高中数学线面、面面垂直的判定与性质

线面、面面垂直的判定与性质

知识回顾

1．直线与平面垂直的判定

（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α垂直，记作l ⊥α．

（2）判定定理

文字表述：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

符号表述：

⎭

⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b

⇒l ⊥α． 2．直线与平面垂直的性质

文字表述：垂直于同一个平面的两条直线平行。 符号表述：

⎭⎪⎬⎪

⎫a ⊥αb ⊥α⇒ a ∥b 3. 直线与平面所成的角

定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

4．平面与平面的垂直的判定

（1）定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直．

（2）面面垂直的判定定理

文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．

符号表示：

⎭

⎪⎬⎪

⎫a ⊥β

⇒α⊥β． 5．平面与平面垂直的性质

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β． 6．二面角

二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

二面角的平面角：

如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则∠AOB叫做二面角的平面角．

题型讲解

题型一

例1、空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()

A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直

C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交

答案：C

例2、如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()

A．4 B．3 C．2 D．1

答案：A

例3、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．

证明在平面B1BCC1中，

∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，

∴△BB1E≌△CBF，

∴∠B1BE＝∠BCF，

∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，

又AB⊥平面B1BCC1，CF⊂平面B1BCC1，

∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．

题型二

例4、若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( ) ①

⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪

⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③

⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒M ⊥n; ④

⎭

⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

答案：C

例5、如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC ．

求证：(1)MN ∥AD 1； (2)M 是AB 的中点．

证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D ．

又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1． ∵A 1D∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC ． 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1．

(2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ． ∴ON

12CD 1

2

AB ， ∴ON ∥AM ． 又∵MN ∥OA ，

∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM ．

∵ON ＝12AB ，∴AM ＝1

2AB ，∴M 是AB 的中点．

题型三

例6、直线a 与平面α所成的角为50°，直线b ∥a ，则直线b 与平面α所成的角等于( )

A ．40°

B ．50°

C ．90°

D ．150°

答案：B

例7、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，

(1)直线A 1B 与平面ABCD 所成的角是________； (2)直线A 1B 与平面ABC 1D 1所成的角是________； (3)直线A 1B 与平面AB 1C 1D 所成的角是________． 答案：(1)45° (2)30° (3)90° 题型四

例6、在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝

3

2

，则二面角B －AC －D 的余弦值为( ) A ．13 B ．12 C ．223 D ．32

答案：B [

如图所示，由二面角的定义知∠BOD 即为二面角的平面角． ∵DO ＝OB ＝BD ＝3

2

， ∴∠BOD ＝60°．]

例7、过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP ⊥平面ABCD ，且AP ＝AB ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角的度数是________．

答案：45° 题型五

例8、下列命题中正确的是()

A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β

B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥β

C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥β

D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β

答案：C

例9、如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3．

(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；

(2)求二面角A—BE—P的大小．

9．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．

因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．

又AB∥CD，所以BE⊥AB．

又因为PA⊥平面ABCD，

BE⊂平面ABCD，

所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，

因此BE⊥平面PAB．

又BE⊂平面PBE，

所以平面PBE⊥平面PAB．

(2)解由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，

所以PB⊥BE．又AB⊥BE，

所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．

在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PA

AB＝3，则∠PBA＝60°．

故二面角A—BE—P的大小是60°．

题型六

例10、平面α⊥平面β，直线a∥α，则()

A．a⊥β B．a∥β

C．a与β相交 D．以上都有可能

答案：D

例11、如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD 是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45．

(1)设M是PC上的一点，

求证：平面MBD⊥平面PAD；

(2)求四棱锥P—ABCD的体积．

11．(1)证明在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，

∴AD2＋BD2＝AB2．∴AD⊥BD．

又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，

BD⊂面ABCD，

∴BD⊥面PAD，又BD⊂面BDM，∴面MBD⊥面PAD．

(2)解

过P作PO⊥AD，

∵面PAD⊥面ABCD，

∴PO⊥面ABCD，

即PO为四棱锥P—ABCD的高．

又△PAD是边长为4的等边三角形，

∴PO＝23．

在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，

∴四边形ABCD为梯形．

在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为4×8

45＝

85

5，

此即为梯形的高． ∴S 四边形ABCD ＝

25＋452×85

5

＝24． ∴V P —ABCD ＝1

3

×24×23＝163．

跟踪训练

1．正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值等于( )

A ．

33

B ．

22

C ． 2

D ． 3

答案：C

[解析] 设AC 、BD 交于O ，连A 1O ，∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，∴BD ⊥平面AA 1O ，∴BD ⊥A 1O ，

∴∠A 1OA 为二面角的平面角． tan ∠A 1OA ＝A 1A

AO

＝2，∴选C.

2．过两点与一个已知平面垂直的平面( ) A ．有且只有一个 B ．有无数个 C ．有且只有一个或无数个 D ．可能不存在

答案：C [当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．]

3．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )

A ．线段

B 1

C B ．线段BC 1

C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段

D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段 答案：A

[解析] ∵DD 1⊥平面ABCD ， ∴D 1D ⊥AC ，

又AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面BDD 1， ∴AC ⊥BD 1.同理BD 1⊥B 1C. 又∵B 1C ∩AC ＝C ， ∴BD 1⊥平面AB 1C.

而AP ⊥BD 1，∴AP ⊂平面AB 1C.

又P ∈平面BB 1C 1C ，∴P 点轨迹为平面AB 1C 与平面BB 1C 1C 的交线B 1C.故选A. 4．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN ＝________．

答案：90°

解析 ∵B 1C 1⊥面ABB 1A 1， ∴B 1C 1⊥MN ． 又∵MN ⊥B 1M ， ∴MN ⊥面C 1B 1M ， ∴MN ⊥C 1M ．

∴∠C 1MN ＝90°．

5．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥A －A′BB′的体积V ＝________.

答案： 4

[解析] ∵α⊥β，α∩β＝A′B′，AA′⊂α，AA′⊥A′B′， ∴AA′⊥β，

∴V ＝13S △A′BB′·AA′＝13×(12A′B′×BB′)×AA′＝13×12

×2×4×3＝4.

6. 如图所示，已知PA 垂直于⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过点A 作AE ⊥PC 于点E .求证：AE ⊥平面PBC .

证明 ∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC . 又∵AB 是⊙O 的直径，∴BC ⊥AC . 而PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC . 又∵AE ⊂平面PAC ，∴BC ⊥AE .

又∵PC ⊥AE ，且PC ∩BC ＝C ，∴AE ⊥平面PBC .

7．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．

求证：平面BCE ⊥平面CDE.

证明 取CE 的中点G ，连接FG ，BG ，AF. ∵F 为CD 的中点， ∴GF ∥DE ，且GF ＝1

2

DE.

∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE.则GF ∥AB. 又∵AB ＝1

2

DE ，∴GF ＝AB.

则四边形GFAB 为平行四边形．于是AF ∥BG. ∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD.

∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF. 又∵CD ∩DE ＝D ，CD ，DE ⊂平面CDE ， ∴AF ⊥平面CDE.

∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE.

∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE.

8．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，

侧棱PD＝a，PA＝PC＝2a，求证：

(1)PD⊥平面ABCD；

(2)平面PAC⊥平面PBD；

(3)二面角P－BC－D是45°的二面角．

证明(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，

∴PC2＝PD2＋DC2.∴PD⊥DC.

同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，

∴PD⊥平面ABCD.

(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，

∴PD⊥AC.而四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD.

又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD.

又AC⊂平面PAC，

∴平面PAC⊥平面PBD.

(3)由(1)知PD⊥BC，

又BC⊥DC，

∴BC⊥平面PDC.

∴BC⊥PC.

∴∠PCD为二面角P－BC－D的平面角．

在Rt△PDC中，PD＝DC＝a，

∴∠PCD＝45°.

∴二面角P－BC－D是45°的二面角．

6．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AC，且BC1⊥A1C．

(1)求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；

(2)若D、E分别是A1C1和BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1.

11

解析： (1)∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ， ∴ACC 1A 1为正方形， ∴A 1C ⊥AC 1.

又∵BC 1⊥A 1C ，

AC 1∩BC 1＝C 1，

∴A 1C ⊥平面ABC 1， 又∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1， ∴平面A 1ACC 1⊥平面ABC 1.

(2)如图，取AA 1的中点F ，连接DF 、EF.

∵D 、E 、F 分别为A 1C 1、BB 1、AA 1的中点， ∴DF ∥AC 1，EF ∥AB ，DF∩EF ＝F ， ∴平面DEF ∥平面ABC 1， ∴DE ∥平面ABC 1

.