概率论与数理统计复习(完整)

概率论与数理统计复习

一、概率论的基本概念： 1、事件的运算律：

交换律：A B B A =，BA AB =；

结合律：()()C B A C B A =，()()C B A C B A =； 分配律：()()()BC AC C B A =，()()()C A B A BC A =； 德·摩根法则：B A B A =，B A B A =； 减法运算：AB A B A B A -==-。 2、概率的性质： 性质1 ()0=φP ；

性质2 （有限可加性）当n 个事件n A A ,,1 两两互不相容时，

()()()n n A P A P A A P ++= 11；

性质3 对于任意一个事件A ，()

()A P A P -=1； 性质4 当事件B A ,满足B A ⊂时，

()()()A P B P A B P -=-，()()B P A P ≤；

性质5 对于任意两个随机事件B A ,，()()()AB P B P A B P -=-； 性质6 对于任意一个事件()1≤A P ；

性质7 （广义加法法则）对于任意两个事件B A ,，

()()()()AB P B P A P B A P -+= 。

3、条件概率：

在已知A 发生的条件下，B 事件的概率为：

()()()

A P A

B P A B P =

（()0>A P ）。 注意：所有概率的性质对条件概率依然适用，但使用公式必须在同一条件下进行。 4、全概率公式与贝叶斯公式：

设n 个事件n A A ,,1 构成样本空间Ω的一个划分，B 是一个事件，当()0

>i A P

（n i ,,1 =）时， 全概率公式：()()()∑==

n

i i

i

A B P A P B P 1

；

贝叶斯公式：当()0>B P 时，

()()()

()()

∑==

n

l l

l

i i i A B P A P A B P A P B A P 1

， n i ,,1 =。

应用全概率公式和贝叶斯公式计算事件A 的概率或其在已知条件下的条件概率时，关键的问题是找到一个完备事件组n B B B ,,,21 ，使得A 能且仅能与n B B B ,,,21 之一同时发生，然后运用古典概型、概率的加法和乘法法则计算出()i B P 和()

i B A P ，

n i ,,1 =，并套用全概率公式或贝叶斯公式即可。若一个较复杂的事件是由多种“原

因”产生的样本点构成时，多考虑用全概率公式，而这些样本点就构成一个完备事件组；若已知试验结果而要追查“原因”时，往往使用贝叶斯公式，这些“原因”的全体即是所求的完备事件组。 5、随机事件的独立性： 事件独立性的结论： （1）事件A 与B 独立⇔()()()B P A P AB P =；

（2）若事件A 与B 独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 中的每一对事件都相互独立； （3）若事件A 与B 独立，且()0>A P ，()0>B P ，则

()()A P B A P =，()()B P A B P =；

（4）若事件n A A ,,1 相互独立，则()()∏==

n

i i

n A P A A P 1

1 ；

（5）若事件n A A ,,1 相互独立，则()

∏∑==-=⎪⎭

⎫

⎝⎛n

i i n i i A P A P 111。

注意：

（1）事件B A ,相互独立只要求满足()()()B P A P AB P =，而事件B A ,互斥（互不相容）

只要求φ=AB ，这两个概念前一个与事件的概率有关，后一个与事件有关，两者之间没有必然的联系；

（2）如果事件B A ,相互独立，则A 与B 不相关，反之一般不成立。

（3）对于任意n 个随机事件n A A ,,1 ，相互独立则两两独立，反之未必；

（4）对于任意n 个相互独立的随机事件n A A ,,1 ，它们中任意一部分事件的运算结果

（和、差、积、逆等）与其他一部分事件或它们的运算结果都相互独立，如：21A A +与3A ，21A A -与3A ，21A A 与3A 都相互独立；

6、贝努利概型与二项概率公式：

设一次试验中事件A 发生的概率为p ()10<

生k 次的概率()k P n 为

()()

k

n k

k n n p p C k P --=1，n k ,,1 =。

贝努利试验每次试验相互独立，只关心某一次试验中事件A 或A 是否发生，且每次事件

A 发生的概率都相同。

二、随机变量及其分布：

（一）离散型随机变量及其分布： 1、分布律（概率函数）及其性质：

离散型随机变量X 的分布律（概率函数）为：

()i i p x X P ==， ,2,1=i 。

分布律也可以写成表格形式，列表法是求解离散型随机变量问题的常用方法。 离散型随机变量X 的分布律（概率函数）的性质： （1）()0≥==i i p x X P ， ,2,1=i ； （2）

1=∑i

i

p

。

注意：确定分布律中的未知常数大多考虑随机变量分布律的性质。 2、离散型随机变量X 的分布律与分布函数和事件概率的关系：

如果已知X 的分布律为()i i p x X P ==， ,2,1=i ，则X 的分布函数

()()∑≤=≤=x

a i i p x X P x F ；

而事件{}b X a ≤<的概率为

()∑≤<=

≤

x a i

i p

b X a P 。

3、离散型随机变量函数的分布：

如果已知X 的分布律为()i i p x X P ==， ,2,1=i ，则当()X g Y =的所有取值为j

y