人教版初中数学第二十二章二次函数知识点

第二十二章 二次函数

22.1 二次函数的图象和性质

22.1.1 二次函数

1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数. 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．

22.1.2 二次函数2

y ax =的图象和性质

1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.

例1．若抛物线y=ax 2经过P （1，

﹣2），则它也经过 ( )

A ．（2，1）

B ．（﹣1，2）

C ．（1，2）

D ．（﹣1，﹣2） 【答案】 【解析】

试题解析：∵抛物线y=ax 2经过点P （1，-2）， ∴x=-1时的函数值也是-2， 即它也经过点（-1，-2）． 故选D ．

考点：二次函数图象上点的坐标特征．

例2．若点(2，-1)在抛物线上，那么，当x=2时，y=_________ 【答案】-1

2

y ax =

试题分析：先把(2，-1)直接代入即可得到解析式，再把x=2代入即可.

由题意得14-=a ，41-=a ，则24

1

x y -=，

当2=x 时，.144

1

-=⨯-=y

考点：本题考查的是二次函数

点评：解答本题的关键是掌握二次函数图象上的点适合这个二次函数的关系式. 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减.

例1．若抛物线y=ax 2+c 经过点P （l ，－2），则它也经过 （ ）

A ．P 1（－1，－2 ）

B ．P 2（－l ， 2 ）

C ．P 3（ l ， 2）

D ．P 4（2， 1） 【答案】A 【解析】

试题分析：因为抛物线y=ax 2+c 经过点P （l ，－2），且对称轴是y 轴，所以点P （l ，－2）的对称点是（－1，－2），所以P 1（－1，－2）在抛物线上，故选：A. 考点：抛物线的性质.

例2．已知函数y=ax+b 经过（1，3），（0，﹣2），则a ﹣b=（ ） A ．﹣1 B ．﹣3 C ．3 D ．7 【答案】D ． 【解析】

试题分析：∵函数y=ax+b 经过（1，3），（0，﹣2），

∴，解得．

∴a ﹣b=5+2=7． 故选D ．

考点：1．直线上点的坐标与方程的关系；2．求代数式的值．

例3．两条直线y 1＝ax ＋b 与y 2＝bx ＋a 在同一坐标系中的图象可能是下图中的 ( )

2

y ax =a b 3b 2+=⎧⎨=-⎩a 5b 2=⎧⎨=-⎩

a 的符号

开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

0a > 向上

()0c ， y 轴

0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随

x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ．

0a < 向下

()0c ，

y 轴

0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y

随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．

【答案】无正确答案

【解析】分析：首先根据两个一次函数的图象，分别考虑a ，b 的值，看看是否矛盾即可． 解：A 、由y 1的图象可知，a ＜0，b ＜0；由y 2的图象可知，a>0，b<0，两结论矛盾，故错误； B 、由y 1的图象可知，a ＞0，b ＞0；由y 2的图象可知，a ＞0，b<0，两结论相矛盾，故错误； C 、由y 1的图象可知，a>0，b<0；由y 2的图象可知，a ＜0，b ＜0，两结论相矛盾，故错误； D 、由y 1的图象可知，a ＞0，b ＞0；由y 2的图象可知，a<0，b<0，两结论相矛盾，故错误． 故无正确答案．

点评：此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y=kx+b 的图象有四种情况： ①当k ＞0，b ＞0，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限； ②当k ＞0，b ＜0，函数y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限； ③当k ＜0，b ＞0时，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限； ④当k ＜0，b ＜0时，函数y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限．

22.1.3 二次函数()2y a x h k =-+的图象和性质

左加右减.

()2

y a x h k =-+的性质：

例1．将二次函数y=x 2﹣2x ﹣3化成y=（x ﹣h ）2+k 形式，则h+k 结果为（ ） A ．﹣5 B ．5 C ．3 D ．﹣3 【答案】D ． 【解析】

试题分析：y=x 2-2x-3=（x 2-2x+1）-1-3=（x-1） 2-4． 则h=1，k=-4， ∴h+k=-3． 故选D ．

考点: 二次函数的三种形式．

例2．把二次函数y=x 2+6x+4配方成y=a （x-h ）2+k 的形式，得y=___，它的顶点坐标是___． 【答案】（x+3）2-5，（-3，-5） 【解析】

试题分析：y=2x +6x+4=2(3)5x ，则顶点坐标为（－3，－5）

． 考点：二次函数的顶点式． 例3．把二次函数y ＝a （x －k ）2＋h 的形式，并写出它的图象的顶点坐标、对称轴. 【答案】y= 顶点坐标（3，-），对称轴方程x ＝3

【解析】

试题分析：y=x 2﹣3x+4=（x ﹣3）2﹣， 则顶点坐标（3，﹣），对称轴方程x=3， 考点：二次函数的图像及性质

1、二次函数图象的平移

（1）平移步骤：

方法一：（1）将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，

； （2）保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，

处，具体平移方法如下：

（2）平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：

432

12

+-=x x y 向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位

向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位

向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位

向右(h >0)【或左(h <0)】

平移|k|个单位

向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位

向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位

y=a (x-h )2+k

y=a (x-h )2

y=ax 2+k

y=ax 2