变分理论的一致性
态度改变的理论
（1）认知平衡理论认知理论的共同处：当认知因素发生冲突与矛盾之后，个体就处于一种想要解除其矛盾的不舒服的状态中；当认知因素协调的时候，人们想要维持这种状态，以避免其他不协调因素的介入。
主要有下列两种认知理论:①海德的平衡理论（P-O-X模型也称一致性理论）该理论认为人们的认知系统中的几种评价、态度、感情之间有趋向一致的压力。
认知处于平衡状态时，能引起一种满意的状态，而处于不平衡时就会力求平衡，或改变现存的某种认知因素，或添加一种新的认知。
P是认知者，O是P认知的另一个人，X是第三者的人或物或事。
最终的状态是P、O、X三者之间形成平衡。
②认知失调理论由费斯廷格提出。
旨在理解态度之间和态度与行为之间的不一致。
认知失调是指个体持有两个彼此矛盾的认知，从而产生不愉快感觉的情况。
认知包括思想、态度、信念以及人们对行为的感知。
当人们的认知体系出现不协调的时候，就会设法去减轻或者消除这种不协调状态。
认知因素的不协调强度越大，人们想要减轻或者消除的动机也就越大。
认知失调论的一个基本假设就是：认知失调是一种不愉快的心理体验，具有动机的作用，驱使个体设法减轻或消除失调的状态，使相关的态度之间和相关的态度与行为之间的关系变得比较协调。
费斯廷格指出，认知失调通常在四种情况下出现：逻辑的违背、文化价值的冲突、观念层次的冲突、新旧经验的矛盾。
协调的程度决定于：失调的认知数量与协调的认知数量的相对比例(2)某一认知元素对个人生活的重要性。
减少和消除认知失调的途径：改变行为（使个体对行为的认知符合态度的认知）、改变态度（使个体的态度符合其行为）、引进新的认知因素（消除原有认知因素间的失调关系）。
③自我知觉理论自我知觉理论和自我确认理论对认知失调理论提出了质疑。
自我知觉理论认为，当人们的态度与行为不一致时，人们首先是通过外部寻找产生行为的原因，当外部没有找到原因时，才会归因于态度上。
这一过程并不一定有认知失调的产生，而是由理性决定的。
变分法理论与应用
变分法理论与应用变分法是数学中的一个重要分支，通过对函数的变分求解，可以求出其最值或最优解，应用广泛，例如在物理学中经常用于研究粒子的运动，友情学中应用于最小能量曲线的求解，化学中应用于量子化学中分子的电子结构计算等等。
本篇文章将着重介绍变分法的理论基础以及其在各个领域中的应用。
一、变分法理论1.1 变分基本概念在介绍变分法之前，我们先来了解一下变分中的一些基本概念。
函数是指把数域上的任意数 $x$ 映射到数域上的一个确定数$y$ 的规则，而变分则是指沿着某个函数进行微小的变化，并据此研究该函数的性质变化。
我们将一个函数 $y=f(x)$ 的变分记作$y=f(x)+\varepsilon g(x)$，其中 $\varepsilon$ 是一个无穷小量，$g(x)$ 是一个任意函数。
1.2 欧拉-拉格朗日方程欧拉-拉格朗日方程是变分法中的一种重要方程，它的本质是通过对泛函进行变分求解，求出泛函的最值或最优化解。
泛函是一类函数，它映射函数到实数集合，例如以 $y=f(x)$ 表示的函数 $f$，它的变分为 $y=f(x)+\varepsilon g(x)$，其泛函表示为：$$J[f]=\int_{a}^{b}L(x,y,y')dx$$其中 $L(x,y,y')$ 是 Lagrange 函数，$y'=\frac{dy}{dx}$。
对该泛函进行变分：$$\delta J=\delta\int_{a}^{b}L(x,y,y')dx=\int_{a}^{b}\frac{\partialL}{\partial y}\delta y+\frac{\partial L}{\partial y'}\delta y'dx $$用分部积分法将第二项转换为：$$\delta J=\int_{a}^{b}\left(\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}\right)\deltaydx+\left(\frac{\partial L}{\partial y'}\delta y\right)\biggr|_{a}^{b} $$由于 $\delta y(x)$ 在 $x\in[a,b]$ 的端点 $a$ 和 $b$ 处任意，因此求解泛函的变分问题可以转化为求解边界条件。
变分推断的基本原理与方法
变分推断的基本原理与方法1. 引言变分推断是一种用于近似推断概率模型参数的方法。
它在机器学习中具有广泛的应用，尤其在大规模数据分析和贝叶斯推理中表现出色。
本文将介绍变分推断的基本原理和常用方法，以帮助读者更好地理解和应用变分推断。
2. 变分推断的原理变分推断的目标是近似计算给定观测数据下的后验分布。
它采用了一种变分参数化的方法来表示后验分布，并将推断问题转化为参数优化问题。
基本的变分推断原理可以归结为最小化推断模型与真实后验分布之间的差异，以获得近似的后验分布。
3. 变分推断的方法（1）变分推断的基本方法基本的变分推断方法是采用一种特定的变分分布来近似真实的后验分布。
常用的变分分布包括高斯分布、狄利克雷分布等。
通过设定变分分布的参数，可以通过最小化变分分布与真实后验分布之间的差异来近似推断后验分布。
（2）坐标上升算法坐标上升算法是一种常用的变分推断方法，它通过迭代地更新变分参数来逐步逼近后验分布。
在每一次迭代中，坐标上升算法固定其他变分参数，只优化其中一个变分参数，然后交替优化不同的变分参数。
这种迭代的更新过程可以得到越来越精确的后验分布估计。
（3）期望最大化算法期望最大化算法是另一种常见的变分推断方法，它通过交替进行期望步骤和最大化步骤来逼近后验分布。
在期望步骤中，固定参数，计算关于隐藏变量的期望；在最大化步骤中，固定隐藏变量，更新参数。
通过交替进行这两个步骤，可以逐步提高后验分布的准确性。
4. 变分推断的应用变分推断在概率图模型、深度学习和机器学习等领域都有广泛的应用。
在概率图模型中，变分推断常用于近似计算因子图模型的后验分布。
在深度学习中，变分自编码器是一种常见的变分推断方法，用于学习数据的潜在表示。
在机器学习中，变分推断可以用于模型选择、参数估计和预测等任务。
5. 结论本文介绍了变分推断的基本原理和常用方法，以及其在机器学习中的应用。
变分推断具有广泛的应用价值，能够有效地处理大规模数据和复杂模型。
变分原理与变分法
变分原理与变分法在数学中，变分原理是由变分法所依赖的基本数学原理，它属于变分法的核心思想。
变分原理是这样一个原理：如果一个物理系统的运动方程可以通过一些函数的下极值原理来推导出来，那么这个物理系统的运动方程也可以通过其他的方法得到，比如经典的牛顿运动定律、拉格朗日方程或哈密顿方程等。
所以，变分原理可以看作是一种看待运动方程的新视角，它提供了一种新的方法来推导和解决运动方程。
变分法是以变分原理为基础的一种数学方法，通过对形式相对简单的函数进行一定的变分操作，使得问题的求解变得容易。
变分法的核心思想是将函数看作一个整体，而不是具体的数值，通过改变整体的形状，使其满足一定的条件，从而达到优化的目标。
在变分法中，我们将问题转化为一个泛函的极值问题，通过对泛函求导并使其为零，就可以得到满足条件的函数。
在最优控制问题中，变分法是一个常用的求解方法。
最优控制问题是研究如何通过调整一些输入信号，使得系统的性能达到最优，比如最小化成本、最大化效益等。
通过应用变分法，我们可以将最优控制问题转化为一个泛函的极值问题，通过对极值问题求解，可以得到最优的输入信号。
在极值问题中，变分法也有广泛的应用。
比如著名的布鲁诺-普恩哥雷极值问题，即求出一个连续函数，使得其在给定的边界条件下，一些泛函成为极值。
通过变分法，我们可以将这个极值问题转化为一个泛函的极值问题，通过求解极值问题，就可以得到满足要求的函数。
除了最优控制问题和极值问题，变分法在泛函分析和变分不等式研究中也有重要的应用。
在泛函分析中，变分法用于求解泛函的最小化问题，通过对泛函求导并使其为零，得到泛函的最小值。
而在变分不等式研究中，变分法用于构造适当的测试函数，将问题转化为一个较简单的形式，从而得到不等式的解析解或估计。
总结来说，变分原理与变分法是应用于最优控制问题、极值问题和泛函问题等研究领域中的基本数学工具。
通过将问题转化为泛函的极值问题，通过对泛函求导并使其为零，可以得到满足条件的函数。
多目标分式变分问题的对偶性
多目标分式变分问题的对偶性
与一致性的思考
1.多目标分式变分问题的对偶性：多目标分式变分问题是求解多个相
互竞争的极小值问题，目标函数与约束条件共同确定一个多目标优化问题。
变分方法中求解多目标分式变分问题的思想是采用多个子问题替代原来的
一个完整问题，然后在子问题中求解，最后把子问题的结果综合在一起，
得到原问题的解。
多目标分式变分问题建立的子问题可以转换成对偶问题，它具有两个基本特征：(1)在优化的过程中，多目标函数的参数可以被看
作是目标函数和约束条件间的拉格朗日乘子；(2)在优化过程中，约束条
件和极值问题都可以被看作是多目标函数和参数间的拉格朗日乘子。
2.多目标分式变分问题的一致性：多目标分式变分问题的一致性表明，可以在一个基本的问题框架中，一致的求解多目标的最优解。
例如，多目
标可以在具有不同条件的情况下，获得同样的最优解。
通俗来讲，一致性
就是指在多目标优化问题中，可以在不同的约束条件下，找到相同的极小
值解。
变分推断的基本原理与方法
变分推断的基本原理与方法变分推断（Variational Inference）是一种概率图模型参数估计的方法，它通过近似推断的方式求解概率分布的后验分布。
本文将介绍变分推断的基本原理和方法，并探讨其在机器学习和统计学中的应用。
一、基本原理变分推断的基本原理是通过寻找一个近似分布$q(\theta)$来近似真实的后验分布$p(\theta | \mathcal{D})$。
其中，$\theta$代表模型的参数，$p(\theta | \mathcal{D})$表示参数在给定观测数据$\mathcal{D}$下的后验分布。
变分推断的目标是最小化近似分布$q(\theta)$与真实后验分布$p(\theta | \mathcal{D})$之间的差异。
二、方法步骤1. 定义变分分布首先，需要选择一个参数化的变分分布$q(\theta)$来近似后验分布$p(\theta | \mathcal{D})$。
常用的变分分布包括高斯分布、狄利克雷分布等。
2. 构建变分推断目标函数通过KL散度（Kullback-Leibler Divergence）来度量两个分布的差异，可以构建如下的变分推断目标函数：$$F(q) = \int q(\theta) \log \left( \frac{{p(\theta,\mathcal{D})}}{{q(\theta)}} \right) d\theta$$其中，$p(\theta, \mathcal{D})$是参数和观测数据的联合分布。
3. 最优化目标函数通过最优化目标函数$F(q)$，可以得到近似分布$q(\theta)$的最优解。
一般采用迭代算法，如坐标上升法、梯度下降法等。
4. 推断参数得到近似分布$q(\theta)$后，可以通过计算得到参数的期望值或采样得到参数的一组样本。
这些参数估计可以用于模型的预测和推断。
三、应用场景1. 深度学习中的变分自编码器变分推断在深度学习中有着广泛的应用。
变分不等式理论
变分不等式理论
变分不等式理论是常用的数学工具，可以运用在很多研究领域中。
它是在某种程度上受拉格朗日乘子法影响而发展出来的理论，它也被用于解决求解某类优化问题。
变分不等式理论的主体思想可以简化为构建一个变分型，使得它在穷尽满足相关条件、约束条件和其它反映问题本质的主要式子中有最佳解。
变分不等式被广泛地用于优化问题的求解，它的核心在于构建一个问题的相关函数并且能够构建一个准确的侧面式，使得非负函数而被有限次地变换。
例如当需要求解一个最大最小值问题时，可以使用变分不等式理论先将原问题转化为变分问题，通过调整有限个变量得以求解。
变分不等式理论对于计算机和数学研究是非常重要的，它在空间分析多物体碰撞、复杂材料本构模拟以及线性规划和计算优化等领域都被大量使用。
变分不等式的核心思想就是使用相应的方法来不断的优化问题，从而得到更加准确的结果。
变分不等式理论在各种领域中的应用已经相对成熟，它可以有效解决优化问题。
近年来，随着计算机科学和数学理论等方面的发展，变分不等式理论在优化问题求解技术也有了更多的发展，其思想在求解一些抽象的优化问题中有着极大的用处。
FY-4A星GIIRS大气温度廓线反演模拟试验研究
FY-4A星GIIRS大气温度廓线反演模拟试验研究鲍艳松;汪自军;陈强;周爱明;董瑶海;闵锦忠【摘要】结合全球大气晴空训练样本(CIMSS)数据,利用辐射传输模式,模拟获得干涉式大气垂直探测仪(GIIRS)亮温资料,结合人工神经网络反演方法,研究了风云四号(FY-4)卫星高光谱红外载荷大气温度反演方法,并研制了全圆盘和中国区域两套大气温度反演模型.反演试验结果表明:对流层大气温度反演精度明显高于平流层,以中国区域反演模型为例,对流层和平流层大气温度反演均方根误差(RMSE)分别为0.846,2.020 K,平均误差分别为-0.003,0.024 K;比较中国区域和全圆盘大气温度廓线反演精度,中国区域大气温度精度明显高于全圆盘,0～70 km处大气温度反演的均方根误差分别为1.922,2.630 K;与欧洲极轨卫星(Metop-A) IASI数据的温度廓线反演结果比较,FY-4A星GIIRS的温度反演精度在低层(>500hPa)(RMSE=0.790 K)优于IASI(RMSE=0.976 K),在高层(<500hPa)(RMSE=1.803 K)低于IASI(RMSE=0.899 K).研究对FY-4卫星GIIRS的大气温度廓线反演及其应用有重要的参考价值.【期刊名称】《上海航天》【年(卷),期】2017(034)004【总页数】10页(P28-37)【关键词】FY-4卫星;干涉式大气垂直探测仪(GIIRS);神经网络;温度廓线;反演;对流层;平流层;中国区域;全圆盘【作者】鲍艳松;汪自军;陈强;周爱明;董瑶海;闵锦忠【作者单位】南京信息工程大学气象灾害预报预警与评估协同创新中心/气象灾害教育部重点实验室/气候与环境变化国际合作联合实验室/中国气象局气溶胶与云降水开放重点实验室,江苏南京210044;南京信息工程大学大气物理学院,江苏南京210044;上海卫星工程研究所,上海201109;上海卫星工程研究所,上海201109;上海卫星工程研究所,上海201109;上海航天技术研究院,上海201009;南京信息工程大学气象灾害预报预警与评估协同创新中心/气象灾害教育部重点实验室/气候与环境变化国际合作联合实验室/中国气象局气溶胶与云降水开放重点实验室,江苏南京210044【正文语种】中文【中图分类】P423大气温度是数值天气预报模式的重要输入数据，对提高数值天气预报精度有重要意义。
变分原理基础_讲义
变分原理基础罗建辉2009年夏季1 能量原理能量原理是以能量形式表述的力学定律。
概括地说，在所有满足一定的约束条件的可能状态中，真实状态应使其能量取极值或驻值。
本课程讨论结构力学、弹性力学、薄板的能量原理，只讨论线性平衡问题。
2 弹性系统真实平衡状态的能量特征举例从能量角度看，弹性系统的真实平衡状态具有如下的能量特征：即与其他可能状态相比，真实状态的能量为极值或驻值。
对这一能量特征举几个简例。
例0—1. 弹簧系统真实平衡状态的能量特征图0—1 所示为一弹簧下端挂一重物。
弹簧的刚度系数为k ，重物的重力为P 。
用∆表示位移，当弹簧系统处于平衡状态时，求得位移∆的真解为kP =∆=∆0)(真解 (1)真解的能量特征是弹簧系统的势能p ∏为极小。
现检验如下：∆-∆=∏P k p221 (2)式(2)右边第一项是弹簧的应变能，第二项是重力P 的势能。
系统势能p ∏是位移∆的二次式。
由式(2)得221()22pP Pk kk∏=∆--(3)现考察真解的能量特征。
显然，真解(1)使势能p ∏取极小值。
换一个角度，求p ∏的一阶及二阶导数，得Pk d d p-∆=∆∏ (4)22>=∆∏k d d p(5)将真解(1)代入式(4)，得0=∆∏d d p，故知势能p∏为驻值。
根据式(5)，又知势能p∏变分原理广义变分原理单变量形式多变量形式为极小值。
例0—2 超静定梁真实平衡状态的能量特征图0—2a 所示为一超静定梁，取图0—2b 所示静定梁为其基本结构。
根据平衡条件，基本结构的弯矩可表示为PMX M M +=11 (6)其中p M 是在荷载作用下基本结构的弯矩，1M 是在单位多余力11=X 作用下基本结构的弯矩，1X 是任意值。
式(6)同时也是超静定梁满足平衡条件的可能弯矩，由于1X 是任意参数，因此超静定梁的可能弯矩尚未唯一确定。
为了确定1X 的真解，还必须应用变形协调条件)(1111=∆+p X 真解δ (7)式中⎰=∆dxEI M M pp 11 (8)⎰=dxEIM 2111δ试验证真解的能量特征是梁的余能c ∏为极小值，余能c ∏的表示式为dxMX M EIdx EIMpc ⎰⎰+==∏2112)(212 (9)余能c ∏是1X 的二次函数，由式(9)得11111122211221212211112221111111111(2)21[2]21[2]21[()]2p c p p p p p p p p M X M M X M dxEIM dx M M dx M dx X X EIEI EIM dx X X EIM dx X EIδδδδ∏=++=++=+∆+=+∆-∆+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(10)由式(10)可知变形协调条件(7)使余能c ∏取极小值。
(完整版)变分法简介(简单明了易懂)
§1 变分法简介作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。
它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。
这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。
约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。
后来欧拉（Euler Lonhard ，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。
在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。
伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。
变分理论的一致性
变分理论的一致性 赵建中（云南大学资源、环境与地球科学学院，昆明，650091） 摘要：本文以数学逻辑讨论了弹性力学中的变分理论。
讨论了钱伟长教授提出的变分原理中的变量独立问题。
文章发现，钱教授处理变量独立和变分原理约束问题的高阶拉格朗日乘子理论是不一致的；涉及变量独立问题的罗恩的理论存在着矛盾；对变分原理变量独立的传统理解隐含着矛盾。
在数学逻辑的背景下，变分理论必须是排除了误解和不确定性的数学逻辑系统；变量独立性应该逻辑地理解为变量本体性；变分理论形式化是解决变量独立问题的方法。
文章对弹性力学提出两个具有一致性的系统：变分公理系统和变分形式系统 关键词变分理论，变量独立，一致性，形式化，变分公理系统 ， 变分形式系统 中图分类号： O343.2 文献标识码：A 1. 引言广泛运用于数学、物理学和工程学诸多领域的变分法是数学物理方法的一种基本的、重要 的方法。
最小势能原理（Minimum Potential Energy Principle ，以下称MPEP ）是弹性力学中的一个典型的变分原理[1,2]。
胡海昌和鹫井久一郎分别独立地建立了三类变量的变分原理，通称胡海昌-鹫井久一郎原理（以下称 H-W 原理）[3-6]。
1964年, 钱伟长用拉格朗日乘子法推导出H-W 原理 。
何吉欢称，此举“使得推导广义变分原理从盲目走向科学” [7,8]。
1983-1985期间, 钱伟长论证了 H-W 原理有一个约束条件，因而原理中有一类变量不独立，原理等价于两变量的 Hellinger-Reissner 原理( 以下称H-R 原理)[9-13]。
为了解除H-W 原理 的约束，钱提出了高阶拉格朗日乘子法并建立了 ,λG 原理，而且称其为完全的广义变分原理[9-11]。
何吉欢称：“这是变分发展史上的重要里程碑” [7]。
然而，正如本文指出的，在钱的理论中存在着若干矛盾。
罗恩的工作也涉及到变量独立问题。
他事实上认为变分原理中的变量独立是不证自明的或理所当然的[14]。
变分法的基本原理
变分法的基本原理
变分原理是物理学的一条基本原理，以变分法来表达。
根据科内利乌斯·兰佐斯的说法，任何可以用变分原理来表达的物理定律描述一种自伴的表示。
这种表示也被说成是厄米的，描述了在厄米变换下的不变量菲利克斯·克莱因的爱尔兰根纲领试图鉴识这类在一组变换下的不变量。
在物理学的诺特定理中，一组变换的庞加莱群(现在广义相对论中被称为规范群)定义了在一组依赖于变分原理的变换下的对称性，即作用原理。
把一个力学问题(或其他学科的问题)用变分法化为求泛函极值(或驻值)的问题，就称为该物理问题(或其他学科的问题)的变分原理。
如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理;如果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。
1964年，钱伟长教授明确提出了引进拉格朗日乘子(Lagrange multiplier)把有约束条件的变分原理化为较少(或没有)约束条件的变分原理的方法。
日本的鹫津一郎教授、中国科学院院士钱伟长教授和刘高联教授等都是这方面的世界级大师。
变分原理在物理学中尤其是在力学中有广泛应用，如著名的虚功原理、最小位能原理、余能原理和哈密顿原理等。
在当代变分原理已成为有限元法的理论基础，而广义变分原理已成为混合和杂交有限元的理论基础。
在实际应用中，通常很少能求
出精确的解析解，因此大多采用近似计算方法。
近似计算方法主要有:李兹法、伽辽金法、康托洛维奇法、屈列弗兹法等。
变分原理
第二章 变分原理变分原理是力学分析中重要数学工具之一，能量法、有限元法、加权残值法等力学方法都是以变分原理为数学工具的。
变分法的早期思想是Johann Bernoulli 在1696年以公开信的方式提出最速降线命题，并在1697年进行了解决。
关于变分法的一般理论是Euler 于1774年、Lagrange 于1762年共同奠基的，我们称之为Euler-Lagrange 变分原理。
1872年Betti 提出了功的互等定理。
1876年意大利学者Castigor 提出了最小功原理。
德国学者Hellinger 于1914年发表了有关不完全广义变分原理，后来美国学者Reissner 发表了与Hellinger 相类似的工作，此工作被称之为Hellinger-Reissner 变分原理。
我国学者钱令希于1950年发表“余能原理”论文。
我国学者胡海昌于1954年发表了有关广义变分原理的论文，日本学者鹫津久一郎(Washizu)于1955年发表了与有胡海昌相类似的工作，此工作被称之为胡-鹫变分原理。
1956年Biot 建立了热弹性力学变分原理。
1964年钱伟长提出用Lagranger 乘子构造广义 分原理的方法。
1964年Gurtin 提出了线弹性动力学变分原理。
1967年意大利学者Tonti 提出了四类变量的广义变分原理，在这类变分原理中，位移、应变、应力及Beltrami 应力函数都是变分变量。
§ 2.1 历史上著名的变分法命题历史上有三个著名的变分法命题，即最速降线问题、短程线线问题和等周问题。
这三个命题的提出和解决推动了变分法的发展。
1、最速降线命题1695年，Bernoulli 以公开信方式提出了最速降线命题。
如图2-1所示，设有不在同一垂线上的A 、B 两点，在此两点间连一曲线，有一重物沿此曲线下滑，忽略各种阻力的理想情况，什么曲线能使重物沿曲线AB 光滑下滑的时间最短。
设A 点与坐标原点O 重合，B 点的坐标为(x 1,y 1)，滑体质量为m ，从O 点下滑至P 点时的速度为v ，根据能量恒原理，有：221mv mgy =(2-1) 用s 表示弧长，则沿弧切向方向的速度为： 图2-1 最速降线图gy dtdsv 2==(2-2) 曲线弧长为：dx dx dy dy dx ds 2221⎪⎭⎫⎝⎛+=+= (2-3)于是，时间为：()dx gyy v ds dt 212'+== (2-4)下降时间为：()⎰⎰+==12'21x Tdx gyy dt T (2-5) 经过求解，最速降线为圆滚线，其参数方程为：()()θθθcos 12sin 2-=-=Cy Cx (2-6)2、短程线命题设()0,,=z y x ϕ是如图2-2所示的曲面，在此曲面上有A 、B 两点，试问如何连接可使此曲面上A 、B 两点间的距离最短。
变分法的发展与应用
变分法的发展与应用变分法（calculus of variations）是数学分析中的一个分支，研究如何找到一个函数使得一些泛函取得极值。
它的发展与应用非常广泛，涉及到数学、物理学、工程学等领域。
变分法最早可以追溯到古希腊数学家阿基米德。
在他的著作《阿基米德原理》中，他提出了通过比较曲线上两个有限长度之间的总表面积来确定曲线形状的问题。
然而，真正系统地研究变分法的发展要等到17世纪，由欧洲科学家伽利略·费迪南多·拉蒂斯（Galileo Galilei）和约翰·贝努利（Johann Bernoulli）引入。
随着时间的推移，变分法逐渐成为了数学家们研究函数极值问题的重要工具。
18世纪末，由拉格朗日（Lagrange）和欧拉（Euler）等数学家所发展的变分法成为了经典物理学中动力学问题的基础，如质点的运动路径、力学系统的最小作用量原理等。
在数学上，变分法的发展有赖于函数分析、变分计算等领域的推动。
19世纪末和20世纪初，变分法经历了一个重要的革命，主要得益于数学家赫尔曼·莱贝格（Hermann Lebesgue）引入了测度论的概念和勒贝格积分的理论。
这一进展使得变分法在更加一般的函数空间上得以应用，并推动了泛函分析领域的快速发展。
在物理学中，变分法的应用非常广泛。
它被用来描述动力学、光学、电磁场等领域的问题。
例如，通过变分法可以求解最大问题，即使得一些泛函取得最大值的函数。
这在经济学中的效用最大化问题、力学中的能量最大化问题等方面都有应用。
此外，变分法还被广泛应用于工程学领域。
在工程学中，如何优化设计、减小成本、提高效率等是非常重要的问题。
变分法可以通过寻找函数的极值解决这些问题。
例如，结构力学中的梁问题、弹性力学中的薄膜问题、流体力学中的最佳流动问题等。
总结来说，变分法的发展与应用是数学、物理学和工程学紧密结合的结果。
随着时间的推移，它不断演进和发展，以适应不同领域的需求。
弹塑性大变形分析的一致性高阶无单元伽辽金法
弹塑性大变形分析的一致性高阶无单元伽辽金法段庆林; 庞志佳; 马今伟; 王冰冰【期刊名称】《《计算力学学报》》【年(卷),期】2019(036)004【总页数】6页(P471-476)【关键词】无网格/无单元; 弹塑性; 大变形; 数值积分; 非线性【作者】段庆林; 庞志佳; 马今伟; 王冰冰【作者单位】大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室大连116024【正文语种】中文【中图分类】O3021 引言有限元法是目前工程结构数值分析的主要方法，已有多种商用有限元分析软件得到广泛应用，如ANSYS和ABAQUS等。
然而，在分析大变形问题时，网格扭曲往往导致有限元方法精度降低、收敛放缓甚至无法得到收敛解[1]。
主要原因是由于有限元法的插值函数依赖于网格单元。
此外，有限元法也不便于建立高阶插值函数(需要构建高阶单元)。
而且，高阶单元更易发生网格扭曲，导致计算失败。
与有限元法不同，无网格法如无单元伽辽金法EFG(Element-free Galerkin method)[2]和再生核粒子法 RKPM(Reproducing Kernel Particle Method)[3]等仅需离散节点建立近似函数，不依赖于网格单元，在很大程度上缓解了网格扭曲导致的数值困难。
而且，建立高阶近似函数也十分方便，无需改变计算节点的分布来构建高阶单元。
然而，无网格法也存在不可忽略的缺点，其一为本质边界条件的准确施加，这方面已有很多研究工作[4,5]。
其中，Zhu等[6]提出的罚函数法简单有效且易于实现，因而本文采用该方法进行研究。
其二是缺乏高效准确的数值积分方法。
无网格法的形函数是非多项式的有理函数，导致弱形式的区域积分十分困难，传统的高斯积分计算效率低且精度不够，容易导致虚假的数值振荡。
针对该困难，已有多种行之有效的方法[7-10]，如稳定相容节点积分方法[7]等。
其中，段庆林等[8,9]基于胡-鹫三变量变分原理提出的一致性积分方法，大幅度减少了高阶无网格法所需的积分点数目，同时可精确通过各阶分片试验，显著改善无网格法的计算精度和效率，称为一致性无单元伽辽金法CEFG(Consistent Element-free Galerkin method)。
基于变分模态分解和组合深度神经网络的综合能源系统多元负荷预测
基于变分模态分解和组合深度神经网络的综合能源系统多元负荷预测目录一、内容简述 (2)1. 研究背景与意义 (3)2. 国内外研究现状 (4)3. 研究内容与方法 (5)二、综合能源系统概述 (7)1. 综合能源系统定义 (8)2. 综合能源系统结构 (9)3. 综合能源系统负荷特点 (10)三、变分模态分解理论及应用 (12)1. 变分模态分解理论 (13)2. VMD在负荷预测中的应用 (14)四、组合深度神经网络模型构建 (15)1. 深度神经网络概述 (17)2. 组合深度神经网络模型架构设计 (18)3. 模型参数优化与训练策略 (19)五、基于变分模态分解与组合深度神经网络的负荷预测方法 (20)1. 数据预处理及特征提取 (21)2. 基于VMD的负荷信号分解 (22)3. 基于组合深度神经网络的预测模型构建与实施流程设计 (24)六、实验设计与结果分析 (25)一、内容简述本文档旨在探讨“基于变分模态分解和组合深度神经网络的综合能源系统多元负荷预测”的相关内容。
该研究的背景在于随着能源市场的快速发展以及综合能源系统的复杂性提升，对于多元负荷预测的精度和实时性要求愈发严苛。
在这样的背景下，本文提出了一种基于变分模态分解（Variational Mode Decomposition, VMD）与组合深度神经网络（Ensemble Deep Neural Networks, EDNNs）的综合能源系统多元负荷预测方法。
变分模态分解（VMD）被应用于处理综合能源系统中的多元负荷数据。
通过VMD，原始复杂的负荷数据被分解为若干个具有不同频率特性及时间尺度的模态分量，这有助于揭示隐藏在复杂数据中的内在规律和特征。
这些分解得到的模态分量将作为输入数据进一步处理。
组合深度神经网络（EDNNs）被构建用于预测各模态分量的未来趋势。
通过结合多种深度神经网络模型（如循环神经网络、卷积神经网络等），EDNNs能够捕捉并学习各模态分量之间的复杂关系和非线性特征。
弧长的第一变分公式
弧长的第一变分公式
弧长第一变分公式是一种处理圆弧之长度（曲线长度）的方法，也是圆弧测量的一种常用方法。
弧长第一变分公式的基本公式可以表示为：L=Integrate[Radius*dθ]。
它的参数是圆的半径R和圆弧的弧度θ。
弧度θ用来表示圆弧弧长所在同一圆的某一部分圆周幅度的特定长度，这里的Radius表示弧度s所在圆的半径。
另外，弧长第一变分公式的计算原理就是计算圆弧曲线的离散点间的距离之和。
这种方法可以很方便地求解圆弧的长度。
只要从圆心出发，根据圆弧的弦及其圆心角θ，确定弦上所有点的相对位置，然后将其两两之间的距离进行相加，便可以求得圆弧的长度L。
弧长第一变分公式的优点是简单易用，它能够得到与定义一致的结果。
可以根据圆心容易求得圆弧上任意点的坐标和弧度，接着通过弧长第一变分公式就可以轻松求得圆弧长度。
另外，这个算法可以使用几何理论来证明结果，从而使得它的推导统一，不会出现不一致性和歧义性，有利于模型化分析。
此外，弧长第一变分公式也有其局限性，在对数据点进行计算时，其数值的精度有限；另外，当求解的问题超出定义的范围时，也可能会产生误差。
总之，弧长第一变分公式是一种测量圆弧长度的有效方法，它简单易用，能够得到与定义一致的结果，在实际应用中受到广泛使用。
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变分理论的一致性 赵建中（云南大学资源、环境与地球科学学院，昆明，650091） 摘要：本文以数学逻辑讨论了弹性力学中的变分理论。
讨论了钱伟长教授提出的变分原理中的变量独立问题。
文章发现，钱教授处理变量独立和变分原理约束问题的高阶拉格朗日乘子理论是不一致的；涉及变量独立问题的罗恩的理论存在着矛盾；对变分原理变量独立的传统理解隐含着矛盾。
在数学逻辑的背景下，变分理论必须是排除了误解和不确定性的数学逻辑系统；变量独立性应该逻辑地理解为变量本体性；变分理论形式化是解决变量独立问题的方法。
文章对弹性力学提出两个具有一致性的系统：变分公理系统和变分形式系统 关键词变分理论，变量独立，一致性，形式化，变分公理系统 ， 变分形式系统 中图分类号： O343.2 文献标识码：A 1. 引言广泛运用于数学、物理学和工程学诸多领域的变分法是数学物理方法的一种基本的、重要 的方法。
最小势能原理（Minimum Potential Energy Principle ，以下称MPEP ）是弹性力学中的一个典型的变分原理[1,2]。
胡海昌和鹫井久一郎分别独立地建立了三类变量的变分原理，通称胡海昌-鹫井久一郎原理（以下称 H-W 原理）[3-6]。
1964年, 钱伟长用拉格朗日乘子法推导出H-W 原理 。
何吉欢称，此举“使得推导广义变分原理从盲目走向科学” [7,8]。
1983-1985期间, 钱伟长论证了 H-W 原理有一个约束条件，因而原理中有一类变量不独立，原理等价于两变量的 Hellinger-Reissner 原理( 以下称H-R 原理)[9-13]。
为了解除H-W 原理 的约束，钱提出了高阶拉格朗日乘子法并建立了 ,λG 原理，而且称其为完全的广义变分原理[9-11]。
何吉欢称：“这是变分发展史上的重要里程碑” [7]。
然而，正如本文指出的，在钱的理论中存在着若干矛盾。
罗恩的工作也涉及到变量独立问题。
他事实上认为变分原理中的变量独立是不证自明的或理所当然的[14]。
但是变量独立的问题并没有解决，因为在他的系统中也存在着矛盾。
进一步，我们发现，在鹫井久一郎、钱伟长和罗恩的工作中明示的或隐含的有关变量独立的“传统”的理解隐含着矛盾 [6, 9-11, 14]。
本文提出并讨论了变分理论的一致性问题，指出一致性是对任何数学理论的基本要求，变分理论也不应该例外。
如果变分理论是一个严格的理论，它必须是排除了误解和不确定性的数学逻辑系统。
如果变分理论是一个具有一致性的系统，变量独立性就应该理解为变量本体性，变分理论的形式化是解决变量独立问题的方法。
其后我们对弹性力学的变分学提出了两个具有一致性的变分理论：变分公理系统和变分形式系统。
2.弹性力学的基本方程、变分理论的一致性原理 2.1. 弹性力学的基本微分方程 (a)平衡方程： )()3,2,1(0,τσin i F i j ij ==+ ; (2.1)(b)几何方程（应变-位移关系）： )()3,2,1,(0,)2/1(,)2/1(τin j i u u e i j j i ij ==-- ; (2.2)(c)物理方程（应力-应变关系）： )()3,2,1,(0)(τσin j i e e A ij ij==-∂∂ (2.3a) 或)()3,2,1,(0)(τσσinj i e B ij ij==-∂∂ ; (2.3b)(d)应力边界条件：)()3,2,1(0pi j ij s oni P n ==-σ ; (2.4)(e)位移边界条件：)()3,2,1(0ui i s oni u u ==- . (2.5) 式(2.1)-(2.5) 中应用了爱因斯坦惯例，如 ∑=∂∂=31,j jijjij x σσ ；τ 是弹性体的体积域；p s 是 加载面力 i P 的分片光滑的表面部分；u s 是给定位移 i u 的分片光滑的表面部分； i F 是 体力分量；ij σ, ij e 和 i u 分别为应力、应变和位移分量；)(e A 和 )(σB 分别为物体的势能和余能； j n 是边界面元法矢量的方向余弦。
物体边界 s 由两部分边界p s 和u s 组成,u p s s s += (2.6)2.2. 本文讨论的弹性力学的变分原理（给出泛函）{}⎰⎰⎰⎰⎰⎰--=∏s ds u P d u F e A pi i i i p ττ)( (即 MPEP) , (2.7){}⎰⎰⎰----=∏ττσd u F u u e e A i i i j j i ij ij HW ],)2/1(,)2/1([)(⎰⎰⎰⎰---s ds u u n s ds u P up i i j ij i i )(σ (2.8)⎰⎰⎰⎰---up S S i i j ij i j ijds u P n ds u n )(σσ, (2.9)⎰⎰⎰⎰---s ds u u n s ds u P up i i j ijii)(σ, (2.10)⎰⎰⎰⎰---upS S i i j ij i j ijds u P n ds u n )(σσ. (2.11)2.3. 本文提出的变分理论的一致性原理当且仅当变分理论的逻辑系统中不存在逻辑矛盾时，该变分理论是一致的。
3. 高阶拉氏乘子理论的不一致性 3.1. 高阶拉氏乘子理论虽然钱伟长的论文中没有声明，但他的逻辑系统事实上包含下面的九个公设，九个定义和九条推导和推理规则：高阶拉氏乘子理论中明示的或隐含的公设P3.1. 泛函由(2.7)-(2.11)式表达的弹性力学变分原理。
.P3.2. 方程 (2.1), (2.2), (2.3a) 或(2.3b), (2.4) 和 (2.5) (本节中表为(2.1-2.5) )。
P3.3. 唯一性定理 [10]：对于某一物理问题而言，只要变量是完备的，变分约束条件已知，或根本没有任何变分约 束条件，则其有关变分原理或广义变分原理的泛函，是唯一地决定的。
P3.4. 变量独立性的矛盾律：对所讨论的任一变分原理而言，任一变量（ij σ、 ij e 或 i u ） 不能既是独立的又是不独立的。
P3.5. 变量独立性的排中律：对所讨论的任一变分原理而言，每一变量（ij σ、 ij e 或 i u ） 必须是独立的或者是不独立的。
P3.6. 约束性的矛盾律：对所讨论的任一变分原理而言，由(2.1-2.5)式表达的任一方程不能既是约束条件又是自然条件。
P3.7. 约束性的排中律：对所讨论的任一变分原理而言，由(2.1-2.5)式表达的每一方程必须是约束条件或是自然条件。
P3.8. 变分原理身份的矛盾律：对所讨论的弹性力学问题(2.1-2.5)而言，由P3.1 指定的任一变分原理不能既是有约束的变分原理又是无约束的、完全的广义变分原理。
P3.9. 变分原理身份的排中律：对所讨论的弹性力学问题(2.1-2.5)而言，由P3.1 指定的每一变分原理必须是有约束的变分原理或是无约束的、完全的广义变分原理。
. 高阶拉氏乘子理论中明示的或隐含的定义D3.1. 对所讨论的变分原理而言，当且仅当变量不受由D3.2 或D3.3定义的任何约束条件的约束时，该变量是独立的变量。
D3.2. 在进行正推理（见D3.5)、逆推理或半逆推理（见D3.6）的过程中，如果必须把一个代数方程或者一个微分方程用代入法代入变分原理或者该变分原理的欧拉方程，该代数方程或者微分方程是该变分原理的约束条件。
D3.3. 任何两个泛函由(2.7)-(2.11)式表达的变分原理，如果该二泛函的和或差等于零，则该二 变分原理等价。
使得该等价关系成立而必须满足的代数方程是变分原理的约束条件。
D3.4. 变分原理的自然条件是变分原理通过正推理（见D3.5）而得到的代数方程或微分方程。
D3.5. 正推理是从变分原理及其约束条件（如果有的话）出发，按照. D3.6. 逆推理是从 (2.1-2.5)式出发, 按照., 按照.D3.7. 约束变分原理是具有至少一个约束条件的变分原理。
D3.8. 广义变分原理是用拉格朗日乘子法解除约束而建立的变分原理。
完全的广义变分原理是用拉氏乘子法 和/或 高阶拉氏乘子法解除了所有约束条件而建立的变分原理。
D3.9. 证明是根据公设P3.1-P3.9和定义D3.1-D3.9 并遵循推导和推理规则 R3.1-R3.9.进行的数学逻辑推理过程。
高阶拉氏乘子理论中明示的或隐含的推导和推理规则R3.1. 变分法基本引理（ Fundamental Lemma of the calculus of variations [1] ）及其推广。
R3.2. 微分学的高斯定理（ Gauss Theorem ）。
R3.3. 弹性力学的剪应力互等定理(ji ij σσ=) 和功能原理 [2]。
R3.4. 代数、微分、积分和变分运算规则。
R3.5. 正推理（见D3.5)中的代入法。
这是一种解除约束的方法。
R3.6. 拉氏乘子法（一阶的和高阶的）。
这是半逆推理（见D3.6)中解除约束的方法。
R3.7. 逆推理或半逆推理（见D3.6)中的代入法。
这是向变分原理引入约束条件的方法。
R3.8. 逆推理（见D3.6)中的权余法（ weighted-residual method ）。
这是给变分原理引入自然条件的方法。
R3.9. 在一个约束条件中，至少有一个变量是受到约束的，因而该变量是不独立的。
在3.2-3.5节中，我们将在高阶拉氏乘子理论的框架内给出一些证明，表明高阶拉氏乘子理论存在着矛盾。
3.2. 有关 P3.3 和 P3.8的矛盾: 根据 D3.3 和R3.6的证明、定理和评述 由 0])()([=-+=∏+∏⎰⎰⎰ττσσd e B e A ijij HW HR (3.1)钱[10]根据 D3.3证明, H-R 原理和H-W 原理等价，它们都有约束条件0)()(=-+ij ij e B e A σσ (3.2)现在，我们遵照R3.6用高阶拉氏乘子法解除H-R 原理的约束，结果建立起H-W 原理 ：⎰⎰⎰-++∏-=∏ττσσλd e B e A ij ij H HR HW ])()([ (3.3)式中 1=H λ .这样，HW ∏是一个完全的广义变分原理。
我们知道，钱用高阶拉氏乘子法建立了完全的广义变分原理'λG ∏[9-11]。
由此可知，存在着两个而不是唯一的完全的广义变分原理的泛函 HW ∏ 和'λG ∏。
因而有定理：定理T3.2.1弹性力学至少存在着两个具有约束条件（3.2）的变分原理的泛函HR ∏ 和 HW ∏ ；至少存在着两个完全的 广义变分原理的泛函 HW ∏ 和'λG ∏。
定理T3.2.2H-W 原理（泛函为HW ∏）既是一个有约束的变分原理，又是一个完全的广义变分原理。