3.2.3 直线的一般式方程

2．直线 x＋y－1＝0 的倾斜角为( A．45° C．135°
) B．60° D．30°
3．直线 5x－ 3y＋10＝0 在 x 轴上的截距等于( ) A．5 B．－ 3 10 C． 3 3 D．－2
2
4．直线 l 过点(－1，2)且与直线 2x－3y＋4＝0 垂直，则 l 的方程是( A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0 C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
9．求满足下列条件的直线的方程： (1)经过点 A(3，2)，且与直线 4x＋y－2＝0 平行； (2)经过点 C(2，－3)，且平行于过点 M(1，2)和 N(－1，－5)的直线； (3)经过点 B(3，0)，且与直线 2x＋y－5＝0 垂直．
3
10．设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程； (2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围．
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m≠0 则 2 ⇒m≠0. m ＋m≠0 答案：0 7． (2014· 临沂高一检测)直线 3x－2y＋6＝0 的斜率为________， 在 y 轴上的截距是________． 解析：由 3x－2y＋6＝0 得，
3 y＝ x＋3， 2 3 故其斜率为 ，在 y 轴上的截距为 3. 2 3 答案： 3 2 8 ．已知直线 l 的倾斜角为 60° ，在 y 轴上的截距为－ 4 ，则直线 l 的点斜式方程为 ________________； 截距式方程为__________________； 斜截式方程为__________________； 一般式方程为__________________． 解析：直线 l 的斜率 k＝tan 60° ＝ 3，过定点(0，－4)， 故点斜式方程为 y＋4＝ 3(x－0)， 截距式方程为 x y ＋ ＝1， 4 －4 3
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斜截式方程为 y＝ 3x－4， 一般式方程为 3x－y－4＝0. 答案：y＋4＝ 3(x－0) x y ＋ ＝1 4 －4 3
y＝ 3x－4 3x－y－4＝0 9．求满足下列条件的直线的方程： (1)经过点 A(3，2)，且与直线 4x＋y－2＝0 平行； (2)经过点 C(2，－3)，且平行于过点 M(1，2)和 N(－1，－5)的直线； (3)经过点 B(3，0)，且与直线 2x＋y－5＝0 垂直． 解：(1)法一：由已知直线斜率为－4， ∴所求直线方程为 y－2＝－4(x－3)， 即 4x＋y－14＝0. 法二：设所求直线方程为 4x＋y＋m＝0， 由于点 A(3，2)在此直线上， ∴4× 3＋2＋m＝0，∴m＝－14. ∴所求直线方程为 4x＋y－14＝0. (2)设直线的斜率为 k，则 k＝kMN＝ 7 ∴直线方程为 y＋3＝ (x－2)， 2 即 7x－2y－20＝0. (3)法一：已知直线斜率为－2，
直线方程五种形式的转化 把直线 l 的一般式方程 x－2y＋6＝0 化成斜截式，求出直线 l 的斜率和它在 x 轴与 y 轴上的截距，并画出图形．
2．求下列直线的斜率以及在 y 轴上的截距，并画出图形． x y (1) － ＝1； 4 5 (2)x＋2y＝0； (3)7x－6y＋4＝0.
1
1 当 a 为何值时，直线 ax＋3y＋1＝0 与直线(a－1)x＋(a＋ )y－1＝0 垂直？ 3
7
) 3 1 B．y＝ x＋ 2 2 2 D．y＝ x＋1 3
D．－2
)
A．3x＋2y－1＝0 C．2x－3y＋5＝0
B．3x＋2y＋7＝0 D．2x－3y＋8＝0
2 解析：选 A．因为直线 2x－3y＋4＝0 的斜率为 ， 3 3 则 l 的斜率为－ ， 2 3 故直线 l 的方程为 y－2＝－ (x＋1)， 2 即 3x＋2y－1＝0. 5．直线 l1：ax－y＋b＝0，l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的图象只可能是( )
已知直线 l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论 a 为何值，直线 l 恒过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求 a 的取值范围．
A 组训练
1．将方程 3x－2y＋1＝0 化成斜截式方程为( 2 1 A．y＝ x＋ 3 2 3 C．y＝ x＋1 2 ) 3 1 B．y＝ x＋ 2 2 2 D．y＝ x＋1 3
B 组训练
1．已知直线经过 A(a，0)，B(0，b)和 C(1，3)三个点，且 a，b 均为正整数，则此直线方程 为( ) A．3x＋y－6＝0 B．x＋y－4＝0 C．x＋y－4＝0 或 3x＋y－6＝0 D．无法确定
2．已知 A(0，1)，点 B 在直线 l1：x＋y＝0 上运动，当线段 AB 最短时，直线 AB 的一般式 方程为______________．
3．直线 ax－6y－12a＝0(a≠0)在 x 轴上的截距是它在 y 轴上的截距的 3 倍，求 a 的值及直线 的斜率．
4．求证：不论 m 取什么实数，直线(2m－1)x－(m＋3)y－(m－11)＝0 恒过定点，并求此定点 坐标．
4
3.2.3 直线的一般式方程参考答案
求直线方程的一般式 4 已知直线经过点 A(6，－4)，斜率为－ ，求直线的点斜式和一般式方程． 3 4 4 [解] 经过点 A(6，－4)，斜率等于－ 的直线的点斜式方程是 y＋4＝－ (x－6)． 3 3 化为一般式得 4x＋3y－12＝0. 1．根据下列条件写出直线的方程，并把它化成一般式． (1)经过点 B(4，2)，平行于 y 轴； (2)经过点 P1(－2，3)，P2(－4，5)； 3 (3)在 x 轴，y 轴上的截距分别是－3， . 2 解：(1)∵直线平行于 y 轴， ∴x＝4，化为一般式得 x－4＝0. y－3 x－（－2） (2)由两点式得 ＝ ， 5－3 －4－（－2） 化为一般式得 x＋y－1＝0. x y (3)由截距式得 ＋ ＝1， －3 3 2 化为一般式得 x－2y＋3＝0. 直线方程五种形式的转化 把直线 l 的一般式方程 x－2y＋6＝0 化成斜截式，求出直线 l 的斜率和它在 x 轴与 y 轴上的截距，并画出图形． [解] 将原方程移项，得 2y＝x＋6，两边除以 2， 1 1 得斜截式 y＝ x＋3.因此，直线 l 的斜率 k＝ ， 2 2 它在 y 轴上的截距是 3. 在直线 l 的方程 x－2y＋6＝0 中，
解析：选 B．因为 ab≠0，则 ①当 a>0，b>0 时，其图象可能为：
此时没有合适的． ②当 a>0，b<0 时，其图象为：
因此 B 适合． ③当 a<0，b>0 时，其图象为：
无合适的． ④当 a<0，b<0 时，其图象为：
也没有合适的． 综上，选 B． 6．方程 mx＋(m2＋m)y＋4＝0 表示一条直线，则实数 m≠________． 解析：若 mx＋(m2＋m)y＋4＝0 表示一条直线，
3.2.3 直线的一般式方程
求直线方程的一般式 4 已知直线经过点 A(6，－4)，斜率为－ ，求直线的点斜式和一般式方程． 3
1．根据下列条件写出直线的方程，并把它化成一般式． (1)经过点 B(4，2)，平行于 y 轴； (2)经过点 P1(－2，3)，P2(－4，5)； 3 (3)在 x 轴，y 轴上的截距分别是－3， . 2
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已知直线 l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论 a 为何值，直线 l 恒过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求 a 的取值范围． [解] (1)证明：将直线 l 的方程化为点斜式 3 1 y－ ＝a(x－ )， 5 5 1 3 则 l 的斜率为 a，且过定点 A( ， )， 5 5 1 3 而点 A( ， )在第一象限，故不论 a 为何值， 5 5 直线 l 恒过第一象限． 3 －0 5 (2)由(1)知，直线 OA 的斜率 k＝ ＝3. 1 －0 5 要使 l 不经过第二象限， 需它在 y 轴上的截距不大于零， 即令 x＝0 时， a－3 y＝－ ≤0，则 a≥3， 5 即 a 的取值范围是[3，＋∞)．
5
5 解：(1)方程化为斜截式得 y＝ x－5， 4 5 ∴直线的斜率为 ，在 y 轴上的截距为－5，如图 1. 4
1 (2)方程化为斜截式得 y＝－ x， 2 1 ∴直线的斜率为－ ，在 y 轴上的截距为 0，如图 2. 2 7 2 (3)方程化为斜截式得 y＝ x＋ ， 6 3 7 2 ∴直线的斜率为 ，在 y 轴上的截距为 ，如图 3. 6 3 1 当 a 为何值时，直线 ax＋3y＋1＝0 与直线(a－1)x＋(a＋ )y－1＝0 垂直？ 3 1 [解] 法一：因为直线 ax＋3y＋1＝0 与直线(a－1)x＋(a＋ )y－1＝0 垂直， 3 1 ① 所以 a(a－1)＋3(a＋ )＝0 ，5 分 3 即 a2－a＋3a＋1＝0，8 分 所以 a2＋2a＋1＝0，解得 a＝－1.12 分 1 ② 法二：当 a＝－ 时 ， 3 1 直线 ax＋3y＋1＝0 为－ x＋3y＋1＝0， 3 1 3 直线(a－1)x＋(a＋ )y－1＝0 为 x＝－ ， 3 4 显然两直线不垂直． 1 故 a＝－ 应舍去.5 分 3 1 ② a 当 a≠－ 时 ，直线 ax＋3y＋1＝0 的斜率为－ ， 3 3 1－a 1 直线(a－1)x＋(a＋ )y－1＝0 的斜率为 ， 3 1 a＋ 3 a 1－a 当两直线垂直时，有－ × ＝－1， 3 1 a＋ 3 解得 a＝－1，10 分 故当 a＝－1 时，两直线垂直.12 分
)
5．直线 l1：ax－y＋b＝0，l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的图象只可能是(
)
6．方程 mx＋(m2＋m)y＋4＝0 表示一条直线，则实数 m≠________．
7．直线 3x－2y＋6＝0 的斜率为________，在 y 轴上的截距是________．
8 ．已知直线 l 的倾斜角为 60° ，在 y 轴上的截距为－ 4 ，则直线 l 的点斜式方程为 ________________； 截距式方程为__________________； 斜截式方程为__________________； 一般式方程为__________________．
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2－（－5） 7 ＝ . 1－（－1） 2
1 ∴所求直线斜率为 . 2 1 ∴所求直线方程为 y＝ (x－3)，即 x－2y－3＝0. 2 法二：由已知设所求的直线方程为 x－2y＋m＝0. ∵点 B(3，0)在此直线上， ∴3－0＋m＝0， ∴m＝－3. ∴所求直线方程为 x－2y－3＝0. 10．设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程； (2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围． 解：(1)当直线过原点时，该直线在 x 轴和 y 轴上的截距为零，所以 2－a＝0， 所以 a＝2，直线 l 的方程为 3x＋y＝0； 当直线不过原点时，a≠2，由 a－2 ＝a－2， a＋1
令 y＝0，得 x＝－6，即直线 l 在 x 轴上的截距是－6. 由上面可得直线 l 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A(－6，0)，B(0，3)， 过点 A，B 作直线，就得直线 l 的图形．如图． 2．求下列直线的斜率以及在 y 轴上的截距，并画出图形． x y (1) － ＝1； 4 5 (2)x＋2y＝0； (3)7x－6y＋4＝0.
A 组训练
1．将方程 3x－2y＋1＝0 化成斜截式方程为( 2 1 A．y＝ x＋ 3 2 3 C．y＝ x＋1 2 解析：选 B．由 3x－2y＋1＝0 得， 3 1 y＝ x＋ ，故选 B． 2 2 2．直线 x＋y－1＝0 的倾斜角为( ) A．45° B．60° C．135° D．30° 解析：选 C．由 x＋y－1＝0 得直线的斜率为 k＝－1， 则倾斜角为 135° . 3．直线 5x－ 3y＋10＝0 在 x 轴上的截距等于( ) A．5 B．－ 3 10 C． 3 3 解析：选 D．令 y＝0 得 5x＋10＝0， x＝－2， 故直线 5x－ 3y＋10＝0 在 x 轴上的截距为－2. 4．直线 l 过点(－1，2)且与直线 2x－3y＋4＝0 垂直，则 l 的方程是(