高中数学线性规划知识总结+练习

（一） 知识内容
1.二元一次不等式表示的区域
对于直线(A 〉0)
当B >0时, 表示直线上方区域; 表示直线的下方区域。

当B <0时, 表示直线下方区域； 表示直线的上方区域。

2.线性规划
(1）不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式,所以又可称其为线性约束条件。

z =Ax +By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式,我们把它称为目标函数.由于z =Ax +By 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数。

另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示。

(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.
(3）那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。

在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域。

其中可行解（)和（）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。

线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行
（二）主要方法：
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
1。

首先,要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）。

2.设z =0，画出直线l 0.
3.观察、分析,平移直线l 0，从而找到最优解。

4。

最后求得目标函数的最大值及最小值.
（三）典例分析：
1。

二元一次不等式（组)表示的平面区域
【例1】 画出下列不等式（或组）表示的平面区域
⑴
⑵求不等式表示的平面区域的面积。

2.区域弧长、面积问题
【例2】 若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是( ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【例3】 若，，且当时,恒有，则以,为坐标点所形成的平面区域的面积等于 ．
例题精讲
高考要求
板块一：线性规划
【例4】已知钝角的最长边为，其余两边的长为、，则集合所表示的平面图形面积等于（）A．B．C．D．
【例5】如图，在平面直角坐标系中，是一个与轴的正半轴、轴的正半轴分别相切于点、的定圆所围成的区域（含边界），、、、是该圆的四等分点．若点、点满足且，则称优于．如果中的点满足:不存在中的其它点优于,那么所有这样的点组成的集合是劣弧（）
A．B．C．D．
【例6】已知是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域内的弧长为（ )
A． B．C．D．
3.线性规划
【例7】设变量，满足约束条件：．则目标函数的最小值为（)
A．6 B．7 C．8 D．23
【变式】已知实数、满足，则的最大值是( ）
A．B．C．D．
【例8】已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最小值等于______，最大值等于______．【例9】设变量,满足约束条件，则函数的最大值为（）
A．B．C．D．
【例10】若实数满足,则的最小值为．
4。

与不等式综合
【例11】设满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最小值为（）
A． B． C． D．
【例12】已知实数满足,如果目标函数的最小值为，则实数等于（）
A．B．C．D．
【例13】若，满足约束条件，目标函数仅在点处取得最小值,则的取值范围是（）A．B．C．D．
5.与其他知识综合
【例14】设二元一次不等式组所表示的平面区域为，使函数的图象过区域的的取值范围是（）A．B．C．D．
【例15】已知满足条件的点构成的平面区域的面积为，满足条件的点构成的平面区域的面积为，（其中、分别表示不大于、的最大整数）,则点一定在（ )
A．直线左上方的区域内 B．直线上
C．直线右下方的区域内 D．直线左下方的区域内
【例16】设是正及其内部的点构成的集合,点是的中心，若集合，则集合表示的平面区域是( ）A．三角形区域B．四边形区域
C．五边形区域D．六边形区域
【例17】设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为
⑴求的值及的表达式;
⑵记，试比较与的大小;若对于一切的正整数,总有成立，求实数的取值范围．
【例18】在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）,若目标函数取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是（）
A．B．
C．D．
⑴若关于的不等式的解集是,则对任意实数,总有( )
A．，B．，
C．，D．,
⑵在平面直角坐标系中,若不等式组（为常数)所表示的平面区域的面积等于，则的值为
（）
A．B．C．D．
【例19】设集合，，，
⑴的取值范围是;
⑵若,且的最大值为，则的值是．
板块二：线性规划应用
（一）知识内容
(二）主要方法：
利用线性规划研究实际问题的解题思路：
首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数。

然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.
最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解,即结合实际情况求得最优解. （三）典例分析：
【例20】⑴某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用原料3吨、原料2吨；生产每吨乙产品要用原料1吨、原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗原料不超过13吨，原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（ )
A．12万元B．20万元C．25万元D．27万元
⑵蔬菜价格随着季节的变化而有所变化．根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知，购买千克
甲种蔬菜与千克乙种蔬菜所需费用之和大于元，而购买千克甲种蔬菜与千克乙种蔬菜所需费用之和小于元．设购买千克甲种蔬菜所需费用为元，购买千克乙种蔬菜所需费用为元，则（）
A．B．
C．D．大小不确定
【例21】在平面直角坐标系中，满足不等式组，点的集合用阴影表示为下列图中的（ )
【例22】已知变量满足约束条件，则的最大值为( ）
A．B．C．D．
【例23】已知平面上有三点，，，若在由围成的平面区域中，使目标函数（）取得最大值的最优解有无穷多个,则的值是（）
A． B． C． D．
【例24】设函数．
⑴求的单调区间和极值；
⑵若对一切，，求的最大值．
【例25】设函数有两个极值点、，且,．
⑴求、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；
⑵证明：．。