圆的极坐标方程

圆的极坐标方程
在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程$f(\rho,\theta)=0$，并且坐标适合方程$f(\rho,\theta)=0$的点都在曲线C上，那么方程
$f(\rho,\theta)=0$叫做曲线C的极坐标方程。

对于圆的极坐标方程，有以下特殊情形：
1) 圆心在极点(0,0)时，极坐标方程图形为$\rho=r$，其中$0\leq\theta<2\pi$。

2) 圆心在点$(r,0)$时，极坐标方程图形为
$\rho=2r\cos\theta$，其中$-\pi\leq\theta<\pi$。

3) 圆心在点$(r,\frac{\pi}{2})$时，极坐标方程图形为$\rho=2r\sin\theta$，其中$0\leq\theta<\frac{\pi}{2}$。

4) 圆心在点$(r,\pi)$时，极坐标方程图形为$\rho=-
2r\cos\theta$，其中$\pi\leq\theta<\frac{3\pi}{2}$。

5) 圆心在点$(r,-\frac{\pi}{2})$时，极坐标方程图形为$\rho=-2r\sin\theta$，其中$-\frac{\pi}{2}<\theta\leq 0$。

对于一般情形，设圆心为C$(\rho,\theta)$，半径为$r$，M$(\rho,\theta)$为圆上任意一点，则$|CM|=r$，$\angle
COM=|\theta-\theta|$，根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为$\rho^2-2\rho r\cos(\theta-\theta)+r^2=0$。

例如，极坐标方程$\rho=4$表示以极点为圆心，以4为半径的圆。

又例如，过极点且圆心为$(1,0)$的圆的极坐标方程为$\rho=2\cos\theta$。

极坐标方程$\rho=\cos\frac{\pi}{4}$表示以极点为圆心，以$\frac{1}{\sqrt{2}}$为半径的圆。

圆的极坐标方程为一种特殊的极坐标方程，可以用来表示圆形。

求圆心在极点且过极点的圆的极坐标方程，并判断点(-2.sin(2π/6))是否在此圆上。

解】如图，由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设M(ρ，θ)为圆上除点O、A以外的任意一点，则|OA|=2r，连接AM，则OM⊥MA。

在直角三角形OAM中，有OM=OAcos(∠AOM)，即
ρ=2rcos(3π/2-θ)。

所以ρ=-4sinθ，经验证，点O(0，0)，A(4，0)的坐标满足
上式。

所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ=-4sinθ。

因为sin(2π/6)=1/2，所以ρ=-4sinθ=-2，所以点(-2.sin(2π/6))在此圆上。

求曲线的极坐标方程的五个步骤：
1)建立适当的极坐标系；
2)在曲线上任取一点M(ρ，θ)；
3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式；
4)用极坐标(ρ，θ)表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；
5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程（一般只要对特殊点加以检验即可）。

求圆心在(2,4)且半径为1的圆的极坐标方程。

解】设圆C上任意一点的极坐标为M(ρ，θ)，如图，在△OCM中，由余弦定理，得|OM|+|OC|-
2|OM|·|OC|·cos∠COM=|CM|，即ρ-2ρcos(θ-π/2)+1=0.
当O，C，M三点共线时，点M的极坐标(2±1,4)也适合上式，所以圆的极坐标方程为ρ^2-4ρcos(θ-π/2)+1=0.
直角坐标方程与极坐标方程的互化：
1)将直角坐标系下的点(x,y)用极坐标表示为(ρ,θ)，则
x=ρcosθ，y=ρsinθ。

2)将极坐标系下的点(ρ,θ)用直角坐标表示为(x,y)，则
x=ρcosθ，y=ρsinθ。

例如：
1)y=4x的直角坐标方程对应的极坐标方程为ρsinθ=4cosθ。

2)x+y-2x-1=0的直角坐标方程对应的极坐标方程为ρ-
2ρcosθ-1=0.
注意，求曲线的极坐标方程，关键要找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示。

中点M的直角坐标方程为x+y-ax=0.求解相关的两个动点
的轨迹方程，其中一个动点的轨迹方程已知，求另一个动点的轨迹方程。

通过找出等量关系，代入化简即可得出答案。

在极点O引出圆ρ=2cosθ的弦OP，延长OP到Q使
OQ=3OP，求点Q的极坐标方程，并说明所求的轨迹是什么图形。

设Q(ρ，θ)，P(ρ，θ)，则OQ=OP+3OP=4OP，所以
ρ=4cosθ。

即ρ=4cosθ，表示一个圆。

曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别在于，平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(ρ，θ)，(ρ，2π+θ)，(－ρ，
π+θ)，(－ρ，－π+θ)都表示同一点的坐标。

因此，对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可。

例如，对于极坐标方程ρ=θ，点M(π，π)可以表示为(π，π+2π)或(π，π-2π)或(－π，5π)等多种形式，其中只有(π，π)的极坐标满足方程ρ=θ。

曲线的极坐标方程与直角坐标方程可以进行互相转化。

以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。

平面内的曲线(含直线)的极坐标方程与直角坐标方程也可以进行互相转化。

求解曲线的极坐标方程的步骤与直角坐标系中求曲线方程的步骤基本相同。

较简单曲线的极坐标方程可直接求，较复杂曲线的极坐标方程可以先求直角坐标方程，然后再转化。

极坐标方程对应曲线的形状往往不易看出，通常是先转化为直角坐标方程后再分析形状。

极坐标方程ρ=1表示一个圆。

极坐标方程ρ=asinθ(a>0)所表示的曲线的图形是一个花瓣形。

注：原文中有一些明显的格式错误，已经进行了修正。

3.将极坐标方程ρ＝2cosθ转化为直角坐标方程，圆心坐
标为(1,0)。

直接代入极坐标到直角坐标的转换公式ρ＝
x·cosθ+y·sinθ，得到x＋y＝2x，即直角坐标方程为x＋y＝2x，圆心坐标为(1,0)。

4.圆心在(1,-1)处且过原点的圆的极坐标方程为ρ＝2cosθ
－2sinθ。

先求出圆的直角坐标方程为(x-1)²+(y+1)²＝4，展开
得到x²+y²-2x-2y＋2＝4，即x²+y²-2x-2y＝2.然后将直角坐标转化为极坐标，得到ρ²-2ρcosθ-2ρsinθ＝2，即ρ(ρ-2cosθ-2sinθ)＝2，化简得到ρ＝2cosθ-2sinθ，即极坐标方程为ρ＝2cosθ-2sinθ。

1.圆心在(2,π)且过极点的圆的方程为ρ＝-2cosθ。

画图可知，圆心在(2,π)处，半径为2，因此极坐标方程为ρ＝2cos(π-θ)，化简得到ρ＝-2cosθ。

2.直角坐标方程x＋y-4x＝0转化为极坐标方程为ρ＝
4cosθ。

将x＝ρ·cosθ和y＝ρ·sinθ代入x＋y-4x＝0，得到ρ-
4ρ·cosθ＝0，即ρ＝4cosθ。

3.圆的极坐标方程为ρ＝5cosθ-5/3sinθ，圆心的极坐标为(5,5π/3)。

将极坐标方程化简为直角坐标方程，得到x²+y²-
5x+5/3y＝0.将其变形为标准圆方程(x-5/2)²+(y+5/6)²＝25/12，
可知圆心坐标为(5/2,-5/6)。

将直角坐标转换为极坐标，得到圆
心的极坐标为(5,5π/3)。

9．把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化。

1)x+y-2x=0；
直角坐标系转换为极坐标系，有$x=r\cos\theta$，
$y=r\sin\theta$，则原方程化为：$r\cos\theta+r\sin\theta-
2r\cos\theta=0$，整理得$r=r\cos\theta$，即$\cos\theta=1$，所
以极坐标方程为$r=\dfrac{1}{\cos\theta}=sec\theta$。

2)$\rho=\cos\theta-2\sin\theta$；
极坐标系转换为直角坐标系，有$x=r\cos\theta$，
$y=r\sin\theta$，则原方程化为：$x=\rho\cos\theta=\cos^2\theta-
2\sin\theta\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta=\sin\theta\cos\theta-
2\sin^2\theta$，整理得$x+2y=2\cos^2\theta-3\sin^2\theta$，即
$x+2y=2-5\sin^2\theta$，所以直角坐标方程为$x+2y=2-5y^2$。

首先，根据勾股定理，$OP=\sqrt{OA^2-AP^2}=\sqrt{r^2-
r^2\sin^2\theta}=r\cos\theta$，其中$r$为定圆的半径，
$\theta$为$OP$与极轴的夹角。

又因为$\angle OMP=90^\circ$，所以$MP=OM\sin\angle OMP=r\sin\theta\sin\angle OMP=r\sin\theta\cos\theta$，其中
$\angle OMP=\theta$。

因此，点$P$的极坐标为$(r\cos\theta,r\sin\theta\cos\theta)$。

设圆O的半径为r，OM为a，P(ρ，θ)是轨迹上的任意一点。

由于MP垂直于MA，因此MA+MP=PA。

根据余弦定理，得到MA=a+r-2arccosθ，MP=a+ρ-2aρcosθ，PA=r-ρ。

将这些代
入等式中并整理化简，得到ρ=a(a-r*cosθ)/(acosθ-r)。

在极坐标系中，已知圆C的圆心为(3,π/3)，半径为3，点
Q在圆周上运动。

首先求解圆C的极坐标方程。

设Q(ρ，θ)为
圆上任意一点，OD为直径，连接DQ，OQ，则OD=6，
∠DOQ=-θ或∠DOQ=θ-π。

因为∠DQO=π/2，所以在
Rt△ODQ中，OQ=OD*cos(θ-π/2)=OD*cos(π/2-θ)，即
ρ=6*cos(θ-π/2)/3=2*cos(θ-π/2)。

接下来求解点P的轨迹。

设P的极坐标为(ρ，θ)，则点Q
的极坐标为(2ρ，θ)。

根据上面求解得到的圆C的极坐标方程，有2ρ=6*cos(θ-π/2)，即ρ=3*cos(θ-π/2)。

因此，点P的轨迹是
一个圆。