三阶对称矩阵求特征值 例题

三阶对称矩阵求特征值例题

下面是一个求解三阶对称矩阵的特征值的例题：

例题：

已知对称矩阵

A = [1 2 3]

[2 4 5]

[3 5 6]

求矩阵A的特征值和特征向量。

解答：

首先，我们需要求解特征值。设A的特征值为λ，特征向量为x。

根据特征值的定义，有Ax = λx。

根据矩阵乘法的定义，我们可以将上式改写为 (A - λI)x = 0，其中I是单位矩阵。

解这个齐次线性方程组可以得到特征向量。

对于一个3阶矩阵，我们需要求解一个3阶的特征多项式来得到特征值。特征多项式的形式为 det(A - λI) = 0，即行列式等于零。

对于矩阵A，我们可以写出它的特征多项式：

det(A - λI) = det([1-λ 2 3]

[2 4-λ 5]

[3 5 6-λ])

根据行列式的计算，我们可以将其展开为λ的三次方程式，即：(1-λ)((4-λ)(6-λ)-(5)(5)) - (2)((2)(6-λ)-(5)(3)) + (3)((2)(5)-(4-λ)(3))

= 0

化简上式，我们得到特征多项式为：

λ^3 - 11λ^2 + 21λ - 9 = 0

由此可得特征方程的根，即特征值λ为1，2，3。

接下来，我们需要求解每个特征值对应的特征向量。

对于每一个特征值，我们将其代入方程(A - λI)x = 0，并解这

个齐次线性方程组。

1. 对于特征值λ=1，我们有方程组(A - λI)x = (0 0 0)：

[1-1 2 3] [x₁] [0]

[2 4-1 5] [x₂] = [0]

[3 5 6-1][x₃] [0]

化简方程组，我们得到：

[0 2 3] [x₁] [0]

[3 5 5] [x₃] [0]

通过高斯消元法或其他方法，我们可以解得x₁= 1，x₂= -1，x₃ = 1。

所以，当λ=1时，特征向量x = [1 -1 1]。

2. 对于特征值λ=2，我们有方程组(A - λI)x = (0 0 0)：

[1-2 2 3] [x₁] [0]

[2 4-2 5] [x₂] = [0]

[3 5 6-2][x₃] [0]

化简方程组，我们得到：

[-1 2 3] [x₁] [0]

[2 2 5] [x₂] = [0]

[3 5 4] [x₃] [0]

通过高斯消元法或其他方法，我们可以解得x₁= 1，x₂= -3，x₃ = 2。

所以，当λ=2时，特征向量x = [1 -3 2]。

3. 对于特征值λ=3，我们有方程组(A - λI)x = (0 0 0)：

[1-3 2 3] [x₁] [0]

[2 4-3 5] [x₂] = [0]

化简方程组，我们得到：

[-2 2 3] [x₁] [0]

[2 1 5] [x₂] = [0]

[3 5 3] [x₃] [0]

通过高斯消元法或其他方法，我们可以解得x₁= 1，x₂= -1，x₃ = 1。

所以，当λ=3时，特征向量x = [1 -1 1]。

综上所述，矩阵A的特征值为1，2，3，对应的特征向量分别为[1 -1 1]，[1 -3 2]，[1 -1 1]。