2017年全国初中数学联合竞赛(初二决赛)试题参考答案及评分标准

2017年全国初中数学联合竞赛（初二决赛）

试题参考答案及评分标准

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题和填空题只设7分和0分两档；解答题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.

一、选择题(本题满分42分，每小题7分)

1、C

2、D

3、A

4、B

5、C

6、B

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

7、23 8、75° 9、13(0.5225

或填） 10、16 三、（本题共三小题，第11题20分，第12、13题各25分，满分70分）

11.已知关于x 的方程a x =--12有且仅有两个解，求实数a 的取值范围.

解：由已知必有0≥a ，由原方程得：21x a -=± （1）；……………………5分 若1>a ，则21x a -=+，此时方程（1）有两解，对应原方程也有两解；……10分 若10≤≤a ，此时方程（1）的解为：a x +=3，a x -=3，a x +=1，a x -=1，要使原方程只有两解，则四个解中必有两个解相等.若a a x -=+=33，得0=a ，此时

a a x -=+=11，故原方程有两解；若a a x -=+=13，得1-=a （舍去）

，若a a x +=-=13，得1=a ，此时方程有三个解，不符合要求；显然a a +≠+13，a a -≠-13。故此时0=a 原方程有两解.

综上，0=a 或1>a 时原方程有两解.………………………………………………20分

12.如图,已知等腰直角三角形ABC 中，90B ∠=︒,D 为BC 的中点，E 为线段AC 上一点，且EDC ADB ∠=∠.求

BE ED

BD

+的值.

解：过点C 作BC 的垂线交DE 的延长线于点F ，连结AF.

易证△ABD ≌△FCD. ∴AD=FD. ……………………5分

易证四边形ABCF 是正方形，∴AB=AF. ……………10分

易证△ABE ≌△AFE ，∴FE=BE. ……………………15分

∴AD=FD=DE+EF= BE +ED. …………………………20分

∴BE ED AD BD BD

+==25分 13. 从连续的自然数1，2，…，2017中可以取出n 个不同的数，使所取出的这n 个不同的数中任意三个数之和都能被21整除．求n 的最大值．

解：设a 、b 、c 、d 是所取出的任意四个数．由题意有m c b a 21=++，n d b a 21=++，其中，m 、n 为正整数．所以，)(21n m d c -=-．

上式表明，所取出的数中任意两数之差是21的倍数，即所取的每个数除以21所得的余数相同．……………………………………………………………………………………5分

设这个余数为k ，于是，k a a +=121，k b b +=121，k c c +=121，其中，1a 、1b 、1c 是整数，210<≤k ．……………………………………………………………… 10分

则k c b a c b a 3)(21111+++=++．因为c b a ++能被21整除，所以，k 3能被21整除，即k 能被7整除．因此，k =0，7或14．………………………………………15分

当0=k 时，可取21，42，63，…，2016共96个数，符合题意；

当7=k 时，可取7，28，49，…，2002共96个数，符合题意；

当14=k 时，可取14，35，56，…，2009共96个数，符合题意……………20分 综上所述，n 的最大值是96．………………………………………………………25分