2019届高考数学二轮复习 第三部分 6 回顾6 解析几何 学案 Word版含解析

回顾6解析几何 [必记知识]

直线方程的五种形式

(1)点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)(直线过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)． (2)斜截式：y ＝kx ＋b (b 为直线l 在y 轴上的截距，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)．

(3)两点式：

y －y1y2－y1

＝

x －x1x2－x1

(直线过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1

≠

x 2，y 1

≠

y 2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．

(4)截距式：x a

＋y b

＝1(a ，b 分别为直线的横、纵截距，且a ≠0，b

≠

0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)． (5)一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)．

直线的两种位置关系

当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时：

(1)两直线平行l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.

(2)两直线垂直l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.

[提醒])当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略.

三种距离公式

(1)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离 |AB |＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.

(2)点到直线的距离d ＝|Ax0＋By0＋C|

A2＋B2

(其中点P (x 0，y 0)，直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0)．

(3)两平行线间的距离d ＝

|C2－C1|A2＋B2

(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 1：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2)．

[提醒]应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x ，y 的系数应对应相等.

圆的方程的两种形式

(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.

(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)．

直线与圆、圆与圆的位置关系

(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法．

(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法．

椭圆的标准方程及几何性质

度.因为a 2＝b 2＋c 2，所以b a ＝1-e2，因此，当e 越趋近于1时，b

a 越趋近于0，椭圆越扁；当e 越趋近于0

时，b

a 越趋近于1，椭圆越接近于圆.所以e 越大椭圆越扁；e 越小椭圆越圆，当且仅当a ＝

b ，

c ＝0时，椭

圆变为圆，方程为x 2＋

y 2＝a 2（a ＞0）.

双曲线的标准方程及几何性质

＋∞时，双曲线开口越大.

（2）满足||PF1|－|PF2||＝2a的点P的轨迹不一定是双曲线，当2a＝0时，点P的轨迹是线段F1F2的中垂线；当0＜2a＜|F1F2|时，点P的轨迹是双曲线；当2a＝|F1F2|时，点P的轨迹是两条射线；当2a＞|F1F2|时，点P的轨迹不存在.

抛物线的标准方程及几何性质

与圆的切线有关的结论

(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2；

(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；

(3)过圆x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则过A，B两点的直线方程为x0x＋y0

y＝r2；

(4)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)外一点P(x0，y0)引圆的切线，切点为T，则|PT|＝

x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F； (5)过圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)外一点P(x0，y0)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在的直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2； (6)若圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，则过圆外一点P(x0，y0)的切线长d＝（x0－a）2＋（y0－b）2－r2.

(5)过圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)外一点P(x0，y0)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦

AB所在的直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；

(6)若圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，则过圆外一点P(x0，y0)的切线长d＝

（x0－a ）2＋（y0－b ）2－r2.

椭圆中焦点三角形的相关结论

由椭圆上一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和

正、余弦定理．

以椭圆

x2a2

＋y2b2

＝1(a ＞b ＞0)上一点P (x 0，y 0)(y 0

≠

0)和焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则

(1)|PF 1|＝a ＋ex 0，|PF 2|＝a －ex 0(焦半径公式)，|PF 1|＋|PF 2|＝2a .(e 为椭圆的离心率)

(2)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ.

(3)S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝b 2tan θ

2

＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2取得最大值，为bc .

(4)焦点三角形的周长为2(a ＋c )． 双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1)若双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则渐近线的方程为x2a2－y2b2＝0，即y ＝±b a x .

(2)若渐近线的方程为y ＝±b a x (a ＞0，b ＞0)，即x a ±y b ＝0，则双曲线的方程可设为x2a2－y2

b2

＝λ.

(3)若所求双曲线与双曲线

x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有公共渐近线，其方程可设为x2a2－y2b2

＝λ(λ＞0，焦点在x 轴上；λ＜0，焦点在y 轴上)．

双曲线常用的结论

(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .

(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .

(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为

2b2

a

，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .

(4)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则k P A ·k PB ＝

b2a2

，S △PF 1F 2＝

b2

tan θ2

，其中θ为∠F 1PF 2.

(5)P 是双曲线

x2a2

－

y2b2

＝1(a ＞0，b ＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内

切圆的圆心，则圆心I 的横坐标恒为a .

抛物线焦点弦的相关结论

设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，α为直线AB 的倾斜角，则

(1)焦半径|AF |＝x 1＋p 2＝p 1－cosα，|BF |＝x 2＋p 2＝p

1＋cosα

.

(2)x 1x 2＝p2

4

，y 1y 2＝－p 2.

(3)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝

2p

sin2α

.