩B c )∩C c =A ∩(B c ∩C c )= A ∩(B ∪C )c =右； （2）左=(A ∪B )∩C c =(A ∩C c )∪(B ∩C c )=右. 2.证明： (1)();(2)().IIIIA B A B A B A B αααααααα∈∈∈∈-=--=-(1)ccI IA B A B αααα∈∈⎛⎫=== ⎪⎝⎭证明：左（）右；(2)()c cI I A B A B αααα∈∈⎛⎫=== ⎪⎝⎭左右.111111.{},,1.{}1.n n n n n nnA B A B A A n B B A n νννννν-===⎛⎫==- ⎪⎝⎭>=≤≤∞ 3 设是一列集合，作证明：是一列互不相交的集合，而且，证明：用数学归纳法。
当n=2时，B 1=A 1,B 2=A 2-A 1, 显然121212B B B B B B n k =∅== 且，假设当时命题成立，1211,,,kkk B B B B A νννν===两两互不相交，而且，111111111kk k kkkk k n k B A A B A BA B νννννννν++=++====+=-==-⇒下证，当时命题成立，因为而，所以11211+1111111111111,,,;k k k k k k k k k kk k k k k B B B B B B B B B B A A A A A A A νννννννννννννννν++=++===+++====⎛⎫=∅ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，于是，两两互不相交;由数学归纳法命题得证。
{}21214.0,,(0,),1,2,,n n n A A n n A n-⎛⎫=== ⎪⎝⎭设求出集列的上限集和下限集。
实变函数参考答案
习题1解答（A 组题）一、选择题1、C ；2、A ；3、D ；4、C ；5、C ；6、A ；7、A ；8、B ；9、D ；10、C 二、判断题1、×；2、×；3、×；4、×；5、√；6、×；7、×；8、×；9、×； 10、× 三、填空题1、＝；2、∅；3、()0,1；4、[]1,1-；5、,EF EF ；6、()2,3-；7、≥；8、c9、设有两个集合A 和B ，若≤A B ，≥A B ，则=A B 。
四、证明题1、（1）()()()()()\\====C C CC A A B A A B AAB A A AB A B ；（2）()()()()()()\\==C C CC A B CD A B CD A C B D()()()()\==CA C BD A C BD 。
2、111\lim \∞∞∞∞∞∞→∞======⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C Cn n n n n N n N N n N N n N A B A B A B AB ()111lim(\)∞∞∞∞∞∞→∞======⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C C C n n n n n N n N N n N N n N A B A B A B A B 。
同理可证第2个集合等式。
3、当A =∅时，{}∅张成的环和σ-环均为它自身；张成的代数和σ-代数均为{},X ∅。
当A X =时，{}X张成的环、σ-环、代数和σ-代数均为{},X ∅。
当A 为X 的非空真子集时，{}A 张成的环和σ-环均为{},A ∅；张成的代数和σ-代数均为{},,,cA A X∅。
4、首先，令()()tan 12π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦f x x ，由于()f x 是()0,1上的严格单调递减的连续函数，且()()()0,10,=+∞f，所以()f x 是()0,1到()0,+∞的一一映射。
《实变函数》习题库参考答案
《实变函数》习题库参考答案《实变函数》习题库参考答案一、判断题 1、( √ )理由:由内点定义知，存在A P U ?),(0δ，从而对任意的)(0P U ，必含有A 中无穷多个点。
满足聚点定义 2、( √ )理由:[法一]:都具有连续基数,故对等 [法二]:可建立一个映射)2tan()(ππ-?--=a b a x x f ,则f(x)为),(b a 到R 的一一映射.3、( √ )理由:由B A ?知, A A B B )(-=,从而由有限可加性知，mA A B m mB +-=)(，又由+∞<="" 4、(="" b="" m="" ma="" p="" √="" 。
从而移项可得结论。
="" 知，+∞<-+∞理由:f(x)在区间[0,5)及[5,10]上均为连续函数，故分别在2个区间上是可测函数，从而再其和集上也是可测函数。
5、( × )理由:例如有理数集Q ，无理数2是Q 的聚点，但不是其内点。
6、( √ )理由:[法一]:都是可数集,故有相同的基数,即对等。
[法二]:可建立一个映射==+==...2,1,1,11,0,1)(n n x n x x f ,则f(x)为集合,1,,31,21,1,0n 到集合 ,1,,31,21,1n 的一一映射。
7、( √ )理由:由B A ?知A A B B )(-=,且φ=-A A B )(，故mA mA A B mmB =+-=)(8、( √ )理由:狄利克莱函数-∈∈=.]1,0[,0]1,0[,1)(Q x Qx x D 是[0,1]上的简单函数，故可测。
9、( √ )理由:由于E E ?Φ='，所以.}3,2,1{为闭集=E 10、( × )理由:如无界。
实变函数引论课后习题解答
习题4.21．设A 是]1,0[=E 中的不可测集， ⎩⎨⎧∈-∈=,\]1,0[,;,)(A x x A x x x f 试问：f 与||f 在E 上是否可测？ 答 f 不可测，但f 可测. 事实上，若A ∈0，则A f E =≥]0[不可测. 若A ∉0，则A f E =>]0[不可测. 所以f 不可测。
因为当[0,1]x ∈时，()f x x =，所以||f 在E 连续函数，从而可测.2．证明：若函数f 在可测集1E 及2E 上可测，则函数f 在21\E E 与1E 2E 上也可测． 证明 因为f 在12,E E 上可测，所以12,[],[]a R E f a E f a ∀∈≥≥可测，从而 1212()[][][]E E f a E f a E f a ≥=≥≥可测。
因此，f 在12E E 上可测。
因为 1212(\)[][]\[]E E f a E f a E f a ≥=≥≥，可测，所以f 在12\E E 上可测.3．证明：若函数f R →),(:b a 在任意闭区间),(],[b a a ⊂β上可测，则f 在开区间),(b a 上可测． 证明 因为111(,)[,]n a b a b n n ∞==+-，其中11[,](,)a b a b n n +-⊂，又由题意知：f 在每一个11[,](1,2,)a b n n n +-=上可测，所以由定理4.2.6知：f 在 111[,](,)n a b a b n n ∞=+-=上可测. 4．证明：点集n S R ⊂的特征函数S χ在可测集n E R ⊂上可测当且仅当S E 是可测集． 证明 因为⎩⎨⎧∉∈=,,0;,1)(S x S x x S χ所以R ∈∀a 有 ,1[],01,0.s a E x a E S a E a ∅>⎧⎪≥=<≤⎨⎪≤⎩，， 充分性. 若E S 是可测集，则对任意的a ∈R , []s E a χ≥可测，所以s χ在E 上可测. 必要性. 设s χ在E 上可测，则对任意的a ∈R , []s E a χ≥可测。
(完整版)实变函数论课后答案第一章3
实变函数论课后答案第一章3（p20-21）第一章第三节1. 证明[]0,1上的全体无理数构成一不可数无穷集合.证明：记[]0,1上的全体有理数的集合为°()12,,,,nQ r r r =L L . []0,1全体无理数的集合为°R，则[]°°0,1Q R =U . 由于°Q 是一可数集合，°R 显然是无穷集合（否则[]0,1为可数集，°°Q R U 是可数集，得矛盾）.故从P21定理7得 []°°°0,1QR R =U :. 所以°R=ℵ，°R 为不可数无穷集合. 2. 证明全体代数数（即整系数多项式的零点）构成一可数集合，进而证明必存在超越数（即非代数数）. 证明：记全体整系数多项式的全体的集合为z P ，全体有理多项式的集合为Q P .则上节习题3，已知Q P 是可数集，而z Q P P ⊂，故z P 至多是可数集，()z Q P P ≤，而z P 显然为无穷集合，故z P 必为可数集.,0z z m m P P ∞==U .任取一,0,z f P m ∈∃≥有,z m f P ∈.f 的不同零点至多有m 个，故全体,z m f P ∈的零点的并至多为无数.（(){},;0z mf P z f z ∈=U至多为可数集，所以全体代数数之集(){},0;0z mm f P z f z ∞=∈=UU也是至多可数集.又{},1;1,2,n N nx n ∀∈+=L 是可数集，110nx x n+=⇔=. 带市数显然有无穷个，故全体代数数之集为一可数集.3. 证明如果a 是可数基数，则2ac =.证明：一方面对于正整数N 的任意子集A ，考虑A 的示性函数()()()10A A An n An n n A ϕϕϕ=∈⎧⎪=⎨=∉⎪⎩当当{}2N A N ∀∈@的子集所构成的集令()()()0.1,2A A J A x ϕϕ==L则()()0,1J A x =∈若()()J A J B =，则()(),1,2,A B n n n ϕϕ=∀=L故A B =（否则()()0000,10A B n A n B n n ϕϕ∃∈∉⇒=≠=）故2N与()0,1的一个子集对等（()20,1N≤）另一方面，()0,1x ∀∈.令±{};,x A r r x r R =≤∈ （这里±0R 为()0,1中的全体有理数组成的集合） 若(),,0,1x y x y ≠∈，则由有理数的稠密性，x y A A ≠x A 是±0R 这一与N 对等的集合的子集. 故()0,1与±0R 的全体子集组成的集合的一个子集对等（()±00,1R ≤的全体子集组成集的势，即()()0,120,1N≤≤）也就与2N的一个子集对等. 由Berrstein 定理()0,12N:所以2ac =.4. 证明如果A B c =U ，则,A B 中至少一个为c . 证明：E A B c ==U ，故不妨认为(){},;01,01E x y x y =<<<<，,A B 为E 的子集.若存在x ，01x <<使得(){},;01x A E x y y ⊃=<<.则由于x E c =（显然()0,1x E :） 故A c ≥，而,A E A E c ⊂≤=. 由Berrsrein 定理A c =.若,01,x x x E A ∀<<⊄，则从x E E A B ⊂=U 知(){},;01x B E B x y y =<<≠∅I I所以(),x x y B ∃∈，则显然(){},;01xx y x <<具有势c故易知c B E c ≤≤= 由Berrsrein 定理B c = 证毕5. 设F 是[]0,1上全体实函数所构成的集合，证明2cF =证明：[]0,1∀的子集A ，作A 的示性函数()10A x Ax x A ϕ∈⎧=⎨∉⎩则映射()A A x ϕa规定了[]0,1的所有子集的集合到[]0,1上全体实函数所构成的集合的一个对应，且若A ，B ⊂[]0,1使得()()[],0,1A B x x x ϕϕ=∀∈成立 则必有A B = 所以[]0,12与F 的一个子集对等.反过来，任取()f x F ∈，()()[]{},;0,1f A t f t t =∈，fA 是f 在2R中的图象，是2R 中的一个子集.且若,f g F ∈，使f g A A =则[]0,1t ∀∈，()(),f g t f t A A ∈= 表明[]10,1t ∃∈使()()()()11,,t f t t g t =()()1,,t t f t g t t ⇒==∀故f g =.所以F 与2R 的全体子集所组成的集合的一个子集对等，故从[]20,1R :知[]20,122R F ≤=即F 与[]0,12的一个子集对等.所以由Berstein 定理[]0,122c F ==.。
实变函数论课后答案1
实变函数论课后答案第五章1第无章第一节习题1.试就[0,1]上的D i r i c h le 函数()D x 和Riemann 函数()R x 计算[0,1]()D x dx ⎰和[0,1]()R x dx ⎰解:回忆11()0\x Q D x x R Q∈⎧=⎨∈⎩即()()Q D x x χ= (Q 为1R 上全体有理数之集合)回忆: ()E x χ可测E ⇔为可测集和P129定理2:若E 是n R 中测度有限的可测集, ()f x 是E 上的非负有界函数,则_()()()EEf x dx f x dx f x =⇔⎰⎰为E 上的可测函数显然, Q 可数，则*0m Q =，()Q Q x χ可测，可测，有界,从而Lebesgue 可积由P134Th4(2)知[0,1][0,1][0,1][0,1][0,1]()()()10ccQ Q Q QQQ Q x dx x dx x dx dx dx χχχ⋂⋂⋂⋂=+=+⎰⎰⎰⎰⎰1([0,1])0([0,1])10010c m Q m Q =⋅⋂+⋅⋂=⋅+⋅= 回忆Riemann 函数()R x :1:[0,1]R R11,()0[0,1]n nx m n m R x x x Q⎧=⎪⎪==⎨⎪∈-⎪⎩和无大于的公因子1在数学分析中我们知道, ()R x 在有理点处不连续,而在所有无理点处连续,且在[0,1]上Riemann 可积, ()0.R x a e =于[0,1]上,故()R x 可测(P104定理3),且[0,1]()R x dx ⎰[0,1]()()QQR x dx R x dx -=+⎰⎰而0()10QQR x dx dx mQ ≤≤==⎰⎰(Q 可数,故*0m Q =)故[0,1][0,1][0,1]()()00QQR x dx R x dx dx --===⎰⎰⎰2.证明定理1(iii)中的第一式证明:要证的是:若mE <+∞,(),()f x g x 都是E 上的非负有界函数,则 ()()()EEEf x dx f x dxg x dx --≥+⎰⎰⎰下面证明之: 0ε∀>,有下积分的定义,有E 的两个划分1D 和2D 使 1()()2D Es f f x dx ε->-⎰,2()()2D Es g g x dx ε->-⎰此处1()D s f ,2()D s g 分别是f 关于1D 和g 关于2D 的小和数,合并12,D D 而成E 的一个更细密的划分D ,则当()D s f g +为()()f x g x +关于D 的小和数时12(()())()DD D D D f x g x dx sf g s f s g s f s g -+≥+≥+≥+⎰()()()()22EEEEf x dxg x dx f x dx g x dx εεε----≥-+-=+-⎰⎰⎰⎰(用到下确界的性质和P125引理1)由ε的任意性,令0ε→,而得(()())()()EEf xg x dx f x dx g x dx ---+≥+⎰⎰⎰3.补作定理5中()Ef x dx =+∞⎰的情形的详细证明证明:令{}|||||m E E x x m =≤,当()Ef x dx =+∞⎰时,()lim ()mm EE f x dx f x dx →∞+∞==⎰⎰0M ∀>,存在00()m m M N =∈,当0m m ≥时,2()lim [()]mmk k E E M f x dx f x dx →∞<=⎰⎰则存在k 使[()][lim ()]lim[()]mmmk n k n k n n E E E M f x dx f x dx f x dx →∞→∞<==⎰⎰⎰lim [()]lim()lim ()mmn k n n n n n E E Ef x dx f x dx f x dx →∞→∞→∞=≤≤⎰⎰⎰(利用[()]mn k E f x dx ⎰有限时的结论,Th5中已详证)由M 的任意性知lim ()()n n EEf x dx f x dx →∞=+∞=⎰⎰ 证毕.4.证明:若()f x 是E 上的非负函数, ()0Ef x dx =⎰,则()0.f x a e =证明:令[|()1],1,2,n E x n f x n n =<≤+= ,1[|()1]m F x f x m=<≤ 则11[|()0]()()n n n n E x f x E F +∞+∞==>=⋃f可测，故,,[|()0]n m E F E x f x >（1,2,;1,2,n m == ）都是可测集，由P135Th4(2)和()0Ef x dx =⎰，()f x 非负知[;()0]0()()()0nnn EE x f x E E f x dx f x dx f x dx n dx nmE >=≥≥≥=≥⎰⎰⎰⎰故0,(1,2,)n mE n == ；同理0,(1,2,)m mF m == 故11[|()0]0n m n m mE x f x mE mF +∞+∞==>≤+=∑∑故从()f x 非负，[|()0][|()0]E x f x E E x f x ==->，知()0.f x a e=于E .证毕.5．证明：当mE <+∞时，E 上的非负函数的积分()Ef x dx <+∞⎰的充要条件是02[|()2]k k k mE x f x +∞=≥<+∞∑证明：令[|()2],0,1k k E Ex f x k =≥= ，1[|2()2]n n n E E x f x +=≤<，0,1,2,k =[|()1],n i j n E x f x E E E +∞=≥=⋂=∅ 当i j ≠，f 非负，故从mE <+∞知[|()1]0()E x f x f x dx <≤<+∞⎰，而[|0()1][|()1]()()()EE x f x E x f x f x dx f x dx f x dx ≤<≥=<⎰⎰⎰[|()1]()()EE x f x f x dx f x dx ≥<+∞⇔<+∞⎰⎰注意由单调收敛定理和()0f x ≥可测知lim [|()1]lim()()()()()lim ()()n n ni i n i i ni n n i n E E E x f x EE E E f x dx f x dx f x dx x f x dx x f x dxχχ+∞→∞==→∞==→∞≥====⎰⎰⎰⎰⎰00lim ()()lim()lim ()()LeviThn niiii ii n n n n E i i E E E E x f x dx f x dx f x dx f x dxχ==+∞→∞→∞→∞======∑∑⎰⎰⎰⎰ 110022222222[|()2]i i n nnn n n n n i n n n n E dx mE mE mF E x f x +∞+∞+∞+∞+∞++=====≤==≤=≥∑∑∑∑∑⎰所以，若02[|()2]k k k mE x f x +∞=≥<+∞∑，则有[;()1]()E x f x f x dx ≥<+∞⎰则()Ef x dx <+∞⎰，故充分性成立.为证必要性，注意,k i k i i k i kF E mF mE +∞+∞====∑ ，令1{0nkk n k nϕ≥=<若若，则0002[|()2]2222nnnn nn nn nkkkkkn n n k nn k nn k mE x f x mF mE mE mEϕϕ+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞========≥====∑∑∑∑∑∑∑∑100000002122221k knnnnkk k k kk n k n k n k mE mE mE mE ϕ++∞+∞+∞+∞+∞+∞=======-====-∑∑∑∑∑∑∑11(21)222()k k kk k k k k k k k k k mE mE mE mE m E +∞+∞+∞+∞+∞++======-=-=-∑∑∑∑ 0022[[;()1]]2()kk k k k E mE m E x f x f x dx +∞+∞===-≥≤∑∑⎰[|()1]2()2()2()kk E x f x EE f x dx f x dx f x dx +∞=≥==≤<+∞⎰⎰⎰（,[|()1]mE mE x f x <+∞≥<+∞）证毕.注意以上用到正项二重级数的二重求和的可交换性，这可看成是Fubini 定理的应用，也可看成是Lebsgue 基本定理的应用，或Levi 定理的应用.0000nmnm m n n m aa +∞+∞+∞+∞=====∑∑∑∑0000lim lim ()lim ()kkknmnm nm nmk k k m n m n n n aa a d m ad m μμ+∞+∞+∞+∞+∞→∞→∞→∞=========∑∑∑∑∑∑⎰⎰00000lim ()()knm nm nm k n n n m a d m a d m a μμ+∞+∞+∞+∞+∞→∞=======∑∑∑∑⎰⎰μ是1R 上的一个测度（离散的）,[[]]1,()#[]m N m A A N μμ∀∈==⋂，N为自然数集，nm a 看成(){nxn a x Na x x N∈=∉当当 ，也可这样设1111,nm nm n m m n a a a b +∞+∞+∞+∞======∑∑∑∑，则,k p N ∀∈111111pppkknmnm nm n m m n m n aa ab +∞=======≤≤∑∑∑∑∑∑，令p →∞，11knm n m a b +∞==≤∑∑，令00,nm n m k a a b +∞+∞==→∞=≤∑∑，同理，b a ≤，则a b =，0000nm nm n m m n a a +∞+∞+∞+∞=====∑∑∑∑,[1,),1(){0i n a i i i nx x n ϕ-≤≤=≥为简单函数，()lim ()n n f x x ϕ→∞=，则()f x 可测6.如果(),()f x g x 都是E 上的非负可测函数，并且对于任意常数a 都有 [|()][|()]mE x f x a mE x g x a ≥=≥ 则()()EEf x dxg x dx =⎰⎰证明：若存在0b >使[|()]E x f x b ≥=+∞，则()()EEf x dx gx dx ==+∞⎰⎰结论成立.故b a ∀>，1,a b R ∈，[|()]E x f x b ≥<+∞，则[|()][|()][|()]E x f x a E x f x b E x a f x b ≥-≥=≤<[|()][|()][|()]mE x a f x b mE x f x a mE x f x b ≤<=≥-≥[;()][;()][;()]mE x g x a mE x g x b mE x a g x b =≥-≥=≤<m N ∀∈，及0,1,2,,21m k =- ，令,1[|()]22m k m m k k E E x f x +=≤<及 ,2[|()]m m m E E x f x m =≥则2,0mm m k k E E == ，,m k E 互不相交同样 ,,21[|()],[|()]22m m km m m m k k E E x g x E E x g x m +=≤<=≥， 2,0mm m k k E E == ，,m kE 互不相交 令 ~,,2200()(),()()22mmm k m km m m E m m m E k k k k x x x x ψχψχ====∑∑，则()m x ψ， ()mx ψ都是非负简单函数，且 (),()m m x x ψψ 均为单调不减关于m ，()()m x f x ψ→， ()()mx g x ψ→ 注意到,,11()[|()][|()]()2222m k m k m m m m k k k k m E mE x f x mE x g x m E ++=≤<=≤<= 故 22,,00()()()()22mmm m m m k m k m m m k k E Ek k x dx m E m E x dx ψψ=====∑∑⎰⎰ 故由Levi 定理知 ()lim ()lim ()()m m n n EEEEf x dx x dx x dxg x dx ψψ→∞→∞===⎰⎰⎰⎰ 7．设mE <+∞，()f x 是E 上的有界非负可测函数，0()f x M ≤<，()()()010,1,2,nn n n k g g g M n =<<<== 使 {}()(1)max |1,2,,0()n n i i n n y y i k l n --==→→∞ ，()()()()1[|()],,1,2,,;1,2,3,n n n n n i i i i i n E E x y f x y E i k n ξ-=≤<∈== 证明： ()1()lim ()nk n n i i n i Ef x dx f mE ξ→∞==∑⎰证明：显然，由f 可测于E 知，()n i E 是可测集（1,n i k n N ∀≤≤∈）且()1nk n i i E E == ，又在()n i E 上()()1()n n i i y f x y -≤<表明()()()()1inf ()sup ()n n ii n n i i x E x E y f x f x y -∈∈≤≤≤ 记()()1sup ()nnn ik n D ix E i S f x mE ∈==∑ （大和数），()()1inf ()nn ni k n D i x E i s f x mE ∈==∑ （小和数）则从()f x 有界可测知()f x 在E 上可积（P129Th2），故()()()n n D D E EEs f x dx f x dx f x dx S ---∞<≤==≤<+∞⎰⎰⎰，又从()n n i i E ξ∈知()()()11()sup ()nnn n n ik k nn n D iii D x E i i s f mEf x mE S ξ∈==-∞<≤≤=<+∞∑∑()1()()nn n n nk n n D D i i D D i Es S f x dx f mE S s ξ=-≤-≤-∑⎰，则()(1111|()()|nnnn n k k kn n n nnn niiD D i i i n in i i i Ef x dx f mES s y ymE l mE l mE ξ→∞-===-≤-≤-≤=→∑∑∑⎰（从0n l →知）故()1()lim ()nk n n i i n i Ef x dx f mE ξ→∞==∑⎰ 8．设mE <+∞，()f x 是E 上的非负可测函数，()Ef x dx <+∞⎰，[;()]n e E x f x n =≥，证明：lim 0n n n me →∞⋅=证明：由本节习题5知()Ef x dx <+∞⎰，mE <+∞则02[|()2]k k k mE x f x +∞=≥<+∞∑ ，故lim 2[|()2]0k k n mE x f x →∞≥= (1)反证设l i m n n n m e →∞⋅>，则00,,k k N n ε∃>∀∈∃使0kk n n me ε⋅≥，,k k N i N ∀∈∃∈使122k k i i k n +≤<，所以2i k k n e e ⊂,显然从k n →∞知2k i →+∞10222220()kki i kkki i k n n me me me k ε+≤⋅≤=⋅→→∞得矛盾所以lim0n n n me →∞⋅= 9．设()f x 是E 上的非负可测函数，()Ef x dx <+∞⎰，对任意的0r >，令[|||||]()()E x x r F r f x dx <=⎰证明：()F r 是(0,)+∞上的连续函数证明：[|||||](0,)E x x r E B r <=⋂显然为可测集；又()f x 在E 上非负可测，故0r ∀>，f 在[|||||]r E E x x r < 上也可测，且0()()rE Ef x dx f x dx ≤≤<+∞⎰⎰，故()F r 是(0,)+∞上有定义的函数1）先设0()f x M ≤≤<+∞于E 上，此时00,0r r ∀>∀>有0000[|||||]0()()()E x r x r r F r r F r f x d ≤<+≤+-=⎰0000[;||||][(0,)\(0,)]MmE x r x r r Mm B r r B r ≤≤<+≤+0000(((0,))\(0,))(()()]0n n n n M m B r r mB r M w r r w r =+=+-→ （当0r →）这里(0,)n n mB r w r =最好是用(0,)(0,)()1nn B r mB r R dx w r ==⎰来看.（下一节！）也可这样看00((0,))(0,)0m B r r mB r +-→，0R r ∀>>{}12(0,)(,,,);n R n i B R I x x x x R R x R ⊂==∈-<< ，而12(,,,);(0,)n r n i nr r Ix x x x R x B r n n ⎧⎫==∈-<<⊂⎨⎬⎩⎭ ，故(0,)\(0,)\R r nB R B r I I⊂((0,)\(0,))(\)()()(2)(2)22()n n n n n n R r R r nnr rm B R B r m I I m I m I R R n n≤=-=-=-得不出结果！则000()()0F r r F r ≤+-→ 当0r <时0000|()()|()()(()()]0n n n n F r r F r F r F r r M w r w r r +-=-+≤-+→则()F r 是连续的对一般可测函数()f x ，令(),()(),()m f x f x Mf x m f x M ≤⎧=⎨>⎩ min((),)f x m =，则0N f ≤可测于E ，且()()N f x f x →于E ，N f 单调不减，故由Levi 定理知lim ()m m EEf dx f x dx →∞=<+∞⎰⎰0,()N εε∀>∃，使0()()[()()]6N N EEEf x dx f x dx f x f x dx ε≤-=-<⎰⎰⎰对上述固定的()N N ε=，[|||||]()()N N E x x r F r f x dx <=⎰是连续于(0,)+∞上的则00(,,())(0,),r N r εεδδ∈+∞∃=0(,)0r εδ=>，当0||r r δ-<时0|()()|3N N F r F r ε-<则当0||r r δ-<时1230000|()()||()()||()()||()()|N N N N N N NF r F r F r F r F r F r F r F r I I I -≤-+-+-=++ 1[|||||][|||||][|||||]|()()||()()||(()())|N N N N E x x r E x x r E x x r I F r F r f x dx f x dx f x f x dx <<<-=-=-⎰⎰⎰[|||||]|(()())||(()())|3N N E x x r Ef x f x dx f x f x dx ε<≤-≤-<⎰⎰20|()()|3N N N I F r F r ε-< ，0300[|||||]|()()||(()())|(()())3N N N N E x x r EI F r F r f x f x dx f x f x dx ε<-=-≤-<⎰⎰则0|()()|F r F r ε-≤从而()F x 在(0,)+∞上连续得证.10．证明：若非负可测函数()f x 在E 上的积分()Ef x dx <+∞⎰，则对任意c ，0()Ec f x dx ≤≤<+∞⎰都有E 的可测集1E ，使1()E f x dx c =⎰证明：由第9题知，在本题条件下[|||||]()()E x x r F r f x dx <=⎰是(0,)+∞上的连续函数若0c =，则任取一单点0x E ∈，{}10E x =，则{}{}000()()0x f x dx f x m x ==⎰，即1()0E f x dx =⎰若()Ec f x dx =⎰，则取1E E =，则1()E f x dx c =⎰若0()Ec f x dx <<⎰注意到0r ∀>，{}(0,),||||B r x r r ∂== （(0,)B r 的边界） 满足11(0,)((0,)\(0,))m B r B r B r m+∞=∂=+11((0,))(((0,)\(0,)))m m B r m B r B r m+∞=∂=+11lim ((0,)\(0,))lim (())0n n n n n m B r B r w r r mm→∞→∞=+=+-= 若[|||||]m E E x x m =≤，0[|||||]m E E x x m =<，则0(\)((0,))0m m m E E m B m ≤∂=而()f x 非负可测，故011lim ()lim ()lim()()m m mm m EE EF m f x dx f x dx f x dx →∞→∞→∞===⎰⎰⎰则m 充分大时，()F m c >另一方面，0lim ()0r F r +→=（当0f M <<有界时，010()()()((0,))0m r E F r f x dx Mm E Mm B r ≤=≤≤→⎰）一般，0ε∀>，()N ε∃，使||3N E Ef dx f dx εε-<⎰⎰，min(,)N f f N =，又()()0N F r ε→，当0r +→时，((),)N δδεε∃=当0r δ<<时，()|()|3N F r εε<当0r δ<<时()()()()20()|()()||()||||()|333N N N N EF r F r F r F r f f dx F r εεεεεεε≤≤-+≤-+<+=⎰ 故0lim ()0r F r +→= 由连续函数的中介值定理知，存在00r >使000[|||||]()()E x x r c F r f x dx <==⎰，令10[|||||]E E x x r =<，则1E E ⊂，1E f dx c =⎰，证毕.11．设mE <+∞，12,,,m E E E 是E 的m 个可测子集，正整数k m ≤，证明：若E 中每一点至少属于k 个i E ，则有i ，使i kmE mE m≥ 证明：反证，设(1,2,,)i i m ∀= 有i kmE mE m<，则由于x E ∀∈，x 至少属于k 个i E ，故1()imE i x k χ=≥∑ （x E ∀∈），而i E E ⊂，故11()()im mi E i i E Em E E x dx k dx kmE χ==⋂=≥=∑∑⎰⎰111()m m mi i i i i kkmE m E E mE mE kmE m===≤⋂=<=∑∑∑得矛盾 所以i ∃使i kmE mE m≥.（徐森林书P242）12. 设mE <+∞，()0f x >且在E 上可测，证明：对任意0δ>，都有0d >，使只要1E E ⊂，1mE δ≥，便有1E f dx d ≥⎰证明：反证，设000,,,k k k E E mE δδ∃>∀∃⊂≥，但1kE f dx k<⎰令11[|()]1n F E x f x n n=≤<+ 1,2,n = ；[|()1]F E x f x =≥则n F ，F 都是可测集，且从()0f x >知1[|()0]n n E E x f x F F +∞==>=⋃1n n mE mF mF +∞=+∞>=+∑ （n F ，F 互不相交）所以0n ∃使00011()2n n n n n n mE mF mF mF δ+∞==+-+=<∑∑1()2n n n mE m F F δ=-⋃<，01(\)2n n n m E F F δ=⋃<0111(())((\))(())2n n n k k n k n k n n n n mE m E F F m E E F F m E F F δδ===≤=⋂⋃+⋂⋃<⋂⋃+故01(())2n k n n m E F F δ=⋂⋃≥在01n k n n E F F =⋂⋃ 上，01()1f x n ≥+ 所以111000()()1111()()(())1112n n kk n k n n n n k n n E E F F E F F f x dx f x dx dx m E F F k n n n δ===⋂⋃⋂⋃>≥≥=⋂⋃≥+++⎰⎰⎰k →+∞，得0010012n δ≥>+得矛盾，故结论不成立 0mE =时，1E E ∀⊂，1()0E f x dx =⎰，结论不会成立13．设mE <+∞，()f x 是E 上的有界非负可测函数，证明有[0,]mE 上的非负单调不增函数()g y 使对任意常数a 都有[|()][|0m Exfx am E y y m E g ya≥=≤≤≥，进而证明[0,]()()EmE f x dx g y dy =⎰⎰证明：1s R ∀∈，令()[|()|]f s mx f x s μ=>且{}*()inf 0|()f f t s s t μ=>≤，显然*()f t 是[0,)+∞上的非负单调不增函数，因为12t t ∀>，{}{}20|()0|()ff s s t s s t μμ>≤⊂>≤，从而**21()()f t f t ≥注意{}|()()f f s s ημημ⊂≤，从而*(())ff s s μ≤ （1）又由Levi 定理知()f s μ是右连续的121,,n n n n s s s s s s s s +∀→>≥≥≥≥≥ ，则{}{}1||()|||()|n n x f x s x f x s +>⊂>11[||()|][||()|]lim ()lim [||()|]lim ()lim ()n n f n n x f x s x f x s n n n n R R s m x f x s y dy y dy μχχ>>→∞→∞→∞→∞=>==⎰⎰1[||()|]()[||()|]()x f x s f R y dy m x f x s s χμ>==>=⎰,0,()n f n t s s tμ∀∃>≤，*()n s f t →，故从()f s μ右连续知*(())lim ()f f n n f t s t μμ→∞=≤ 即*(())f f t tμ≤（2）令**()[|()]f s m t f t s μ=>，则从*f 非增，知{}**()sup 0|()f s t f t s μ=>>（3）事实上*0()f t s μ∀≤<，则***,(),(),()f t t t s f t s f t s μ'''∃<<>>，则{}***[0,][0,()]0;()[0,()]f f t s t f t s s μμ⊂⊂>>⊂，故{}**0|()[0,()]f t f t s s μ>>=故{}**sup 0|()()f t f t s s μ>>=从（1）*(())f f s s μ≤知*()()f f s s μμ≥，从（3）若*()f t s μ>，则：*()f t s≤由（2）*()(())f f s f t t μμ≤≤ （注意f μ单调不增！） 由*()f t s μ>之任意性知*()()f f s s μμ≤，所以*()()f f s s μμ=即*[|()][|()][|()]mE x f x s m x f x s m t f t s >=>=>1a R∀∈ 111[|()][[|()]]lim [[|()]]n n mE x f x a m E x f x a m E x f x a n n+∞→∞=≥=>-=>-***111lim [;()][[;()]][,()]n n m t f t a m t f t a m t f t a n n +∞→∞==>-=>-=≥ 注意：t mE >时*()0f t ≡，故当0a >时*[|()][0,]t f t a mE ≥⊂*[|()][|0,()]m x f x a m t t mE f t a ≥=≤≤≥当0a ≤时，[|()]m x f x a mE ≥=*[|0,()][|0]m x t mE f t a m t t mE mE ≤≤≥=≤≤=.所以有*[|()][|0,()]m x f x a m t t mE f t a ≥=≤≤≥. 令*()()g t f t =即证明了本题的第一部分.记[0,],mE I mI mE ==则且[|()][|()]mE x f x a mI y g y a ≥=≥[|()][|()][|()][|()]m x f x a mE m x f x a mI mI y g y a mI y g y a <=-≥=-≥=<故b a ∀<，有[|()][|()][|()][|()]mE x f x a mE x f x b mE x b f x a mI y b g y a <-<=≤<=≤<14.设(),1,2,3,n f x n = 都是E 的非负可测函数，1()()n n f x f x +≥ ，（,1,2,3,x E n ∈= ），()l i m ()nn fxf x →∞= 并且有0n 使0()n Ef x dx <+∞⎰，举例说明，当()n Ef x dx ⎰恒为+∞时，上述结论不成立.证明：()lim ()n n EEf x dx f x dx →∞=⎰⎰证明：令00()()(),()n n n s x f x f x n n =-≥ ，则()n s x 非负可测，且1()()n n s x s x +≥，0lim ()()()n n n s x f x f x →∞=-，对()n s x 用Levi 定理得lim ()lim ()n n n n E Es x dx s x dx →∞→∞=⎰⎰ ，即00()lim ()(()())()()n n n n n EEEEEfx dx f x dx f x f x dx f x dx f x dx →∞-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰，00(),lim ()()n n n EEEf x dx f x dx f x dx →∞≤<+∞=⎰⎰⎰成立.反例：令n E R ⊂可测，mE =+∞，1()n f x n=于E 上，则11()()()n n f x f x f x +≥≥≥≥于E 上，lim ()0()n n f x f x →∞==于E 上，且1()n Ef x dx mE n==+∞⎰， ()0lim ()n n EEf x dx f x dx →∞=≠=+∞⎰⎰15.设()f x 是可测集E 上的非负可测函数，如果对任意m N ∀∈，都有[()]()mEEf x dx f x dx =<+∞⎰⎰ 则()f x 几乎处处等于一可测集合的示性函数.证明：令0[|()0]E E x f x ==，1[|()1]E E x f x ==，[|()1]E E x f x ∞=>，[|0()1]E E x f x =<<，则 01E E E E E ∞=⋃⋃⋃ 由于()f x 非负可测，故[()]m f x （m N ∀∈）也非负可测，故由Fatou 引理知lim[()]lim[()]lim [()]()m m m m m m E E EEmE f x dx f x dx f x dx f x dx ∞∞→∞→∞→∞∞⋅=≤≤=<+∞⎰⎰⎰⎰故0mE ∞=，从而有11[()][()]()()m m E E EEf x dx f x dx f x dx f x dx +=+⎰⎰⎰⎰而在1E 上()1f x =，故 11()[()]()()m E E EEf x dx f x dx f x dx f x dx +=+⎰⎰⎰⎰由0f ≥，且()Ef x dx <+∞⎰知1()E f x dx <+∞⎰，故 [()]()m E Ef x dx f x dx =⎰⎰，即 (()[()])0m Ef x f x dx -=⎰，而()[()]0m f x f x ->于 E上（m ∀），由此可知 0mE=（本节第4题）（Lemma ：若0g >可测于可测集E 上，()0Eg x dx =⎰，则0mE =证明：令11[|()],[|()1]1k F E x g x F E x g x k k ∞=≤<=≥+，则 1k k E F F +∞∞=⎛⎫=⋃ ⎪⎝⎭，k N∀∈1()()0,01k k k F EmF g x dx g x dx mF k ≤≤==+⎰⎰ 0()()0,0F EmF g x dx g x dx mF∞∞∞≤≤≤==⎰⎰则10k k mE mF mF +∞∞==+=∑）由此可知，111()0.cE f x a e E ⎧=⎨⎩，于上 ，于上 所以对几乎处处x E ∈有1111()()0E x E f x x x E χ∈⎧==⎨∉⎩， ，16．证明：如果()f x 是E 上的可测函数，则对于任意常数0a >都有 1[||()|]|()|EmE x f x a f x dx a ≥≤⎰ [|()]exp ()a EmE x f x a e f x dx -≥≤⎰ 证明： [||()|]|()||()|[||()|]EE x f x a f x dx f x dx amE x f x a ≥≥≥≥⎰⎰则 1[||()|]|()|EmE x f x a f x dx a ≥≤⎰ 又若x E ∈，则()()f x a f x a e e ≥⇔≥，故[|()][|exp ()]a E x f x a E x f x e ≥=≥，从而由前一部分结果知[|()][|exp ()][||exp ()|]a a mE x f x a mE x f x e mE x f x e ≥=≥=≥ |exp ()|exp ()a a EEe f x dx e f x dx --≤=⎰⎰17．证明；如果()f x 是1R 上的非负可测函数，则对任意实数,,,,,0a b c t a b c <>，都有[,][,]1()()a b ca t cb t f cx t dx f x dx c +++=⎰⎰证明：1）若()()E f x x χ=，（E 为1R 上任一可测集），则结论成立，这里1()0E x Ex x E χ∈⎧=⎨∉⎩， ， 此时[,][,]111()([,])ca t cb t ca t cb t f x dx dx m E ca t cb t c c c++++==⋂++⎰⎰ 而[,][,][,][|]()()([,][|])E a b a b a b x cx t E f cx t dx cx t dx dx m a b x cx t E χ⋂+∈+=+==⋂+∈⎰⎰⎰([,][])E tm a b c-=⋂[][]1,,c E t E t m a b m c a b c c c c ⎡⎤⎡⎤⎛-⎫⎛-⎫⎛⎫⎛⎫==⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦[][][][]11,,m ca cb E t m ca cb E t t c c ⎡⎤⎡⎤=-=-+⎣⎦⎣⎦ []()[],11,ca t cb t m ca t cb t E f x dx c c ++⎡⎤=++=⎣⎦⎰ 2）由内积的线性性质，当()f x 为简单函数时，结论也成立。
《实变函数论》纯答案
1. 证明：()B A A B -=U 的充要条件是A B ⊂.证明：若()B A A B -=U ，则()A B A A B ⊂-⊂U ，故A B ⊂成立.反之，若A B ⊂，则()()B A A B A B B -⊂-⊂U U ，又x B ∀∈，若x A ∈，则()x B A A ∈-U ，若x A ∉，则()x B A B A A ∈-⊂-U .总有()x B A A ∈-U .故 ()B B A A ⊂-U ，从而有()B A A B -=U 。
证毕2. 证明cA B A B -=I .证明：x A B ∀∈-，从而,x A x B ∈∉，故,c x A x B ∈∈，从而x A B ∀∈-， 所以c A B A B -⊂I .另一方面，cx A B ∀∈I ，必有,cx A x B ∈∈，故,x A x B ∈∉，从而x A B ∈-， 所以 cA B A B ⊂-I .综合上两个包含式得c A B A B -=I . 证毕3. 证明定理4中的（3）（4），定理6（De Morgan 公式）中的第二式和定理9. 证明：定理4中的（3）：若A B λλ⊂（λ∈∧），则A B λλλλ∈∧∈∧⊂I I .证：若x A λλ∈∧∈I ，则对任意的λ∈∧，有x A λ∈，所以A B λλ⊂（∀λ∈∧）成立知x A B λλ∈⊂，故x B λλ∈∧∈I ，这说明A B λλλλ∈∧∈∧⊂I I .定理4中的（4）：()()()A B A B λλλλλλλ∈∧∈∧∈∧=U U U U U .证：若()x A B λλλ∈∧∈U U ，则有'λ∈∧，使 ''()()()x A B A B λλλλλλ∈∧∈∧∈⊂U U U U .反过来，若()()x A B λλλλ∈∧∈∧∈U U U 则x A λλ∈∧∈U 或者x B λλ∈∧∈U .不妨设x A λλ∈∧∈U ，则有'λ∈∧使'''()x A A B A B λλλλλλ∈∧∈⊂⊂U U U .故()()()A B A B λλλλλλλ∈∧∈∧∈∧⊂U U U U U .综上所述有()()()A B A B λλλλλλλ∈∧∈∧∈∧=U U U U U .定理6中第二式()c c A A λλλλ∈∧∈∧=I U .证：()cx A λλ∈∧∀∈I ，则x A λλ∈∧∉I ，故存在'λ∈∧ ，'x A λ∉所以'c cx A A λλλ∈∧∉⊂U从而有()c c A A λλλλ∈∧∈∧⊂I U .反过来，若c x A λλ∈∧∈U ，则'λ∃∈∧使'cx A λ∉，故'x A λ∉，x A λλ∈∧∴∉I ，从而()c x A λλ∈∧∈I()c c A A λλλλ∈∧∈∧∴⊃I U . 证毕定理9：若集合序列12,,,,n A A A K K 单调上升，即1n n A A +⊂（相应地1n n A A +⊃）对一切n 都成立，则 1lim n n n A ∞→∞==U （相应地）1lim n n n A ∞→∞==I .证明：若1n n A A +⊂对n N ∀∈成立，则i m i mA A ∞==I .故从定理8知11lim inf n i m n m i mm A A A ∞∞∞→∞=====U I U另一方面,m n ∀，令m i i mS A ∞==U ，从1m m A A +⊂对m N ∀∈成立知11111()()m i m i m i i m i mi m i m i m S A A A A A A S ∞∞∞∞++==+=+=+==⊂==U U U U U U .故定理8表明1111lim sup lim inf n i m m n n n m i mm m A A S S A A ∞∞∞∞→∞→∞=========I U I U故1lim lim sup lim inf n n n m n n n m A A A A ∞→∞→∞→∞====U .4. 证明()()A B B A B B -=-U U 的充要条件是B =∅.证：充分性 若B =∅，则()()A B B A A A A A -=-∅∅=-∅==∅=∅-∅U U U U 必要性 若()()A B B A B B -=-U U ，而B ≠∅则存在x B ∈.所以()()x A B B A B B ∈-=-U U 即所以,x A B x B ∈∉U 这与x B ∈矛盾， 所以x B ∈.4. 设{}{}{}{}1,2,3,4,1,2,3,4S A ==,求()F A .又如果1;1,2,3,,S n n ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭L01;A n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭为奇数,{}1111,,,,321A i ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=⎨⎨⎨⎬⎬-⎩⎭⎩⎭⎩⎭L L ,问()()01,F A F A 是什么.解:若{}{}{}{}1,2,3,4,1,2,3,4S A ==,则(){}{}{}{},1,2,3,4,1,2,3,4F A =∅.若011111;1,2,3,,;1,,,,3521S n A n n i ⎧⎫⎧⎫⎧⎫====⎨⎬⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭⎩⎭L LL 为奇数, 则从1111111,,,,,,,3521242ci i ⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭L L L L ,易知()111111,,1,,,,,,,,3521242F A S i i ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=∅⎨⎨⎬⎨⎬⎬-⎩⎭⎩⎭⎩⎭LL L L . {}1111,,,,321A i ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=⎨⎨⎬⎨⎬⎬-⎩⎭⎩⎭⎩⎭LL . 令11;1,2,,;1,2,212B i C i i i ⎧⎫⎧⎫====⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭L L .{}{}{}°1,F A S A K A B K C K A=∅==∅U U @为的子集，或. 证明: 因为{}111,,,,,321A B i ⎧⎫⎧⎫∈⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭L L 的任何子集()1F A . 所以有()1B F A ∈,而c B C =,故()1C F A ∈,又()1F A ∅∈. 任取B 的一子集A ,()1A A F A ∅=∈U ,且()1A C F A ∈U .显°S A ∈,故只用证°A 的确是一个 -域.(1) °,ccS S A∅==∅∈,且B ∀的子集A ,若K =∅,则 °,c K A A A C ∅==U U(B A -是B 的子集,故()°°()ccA A C F A ∅=∈U U )又B ∀的子集A ,()ccccA C A C AB ==U I I .显然是B 的子集,所以()()°ccA C AB A =∅∈U I U .又若n A 为B 的子集()1,2,3,,n n K C ==L 或∅.则()°°111n n n n n n n A K A K A K∞∞∞===⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U U U U U U . 这里°1n n A A B ∞==⊂U 是B 的子集.°1nn K K C ∞===U 或∅. 所以()°1n n n A K A ∞=∈U U .若n A 中除B 的子集外,还有S ,则()°1n n n A K S A ∞==∈U U .若n A 中有∅,不影响1n n A B ∞=⊂U .故°A 是σ-域,且()°1F A A =. 证毕.6.对于S 的子集A ，定义A 的示性函数为()10A x Ax x A ϕ∈⎧=⎨∉⎩证明：（1）()()liminf liminf n n A A x x ϕϕ= （2）()()limsup lim sup n n A A x x ϕϕ= 证明：x S ∀∈，若()liminf n A x x ϕ∈则()liminf 1n A x ϕ=。
实变函数第一章答案
证明不妨设函数 在 单调递增，则 在 间断当且仅当
.
于是，每个间断点 对应一个开区间 .
下面证明：若 为 的两个不连续点，则有 .
事实上，任取一点 ，使 ，于是
，
从而 对应的开区间 与 对应的开区间 不相交，即不同的不连续点对应的开区间互不相交，又因为直线上互不相交的开区间所构成的集合至多是可数集，所以可知单调函数的不连续点之集至多是可数集.
证明对于任意的 ,使得 .因此可得： .因为 与 不相交，所以 .故 为单射，从而 .
3．证明：（1）任何可数集都可表示成两个不交的可数集之并；（2）任何无限集都可表成可数个两两不交的无限集之并．
证明(2)当 可数时，存在双射 .因为
所以
.
其中： .
又因为
且
可数，所以 可表示成可数个两两不交的无限集之并．
当 不可数时，由于 无限，所以存在可数集 ,且 不可数且无限，从而存在可数集 ，且 无限不可数.如此下去，可得 都可数且不相交，从而
.
其中 无限且不交.
4．证明：可数个不交的非空有限集之并是可数集．
5．证明：有限或可数个互不相交的有限集之并最多是可数集．
证明有限个互不相交的有限集之并是有限集；而可数个互不相交的有限集之并最多是可数集.
设超越数全体所成之集为 即 则 从而 必为无限集，由于 为可数集，而任一无限集添加一个可数集其基数不变，故
9．证明： ，则 ．
证明因为
又因为
所以由保并性知
即
10．证明：若 则 ．
证明(反证法)假设 则由已知可得 这与 矛盾.故有 .
11．证明：若 ，则 或 ．
证明假设 则有 这与 矛盾，故有 或 .
实变函数论课后答案第三版.doc
r , s ; r
Q, s
Q
U Aj，其中
Aj
ri, rj
; i
1,2,L nL
为可列集，
j1
故作为可数个
Aj的并QQ
U Aj为可数集。（第
20页定理
5）。
j1
2.以直线上的互不相交的开区间为元素的任意集合至多只有可数多个元素.
证明：设
k
k
1 m 1 i m
使得i m
1
，令i
， ，利用条件
时 ，fix0a
k
lim fix0
f
x0
，有
i
fx0a1， 再令k，得fx0a，所以x0E x; fxa，
k
所以I U I E x; fix
1
aE x; f x a
k 1 m 1 i m
k
故（2）得证。
注意：实际上有：对E撒谎能够任何实函数列fnx有
,3,4.
若S
1
; n
1,2,3,L
, A0
1
;为奇数
1,
1
,
1
,L
1
,L,
n
n
3
5
2i
1
则从1,1,1,L
1,L
c
1,1,L
1,L,
3
5
2i
1
2
4
2i
易知F A
, S, 1,1,1,L
2i
1,L ,1,1,L
1,L.
3
5
1
2
4
2i
A
1 ,
1
实变函数部分课后习题答案（最新版）
备注：证明题每章都是二选一，计算题在第五章第二章1.证明点集F 为闭集的充要条件是F F =. 证明：因为'F F F = ，若F 为闭集，则'F F ⊂ 所以'F F F F F F F =⊂=⊂ 故F F =反过来，若'F F F F =⊂ ，则必有'F F ⊂，从而F 为闭集.2.设()f x 是(),-∞∞上的实值连续函数，证明：对于任意常数a ，(){};x f x a >都是开集，(){};x f x a ≥都是闭集.证明：任取常数a ，若 (){}0;x x f x a ∈>，则()0f x a >，由于()f x 连续，0,0a x δ∃>， 使()(){}00,,;a x x N x x f x a δ∈⊂≥，这表明(){};x f x a >是开集.任取常数a ，若{}(){};n x x f x a ∈≥，且0n x x →，则从()n f x a ≥和()f x 连续知 ()()0lim n n f x f x a →∞=≥，故(){}0;x x f x a ∈≥这表明(){}(){}';;x f x a x f x a ≥⊂≥.，故(){};x f x a ≥是闭集.第三章68页3.证明对任意可测集合A 和B 都有()()()()m A B m A B m A m B +=+ （*） 证明：若()m A B =∞ ，则,A B A B ⊂∞=∞=∞=⋃⇒)(,)(,)(B m A m B A m∞=+=⋂+⋃=∞∴)()()()(B m A m B A m B A m 成立.若()m A B <∞ 则（*）等价于()()()()m A B m A m B m A B =+- 注意到()(),A B A B A A B A =--=∅ 且,A B 可测B A ⇒-可测()()()m A B m A m B A =+-A 可测()()()()()c m B m A B m A B m A B m B A =+=+-)()()()(B A m B m A B m B A m ⋂-=-∴∞<⋂()()()()m A B m A m B m A B ∴=+-9、设n E R ⊂，那么E 可测当且仅当对任意正数ε，存在开集G E ⊃及闭集F E ⊂使得()m G F ε-<。
实变函数参考答案(习题一)
旧版书习题一2.证明：（i ）右边=⊂--))(())((D B C D B A 左边 （ii ）右边=⊃--))(())((D B C D B A 左边3.解：等式右边=)()()(C C C A B A C B A --=- ，我们猜想C C A C =-，即A C ⊂为等式成立的充要条件。
由上充分性是显然的，再注意到由原等式，我们有A CB AC B A C ⊂--=-⊂)()( ，故而必要性也成立。
4.证明：（i ）因为1inf lim ,..,inf lim 100inflim =⇔∈≥∀∈∃⇔∈⇔=n nnA nn n nA A x n n t s N n A x χχ，所以等式成立。
（ii ）因为1sup lim ..,,sup lim 1sup lim =⇔∈≥∃∈∀⇔∈⇔=nknnA nn k n nA A x t s k n N k A x χχ，所以等式成立。
5.证明：先证明}{n B 互不相交。
事实上，Φ=-⊂>∀⊂≥∀n m n m m n n B B A A B n m A B n 故而,,,,1。
再证明集合等式。
等式左边。
等式右边时，时显然成立，当==-=-=≥===-===-=nj j ni i j j ij j ni i j j i A A A A A n n 11111111)()(216.证明：（i ）左边⊃右边是显然的，下证另一边也成立。
右边。
故于是左边，则∈-≤∃>-∈∀x a x f nt s n a x f x ,)(1..,,0)(（ii ）以E 为全集，左边=ca x f E x a x f E x a x f x E })(|{})(|{})(|{->-∈=-≤-∈=≥∞=∞=+-<-=+-≥-=11)(}1)(|{)}1)(|{(n cn i na x f x E na x f x E右边=->=∞= 1}1)(|{n na x f x E7.证明：将需证的等式记为M=F=P 。
实变函数 课后答案 (何穗 刘敏思)习题1参考答案
{
}
⎡π ， 由于 f ( x ) 是 ( 0,1) 上的严格单调递减的连续函数， (1 − x ) ⎤ ⎥ ⎣2 ⎦
( ( 0,1) ) = ( 0, +∞ ) ，所以 f ( x) 是 ( 0,1) 到 ( 0, +∞ ) 的一一映射。
其次，取自然数集 N ⊂ ( 0, +∞ ) ，再作
1
g : ( 0, +∞ ) → [0, +∞ )
A = A∪Q = R = c 。
（2）设超越数的全体为 A ，代数数的全体为 B ，则 A ∪ B = R 。又代数数的全体为可 数集，所以 A = A ∪ B = R = c 。
2
（3）设 E 是 [ 0,1] 上的任一子集，作函数
⎧1, x ∈ E 。 χ E ( x) = ⎨ 0, x ∉ E ⎩
1 ，从 k
而 lim f n ( x) > a −
习题 1 解答
（A 组题）
一、选择题 1、C；2、A；3、D；4、C；5、C；6、A；7、A；8、B；9、D；10、C 二、判断题 1、×；2、×；3、×；4、×；5、√；6、×；7、×；8、×；9、×； 10、× 三、填空题 1、＝；2、 ∅ ；3、 ( 0,1) ；4、 [ −1,1] ；5、 E ∪ F , E ∩ F ；6、 ( −2,3) ；7、 ≥ ；8、 c 9、设有两个集合 A 和 B ，若 A ≤ B ， A ≥ B ，则 A = B 。 四、证明题 1、 （1） A \ ( A \ B ) = A ∩ A ∩ B C
(
)
C
= A ∩ ( AC ∪ B ) = ( A ∩ AC ) ∪ ( A ∩ B ) = A ∩ B ；
实变函数第一章答案
实变函数第一章答案习题1、11.证明下列集合等式.(1) ()()()C A B A C B A I I I \\=; (2) ()()()C B C A C B A \\\Y Y =;(3) ()()()C A B A C B A I Y \\\=. 证明 (1) )()C \B (cC B A A I I I =)()( c c C B A A B A I I Y I I = c C A B A )()( I I I =)(\)(C A B A I I = 、(2) cC B A A I Y Y )(C \B)(=)()(c c C B C A I Y I ==)\()\(C A C A Y 、(3) )(\C)\(B \cC B A A I = c c C B A )(I I =)(C B A c Y I = )()(C A B A c I Y I =)()\(C A B A I Y =、2.证明下列命题.(1) ()A B B A =Y \的充分必要条件就是:A B ?; (2) ()A B B A =\Y 的充分必要条件就是:=B A I ?; (3) ()()B B A B B A \\Y Y =的充分必要条件就是:=B ?.证明 (1) A B A B B B A B B A B B A cc====Y Y I Y Y I Y )()()()\(的充要条就是:.A B ?(2) ccccB A B B B A B B A B B A I I Y I I Y Y ===)()()(\)(必要性、设A B B A =\)(Y 成立,则A B A c=I , 于就是有cB A ?, 可得.?=B A I反之若,?≠B A I 取B A x I ∈, 则B x A x ∈∈且, 那么B x A x ?∈且与cB A ?矛盾、充分性、假设?=B A I 成立, 则cB A ?, 于就是有A B A c=I , 即.\)(A B B A =Y(3) 必要性、假设B B A B B A \)()\(Y Y =, 即.\cC A B A B A I Y == 若,?≠B 取,B x ∈ 则,cB x ? 于就是,cB A x I ? 但,B A x Y ∈ 与cC A B A I Y =矛盾、充分性、假设?=B 成立, 显然B A B A \=Y 成立, 即B B A B B A \)()\(Y Y =、 3.证明定理1、1、6.定理1、1、6 (1) 如果{}n A 就是渐张集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且Y ∞=∞→=1;lim n n n n A A(2) 如果{}n A 就是渐缩集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且I ∞=∞→=1lim n n n n A A证明 (1) 设),1(1≥??+n A A n n 则对任意Y ∞=∈1,n n A x 存在N 使得,NAx ∈ 从而),(N n A x N ≥?∈ 所以,lim n n A x ∞→∈ 则.lim 1n n n n A A ∞→∞=?Y 又因为Y ∞=∞→∞→??1,lim lim n n n n n n A A A由此可见{}n A 收敛且Y ∞=∞→=1;lim n n n n A A(2) 当)1(1≥??+n A A n n 时, 对于,lim n n A x ∞→∈存在)1(1≥?<+k n n k k 使得),1(≥?∈k A x k n 于就是对于任意的,1≥n 存在0k 使得n n k >0, 从而,0n n A A x k ?∈ 可见.lim 1I=∞→?n n n n A A 又因为,lim lim 1n n n n n n A A A ∞→∞→∞=??I所以可知{}n A 收敛且I ∞=∞→=1.lim n n n n A A4.设f 就是定义于集合E 上的实值函数,c 为任意实数,证明: (1)+≥=>∞=n c f E c f E n 1][1Y ;(2) ??+<=≤∞=n c f E c f E n 1][1I ;(3) 若))(()(lim E x x f x f n n ∈?=∞→,则对任意实数c 有->=->=≥∞→∞=∞=∞=∞=k c f E k c f E c f E n n k n N n N k 1lim 1][111I I Y I .证明 (1) 对任意的[],c f E x >∈ 有,)(c x f > 则存在+∈Z n 使得nc x f 1)(+≥成立、即,1+≥∈n c f E x 那么.11Y ∞=+≥∈n n c f E x 故[];11Y ∞=+≥?>n n c f E c f E另一方面, 若,11Y ∞=+≥∈n n c f E x 则存在+∈Z n 0使得,110Y ∞=+≥∈n n c f E x 于就是c n c x f >+≥01)(, 故[]c f E x >∈、则有[].11Y ∞=+≥?>n n c f E c f E(2) 设[]c f E x ≤∈, 则c x f ≤)(, 从而对任意的+∈Z n , 都有nc x f 1)(+<, 于就是I ∞=+<∈11n n c f E x , 故有[];11I ∞=+另一方面, 设I ∞=+<∈11n n c f E x , 则对于任意的+∈Z n , 有n c x f 1)(+<, 由n 的任意性, 可知c x f ≤)(, 即[]c f E x ≤∈, 故[]I∞=+≤11n n c f E c f E 、(3) 设[]c f E x ≥∈, 则c x f ≥)(、由),)(()(lim E x x f x f n n ∈?=∞→ 可得对于任意的+∈Z k , 存在N 使得)(1|)()(|N n k x f x f n ≥?<-, 即)1(11)()(≥-≥->k kc k x f x f n , 即k c x f n 1)(->, 故)1(1lim ≥->∈∞→k k c f E x n n , 所以I ∞=∞→->∈11lim k n n k c f E x , 故[]I ∞=∞→->?≥11lim k n n k c f E c f E ;另一方面, 设I∞=∞→->∈101lim k n n k c f E x , 则对任意+∈Z k 有->∈∞→k c f E x n n 1lim 0、由下极限的定义知:存在1N 使得当1N n ≥时, 有)(10+∈->∈Z k k c f E x n , 即对任意+∈Z k 有kc x f n 1)(0->; 又由),)(()(lim E x x f x f n n ∈?=∞→ 知),()(lim 00x f x f n n =∞→ 即对任意的+∈Z k , 存在2N 使得当2N n ≥时, 有k x f x f n 1|)()(|00<-、取},m ax {21N N N =,。
《实变函数论》课后答案
Xn c, (0, 0, · · · , 0, x∗ , 0 , · · · ) ∈ / Pn (Dn ), n
∞
Dn < c, Pn (Dn ) ≤ Dn < c, ∀n, ∃x∗ n, ∗ ∗ ∗ (x1 , x2 , · · · , xn , · · ·) ∈ / Dn , (x1 , x2 , · · · , x∗ / n , · · ·) ∈ Dn0 = c, An0 = c.
(ii) Ex 5: {(x, y ) : x2 + y 2 < 1} {(x, y ) : x2 + y 2 < 1} {(x, y ) : x2 + y 2 ≤ 1} [0, 1) [0, 1]
r ∈[0,1]
f (x) = x2 , X = [−1, 1], Y = [0, 1], A = [0, 1]. {(x, y ) : x2 + y 2 ≤ 1}
n=1
An ∼ [0, 1]∞ .
An
E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∞
ww ¿À ' · T S Á¿À C õ d WÃX ÃÄ T WX à « Å Æ ÇÈ ' WXÉÊ UV Å« ! "#ËÌ"Í$%')({|12 t vw # 8 u#2v
n→∞
F
lim En = [a, b] \ E .
HGI T P
n→∞
lim fn (x) = χ[a,b]\E (x) =
Ex 4: f : X → Y, A ⊂ X, B ⊂ Y , (i)f −1 (Y \ B ) = f −1 (Y ) \ f −1 (B ); (ii)f (X \ A) = f (X ) \ f (A). (i)
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习题1解答（A 组题）一、选择题1、C ；2、A ；3、D ；4、C ；5、C ；6、A ；7、A ；8、B ；9、D ；10、C 二、判断题1、×；2、×；3、×；4、×；5、√；6、×；7、×；8、×；9、×；10、×三、填空题1、＝；2、∅；3、()0,1；4、[]1,1−；5、,E F E F ∪∩；6、()2,3−；7、≥；8、c9、设有两个集合A 和B ，若≤A B ，≥A B ，则=A B 。
四、证明题1、（1）()()()()()\\====∩∩∩∪∩∪∩∩CCC C A A B A A B A A B A A A B A B ；（2）()()()()()()\\==∩∩∩∩∩∩∩C C C CA B C D A B C D A C B D ()()()()\==∩∩∪∩∪CA CB D AC BD 。
2、111\lim \∞∞∞∞∞∞→∞======⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠∩∩∩∪∩∪∪∪C Cn n n n n N n N N n N N n N A B A B A B A B ()111lim(\)∞∞∞∞∞∞→∞======⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞====⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠∩∩∩∪∩∪∩∪∩C C C n n n n n N n NN n N N n N A B A B A B A B 。
同理可证第2个集合等式。
3、当A =∅时，{}∅张成的环和σ-环均为它自身；张成的代数和σ-代数均为{},X ∅。
当A X =时，{}X张成的环、σ-环、代数和σ-代数均为{},X ∅。
当A 为X 的非空真子集时，{}A 张成的环和σ-环均为{},A ∅；张成的代数和σ-代数均为{},,,c A A X ∅。
4、首先，令()()tan 12π⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦f x x ，由于()f x 是()0,1上的严格单调递减的连续函数，且()()()0,10,=+∞f，所以()f x 是()0,1到()0,+∞的一一映射。
其次，取自然数集()0,⊂+∞N ，再作()[)():0,0,1,(),0,\g x x Nx g x x x N +∞→+∞−∈⎧=⎨∈+∞⎩↦，则g 是()0,+∞到[)0,+∞的一一映射。
最后，取()=�T g f x ，则T 即为所求。
5、由,C B A C ⊂∼知，A B ≤；由,B A B B ⊂∼知，B A ≤。
所以，由伯恩斯坦定理知A B =，即A B ∼，故A B C ∼∼。
6、（1）设直线上端点为有理数的开区间的全体为集合A ，记直线上的全体有理数为{}12,,,,⋯⋯n a a a ，则(){},,,1,2,=<=⋯iji j A a a a a i j ，易知A 与平面上的有理点集的一无限子集对等，所以A 可数。
（2）设整系数多项式的全体为集合A ，n A 是n （1≥）次整系数多项式的全体，则{}{}2012,0,1,2,,1,\0=++++∈=−∈⋯⋯n n n i n A a a x a x a x a Z i n a Z 。
显然{}()0,1,2,××××−=∼⋯⋯�������n n A Z Z Z Z n 个，由定理1.17知n A 可数。
又1+∞=⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∪∪n n A Z A ，再由定理1.16知A 可数。
（3）因任何自然数、有理数都是代数数，因而代数数的全体必是无限集。
由于整系数多项式全体为可数集，而每一整系数多项式又只能有有限个实根，故代数数全体可看作可数个有限集的并，所以为可数集。
（4）设平面上顶点为有理坐标的三角形的全体为集合A ，则(){}2,,,,=∈A x y z x y z Q ，由此知A 中任一元素由互相独立的,,x y z 唯一决定，且,,x y z 各自跑遍一个可数集，所以由定理1.17的推论1.4知，A 是可数集。
7、（1）设无理数集为A ，有理数集为Q ，则A Q R =∪。
又有理数集为可数集，所以A A Q R c ===∪。
（2）设超越数的全体为A ，代数数的全体为B ，则A B R =∪。
又代数数的全体为可数集，所以A A B R c ===∪。
（3）设E 是[]0,1上的任一子集，作函数1,()0,χ∈⎧=⎨∉⎩E x Ex x E。
记这样的函数组成的集合为0A ，则0A A ⊂，又02c A =，因此2c A ≥。
又，对任意()∈f x A ，则函数图象(){},()[0,1]∈x f x x 是2R 的一个子集。
而2R 的所有子集组成的集合的基数为2c ，因此2c A ≤。
由伯恩斯坦定理知2c A =。
8、（证明类似于第1章第1.5节的例2同理可得。
）对任意()∈⎡≥⎤⎣⎦x E x f x a ，则()f x a ≥，从而对任意的正整数k ，1()f x a k>−，从而1lim ()n n f x a k →∞>−。
于是存在正整数N ，当n N >时，1()n f x a k>−，因此1lim ()→∞⎡⎤∈>−⎢⎥⎣⎦n n x E x f x a k 。
所以11lim ()∞→∞=⎡⎤∈>−⎢⎥⎣⎦∩n n k x E x f x a k ，即11111()lim ()()∞∞∞∞→∞====⎡⎤⎡⎤⎡≥⎤⊂>−=>−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∩∩∪∩n n nk k N n N E x f x a E x f x a E x f x a k k 。
反之，对任意111()∞∞∞===⎡⎤∈>−⎢⎥⎣⎦∩∪∩n k N n N x E x f x a k ，则对任意的正整数k ，有11()∞∞==⎡⎤∈>−⎢⎥⎣⎦∪∩n N n N x E x f x a k ，即1lim ()→∞⎡⎤∈>−⎢⎥⎣⎦n n x E x f x a k 。
从而存在正整数N ，当n N >时，1()⎡⎤∈>−⎢⎥⎣⎦n x E x f x a k ，即1()n f x a k>−。
再由k 的任意性知()n f x a ≥。
因此()lim ()n n f x f x a →∞=≥。
所以()∈⎡≥⎤⎣⎦x E x f x a ，即111()()∞∞∞===⎡⎤⎡≥⎤⊃>−⎢⎥⎣⎦⎣⎦∩∪∩n k N n N E x f x a E x f x a k 。
综上可得111()()∞∞∞===⎡⎤⎡≥⎤=>−⎢⎥⎣⎦⎣⎦∩∪∩n k N n NE x f x a E x f x a k 。
9、由题设易知，{}()⎡>⎤⎣⎦n E x f x a 单调递增，所以1()lim ()∞→∞=⎡>⎤=⎡>⎤⎣⎦⎣⎦∪n n n n E xf x a E x f x a 。
下证1()()∞=⎡>⎤=⎡>⎤⎣⎦⎣⎦∪n n E x f x a E xf x a 。
事实上，由{}()n f x 单调递增可得，()()≤n f x f x ，所以()()⎡>⎤⊂⎡>⎤⎣⎦⎣⎦n E x f x a E x f x a 从而1()()∞=⎡>⎤⊂⎡>⎤⎣⎦⎣⎦∪n n E xf x a E x f x a 。
反之，对任意()∈⎡>⎤⎣⎦x E x f x a ，有()>f x a 。
而)()(lim x f x f n n =∞→，所以存在正整数N ，当≥n N 时，()>n f x a ，即1()()∞=∈⎡>⎤⊂⎡>⎤⎣⎦⎣⎦∪n n n x E x f x a E xf x a ，故1()()∞=⎡>⎤⊃⎡>⎤⎣⎦⎣⎦∪n n E xf x a E x f x a 综上得，1()()∞=⎡>⎤=⎡>⎤⎣⎦⎣⎦∪n n E x f x a E xf x a 。
10、因为\lim ()()∗→∞⎡⎤==⎢⎥⎣⎦n n D E E x f x f x ，由第1章第1.5节例3，111lim ()()()()∞∞∞→∞===⎡⎤⎡⎤==−<⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∩∪∩n nn k N n N E x f x f x E x f x f x k 11lim ()()∞→∞=⎡⎤=−<⎢⎥⎣⎦∩n n k E x f x f x k 。
所以，由De.Morgan 法则，111\()()∞∞∞∗===⎛⎞⎡⎤=−<⎜⎟⎢⎥⎣⎦⎝⎠∪∪∩n k N n N D E E x f x f x k 111\()()∞∞∞===⎡⎤⎛⎞⎡⎤=−<⎢⎥⎜⎟⎢⎥⎣⎦⎝⎠⎣⎦∪∩∩n k N n N E E x f x f x k111\()()∞∞∞===⎛⎞⎡⎤=−<⎜⎟⎢⎥⎣⎦⎝⎠∪∩∪n k N n N E E x f x f x k 11111()()lim ()()∞∞∞∞→∞====⎡⎤⎡⎤=−≥=−≥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦∪∩∪∪n n n k N n N k E x f x f x E x f x f x k k 。
11、解答提示：（1）注意到[)[)111,,,∞∞==⎛⎞+∞=+=−+∞⎜⎟⎝⎠∪∩n n a a a n a n ，由逆像集的运算性质即可；（2）注意到()11,,∞=⎛⎤−∞=−∞−⎜⎥⎝⎦∪n a a n ，由逆像集的运算性质即可；（3）注意到2()>f x a 或⇔()>f x()<f x 即可。
12、解答提示：注意到()()f x g x ≥知，由()>g x a 可以推出()>f x a 。
13、解答提示：因为()()()()−≤+f x g x f x g x ，所以若()()σ−>f x g x ，则()2σ>f x 和()2σ>g x 至少有一个成立。
（B 组题）1、因()()()()()()\\\\==∩∩∩∩∩ccccc A B C D A BC D A B C D ()()=∩∩∪∩∩c c c A B C A B D ()()()()\\=∩∪∩c A C B A D B ，又()\\⊂∩c A C B A C ，()\\⊂∩A D B D B ，故()()()()\)\\\\⊂∪A B C D A C D B 。
2、（1）对于()111∞∞∞===⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∪∪∪∪∪n n n n n n n A B A B 。
显然对任意正整数n ，11()∞∞==⎛⎞⎛⎞⊂⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∪∪∪∪n n n n n n A B A B ，所以()111∞∞∞===⎛⎞⎛⎞⊂⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∪∪∪∪∪n n n n n n n A B A B 。