画法几何直线与平面平面与平面

b
二．两平面平行
判定规则：
若一平面上的两相交直线对应平行 于另一平面上的两相交直线，则这 两平面相互平行。
b
e
f
c d
x a
o
c
f
a b
d e
• 若两投影面垂直面相互平行，则它们具 有积聚性的那组投影必相互平行。
b d
a
x c
e
d
b
ac
e
f
h
o
h f
[例3] 已知平面由平行两直线AB和CD给定。试过 点K作一平面平行于已知平面 。
（3）求AB和CD的交点Ⅰ及EF和KL的交点Ⅱ；
（4）连接Ⅰ和Ⅱ，即得所求交线。
PV n
2
k
1
e
两一般
l
位置平面相
QV 交，求交线
步骤：
1．用求直线
m
与平面交点
2
的方法，作
m
出两平面的
e k
两个共有点K、
s
f
k
e
m
n
r
r n
e k
m
f
s
第二节 相 交
直线与平面相交
平面与平面相交
一．一般位置直线与特殊位置平面相交 特殊位置直线与一般位置平面相交
要点：
交点是直线与平面的共有点 交点是直线可见与不可见的分界点。
问题：
● 求直线与平面的交点。 ● 判别两者之间的相互遮挡关系，
即判别可见性。
1．一般位置直线与特殊位置平面相交
四．一般位置直线与一般位置平面相交
1.一般位置直线与一般位置平面相交求交 点，需作一个辅助平面（辅助平面法）。
2.求交点的一般步骤： (1)过已知直线作一辅助平面（一般为投 影面垂直面）； (2)求辅助平面和已知平面的交线； (3)确定此交线和已知直线的交点，此交 点即为所求直线与平面的交点；
(4)判别可见性。
在交线左侧，平面ABC 在上，其水平投影可见。
三．一般位置平面与特殊位置平面相交
• 一般位置平面与特殊位置平面相交， 其交线投影的画法可归结为： 求作一般位置平面内的两条直线和特 殊位置平面的两个交点的投影，再连 接这两个交点的同名投影即得交线的 投影。
〔例7 〕求两平面的交线MN并判别可见性。
e f
●
m(n) c
d
e
a
n
●
c
d
●m
b
f
如何判别？
可通过正面投影
直观地进行判别。
空间及投影分析：
平面ABC与DEF都 为正垂面，它们的正面投 影都积聚成直线。交线必 为一条正垂线，只要求得 交线上的一个点便可作出 交线的投影。
作 图：
① 求交线 ② 判别可见性
从正面能影投否点影能不判上!用别可重？看出，
m ●2
① 求交点 c ② 判别可见性
●
a
●
1
b
k
由水平投影可知，KN n 段在平面前，故正面投
影上kn为可见。
还可通过重影点判别可见性。
2．特殊位置直线与一般位置平面相交
a x
a
b m
k● c
●1(2) n
b
mk(●●n2) ●
c
1
辅助直 线法
空间及投影分析：
直线MN为铅垂线，其 水平投影积聚成一个点， 故交点K的水平投影也积聚 在该点上。
作图： ① 求交点
用面上取点法
② 判别可见性
点Ⅰ位于平面上，在
前；点Ⅱ位于MN上，在 后。故k 2为不可见。
二．两特殊位置平面相交
两平面相交其交线为直线，交线是两平 面的共有线，同时交线上的点都是两平面的 共有点。
要解决的问题：
① 求两平面的交线 方法：⑴ 确定两平面的两个共有点。 ⑵ 确定一个共有点及交线的方向。
2
五．两一般位置平面相交
• 两个一般位置平 面相交求交线， 需作两个辅助平 面。求出两个平 面的任意两个不 重合的公共点， 再用直线连接这 两个公共点，即 为所求交线。
• 2.求两个一般位置平面交线的步骤： （1）在适当位置作两个辅助平面T1、T2；
（2）求辅助平面T1与P及Q的交线AB和CD，以及 辅助平面T2与P及Q的交线EF和KL；
〔例8 〕 求直线与平面的交线（辅助平面法）
PV
1
k
2
2
步骤： 1．过EF作正 垂平面P。
2．求P平面与 ΔABC的交线
ⅠⅡ。
3．求交线
ⅠⅡ与EF的交
点K。
k
1
以铅垂面为辅助平面
2 k 1
PH
1
步骤： 1．过EF作铅 垂平面P。
2．求P平面与 ΔABC的交线
ⅠⅡ。
3．求交线
ⅠⅡ与EF的交
点K。
k
2）重影点法：利用直线和平面上的重影 点的可见性，确定直线的可见性；
3）交点是直线可见部分与不可见部分的 分界点。
〔例5〕 求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。
空间及投影分析：
b
n
平面ABC是一铅垂面，
k
a
1(2) ●
●
x m
其水平投影积聚成一条直
线，该直线与mn的交点即
c
为K点的水平投影。 作图：
② 判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。
平面与平面相交
M
K
L
F
N
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有
• 垂直于同一投影面的两个平 面相交，其交线也垂直于相 同的投影面（方向已确定）， 利用这两个平面的积聚投影 的交点求交线。
〔例6〕求两平面的交
线MN并判别可见性。
⑴ a
b
例1：过M点作直线MN平行于V面和平面 ABC。
b
正平线
cm n
x a
●
o
c a
m●
n
b
唯一解
例2：判别AB与CDE是否互相平行？
b′
d′
1′
a′
e′
c′
d a
bc
1
e
• 当平面与投影面垂直时，直线与该 平面的平行关系可直接在该平面具 有积聚性的投影中反映出来。
A
a′
A
P
b′
B
a
PH
a
PH
H
b
画法几何
第五章
直线与平面 平面与平面
§5~1 平行 §5~2 相交 §5~3 垂直 §5~4 点、直线和平面的图解方法
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第一节 平 行
直线与平面、平面与平面相对位置包括： 平行、相交和垂直。
包 括
直线与平面平行
平面与平面平行
一．直线与平面平行
判定规则：
若一直线平行于平面上的某一直线， 则该直线与此平面必相互平行。
（1）求交点 直接利用特殊位 置平面的积聚投 影与直线的同名 投影的交点（直 线与平面的交点 的其中一个投影） 求出交点的其它 投影。
直线与特殊位置平 面交点画法分析
〔例4〕求直线与铅锤面、正垂面的交点M、N。
a′
QV
m′
n′
b′
b
a
m
n
PH
（2）可见性判别 1）直接观察法：读出直线与平面在空间 的趋势（上行或下行），从而确定直线 的可见性；
b
e
m f ●
a e
a
b ●m
f
空间及投影分析：
Leabharlann Baidu
●n●1 ● 2
h
平面EFH是一水平面，它的
正面投影有积聚性。ab与ef
的交点m 、 b c与f h的交点
c n即为两个共有点的正面投影，
故mn即MN的正面投影。
n●
h
● 1(2)
c
作 图：
① 求交线 ② 判别可见性
点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上， 点Ⅰ在上，点Ⅱ在下，故fh 可见，n2不可见。