浙教版初中数学八年级下册一元二次方程根与系数的关系—知识讲解(提高)

一元二次方程根与系数的关系—知识讲解（提高）

【学习目标】

1. 理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系；

2. 能应用一元二次方程的根与系数的关系解决以下问题：已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.

【要点梳理】

要点一、一元二次方程的根与系数的关系

1.一元二次方程的根与系数的关系

如果一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -

=+21，a

c x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.

2.一元二次方程的根与系数的关系的应用

(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；

(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：

①222

121212()2x x x x x x +=+-；

②

12

1212

11x x x x x x ++=； ③22

12121212()x x x x x x x x +=+；

④22

21121212x x x x x x x x ++=

2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22

121212()()4x x x x x x -=+-；

⑥12()()x k x k ++2

1212()x x k x x k =+++；

⑦12||x x -==

⑧22

212

121222222

121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==；

⑨12x x -==

⑩12||||x x +===

(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数

为根的一元二次方程是

.

(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；

（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则 ①当△≥0且120x x >时，两根同号．

当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数； 当△≥0且120x x >，120x x +<时，两根同为负数． ②当△＞0且120x x <时，两根异号．

当△＞0且120x x <，120x x +>时，两根异号且正根的绝对值较大；

当△＞0且120x x <，120x x +<时，两根异号且负根的绝对值较大．

要点诠释：

（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；

（2）若有理系数一元二次方程有一根a +a a ，b 为有理数）．

【典型例题】

类型一、一元二次方程的根与系数的关系的应用（1）

1. 【思路点拨】

（1）首先将原方程化为一般式，由关于x 的一元二次方程x 2=2（1-m ）x-m 2

有两个实数根，则可知△≥0，解不等式即可求得m 的取值范围；

【答案与解析】

【总结升华】此题考查了根与系数的关系，以及判别式的应用．此题比较简单，注意将方程化为一般形式．

举一反三：

【变式】（2015春•杭州校级月考）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2=0的两个实数根．

（1）当m=0时，求方程的根；

（2）若（x1﹣2）（x2﹣2）=41，求m的值；

（3）已知等腰三角形ABC的一边长为9，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．【答案】解：（1）当m=0时，方程即为x2﹣4x=0，

解得x1=0，x2=4；

（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2=0的两个实数根，

∴x1+x2=2（m+2），x1x2=m2，

∴（x1﹣2）（x2﹣2）=x1x2﹣2（x1+x2）+4=m2﹣4（m+2）+4=m2﹣4m﹣4=41，

∴m2﹣4m﹣45=0，

解得m1=9，m2=﹣5．

当m1=9时，方程为x2﹣22x+81=0，△=（﹣22）2﹣4×81=160＞0，符合题意；

当m1=﹣5时，方程为x2+6x+25=0，△=62﹣4×25=﹣64＜0，不符合题意；

故m的值为9；

（3）①当9为底边时，此时方程x2﹣2（m+2）x+m2=0有两个相等的实数根，

∴△=4（m+2）2﹣4m2=0，

解得：m=﹣1，

∴方程变为x2﹣2x+1=0，

解得：x1=x2=1，

∵1+1＜9，

∴不能构成三角形；

②当9为腰时，设x1=9，

代入方程得：81﹣18（m+2）+m2=0，

解得：m=15或3，

当m=15时方程变为x2﹣34x+225=0，

解得：x=9或25，

∵9+9＜25，不能组成三角形；

当m=3时方程变为x2﹣10x+9=0，