浙教版初中数学八年级下册一元二次方程根与系数的关系—知识讲解(提高)

浙教版八年级下册2.4一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)培优讲义(含解析)

第2讲韦达定理命题点一：利用判别式求值例1若关于x的方程ax2＋2(a＋2)x＋a＝0有实数解，则实数a的取值范围是a≥－1 .例2(1)如果关于x的一元二次方程kx2－2k＋1x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是( D )A．k＜12B．k＜12且k≠0 C．－12≤k＜12D．－12≤k＜12且k≠0(2)若关于x的一元二次方程12x2－2mx－4m＋1＝0有两个相等的实数根，则(m－2)2－2m(m－1)的值为72．命题点二：巧用韦达定理妙解代数式例3若m，n是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，则m2＋2m＋n的值为 0 .例4(1)已知α，β是方程x2－x－1＝0的两个实数根，则代数式α2＋α(β2－2)的值为 0 ．(2)若关于x的一元二次方程2x2－2x＋3m－1＝0的两个实数根为x1，x2，且x1x2>x1＋x2－4，则实数m的取值范围是( D )A．m>－53B．m≤12C．m＜－53D．－53＜m≤12命题点三：根据根的范围求值例5已知关于x的方程ax2＋(a＋1)x＋6a＝0有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜1＜x2)，则实数a的取值范围是( C )A．－1＜a＜0 B．a＜－1 C．－18＜a＜0 D．a＜－18例6已知关于x的方程x2＋2px＋1＝0的两个实数根一个大于1，另一个小于1，则实数p的取值范围是p＜－1 ．命题点四：解绝对值方程例7设方程||x2＋ax＝4只有3个不相等的实数根，求a的值和相应的3个根．解：方程等价于如下两个方程：x2＋ax－4＝0，①x2＋ax＋4＝0. ②∵原方程只有3个不相等的实根，又∵两个方程不可能有公共根，∴必有且只有方程①或②有重根，Δ1＝a2＋16≥0，Δ2＝a2－16≥0.由于Δ1>Δ2，故只可能是Δ2＝0，即a ＝±4. ∴当a ＝4时，相应的根为－2，－2±22； ∴当a ＝－4时，相应的根为2，2±2 2.例8若关于x 的方程x 2－(m ＋5)||x ＋4＝m 恰好有3个实数解，则实数m ＝ 4 . 命题点五：构造方程求值例9已知m 2－2m －1＝0，n 2＋2n －1＝0且mn ≠1，则mn ＋n ＋1n的值为 3 ．例10已知mn ≠1，且5m 2＋2 018m ＋9＝0，9n 2＋2 018n ＋5＝0，则m n值为( B )A.59B.95C.6703 D ．－402 命题点六：三角形边的问题例11如果方程(x －1)(x 2－2x ＋m )＝0的三个根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( C )A ．0≤m ≤1B ．m ≥34 C.34＜m ≤1 D.34≤m ≤1例12△ABC 的一边长为5，另外两边长恰为方程2x 2－12x ＋m ＝0的两个根，则m 的取值范围是112<m ≤18 ．命题点七：整数根问题例13已知整数p ，q 满足p ＋q ＝2 010，且关于x 的一元二次方程67x 2＋px ＋q ＝0的两个根均为正整数，则p ＝－2278 ．例14求满足如下条件的所有k 的值：使关于x 的方程kx 2＋(k ＋1)x ＋(k －1)＝0的根都是整数．解：分k ＝0和k ≠0两种情况讨论．当k ＝0时，所给方程为x －1＝0，有整数根x ＝1. 当k ≠0时，所给方程为二次方程．设两个整数根为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－k ＋1k ＝－1－1k，① x 1·x 2＝k －1k ＝1－1k.② 由①－②，得x 1＋x 2－x 1·x 2＝－2，整理，得(x 1－1)(x 2－1)＝3.∵方程的根都是整数，∴(x 1－1)(x 2－1)＝3＝1×3＝(－1)×(－3)．有x 1－1＝1，x 2－1＝3或x 1－1＝－1，x 2－1＝－3.故x 1＋x 2＝6或x 1＋x 2＝－2，即－1－1k ＝6或－1－1k ＝－2，解得k ＝－17或k ＝1. 又∵Δ＝(k ＋1)2－4k (k －1)＝－3k 2＋6k ＋1，当k ＝－17或k ＝1时，都有Δ＞0.∴满足要求的k 值为0，－17，1.课后练习1．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋m 4＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，若1x 1＋1x 2＝4m ，则m 的值为( A )A ．2B ．－1C ．2或－1D ．不存在2．已知关于x 的方程x 2－(a 2－2a －15)x ＋a －1＝0的两个根互为相反数，则a 的值是( B )A ．5B ．－3C ．5或－3D ．13．已知四个互不相等的正实数a ，b ，c ，d 满足(a 2012－c 2012)(a 2012－d 2012)＝2 012，(b 2012－c 2012)(b 2012－d 2012)＝2 012，则(ab )2012－(cd )2012的值为( A )A ．－2 012B ．－2 011C ．2 012D ．2 011 4．若实数a ，b 满足12a －ab ＋b 2＋2＝0，则实数a 的取值范围是( C )A ．a ≤－2B ．a ≥4C ．a ≤－2或a ≥4D ．－2≤a ≤45．已知关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋5－k ＝0有两个大于2的实数根，则k 的取值范围是( A )A ．－5＜k ≤－4B ．k >－5C ．k ≤－4D ．－4≤k ＜－26．关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋k 2－k ＝0的两个实数根分别是x 1，x 2，且x 21＋x 22＝4，则x 21－x 1x 2＋x 22的值为 4 ．7．如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2－m ＝3，n 2－n ＝3，那么代数式2n 2－mn ＋2m ＋2 015＝ 2026 .8．设a ，b 是一元二次方程x 2－x －1＝0的两个根，则3a 3＋4b ＋2a2的值为 11 ．9．若方程||x 2－5x ＝a 有且只有相异的两个实数根，则a 的取值范围是 a ＝0或a >254． 10．若p ＋q ＝198，则方程x 2＋px ＋q ＝0的最大整数解为 200 ．11．关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋2m －1＝0的两个实数根分别是x 1，x 2，且x 21＋x 22＝7，求下列代数式的值：(1)(x 1－x 2)2. (2)x 2x 1＋2＋x 1x 2.解：由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝m ，x 1·x 2＝2m －1.∵x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝m 2－2×(2m －1)＝7，∴m 2－4m －5＝0. ∴m 1＝5，m 2＝－1.当m 1＝5时，Δ＝m 2－4(2m －1)＝25－36＝－9＜0(不合题意，舍去)；当m 2＝－1时，Δ＝1－(－12)＝13>0. ∴m ＝－1.∴x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－3.∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝13，x 2x 1＋2＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2x 1·x 2＝－13.12．已知方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q .请根据以上结论，解决下列问题：(1)已知a ，b 满足a 2－15a －5＝0，b 2－15b －5＝0，求a b ＋ba的值．(2)已知a ，b ，c 均为实数，且a ＋b ＋c ＝0，abc ＝16，求正数c 的最小值．解：(1)当a ≠b 时，则a ，b 为方程x 2－15x －5＝0的两个根， ∴a ＋b ＝15，ab ＝－5.∴原式＝a 2＋b 2ab ＝(a ＋b )2－2ab ab ＝152－2×(－5)－5＝－47.当a ＝b 时，原式＝2.综上所述，a b ＋b a的值为－47或2. (2)由条件，得a ＋b ＝－c ，ab ＝16c ，则a ，b 为方程x 2＋cx ＋16c＝0的两个实数根，∴Δ＝c 2－4×16c≥0，c 3≥64，即c ≥4.故正数c 的最小值为4.13．(自主招生模拟题)已知x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)为关于x的方程x3－3x2＋(a＋2)x－a＝0的三个实数根，则4x1－x21＋x22＋x23的值为( A )A．5 B．6 C．7 D.814．(自主招生模拟题)设a，b，c，d为四个不同的实数，若a，b为方程x2－10cx－11d＝0的根，c，d为方程x2－10ax－11b＝0的根，则a＋b＋c＋d＝ 1210 ．15．(自主招生真题)设x为正数，求分式x(x＋1)2的最大值．解：设k＝x(x＋1)2.整理，得kx2＋(2k－1)x＋k＝0.由Δ＝(2k－1)2－4k2≥0，得k≤14，即分式x(x＋1)2的最大值为14.。

浙教版数学八下课件【一】2.4一元二次方程根与系数的关系

小结
一元二次方程根与系数的关系
两根之和等于一次项系数除以二次项系数的商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
x1 x2
b a
x1x2 c
a
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
2.4一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程的一般形式
ax2 bx c 0a 0
当，b2方4程a有c 解0，
求根公式 x b b2 4ac 2a
ax2 bx c 0(a 0)中
x1 b
b2 2a

4ac
x 2 12x 9 0 的两个根，求这个长方形的周长
和面积。
展示交流：
2．若关于 x 的一元二次方程(m2 2)x2 (m 2)x 1 0
的两个根互为相反数，求 m 的值。
1、3 , 1 22
3、 3 5、 2 2
2、1,3 4、如：x2 4x 1 0
合作探究：
1．设是x1一, x2元二次方程
7x2 2x 1 0
的两个根，求下列代数式的值。
(1) x12 x2 2
(2)
1 x1

1 x2
合作探究：
2．已知一个一元二次方程的二次项系数是7，它的两个根是1, 1 ，写出这个方程。
7
展示交流：
1．已知长方形相邻两边长是一元二次方程
,
4ac 2a
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac 2a
b b2 4ac b b2 4ac 2a
2b b 2a a
x1x2 b
b2 4ac b 2a

浙教版八年级下册 2.4 一元二次方程的根与系数的关系(选学)课件(共19张PPT)

方x1＋程xa2x＝2＋__－b_x_ba＋__c_＝,x01x(2a＝≠_0_)_的_a_c根__如. 果是x1，x2，那么
一般地，一元二次方程根与系数有如下关系：
如果x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两
个根，那么x1＋x2＝－
b a
c ，x1x2＝ a
.
你能证明上面的结论吗？
深入探究
拓展训练
1 方程 2x2－3x＋1＝0的两个根记作x1 ， x2
不解方程，求x1 －x2的值.
解：由根与系数的关系，得
x1＋x2＝
3 2
，x1
x2＝
1 2
.
x1－x2 2 ＝ x1＋x2 2 －4x1x2
＝
3 2
2
－4
1＝ 2
1 4
.
∴x1－x2＝
1 2
.
总结归纳
求与根有关的代数式的值时，看代数式是否具有对称性，若具有对称性，则直接变形，将两根之和或积代入求值；若不具有对称性，则将其中的某一个根单独代入方程中，得到与待求值的代数式相关的结构，进行整体代入求值．
方法规律总结
(1)不用解方程，即可求得两根之和、两根之积
(2)可根据已知一根求另一根，也可求一元二次方程
的待定系数
课堂小结
利用根与系数关系解决问题的一般步骤：第一步：先将方程化为一般式
ax2+bx+c=0 （a≠0）第二步：计算b2-4ac的值
b2-4ac≥0 有实数根 b2-4ac＜0 无实数根第三步：有实数根写出两根之和，两根之积
1 x1
1 x2
x1 x2 x1 x2
7 5
3 5
7 5
5 3

浙教版数学八年级下册第2章《2.4一元二次方程根与系数的关系》课件

2
3 5
79 25
1 1 x1 x2 7 5 7 x1 x2 x1x2 5 3 3
例题探究
【练习】设x1, x2是一元二次方程2x2 6x 3 0的两个根，求：
(1)(x1 x2 )2.
(2) x2 x1 . x1 x2
归纳小结
【归纳】几种常见代数式的变形求值:
（6）x1 x2 (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2
例题探究
【例2】已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是 1 和1，写出这个方程. 3
例题探究
【例3】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2＋1＝0
的两个实数根，当x12＋x22＝15时，求m的值．
浙教版八年级下册
第2章一元二次方程
2.4 一元二次方程根与系数的关系
学习目标
学习目标
1.经历一元二次方程根与系数的关系发现过程。
2.了解一元二次方程根与系数的关系及其证明。
3.会运用一元二次方程根与系数的关系简化有关一元二次方程根的运算
课前复习
【复习1】一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的解法
（1）1 1 x1 x2
x1 x2
x1 x2
（2）x1 x2 x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2
x2 x1
x1 x2
x1 x2
（3）x12x22x1x2 22x1x2
（4）x1 x2 2 x1 x2 2 4x1x2
（5）(x1 1)( x2 1) x1x2 (x1 x2 ) 1
∴ab＋ba＝a2＋abb2＝（a＋ba）b2－2ab＝152－2×－（5 －5）＝－47.

浙教版八年级数学下册课件：2.4 一元二次方程根与系数的关系 (共23张PPT)

2.4一元二次方程根与系数的关系
●激情导入
这节课我们就来学习一元二次方程根与系数的关系.
●理清学习目标
• 1．了解一元二次方程的根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数．
• 2．在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根和与两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的思想．
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
【小组讨论1】
(1) 使用一元二次方程根与系数的关系有什么前提
条件？
【针对训练】
【答案】
探究点二一元二次方程的根与系
●聚焦主题合作探究
探究点一一元二次方程的根与系数的关系的推导
➢活动一：阅读课本内容，相互交流并解决如下问
题：
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/142021/9/14Tuesday, September 14, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/142021/9/142021/9/149/14/2021 9:11:20 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/142021/9/142021/9/14Sep-2114-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/142021/9/142021/9/14Tuesday, September 14, 2021

浙教版数学八年级下册2.4《一元二次方程根与系数的关系》说课稿

浙教版数学八年级下册2.4《一元二次方程根与系数的关系》说课稿一. 教材分析浙教版数学八年级下册2.4《一元二次方程根与系数的关系》这一节的内容，是在学生已经掌握了求解一元二次方程的多种方法，以及能够熟练运用因式分解法解一元二次方程的基础上进行教学的。

通过这一节的内容，让学生了解一元二次方程的根与系数之间的关系，进一步加深学生对一元二次方程的理解，为后续学习一元二次方程的应用打下基础。

二. 学情分析学生在学习这一节的内容时，已经有了一定的数学基础，能够理解和运用一元二次方程的基本概念和求解方法。

但是，对于一元二次方程根与系数之间的关系，可能还比较陌生，需要通过实例分析和练习来逐步理解和掌握。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握一元二次方程根与系数之间的关系，能够运用这一关系来求解一元二次方程。

2.过程与方法目标：通过实例分析和练习，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极进取的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程根与系数之间的关系。

2.教学难点：如何运用根与系数之间的关系来求解一元二次方程。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生通过实例分析和练习来探索和发现一元二次方程根与系数之间的关系。

2.教学手段：利用多媒体课件，进行图示和动画演示，帮助学生直观地理解一元二次方程根与系数之间的关系。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个具体的一元二次方程实例，引导学生思考如何求解这个方程。

2.探索规律：让学生分组讨论，尝试找出一元二次方程根与系数之间的关系。

3.讲解演示：根据学生的探索结果，进行讲解和演示，明确一元二次方程根与系数之间的关系。

4.练习巩固：让学生进行一些相关的练习题，巩固对一元二次方程根与系数之间关系的理解和掌握。

5.总结提升：对本节的内容进行总结，引导学生思考如何运用一元二次方程根与系数之间的关系来解决实际问题。

浙教版数学八年级下册《2.4 一元二次方程的根与系数的关系(选学)》教案

浙教版数学八年级下册《2.4 一元二次方程的根与系数的关系(选学)》教案一. 教材分析《2.4 一元二次方程的根与系数的关系(选学)》是浙教版数学八年级下册的一部分，本节课的主要内容是让学生了解一元二次方程的根与系数之间的关系，并能够运用这种关系解决一些实际问题。

本节课的内容是学生学习了二次方程的解法之后进行的进一步研究，对于学生理解二次方程的性质，提高解决问题的能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了二次方程的解法，对于二次方程的基本概念有一定的了解。

但是，对于一元二次方程的根与系数之间的关系，可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、探究，发现并理解根与系数之间的关系。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生了解一元二次方程的根与系数之间的关系，并能够运用这种关系解决一些实际问题。

2.过程与方法：通过观察、思考、探究，培养学生发现规律、总结规律的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探究精神。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.教学难点：发现并理解根与系数之间的关系。

五. 教学方法1.引导发现法：通过引导学生观察、思考、探究，发现并理解根与系数之间的关系。

2.案例分析法：通过分析具体的例子，让学生理解并掌握根与系数之间的关系。

六. 教学准备1.教具准备：黑板、粉笔、多媒体课件。

2.学具准备：笔记本、尺子、圆规。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习二次方程的解法，引导学生思考：二次方程的解与系数之间有什么关系？从而引出一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.呈现（10分钟）用多媒体课件呈现几个一元二次方程的例子，让学生观察并思考：这些方程的根与系数之间有什么关系？引导学生发现并总结出一元二次方程的根与系数之间的关系。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个例子，运用刚才总结出的规律，求出方程的根与系数。

新浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程根与系数的关系》精品课件

例1 则：
x1 x2
1. 2.
4
x1 x2
2 2
1
x
2 1
x
2பைடு நூலகம்
( x1 x2 )
另外几种常见的求值
x1 x2 1 1 1. x1 x 2 x1 x2
x1 x 2 x x 2. x1 x2 x 2 x1
2 1
2 2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2
2 2
c ＝． a
【总结发现】
如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a≠0），的两个根分别x1、x2，那么：
c b x1 x2 ， x1 x2 a a
．
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
【例题精讲】
例求下列方程两根的和与两根的积：（1）x2＋2x－5＝0；（2）2x2＋x＝1. 需要解方程吗？
2.4一元二次方程的根与系数的关系
探究：观察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关
系吗？
ax²+bx+c=0
x1
1 -1 2 -2 0
x2 x x x x 1 2 1 2
2 -2 3 -3 2 3 -3 5 -5 2 2 2 6 6 0
x²-3x+2=0 x²+3x+2=0
x²-5x+6=0
2
2
B、 D、
y －3y-5=0 y2－3y＋5=0
2
分析:设原方程两根为
新方程的两根之和为 ( x1 ) ( x2 )
3 新方程的两根之积为( x1 ) ( x2 ) 5
x1 , x 2 则: x1 x2 3, x1 x2 5

数学(浙教版)八年级下册第2章 2.4 一元二次方程根与系数的关系(解析版)

解：(1)∵x1，x2 是方程 x2－6x＋k＋4＝0 的两个实数根， ∴Δ＝(－6)2－4(k＋4)＝20－4k≥0，∴k≤5； (2)由一元二次方程根与系数的关系，可得∴x1＋x2＝6①，x1·x2＝k＋4②， ∵3x1－2＝|x2|，第一种情况：当 x2≥0 时，有 3x1＝x2＋2③，联立①③解得 x1＝2，x2＝4，∴8＝k＋4，k＝4；第二种情况：当 x2＜0 时，有 3x1＝－x2＋2④，联立①④解得 x1＝－2，x2＝8(不合题意，舍去)， ∴符合条件的 k 值为 4.
∵x21＋x22＝14，∴m2－2(2m－1)＝14，解得 m＝6 或 m＝－2，
当 m＝6 时，方程为 x2－6x＋11＝0，此时 Δ＝(－6)2－4×11＝36－44＝－8＜0，不合题意，舍去，∴m＝－2.
9.[2018·眉山]若 α，β 是一元二次方程 3x2＋2x－9＝0 的两根，则 βα＋αβ的值是__－5287__．
A．1
B.3－ 3
C．1＋ 3
D．2＋ 3
【解析】 (解法一)∵2－ 3是方程 x2－4x＋c＝0 的一个根，
∴(2－ 3)2－4(2－ 3)＋c＝0.∴c＝1.
(解法二)令此一元二次方程的另一个根为 x2，由根与系数的关系，
x2＋2－ 3＝4，得
解得 x2＝2＋ 3，
（2－ 3）x2＝c， c＝1.
的值是(
C
)
4 A．
27
B． − 4 27
C． − 58 27
58 D．
27
二．填空题 1.(2018•四川达州)已知：m2﹣2m﹣1=0，n2+2n﹣1=0 且 mn≠1，则 mn + n + 1 的值为 3 ．
n 2.已知关于 x 的方程 x2－(k＋2)x＋2k＋1＝0 的两实数根为 x1，x2，若 x21＋x22＝11，则实数 k 的值为__－3__．【解析】 ∵方程 x2－(k＋2)x＋2k＋1＝0 的两实数根为 x1 与 x2，∴Δ＝(k＋2)2－4(2k＋1)≥0，解得 k≥4 或 k≤0，由根与系数的关系得 x1＋x2＝k＋2，x1x2＝2k＋1， ∵x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝11，∴(k＋2)2－2(2k＋1)＝11，∴k2－9＝0，解得 k＝±3.∵k≥4 或 k≤0，∴k＝3 舍去，故 k＝－3.

浙教版数学八年级下册重难点突破《第4讲一元二次方程根与系数的关系及其应用》

b2－4ac
a
.
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(3)以x1，x2为两根的方程为x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0. (4)若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则ax2＋bx＋c＝a(x －x1)(x－x2)．
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【例 1】已知方程 3x2＋6x－1＝0 的两根分别为 x1，x2，不解方程，求下列式子的值：
【解题过程】 ∵关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a＝0的两根互为相反数， ∴－(a2－1)＝0，解得a＝1或a＝－1. 当a＝1时，原方程可化为x2＋1＝0，方程没有实数解，舍去；当a＝－1时，原方程可化为x2－1＝0，方程有实数解，符合题意． ∴a的值为－1. 故选B.
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【解题过程】 ①当 k＝0 时，方程的解是 x＝0，符合题意；
②当 k≠0 时，b2－4ac＝(k＋1)2－4k·k4＝2k＋1≥0，
∴k≥－12且 k≠0.
综上所述，k 的取值范围是 k≥－12.
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(2)是否存在实数k，使方程的两根的倒数和为1？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】根据根与系数的关系建立关于k的方程解得即可．
【例 3】已知非零实数 a，b(a≠b)满足 a2－a－2 022＝0，b2－b－2 022 ＝0，求1a＋1b的值．
【思路点拨】条件中的两个方程具有相同的结构，可利用一元二次方程根的定义构造新的一元二次方程，再用韦达定理求解．
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【解题过程】 ∵非零实数 a，b(a≠b)满足 a2－a－2 022＝0，b2－b－

八年级数学下册 2.4 一元二次方程根与系数的关系浙教版

已知一元二次方程 3x29xm０的一个根为 1，则方程的另一根为 ___， m___
4、已知关于x的方程x2+(2k+1)+k2-2=0 的两根的平方和比两根之积的3倍少 10，求k的值.
归纳小结
1.一元二次方程根与系数的关系是什么?
2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.
两根两根之和之积
x1 x2 x 1 . x 2
3 4
a与b 之间关系
b a
3
a与c 之间关系
c
a
4
x25x60 2 3 5 6 5 6
2x23x101 21 Nhomakorabea3 2
1
3
2
2
1 2
猜想：如果一元二次方程 a x 2 b x c 0 (a 0 ) 的两个根
分别是 x 1 、 x 2 ，那么，你可以发现什么结论？
如果一元二次方程 ax2bxc0(a0) 的两个根分别是 x1、 x2 。
求证： x1
x2
b a
x1 .x 2
c a
如果一元二次方程ax2 bxc0(a0)
的两个根分别是x1、 x2，
那么：x1
x2
b, a
x1.x2
c a
这就是一元二次方程根与系数的关系，
也叫韦达定理。
练习
2、设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则
X1+X2 = _4__ ,X1X2 = _1___，
X12+X22 = ( X1+X2)2 - _2_X_ 1X2= __1_4

2.4 一元二次方程根和系数的关系-2020春浙教版八年级数学下册课件 (共7张PPT)

重要提示
正确使用韦达定理应注意三点：
(1)一元二次方程的二次项系数不能为零.出的解一定要检验，注意取
舍.
解题指导
【例 1】 (2018·黄石)已知关于 x 的方程 x2－2x＋m＝0
有两个不相等的实数根 x1，x2. (1)求实数 m 的取值范围.
【例 2】 (2018·孝感)已知关于 x 的一元二次方程(x－3)(x－2)＝p(p ＋1). (1)试证明：无论 p 取何值，此方程总有两个实数根. (2)若原方程的两根 x1，x2 满足 x12＋x22－x1x2＝3p2＋1，求 p 的值.
【解析】 (1)原方程可变形为 x2－5x＋6－p2－p＝0， ∴Δ＝(－5)2－4(6－p2－p)＝25－24＋4p2＋4p＝4p2＋4p＋1＝(2p＋ 1)2≥0， ∴无论 p 取何值，此方程总有两个实数根.
(2)由根与系数的关系，得 x1＋x2＝5，x1x2＝6－p2－p. 又∵x12＋x22－x1x2＝3p2＋1， ∴(x1＋x2)2－3x1x2＝3p2＋1， ∴52－3(6－p2－p)＝3p2＋1， ∴25－18＋3p2＋3p＝3p2＋1， ∴3p＝－6，∴p＝－2.
【例 3】 (2019·南充)已知关于 x 的一元二次方程 x2＋(2m－1)x＋ m2－3＝0 有实数根. (1)求实数 m 的取值范围. (2)当 m＝2 时，方程的根为 x1，x2，求代数式(x12＋2x1)(x22＋4x2 ＋2)的值.
学习指要
知识要点
1.如果 x1，x2 是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根，那么 x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ac.我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理.
2.如果一元二次方程 x2＋px＋q＝0 的两个根是 x1 和 x2，那么 x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.

浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程根与系数的关系》优课件

=
4 ac 4a 2
c
=
a
1、 x2 - 2x - 1=0
2、
2x2 - 3x +
1 2
=0
x1+x2=2
3
x1+x2= 2
3、 2x2 - 6x =0
x1+x2=3
4、 3x2 = 4
x1+x2=0
x1x2=-1
1
x1x2= 4
x1x2=0
x1x2=
-
4 3
例1 已知x1, x2 是5x2-7x-3=0的两个根，求 x12+x22
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
2
1
动
x2+3x-10=0 2,-5 -3 -10
二
x2+5x +4=0 -1,-4 -5
4
问题：你发现什么规律？
①用语言叙述你发现的规律；
② x2+px+q=0的两根x1,, x2用式子表示你发现的规律。
根与系数关系
如果关于x的方程 x2pxq0
x x 的两根是 1 , 2 ,则:
x1 x2 p x1 x2 q
如果方程二次项系数不为1呢?
数
方程 x1,, x2 x1,+ x2 x1. x2
学
2x2-3x-2=0
活
3x2-4x+1=0
动三问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；
①用语言叙述发现的规律；
② ax2+bx+c=0的两根x1,, x2用式子表示你发现的规律.
一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）

一元二次方程根与系数的关系—知识讲解(提高)

一元二次方程根与系数的关系—知识讲解（提高）【学习目标】1. 理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系；2. 能应用一元二次方程的根与系数的关系解决以下问题：已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.【要点梳理】要点一、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-；②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k xx k =+++；⑦12||x x -==⑧22212121222222121212()211()x x x x x x xx x x x x++-+==； ⑨12x x -==⑩22212121212||||(||||)+2||x x x x x x x x +=+=+2121212()22||x x x x x x =+-+．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则 ①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数；当△≥0且120x x >，120x x +<时，两根同为负数． ②当△＞0且120x x <时，两根异号．当△＞0且120x x <，120x x +>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x <，120x x +<时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根a b +，则必有一根a b -（a ，b 为有理数）．【典型例题】类型一、一元二次方程的根与系数的关系的应用（1）1. 阅读材料：若一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x 1、x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=ca．根据上述材料解决下列问题：已知关于x 的一元二次方程x 2=2（1-m ）x-m 2；有两个实数根：x 1，x 2．（1）求m 的取值范围；（2）设y=x 1+x 2，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．【思路点拨】（1）首先将原方程化为一般式，由关于x 的一元二次方程x 2=2（1-m ）x-m 2有两个实数根，则可知△≥0，解不等式即可求得m 的取值范围；（2）由y=x 1+x 2=-ba，代入即可求得：y=2-2m ，根据（1）中m 的取值范围，即可求得最小值．【答案与解析】【总结升华】此题考查了根与系数的关系，以及判别式的应用．此题比较简单，注意将方程化为一般形式．举一反三：【变式】（杭州校级月考）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2=0的两个实数根．（1）当m=0时，求方程的根；（2）若（x1﹣2）（x2﹣2）=41，求m的值；（3）已知等腰三角形ABC的一边长为9，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．【答案】解：（1）当m=0时，方程即为x2﹣4x=0，解得x1=0，x2=4；（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2=0的两个实数根，∴x1+x2=2（m+2），x1x2=m2，∴（x1﹣2）（x2﹣2）=x1x2﹣2（x1+x2）+4=m2﹣4（m+2）+4=m2﹣4m﹣4=41，∴m2﹣4m﹣45=0，解得m1=9，m2=﹣5．当m1=9时，方程为x2﹣22x+81=0，△=（﹣22）2﹣4×81=160＞0，符合题意；当m1=﹣5时，方程为x2+6x+25=0，△=62﹣4×25=﹣64＜0，不符合题意；故m的值为9；（3）①当9为底边时，此时方程x2﹣2（m+2）x+m2=0有两个相等的实数根，∴△=4（m+2）2﹣4m2=0，解得：m=﹣1，∴方程变为x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，∵1+1＜9，∴不能构成三角形；②当9为腰时，设x1=9，代入方程得：81﹣18（m+2）+m2=0，解得：m=15或3，当m=15时方程变为x2﹣34x+225=0，解得：x=9或25，∵9+9＜25，不能组成三角形；当m=3时方程变为x2﹣10x+9=0，解得：x=1或9，此时三角形的周长为9+9+1=19．2.（肇庆二模）设x 1、x 2是方程2x 2+4x ﹣3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：（1）（x 1﹣x 2）2；（2）122111x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【思路点拨】欲求（x 1﹣x 2）2与的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．【答案与解析】解：根据根与系数的关系可得：x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=．（1）（x 1﹣x 2）2=x 12+x 22﹣2x 1x 2=x 12+x 22+2x 1x 2﹣4x 1x 2=（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2==10．（2）122111x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=x 1x 2+1+1+==．【总结升华】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．举一反三：【高清ID 号：388522 关联的位置名称（播放点名称）：根与系数的关系---例3】【变式】不解方程，求方程22310x x +-=的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．【答案】（1）134；（2）3．类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用（2）3.（灌云县期末）已知关于x 的方程x 2+ax ﹣2=0．（1）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为2，求a 的值及该方程的另一根．【思路点拨】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=a 2+8≥8，由此即可证出不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）将x=2代入原方程求出a 值，设方程的另一个根为m ，根据根与系数的关系即可得出2m=﹣2，解之即可得出结论．【答案与解析】解：（1）在方程x 2+ax ﹣2=0中，△=a 2﹣4×1×（﹣2）=a 2+8，∵a 2+8≥8，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．（2）将x=2代入原方程，4+2a ﹣2=0，解得：a=﹣1．设方程的另一个根为m ，由根与系数的关系得：2m=﹣2，解得：m=﹣1．∴a 的值为﹣1，方程的另一根为﹣1．【总结升华】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键．4. 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230x x +-=各根的负倒数．【答案与解析】设方程25230x x +-=的两根分别为x 1、x 2，由一元二次方程根与系数的关系，得1225x x +=-，1235x x =-．设所求方程为20y py q ++=，它的两根为y 1、y 2，由一元二次方程根与系数的关系得111y x =-，221y x =-，从而12121212122111125()335x x p y y x x x x x x -⎛⎫+=-+=---=+=== ⎪⎝⎭-，12121211153q y y x x x x ⎛⎫⎛⎫==--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故所求作的方程为225033y y +-=，即23250y y +-=．【总结升华】所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．同时“以两个数为根的一元二次方程是.”可以用这种语言形式记忆“2x -和x +积＝0”，或“减和加积”，此处的一次项系数最容易出现符号上的错误．一元二次方程根与系数的关系—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 关于x 的方程2210mx x ++=无实数根，则m 的取值范围为( )． A ．m ≠0 B ．m ＞1 C ．m ＜1且m ≠0 D ．m ＞-12．已知a 、b 、c 是△ABC 的三条边，且方程2222cx bx a bx ax b ++=++有两个相等的实数根，那么这个三角形是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 3．（曲靖一模）已知一元二次方程x 2﹣3x ﹣3=0的两根为α与β，则的值为（）A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．24．设a ，b 是方程220130x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（）． A ．2010 B ．2011 C ．2012 D ．20135．若ab ≠1，且有25201290a a ++=，及29201250b b ++=，则ab的值是（）． A ．95 B ．59 C ．20125- D ．20129-6.（芦溪县模拟）设x 1，x 2是方程2x 2﹣6x+3=0的两根，则x 12+x 22的值是（） A ．15 B ．12 C ．6 D ．3二、填空题7．已知关于x 的方程221(3)04x m x m --+=有两个不相等的实数根，那么m 的最大整数值是________． 8．（凉山州）已知实数m ，n 满足3m 2+6m ﹣5=0，3n 2+6n ﹣5=0，且m≠n，则n m m n+= ．9．（濮阳校级自主招生）求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2﹣7x ﹣1=0各根的倒数．10．在Rt △ABC 中，∠C=900，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程的两根，那么AB 边上的中线长是 .11．已知方程2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0 ，（1）当k 为时，两根互为相反数；（2）当k 为时，有一根为零，另一根不为零. 12．（仁寿县一模）关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+2m ﹣1=0的两个实数根分别是x 1、x 2，且x 12+x 22=7，则m 的值是．三、解答题13. 已知关于x 的方程22210x mx m --+=的两根的平方和等于294，求m 的值．14．已知关于x 的方程 kx 2-2 (k +1) x +k -1=0 有两个不相等的实数根，(1) 求k 的取值范围；(2) 是否存在实数k ，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.15．（杭州校级期中）如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=﹣p ，x 1•x 2=q ，请根据以上结论，解决下列问题：（1）若p=﹣4，q=3，求方程x 2+px+q=0的两根．（2）已知实数a 、b 满足a 2﹣15a ﹣5=0，b 2﹣15b ﹣5=0，求+的值；（3）已知关于x 的方程x 2+mx+n=0，（n ≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．【答案与解析】一、选择题 1．【答案】B ；【解析】当m ＝0时，原方程的解是12x =-；当m ≠0时，由题意知△＝22-4·m ×1＜0，所以m ＞1． 2．【答案】A ；【解析】方程化为(c-b)x 2+2(b-a)x+(a-b)＝0，∴ △＝4(b-a)2-4(c-b)(a-b)＝0 即4(a-b)(a-c)＝0，∴ a ＝b 或a ＝c ，∴ △ABC 为等腰三角形．3．【答案】A ；【解析】解：根据题意得α+β=3，αβ=﹣3，所以===﹣1．故选A ．4.【答案】C ；【解析】依题意有22013a a +=，1a b +=-，∴222()()201312012a a b a a a b ++=+++=-=．5．【答案】A ；【解析】因为25201290a a ++=及29201250b b ++=，于是有25201290a a ++=及2115()201290bb+•+=，又因为1ab ≠，所以1a b ≠，故a 和1b 可看成方程25201290x x ++=的两根，再运用根与系数的关系得195a b •=，即95a b =．6．【答案】C ；【解析】解：∵x 1，x 2是方程2x 2﹣6x+3=0的两根，∴x 1+x 2=3，x 1x 2=，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=32﹣2×=6．故选：C ．二、填空题 7．【答案】1；【解析】由题意知△＝221[(3)]404m m ---⨯⨯>，所以32m <，因此m 的最大整数值是1． 8．【答案】﹣；【解析】解：∵m≠n 时，则m ，n 是方程3x 2+6x ﹣5=0的两个不相等的根，∴m+n=﹣2，mn=﹣．∴原式====﹣，故答案为：﹣．9．【答案】x 2+7x ﹣1=0；【解析】解：设方程x 2﹣7x ﹣1=0的两根为α、β，则有：α+β=7，α•β=﹣1． ∴==﹣7，=﹣1，∴以、为根的方程为x 2+7x ﹣1=0．故答案为：x 2+7x ﹣1=0．10．【答案】；【解析】因直角三角形两直角边a 、b 是方程的二根，∴有a+b=7①a·b=c+7②，由勾股定理知c 2=a 2+b 2③，联立①②③组成方程组求得c=5， ∴斜边上的中线为斜边的一半，故答案为.11．【答案】（1）k=0；（2）k=.【解析】解：设方程的两根为x 1, x 2，则x 1+x 2=-=-；x 1x 2= .（1）要使方程两根互为相反数，必须两根的和是零，即x 1+x 2=-=0，∴k=0，当k=0时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k -2)=16>0 ∴当k=0时，方程两根互为相反数.（2）要使方程只有一个根为零，必须二根的积为零，且二根的和不是零，即x 1x 2==0，解得k=.又当k=时，x 1+x 2=-≠0，当k=时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k -2)=>0，∴k=时，原方程有一根是零，另一根不是零.12.【答案】-1.【解析】解：根据题意得x 1+x 2=m ，x 1x 2=2m ﹣1，∵x 12+x 22=7，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=7，∴m 2﹣2（2m ﹣1）=7，解得m 1=﹣1，m 2=5，当m=﹣1时，原方程变形为x 2+x ﹣3=0，△=1﹣4×（﹣3）＞0，方程有两个不等实数根；当m=5时，原方程变形为x 2﹣5x+9=0，△=25﹣4×9＜0，方程没有实数根； ∴m 的值为﹣1．故答案为﹣1．三、解答题13. 【答案与解析】设方程的两根为x 1、x 2，则由根与系数关系，得122m x x +=，12122m x x -=．由题意，得 2212294x x +=，即2121229()24x x x x +-=，∴ 212292224m m -⎛⎫-=⎪⎝⎭，整理，得28330m m +-=．解得13m =，211m =-．当m ＝3时，△＝28(21)490m m +-=>；当m ＝-11时，△＝28(21)630m m +-=-<，方程无实数根． ∴ m ＝-11不合题意，应舍去． ∴ m 的值为3．14. 【答案与解析】(1) ∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=[-2(k ＋1)]2－4k (k -1)>0，且k ≠0，解得k >-13，且k ≠0 .即k 的取值范围是k >-13，且k ≠0 . (2) 假设存在实数k ，使得方程的两个实数根x 1 , x 2的倒数和为0.则x 1 ，x 2不为0，且01121=+x x ，即01≠-kk ，且01)1(2=-+kk k k ，解得k =-1 . 而k =-1 与方程有两个不相等实根的条件k >-13，且k ≠0矛盾，故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k 不存在 .15.【答案与解析】解：（1）当p=﹣4，q=3，则方程为x 2﹣4x+3=0，解得：x 1=3，x 2=1．（2）∵a 、b 满足a 2﹣15a ﹣5=0，b 2﹣15b ﹣5=0，∴a 、b 是x 2﹣15x ﹣5=0的解，当a ≠b 时，a+b=15，a ﹣b=﹣5， +====﹣47；当a=b 时，原式=2．（3）设方程x 2+mx+n=0，（n ≠0），的两个根分别是x 1，x 2，则+==﹣，•==，则方程x 2+x+=0的两个根分别是已知方程两根的倒数．。

一元二次方程根与系数浙教版八年级数学下册课件(共15张ppt)

例3：已知方程 5x2 kx 5 0 的一个根是 3 2 ，
求它的另一个根及k的值.
练习：方程x2(m1)x2m10求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？
练习：P46作业题T4，T5
1.一元二次方程根与系数的关系：
2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.
教学目标：
1、经历一元二次方程根与系数的关系的发现过程. 2、了解一元二次方程根与系数的关系与证明. 3、会运用一元二次方程根与系数的关系简化一元二次方程根的运算.
重点难点：
1、重点：一元二次方程根与系数的关系. 2、难点：例2的解题思路不易形成.
复习回顾 1.一元二次方程的一般形式是什么？
ax2 bx c 0(a 0)
3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当△≥0时，才能应用根与系数的关系.
❖ 1、作业本（2）2.3（2）
❖ 2、课特2.3（2）（分层选题）基础+提高；提高+拓展.
探索：
两根均为负的条件： X条件： X1+X2
2.一元二次方程的求根公式是什么？
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
0 两个不相等的实数根
b2 4ac 0 两个相等的实数根
0 没有实数根
推导:
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac 2a
（1）1 1 x1 x2
（2）x12 x22
（3）x13x2＋x1x23
（4） x2 x1 x1 x2
（5）（x1－x2）2