非线性系统例题

第十章非线性系统

§ 10.1 与线性系统的差异

线性系统与非线性系统的不同之处在于：

1. 非线性系统的运动是由一个非线性微分方程控制的，但是很多非线性方程都不存在精确解。

2. 一个非线性系统可能不只一个平衡点，而平衡点可能是稳定的，也可能是不稳定的。

3. 非线性系统是否存在稳态运动取决于初始条件。

4. 非线性系统的自由振动周期由初始条件决定，这就意味着自由振动的频率依赖于自由振动的振幅。

5. 非线性系统的共振出现在激发频率不同于系统的线性固有频率处，在一个三维非线性系统中，当激发频率为系统线性固有频率的1/3 时，产生超频共振；当激发频率为系统线性固有频率近三倍时，就产生亚频共振。

6. 线性叠加原理不能用来分析受多频激励的非线性系统，共振的组合是对应于激发频率的近似组合。

7. 对应于固有频率的近似组合，在多自由度的连续系统中存在内共振。

8. 在非线性系统中，周期激励可能会引起非周期响应，由于一些特定的参数值，这种混沌运动出现在很多非线性系统中。

§10.1 定性分析

状态平面或相位平面是速度和位移在整个运动过程中的关系曲线，通过在平衡点的邻域内将控制微分方程线性化，可以检验平衡点的性质及其稳定性（见题10.2），平衡点的各种类型如图10.1所示

是一个无量纲方程。它作为一个模型可用于求解三维非线性系统。如果 ；为正, 则表示一个硬弹簧的响应；如果；为负，则表示一个软弹簧系统的响应。一个系 统自由振动的振幅关系由达分方程决定，它可以用扰动方法近似表示为：

3 —1

A 2 0( 2)

(10.2)

8

其中㊂是固有频率的无量纲化(对于线性系统 ® =1), A 是振幅，分析共振附近 达芬方程的受迫响应可以设

(10.3)

达芬方程

不稳定焦

点

图 10.1

§ 10.3达芬方程

；'：：：；，2」 ；3 = F sin rt

中点 2)

(10.1)

稳定节点

(a)

则稳态振幅的定义方程就可近似表示为

4A2［」2一3A2〔 = F2（10.4）

I 8丿」

方程（10.4在图10.2中的关系曲线表示为；・0时中枢曲线和跳跃现象，对于给定的二值，方程（10.4有三个正实解，因为A2引起了三种可能的稳态运动，中间解是不稳定的，引起跳跃现象。

§ 10.4自激振动

自激振动是由系统运动而引起的振动，它是由非线性形式的阻尼引起的，这

里的阻尼项在给定的运动范围内是负值，图10.3所示的动力系统表现的就是阻尼，而振幅却变化不大，范德波尔方程就是某些自激系统的一个模型，即：

」（2-1）=0 （ 10.5

图10.4所示的相平面就表示了范德波尔振子自由振动的一个极限环

10.1单摆运动的非线性方程的无量纲化形式为

J sin v - 0

(i) 推导定义运动相平面的广义方程； (ii) 求在二=0^=1条件下的轨线； (iii) 单摆的最大摆角是多少？ 解：⑴令■ - /，贝U

■- dv 旳 d 日 dv u = — = = ------------------ = v —

dt dt dr dt

从而微分方程就可以写成

d

sin 八 0 d^

对二求积分，则得

1

2「cos )- C 2

其中C 是一个积分常数。

1

(ii )要求当二=0时，⑺-1，则C 二-乙，从而解出、

图 10.4

(iii)当、=0时，最大摆角v - 60

10.2令工二工°代表非线性系统的平衡位置，取工二瓷。•厶来分析在平衡点邻域内系统的运动。通过在平衡点处线性化微分方程，来确定平衡点的类型及其稳定性。

解：设控制微分方程的形式为：

f ( , ) =0

若二0代表一个平衡点，则f( 0,0) =0。将二0 *代入微分方程，得:

二 f ( 0•二，二•)二0

用泰勒级数展开，得：

■r f rf ■

:-■■■ f ( 0,0) .-( 0,0) -( 0,0)：…• =0

£上6上

加上平衡条件并略去高阶项线性化得：

-?.'■： - -.■■■：- 0

:f ( 0,0)，:二—(0,0)

方程的解可记为：

丄=C,e -l t- C2e 臥

其中和2是方程2— 0的解，平衡点的类型及其稳定性讨论如下：

(1) 若'1或'2其一有正实部，则从平衡点出发的扰动无限大，故解不稳定。

(2) 若1和-2都是正实数且同号，则平衡点为节点(稳定或不稳定。

(3) 若错是实数且同号，则平衡点为鞍点(不稳定)。

(4) 若'1和' 2为共轭复数，则平衡点为焦点(稳定或不稳定)。

(5) 若'1和■ 2都是纯虚数，则平衡点是中点

10.3确定摆动方程所有平衡点的类型及其稳定性。

解：单摆运动的非线性微分方程为：

v sin J- 0

采用题10.2中的符号，得：

f (二“ =sin 二

且：f (厲,0) = 0》sin J- 0》厲二n二，n = 0,_1,_2,

现在，令，:二，并将其代入微分方程，得：

:v sin(n二•: ^) = 0

用泰勒级数展开，且保留线性项得：

■: v cos(n二).：J- 0

•宀( —1)n•宀-0

禾U用题10.2中的符号，则上述方程的广义解为：

(n D (n _D

(」) -2t ») y2t

i _c£)■ C2e°)

(nJ.) (n_1) •

1 二(-0 2，，

2 = -( -D 2

因此，对于奇数n , 1和2都是实数且异号，这些平衡点就是鞍点；对于偶数n，'1和-2都是纯虚数，这些平衡点就是中点。

10.4摆动的相平面示意图。

解：根据题10.3结论得到的相平面示意图如图10.5所示