高中数学选择性必修二 5 3 1函数的单调性(含答案)同步培优专练

专题5.3.1 函数的单调性

知识储备

1.函数的单调性与导数的关系 函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，

(1)若f ′(x )>0，则f (x )在区间(a ，b )内是单调递增函数； (2)若f ′(x )<0，则f (x )在区间(a ，b )内是单调递减函数； (3)若恒有f ′(x )＝0，则f (x )在区间(a ，b )内是常数函数．

讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.

2.常用结论汇总——规律多一点

(1)在某区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．

(2)可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．

能力检测

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单选题

1．（2020·全国高二课时练习）设函数()f x 的图象如图所示，则导函数()

f x 的图象可能为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】∵()f x 在(,1)-∞，(4,)+∞上为减函数，在(1,4)上为增函数， ∴当1x <或4x >时，()0f x '<；当14x <<时，()0f x '>．故选：C ．

2．（2020·全国高二专题练习）设奇函数()f x 在R 上存在导函数()'f x ，且在(0,)+∞上2

()f x x '<，

若33

1(1)()(1)3

f m f m m m ⎡⎤--≥--⎣⎦，则实数m 的取值范围为（ ） A ．11,22⎡⎤

-

⎢⎥⎣⎦

B ．11,,22

⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝

⎦⎣⎭

C ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝

⎦

D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭

【答案】D

【解析】

331

(1)()(1)3f m f m m m ⎡⎤--≥--⎣⎦， 即3

311(1)(1)()33

f m m f m m ≥----，

构造函数3

1()()3

g x f x x =-，

由题意知：在(0,)+∞上，2

()()0g x f x x '=-<'， 故()g x 在(0,)+∞上单调递减，

()f x 为奇函数，

()()()3311

()33

g x f x x f x x g x ∴-=-+=-+=-，

即()g x 为奇函数， 故()g x 在R 上单调递减，

因此原不等式可化为：()()1g m g m -≥，即1m m -≤，解得1

2

m ≥

.故选：D ．

3．（2020·全国高二课时练习）函数()sin 2,()3f x x xf f x π''

⎛⎫=+

⎪⎝⎭

为()f x 的导函数，令31

,log 22

a b ==，则下列关系正确的是（ ）

A ．()()f a f b <

B ．()()f a f b >

C ．()()f a f b =

D ．()()f a f b ≤

【答案】B

【解析】由题意得，()cos 23f x x f π'

'

⎛⎫=+

⎪⎝⎭，cos 2333f f πππ''⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，

解得132f π⎛⎫

'=-

⎪

⎝⎭

，所以()sin f x x x =-． 所以()cos 10f x x '

=-≤，所以()f x 为减函数．

因为331

log 2log 2

b a =>=

=，所以()()f a f b >，故选：B ． 4．（2020·全国高二课时练习）若函数()y f x =的导函数()y f x '

=的图象如图所示，则函数

()y f x =的图象可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】设导函数()y f x '

=的图象与x 轴交点的横坐标从左到右依次为123,,x x x ，其中

1320,0x x x <>>，

故()y f x =在()1,x -∞上单调递减，在()12,x x 上单调递增，在()23,x x 上单调递减，在()3,x +∞单

调递增．故选：D ．

5．（2020·全国高二课时练习）若函数()()3

2

30,f x ax x x b a b =+++>∈R 恰好有三个不同的单

调区间，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()()0,33,+∞ B ．[)3,+∞ C ．(]0,3 D ．()0,3

【答案】D

【解析】由题意得()()2

3610f x ax x a '=++>，

函数()f x 恰好有三个不同的单调区间，()f x '∴有两个不同的零点，

所以，361200

a a ∆=->⎧⎨>⎩，解得0<<3a .

因此，实数a 的取值范围是()0,3.故选：D.

6．（2020·全国高二课时练习）函数2

()ln f x x x =的单调递减区间为（ ）

A ．

B ．⎫

+∞⎪⎪⎝⎭

C ．)+∞

D ．0,e ⎛ ⎝⎭

【答案】D

【解析】由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，

21

()2ln 2ln (2ln 1)f x x x x x x x x x x

=⋅+⋅

=+=+'．

令()0f x '<，得2ln 10x ，解得0x <<

，

故函数2

()ln f x x x =的单调递减区间为0,e ⎛ ⎝⎭

．故选：D 7．（2020·江苏南通市·高三期中）设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若

()()1f x f x '+>，()02020f =，则不等式()20191x f x e ->+（其中e 为自然对数的底数）的解

集为（ ） A ．()(),00,-∞⋃+∞ B ．()

(),02019,-∞+∞

C ．()0,∞+

D ．()2019,+∞

【答案】C