非线性系统例题
5-非线性方程组的数值解法及最优化方法
非线性方程组的数值解法
不动点迭代法：根据非线性方程求根的迭代法，将方程组改 写为如下等价方程组
xi i x1, x2,, xn , i 1,2,, n
构造迭代公式
xik 1 i x1k , x2k ,, xnk , i 1,2,, n
非线性方程组的数值解法
若对任意A Cmn 都有一个实数 A 与之对应，且满足：
（1）非负性：当 A O 时， A 0 ；当A O 时，A 0；
（2）齐次性：对任何 C ，A A ；
（3）三角不等式：对任意 A, B C nn ，都有A B A B ;
（4）相容性：对任意A, B C nn ，都有 AB A B ，
…
…
18
(0.2325670051,0.0564515197)
19
(0.2325670051,0.0564515197)
max
1 i 2
xik
xik
1
0.2250 0.0546679688 0.0138638640 0.0032704648 0.0008430541 0.0001985303 0.0000519694 0.0000122370 0.0000032485 0.0000007649
10-9
非线性方程组的数值解法
练习题：用牛顿迭代法求解方程组
取 X 0 1.6,1.2T
xx1122
x22 x22
4 1
结果：1.5811,1.2247
非线性方程组的数值解法
应用经过海底一次反射到达水听器阵的特征声线传播时间， 来反演海底参数。假设水中和沉积层声速都是恒定的，海底 沉积层上界面水平，下界面倾斜。特征声线由水中声源出发 折射进入沉积层，经过沉积层的下界面反射后，再折射进入 水中，由水中水听器阵接收。特征声线的传播时间为声线在 水中和沉积层中的传播时间之和。 三维坐标关系如图所示：
非线性系统例题
第十章非线性系统§10.1 与线性系统的差异线性系统与非线性系统的不同之处在于：1. 非线性系统的运动是由一个非线性微分方程控制的，但是很多非线性方程都不存在精确解。
2. 一个非线性系统可能不只一个平衡点，而平衡点可能是稳定的，也可能是不稳定的。
3. 非线性系统是否存在稳态运动取决于初始条件。
4.非线性系统的自由振动周期由初始条件决定，这就意味着自由振动的频率依赖于自由振动的振幅。
5. 非线性系统的共振出现在激发频率不同于系统的线性固有频率处，在一个三维非线性系统中，当激发频率为系统线性固有频率的1/3时，产生超频共振；当激发频率为系统线性固有频率近三倍时，就产生亚频共振。
6. 线性叠加原理不能用来分析受多频激励的非线性系统，共振的组合是对应于激发频率的近似组合。
7. 对应于固有频率的近似组合，在多自由度的连续系统中存在内共振。
8. 在非线性系统中，周期激励可能会引起非周期响应，由于一些特定的参数值，这种混沌运动出现在很多非线性系统中。
§10.1 定性分析状态平面或相位平面是速度和位移在整个运动过程中的关系曲线，通过在平衡点的邻域内将控制微分方程线性化，可以检验平衡点的性质及其稳定性（见题10.2），平衡点的各种类型如图10.1所示。
§10.3 达芬方程达芬方程rt F sin 23=+++εχχχμχ（10.1） 是一个无量纲方程。
它作为一个模型可用于求解三维非线性系统。
如果ε为正，则表示一个硬弹簧的响应；如果ε为负，则表示一个软弹簧系统的响应。
一个系统自由振动的振幅关系由达芬方程决定，它可以用扰动方法近似表示为：)(83122εεωO A ++= （10.2）其中ω是固有频率的无量纲化（对于线性系统ω=1），A 是振幅，分析共振附近达芬方程的受迫响应可以设εσ+=1r （10.3）则稳态振幅的定义方程就可近似表示为22222]83[4F A A =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+σμ （10.4）方程（10.4）在图10.2中的关系曲线表示为0>ε时中枢曲线和跳跃现象，对于给定的σ值，方程（10.4）有三个正实解，因为2A 引起了三种可能的稳态运动，中间解是不稳定的，引起跳跃现象。
自控例题解析
·43·第8章 非线性控制系统的分析例题解析例8-1 设非线性系统具有典型结构，试用等效增益概念分析具有死区的三位置理想继电特性(见图8-1(a))对系统稳定性的影响。
图8-1 稳定性分析解：由等效增益定义x y K /=知，等效增益曲线如图8-1(b)所示，其中∆=/M K m 。
设系统不存在非线性时，临界稳定增益为K c ，于是① 若K c >K m ，如图8-1(b)所示，则因实际增益小于临界增益K c ，所以系统稳定 ② 若K c <K m ，如图8-1(c )所示，其中x 0=M./K c ，则当x<x 0时，因m K K >，系统不稳定，x 发散；当x 增加至使x >x 0时，此时m K K <，系统稳定，x 收敛；当x 减小至使x <x 0时，重复上述过程。
可见，在这种情况下，系统将出现以x 0为振幅的自激振荡。
③ 原系统加入具有死区的理想三位置继电特性后，改善了系统的稳定性。
不论原系统是否发散，现系统都不会发散，但可能产生一个以x 0为振幅的自激振荡。
例8-2 试求图8-2所示非线性环节的描述函数。
（a ） （b ）·44·图 8-2 非线性环节解：（1）对于图8-2（a ），因为t X x x y ωsin ,3==且单值奇对称，故A1＝03204320432043sin 4sin 1sin 11X t td X t d t X t td y B ====⎰⎰⎰πππωωπωωπωωπ21143)(X X A j X B X N =+=图 8-3（2）对于图8-2（b ），因为图示非线性可以分解为图8-3所示两个环节并联，所以 K XMX N X N X N +=+=π4)()()(21 例8-3 试将图8-4（a ），（b ）所示系统归化为一个非线性部分和一个线性部分串联的典型结构。
（a ） （b ）图 8-4解：（1）G 1与G 2是小回路的负反馈，则2111G G G G +=从而得典型结构，见图8-5。
信号与系统复习课件全
(2) (b)计算零状态响应:
yzs [k ]
n
x[n]h[k
n]
u[k
]
3(
1 2
)
k
2( 1 ) k 3
u[k
]
n
u[n]
3(
1 2
)kn
2( 1 ) k n 3
u[k
-
n]
k n0
3(
1 2
)k
n
2( 1 ) k n 3
k 3(1 )kn k 2(1)kn
n0 2
CLTI系统数学模型——线性常系数微分方程，冲
激响应h(t);系统函数H(s);频率响应特性H( jw)
H (s) Yzs (s) X (s)
LT
h(t) H(s)
H ( j) H (s) |s j (系统稳定)
FT
h(t) H(j )
26
DLTI系统数学模型——线性常系数差分方程；冲
激响应h(n);系统函数H(z);频率响应特性H(ejw).
则
yzi[k ]
C1
(
1 2
)k
C2
(
1 )k 3
，k
0
代入初始条件,有:
y[1] 2C1 3C2 0
y[2] 4C1 9C2 1 C1 1/ 2, C2 1/ 3
则
yzi[k ]
1 2
(1)k 2
1 3
( 1 ) k ，k 3
0
= ( 1 )k1 (1)k1，k 0
2
3
17
n0 3
[ 3 3(1)k (1)k ]u[k] 23
完全响应: y[k] yzi[k] yzs[k]
[ 1 7 (1)k 4 (1)k ]u[k]
信号与系统第一章习题及作业(1,2)
(2)（余弦序列是否为周期信号，取决于2л/Ω0是正整 （余弦序列是否为周期信号，取决于 Ω 有理数还是无理数。） 数、有理数还是无理数。） 因此， 因此， 2л/Ω0=2л·7/8л=7/4=N/m Ω =2л·7/8л 所以基波周期为N=7； 所以基波周期为N=7； N=7
因为2л/Ω =16л 为无理数， (4) 因为 Ω0=16л,为无理数，则此信号不是周期 信号． 信号． (5) 因为周期信号在[-∞,+∞]的区间上,而本题的重 因为周期信号在[ ∞,+∞]的区间上, 的区间上 复区间是[0, +∞],则此信号为非周期信号 则此信号为非周期信号, 复区间是[0, +∞],则此信号为非周期信号,
f(n) 1 0 3 6 … n
9、判断是否为线性系统？为什么？ 、判断是否为线性系统？为什么？
( 3) ( 5) (7 )
y( t ) = ln y( t 0 ) + 3t 2 f ( t ) y( t ) = y( t 0 ) + f 2 ( t ) y( t ) = sin t ⋅ f ( t )
8、一个连续时间系统的输入-输出关系为 、一个连续时间系统的输入 输出关系为
1 t+T y ( t ) = T [ f ( t ) ] = ∫ T2 f (τ )d τ T t− 2 试确定系统是否为线性的？非时变的？因果的？ 试确定系统是否为线性的？非时变的？因果的？
解：积分系统是线性的，因此系统是线性系统。 积分系统是线性的，因此系统是线性系统。
sin ω 0 tε ( t )
sin ω 0 ( t − t 0 )ε ( t )tt0 Nhomakorabeat
sin ω 0 tε ( t − t 0 )
《信号与系统》第一章知识要点+典型例题
y() 表示系统的输出。
1、线性系统与非线性系统 若系统满足下列线性性质： （1）可分解性 全响应 y () 可分解为零输入响应 y zi () 与零状态响应 y zs () 之和，即
y() y zi () y zs ()
（2）齐次性 零输入响应 y zi () 满足齐次性，零状态响应 y zs () 满足齐次性，即
( t ) 、 ( t ) 的重要性质
1
( t )dt 1 ，
t
( t )dt 0 ， ( t )dt ( t ) ( k ) (k )
f ( k ) ( k ) f (0) ( k ) f ( k ) ( k k 0 ) f ( k 0 ) ( k k 0 )
f ( t ) ( t a )dt f (a )
k
f ( k ) ( k ) f (0)
(at )
5
1 (t ) a
1 b (at b) ( t ) a a f ( t ) ( t ) f (0) ( t ) f (0) ( t ) f ( t ) ( t ) f (0) ( t ) f (0) ( t )
2
。
而对离散的正弦（或余弦）序列 sin( k ) [或 cos( k ) ]( 称为数字角频率，单位为 rad )， 只有当
2
为有理数时才是周期序列，其周期 N M
2
， M 取使 N 为整数的最小整数。
如对信号 cos(6 k ) ，由于
2
2 1 为有理数，因此它是周期序列，其周期 N 1 。 6 3
描述函数法
9-2目录
1.描述函数的基本概念 2.典型非线性特性的描述函数 3.非线性系统的简化 4.非线性系统稳定性分析的描述函数法
2020/12/21
非线性环节的正弦响应(补充)
y(t)
ωt y(t)
ωt
y(t) ωt
y(t) ωt
2020/12/21
描述函数的定义()
∞
y(t)= A0+∑nx =(1(Atn)cosnA ωts+Bin sn intnωt) y A (0t ) Y Yn1 ssinni (tn t n )(1)
2020/12/21
G(jω)
1 N(A )
c
M2
2020/12/21
P不为0的例题 (补充)
交点M1M2将-1/N(A)分为三段 将三段聚焦为a,b,c三点，
P=1 G(jω)逆时针包围b点一圈，
IImm
所以R=1,
z=P-R=1-1=0
G(jω)包围的区域为 稳定区域
b
G(jω)
RRee 0
a h
正弦N若响(AA0应=0)仅，=有且一N当次n(>A谐1时)波，分eYj量∠n均！N很(A小) =，则Y可1近e似j认1 为 非B1线性j环A节1 的 y 2( 02t 0/1) 2/21 A Y11c A o 12t Bs B 121s1i t aAn r ctY g1 ABs11 i ntA (1)
2
0
G(j)027o0
有自振存在 c 2 c 3c A11200
cc 0 cG (c j 30 )0.5
c 2 c 1c s 1
( s 1 ) 2 1
c c 0 N(1A) 1c c 0
应用数学方向,动力系统第三章非线性微分方程动力系统的简化
第三章 非线性微分方程动力系统的简化在非线性微分方程动力系统研究中，很自然地期望有一些有效的方法使原系统降阶或简化，井能保持原系统的动态特性。
目前，现有的知识主要有中心流形、范式、奇异摄动与精确线性化等。
本章将简要地叙述相关方面的基本内容3.1中心流形3.1.1中心流形的基本定理本节考虑以下形式非线性微分方程系统(,)(,)x Ax f x y y By g x y '=+⎧⎨'=+⎩Equation Section 3(3.1) 其中,m n x R y R ∈∈，假定A 和B 是具有相应维数的常数矩阵，并且A 的所有特征值具有零实部，B 的所有特征值具有负实部。
函数f 和g 关于其变元皆二阶连续可微，且(0,0)0,(0,0)0f g ==；(0,0)0,(0,0)0f g ''==(注： f '和g '是它们各自的雅可比矩阵)。
定义3.1 一个集合（流形）m n S R R ⊂⨯被称为系统(3.1)的局部不变流形(Local invariant manifold)是指，对任何的00(,)x y S ∈系统(3.1)的初值为00((0),(0))(,)x y x y =的解()x t 始终在集合S 内，其中||t T <，T 为某正数。
进而，如果，T =∞，那么S 就称为不变流形(invariant manifold)。
定义3.2 如果()y h x =是系统(3.1)的一个不变流形，并且()h x 为光滑函数，(0)0h =，(0)0h '=，那么它被称为中心流形（centre manifold ）。
对于系统(3.1)，我们有，定理3.1 对系统(3.1)而言，若A ，B ，和g 满足假设条件，那么存在一个中心流形()y h x =，其中||x δ< (δ为某一个正数)，且2h C ∈。
证今:[0,1]n R ψ→为C ∞函数，取值为1,||1,0,|| 2.x x ψ≤⎧=⎨≥⎩又设(,)((),),(,)((),)x xF x y f x yG x y g x y εεψψ==其中0ε>。
ANSYS讲义非线性分析
t1
t2
时间 t
XJTU
自动时间步(续)
• 自动时间步算法是 非线性求解控制 中包含的多种算法的一种。
（在以后的非线性求解控制中有进一步的讨论。） • 基于前一步的求解历史与问题的本质，自动时间步算法或者增加
或者减小子步的时间步大小。
XJTU
5) 输出文件的信息
在非线性求解过程中，输出窗口显示许多关于收敛的信息。输出 窗口包括：
子步
时间 ”相关联。
“时间
两个载荷步的求解 ”
XJTU
在非线性求解中的 “ 时间 ”
• 每个载荷步与子步都与 “ 时间 ”相关联。 子步 也叫时间步。
• 在率相关分析（蠕变，粘塑性）与瞬态分析中，“ 时间 ”代表真实 的时间。
• 对于率无关的静态分析，“ 时间 ” 表示加载次序。在静态分析中， “ 时间 ” 可设置为任何适当的值。
最终结果偏离平衡。
u 位移
XJTU
1) Newton-Raphson 法
ANSYS 使用Newton-Raphson平衡迭代法 克服了增量
求解的问题。 在每个载荷增量步结束时，平衡迭代驱 使解回到平衡状态。
载荷
F
4 3 2
1
u 位移
一个载荷增量中全 Newton-Raphson 迭代 求解。（四个迭代步如 图所示）
XJTU
非线性分析的应用(续)
宽翼悬臂梁的侧边扭转失 稳
一个由于几何非线性造 成的结构稳定性问题
XJTU
非线性分析的应用(续)
橡胶底密封 一个包含几何非线 性（大应变与大变 形），材料非线性 （橡胶），及状态 非线性（接触的例 子。
XJTU
非线性分析的应用(续)
第四章 非线性微分代数系统
第四章非线性微分代数系统的局部结构理论本章主要目的在于从定性的角度研究平衡点的局部性态。
第1节介绍微分代数系统指数的概念及其数学基本结构。
第2节首先考察线性微分代数系统中的一个带根本性的问题，即其广义特征根与其向量场的特征根的等价性问题。
然后，在此基础上我们依据广义特征根对对余二维线性违反微分代数系统的平衡点(奇点)作出了全面分类。
第3节考虑非线性微分代数系的线性近似问题，主要研究非线性微分代数系统与线性微分代数系统的局部拓扑等价性。
第4节研究非线性微分代数系统的局部参数化问题，给出受限系统的最小状态空间形式，其内容主要是为第5节讨论线性近似为中心的情形以及微分代数系统的分支问题做准备的。
第5节通过取定系统状态空间形式，利用后继函数判别法和形式级数判别法给出中心..焦点的判别法则和算法步骤。
第6节考察一个具体微分代数系统局部性态，作为第4和第5节中的方法和结果的应用4.1 微分代数系统的指数和数学结构由于微分代数系统由微分方程和代数方程混合而成，我们总希望通过微分运算把微分代数系统化显示常微分方程的形式。
在这种变换过程中所用到的微分次数称之为微分代数系统的指数，这样，微分方程有指数0。
在给出微分代数系统的指数的精确定义之前，我们考察余下几个简单的例子。
例题4.1 设()q t 是一个给定的光滑函数，如下关于变量y 的纯量方程()y q t = (1.1) 是一个指数1的微分代数方程,这是由于对(1.1)式两边微分一次就可把纯量方程(1.1)化为关于纯量y 显示微分方程。
系统121()y q t y y ='= (1.2)是指数2系统。
事实上，先对第一个方程微分得21()y y q t ''== 再对上式微分得21()y y q t '''''== 通过两次微分运算得到微分方程12()()y q t y q t ''='''= 类似地，通过三次微分运算可以把系统3()u q t y u =''= (1.3) 化为3y 的微分方程，因此，系统(1.3)有指数3.非线性微分代数系统一般形式由如下隐式形式给出(,,)0F t y y '= (1.4) 其中Jacobian 矩阵函数/F y '∂∂可以是奇异的。
非线性环节的描述函数分析
| G( j)N ( X ) | 1 N ( X ) G( j)
由上页式
| G( j)N ( X ) | 1 N ( X ) G( j)
可以得到： 1+G(jω)N(X)=0
可写成： G( j) 1
N(X)
上式即为非线性系统产生自持振荡的条件，由此可以 得到非线性系统的乃奎斯特判据。
根据自持振荡产生的条件，得到临界增益K：
K 1 N(X) 4
2
1
1
1
2
2
2
1.非线性系统的稳定性判据
当非线性系统产生自持振荡时，它仅与系统的结构和 参数有关，而与输入信号和初始条件无关。令r(t)=0,且 G(s)为最小相位系统，则当系统产生自持振荡时，假如 在非线性环节的输入端的信号e(t)=Xsin(ωt)，则在其输 出端的信号为：
u1(t) | N(X ) | X sin(t N(X ))
P1和P3是稳定的自持振荡，P2是不稳定的振荡。 P1处 振幅大，频率低， P3 处振幅小，频率高。
例题9-7
一个具有非线性元件串联的非线性控制系统如下图，分 析当K=π时系统产生自持振荡的频率和幅值，并研究产 生自持振荡时的临界增益K。
解：首先对非线性串联环节的等效特性进行分析。
当|e|<1，e1=0,u=0. 当e>1,e1=2,u=k(e-1)=1
G0( j)
K
j(( j)2 ( j) 1)
2
K
(1 2 )2
K 12 j3 12
当K = π时，在交点处，
1 N(X) 4
X
1
1 1 2
X
求得：X 8 4 3 （取“+” 号）此时ω=1
10-3 非线性电路
可见，非线性电路的范围非常广！例如电力电子电路全部为非线性电路。
（2）与电机相关的电路。
（3）变压器铁心饱和时所在的电路。
以上非线性电路都是电路在工程实际应用中自然出现的电路。有些非线性电路是人为
构造的，例如图 1 所示的著名的蔡氏电路。图 1 中最右侧的元件为非线性电阻，称为蔡氏电
阻。蔡氏电阻的电压电流关系为分段线性曲线，如图 2 所示。
6
−U0
−
U
2 0
=−0.1 +
(1 +
2U0
)Um
cos(100t)
（6）
显然，要保证式（6）对任意时间都成立，必须满足
6
−U0
−
U
2 0
= 0
−0.1 + (1 + 2U0 )Um =0
（7）
由式（7）可以解得 = U0 2= V, Um 0.02 V
将式（8）代入式（3）可得
（8）
u= 2 + 0.02 cos(100t) V
问：本门 MOOC 为什么没有包含“拉普拉斯变换法分析电路”、“分布参数电路”和“电 路方程的矩阵形式”这三部分内容？
答： “拉普拉斯变换法（即运算法）分析电路”是《信号与系统》课程的重要内容，为了避 免重复讲解，所以本门课程未包含这一部分内容。“分布参数电路”是《电磁场与波》课程 的重要内容，所以本课程未包含这一部分内容。“电路方程的矩阵形式”这一部分内容在实 际电路分析中用处不大，所以本门课程没有涉及。 问：本门 MOOC 课程“通过实验学电路”至此完全结束了，那么，这是否意味着已经 完全掌握了电路知识呢？ 答： 学完“通过实验学电路”MOOC，就掌握了电路的基本概念和基本分析方法，相当于电 路入了门。这离完全掌握电路知识还有很长一段距离，毕竟电路知识浩如烟海，深不可测。 “通过实验学电路”相当于为你打造了一艘轮船，并教会了你驾船的技术，让你驶入大 海。如果你想继续探索广阔的电路海洋，以后就需要自己驾船前行。祝你乘风破浪会有时， 直挂云帆济沧海！
3D3S非线性手册
非线性分析系统手册
6.4 例题四 拉线塔..................................................................................................... 114 6.5 例题五 双层网壳施工过程分析......................................................................... 123 第七章 常见问题解答...................................................................................................... 132
第六章 工程实例例题......................................................................................................... 86 6.1 例题一 网壳结构的稳定性分析........................................................................... 86 6.2 例题二 复杂框架的稳定性分析........................................................................... 96 6.3 例题三 张弦桁架................................................................................................. 104
第四章 地震时程分析....................................................................................................... 62 4.1 地震波选择............................................................................................................. 62 4.2 计算内容................................................................................................................. 64 4.3 计算结果显示查询................................................................................................. 64
勒贝格控制收敛定理例题
勒贝格控制收敛定理例题考虑以下非线性系统：$$\begin{cases} \dot{x}=x-x^3-2y \\ \dot{y}=x+y-y^3\end{cases}$$该系统的控制矩阵为：$$A=\begin{pmatrix} 1-3x^2 & -2 \\ 1 & 1-3y^2 \end{pmatrix}$$ 对于该系统，我们需要构造一个控制器，使得状态变量最终收敛于原点。
考虑以下Lyapunov函数：$$V(x,y)=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}y^2$$对其求时间导数：$$\dot{V}(x,y)=x\dot{x}+y\dot{y}=x(x-x^3-2y)+y(x+y-y^3)=-x^4-y^4\leq 0$$因此，该Lyapunov函数是系统的一个下界。
接下来，需要确定控制律。
根据勒贝格控制收敛定理，可以采用以下控制器：$$u_x=-k_1x$$$$u_y=-k_2y$$即，状态变量$x$和$y$分别施加从原点指向自身的反向比例控制力，比例系数为$k_1$和$k_2$。
此时，系统的控制方程为：$$\begin{cases} \dot{x}=x-x^3-2y-k_1x \\ \dot{y}=x+y-y^3-k_2y \end{cases}$$根据勒贝格控制收敛定理，只需证明系统的控制矩阵$A$负定即可。
对于本例，$A$的特征值为：$$\lambda_1=1-3x^2,\ \lambda_2=1-3y^2$$需要满足$\lambda_1,\lambda_2<0$，才能保证矩阵$A$负定。
因此，令$x^2>\frac{1}{3},\ y^2>\frac{1}{3}$，即可满足条件，证明系统的收敛性。
信号与系统12
1.5.1 系统解析描述－建立数学模型
1.5.2 系统的框图描述
1.5.2 系统的框图描述
1.5.2 系统分析概述
信号与线性系统多媒体电子课件
第二章 连续时间系统的时域分析
§2.1 系统分析
2.1.1 LTI连续系统的数学模型
• 由电路理论可知，对于任意一个线性时不变电路，当电路结构和组成 电路的元件参数确定以后，根据电路的两个约束关系，即元件的伏安 关系和基尔霍夫定律，可以建立起与该电路对应的动态方程。
的解
2.1.2 微分方程的经典解
2.1.2 微分方程的经典解
§2.2 系统方程算子表示法
• 微分算子符号 P 1 • 积分算子符号 P
( P n an 1 P n 1 a1 P a0 ) y (t ) ( P bm 1 P
m m 1
b1 P b0 ) f (t )
零输入响应形式对照表
RLC电路
2.1.1 LTI连续系统的数学模型
x (t )
b0
y (2) (t )
Байду номын сангаас
a1
y(1) (t )
y (t )
a0
二阶系统的模拟框图
数学模型：二阶微分方程
y
( 2)
(t ) a1 y (t ) a0 y(t ) b0 x(t )
(1)
2.1.2 微分方程的经典解
• n阶线性系统微分方程描述
1.4.2 系统的性质及分类
• LOVE Model
If J loves him, he loves her too; If J doesn't love him, he hates her then.
判断是否为线性系统例题
判断时不变例题
例 1.6-2 试判断以下系统是否为时不变系统。 (1) yf(t)=acos［f(t)］ t≥0 (2) yf(t)=f(2t) t≥0 输入输出方程中f(t)和yf(t)分别表示系统的鼓励和零状 态响应，a为常数。
解
(1) 设
f (t) y f (t) a cos[ f (t)]
f1(t)f(ttd) t td
相应的零状态响应为
yf1(t) f1(2t) f (2t td)
yf (t td) f[2(t td)] f (2t 2td)
yf1(t) yf (t td)
f (t) 1
y f(t) 1
－2 0
2
t
(a )
f1 (t)＝ f (t－ 2) 1
－1 0 1
而对于输入输出方程为
yf (t)f(t1)
其任一时刻的响应都将与该时刻以后的鼓励有关。例如， 令t=1时，就有yf(1)=f(2)，即t=1时刻的响应取决于t=2时刻的鼓 励。响应在先，鼓励在后，这在物理系统中是不可能的。 因此， 该系统是非因果的。同理，系统yf(t)=f(2t)也是非因果系统。
对于系统(4)， 如果直接观察y(t)~f(t)关系，似乎系统既不 满足齐次性，也不满足叠加性，应属非线性系统。但是考虑到 令f(t)=0时，系统响应为常数b, 假设把它看成是由初始状态引 起的零输入响应时，系统仍是满足线性系统条件的， 故系统(4) 是线性系统。通常，以线性微分(差分)方程作为输入输出描述 方程的系统都是线性系统，而以非线性微分(差分)方程作为输 入输出描述方程的系统都是非线性系统。
那么其零状态响应
f1(t) f (t td )
t td
y f 1(t) a cos[ f1(t)] a cos[ f (t td )]
第7章--非线性系统分析--练习与解答
第七章 非线性控制系统分析习题与解答7-1 设一阶非线性系统的微分方程为3x x x+-= 试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。
解 令 x=0 得 -+=-=-+=x x x x x x x 321110()()()系统平衡状态x e =-+011,,其中：0=e x ：稳定的平衡状态；1,1+-=e x ：不稳定平衡状态。
计算列表，画出相轨迹如图解7-1所示。
可见：当x ()01<时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当x ()01>时，系统发散；1)0(-<x 时，x t ()→-∞; 1)0(>x 时，x t ()→∞。
注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个 ~xx 平面上任意分布。
7-2 试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。
(1) x xx ++=0 (2) ⎩⎨⎧+=+=2122112x x xx x x解 （1） 系统方程为图解7-1 系统相轨迹⎩⎨⎧<=-+I I >=++I )0(0:)0(0:x x x x x x x x令0x x ==，得平衡点：0e x =。
系统特征方程及特征根：21,221,21:10,()2:10, 1.618,0.618()s s s s s s I II ⎧++==-±⎪⎨⎪+-==-+⎩稳定的焦点鞍点(, ) , , x f x x x x dxdxxx x dx dx x x x x x==--=--==--=-+=ααβ111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>--=)0(11:II )0(11:I x x βαβα计算列表用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（a ）所示。
图解7-2（a ）系统相平面图（2）xx x 112=+ ① 2122x x x+= ② 由式①： x xx 211=- ③ 式③代入②： ( )( )x x x x x 111112-=+- 即 x x x 11120--= ④ 令 x x110== 得平衡点： x e =0 由式④得特征方程及特征根为 ⎩⎨⎧-==--414.0414.20122,12λs s （鞍点） 画相轨迹，由④式x xdxdx x x x 1111112===+α xx 112=-α 计算列表用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（b ）所示。
线性与非线性
线性规划与非线性规划线性linear，指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数；非线性non-linear则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。
如问：两个眼睛的视敏度是一个眼睛的几倍？很容易想到的是两倍，可实际是6－10倍！这就是非线性。
激光也是非线性的！天体运动存在混沌；电、光与声波的振荡，会突陷混沌；地磁场在400万年间，方向突变16次，也是由于混沌。
甚至人类自己，原来都是非线性的：与传统的想法相反，健康人的脑电图和心脏跳动并不是规则的，而是混沌的，混沌正是生命力的表现，混沌系统对外界的刺激反应，比非混沌系统快。
非线性规划nonlinear programming具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。
非线性规划研究一个n元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的极值问题，且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数。
目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于线性规划。
简史非线性规划是20世纪50年代才开始形成的一门新兴学科。
1951年H.W.库恩和A.W.塔克发表的关于最优性条件(后来称为库恩－塔克条件)的论文是非线性规划正式诞生的一个重要标志。
在50年代还得出了可分离规划和二次规划的n种解法,它们大都是以G.B.丹齐克提出的解线性规划的单纯形法为基础的。
50年代末到60年代末出现了许多解非线性规划问题的有效的算法，70年代又得到进一步的发展。
非线性规划在工程、管理、经济、科研、军事等方面都有广泛的应用，为最优设计提供了有力的工具。
实例下面通过实例归纳出非线性规划数学模型的一般形式，介绍有关非线性规划的基本概念。
例1 （投资决策问题）某企业有n个项目可供选择投资，并且至少要对其中一个项目投资。
已知该企业拥有总资金A元，投资于第i个项目需花资金ai元，并预计可收益bi元。
试选择最佳投资方案。
解设投资决策变量为则投资总额为∑aixi，投资总收益为∑bixi。
非线性回归方程、相关性分析专题 高考数学
并求出线性回归方程.
(4)分析拟合效果：通过计算________或画________图来判断拟合效果.
(5)根据相应的变换，写出________方程.
试卷讲评课件
3.常见的变换
(1)已知函数y = ln bx + a ，左右两边同时取e的指数，得________，
选取函数y = m ⋅ x k m＞0, k＞0 作为年广告费用x和年利润额y的回归
类型.令u = lnx, v = lny，则v = lnm + ku，则对数据作出如下处理：
令ui = lnxi , vi = lnyi ，得到相关数据如表所示：
试卷讲评课件
10
10
10
10
i=1
i=1
i=1
i=1
令t =________，得________
(2)已知函数y = kx −1 + c，令t =________，得________
(3)已知函数y = ebx+a ，左右两边同时取e的对数，得________，令t =
________，得________
(4)已知函数y = aebx ，左右两边同时取e的对数，得________，令t =_
过0.6的农家乐的个数，求ξ的概率分布列；
+ a与ොy = bz
+ a哪个更合适于
模型(给出判断即可，不必说明理由)？并根据你的判断结果求回归方程；
(ොa，b的结果精确到0.1)
试卷讲评课件
(3)根据第(2)问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销
有效的控制.其中，各大药物企业积极投身到新药的研发中.汕头某药企
midas材料非线性分析
midas材料非线性分析AnalyiforCivilStructuremidaCivilmidaCivilAnalyiforCivilStructuremidaCivilmidaCivilAnalyiforCivilStructuremidaCivil篇二：MIDAS非线性边界分析概要此例题将介绍利用MIDAS/Gen做边界非线性分析的整个过程，以及查看分析结果的方法。
此例题的步骤如下:1.隔震器算例简介2.设定操作环境及定义材料和截面3.用建模助手建立模型4.建立框架柱5.楼层复制及生成层数据6.定义边界条件7.输入楼面荷载8.定义结构类型9.定义质量10.输入时程分析数据11.运行时程分析12.时程分析结果13.阻尼器算例简要分析14.定义阻尼器特性值15.查看阻尼器算例时程分析结果1.简要基本数据如下：轴网尺寸：见平面图柱:600某600梁：250某600混凝土：C30层高：一~五层：3.0m地震波：ElCentro设防烈度：7o分析时间：20秒图1.分析模型注：也可以通过程序右下角随时更改单位。
2.设定操作环境及定义材料和截面在建立模型之前先设定环境及定义材料和截面1.主菜单选择文件>新项目2.主菜单选择文件>保存:输入文件名并保存3.主菜单选择工具>单位体系:长度m,力kN图2.定义单位体系4.主菜单选择模型>材料和截面特性>材料：添加：定义C30混凝土材料号：1名称：C30规范：GB(RC)混凝土：C30材料类型：各向同性5.主菜单选择模型>材料和截面特性>截面：添加：定义梁、柱截面尺寸图3定义材料图4定义梁、柱截面3.用建模助手建立模型主菜单选择文件>新项目主菜单选择模型>结构建模助手>框架：输入：添加某坐标，距离6，重复4；添加z坐标，距离6，重复1；距离3，重复1；距离6，重复1编辑：Beta角，90度；材料，C30；截面，250某600；生成框架；插入：插入点，0，0，0；Alpha，－90度图5建立框架4.建立框架柱生成框架柱的步骤如下：主菜单选择模型>单元>扩展：扩展类型：节点——线单元单元类型：梁单元材料：C30注：此处柱子高度-3，负号代截面：600某600输入柱子高度：dz=－3在模型窗口中选择生成柱的节点Z轴负表沿向。
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第十章非线性系统§ 10.1 与线性系统的差异线性系统与非线性系统的不同之处在于：1. 非线性系统的运动是由一个非线性微分方程控制的，但是很多非线性方程都不存在精确解。
2. 一个非线性系统可能不只一个平衡点，而平衡点可能是稳定的，也可能是不稳定的。
3. 非线性系统是否存在稳态运动取决于初始条件。
4. 非线性系统的自由振动周期由初始条件决定，这就意味着自由振动的频率依赖于自由振动的振幅。
5. 非线性系统的共振出现在激发频率不同于系统的线性固有频率处，在一个三维非线性系统中，当激发频率为系统线性固有频率的1/3 时，产生超频共振；当激发频率为系统线性固有频率近三倍时，就产生亚频共振。
6. 线性叠加原理不能用来分析受多频激励的非线性系统，共振的组合是对应于激发频率的近似组合。
7. 对应于固有频率的近似组合，在多自由度的连续系统中存在内共振。
8. 在非线性系统中，周期激励可能会引起非周期响应，由于一些特定的参数值，这种混沌运动出现在很多非线性系统中。
§10.1 定性分析状态平面或相位平面是速度和位移在整个运动过程中的关系曲线，通过在平衡点的邻域内将控制微分方程线性化，可以检验平衡点的性质及其稳定性（见题10.2），平衡点的各种类型如图10.1所示是一个无量纲方程。
它作为一个模型可用于求解三维非线性系统。
如果 ；为正, 则表示一个硬弹簧的响应；如果；为负，则表示一个软弹簧系统的响应。
一个系 统自由振动的振幅关系由达分方程决定，它可以用扰动方法近似表示为：3 —1A 2 0( 2)(10.2)8其中㊂是固有频率的无量纲化(对于线性系统 ® =1), A 是振幅，分析共振附近 达芬方程的受迫响应可以设(10.3)达芬方程不稳定焦点图 10.1§ 10.3达芬方程；'：：：；，2」 ；3 = F sin rt中点 2)(10.1)稳定节点(a)则稳态振幅的定义方程就可近似表示为4A2［」2一3A2〔 = F2（10.4）I 8丿」方程（10.4在图10.2中的关系曲线表示为；・0时中枢曲线和跳跃现象，对于给定的二值，方程（10.4有三个正实解，因为A2引起了三种可能的稳态运动，中间解是不稳定的，引起跳跃现象。
§ 10.4自激振动自激振动是由系统运动而引起的振动，它是由非线性形式的阻尼引起的，这里的阻尼项在给定的运动范围内是负值，图10.3所示的动力系统表现的就是阻尼，而振幅却变化不大，范德波尔方程就是某些自激系统的一个模型，即：」（2-1）=0 （ 10.5图10.4所示的相平面就表示了范德波尔振子自由振动的一个极限环10.1单摆运动的非线性方程的无量纲化形式为J sin v - 0(i) 推导定义运动相平面的广义方程； (ii) 求在二=0^=1条件下的轨线； (iii) 单摆的最大摆角是多少？ 解：⑴令■ - /，贝U■- dv 旳 d 日 dv u = — = = ------------------ = v —dt dt dr dt从而微分方程就可以写成dsin 八 0 d^对二求积分，则得12「cos )- C 2其中C 是一个积分常数。
1(ii )要求当二=0时，⑺-1，则C 二-乙，从而解出、图 10.4(iii)当、=0时，最大摆角v - 6010.2令工二工°代表非线性系统的平衡位置，取工二瓷。
•厶来分析在平衡点邻域内系统的运动。
通过在平衡点处线性化微分方程，来确定平衡点的类型及其稳定性。
解：设控制微分方程的形式为：f ( , ) =0若二0代表一个平衡点，则f( 0,0) =0。
将二0 *代入微分方程，得:二 f ( 0•二，二•)二0用泰勒级数展开，得：■r f rf ■:-■■■ f ( 0,0) .-( 0,0) -( 0,0)：…• =0£上6上加上平衡条件并略去高阶项线性化得：-?.'■： - -.■■■：- 0:f ( 0,0)，:二—(0,0)方程的解可记为：丄=C,e -l t- C2e 臥其中和2是方程2— 0的解，平衡点的类型及其稳定性讨论如下：(1) 若'1或'2其一有正实部，则从平衡点出发的扰动无限大，故解不稳定。
(2) 若1和-2都是正实数且同号，则平衡点为节点(稳定或不稳定。
(3) 若错是实数且同号，则平衡点为鞍点(不稳定)。
(4) 若'1和' 2为共轭复数，则平衡点为焦点(稳定或不稳定)。
(5) 若'1和■ 2都是纯虚数，则平衡点是中点10.3确定摆动方程所有平衡点的类型及其稳定性。
解：单摆运动的非线性微分方程为：v sin J- 0采用题10.2中的符号，得：f (二“ =sin 二且：f (厲,0) = 0》sin J- 0》厲二n二，n = 0,_1,_2,现在，令，:二，并将其代入微分方程，得：:v sin(n二•: ^) = 0用泰勒级数展开，且保留线性项得：■: v cos(n二).：J- 0•宀( —1)n•宀-0禾U用题10.2中的符号，则上述方程的广义解为：(n D (n _D(」) -2t ») y2ti _c£)■ C2e°)(nJ.) (n_1) •1 二(-0 2，，2 = -( -D 2因此，对于奇数n , 1和2都是实数且异号，这些平衡点就是鞍点；对于偶数n，'1和-2都是纯虚数，这些平衡点就是中点。
10.4摆动的相平面示意图。
解：根据题10.3结论得到的相平面示意图如图10.5所示10.5质点在图10.6所示的旋转抛物线上运动的微分方程为:(1 - 4 p 2 2)- (2gp 八2)- 4p 22= 0若.-10rad/s ，求 p 为何值是，平衡点二0是鞍点？解：采用题10.2中的符号，得： 2 2诗 y )=2gpw L * —加(，)1 4p2 2 1 4p 2 2注意到 二0的确是一个平衡点，检验在 其邻域内平面轨线的运动，令=， 采用题10.2中的符号，得： "学(0,0) = 0，兰(0,0) =2gp -，从而相平面轨线在 二0附近的微分方程为：■:(2gp曲二0当2gp ：：：「2时，平衡点是一个鞍点，因此，当小=10rad/s 时，则:图 IV. 5P ::（10皂）2 s2（9.81 马）二 5.10m 」 从题10.6~题1.8,题10.11和10.12都是指图10.7中的系统而言的。
弹簧的立与位移的关系为： Fr&y-k s y 3，k^1 106—，k 3 =1 1012— m m其中y 是从弹簧原长时量取的。
10.6设 =y ，其中y 是从未伸缩时的位移，且厶二mg/&，用方程（10.1）的形式写出图10.7中所示系统运动的微分 方程，并求出；，」，F 和r. 解：对质量块应用牛顿定律，其微分方程 I -----]x io\ -1 x IO ^Y P-c- …N-s为: » 100sjn50fNk 16 N 1 106 — m d d dd设•二''nt ，则有： n —dt di dt di用无量纲化变量，改写方程（10.6）为:丄2*dX 丄,A .*3 3m n 2 c nk r x - k^ x d 2dco=F 0 sin ——n色亠鱼X-&以3二 d 2 m n d k 1kJ：F。
o sin ——■'n方程（10.1）形式中的各量如下:首先考虑平衡点x = 0，则::=2丄，：=1 — £x 2」：x：x = 0耐2 =—卩土 沖2 —1 = —0.0112±0.999i因为'的值是实部共轭复数，所以平衡点x = 0是一个稳定的焦点。
由于；是负值，系统还有两个平衡点x h\=1/；,在任一情况下:=2」：=1 3^（-丄）--2z-x ■ 2 L x - 2 = x 二 0人,2 =—卩 士$2 +42 =1.413, -1.415k i1 1012 N1 10』m3m(1.96 1O’m)2 二-0.0384 c_ 2m n-0.0112 rad 、 2(20kg)(223.6)sF 。
F 。
100NF =kimg(20kg)(9.8V N2)s= 0.510rad 150 —s0.671 n223.6空s10.7确定图10.7中系统的平衡点的性质及其稳定性。
解：用题10.2中的符号，贝U:f (x,x) = 2七 x ；x 3从而: 注意到：f=2",x.:f .x=1 3 x 2f (x, 0) = 0 = xx 3 >因此这两个静平衡点是鞍点，且不稳定 10.8令」• - 0 ,试求固有周期的积分表达式。
解：设初始条件为t=0时，x=x 0,x=0。
当」=0时自由振动的达芬方程为:x xx 3 = 0dx 亠次=° dx 1 2 1 2X2 2代入初始条件求得 为：dx 由于、二 dx/dt ，贝U: dt = f 2 丄 E 4 2 ® 4 二.x 0 亠一x 0 x x2 21/4周期就是物块从初始条件返回（平衡位置）x=0所用的时间。
在这期间速度 是负值，因此，从X 。
到0积分，得: 0T =4 x 0dx x °2异 2 4 2 - 4 0 -x -2x 10.9用线性扰动法求在F=0时达芬方程的二次近似解。
解：设： X = x °（t ） • ；X 1（t ） • OC 2） （10.7） 将方程（10.7）代入不受力的达芬方程，得： X ° M ："7'X 0 -X 「：；「（X 0 ；X 1 川…川=0 X 0 X 0 ；（x 「X 1 X 03） 0（ ；3） =0 设系数是；的方幕都趋于零，则得： X 0 X 0 = 0》X 0 二 Asin （t ）X 1 X 1 二—X 0‘ 一； X 1 疋 二- A 3 sin 3（t）根据三角恒等式，得:定义' 二x ，贝 对x 积分，得:..A 3 , , x-i x 1 [3sin(t 「；)一sin 3(t 亠：；)]43 3 A 3 x-i A t cos(t 亠:;) sin 3(t J8 323 A 3 x(t) =Asin(t ) ；[—A 3tcos(t ) SIN3(t )] O( ；3) 8 3210.10由题10.9求得的解不是周期性的，应如何修正？为什么?解：由题10.8可以知道非线性系统的固有周期是取决于初始条件的。
在题 10.9 中的扰动解中没有给出这种依赖关系，真正的响应可以在相同周期的现行系统中 得到，要修正该解，需要引入依赖于振幅的时间量2t 二（1 佝• 1匕亠 亠） 上述表达式可以在现行展开前引入，在这种情况下称之为Linstedt-Poincare 方法;也可以在将非周期的现行展开变成周期性之后引入，后者称之为重整化方法。