高中数学选择性必修二 5 3 1函数的单调性(含答案)同步培优专练

合集下载

高中数学选择性必修二第5章 5 3 1函数的单调性

f′(x)
－
0
f(x) 单调递减 f(1)
(1，＋∞) ＋
单调递增
故函数 f(x)＝12x2－ln x 的单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0,1).
(2)f(x)＝x＋bx(b>0).
解函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， f′(x)＝x＋bx′＝1－xb2＝x12(x＋ b)(x－ b)，令 f′(x)＝0，解得 x＝ b或 x＝－ b.
f′(x)的正负 f′(x)>0 f′(x)<0
f(x)的单调性单调递_增___ 单调递_减___
思考如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？答案 f(x)是常数函数.
知识点二利用导数判断函数的单调性的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求出导数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x) 在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
(2)函数 y＝f(x)在定义域－32，3内可导，其图象如图，记 y＝f(x)的导函数为 y＝f′(x)，则不等式 f′(x)<0 的解集为_－__13_，__1__∪__(_2_,3_)_.
解析因为 y＝f(x)在区间－13，1和区间(2,3)上单调递减，所以在区间－13，1和区间(2,3)上 f′(x)<0.
解析由题图知当x∈(1,2)，x∈(4,5)时，f′(x)>0，所以在(1,2)，(4,5) 上，f(x)是单调递增，当x∈(－3，－2)时，f′(x)<0，所以在(－3，－2)上，f(x)是单调递减.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

5.3.1 函数的单调性与导数(重点练)高二数学十分钟同步课堂专练(人教A版选择性必修第二册)含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！5.3.1 函数的单调性与导数重点练一、单选题1．若()324f x x ax =-+在()0,2内单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．3a ³B ．3a =C ．3a £D ．0<<3a 2．若函数()1ln f x kx x x =-+在区间()1,+¥单调递增，则k 的取值范围是（）A ．1[,)2+¥B ．[1,)+¥C ．[2,)+¥D ．(,2]-¥-3．已知函数3()f x x x =+，则0a b +>是()()0f a f b +>的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x ¢+>，(0)4f =，则不等式()3x x e f x e ×>+ (其中e 为自然对数的底数)的解集为（）A ．(0)(0)-¥+¥，，U B ．(0)(3)-¥È+¥，，C ．(0)+¥，D ．(3)+¥，二、填空题5．已知函数()cos xf x e x =+，则使得()()21f x f x £-成立的x 范围是_______.6．已知函数32()1f x ax x =-+在(0,1)上有增区间，则a 的取值范围是_______.三、解答题7．已知函数()()ln x x x f x ax a R e +=-ò.（1）当1a e=时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.参考答案1．【答案】A【解析】()232f x x ax ¢=-，由()f x 在()0,2单调递减，∴()()0020f f ì££¢¢ïíïî，∴001240a £ìí-£î，∴3a ³.故选A2．【答案】C【解析】由()1ln f x kx x x =-+知，()211f x k x x¢=--，因为()f x 在()1,+¥上单调递增，所以()0f x ¢³在()1,+¥上恒成立，即2110k x x --³，则211k x x³+在()1,+¥上恒成立，令()211g x x x=+，因为()23120g x x x ¢=--<在()1,+¥上恒成立，所以()g x 在()1,+¥上单调递减，则()()12g x g <=，所以2k ³.故选C .3．【答案】C【解析】由题意可得：'2()3+1>0f x x =恒成立，所以函数()3+f x x x =在R 上递增，又()()()33()()f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以函数()f x 是奇函数，当 0a b +>时，即a b >-，所以()()()f a f b f b >-=-，即()()0f a f b +>；当()()0f a f b +>时，即()()()f a f b f b >-=-，所以a b >-，即0a b +>，所以“0a b +>”是“()()0f a f b +>”的充要条件.故选C.4．【答案】C【解析】令()()3x x g x e f x e =×--，则()()()[()()1]0x x x x g x e f x e f x e e f x f x ¢¢¢=×+×-=+->，所以()g x 在R 上单调递增，又因为00(0)(0)30g e f e =×--=，所以()0>g x Þ0x >，即不等式的解集是(0)+¥，，故选C5．【答案】11,3éù-êúëû【解析】函数()f x 的定义域为R ，()()()cos cos x x f x ex e x f x --=+-=+=，所以，函数()f x 为偶函数，当0x ³时，()cos x f x e x =+，则()sin 1sin 0x f x e x x ¢=-³-³，所以，函数()f x 在区间[)0,+¥为增函数，由()()21f x f x £-可得()()21fx f x £-，所以21x x £-，则有()2241x x £-，可得23210x x +-£，解得113x -££.因此，使得()()21f x f x £-成立的x 范围是11,3éù-êúëû.故填11,3éù-êúëû.6．【答案】2,3æö+¥ç÷èø【解析】由题得2()32f x ax x ¢=-，因为函数32()1f x ax x =-+在(0,1)上有增区间，所以存在(0,1)x Î使得()0f x ¢>成立，即23a x>成立，因为01x <<时，2233x >，所以23a >.故填2,3æö+¥ç÷èø7．【答案】（1）单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+¥；（2）1(0,e .【解析】（1）()f x 的定义域是(0,)+¥，当1a e =时，+ln ()x x x x f x e e=-，111+ln ()(ln 1)1()x x x e x x e e x x x x f x e e e +---++-¢=-=，当1x >时，0x e e x->，ln 10x x +->，所以()0f x ¢>；当01x <<时，0x e e x-<，ln 10x x +-<，所以()0f x ¢<，所以()f x 的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+¥.（2）函数()f x 有两个零点等价于方程()0f x =有两个不等的实数根，又函数()f x 的定义域为(0,)+¥，所以ln xx x a xe +=有两个不等的实数跟，设ln ()x x x g x xe +=，则21(1)(ln )(1)()()x xx xe x x x e x g x xe +-++¢=，2(1)(1ln )xx x x x e +--=，设()1ln h x x x =--，易知()h x 在(0,)+¥上单调递减，且(1)0h =，当(0,1)x Î时，()0h x >，()0g x ¢>，()g x 单调递增，当(1,)x Î+¥时，()0h x <，()0g x ¢<，()g x 单调递减，所以1()(1)g x g e£=，又0x ®时，()g x ®-¥，x ®+¥时，()0g x ®，所以实数a 的取值范围是1(0,e .。

高中数学选择性必修二精讲精炼 5 1 函的单调性(精讲)(含答案)

5.3.1 函数的单调性(精讲)考点一导数与单调性图像问题【例1】(2021·全国高二课时练习)()'f x是函数y＝f(x)的导函数，若y＝()'f x的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由导函数的图象可知，当x＜0时，()'f x＞0，即函数f(x)为增函数；当0＜x＜2时，()'f x＜0，即f(x)为减函数；当x＞2时，()'f x＞0，即函数f(x)为增函数.观察选项易知D正确.故选：D【一隅三反】1(2021·全国高二课时练习)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵函数f (x )在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数， ∴当x ＞0时，f ′(x )＜0，当x ＜0时，f ′(x )＜0.故选：D2．(2021·全国高二课时练习)如果函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么导函数y ＝()'f x 的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，只有选项A 满足．故选：A ． 3．(2021·西藏日喀则区南木林高级中学)如图所示是函数()f x 的导函数()'f x 的图象，则下列判断中正确的是( )A ．函数()f x 在区间(3,0)-上是减函数B ．函数()f x 在区间(3,2)-上是减函数C ．函数()f x 在区间(0,2)上是减函数D ．函数()f x 在区间(3,2)-上是单调函数【答案】A【解析】由函数()y f x =的导函数()'f x 的图像知，A ：(30)x ∈-，时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，故A 正确； B ：(32)x ∈-，时，()0f x '<或()0f x '>，所以函数()f x 先单调递减，再单调递增，故B 错误；C ：(02)x ∈，时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，故C 错误； D ：(32)x ∈-，时，()0f x '<或()0f x '>，所以函数()f x 先单调递减，再单调递增，不是单调函数，故D 错误.故选：A考点二无参单调性区间【例2】(2021·全国高二课时练习)求下列函数的单调区间.(1)f (x )＝x 3－3x ＋1；(2)y ＝x ＋2x.(3)32223y x x =-+3；(4)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2.【答案】(1)增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，减区间是(－1，1)；(2)增区间为(－∞，)和)，减区间为(，0)和(0(3)单调递增区间为(－ ∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)； (4)单调递增区间为3(,1)2--，1(,)2-+∞，单调递减区间为1(1,)2--.【解析】(1)()'f x ＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令()'f x >0，得x >1，或x <－1.令()'f x <0，得－1<x <1.∴f (x )的增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，减区间是(－1，1).(2)y '＝1－22x由y '>0，解得x <x 由y '<0<x (x ≠0).∴函数的增区间为(和)，减区间为(，0)和(0(3)函数的定义域为R.y ′＝2x 2－4x ＝2x (x －2)．令y ′＞0，则2x (x －2)＞0，解得x ＜0或x ＞2.所以函数的单调递增区间为(－ ∞，0)，(2，＋∞)．令y ′＜0，则2x (x －2)＜0，解得0＜x ＜2.所以函数的单调递减区间为(0，2)．(4) 函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的定义域为3(,)2-+∞.y ′＝223x +＋2x ＝246223x x x +++＝2(21)(1)23x x x +++.令y ′＞0，解得－32＜x ＜－1或x ＞－12.所以函数的单调递增区间为3(,1)2--，1(,)2-+∞.令y ′＜0，解得－1＜x ＜－12，所以函数的单调递减区间为1(1,)2--.【一隅三反】1(2021·全国高二单元测试)设a 为实数，函数32()(3)f x x ax a x =++-，且f x 是偶函数，则()f x 的单调递增区间为( ) A ．(0,)+∞ B ．(,1)-∞-，(1,)+∞ C ．(1,1)- D ．(3,)+∞【答案】B【解析】因为32()(3)f x x ax a x =++-，所以()2323f x x ax a '=++-，因为f x 是偶函数，所以()()f x f x ''-=对x ∈R 恒成立，即223()2()3323x a x a x ax a -+-+-=++-，即40ax =，所以0a =，所以()233f x x ='-，令0fx，解得1x >或1x <-，所以()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞．故选：B ．2．(2021·全国高二课时练习)函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A ．先增后减 B ．先减后增 C ．单调递增 D ．单调递减【答案】D【解析】f ′(x )＝－sin x －1，x ∈(0，π)，∴f ′(x )<0，则f (x )＝cos x －x 在(0，π)上单调递减.选：D3．(2021·绥德中学高二月考(理))若曲线()21x e f x ax -=+在点()()1,1f 处的切线过点()1,0-，则函数()f x 的单调递减区间为( ) A ．(),0-∞ B ．()0,∞+C ．()(),11,0-∞--D ．(),1-∞-，()1,0-【答案】D【解析】由题意得22(1)()(1)x ax a e f x ax -+-'=+，所以12(1)(1)e k f a -='=+，且()111ef a -=+．故函数()f x 在(1,()1f )处的切线为：211(1)(1)(1)y x e a e a -=-++，将点(1,0)-代入得1a =．则22()(1)x xe f x x -'=+，由()0f x '<得0x <且1x ≠-．故()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-，(1,0)-．故选：D ．4．(2021·全国)求下列函数的单调区间(1)f (x )＝211+-x x ；(2)y ＝12x 2－ln x ．(3)f (x )＝2x 3＋3x 2－36x ＋1；(4)f (x )＝sin x －x (0<x <π)．(5)()()22e xf x x x -=+；(6)()sin 2cos x f x x=+．【答案】(1)单调递增区间是(－∞，1和(1＋∞)；单调递减区间是(1，1)和(1，1) ；(2)单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0，1) ． (3)增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3，2) ； (4)单调递减区间为(0，π) ．(5)函数的单调递减区间为(,-∞，)+∞，单调递增区间为(；(6)单调递增区间为222,233ππk πk π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(k ∈Z )，单调递减区间242,233k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭(k ∈Z ).【解析】(1)f (x )的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，f ′(x )＝222(1)(1)(1)x x x x --+-＝2221(1)x x x ---＝2(1(1(1)x x x ⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎣⎦-．令f ′(x )>0，解得x >1或x <1f ′(x )<0，解得1<x <1或1<x <1．所以f (x )的单调递增区间是(－∞，1和(1＋∞)；单调递减区间是(11)和(1，1． (2)函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，又y ′＝(1)(1)x x x+-．若y ′>0，即(1)(1)0,0,x x x +->⎧⎨>⎩解得x >1；若y ′<0，即(1)(1)0,0,x x x +-<⎧⎨>⎩解得0<x <1．故函数y ＝12x 2－ln x 的单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0，1)． (3)()'f x ＝6x 2＋6x －36．由()'f x >0得6x 2＋6x －36>0，解得x <－3或x >2；由()'f x <0解得－3<x <2．故f (x )的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3，2)．(4)()'f x ＝cos x －1．因为0<x <π，所以cos x －1<0恒成立，故函数f (x )的单调递减区间为(0，π)，无增区间．(5)由题得函数的定义域为R .()()2()222x x f x x e x x e --'=+-+()22xx e -=--，令()0f x '>，即()220xe x --->，解得x <<令()0f x '<，即()220xe x ---<，解得x <x >故所求函数的单调递减区间为(,-∞，)+∞，单调递增区间为(．(6)由题得函数的定义域为R .()()()()()222cos cos sin sin 2cos 12cos 2cos x x x x x x f x x +--+==+'+令()0f x '>，得1cos 2x >-，即222233k x k ππππ-<<+(k ∈Z )，令()0f x '<，得1cos 2x <-，即242233k x k ππππ+<<+(k ∈Z )，故()f x 的单调递增区间为222,233ππk πk π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(k ∈Z )，单调递减区间242,233k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭(k ∈Z )．考点三已知单调性求参数【例3-1】(2021·河南高二期末)若函数()222ln f x x a x x=++在[]2,1上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．[)0,+∞ B ．(],0-∞C ．7,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．5,8ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】由()222ln f x x a x x =++，得()2222a f x x x x'=-++，由()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，得()22220a f x x x x '=-++≤在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即21a x x ≤-在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立.令()21g x x x =-，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()2120g x x x '=--<，∴()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，即()()min 10g x g ==，∴0a ≤，故a 的取值范围(],0-∞.故选：B .【例3-2】(2021·全国高二单元测试)已知函数21()2ln 2f x ax ax x =-+，则()f x 在(2,4)上不单调的一个充分不必要条件是( )A ．1,8a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭B ．[1,)a ∈+∞C ．(,0]a ∈-∞D ．(,1)a ∈-∞-【答案】D【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()21212ax ax f x ax a x x-+'=-+=，令2()21g x ax ax =-+，若()f x 在(2,4)上不单调，则函数2()21g x ax ax =-+与x 轴在(2,4)上有交点，又(0)(2)1g g ==，则(2)(4)0g g <，解得18a <-，故()f x 在(2,4)上不单调的一个充分不必要条件是(,1)a ∈-∞-．故选：D ．【一隅三反】1．(2021·重庆市广益中学校高二月考)若函数()2cos f x x a x =+在()0,π上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．[]22-,B ．(2,2)-C ．(),2-∞D ．(],2-∞【答案】D【解析】由()'2cos ()2sin f x x a x f x a x =+⇒=-，函数()2cos f x x a x =+在()0,π上单调递增，所以'()2sin 0f x a x =-≥在()0,π上恒成立，即2sin a x≤在()0,π上恒成立，因为()0,x π∈，所以sin (0,1]x ∈，因此22sin x ≥，要想2sin a x≤在()0,π上恒成立，只需2a ≤，故选：D 2．(2021·山西运城·高二期中(理))已知函数()ln 3f x ax x =++在区间()1,2上不单调，则实数a 的取值范围为( ) A ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．21,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由()11ax f x a x x+'=+=，①当0a ≥时函数()f x 单调递增，不合题意；②当0a <时，函数()f x 的极值点为1x a =-，若函数()f x 在区间()1,2不单调，必有112a <-<，解得112a -<<-.故选：C.3．(2021·宁夏大学附属中学高二月考)已知函数32()1f x x ax x =-+--在(,)-∞+∞上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(,-∞B ．⎡⎣C ．)+∞D ．(【答案】B【解析】由32()1f x x ax x =-+--，得'2()321f x x ax =-+-，因为函数32()1f x x ax x =-+--在(,)-∞+∞上是单调函数，所以'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立，因为'2()321f x x ax =-+-的图像开口向下，所以'()0f x ≥恒成立不可能，所以'()0f x ≤恒成立，所以2244(3)(1)4120a a ∆=-⨯-⨯-=-≤，解得a ≤ 故选：B4．(2021·江苏金湖·高二月考)函数21()9ln 2f x x x =-在区间(,1)m m +上单调递减，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．[0,2]C ．[0,1)D ．(0,2)【答案】B【解析】函数定义域是(0,)+∞，由题意9(3)(3)()x x f x x x x +-'=-=，03x <<时()0f x '<，3x >时，()0f x '>，所以()f x 的减区间是(0,3)，又(,1)(0,3)m m +⊆，所以013m m ≥⎧⎨+≤⎩，解得02m ≤≤．故选：B ．5．(2021·全国高二课时练习)若函数()312f x x x =-在区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．(][][),31,13,-∞-⋃-⋃+∞B ．()()3,11,3--⋃C ．()2,2-D ．不存在这样的实数k【答案】B【解析】由题意得，()23120x x f '=-=在区间()1,1k k -+上至少有一个实数根，而()23120x x f '=-=的根为2x =±，区间()1,1k k -+的长度为2，故区间()1,1k k -+内必含有2或2-．∴121k k -<<+或121k k -<-<+， ∴13k <<或31k -<<-，故选：B ．考点四利用单调性比较大小【例4】(1)(2021·全国高二单元测试)已知奇函数f (x )的导函数为()'f x ，当x ≠0时，x ()'f x +f (x )＞0，若a ＝1e f 1e ⎛⎫⎪⎝⎭，b ＝﹣e f (﹣e)，c ＝f (1)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．a ＜c ＜bD ．c ＜a ＜b(2)(2021·全国高二单元测试)函数()ln xf x x=，当01x <<时，下列式子大小关系正确的是( ) A ．()()()22f x f x f x <<B ．()()()22f x f x f x <<C ．()()()22f x f x f x <<D ．()()()22f x f x f x <<【答案】(1)C(2)C【解析】(1)令g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )+xf ′(x )＞0，所以g (x )为递增函数，因为e ＞1＞1e ，∴g (e)＞g (1)＞g (1e )，∴e f (e)＞f (1)＞1e f (1e)，又f (x )为奇函数，所以﹣e f (﹣e)＝e f (e)，∴b ＞c ＞a ，故选：C.(2)()2210x x x x x x -=-<⇒<，()()'2ln 10ln x f x x -=<，()f x 在()0,1上递减，所以()()2f x f x >.()()()()()22222222ln 20ln ln 2ln x x x x f x f x x x x --=-=<，所以()()22f x f x <，所以()()()22f x f x f x <<.故选：C 【一隅三反】1．(2021·全国高二课时练习)设函数()2sin f x x x =+，则( ) A ．()()12f f > B ．()()12f f < C ．()()12f f = D ．以上都不正确【答案】B【解析】由题可知()2sin ()f x x x x R =+∈，()2cos f x x '∴=+，又当x ∈R ，则1cos 1x -≤≤，()2cos 0f x x '∴=+>，故()f x 是R 上的增函数，故()()12f f <.故选：B.2．(2021·全国高二课时练习)(多选题)已知函数f (x )的导函数为()'f x ，且()()f x f x '<，对任意的x ∈R 恒成立，则( )A ．f (ln2)<2f (0)B ．f (2)<e 2f (0)C ．f (ln2)>2f (0)D ．f (2)>e 2f (0) 【答案】AB 【解析】依题意，令()()e x f xg x =，则()()()0e x f x f x g x '-=<，于是得()g x 在R 上单调递减，而ln2>0，2>0，则(ln 2)(0)g g <，(2)(0)g g <，即ln 20(ln 2)(0)(0)e e f f f <=，20(2)(0)(0)e ef f f <=，所以f (ln2)<2f (0)，f (2)<e 2f (0).故选：AB 3．(2021·全国高二课时练习)(多选题)已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (a )B ．f (d )>f (e )C ．f (a )>f (d )D ．f (c )>f (e )【答案】ABD 【解析】由题图可得，当x ∈(－∞，c )∪(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0，故f (x )在(－∞，c )，(e ，＋∞)上是增函数，在(c ，e )上是减函数，且a b c d e <<<<，所以f (b )>f (a )，f (d )>f (e )，f (c )>f (e ).故选：ABD4．(2021·全国高二课时练习)(多选题)已知定义在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的函数f (x )的导函数为()f x '，且()00f =，()()cos sin 0f x x f x x '+<，则下列判断中正确的是( )A ．64f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ln 03f π⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．43f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】CD 【解析】令()()cos f x g x x =，[0,)2x π∈，因为()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则2()cos ()sin ()0f x x f x x g x cos x '+'=<在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，故()g x 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，因为(0)0f =，则()(0)00cos 0f g ==，所以()()0cos f x g x x =≤在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，结合选项可知，由于64ππ<，所以()()64g g ππ>，()()f f ππ>，即()()64f f ππ>，故A 选项错误；因为13π>，则03ln π>，结合()g x 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，且()0g x ≤，可知03g ln π⎛⎫< ⎪⎝⎭，从而有()30cos 3f ln ln ππ<，由于0132ln ππ<<<，则cos 03ln π>，可得03f ln π⎛⎫< ⎪⎝⎭，故B 选项错误；又因为63ππ<，所以()()63g g ππ>()()312f f ππ>，即()()63f ππ，故C 选项正确；又因为43ππ<，所以()()43g g ππ>()()312f f ππ>，即()()43f ππ>，故D 选项正确．故选：CD ．考点五利用单调性解不等式【例5】(2021·全国高二课时练习)已知()f x 的定义域为()0,∞+，()f x '为()f x 的导函数，且满足()()f x xf x <-'，则不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是( )A ．()0,1B ．()2,+∞C ．()1,2D ．()1,+∞【答案】B【解析】构造函数()y xf x =，()0,x ∈+∞，则()()0y f x xf x +''=<，所以函数()y xf x =的图象在()0,∞+上单调递减．又因为()()()2111f x x f x +>--，所以()()()()221111x f x x f x ++>--，所以211x x +<-，解得2x >或1x <-(舍)．所以不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是()2,+∞．故选：B【一隅三反】1．(2021·全国高二单元测试)定义域为R 的函数()2(0x f x x a a =+>且1)a ≠，且()f x 的导函数()2f x '>，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1,)+∞C ．(2,)+∞D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由()2f x '>可知()20f x '->，设()()2F x f x x =-， ()0F x '∴>，()F x ∴是R 上的单调递增函数．由()2(0x f x x a a =+>且1)a ≠，可知()()2(0x F x f x x a a =-=>且1)a ≠，1a ∴>.故选：B ．2．(2021·全国高二单元测试)已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()0f x f x '->，2022(2022)e 0f -=，则不等式1ln 4f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭( ) A ．()6063e ,+∞ B ．()20220,e C ．()8088e ,+∞ D ．()80880,e【答案】D 【解析】由题可设()()e xf x F x =，因为()()0f x f x '->，则2()e ()e ()()()0e e x x x xf x f x f x f x F x ''--'==>，所以函数()F x 在R 上单调递增，又2022(2022)(2022)1e f F ==，不等式1ln 4f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭1ln 41ln 41e x f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭<， ∴1ln 1(2022)4F x F ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，所以1ln 20224x <，解得80880e x <<，所以不等式1ln 4f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭()80880,e ．故选：D.3．(2021·广西蒙山中学高二月考(理))已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)=20，且f (x )的导函数()'f x 满足2()62f x x '>+，则不等式f (x )>2x 3+2x 的解集为( )A ．{x |x >-2}B ．{x |x >2}C ．{x |x <2}D ．{x |x <-2或x >2}【答案】B【解析】令3()()22g x f x x x =--，因2()62f x x '>+，则2()()620g x f x x ''=-->，即()g x 在R 上单调递增，因3(2)(2)22220g f =-⋅-⋅=，则不等式f (x )>2x 3+2x 等价于()(2)g x g >，于是得x >2，所以原不等式的解集为{x |x >2}.故选：B4．(2021·山东任城·)已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x >'+，()03f =，则不等式()21x f x e >+的解集为( )A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．(),1-∞D ．()1,+∞ 【答案】A【解析】设()g x ＝()1x f x e -，则()g x '＝()()1xf x f x e '---， ∵()()1f x f x >'+，∴()()10f x f x '-->，∴()0g x '<，∴y ＝g (x )在定义域上单调递减，∵()21x f x e >+∴()g x ＝()12xf x e ->，又()0g ＝0(0)12f e -=，∴()()0g x g >， ∴0x <，∴()21x f x e >+的解集为(),0-∞．故选：A ．5(2021·全国高二课时练习)已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()()f x f x '<对任意的x ∈R 恒成立，则( )A ．()()1e 0f f <，()()20202020e 0f f >B ．()()1e 0f f >，()()20202020e 0f f >C ．()()1e 0f f >，()()20202020e 0f f <D ．()()1e 0f f <，()()20202020e 0f f <【答案】D【解析】令()()x f x g x =e ，则()()()()()()()2e e 0e e e x x x x x f x f x f x f x f x g x '''-'-⎡⎤'===<⎢⎥⎣⎦，所以函数()()x f x g x =e 在R 上单调递减，所以()()10g g <，()()20200<g g ，即()()110e 1f f <，()()202020200e 1f f <，故()()1e 0f f <，()()20202020e 0f f <．故选：D.。

高中数学选择性必修二 5 3 1 2函数单调性的应用(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)

5.3.1.2函数单调性的应用【基础自测】1．函数y ＝x －ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1,1] B ．(0，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．(0,1] 【答案】D【解析】函数的定义域为(0，＋∞)，令y ′＝1－1x ＝x －1x ≤0，解得x ∈(0,1]，又x >0，所以x ∈(0,1]．2．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．[－3，＋∞) C ．(－3，＋∞) D ．(－∞，－3) 【答案】B【解析】f ′(x )＝3x 2＋a ，由题意知3x 2＋a ≥0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，所以a ≥－3x 2在x ∈(1，＋∞)上恒成立．所以a ≥－3.3．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (e)<f (3)<f (2) B ．f (3)<f (e)<f (2) C ．f (e)<f (2)<f (3) D ．f (2)<f (e)<f (3) 【答案】D【解析】f ′(x )＝12x ＋1x所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0 所以函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数又2<e<3所以f (2)<f (e)<f (3)，故选D.4．函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是________．【答案】a ≥13【解析】f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1.由题意知3ax 2－2x ＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，(－2)2－4×3a ×1≤0，解得a ≥13.题型一利用导数求函数的单调区间【例1】求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 3－3x ＋8.(2)f (x )＝x ＋bx(b ≠0)．【解析】(1)函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )>0，则3x 2－3>0. 即3(x ＋1)(x －1)>0，解得x >1或x <－1.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，令f ′(x )<0，则3(x ＋1)(x －1)<0，解得－1<x <1. 所以函数f (x )的单调递减区间为(－1,1)． (2)函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋b x ′＝1－b x2， ①若b >0时，令f ′(x )>0，则x 2>b ，所以x >b 或x <－b . 所以函数的单调递增区间为(－∞，－b )和(b ，＋∞)．令f ′(x )<0，则x 20恒成立，所以函数的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．【方法归纳】(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“∪”连结，而只能用“逗号”或“和”字隔开．【跟踪训练1】求下列函数的单调区间： (1)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2；(2)y ＝12x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)．【解析】(1)函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的定义域为⎝⎛⎭⎫－32，＋∞. y ′＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3.令y ′>0，解得－32<x <－1或x >－12.所以函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－32，－1，⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 令y ′<0，解得－1<x <－12，所以函数的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－1，－12. (2)由于f (x )＝12x 2＋a ln x ，所以f ′(x )＝x ＋ax.①当a >0时，函数的定义域是(0，＋∞)，于是有f ′(x )＝x ＋ax>0，所以函数只有单调递增区间(0，＋∞)．②当a <0时，函数的定义域是(0，＋∞)，由f ′(x )＝x ＋ax >0，得x >－a ；由f ′(x )＝x ＋ax<0，得0<x <－a .所以当a <0时，函数的单调递增区间是(－a ，＋∞)，单调递减区间是(0，－a )．综上所述：当a >0时，f (x )只有单调递增区间(0，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调递增区间是(－a ，＋∞)，单调递减区间是(0，－a )．题型二利用导数求参数的取值范围【例2】若函数h (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)在[1,4]上单调递减，则a 的取值范围为________．【答案】⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)．【解析】因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时， h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．令G (x )＝1x 2－2x ，则由题意可知，只需a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716，又因为a ≠0.所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)．【变式训练1】本例中的条件“h (x )在[1,4]上单调递减”改为“h (x )在[1,4]上单调递增”，实数a 的取值范围如何？【解析】因为h (x )在[1,4]上单调递增，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0恒成立，即a ≤1x 2－2x 恒成立，又因为当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)，所以a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1]．【变式训练2】本例中的条件“h (x )在[1,4]上单调递减”改为“h (x )在[1,4]上存在单调递减区间”，实数a 的取值范围又如何？【解析】因为h (x )在[1,4]上存在单调递减区间，所以h ′(x )<0在[1,4]上有解，所以当x ∈[1,4]时，a >1x 2－2x有解，而当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)，所以a >－1，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．【变式训练3】本例中的条件“h (x )在[1,4]上单调递减”改为“h (x )在[1,4]上不单调，”则实数a 的取值范围又如何呢？【解析】因为h (x )在[1,4]上不单调，所以h ′(x )＝0在(1,4)上有解，即a ＝1x 2－2x ＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1在(1,4)上有解，令m (x )＝1x 2－2x ，x ∈(1,4)，则－1<m (x )<－716.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，－716. 【方法归纳】根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．【跟踪训练2】(1)若f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋3在区间[m ，m ＋4]上是单调函数，则实数m 的取值范围是________．【答案】(1)m ∈(－∞－5]∪[2，＋∞)【解析】(1)f ′(x )＝6x 2－6x －12＝6(x ＋1)(x －2) 令f ′(x )>0，得x >2或x <－1 令f ′(x )<0，得－1<x <2.∴f (x )在(－∞，－1]和[2，＋∞)上单调递增，在[－1,2]上单调递减．若f (x )在[m ，m ＋4]上单调 ∴m ＋4≤－1或m ≥2即m ∈(－∞－5]∪[2，＋∞)．(2)已知函数f (x )＝2ax －x 3，x ∈(0,1]，a >0，若f (x )在(0,1]上是增函数，则a 的取值范围为________．【解析】(2)由题意知f ′(x )＝2a －3x 2，且方程f ′(x )＝0的根为有限个，则f (x )在(0,1]上为增函数等价于f ′(x )＝2a －3x 2≥0对x ∈(0,1]恒成立．即a ≥32x 2对x ∈(0,1]恒成立，只需a ≥⎝⎛⎭⎫32x 2max 即可．由x ∈(0,1]得32x 2∈⎝⎛⎦⎤0，32，从而a ≥32.所以a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 题型三利用导数解决不等式问题探究1 比较大小【例3】(1)若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝⎛⎭⎫π6，则f ⎝⎛⎭⎫－π3与f ⎝⎛⎭⎫π6的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π6 B ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π6 C ．f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π6 D ．不确定【答案】(1)C【解析】(1)f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6∴f ′⎝⎛⎭⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6 ∴f ′⎝⎛⎭⎫π6＝sin π6＝12∴f ′(x )＝－sin x ＋1≥0∴f (x )＝cos x ＋x 是R 上的增函数又－π3<π6∴f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π6，故选C. (2)已知定义域为R 的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x <0时，xf ′(x )－f (x )<0.若a ＝f (e )e ，b ＝f (ln 2)ln 2，c ＝f (3)3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b <a <c B ．a <c <b C ．a <b <c D ．c <a <b【答案】(2)D【解析】(2)设g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，又当x <0时，xf ′(x )－f (x )<0，所以g ′(x )<0. 即函数g (x )在区间(－∞，0)内单调递减．因为f (x )为R 上的偶函数，且2<e<3，可得g (3)<g (e)<g (ln 2)，即c <a 0的解集为( )A ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－1,4)D ．(－4,1)【答案】(1)C【解析】(1)由题意可知，函数f (x )的定义域是R .因为f ′(x )＝1－cos x ≥0，所以函数f (x )是定义域上的单调递增函数．因为f (－x )＝－x －sin(－x )＝－(x －sin x )＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数．因为不等式f (1－x 2)＋f (3x ＋3)>0可转化为f (1－x 2)>－f (3x ＋3)＝f [－(3x ＋3)]，所以1－x 2>－(3x ＋3)，即x 2－3x －4<0，解得－1<x <4，即不等式的解集为(－1,4)，故选C.(2)设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集为________．【答案】(2)(－∞，－3)∪(0,3) 【解析】(2)令F (x )＝f (x )g (x )∵f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数 ∴F (x )＝f (x )g (x )是定义在R 上的奇函数又∵当x <0时F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0成立 ∴F (x )在区间(－∞，0)上是增函数，可得它在区间(0，＋∞)上也是增函数． ∵g (－3)＝0，可得F (－3)＝0,∴F (3)＝0.当x >0时，F (x )＝f (x )g (x )<0，即F (x )<F (3)，∴0<x <3 当x <0时，F (x )＝f (x )g (x )<0故不等式f (x )g (x )<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)．【方法归纳】(1)含有“f ′(x )”的不等关系，其隐含条件是挖掘某函数的单调性，通过对不等关系变形，发现函数． (2)常见的构造函数思路①已知f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )型；联想构造函数F (x )＝f (x )g (x )． ②已知“f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )”型：联想构造函数F (x )＝f (x )g (x ).③已知“f (x )＋f ′(x )”型：联想构造函数F (x )＝e x f (x )． ④已知“f ′(x )ln x ＋f (x )x”型：联想构造函数F (x )＝f (x )ln x ．【跟踪训练3】(1)若定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f ′(x )>f (x )，则当a >0时，f (a )与e a f (0)的大小关系为( ) A ．f (a )<e a f (0) B ．f (a )>e a f (0) C ．f (a )＝e a f (0) D ．不能确定【答案】(1)B【解析】(1)令F (x )＝f (x )e x ，则F ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x∵f ′(x )>f (x )，∴F ′(x )>0，∴F (x )在R 上单调递增．∴当a >0时，则有F (a )>F (0)，即f (a )e a >f (0)e即f (a )>e a f (0)，故选B.(2)设定义域为R 的函数f (x )满足f ′(x )>f (x )，则不等式e x －1f (x )<f (2x －1)的解集为________．【答案】(2)(1，＋∞)【解析】(2)设F (x )＝f (x )e x ，则F ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x∵f ′(x )>f (x )，∴F ′(x )>0，∴函数F (x )在R 上单调递增．∵e x －1f (x )<f (2x －1)，∴f (x )e x <f (2x －1)e2x －1即F (x )<F (2x －1) ∴x <2x －1，即x >1故不等式e x －1f (x )<f (2x －1)的解集为(1，＋∞)．【易错辨析】对函数单调递增(减)的充要条件理解不透致错【例5】已知函数f (x )＝2ax 3＋4x 2＋3x －1在R 上是增函数，则实数a 的取值范围为________【答案】[89，＋∞)【解析】f ′(x )＝6ax 2＋8x ＋3.∵f (x )在R 上是增函数，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立，即6ax 2＋8x ＋3≥0在R 上恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧64－72a ≤0，a >0，解得a ≥89.经检验，当a ＝89时，只有个别点使f ′(x )＝0，符合题意．∴当a ≥89时，f (x )在R 上单调递增．一、单选题1．已知函数()()331132ln 1222x t x a f t x x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭，若对任意的正实数t ，()f x 在R 上都是增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．16,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【分析】由()0f x '≥在R 上恒成立，整理成二次项系数为正的二次三项式，则其0∆≤对0t >恒成立，分离参数后，求出关于t 的函数的最小值，即得a 的范围．【解析】由题意223313()(2)(ln 1)2222f x x t x t a '=-+-+-0≥在x ∈R 上恒成立，其中R t ∈，整理得2225(4ln 1)4(ln 1)04x t t x t t a -+-++--≥对R x ∈恒成立，所以222(4ln 1)5[4(ln 1)]0t t t t a ∆=+--+--≤对0t >恒成立， 222544(ln 1)8(ln 1)4(ln 1)a t t t t t t ≤+---=-+，令()ln 1g t t t =-+，11()1t g t t t-'=-=，01t <<时，()0g t '<，()g t 递减，1t >时，()0g t '>，()g t 递增，所以min ()(1)2g t g ==，所以24(ln 1)t t -+的最小值是16，516,a ≤ 所以165a ≤．故选：D ．2．已知数列{}{}{}{}n n n n a b c d 满足：11,!,,nnn n n n a n b n c n d n====.则对于任意正整数n >100，有（） A ．22n n n n a a b b -<- B ．22n n n n b b c c -<- C ．22n n n n c c d d -<- D ．22n n n n a a d d -<-【答案】C 【分析】根据题意，可知2220,0,0n n n n n n a a b b d d >---><，即可排除B 、D,对于A 选项，对2n n b b -进行放缩，即可判断正误，对于C 选项，由22n n n n c c d d -<-得，11221(2)()122nn n n n ⎡⎤<-⎢⎥⎣⎦，转化为121()122n n n >+，再证12112ne n>+，即可判断正确.【解析】解：易知2220,0,0n n n n n n a a b b d d >---><，下证ln xx的单调性: （令ln ()xf x x=，则()21ln 'x f x x -=，当100n >时，'()0f x <，ln n n 单调递减）当100n >时，ln xx单调递减，则ln x x e 单调递减，则1x x 也单调递减，故20n n c c -<，于是B 、D 不成立.对于A,()[]222!(12)(1)2)(2)n n n n n n n b n n b n b n ==⨯⨯⨯+-⨯⨯<⨯<()22221242n n n n nn nn n n n n n n a a ⎛⎫=⋅<-=-= ⎪-⎝⎭，故A 错. 对于C ，要证：1111222221(2)(2)()122n n n n n nn n n d d c c n n n n⎡⎤-=<-=-=-⎢⎥⎣⎦，由12(2)1nn >，只需证 121()122n n n>+.由1002n e >>知，只需证11221()122n n n e n>>+得证.下证12112nen>+，令 ()1,'()1,x x g x e x g x e =--=- 当0x <时，)'(0g x <，()g x 单调递减，当 0x >时，'()0g x >，()g x 单调递增，所以()(0)0g x g ≥=，即1xe x ≥+恒成立，当1x =取等号.又112n ≠，故12112n e n>+. 故选：C.3．已知()cos 2sin f x x x =+，则下列函数中在R 上单调增的是( ) A ．()y f x x =+ B ．2()y f x x =+C ．3()y f x x =+D ．4()y f x x =+【答案】C 【分析】对于选项ABD ：对函数求导，求出sin 2cos x x -+的范围，判断导函数是否有变号零点即可求解；对于选项C ：对函数求导，通过分类讨论自变量的取值范围，来确定导函数的符号，进而即可出答案. 【解析】对于选项A ：因为()cos 2sin y f x x x x x =+=++，所以'sin 2cos 1)1[1]y x x x ϕ=-++=++∈，因为10<10，从而'sin 2cos 1y x x =-++在R 上有变号零点，从而()y f x x =+在R 上不是单调递增的，故A 错误；对于选项B ：由题意可知，''2')sin 2(o 2)s (c y f x x x x x =-++=+，因为sin 2cos )[x x x ϕ-+=+∈，2(,)x ∈-∞+∞，所以'sin 2cos 2x y x x =-++必有变号零点，从而2()y f x x =+在R 上不是单调递增的，故B 错误；对于选项C ：由题意，''3'2()()sin 2cos 3y f x x x x x =+=-++，由sin 2cos )[x x x ϕ-+=+∈，故对自变量x 分类讨论：①当[0,]4x π∈时，cos sin 0x x ≥≥，故'2sin 2cos 30y x x x =-++>；②当(,]42x ππ∈时，2233()14x π>⨯>，即23sin 0x x ->，从而'2sin 2cos 30y x x x =-++>；③当(,)2x π∈+∞时，2233()2x π>⨯>'2sin 2cos 30y x x x =-++>；④当[,0)2x π∈-时，sin 0x ->，cos 0x ≥，230x >，所以'2sin 2cos 30y x x x =-++>，⑤当(,)2x π∈-∞-时，因为2233()2x π>⨯->'2sin 2cos 30y x x x =-++>，综上所述，对于x R ∀∈，'2sin 2cos 30y x x x =-++>，从而3()y f x x =+在R 上单调增；故C 正确；对于选项D ：由题意，'4'3')(sin 2c )o 4(s y x x x f x x =-++=+，因为sin 2cos )[x x x ϕ-+=+∈，34(,)x ∈-∞+∞，所以3sin 2cos 4y x x x =-++'在R 上有变号零点，从而4()y f x x =+在R 上不是单调递增的，故D 错误. 故选：C.4．已知函数()41sin 122x x f x e e x π+-=-++实数a ，b 满足不等式()()312f a b f a ++-<，则下列不等式成立的是（） A ．43a b +>- B ．43a b +<- C ．21a b +>- D ．21a b +<-【答案】B 【分析】设41()e e sin 22x x g x x π+-=-+,则()()1f x g x =+,研究()g x 的对称性和单调性即可.【解析】设41()ee sin 22x x g x x π+-=-+，则()()1f x g x =+.(3)(1)2f a b f a ++-<即(3)(1)0g a b g a ++-<. 因为4411(4)e e sin 2e e sin ()2222x x x x g x x x g x πππ-+-+⎛⎫--=-+--=--=- ⎪⎝⎭.即函数()g x 关于(2,0)-对称.442111()e e cos 2e e cos 2e cos 0424242x x x g x x x x ππππππ+-+'=++⋅=+>所以()g x 是增函数, 因为(3)(1)0g a b g a ++-<. 所以(3)(1)(3)g a b g a g a +<--=--. 则33a b a +<--,得43a b +<-故选：B 【点睛】关键点点睛:根据条件判断函数的对称性和单调性是解决本题的关键. 5．已知数列{}n a 满足21e1n a n a -+=+（*n ∈N ，e 为自然对数的底数），且对任意的0M >都存在*n ∈N ，使得2n a M -<成立，则数列{}n a 的首项1a 须满足（） A ．11a ≤ B ．112a ≤≤ C ．12a ≤ D ．12a ≥【答案】C 【分析】先判断数列{}n a 的单调性，再根据选项作取舍. 【解析】设()1x f x e x =--，令()10xf x e '=-=，得到0x =.当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.故()(0)0f x f ≥=，即1x e x ≥+（当且仅当时0x =取等号）. 故21e1211n a n n a a -+=+≥-++（当且仅当时2n a =取等号）.即1n n a a +≥.要使对任意的0M >都存在*n ∈N ，使得2n a M -<成立，显然12a =时，2n a =，一定能满足题意；当12a >时，2n a >，如图此时不满足题意；当12a <时，2n a <，如图此时满足题意；综上，12a ≤. 故选：C6．已知212()2,,[1,)f x x ax x x ∀∞=+-∈+，若12x x <，恒有()()()211212x f x x f x a x x -<-，则实数a 的取值范围是（） A ．(,3]-∞ B ．(,4]-∞C ．70,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．[1,5]【答案】A 【分析】由已知得()()1212+<+f x a a f x x x ，令()22+-+=x a xx x ag ，可得()g x 是单调递增函数，根据双勾函数的性质可求实数a 的取值范围. 【解析】由()()()211212x f x x f x a x x -<-，得()()1212+<+f x a a f x x x ，令()()222a g x x f x a x ax x a x xa ++--=++==+，则12,[1,)x x ∀∈+∞，且12x x <，恒有()()1212+<+f x a a f x x x ，所以()g x 是单调递增函数，当2a ≤时，()g x 在[1,)+∞为增函数，故符合；当2a >1，故23a <≤ 综上，3a ≤，故选：A.7．关于函数()cos xf x ae x =-，(),x ππ∈-，下列说法错误的是（）A ．当1a =-时，函数()f x 在(),ππ-上单调递减B ．当1a =时，函数()f x 在(),ππ-上恰有两个零点C ．若函数()f x 在(),ππ-上恰有一个极值，则0a =D ．对任意0a >，()0f x ≥恒成立【答案】D 【分析】分别在0x π-<≤和0πx <<得到()0f x '<，由此可知A 正确；在平面直角坐标系中作出x y e =与cos y x =图象，由图象可确定B 正确；将问题转化为sin x x a e =-在(),ππ-上恰有一个解，令()sin xxg x e =-，利用导数可确定()g x 单调性并得到其图象，数形结合可确定0a =，C 正确；令1a =，由B 中结论可确定D 错误. 【解析】对于A ，()cos x f x e x =--，则()sin xf x x e '=-，当0x π-<≤时，sin 0x ≤，0x e >，()0f x '∴<，()f x ∴单调递减；当0πx <<时，sin 1x ≤，e 1x >，()0f x '∴<，()f x ∴单调递减；综上所述：()f x 在(),ππ-上单调递减，A 正确；对于B ，()cos xf x e x =-，令()0f x =，得：cos x e x =；在平面直角坐标系中，作出x y e =与cos y x =的图象如下图所示，由图象可知：当x ππ-<<时，x y e =与cos y x =有且仅有两个不同交点，∴函数()f x 在(),ππ-上恰有两个零点，B 正确；对于C ，由()cos x f x ae x =-得：()sin xf x ae x '=+，若()f x 在(),ππ-上恰有一个极值，则()f x '在(),ππ-上恰有一个变号零点，即sin xxa e =-在(),ππ-上恰有一个解，令()()sin x xg x x eππ=--<<，则()cos sin 4xxx x x g x e e π⎛⎫- ⎪-+⎝⎭'==；当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0g x '>；当3,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<；()g x ∴在3,4ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在443,ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又()0g π-=，()00g =，()0g π=，可得()g x 大致图象如下，若sin xxa e =-在(),ππ-上恰有一个解，则0a =，此时函数()f x 在(),ππ-上恰有一个极值，C 正确；对于D ，当1a =时，由B 选项可知，()0,0x π∃∈-，使得00cos x ex =，当()0,0x x ∈时，cos x ex <，即()cos 0xf x e x =-<，D 错误.故选：D.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数判断函数单调性、零点个数和极值的问题；根据极值点个数求解参数值的常用方法是通过分离变量的方式将问题转化为方程解的个数或两函数交点个数问题，通过数形结合的方式来解决. 8．已知函数2()1x a f x x -=+，设12,x x 为方程1()2f x x =的两个非零实数根，若函数()f x 在区间11[,]22-上是增函数，则12x x -的取值范围是（） A． B ．5[2,]2C．[1,D ．5[1,]2【答案】B 【分析】根据函数()f x 在区间11[,]22-上是增函数，则222(21)()0(1)x ax f x x ---=≥+'成立，即2()210g x x ax =--≤在11[,]22x ∈-上恒成立求得a 的范围，然后12,x x 为方程1()2f x x=的两个非零实数根求解.【解析】因为函数()f x 在区间11[,]22-上是增函数，所以()()()()()()'22'22222()1(1)2111x a x x a x x ax f x x x -+--+---==≥++'成立，即2()210g x x ax =--≤在11[,]22x ∈-上恒成立，∵g （0）=-1<0，结合二次函数y =g （x ）的图象，只需11()102411()1024g a g a ⎧=--≤⎪⎪⎨⎪-=+-≤⎪⎩，解得：3344a -≤≤，方程22121012x a x ax x x-=⇔--=+有两个非零实根，则2(2)40a ∆=-+>，且12122,1x x a x x +==-，125[2,]2x x ∴-====，故选：B二、多选题9．（多选）已知函数()ln xf x x=，则（） A ．()f x 在e x =处取得极大值 B ．()f x 有两个不同的零点 C ．()f x 的极小值点为e x = D．()2ff f <<【答案】AD 【分析】()f x 的定义域为()0,∞+，求()f x '判断单调性，求得极值可判断A ，C ；根据单调性以及()10f =可判断B 、D ，进而可得正确选项. 【解析】由题意可得函数的定义域为()0,∞+，由()ln x f x x=可得()221ln 1ln ⋅--'==x xx x f x x x ，令()0f x '=，解得：e x =当0e x <<时，()0f x '>，则()f x 在()0,e 上单调递增；当e x >时，()0f x '<，则()f x 在()e,+∞上单调递堿．所以当e x =时，函数()f x 取得极大值为()1e ef =，无极小值，故选项A 正确，选项C 不正确；因为()ln1101f ==，且()f x 在()0,e 上单调递增，所以函数()f x 在()0,e 上有一个零点．当e x ≥时，ln 0x >，0x >，所以()0f x >，此时无零点．综上所述：()f x 有一个零点，故B 不正确；e <<<，()f x 在()0,e上单调递增，所以()2f f f <<，故选项D 正确．故选：AD ．10．函数()ln f x x x =，()()f x g x x'=，下列命题中正确的是（）A ．若直线y kx =与曲线()g x 相切，则12k e=B ．当211x x e>>时，有()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+C ．函数()g x 有两个零点D ．若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则1m ≥ 【答案】BD 【分析】对于A ，通过求曲线()g x 过原点的切线方程，可以直接求出k .对于B ，首先当211x x e>>时，将不等式()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+变形为()()12f x f x <.再通过求导，判断()f x 在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调性即可证得.对于C ，令()0g x =，方程的解的个数即为函数()g x 零点个数. 对于D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2ln 2mh x x x x =-，用导数研究单调性. 【解析】对于A ，由题意得()1ln xg x x+=，设过原点的直线与曲线()g x 的切点为()00,x y ，则0001ln x y x +=，又()2ln x g x x -'=所以切线斜率为020ln x k x -=，又因为切线过原点，所以切线斜率还可以表示为002001ln y x k x x +==，所以0022001ln ln x x x x +-=，解得01ln 2x =-，120x e -=，所以2e k =，故A 错误.对于B ，首先当211x x e>>时，将不等式()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+变形为()()()()121122x x f x x x f x ->-，再由211x x e>>可得120x x -<，进一步化简不等式可得()()12f x f x <.所以将问题转化为，当211x x e >>时，()()12f x f x <.又()1ln f x x '=+，令()0f x '>解得1x e >，所以()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，所以211x x e>>时，()()12f x f x <成立，故B 正确.对于C ，由题意得()1ln xg x x+=，令()0g x =，则1ln 0x +=，解得1x e -=，只有一个解，所以函数()g x 只有1个零点，故C 错误.对于D ，若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，即22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，构造函数()2ln 2m h x x x x =-，()()12h x h x >，对任意的120x x >>恒成立，故()h x 在()0,∞+单调递增，则()ln 10h x mx x '=--≥，()0,x ∈+∞恒成立，也即ln 1x m x+≤在区间()0,∞+恒成立，即()max 1g x m =≤，故D 正确. 故选：BD.11．若实数a b <，则下列不等式成立的是（） A ．若1a >，则log 2a ab > B ．224555baa⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．若0a >，则2211b a a b>++ D ．若()5,,1,33m a b >∈，则()()3322103a b m a b a b ---+->【答案】ACD 【分析】根据对数函数的单调性得到A 正确，取0a =得到B 错误，构造()3g x x x =+得到函数单调递增得到C 正确，构造函数()3213f x x mx x =-+得到函数单调递减得到D 正确，得到答案.【解析】log log log 1log 2a a a a ab a b b =+=+>，A 正确；取0a =，则24551a a⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==，B 错误；要使2211b a a b >++，即33b b a a +>+，()3g x x x =+，则()2310g x x '=+>，函数单调递增，故()()g b g a >，即33b b a a +>+，故C 正确；设()3213f x x mx x =-+，则()221f x x mx =-+'，二次函数对称轴为x m =，()1220f m '=-<，()31060f m '=-<，故()2210f x x mx '=-+<在()1,3上恒成立.故函数()f x 单调递减，故()()f a f b >，即()()3322103a b m a b a b ---+->，D 正确. 故选：ACD.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．已知实数()()1,0ln 1,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩，若关于x 的方程()()2340f x f x t -+=有四个不同的实数根，则t 的取值范围为___________. 【答案】[)0,1 【分析】画出()f x 的图象，根据图象特点，要想方程()()2340f x f x t -+=有四个不同的实数根，需要令()f x m =，这样2340m m t -+=有两个不同的实数根1m ，2m ，且11m >，201m ≤<，才会有四个交点. 【解析】当0x ≤时，()()ln 1f x x =-，单调递减，当0x >时，()1x e f x x -=，()()121x e x f x x --'=，当1x >时，0f x ，()1x e f x x-=单调递增，当01x <<时，0fx，()1x e f x x-=单调递减，在1x =时，()f x 取得最小值，()11f =画出()f x 的图象如图所示：令()f x m =，则方程为2340m m t -+=，要想方程()()2340f x f x t -+=有四个不同的实数根，结合()f x的图象可知需要满足：2340m m t -+=有两个不同的实数根1m ，2m ，且11m >，201m ≤<，令()234g m m m t =-+，则()()161201000t g g ∆=->⎧⎪<⎨⎪≥⎩ ，解得：01t ≤< t 的取值范围[)0,1故答案为：[)0,1 【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．13．已知函数321,0()5691,0xx f x x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-++>⎩，给出下列四个结论: ①函数()f x 在区间(1,1)-上单调递减； ②1和3是函数()f x 的极值点；③当[,3]x a ∈时，函数()f x 的值域是[1,5]，则11a -≤≤；④函数2()[()](1)()g x f x a f x a =-++的零点至少有2个，至多有6个．其中，所有正确结论的序号是______．【答案】②③④ 【分析】作出函数()f x 的大致图象，根据图象即可判断出①②③，对于④，[][][]2()()(1)()()1()g x f x a f x a f x f x a =-++=-⋅-的零点，等价于方程()1f x =和方程()f x a =的根的个数，对a 分类讨论，利用数形结合法即可判断出正误. 【解析】解：当0x >时，32()691f x x x x =-++，则2()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--'，令()0,f x '=，得1x =或3，所以当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,3)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(3,)x ∈+∞时，()0f x '>，单调递增，作出函数()f x 的大致图象，如下图所示：对于①，由图象得，()f x 在(1,1)-上先减后增，故①错误；对于②，由图象得，1x =是函数()f x 的极大值点，3x =是函数()f x 的极小值点，故②正确；对于③，当0x ≤时，令155x⎛⎫⎪⎭=⎝得1x =-，所以若当[],3x a ∈时，函数()f x 的值域为[]1,5，则11,a -≤≤故③正确；对于④，由[][][]2()()(1)()()1()g x f x a f x a f x f x a =-++=-⋅-，得函数g (x )的零点，等价于方程f (x ) = 1和方程f (x ) = a 的根的个数，即等价于y = 1和y = a ，与函数y = f (x )的图象的交点个数，由图象得y = 1与函数f (x )的图象有2个交点，当a < 1时，y = a 与函数f (x )的图象没有交点，所以函数g (x )的零点有2个；当a = 1时，y = a 与函数f (x )的图象有2个交点，所以函数g (x )的零点有2个；当1<a < 5时，y = a 与函数f (x )的图象有4个交点，所以函数g (x )的零点有6个；当a = 5时，y = a 与函数f (x )的图象有3个交点，所以函数g (x )的零点有5个；当a > 5时，y = a 与函数f (x )的图象有2个交点，所以函数g (x )的零点有4个；所以函数g (x )=[f (x )]2-(a + 1)f (x ) + a 的零点至少有2个，至多有6个，故④正确. 故答案为：②③④.14．已知()f x 是定义域为()0,∞+的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()13log 4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，且关于x 的方程()323694f x x x x a -=-+-+在区间(]0,3 上有两解，则实数a 的取值范围是___________【答案】(]0,5 【分析】令()13log f x x a +=，将x a =可得134log a a +=，解得3a =，即可得13()3log f x x-=-，设()32694g x x x x a =-+-+，利用导数判断单调性作出32694y x x x =-+-的图象以及13|log |y x =的图象，结合图象可得0(3)41a g a >⎧⎨=-≤⎩即可求解. 【解析】因为定义在()0,∞+的单调函数()f x 满足()13log 4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，所以必存在唯一的正实数a ，满足()13log f x x a +=，()4f a = ①，令x a =，可得()13log f a a a += ②，由①②得：13log 4a a =-即413a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为y a =单调递增，413a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，所以方程413a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭有唯一解，所以413a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得：3a =．故13()3log f x x=-，由方程()323694f x x x x a -=-+-+在区间(]0,3上有两解，即3213log 694x x x x a =-+-+在区间(]0,3上有两解，由()32694g x x x x a =-+-+，可得()()()23129313g x x x x x '=-+=--，当13x <<时，()0g x '<，()g x 递减，当01x <<时，()0g x '>，()g x 递增，所以()g x 在1x =处取得最大值a ，()04g a =-，()34g a =-，分别作出13|log |y x =，和32694y x x x =-+-的图象，可得两图象只有一个交点()1,0，若32694y x x x =-+-的图象以及13|log |y x =的图象有2个交点，则0(3)41a g a >⎧⎨=-≤⎩，解得05a <≤，所以当05a <≤时，两图象有两个交点，即方程两解．故答案为：(]0,5．【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题15．已知函数1()xx f x ax e +=-．（1）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x b =+，求实数a ，b 的值；（2）若函数()f x 在区间(0,2)上存在．．单调增区间，求实数a 的取值范围；（3）若()f x 在区间(0,2)上存在极大值，求实数a 的取值范围（直接写出结果）．【答案】（1）1,1a b ==-（2）1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（3）212,⎛⎫-- ⎪⎝⎭e e 【分析】（1）求导1(1)()x x x x f x a a e e'-+=-=+，再根据曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x b =+求解；（2）根据函数()f x 在区间(0,2)上存在单调增区间，又()0x x f x a e='+>在(0,2)上有解求解；（3）212,⎛⎫-- ⎪⎝⎭e e （1）解：因为1(1)()x x x xf x a a e e '-+=-=+，所以(0)f a '=，因为曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x b =+，所以切线斜率为1，即1a =，(0)1f b =-=，所以1,1a b ==-．（2）因为函数()f x 在区间(0,2)上存在单调增区间，所以()0xx f x a e ='+>在(0,2)上有解，即只需()'f x 在(0,2)上的最大值大于0即可．令1()(),()x xx x h x f x a h x e e -==+=''，当(0,1)x ∈时，()0,()h x h x '>为增函数，当(1,2)x ∈时，()0,()h x h x '<为减函数，所以，当1x =时，()h x 取最大值1a e+，故只需10a e+>，即1a e >-．所以实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．（3）212,⎛⎫-- ⎪⎝⎭e e 16．已知函数()2lnf x x ax =-在2x =处的切线与直线230x y +-=平行.（1）求a ；（2）设()()212g x f x x bx =+-，若函数()g x 存在单调递减区间，求b 的取值范围. 【答案】（1）3（2）(3)-++∞【分析】(1)结合已知条件，求出直线230x y +-=的斜率，然后利用导数的几何意义和两直线平行时斜率相等即可求解；(2)结合(1)中结论求出()g x 解析式，由已知条件可知'()0g x <在(0,)+∞上有解，然后结合均值不等式即可求解.（1）由题意，'2()f x a x=-，直线230x y +-=的斜率为2-，因为函数()f x 在2x =处的切线与直线230x y +-=平行，所以'(2)12f a =-=-，解得3a =.（2）由(1)中结论可知，()2ln 3f x x x =-，从而()21(3)2ln 2g x x b x x =-++，故'2()(3)g x x b x=+-+，因为函数()g x 存在单调递减区间，所以'2()(3)0g x x b x =+-+<在(0,)+∞上有解，即23b x x+>+在(0,)+∞上有解，当0x >时，由均值不等式可知，2x x +≥当且仅当2xx=时，即x 2x x +取得最小值从而3b +>3b >-+故b 的取值范围为(3)-++∞.17．已知函数()()e 1x f x ax a R =--∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()()ln e 1ln x g x x =--，且[()]()f g x f x <在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增.（2）(],1-∞.【分析】（1）利用导数，通过分0a ≤和0a >两种情况，即可求出函数的单调区间；（2）首先利用（1）的结论及导数证明0()g x x ；然后分0a ≤和0a >两种情况，将不等式大小之间的关系转化为自变量的比较，从而可得出答案.（1）因为()()e 1x f x ax a R =--∈，所以()x f x e a '=-，①若0a ≤，()0x f x e a '=->，所以()f x 在R 上单调递增；②若0a >，由()0f x '>，得ln x a >，所以函数()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增，由()0f x '<，得ln x a <，所以函数()f x 在(,ln )a -∞上单调递减；综上所述，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增.（2）下面证明：0x ∀>，有0()g x x ，先证：0x ∀>，有()0>g x ，由（1）可知当1a =时，min ()(0)0f x f ==，即当0x >时，1x e x ->，故0x ∀>，()1()ln 1ln ln ln10x xe g x e x x ⎛⎫-=--=>= ⎪⎝⎭，再证0x ∀>，()g x x <；要证0x ∀>，()g x x <，只需证明0x ∀>，1x x e e x-<，即证0x ∀>，即证1x x e xe -<，即证0x ∀>，10x x xe e -+>.令()1(0)x x H x xe e x =-+>，因为()0x H x xe '=>在(0,)+∞上恒成立，所以函数()H x 在(0,)+∞上单调递增，故有()()00H x H >= ，即0x ∀>，10x x xe e -+>恒成立，即0x ∀>，有0()g x x ，①当1a ≤时，由（1）得，()f x 在(0,)+∞单调递增，则由上结论可知，[()]()f g x f x <在(0,)x ∈+∞上恒成立，符合题意；②当1a >时，由（1）得，()f x 在(0,ln )a 上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增，此时当0ln x a <<时，0()ln [()]()g x x a f g x f x <<<⇔>，不合题意.综上所述，实数a 的取值范围为(],1-∞.。

选择性必修第二册第五章5.3.1 函数的单调性同步练习

2021年高中数学人教A 版（新教材）选择性必修第二册5.3.1函数的单调性一、选择题1．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A ．在(0，＋∞)上递增 B ．在(0，＋∞)上递减 C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上递增D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上递减 2．在R 上可导的函数f (x )的图象如图所示，则关于x 的不等式x ·f ′(x )＞0的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－2，－1)∪(1，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)3．已知函数f (x )＝2x －ln|x |，则f (x )的大致图象为( )A B C D4．函数f (x )＝x 3＋kx 2－7x 在区间[－1，1]上单调递减，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，2] C ．[－2，＋∞)D ．[2，＋∞)5．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( ) A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)6．(多选题)若函数y ＝e x f (x )(e ＝2.71828…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质，下列函数中所具有M 性质的函数的选项为( ) A ．f (x )＝2－x B ．f (x )＝3－x C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝x 2＋27．(多选题)下列命题为真命题的是( )A ．2ln 33＞ln 2B ．54ln 2＜ln 52C ．ln 2＜2eD ．25＞5二、填空题8．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是________．9．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调递减函数，则实数a 的取值范围是________．10．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．11．已知函数f (x )＝2x ＋a ln x ＋x ，且曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线与直线y ＝－2x ＋2平行，则a ＝________，函数的单调增区间是________．12．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是__________．三、解答题13．已知函数f (x )＝a ln x －bx 2，a ，b ∈R ，函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切．(1)求实数a ，b 的值；(2)判断函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的单调性．14．已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋2，其导函数y ＝h ′(x )的图象如图所示，f (x )＝6ln x ＋h (x )．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间(1，m ＋12)上是单调函数，求实数m 的取值范围。

人教A版高中同步学案数学选择性必修第二册精品习题课件第五章第1课时利用导数判断函数的单调性

1
(
2

，令′()
2
> 0，即
+ ) ⋅ ( − ) > 0，得 > 或 < − .
1
(
2
令′() < 0，即
+ )( − ) < 0，所以− < < 且 ≠ 0.故函数()的
单调递增区间为(−∞, − )，( , +∞),单调递减区间为(− , 0)，(0, ).

()
当 > 时,′() < (),′ < ,故函数 = 在(, +∞)上单调递减.

当 < − 时,′() > (),′ > ,故函数 =
所以B，C正确.
D.在(−3, −2)内,()单调递增
[解析]由题图知当 ∈ (−, ), ∈ (, ), ∈ (, )时,′() > ,所以在区间(−, ),
(, ),(, )上,()单调递增,当 ∈ (−, −), ∈ (−, −)时,′() < ,所以在区间
第五章
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 函数的单调性
第1课时利用导数判断函数的单调性
A级必备知识基础练
1.（多选题）函数 = ()的导函数′()的图象如图所示,则下列判断正确的是
() BC
A.在(−2,1)内,()单调递增
B.在(1,2)内,()单调递增
C.在(4,5)内,()单调递增
当 > 时，′() > ，所以函数()在定义域上不是增函数；函数() = 的
定义域为，其导数为′() = ( + ) ，当 < −时，′() < ，当 > −时，

人教A版高中同步学案数学选择性必修第二册精品习题课件第五章函数的单调性第2课时函数单调性的应用

∴ቊ
− > ,
解得 < ≤ .
+ ≤ ,
7.已知函数() = −e .讨论函数()的单调性.
解由已知得()的定义域为,′() = −( + 1)e ,当 = 0时,′() < 0,()为减函数.
当 ≠ 0时,令′() = 0,则 =
1
2
区间(1, + )上是单调函数,
1
,
2
1<+
1
5
则൞
解得 < ≤ .
1
2
2
+ ≤ 3,
2
15
故实数的取值范围是( , ].
22
C级学科素养创新练
14.已知 =
11
ln ,
10
=
1
,
10
=
2
,则()
21
A
A. > > B. > > C. > > D. > >
以“ ≤ ”是“() = + − 在(, +∞)上单调递增”的充分不必要条件,故选A.
10.已知函数() =
1 2

2
+ ln
(1 )−(2 )
,若对任意两个不等的正数1 ,2 ,都有
1 −2
> 4恒
成立,则实数的取值范围为() A
A.[4, +∞)B.(4, +∞)C.(−∞, 4]D.(−∞, 4)

综上可知， ≤ < .
≥ .
13.已知二次函数ℎ() = 2 + + 2的导函数ℎ′()的图象如图所

数学人教A版选择性必修第二册5.3.1函数的单调性

x
[－1，b)
[b，a)
[a,1]
f(x)
f′(x)
单调递减单调递增单调递减
由表可知函数y＝f′(x)的图象，
当x∈[－1，b)时，在x轴下方；
当x∈[b，a)时，在x轴上方；
当x∈[a,1]时，在x轴下方．故选C.
)
根据原函数图象确定导函数图象
对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在该
2
f′(x)＝6x－x＝
＝
，
x
x
3
由 x>0，解 f′(x)>0，得 x> .
3
3
由 x>0，解 f′(x)<0，得 0<x< .
3
∴函数 f(x)＝3x －2ln x
2
3

的单调递增区间为，＋∞，
3

3
单调递减区间为0， .
3

(2)求导数y′＝f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，
可得x的取值范围和f′(x)的正、负，f(x)的增减变化情况如下表所示：
x
f′(x)
f(x)
(－∞，0]
＋
单调递增
(0,2]
(2，＋∞)
－
＋
单调递减单调递增
由表可知f(x)在(－∞，0]内单调递增，在(0,2]内单调递减，在(2，＋∞)内单调递增，
(2)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是 (
(2)从 f′(x)的图象可以看出，

a＋b

在区间a，
内，导数递增；

2

a＋b

人教A版高中同步学案数学选择性必修第二册精品习题课件第五章培优练3 函数的单调性与导数关系的应用

或
< −或 >
− − < ,
− − >
ቊ
− < < ,
解得 < −或 > 或− < < .
− < < ,
3.（多选题）若对任意的1 ,2 ∈ (, +∞),且1 <
值可能是() BCD
1
3
1
e
3
e
A. B. C. D.1
解不等式,∴不等式() ⋅ () < 的解集为(−∞, −) ∪ (, ).
()
和
()
< 为同
1
2
9.已知函数() = ln + ( − )2 ( ∈ ).若存在 ∈ [ ,2],使得() > ′()成立,
则实数的取值范围是() C
9
3
值范围.
解不妨假设1 ≥ 2 ,由（1）知当 < −1时,()在(0, +∞)上单调递减,
又∀1 ,2 ∈ (0, +∞),|(1 ) − (2 )| ≥ 4|1 − 2 |,
等价于∀1 ,2 ∈ (0, +∞),(2 ) + 42 ≥ (1 ) + 41 ,①

∴ ′() = + ( − ).由′() < 得 > + ,

∴ > (

+ ) ,

∈
成立,∴ > .故选C.

[ ,],又

+

≥ ⋅

= ,当且仅当 =

∈

5.3.1 函数的单调性(精练)(解析版)--人教版高中数学精讲精练选择性必修二

3．（2022·天津一中高二期中）已知函数 f x mx3 3m 1 x2 m2 1m 0 的单调递减区间是 0, 4 ，则
m（） A．3 【答案】B
B．
1 3
C．2
D．
1 2
【解析】函数 f x mx3 3m 1 x2 m2 1m 0 ，则导数 f x 3mx2 6m 1 x
）
A．2,
B．
1 8
,
C．
1 8
,
2
D． 2,
【答案】D
【解析】∵ f (x) ln x ax2 2 ，
∴ f (x) 1 2ax，
x
若
f
x
在区间
1 2
,
2
内存在单调递增区间，则
f
(x)
0,
x
1 2
,
2
有解，
故a
1 2x2
，
令
g(x)
1 2x2
，则
g(x)
1 2x2
在
h x ax2 2ax 1的对称轴为 x 1，由零点存在性定理可得：
h3 h4 0 ，故 9a 6a 116a 8a 1 0 ，
解得：
a
1 8
,
1 3
，
故
a
的取值范围
1 8
,
1 3
.
故选：C
10．（2022·四川·成都市温江区新世纪光华学校高二期中（理））函数 f x x2 a 2 x a ln x 在区间 1, 2 上
的取值范围是（）
A． , 2
B． , 1
C．2,
D．1,
【答案】D
【解析】由
y
x
a

高中数学《函数的单调性与导数》课堂同步练习与检测试卷

选择性必修二《5.3.1 函数的单调性与导数》课堂同步练习基础练一、单选题1．下列函数中，在其定义域上为增函数的是（） A ．4y x =B ．2xy -=C ．cos y x x =+D ．12y x =-2．函数2()ln f x x x =的单调递减区间为（）A ．B ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．)+∞D ．0,e ⎛ ⎝⎭3．设函数()f x 的图象如图所示，则导函数()'f x 的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．4．如图是函数y ＝f （x ）的导数y ＝f'（x ）的图象，则下面判断正确的是（）A ．在（﹣3，1）内f （x ）是增函数B ．在x ＝1时，f （x ）取得极大值C ．在（4，5）内f （x ）是增函数D ．在x ＝2时，f （x ）取得极小值5．已知函数2()ln f x x x ax =++的单调递减区间为1(,1)2，则a 的值为（）A ．(,3)-∞-B ．3-C ．3D ．(,3)-∞6．已知()'f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且满足()()0xf x f x '+>对任意的x ∈R 都成立，则下列选项中一定正确的是（）A ．(2)(1)2f f > B ．(1)(2)2f f > C ．(2)(1)2f f <D ．(1)(2)2f f <二、填空题7．函数2sin y x x =+的单调增区间为___________8．已知函数()y f x =(x ∈R )的图象如图所示，则不等式()0xf x '>的解集为_____．9．若函数226y x bx =-+在(2,8)内是增函数，则实数b 的取值范围是_________．三、解答题10．已知函数()31f x x ax =--.（1）若()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，求a 的取值范围. （2）若()f x 的单调递减区间为(1,1)-，求a 的值. 参考答案 1．【答案】C【解析】对于A 选项，函数4y x =为偶函数，在()0,∞+上递增，在(),0-∞上递减；对于B 选项，函数2xy -=在R 上递减；对于C 选项，1sin 0y x '=-≥在R 上恒成立，则函数cos y x x =+在其定义域R 上递增；对于D 选项，函数12y x =-在()0,∞+上递减. 故选C ． 2．【答案】D【解析】由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21()2ln 2ln (2ln 1)f x x x x x x x x x x=⋅+⋅=+=+'．令()0f x '<，得2ln 10x ，解得0x <<，故函数2()ln f x x x =的单调递减区间为0,e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．故选D 3．【答案】C【解析】∵()f x 在(,1)-∞，(4,)+∞上为减函数，在(1,4)上为增函数， ∴当1x <或4x >时，()0f x '<；当14x <<时，()0f x '>．故选C ． 4．【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，在（﹣3，32-）上，f′（x ）＜0，f （x ）为减函数，A 错误；对于B ，在（32-，2）上，f′（x ）＞0，f （x ）为增函数，x ＝1不是f （x ）的极大值点，B 错误；对于C ，在（4，5）上，f′（x ）＞0，f （x ）为增函数，C 正确；对于D ，在（32-，2）上，f′（x ）＞0，f （x ）为增函数，在（2，4）上，f′（x ）＜0，f （x ）为减函数，则在x ＝2时f （x ）取得极大值，D 错误；故选C ．5．【答案】B【解析】由题得1()20f x x a x '=++<的解集为1(,1)2，所以不等式2210x ax ++<的解集为1(,1)2，所以11,322aa +=-∴=-故选B 6．【答案】D【解析】令()()F x xf x =，则()()()0xf x x F x f '='+>，故()F x 为R 上的增函数，所以()()21F F >即()()221f f >，故选D.7．【答案】(,)-∞+∞【解析】'2cos y x =+，[]cos 1,1x ∈-，∴'0y >在R 上恒成立，所以函数的单调增区间为(),-∞+∞，故填(),-∞+∞ 8．【答案】()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】由()y f x =的图象可知()f x 在1(,)2-∞和(2,)+∞上单调递增，在1(,2)2上单调递减，所以()0f x '>的解集为1(,)2-∞(2,)+∞，()0f x '<的解集为1(,2)2，由()0xf x '>得()00f x x >⎧⎨>'⎩或()00f x x <⎧⎨<'⎩，所以()0xf x '>的解集为()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故填()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9．【答案】(,2]-∞【解析】由题意得220y x b =-≥'在(2,8)内恒成立，即b x ≤在(2,8)内恒成立，所以2b ≤．故填(,2]-∞10．【答案】（1）(],3-∞；（2）3.【解析】（1）因为()23f x x a '=-，且()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，所以()0f x '≥在(1,)+∞上恒成立，即230x a -≥在(1，+∞)上恒成立，所以23a x ≤在(1,)+∞上恒成立，所以3a ≤，即a 的取值范围是(],3-∞ （2）由题意知0a >.因为()31f x x ax =--，所以()23f x x a '=-.由()0f x '<，得x <<所以()f x 的单调递减区间为(，又已知()f x 的单调递减区间为(1,1)-，所以(=(1,1)-，1=，即3a =.《5.3.1 函数的单调性与导数》课堂同步练习提高练一、单选题1．若()324f x x ax =-+在()0,2内单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．3a ≥B ．3a =C ．3a ≤D ．0<<3a2．若函数()1ln f x kx x x=-+在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（）A ．1[,)2+∞B ．[1,)+∞C ．[2,)+∞D ．(,2]-∞-3．已知函数3()f x x x =+，则0a b +>是()()0f a f b +>的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，(0)4f =，则不等式()3x x e f x e ⋅>+ (其中e 为自然对数的底数)的解集为（） A ．(0)(0)-∞+∞，，B ．(0)(3)-∞⋃+∞，， C ．(0)+∞，D ．(3)+∞，二、填空题5．已知函数()cos xf x e x =+，则使得()()21f x f x ≤-成立的x 范围是_______.6．已知函数32()1f x ax x =-+在(0,1)上有增区间，则a 的取值范围是_______.三、解答题7．已知函数()()ln xx xf x ax a R e +=-. （1）当1a e=时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围. 答案解析 1．【答案】A【解析】()232f x x ax '=-，由()f x 在()0,2单调递减，∴()()0020f f ⎧≤≤''⎪⎨⎪⎩，∴001240a ≤⎧⎨-≤⎩，∴3a ≥.故选A 2．【答案】C【解析】由()1ln f x kx x x =-+知，()211f x k x x'=--，因为()f x 在()1,+∞上单调递增，所以()0f x '≥在()1,+∞上恒成立，即2110k x x --≥，则211k x x≥+在()1,+∞上恒成立，令()211g x x x=+，因为()23120g x x x'=--<在()1,+∞上恒成立，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()12g x g <=，所以2k ≥. 故选C. 3．【答案】C【解析】由题意可得：'2()3+1>0f x x =恒成立，所以函数()3+f x x x =在R 上递增，又()()()33()()f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以函数()f x 是奇函数，当 0a b +>时，即a b >-，所以()()()f a f b f b >-=-，即()()0f a f b +>；当()()0f a f b +>时，即()()()f a f b f b >-=-，所以a b >-，即0a b +>，所以“0a b +>”是“()()0f a f b +>”的充要条件. 故选C. 4．【答案】C【解析】令()()3x xg x e f x e =⋅--，则()()()[()()1]0xxxxg x e f x e f x e e f x f x '''=⋅+⋅-=+->，所以()g x 在R 上单调递增，又因为0(0)(0)30g e f e =⋅--=，所以()0>g x ⇒0x >，即不等式的解集是(0)+∞，，故选C5．【答案】11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】函数()f x 的定义域为R ，()()()cos cos xxf x e x e x f x --=+-=+=，所以，函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()cos x f x e x =+，则()sin 1sin 0x f x e x x '=-≥-≥，所以，函数()f x 在区间[)0,+∞为增函数，由()()21f x f x ≤-可得()()21fx f x ≤-，所以21x x ≤-，则有()2241x x ≤-，可得23210x x +-≤，解得113x -≤≤. 因此，使得()()21f x f x ≤-成立的x 范围是11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故填11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.6．【答案】2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】由题得2()32f x ax x '=-，因为函数32()1f x ax x =-+在(0,1)上有增区间，所以存在(0,1)x ∈使得()0f x '>成立，即23a x>成立，因为01x <<时，2233x >，所以23a >.故填2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭7．【答案】（1）单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞；（2）1(0,)e. 【解析】（1）()f x 的定义域是(0,)+∞，当1a e =时，+ln ()xx x x f x e e =-， 111+ln ()(ln 1)1()x x x ex x e e x x x x f x e e e +---++-'=-=，当1x >时，0xe e x ->，ln 10x x +->，所以()0f x '>；当01x <<时，0xe e x-<，ln 10x x +-<，所以()0f x '<，所以()f x 的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞.（2）函数()f x 有两个零点等价于方程()0f x =有两个不等的实数根，又函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以ln xx xa xe +=有两个不等的实数跟，设ln ()xx xg x xe +=，则21(1)(ln )(1)()()x xx xe x x x e x g x xe +-++'=， 2(1)(1ln )xx x x x e+--=，设()1ln h x x x =--，易知()h x 在(0,)+∞上单调递减，且(1)0h =，当(0,1)x ∈时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增，当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减，所以1()(1)g x g e≤=，又0x →时，()g x →-∞，x →+∞时，()0g x →，所以实数a 的取值范围是1(0,)e.《5.3.1 函数的单调性与导数》课堂同步检测试卷一、单选题1．下列函数在区间上是增函数的是（） A ．B ．C ．D ．2．函数的单调递减区间是（） A ．B ．C ．D ．3．已知函数，则（） A ．在上递增B ．在上递增C ．在上递减D ．在上递减4．函数的单调减区间是（） A ． B ． C ． D ． 5．函数的单调递增区间（） A ．B ．C ．D ．6．函数的单调递增区间是（） A ． B ．C ．(1,4)D ．(0,3)7．若函数，则函数的单调递减区间为（） A ．B ．()0,+∞2xy x e =+cos xy x e =-1y x x=-24y x x =-ln y x x =1(,)e -+∞1()e --∞,1(0)e -,(,)e +∞()xxf x e =()f x 01，()12，()1-∞，()0∞，+()2ln f x x x =-,2⎛-∞ ⎝⎦⎛ ⎝⎦[)1,+∞⎫+∞⎪⎪⎣⎭3()3f x x x =-(0,)+∞(,1)-∞-(1,1)-(1,)+∞()()3xf x x e =-(),2-∞-()2,+∞()2123ln 2f x x x x =--()f x (,1)(3,)-∞-+∞()1,3-C ．(0，3)D ．8．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．9．已知函数在上不单调，则的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．10．如果函数y ＝f(x)在区间I 上是增函数，且函数在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f(x)是区间I 上的“缓增区间”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数是区间I 上的“缓增区间”，则“缓增区间”I 为（） A ．[1，＋∞)B ．[0]C．[0，1]D ．[1]11．已知函数对于任意的满足,其中是函数的导函数,则下列不等式成立的是（）A ．B ．CD12．若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．函数的递减区间为_______ ()3,+∞()ln f x kx x =-()1,+∞k (],2-∞-(],1-∞-[)2,+∞[)1,+∞()xf x ax e =-()0,1a ()0,1()0,e ()1,e (,)e -∞()f x y x=213()22f x x x =-+()y f x =0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()cos ()sin 1ln f x x f x x x =+'+()f x '()y f x =2()()34f f ππ<2()()34f ππ>()()64ππ<()()36f ππ<()ln mf x x m x x=+-[]35，m 92546⎛⎫ ⎪⎝⎭，()8+∞，256⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，984⎡⎫⎪⎢⎣⎭，21()ln 2f x x x =-14．若函数在上为减函数，则的取值范围为___________.15．已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____.16．定义域为的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为 _____________．17．已知函数（为自然对数的底数），若，则实数的取值范围是___________．18．已知函数在区间上是单调函数，则实数t 的取值范围______．三、解答题19．已知函数. （1）求在处的切线的方程；（2）求函数的单调区间. 20．已知函数的导函数的一个零点为．（1）求a 的值；（2）求函数的单调区间． 21．已知函数，. （1）若与在处相切，求的表达式；（2）若在上是减函数，求实数的取值范围. 22．已知函数. ()e xf x mx =-[2,0]-m ()()xf x x a e =+⋅()f x (1,)+∞a R ()f x (1)1f =()f x 1()2f x '>2()1f x x <+()1xxf x e e-=-+e 2(21)42)(f x f x +->-x ()2143ln 2f x x x x =-+3,2t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭331y x x =-+0,124()a 2ln 3f x x x x =+-()'f x 1x =()f x ()ln f x x =1()2g x ax b =+()f x ()g x 1x =()g x (1)()()1m x x f x x ϕ-=-+[2,)+∞m ()2ln ()af x ax x a x=--∈R（1）若函数在区间上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）讨论函数的单调性. 答案解析一、单选题 1．下列函数在区间上是增函数的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据题意，依次分析选项，对于A ，，其导数，当时，有恒成立，则函数在上为增函数，符合题意；对于B ，，其导数为，在上，，则函数在上为减函数，不符合题意；对于C ，，其导数为，当时，有恒成立，则函数在上为减函数，不符合题意；对于D ，，为二次函数，在上为减函数，不符合题意；故选A ．2．函数的单调递减区间是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意，可得，令，即，解得，即函数的递减区间为.故选C()f x [1,)+∞()f x ()0,+∞2x yx e =+cos xy x e =-1y x x=-24y x x =-2x y x e =+'2x y x e =+0x >'20x y x e =+>()f x ()0,+∞cos xy x e =-'sin xy x e =--(),2ππ'0y <()f x (),2ππ1y x x =-21'1y x =--0x >21'10y x--<═()f x ()0,+∞24y x x =-()0,2ln y x x =1(,)e -+∞1()e--∞,1(0)e-,(,)e +∞()ln 1,(0)f x x x =+>'()0f x '<ln 10x +<10x e -<<1(0)e -,3．已知函数，则（）A ．在上递增B ．在上递增C ．在上递减D ．在上递减【答案】A【解析】依题意，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.对照选项可知：函数在上递增.故选A. 4．函数的单调减区间是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由题,对函数定义域,求导可得, 令,可得故选D. 5．函数的单调递增区间（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题得，解不等式，所以.所以函数的单调增区间为.()xxf x e =()f x 01，()12，()1-∞，()0∞，+()1-=x x x xf x e e'=1x <()0f x '>()f x 1x >()0f x '<()f x ()f x ()01，()2ln f x x x =-,2⎛-∞ ⎝⎦0,2⎛ ⎝⎦[)1,+∞2⎫+∞⎪⎪⎣⎭()2ln f x x x =-()0,+∞()2112'2x f x x x x -=-=()212'0x f x x -=≤x ≥3()3f x x x =-(0,)+∞(,1)-∞-(1,1)-(1,)+∞2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-2()333(1)(1)0f x x x x '=-=+->11x -<<(1,1)-故选C 6．函数的单调递增区间是（）A ．B ．C ．(1,4)D ．(0,3)【答案】B 【解析】，，解不等式，解得，因此，函数的单调递增区间是，故选B.7．若函数，则函数的单调递减区间为（）A ．B ．C ．(0，3)D ．【答案】C【解析】函数的定义域为：，因为，令并且，得：，所以函数的单调递减区间为(0，3).故选C. 8．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】函数在区间单调递增，在区间上恒成立，则，而在区间上单调递减，，的取值范围是故选D ． 9．已知函数在上不单调，则的取值范围是（）()()3x f x x e =-(),2-∞-()2,+∞()()3x f x x e =-()()2x f x x e '∴=-()0f x '>2x >()()3x f x x e =-()2,+∞()2123ln 2f x x x x =--()f x (,1)(3,)-∞-+∞()1,3-()3,+∞()2123ln 2f x x x x =--{|0}x x >2323(3)(1)()2x x x x f x x x x x'---+=--==(3)(1)0x x x-+<0x >03x <<()2123ln 2f x x x x =--()ln f x kx x =-()1,+∞k (],2-∞-(],1-∞-[)2,+∞[)1,+∞1(),f x k x'=-()ln f x kx x =-(1,)+∞()0f x '∴≥(1,)+∞1k x ≥1y x=(1,)+∞1k ∴≥k ∴[1,).+∞()x f x ax e =-()0,1aA．B．C．D．【答案】C【解析】.因为在上不单调.所以在上有解，又在上单调递减，所以，，故.故选C10．如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增区间”，区间I叫做“缓增区间”．若函数是区间I上的“缓增区间”，则“缓增区间”I为（）A．[1，＋∞)B．[0] C．[0，1] D．[1，]【答案】D【解析】因为函数的对称轴为x＝1，所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x≥1时，，令(x≥1)，则，由g′(x)≤0得，即函数在区间上单调递减，故“缓增区间”I为，故选D.11．已知函数对于任意的满足,其()0,1()0,e()1,e(,)e-∞()'xfx a e=-()f x()0,1()'0f x=()0,1()'f x()0,1()'01f a=->()10f a e'=-<()1,a e∈()f xyx=213()22f x x x=-+213()22f x x x=-+()13122f xxx x=-+13()122g x xx=-+222133'()222xg xx x-=-=1x≤≤()13122f xxx x=-+()y f x=0,2xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()cos()sin1lnf x x f x x x=+'+中是函数的导函数,则下列不等式成立的是（）ABCD【答案】B【解析】由题意构造函数,则. 对于任意的满足, 故,当时,, 当时, , 因此在单调递减,在单调递增. 又因为,因此 ,因此有 , 化简得 . 故选B12．若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为函数在区间上不是单调函数， ()f x '()y f x =()()34f ππ<()()34f ππ>()()64ππ<()()36f ππ<()()cos f x g x x=()()()''2cos cos ()cos f x x f x x g x x-'=()21()cos ()sin cos f x x f x x x'=+0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()cos ()sin 1ln f x x f x x x =+'+21ln ()cos xg x x 10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x '<()0g x '>()g x 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭16432e()ln mf x x m x x=+-[]35，m 92546⎛⎫⎪⎝⎭，()8+∞，256⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，984⎡⎫⎪⎢⎣⎭，()ln mf x x m x x=+-[]35，所以在区间上有解，且不是重解. 即可得，令，，则，当时，，函数单调递增. 故的值域为.故选A.二、填空题13．函数的递减区间为_______ 【答案】，【解析】函数的定义域为，，故当时，，也即函数的递减区间为.故填. 14．若函数在上为减函数，则的取值范围为___________.【答案】【解析】由题意可知，即对恒成立，所以，所以即.故填.15．已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____.()22210m m x mx mf x x x x--'=--==[]35，20x mx m --=21xm x=+()21x g x x=+[]35x ∈，()()()()222221211x x x x xg x x x +-+'==++[]35x ∈，()0g x '>()g x ()g x 92546⎛⎫⎪⎝⎭，21()ln 2f x x x =-(1,)+∞()0,∞+()2'11x f x x x x-=-=1x >()'0f x <()1,+∞()1,+∞()e x f x mx =-[2,0]-m [)1,+∞()e 0x f x m '=-≤x m e ≥[2,0]x ∈-()maxxm e≥0e 1m ≥=[)1,m ∈+∞[)1,+∞()()x f x x a e =+⋅()f x (1,)+∞a【答案】【解析】因为，所以，函数在上单调递增，可知在上恒成立，即，所以，即，则实数的取值范围是．故填．16．定义域为的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为 _____________．【答案】. 【解析】令，因为，所以. 所以为单调增函数.因为，所以.所以当时，，即，得，解集为故填17．已知函数（为自然对数的底数），若，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】令，则为奇函数，且为增函数，所以故填 18．已知函数在区间上是单调函数，则实数t 的取值范围______．【答案】[2,)-+∞()()e x f x x a =+⋅()(1)e x f x x a '=++⋅()f x (1,)+∞e 0()(1)x f x x a '=++⋅(1,)+∞1x a --11a --≤2a -a [2,)-+∞[2,)-+∞R ()f x (1)1f =()f x 1()2f x '>2()1f x x <+()1-∞，()()21g x f x x =--1()2f x '>()()210g x f x '='>-()gx ()11f =()()121110g f ==--1x <()0g x <()21f x x <＋{}|1x x <()1-∞，()1-∞，()1x x f x e e -=-+e 2(21)42)(f x f x +->-x (1,3)-()()1g x f x =-()g x ()()22142f x f x -+->222(21)(4)0(21)(4)214g x g x g x g x x x ⇒-+->⇒->-⇒->-223013x x x ⇒--<⇒-<<(1,3)-()2143ln 2f x x x x =-+3,2t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭[)31,3,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【解析】函数的定义域为，. 令，可得或；令，可得.所以，函数的单调增区间为和，单调递减区间为.由于函数在上单调，则为以上三个区间的子集.①若，可得； ②若，可得，解得； ③若，则.因此，实数的取值范围是.故填.三、解答题 19．已知函数.（1）求在处的切线的方程；（2）求函数的单调区间. 【解析】（1）函数，则，故在处的切线的斜率，故切线的方程是，即；（2）令，得或，令，得，故函数的单调增区间是，单调减区间是.()2143ln 2f x x x x =-+()0,∞+()23434x x f x x x x-+'=-+=()0f x '>01x <<3x >()0f x '<13x <<()y f x =()0,1()3,+∞()1,3()y f x =3,2t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3,2t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()3,0,12t t ⎛⎫+⊆ ⎪⎝⎭0312t t t ≥⎧⎪⇒∈∅⎨+≤⎪⎩()3,1,32t t ⎛⎫+⊆ ⎪⎝⎭1332t t ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩312t ≤≤()3,3,2t t ⎛⎫+⊆+∞ ⎪⎝⎭3t ≥t [)31,3,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦[)31,3,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦331y x x =-+0,1331yx x =-+233y x'=-0,13k y '==-13(0)y x -=--310x y +-=2330y x'=->1x <-1x >2330y x '=-<11x -<<()()11-∞-+∞，，，()1,1-20．已知函数的导函数的一个零点为．（1）求a 的值；（2）求函数的单调区间．【解析】（1），由，得．（2）由（1）得，则．令，得或．当时，；当时，或．因此的单调递增区间是，单调递减区间是．21．已知函数，. （1）若与在处相切，求的表达式；（2）若在上是减函数，求实数的取值范围. 【解析】（1），，又与在处相切，，解得：，，即，解得：，；（2）在上是减函数，即在上是减函数， 24()a 2ln 3f x x x x =+-()'f x 1x =()f x 4()223f x ax x+-'=2(1)203f a ='+=13a =-214()2ln 33f x x x x =-+-242(1)(2)()2333x x f x x x x ----'=-+=()0f x '=1x =2x =()0f x '>12x <<()0f x '<01x <<2x >()f x (1,2)(0,1),(2,)+∞()ln f x x =1()2g x ax b =+()f x ()g x 1x =()g x (1)()()1m x x f x x ϕ-=-+[2,)+∞m ()ln f x x =1()(0)f x x x'∴=>()f x ()g x 1x =1(1)12f a '∴==2a =()1ln10f ==1(1)(1)02g a b f =+==1b =-()1g x x ∴=-(1)()()1m x x f x x ϕ-=-+[2,)+∞(1)()ln 1m x x x x ϕ-=-+[2,)+∞在上恒成立，即在上恒成立，则在上恒成立，又在上单调递增，，，解得：，即实数的取值范围是. 22．已知函数. （1）若函数在区间上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）讨论函数的单调性.【解析】（1）由题意得，. ①当时，，函数单调递减.②当时，令，∵函数在区间上是单调函数，∴在区间上恒成立，∴在区间上恒成立. 令， ∵，当且仅当时取等号，∴，∴当时，函数单调递增，∴实数a 的取值范围是.222(1)(1)1(22)1()0(1)(1)m x m x x m x x x x x x ϕ+---+--'∴=-=≤++[2,)+∞2(22)10x m x --+≥[2,)+∞122m x x -≤+[2,)+∞1x x+[2,)+∞15,2x x ⎡⎫∴+∈+∞⎪⎢⎣⎭5222m ∴-≤94m ≤m 9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦()2ln ()a f x ax x a x=--∈R ()f x [1,)+∞()f x 22222()(0)a ax x a f x a x x x x-+=+->'=0a ()0f x '<()f x 0a >2()2g x ax x a =-+()f x [1,)+∞()0g x [1,)+∞221x ax +[1,)+∞22(),[1,)1x u x x x =∈+∞+22()1112u x x x x ==+⋅1x =1a 1a ()f x (,0][1,)-∞⋃+∞（2）由（1）可知，①当时，，函数在上单调递减， ②当时，函数在上单调递增，③当时，由，解得∴函数在，上单调递增，在上单调递减. 0a ()0fx '<()f x (0,)+∞1a ()f x (0,)+∞01a <<220ax x a -+=x=x =()f x 10,a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭1a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭11a a ⎛-+ ⎪⎝⎭。

高中数学选择性必修二 5 3 1 函数的单调性(精练)(含答案)

5.3.1 函数的单调性【题组一求函数的单调区间】1．（2020·河南信阳·高二期末（文））已知函数f(x)=12x 2−lnx ，则其单调增区间是（） A ．(0，1] B ．[0，1]C ．(0,+∞)D ．(1,+∞)【答案】D【解析】f(x)=12x 2−lnx ，定义域为(0，+∞) 令f ′(x )=x −1x >0解得x >1故函数f(x)=12x 2−lnx 单调增区间是(1，+∞)故选D2．（2020·吉林净月高新技术产业开发区·东北师大附中高二月考（理））函数()()1xf x x e =+的单调递增区间是（） A ．(),2-∞ B ．()0,2 C ．()2,0- D ．()2,-+∞【答案】D【解析】函数()()1xf x x e =+的定义域为R ，()()2xf x x e '=+，令()0f x '>，解得2x >-.因此，函数()()1xf x x e =+的单调递增区间是()2,-+∞.故选：D.3．（2020·北京丰台·高三二模）已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =--+，则()(f x ) A ．是奇函数，且在定义域上是增函数 B ．是奇函数，且在定义域上是减函数 C ．是偶函数，且在区间(0,1)上是增函数D ．是偶函数，且在区间(0,1)上是减函数【答案】B【解析】根据题意，函数()ln(1)ln(1)f x x x =--+，则有1010x x ->⎧⎨+>⎩，解可得11x -<<，即()f x 的定义域为(1,1)-；设任意(1,1)x ∈-，()(1)(1)()f x ln x ln x f x -=+--=-，则函数()f x 为奇函数；1()(1)(1)1x f x ln x ln x lnx -=--+=+，其导数22()1f x x '=-，在区间(1,1)-上，()0f x '<，则()f x 为(1,1)-上的减函数；故选：B ．4．（2020·山西省古县第一中学高二期中（理））函数()()3xf x x e =- 的单调递增区间是（）A ．(),2-∞-B ．()2,+∞C ．(1,4)D ．(0,3)【答案】B【解析】()()3x f x x e =-，()()2x f x x e '∴=-，解不等式()0f x '>，解得2x >，因此，函数()()3xf x x e =-的单调递增区间是()2,+∞，故选B.5．（2020·沙坪坝·重庆一中高三月考）函数()2cos sin 2f x x x =+的一个单调减区间是（）A ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭C ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】()2cos sin 2f x x x =+，该函数的定义域为R ，()()()222sin 2cos2212sin 2sin 22sin sin 1f x x x x x x x '=-+=--=-+-()()2sin 12sin 1x x =-+-，1sin 1x -≤≤，可得sin 10x +≥，令()0f x '<，可得2sin 10x ->，即1sin 2x >，解得()52266k x k k Z ππππ+<<+∈. 所以，函数()y f x =的单调递减区间为()52,266k k k Z ππππ⎛⎫++∈⎪⎝⎭.当0k =时，函数()y f x =的一个单调递减区间为5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 5,,4266ππππ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对任意的k Z ∈，50,2,2666k k πππππ⎛⎫⎛⎫⊄++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5,2,2266k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⊄++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，55,2,2666k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⊄++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()y f x =的一个单调递减区间为,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：A.6．（2020·安徽高三开学考试（理））若曲线()21x e f x ax -=+在点()()1,1f 处的切线过点1,0，则函数()f x 的单调递减区间为（） A ．,0 B ．0,C ．()(),11,0-∞-⋃-D ．(),1-∞-，1,0【答案】D【解析】由题意()()()2211x ax a e f x ax -+-'=+，∴()()1211e k f a -'==+，又()111e f a -=+，故曲线在点()()1,1f 处的切线方程为()()()211111y x e a e a -=-++，将点1,0代入可得1a =，则()()221x xe f x x -'=+，令()()2201x xe f x x -'=<+，所以1x <-或10x -<<，故函数在(),1-∞-，1,0上单调递减.故选：D7．（2020·云南昆明一中高三其他（理））函数4()3ln f x x x x=+-的单调递减区间是（） A ．(1,4)- B ．(0,1) C ．(4,)+∞D ．(0,4)【答案】D【解析】函数的定义域是(0,)+∞，2243(1)(4)()1x x f x x x x +-=--=＇，令()0f x <＇，解得04x <<，故函数4()3ln f x x x x=+-在(0,4)上单调递减，选：D . 【题组二已知单调性求参数】1．（2020·四川省绵阳江油中学高二期中（文））已知()1()2ln 0f x a x x a x ⎛⎫-⎪⎝⎭=->在[1)+∞，上为单调递增函数，则a 的取值范围为（）A ．[0)+∞，B ．(0)+∞，C ．(1)+∞，D ．[1)+∞，【答案】D【解析】222()ax x a f x x-+'=，(0)a > 因为()f x 在[1,)+∞上为单调递增，等价于220ax x a -+≥恒成立.即221xa x ≥+在[1,)+∞上恒成立. 因为2221111x x x x x x=≤=++，当1x =时，取“=”，所以1a ≥，即a 的范围为[1,)+∞.故选：D2．（2020·河南南阳·高二期末（理））函数()327f x x kx x =+-在区间[]1,1-上单调递减，则实数k 的取值范围是（） A ．(],2-∞- B ．[]22-, C ．[)2,-+∞ D ．[)2,+∞【答案】B【解析】()327f x x kx x =+-，()2327f x x kx '∴=+-，由题意可知，不等式()0f x '≤对于任意的[]1,1x ∈-恒成立，所以，()()12401240f k f k ⎧-='--≤⎪⎨='-≤⎪⎩，解得22k -≤≤.因此，实数k 的取值范围是[]22-,. 故选：B.3．（2020·佳木斯市第二中学高二期末（文））“a ≤-1”是“函数f (x )=ln x -ax 在[1,+∞)上为单调函数”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为函数f (x )=ln x -ax 在[1,+∞)上为单调函数，所以1()0f x a x '=-≥在[1,+∞)上恒成立或1()0f x a x'=-≤在[1,+∞)上恒成立，即min 1()a x ≤或max 11()101a x xx≥≥∴<≤，从而0a ≤或1a ≥因为“1a ≤-”是“0a ≤或1a ≥” 充分不必要条件，所以“a ≤-1”是“函数f (x )=ln x -ax 在[1,+∞)上为单调函数”的充分不必要条件，故选：A4．（2020·赣州市赣县第三中学高二月考（文））已知函数1()ln xf x x ax-=+，若函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，则正实数a 的取值范围为（） A ．()0,1 B ．(01]，C ．()1,+∞D ．[1,)+∞【答案】D【解析】函数1()ln x f x x ax-=+，()2211()a ax f x x ax ax --'=+=，因为函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，所以()0f x '≥在[1,)+∞上恒成立，又0a >，所以 10ax -≥在[1,)+∞上恒成立，即1a x≥在[1,)+∞上恒成立，令()()max 11g x g x x==，，所以1a ≥，故选：D 5．（2019·四川树德中学高二月考（理））()cos 2(sin cos )f x x a x x =+-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则a 的范围是__________．【答案】)+∞【解析】()cos 2sin cos f x x a x a x =+-，则'()2sin 2cos sin f x x a x a x =-++，因为函数()f x 在[0,]2π上单调增，可得'()0f x ≥在[0,]2π上恒成立，即(sin cos )2sin 2a x x x +≥，令sin cos x x t +=，则2sin 21x t =-，t ∈，所以22212()t a t t t-≥=-，因为1t t -在t ∈上是增函数，所以其最大值为a ≥=所以实数α的取值范围是)+∞.6．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高二期末（理））设函数()x xf x e ae -=+在[0，1]上单调递增，则a 的取值范围是（） A ．[1，)+∞B ．(-∞，1]C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞【答案】B()x x f x e ae -=+在[0，1]上单调递增，()0x x f x e ae -∴=-'在[0，1]上恒成立，即2x a e ，而函数2xy e =在[0，1]上单调递增，∴当0x =时，1min y =，1a ∴，a ∴的取值范围是(-∞，1]．故选：B ．7．（2020·西夏·宁夏大学附属中学高二期中（理））若函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减，则实数t 的取值范围是（）A ．51[,)8+∞ B ．(],3-∞C ．51,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．[)3,+∞ 【答案】A【解析】因为函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减，所以'2()3230f x x tx =-+≤在[]1,4x ∈恒成立，所以(1)0,(4)0,f f '≤'≤⎧⎨⎩即40,5180,t t -≤⎧⎨-≤⎩解得：518t ≥. 8．（2020·临猗县临晋中学高二期末（理））设函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．(]1,2 B ．()4,+∞ C ．(),2-∞ D ．(]0,3【答案】A【解析】依题意10,1a a ->>，由此排除CD 选项.由()()299'00x f x x x x x-=-=≤>，解得03x <≤，所以函数()f x 的单调递减区间为(]0,3. 由此排除B 选项，只有A 选项正确. 证明如下：由于()f x 在区间[1,1]a a -+上单调递减，所以0113a a <-<+≤，解得(]1,2a ∈. 故选：A【题组三单调性与图像】1．（2020·陕西省商丹高新学校高二月考（理））已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】2x <-时，()0f x '<，则()f x 单调递减；20x -<<时，()0f x '>，则()f x 单调递增； 0x >时，()0f x '<，则f （x ）单调递减．则符合上述条件的只有选项A ．故选A ．2．（2020·四川内江·高二期末（文））如图所示为()y f x '=的图象，则函数()y f x =的单调递减区间是（）A ．(),1-∞-B ．()2,0-C ．()()2,0,2,-+∞D ．()(),1,1,-∞-+∞【答案】C【解析】由导函数图象，知20x -<<或2x >时，()0f x '<，∴()f x 的减区间是(2,0)-，(2,)+∞．故选：C ．3．（2020·浙江高二期中）函数()2sin f x x x x =-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为()()()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=----=-=，且定义域R 关于原点对称，所以函数()y f x =为偶函数，故排除B 项；()()2sin sin f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x ='-≥恒成立，所以函数()y g x =单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=，任取120x x >>，则()()120g x g x >>，所以，()()1122x g x x g x >，()()12f x f x ∴>，所以，函数()y f x =在()0,+∞上为增函数，故排除C 、D 选项. 故选：A.【题组四利用单调性解不等式】1．（2020·四川省绵阳南山中学双语学校高二月考（文））定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()22f x f x '-<，若()01f =-，则不等式()22xe f x -<的解集为（） A ．(),0-∞ B ．()0,∞+C ．(),1-∞-D ．()1,-+∞【答案】A【解析】构造函数()()221,xf xg x x R e+=-∈， ∵()()22f x f x '-<， ∴()()()()()()()222222222012xxx xf x f x f x e e f xg x e e '--'-+'==<，∴函数()g x 在R 上单调递减，又()120101g -+=-=， ∴不等式()()00g x g >=的解集为{|0}x x <，故选：A.2．（2020·山西祁县中学高二月考（文））设函数21()1x xf x e e x -=+-+，则使得(2)(1)f x f x >+成立的x 的取值范围是（） A ．(,1)-∞ B ．(1,)+∞ C ．1(,1)3-D ．1(,)(1,)3-∞-+∞【答案】D 【解析】()211xx f x ee x --=+-+，所以()()f x f x -=，()f x 为R 上的偶函数，又()()222'1x xxf x e e x -=-++，当0x >时，()'0f x >，故()f x 在[)0,+∞上为增函数.因()()()()22,11f x fx f x f x =+=+，由()()21f x f x >+ 得到21x x >+，故23210x x -->，13x <-或1x >，选D.3．（2020·山东德州·高三二模）已知函数f （x ）的定义域为R ，且()()()1,02f x f x f '+<=，则不等式()13x f x e +>解集为（）A ．(1,)+∞B ．(,1)-∞C ．(0,)+∞D ．(,0)-∞【答案】C【解析】构造函数()()1xf xg x e+=,则()()()10x f x f x e g x '--=>',故()g x 在R 上为增函数.又()()00103f g e+==,故()13xf x e +>即()13x f x e +>,即()()0g x g >.解得0x >. 故选：C4．（2020·历下·山东师范大学附中高三月考）已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数为()f x '，若()()2sin f x f x x =--，且当0x ≥时，()cos 0f x x '+<，则不等式()sin cos 2f x f x x x π⎛⎫+>+- ⎪⎝⎭的解集为（）A ．,2π⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．,4π⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．,4π⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】令()()sin g x f x x =-，则()()sin g x f x x -=-+，()()2sin f x f x x =--，()()sin sin f x x f x x ∴+=--，()()g x g x ∴-=， ()g x ∴为定义在R 上的偶函数；当0x ≥时，()()cos 0g x f x x ''=+<，()g x ∴在[)0,+∞上单调递减，又()g x 为偶函数，()g x ∴在(],0-∞上单调递增.由()sin cos 2f x f x x x π⎛⎫+>+- ⎪⎝⎭得： ()cos sin sin 222f x x f x x f x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++>+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()2g x g x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，2x x π∴+<，解得：4x π<-，即不等式的解集为,4π⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.故选：C .5．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））已知函数31()sin xx f x x x e e=-+-，其中e 是自然数对数的底数，若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是( )A ．1[,1]2-B ．1[1,]2-C ．1(,1][,)2-∞-⋃+∞D ．1(,][1,)2-∞-⋃+∞【答案】B【解析】由于()31sin xxf x x x e e=-+-，，则f （﹣x ）＝﹣x 3sin x ++e ﹣x ﹣e x ＝﹣f （x ），故函数f （x ）为奇函数．故原不等式f （a ﹣1）+f （2a 2）≤0，可转化为f （2a 2）≤﹣f （a ﹣1）＝f （1﹣a ），即f （2a 2）≤f （1﹣a ）；又f '（x ）＝3x 2﹣cosx+e x +e ﹣x ，由于e x +e ﹣x ≥2，故e x +e ﹣x ﹣cosx>0，所以f '（x ）＝3x 2﹣cosx+e x +e ﹣x ≥0恒成立，故函数f （x ）单调递增，则由f （2a 2）≤f （1﹣a ）可得，2a 2≤1﹣a ，即2a 2+a ﹣1≤0，解得112a -≤≤，故选B ．【题组五利用单调性比较大小】1．（2020·广东盐田·深圳外国语学校高三月考）已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()()0f x xf x '+>，若()660.70.7a f =，()()0.70.7log 6log 6b f =，()0.60.666c f =⋅，则a ，b ，c的大小关系是（） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．a b c >>【答案】A【解析】令()()g x xf x =，由()y f x =是定义在R 上的偶函数，可得()()g x xf x =是定义在R 上的奇函数，又因为[)0,x ∈+∞时，()()0y f x xf x ''=+>，所以()()g x xf x =在[)0,+∞上是增函数，所以()()g x xf x =是定义在R 上的增函数，又由60.60.7log 600.716<<<<，所以()060.6.7(0.7)l )og 6(6g g g <<，即b a c <<. 故选：A.2．（2020·江苏淮安·高三月考）已知函数()sin f x x x =+，x ∈R ，若()23a f log =，132b f log ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22c f -=则a ，b ，c 的大小为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>【答案】B【解析】因为()1cos 0f x x '=+≥，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，因为23(1,)log ∈+∞，()133221,0log log =-∈-，2124-=，所以1231234log log <<，所以()22133(2)2f log f f log -⎛⎫>> ⎪⎝⎭，故a c b >>．故选：B ．3．（2020·五华·云南师大附中高三月考（理））已知函数2()sin f x x x x =-，若0.2(log 3)a f =，3(log 0.2)b f =，3(0.2)c f =，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】B【解析】函数2()sin (sin )f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-，(0,)x ∈+∞，则()1cos 0g x x '=-在(0,)+∞恒成立，∴函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0g x g ∴>=，即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，且()0>g x ，又函数y x =在(0,)+∞上单调递增，且0y >，∴函数2()sin (sin )f x x x x x x x =-=-，在(0,)+∞上单调递增，且()0f x >，又22()()()sin()sin ()f x x x x x x x f x -=----=-=，∴函数()f x 是偶函数，0.255(log 3)(log 3)(log 3)a f f f ∴==-=，333(log 0.2)(log 5)(log 5)b f f f ==-=，5535log log log <<，∴51312log <<，而33log 5log 31>=，30.20.008=， ∴335530.20log log >>>，又函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴335(5)(3)(0.2)f log f log f >>，即b a c >>，故选：B ．4．（2020·河南高三其他（理））设01x <<，则222,(),x x xe e e a b c x x x===的大小关系是（）A ．a b c <；又201x x <<<，2()()f x f x ∴>，即22x x e e x x>，故c a >，a cb ∴<<．故选：B ．5．（2020·江西南昌二中高三月考（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()xf x e x =+，则()2a f =-，()2log 9b f =，c f =的大小关系为（）A ． a b c >>B ． a c b >>C ． b a c >>D ． b c a >>【答案】D【解析】当0x ≥时，()x f x e x =+，则()10xf x e '=+>，所以()f x 在[)0,x ∈+∞上单调递增，由22log 9log 832>=>，所以()()2log 92f ff >>，因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()22a f f =-=，所以 b c a >>，故选：D。

5.3.1 函数的单调性(精讲)(解析版)--人教版高中数学精讲精练选择性必修二

2 件.故选：B.
2．（2022·四川·成都市温江区新世纪光华学校高二期中（文））已知函数 f x x3 x2 ax 1在 R 上为单调
递增函数，则实数 a 的取值范围为（）
A．
,
1 3
B．
,
1 3
【答案】A
C．
1 3
,
D．
1 3
,
【解析】 f x 3x2 2x a ，
A． 2 2,
B． 2 2,
C． , 2 2
D． ,2 2
【答案】D
【解析】由题可知， f x 0 在 2, 1 内存在解，因为 f x x2 ax 2 ，所以 f x 0 在 2, 1 内存在
解，等价于 x 2 a 在 2, 1 内存在解，易知函数 y x 2 在 2, 2 上递增，在 2, 1 上递减，所
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若函数 f x 单调递增，有 f x e2x 2ex a ex 1 2 a 1 0 恒成立，
可得 a 1 0 ，解得： a 1 ，
因为 a 1 a 0 ，但 a 0 a 1 ，所以“ a<0 ”是“函数 f x 1 e2x 2ex ax 为增函数”的必要不充分条
x
x
以
x
2 x
max
2
2 ，当且仅当 x
2 时取得，所以 a 2
2 ．故选：D．
4．（2022·广西）已知函数 f (x) ln x ax 2 在区间 (1, 2) 上不单调，则实数 a 的取值范围为（）
A．
1 2
,1
B．
1 2
,1
C．
1 3
,
1 2

人教版高中数学选择性必修第二册5.3.1函数的单调性同步练习(含解析)

5.3导数在研究函数中的应用5.3.1函数的单调性基础过关练题组一利用导数研究函数的图象变化1.如图所示的是导函数y=f'(x)的图象,那么函数y=f(x)的单调递减区间是()A.(x1,x3)B.(x2,x4)C.(x4,x6)D.(x5,x6)2.设函数f(x)的图象如图所示,则导函数f'(x)的图象可能为()3.若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是()4.已知f(x)满足f(4)=f(-2)=1,f'(x)为其导函数,且导函数y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)<1的解集是.题组二利用导数确定函数的单调性与单调区间5.函数f(x)=x+ln x()A.在(0,6)上是增函数B.在(0,6)上是减函数C.在0,,上是增函数D.在0,,上是减函数6.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是()A.y=sin xB.y=xe xC.y=x3-xD.y=ln x-x7.(2020河南开封五县高二上期末联考)函数y=1 +3ln x的单调递增区间为()A.(0,1)B.C.(1,+∞)∞8.(2020广西来宾高二下期末)函数f(x)=x2ln x的单调递减区间为()A.(0,e)∞C.(e,+∞)D.9.求下列函数的单调区间.(1)f(x)=3x2-2ln x;(2)f(x)=x2·e-x;(3)f(x)=x+1 .10.(2020天津部分区高二上期末)已知函数f(x)=x3-ax2+b(a,b∈R).(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-1=0,求a,b的值;(2)若a>0,求f(x)的单调区间.11.(2020浙江金华江南中学月考)已知函数f(x)=ax2+2x-43ln x的导函数f'(x)的一个零点为x=1.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间.题组三利用导数解决含参函数的单调性问题12.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是单调函数,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-3]∪[3,+∞)B.[-3,3]C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-3,3)13.若函数f(x)=ax3+3x2+x+b(a>0,b∈R)恰好有三个不同的单调区间,则实数a的取值范围是()A.(0,3)∪(3,+∞)B.[3,+∞)C.(0,3]D.(0,3)14.若函数y=x2-2bx+6在(2,8)内是增函数,则实数b的取值范围是.15.若f(x)=-12x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则b的取值范围是.16.试求函数f(x)=kx-ln x的单调区间.17.已知函数f(x)=x3+ax2+(2a-3)x-1.(1)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求实数a的值;(2)若f(x)在区间(-1,1)内单调递减,求实数a的取值范围.能力提升练题组一利用导数研究函数的图象变化1.(2020浙江杭州六校高二下期中,)若函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()2.(2020河北冀州中学高三上期末,)在R 上可导的函数f(x)的图象如图所示,则关于x 的不等式xf'(x)<0的解集为()A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-2,-1)∪(1,2)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)3.(2020浙江绍兴高三上期末,)函数f(x)=2+x e的大致图象是()4.()已知函数f(x)与f'(x)的图象如图所示,则函数g(x)=( )e的单调递减区间为.题组二利用导数研究函数的单调性及其应用5.(2020福建三明高二上期末质量检测,)若x,y∈-π2,π2且xsin x-ysin y>0,则下列不等式一定成立的是()A.x<yB.x>yC.|x|<|y|D.|x|>|y|6.(2019山东聊城一中高三上期中,)函数f(x)=sinπ3为f(x)的导函数,令a=12,b=log32,则下列关系正确的是()A.f(a)<f(b)B.f(a)>f(b)C.f(a)=f(b)D.f(a)≤f(b)7.(2020湖南长沙长郡中学高二上期末,)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为(深度解析) A.(-1,1) B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)8.(多选)()若函数g(x)=e x f(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的为()A.f(x)=2-xB.f(x)=3-xC.f(x)=x3D.f(x)=x2+29.(多选)()素数分布问题是研究素数性质的重要课题,德国数学家高斯提出了一个猜想:π(x)≈ ln ,其中π(x)表示不大于x的素数的个数,即随着x的增大,π(x)的值近似接近 ln 的值.从猜想出发,下列推断正确的是()A.当x很大时,随着x的增大,π(x)的增长速度变慢B.当x很大时,随着x的增大,π(x)减小C.当x很大时,在区间(x,x+n)(n是一个较大常数)内,素数的个数随x的增大而减少D.因为π(4)=2,所以π(4)>4ln410.(2020江西上饶高二中、高三上第三次段考,)已知函数f(x)=x+sin x,若正实数a,b满足f(4a)+f(b-9)=0,则1 +1 的最小值为. 11.()已知函数f(x)=ln x-ax+1− -1(a∈R).(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)当a≤12时,讨论f(x)的单调性.12.(2020河南濮阳高二上期末,)已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间;(2)若a>0,求不等式-x>0的解集.题组三利用导数解决含参函数的单调性问题13.(2020河南新乡高二上期末,)已知函数f(x)=e x(a-cos x)在R上单调递增,则a的取值范围为()A.[1,+∞)B.(-∞,-2]C.[2,+∞)D.(-∞,-1]14.(2020河北保定高二上期末,)已知函数f(x)=x2-9ln x+3x在其定义域内的子区间(m-1,m+1)上不单调,则实数m的取值范围是(), B.1, D.15.(2020山西吕梁高二上期末,)已知f(x)=aln x+12x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2,都有 ( 1)-f( 2)1- 2>2成立,则a的取值范围是(深度解析)A.(0,1]B.(1,+∞)C.(0,1)D.[1,+∞)16.(2019河北张家口高三上期末,)函数f(x)=sin x-aln x在单调递增,则实数a的取值范围是.深度解析17.()已知函数f(x)=ax2+ln(x+1).(1)当a=-14时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围.18.(2020辽宁省实验中学高三上期末,)已知a∈R,函数f(x)=e x+ax2.(1)已知f'(x)是函数f(x)的导函数,记g(x)=f'(x),若g(x)在区间(-∞,1]上为单调函数,求实数a的取值范围;(2)设实数a>0,求证:对任意实数x1,x2(x1≠x2),总有< ( 1)+f( 2)2成立.附:简单复合函数求导法则为[f(ax+b)]'=af'(ax+b).答案全解全析基础过关练1.B函数的单调递减区间就是使其导函数的值小于零的区间.故选B.2.C∵f(x)在(-∞,1),(4,+∞)上为减函数,在(1,4)上为增函数,∴当x<1或x>4时,f'(x)<0;当1<x<4时,f'(x)>0.故选C.3.A因为y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,所以函数f(x)图象上的点的切线斜率是递增的.故选A.4.答案(-2,4)解析由f(x)的导函数f'(x)的图象知,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.当x≤0时,由f(x)<1=f(-2),得-2<x≤0;当x>0时,由f(x)<1=f(4),得0<x<4.综上所述,f(x)<1的解集为(-2,4).5.A f'(x)=1+1 = +1 (x>0),当0<x<6时,f'(x)>0,∴f(x)在(0,6)上是增函数.6.B A中,y'=cos x,在(0,+∞)内不恒大于0,故A不满足题意;B中,y'=e x+xe x=e x(1+x),当x∈(0,+∞)时,y'>0,故B满足题意;C中,y'=3x2-1,在(0,+∞)内不恒大于0,故C不满足题意;D中,y'=1 -1=1− ,在(0,+∞)内不恒大于0,故D不满足题意.故选B.7.D易知函数y=1 +3ln x的定义域为(0,+∞),y'=-1 2+3 =3 -1 2,令y'=3 -1 2>0,解得x>13.故选D.8.D由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x·ln x+x2·1 =2xln x+x=x(2ln x+1).令f'(x)<0,得2ln x+1<0,解得故函数f(x)=x2ln x的单调递减区间为0,9.解析(1)易知函数的定义域为(0,+∞).f'(x)=6x-2,令f'(x)=0,解得x1=3,x2=-3(舍去),用x1分割定义域,得下表:∴函数f(x)的单调递减区间为0,∞.(2)易知函数的定义域为(-∞,+∞).f'(x)=(x2)'e-x+x2(e-x)'=2xe-x-x2e-x=e-x·(2x-x2),令f'(x)=0,得x=0或x=2,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,0)(0,2)(2,+∞)f'(x)-+-f(x)↘↗↘∴f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(2,+∞),单调递增区间为(0,2). (3)易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).f'(x)=1-1 2,令f'(x)=0,得x=-1或x=1,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1)(-1,0)(0,1)(1,+∞) f'(x)+--+f(x)↗↘↘↗∴函数f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1),单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).10.解析(1)∵f(x)=x3-ax2+b(a,b∈R),∴f'(x)=3x2-2ax.∵函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-1=0,∴ '(1)=3-2a=−1,(1)=1- + =0,解得 =2, =1.(2)由(1)得f'(x)=3x2-2ax=3x x-2 3,令f'(x)=0,得x=0或x=2 3.∵a>0,∴当f'(x)>0时,x∈(-∞,0)∪2 3,+∞;当f'(x)<0时,x∈0,∴f(x)的单调递增区间为∞,单调递减区间为0, 11.解析(1)f'(x)=2ax+2-43 ,由f'(1)=2a+23=0,得a=-13.(2)由(1)得f(x)=-13x2+2x-43ln x,则f'(x)=-23x+2-43 =-2( -1)( -2)3 .令f'(x)=0,得x=1或x=2.当f'(x)>0时,1<x<2;当f'(x)<0时,0<x<1或x>2.因此f(x)的单调递增区间是(1,2),单调递减区间是(0,1),(2,+∞).12.B由题意知,f'(x)=-3x2+2ax-1,因为y=f(x)在R上是单调函数,且y=f'(x)的图象开口向下,所以f'(x)≤0在R上恒成立,故Δ=4a2-12≤0,即-3≤a≤3.13.D由题意得f'(x)=3ax2+6x+1(a>0),∵函数f(x)恰好有三个不同的单调区间,∴f'(x)有两个不同的零点,∴Δ=36-12a>0,解得0<a<3,∴实数a的取值范围是(0,3).故选D.14.答案(-∞,2]解析由题意得y'=2x-2b≥0在(2,8)内恒成立,即b≤x在(2,8)内恒成立,所以b≤2.15.答案(-∞,-1]解析∵f(x)在(-1,+∞)上是减函数,∴f'(x)≤0在(-1,+∞)上恒成立.∵f'(x)=-x+ +2,∴-x+ +2≤0在(-1,+∞)上恒成立,即b≤x(x+2)在(-1,+∞)上恒成立.令g(x)=x(x+2)=(x+1)2-1,则当x>-1时,g(x)>-1,∴b≤-1.16.解析易知函数f(x)=kx-ln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=k-1 = -1 .当k≤0时,kx-1<0,∴f'(x)<0,则f(x)在(0,+∞)上单调递减.当k>0时,令f'(x)<0,得0<x<1 ;令f'(x)>0,得x>1 .∴当k>0时,f(x)的单调递减区间为∞.综上所述,当k≤0时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;当k>0时,f(x)的单调递减区间为∞.17.解析由题意得f'(x)=3x2+2ax+2a-3=(x+1)(3x+2a-3).(1)∵f(x)的单调递减区间为(-1,1),∴-1和1是方程f'(x)=0的两个根,∴3−2 3=1,∴a=0.(2)∵f(x)在区间(-1,1)内单调递减,∴f'(x)≤0在(-1,1)内恒成立.又二次函数y=f'(x)的图象开口向上,方程f'(x)=0的一根为-1,∴3−2 3≥1,∴a≤0.∴实数a的取值范围是{a|a≤0}.能力提升练1.D设导函数y=f'(x)的图象与x轴交点的横坐标从左到右依次为x1,x2,x3,其中x1<0,x3>x2>0,故y=f(x)在(-∞,x1)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,在(x2,x3)上单调递减,在(x3,+∞)上单调递增.故选D.2.A由f(x)的图象得,f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,因此,当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(-1,1)时,f'(x)<0.则xf'(x)<0⇔ >0, '(x)<0或 <0, '(x)>0,解得0<x<1或x<-1,故选A.3.A函数y= 2+x e 的导数为y'=- 2+x+1e ,令y'=0,得x=1±5,当x∈-∞,y'<0,当x5,y'>0,当x1+2∞∴函数在-∞,∞上单调递减,,增,排除D.当x=0时,y=0,排除B.当x=-1时,y=0,当x=-2时,y>0,排除C.故选A.4.答案(0,1),(4,+∞)解析g'(x)= '(x)e -f(x)(e )'(e )2= '(x)-f(x)e ,由题中图象可知,当x∈(0,1)时,f'(x)-f(x)<0,此时g'(x)<0;当x∈(4,+∞)时,f'(x)-f(x)<0,此时g'(x)<0,故函数g(x)= ( )e 的单调递减区间为(0,1),(4,+∞).5.D构造函数f(x)=xsin x,x∈-π2,π2,则f(x)是偶函数,且f'(x)=sin x+xcos x.当0≤x≤π2时,f'(x)≥0,因此f(x)在0,,从而xsin x-ysin y>0⇔xsin x>ysin y⇔f(x)>f(y)⇔f(|x|)>f(|y|)⇔|x|>|y|,故选D.6.B由题意得,f'(x)=cosπ3+2f'解得=-12,所以f(x)=sin x-x.所以f'(x)=cos x-1≤0,所以f(x)为减函数.因为b=log32>log33=12=a,所以f(a)>f(b),故选B.7.B令g(x)=f(x)-2x-4,则g'(x)=f'(x)-2.因为f'(x)>2,所以f'(x)-2>0,即g'(x)>0,所以g(x)=f(x)-2x-4在R上单调递增.又因为f(-1)=2,所以g(-1)=f(-1)-2=0,所以g(x)>0⇔g(x)>g(-1)⇔x>-1,所以f(x)>2x+4的解集是(-1,+∞),故选B.易错警示构造函数解不等式是利用导数解决函数单调性问题的一个重要题型,构造函数时,要结合导数与不等式,如本题中构造函数g(x)=f(x)-2x-4,根据g'(x)=f'(x)-2和f'(x)>2得到单调性.8.AD对于A,f(x)=2-x,则g(x)=e x f(x)=e x·2-x为R上的增函数,符合题意;对于B,f(x)=3-x,则g(x)=e x f(x)=e x·3-x为R上的减函数,不符合题意;对于C,f(x)=x3,则g(x)=e x f(x)=e x·x3,g'(x)=e x·x3+3e x·x2=e x(x3+3x2)=e x·x2(x+3),当x<-3时,g'(x)<0,当x>-3时,g'(x)>0,∴g(x)=e x f(x)在定义域R上先减后增,不符合题意;对于D,f(x)=x2+2,则g(x)=e x f(x)=e x(x2+2),g'(x)=e x(x2+2)+2xe x=e x(x2+2x+2)>0在R上恒成立,符合题意.故选AD.9.AC设函数f(x)= ln ,x>0且x≠1,则f'(x)=ln -1ln2x=1ln -1ln2x,x>0且x≠1,f″(x)=2−ln (ln )3,x>0且x≠1,当x→+∞时,f″(x)<0,故当x很大时,随着x的增大,π(x)的增长速度变慢,故A正确;函数f(x)= ln 的图象如图所示:由图象可得随着x的增大,π(x)并不减小,故B错误;当x很大时,在区间(x,x+n)(n是一个较大常数)内,函数增长得慢,素数的个数随x的增大而减少,故C正确;4ln4≈2.89>2,故D错误.故选AC.10.答案1解析因为f(-x)=-x-sin x=-f(x),所以f(x)是奇函数.又f'(x)=1+cos x≥0在R上恒成立,∴f(x)在R上是增函数.于是f(4a)+f(b-9)=0⇔f(4a)=f(9-b)⇔4a=9-b⇔4a+b=9,又a>0,b>0,∴1 +1 =19+(4a+b)=195+ +4 ≥194 =1,当且仅当b=2a=3时取等号,即1 +1 的最小值为1.11.解析(1)当a=-1时,f(x)=ln x+x+2 -1(x>0),f'(x)=1 +1-2 2,f(2)=ln2+2,f'(2)=1,故所求切线方程为y=x+ln2.(2)因为f(x)=ln x-ax+1− -1x>0,a≤12,所以f'(x)=1 -a+ -1 2=- 2-x+1−a 2(x>0),令g(x)=ax2-x+1-a=(x-1)(ax-1+a)(x>0).(i)当a=0时,g(x)=-x+1(x>0),所以当x∈(0,1)时,g(x)>0,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增.(ii)当a≠0时,令g(x)=0,解得x=1或x=1 -1.①若a=12,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;②若0<a<12,则函数f(x)在∞上单调递减,在1,1 -1上单调递增;③当a<0时,1 -1<0,若x∈(0,1),则g(x)>0,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;若x∈(1,+∞),则g(x)<0,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增.综上所述,当a≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;当a=1时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;当0<a<12时,函数f(x)在∞上单调递减,在1,1 -1上单调递增.12.解析(1)易知f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1 -a=1− ,①若a≤0,则f'(x)>0恒成立,故f(x)在(0,+∞)上单调递增;②若a>0,则当0<x<1 时,f'(x)>0,当x>1 时,f'(x)<0,综上,当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),当a>0时,f(x)的单调递增区间为∞.(2)∵f(x)的定义域为(0,+∞),>0,-x>0,>0,∴0<x<2 .设-x=ln2 -x-x=ln-x 0,则F'(x)=1 +12-x-2a=2 0,∴F(x)在0,,又∴当x∈,F(x)<0,当x,,F(x)>0,∴-x>013.C因为f(x)=e x(a-cos x)在R上单调递增,所以f'(x)=e x(a-cos x+sin x)≥0恒成立,即a≥cos x-sin x恒成立.令g(x)=cos x-sin x,则g(x)=cos x-sin x=2cos +即g(x)∈[-2,2],所以a≥2.故选C.14.D因为f(x)=x2-9ln x+3x,所以f'(x)=2x-9 +3,令f'(x)=0,即2x-9 +3=0,解得x=32或x=-3(舍去).所以当x∈0,,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x,+∞时,f'(x)>0,f(x)单调递增.因为f(x)在区间(m-1,m+1)上不单调,所以m-1<32<m+1,解得12<m<52,因为(m-1,m+1)是函数f(x)定义域内的子区间,所以m-1≥0,即m≥1,所以m的取值范围是故选D.15.D由 ( 1)-f( 2)1- 2>2,得 ( 1)-2 1-[f( 2)-2 2]1- 2>0,令g(x)=f(x)-2x=aln x+12x2-2x(a>0),则g(x)为增函数,所以g'(x)= +x-2≥0(x>0,a>0)恒成立,即a≥x(2-x)恒成立,又当x>0时,x(2-x)的最大值为1,所以a≥1.方法技巧解决不等式恒成立问题,常见的解题技巧是分离变量,这样可以避免分类讨论,如本题中将不等式 +x-2≥0恒成立中的a分离出来,即为a≥x(2-x)恒成立.16.答案(-∞,0]解析函数f(x)=sin x-aln x在0,π4上单调递增,即f'(x)=cos x- ≥0在,即a≤xcos x在0,.令g(x)=xcos x,则g'(x)=cos x-xsin x,令h(x)=cos x-x·sin x,则h'(x)=-2sin x-xcos x<0在,所以g'(x)在,又所以g'(x)>0恒成立,所以函数g(x)在,可得g(x)>g(0)=0,所以a≤0.方法技巧利用导数解决函数的单调性问题时,经常会遇到f(x)=0(或f(x)>0)这样的方程(或不等式)不易求解的情况,可采用二次求导来解决问题,如本题中,g'(x)=cos x-xsin x=0,不易求解,令h(x)=cos x-x·sin x,再求一次导数h'(x)=-2sin x-xcos x,即二次求导.17.解析(1)当a=-14时,f(x)=-14x2+ln(x+1)(x>-1),则f'(x)=-12x+1 +1=-( +2)( -1)2( +1)(x>-1).令f'(x)>0,解得-1<x<1;令f'(x)<0,解得x>1.故函数f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,+∞). (2)因为函数f(x)在区间[1,+∞)上是减函数,所以f'(x)=2ax+1 +1≤0对任意x∈[1,+∞)恒成立,即a≤-12 ( +1)对任意x∈[1,+∞)恒成立.令g(x)=-12 ( +1),x∈[1,+∞),易求得g'(x)>0在[1,+∞)上恒成立,所以g(x)在[1,+∞)上单调递增,因此g(x)min=g(1)=-14,故a≤-14.即实数a的取值范围是-∞18.解析(1)由已知得f'(x)=e x+2ax,则g(x)=f'(x)=e x+2ax,则g'(x)=e x+2a.①若a≥0,则g'(x)>0,g(x)在区间(-∞,1]上单调递增,符合题意;②若a<0,令g'(x)=0,解得x=ln(-2a),∵g'(x)是单调递增函数,∴要使g(x)在区间(-∞,1]上为单调函数,只需ln(-2a)≥1,解得a≤-e2,此时g(x)在区间(-∞,1]上为单调递减函数.由①②可得,使导函数f'(x)在区间(-∞,1]上为单调函数的a的取值范围是-∞[0,+∞).(2)证明:∵x1≠x2,∴不妨设x1<x2,取x1为自变量构造函数F(x1- ( 1)+f( 2)2,则F'(x1)=1f'- '( 1)2=12 '-f'( 1),∵a>0,∴f'(x)=e x+2ax在R上单调递增,又 1+ 22-x1= 2- 12>0,∴1),即F'(x1)>0.∴关于x1的函数F(x1)单调递增,∴F(x1)<F(x2)=0,∴< ( 1)+f( 2)2.。

高中试卷-5.3.1函数的单调性(2) -B提高(含答案)

5.3.1函数的单调性(2) -B 提高练一、选择题1．（2021·全国高二课时练）已知函数2()ln f x x x ax =++的单调递减区间为1(,1)2，则a 的值为（）A ．(,3)-¥-B ．3-C ．3D ．(,3)-¥【答案】B【详解】由题得1()20f x x a x ¢=++<的解集为1(,1)2，所以不等式2210x ax ++<的解集为1(,1)2，所以11,322a a +=-\=-，故选：B 2．（2020·全国高二课时练习（文））已知函数3()f x x x =+，则0ab +>是()()0f a f b +>的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】C【详解】由题意可得：'2()3+1>0f x x =恒成立，所以函数()3+f x x x =在R 上递增，又()()()33()()f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以函数()f x 是奇函数，当 0a b +>时，即a b >-，所以()()()f a f b f b >-=-，即()()0f a f b +>；当()()0f a f b +>时，即()()()f a f b f b >-=-，所以a b >-，即0a b +>，所以“0a b +>”是“()()0f a f b +>”的充要条件.故选：C.3．（2021·全国高二课时练）若函数()()3230,f x ax x x b a b =+++>ÎR 恰好有三个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是（）A ．()()0,33,+¥U B ．[)3,+¥C ．(]0,3D ．()0,3【答案】D 【详解】由题意得()()23610f x ax x a ¢=++>，Q 函数()f x 恰好有三个不同的单调区间，()f x ¢\有两个不同的零点，所以，361200a a D =->ìí>î，解得0<<3a .因此，实数a 的取值范围是()0,3.故选：D.5．（多选题）（2020·全国高二课时练）已知函数()ln f x x x =，若120x x << ，则下列结论正确的是( )A ．2112()()x f x x f x -时，112221()()2()x f x x f x x f x +>【答案】AD 【详解】令()()ln f x g x x x==，在(0，+∞)上是增函数，∴当120x x <<时，12()()<g x g x ，∴()()1212f x f x x x < 即2112()()x f x x f x <；故A 正确；令()()lng x f x x x x x =+=+，()ln 2g x x ¢\=+，2),(x e \Î+¥﹣ 时，()0g x ¢>，()g x 单调递增，20,()x e Î﹣ 时，()0g x ¢<，()g x 单调递减．11()x f x \+与22()x f x +无法比较大小；故B 错误；因为令()()ln g x f x x x x x =-=-，()ln g x x ¢=，(0,1)x \Î时，()0g x ¢<，()g x 在(0,1)单调递减，(1,)x Î+¥时，()0g x ¢>，()g x 在(1,)+¥单调递增，\当1201x x <<<时，12()()g x g x >，1122()()f x x f x x \->-，1212()()f x f x x x \->- ，1212()()0f x f x x x -\-<．当121x x <<时，12()()<g x g x ，1122()()f x x f x x \-<-，1212()()f x f x x x \-<-，1212()()0f x f x x x -\>-；故C 错误；因为ln 1x >-时，()f x 单调递增，又因为A 正确，][1122211122211212()()()[()()()()]()2[()()]0x f x x f x x f x x f x f x x f x f x x x f x f x \×+×>+--=-->-故D 正确；故选：AD ．6．（多选题）已知函数()ln(1)f x x x =+，则（）A ．()f x 在(0,)+¥单调递增B ．()f x 有两个零点C ．曲线()y f x =在点11,22f æöæö--ç÷ç÷èøèø处切线的斜率为1ln 2--D ．()f x 是偶函数【答案】AC 【详解】由()ln(1)f x x x =+知函数的定义域为(1,)-+¥，)ln(1)1(x x f x x =+¢++，当(0,)x Î+¥时，ln(1)0,01x x x+>>+，()0f x ¢\>，故()f x 在(0,)+¥单调递增，A 正确；由(0)0f =，当10x -<<时，ln(1)0,()ln(1)0x f x x x +<=+>，当ln(1)0,()0x f x +>>，所以()f x 只有0一个零点，B 错误；令12x =-，1ln 1ln 2121(2f =-=---¢，故曲线()y f x =在点11,22f æöæö--ç÷ç÷èøèø处切线的斜率为1ln 2--，C 正确；由函数的定义域为(1,)-+¥，不关于原点对称知，()f x 不是偶函数，D 错误；故选：AC二、填空题7．（2021·天津河西区·高二期末）函数3()3f x x x =-的单调递增区间是________.【答案】()1,1-【详解】3()3f x x x =-Q ，()233f x x ¢\=-，令()0f x ¢>，即2330x ->，解得11x -<<，()f x \的单调递增区间是()1,1-.8．（2021·陕西省黄陵县中学高二期末）若函数()32f x x bx cx d =+++的单调递减区间为()1,3-，则b c +=_________．【答案】12-【详解】由题意2()32f x x bx c ¢=++，所以2320x bx c ++=的两根为1-和3，所以2133133b c ì-=-+ïïíï=-´ïî，所以3,9b c =-=-，12b c +=-．9．（2021·安徽淮南市高二期末）已知函数2()ln 3m f x x x x x=+-+．若函数()f x 在[1,2]上单调递减，则实数m 的最小值为________．【答案】6【详解】21()23m f x x x x¢=+--，()0f x ¢£，可得3223m x x x ³-+，令()3223g x x x x =-+，若函数()f x 在[1,2]上单调递减，即()maxm g x ³当[1,2]x Î时，()2661g x x x ¢=-+单调增，()()266110g x x x g ¢¢=-+³>，所以函数()g x 在[1,2]上单调递增，()()max 26g x g ==，所以6m ³.10．（2021·陕西西安市高二期末）已知定义在()0,¥+上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()()f x x f x ×<，()30f =，则()0f x x >的解集为_________.【答案】(0,3)【详解】设()()f x g x x =，因为'()()f x x f x ×<，所以''2()()()0()x f x f x g x g x x×-=<Þ是()0,¥+上的减函数，因为()30f =，所以()03g =，因此()0()0(3)3,0,03f x g x g x x x x>Þ>=Þ<>\<<Q .所以()0f x x >的解集为(0,3).故答案为：(0,3)三、解答题11．（2021·安徽省舒城中学高二期末）已知函数()2ln f x x a x =+.（1）当2a =-时，求函数()f x 在点()()11f ，处的切线方程；（2）若()()2g x f x x=+在[1,+)¥上是单调增函数，求实数a 的取值范围.【详解】（1）当2a =-时，()22f x x lnx =-，定义域为(0,)+¥，2222()2x f x x x x -¢=-=，所以函数()f x 在点()()11f ，处的切线的斜率为2212(1)01f ´-¢==，又(1)1201f =-´=，所以函数()f x 在点()()11f ，处的切线方程为1y =（2）因为()()2g x f x x =+22ln x a x x=++在[1,+)¥上是单调增函数，所以322222()2a x ax g x x x x x+-¢=-+=0³在[1,+)¥上恒成立，即222a x x³-在[1,+)¥上恒成立，因为222y x x =-在[1,+)¥上为单调递减函数，所以当1x =时，222y x x =-取得最大值0，所以0a ³.12．（2021·浙江高二期末）已知函数()()21ln 11ax f x x x -=-+-（1）若1a =，试求()f x 在()2,3点处的切线方程；（2）当0a >时，试求函数()f x 的单调增区间；（3）若在定义域上恒有()23f x x ³+成立，求实数a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()()21ln 1ln(1)11x f x x x x x -=-+=-++-，()111f x x -¢=+，()22k f =¢=，由切线过点()2,3，所以切线方程为()322y x -=-，即切线方程为210x y --=.(2) ()()21ln 11ax f x x x -=-+-的定义域为()1,+¥，()()()2222121111(1)(1)a ax x ax x ax a f x x x x -æö-ç÷---èø=+¢=---，令()0f x ¢=，解得21a x a -=，当211a a -=即1a =时，()01x f x x ¢=>-恒成立，则函数()f x 的单调增区间为()1,+¥，当211a a ->即1a >时，21a x a ->时，()0f x ¢>，函数()f x 的单调增区间为21,a a -æö+¥ç÷èø，当211a a-<即01a <<时，1x >时，()0f x ¢>，则函数()f x 的单调增区间为()1,+¥.综上所述，当01a <£时，函数()f x 的单调增区间为()1,+¥；当1a >时，函数()f x 的单调增区间为21,a a -æö+¥ç÷èø.(3)函数定义域为()1,+¥，()23f x x ³+恒成立即21ln(1)231ax x x x --+³+-恒成立，当2x =时，()24143f a =-³+必成立，2a \³，令()()21ln 1231ax h x x x x -=-+---，则()()22211212(1)(1)h x x ax ax x x éù=×-+-+--¢ëû-()(2212)522](1)a x a x x é=×-+--ë-()()21212(1)a x x x éù=×-+×-ëû-，2a ³Q \在(1,2)上()0h x ¢<，在(2,)+¥上()0h x ¢>，\()h x 在(1,2)单调递减，(2,)+¥上单调递增，()(2)417480h x h a a \³=--=-³，故2a ³.。

5.3.1 函数的单调性(精练)高二数学同步讲与练(人教A版2019选择性必修第二册)(解析版)

5.3.1函数的单调性【题组1求函数的单调区间】1、函数()ln f x x x =-+的递增区间是（）A．()(),01,-∞⋃+∞B．(),0-∞和()1,+∞C．()1,+∞D．()1,-+∞【答案】C【解析】由题设，1()10'=->f x x且,()0x ∈+∞，可得1x >，所以()f x 递增区间为()1,+∞.故选：C2、函数()()2e xf x x =+的单调递减区间是（）A．(),3-∞-B．()0,3C．()3,0-D．()3,-+∞【答案】A【解析】()()()e 2e 3e x x xf x x x '=++=+，令()0f x '<，得3x <-，所以函数()f x 的单调递减区间是(),3-∞-，故选：A.3、函数2()2x x f x =的单调递增区间为__________.【答案】2(0,)ln 2【解析】函数2()2x x f x =，则()()()2'22ln 2ln 222222x x x x x f x x x x -⋅-⋅⋅⋅==，令()0f x '=解得20,ln 2x x ==，当(),0x ∈-∞时,()0f x '<,函数()f x 单调递减，当20,ln 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,函数()f x 单调递增，当2,ln 2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时,()0f x '<,函数()f x 单调递减，故答案为：2(0,)ln 2.4、求下列函数的单调区间：（1）()232ln f x x x =-；（2）()()0b f x x b x=+>．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】（1）易得函数()f x 的定义域为()0,∞+，())21126f x x xx+-'=-=，令()0f x '=，解得13x =，23x =（舍去），当x 变化时，()f x ，()f x '的变化情况如下表所示：∴函数()f x 的单调递减区间为0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递增区间为3⎫∞⎪⎪⎝⎭；（2）易得函数()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，()(2211b f x x x x x'=-=，令()0f x '=，解得x =x =当x 变化时，()f x ，()f x '的变化情况如下表所示：∴函数f x 的单调递增区间为,-∞，+∞；单调递减区间为()，(．5、已知函数()2(n 2)l a f x a x x x -+=+（a ∈R ）.（1）2a =-，求函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】（1）10y -=；（2）答案见解析【解析】（1）2a =-时，()22ln f x x x =-，()22f x x x'=-，切线的斜率()10,(1)1k f f '===，则切线方程为10y -=；（2）函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()()1(2)22x a x x af x a xx---++='=，①当0a ≤时，20x a ->，由()0f x ¢>，得1x >；由()0f x '<，得0 1.x <<则函数()f x 的单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1.②当012a <<，即02a <<时，由()0f x ¢>，得02ax <<或1x >；由()0f x '<，得12ax <<.则函数()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,+∞，函数()f x 的单调递减区间为,12a⎛⎫⎪⎝⎭.③当12a =，即2a =时，()0f x '≥恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+.④当12a>，即2a >时，由()0f x '>，得01x <<或2ax >；由()0f x '<，得12a x <<，则函数()f x 的单调递增区间为()0,1，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，函数()f x 的单调递减区间为1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减；当02a <<时，函数()f x 在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增，在,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当2a =时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当2a >时，函数()f x 在()0,1和,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.【题组2已知函数的单调性求参数】1、已知函数()321f x x x ax =+-+在R 上为单调递增函数，则实数a 的取值范围为（）A．1,3⎛⎤-∞-⎥⎝⎦B．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】()232f x x x a '=+-，因为()f x 在R 上为单调递增函数，故()0f x ¢³在R 上恒成立，所以4120a ∆=+≤即13a ≤-，故选：A.2、已知函数()2()2e xf x x ax =-，若()f x 在[]1,1-上是单调减函数，则实数a 的取值范围是（）A．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】由()()22e xf x x ax =-，得()()()()2222e 2e 222e x x x f x x a x ax x ax x a '=-+-=-+-，函数()f x 在[]1,1-上为单调减函数，()()2222e 0x f x x ax x a '∴=-+-≤对[]1,1x ∈-恒成立，即22220x ax x a -+-≤对[]1,1x ∈-恒成立，()()()221212012120a a a a ⎧----≤⎪∴⎨+--≤⎪⎩，解得34a ≥，∴a 的取值范围是3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：A.3、若函数()212ln 2f x ax ax x =--在区间()3,4上不单调，则a 的取值范围是（）A．11,,83∞∞⎛⎤⎡⎫-⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B．11,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．11,83⎛⎫ ⎪⎝⎭D．11,,38∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】()21212ax ax f x ax a x x--'=--=，()3,4x ∈，当0a =时，()10f x x'=-<在()3,4上恒成立，此时()f x 在()3,4上单调递减，不合要求，舍去；当0a ≠时，则要求()221h x ax ax =--的零点在()3,4内，()221h x ax ax =--的对称轴为1x =，由零点存在性定理可得：()()340h h ⋅<，故()()96116810a a a a ----<，解得：11,83a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故a 的取值范围11,83⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C4、若函数2()ln 2f x x x x =+--在其定义域的一个子区间(21,21)k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围是（）A．33,24⎛⎫- ⎪⎝⎭B．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以210k -≥，即12k ≥，2121(1)(21)()21x x x x f x x x x x+-+-'=+-==，令()0f x '=，得12x =或=1x -（舍去），因为()f x 在定义域的一个子区间(21,21)k k -+内不是单调函数，所以121212k k -<<+，得4143k -<<，综上，1324k ≤<，故选：D5、若对1x ∀，()2,∈+∞x m ，且12x x <，都有1212ln ln 1x x x x -<-，则m 的最小值是________.【答案】1【解析】∵12x x <，则120x x -<由题意可得：1212ln ln x x x x ->-，即1122ln ln x x x x ->-∴()ln f x x x =-在(),m +∞上单调递减，则()110f x x'=-≤在(),m +∞上恒成立即1x ≥在(),m +∞上恒成立，则m 1≥，即m 的最小值是1故答案为：1.【题组3原函数与导函数的图象关系】1、已知函数()f x 的导函数()f x '图像如图所示，则()f x 的图像是图四个图像中的（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知，当20x -<<时，()0f x ¢>，则()f x 在()2,0-上单调递增，当02x <<时，()0f x '<，则()f x 在()0,2上单调递减，当2<<1x --时，()f x '单调递增，则()f x 在()2,1--上增的越来越快，当10x -<<时，()f x '单调递减，则()f x 在()1,0-上增的越来越慢，当01x <<时，()f x '单调递减，则()f x 在()0,1上减的越来越快，当10x <<时，()f x '单调递增，则()f x 在()1,2上减的越来越慢，只有A 选项符合，故选：A.2、设函数()f x 在定义域内可导，()f x 的图象如图所示，则其导函数()f x '的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由()f x 的图象可知，当(),0x ∈-∞时函数单调递增，则()0f x '≥，故排除C、D；当()0,x ∈+∞时()f x 先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于0，再大于0，最后小于0，故排除B；故选：A3、已知函数()y x f x =⋅'的图象如图所示，则函数()f x 的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题中图像可知，当0x <时，()0x f x '⋅>，即()0f x '<，故()f x 在(,0)x ∈-∞上单调递减；当0x b <<时，()0x f x '⋅>，即()0f x '>，故()f x 在(0,)x b ∈上单调递增；当x b >时，()0x f x '⋅<，即()0f x '<，故()f x 在(,)x b ∈+∞上单调递减；综上所述，只有D 选项符合题意．故选：D．4、设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x =的图像如图所示，则()0x f x '⋅>的解集是（）A．()(),10,1-∞-⋃B．()()1,01,3-C．()(),00,2-∞D．()()0,13,⋃+∞【答案】C【解析】由函数()y f x =的图像可知,()f x 在区间(,0),(2,)-∞+∞上单调递减,在区间(0,2)上单调递增，即当(,0)(2,)x ∞∞∈-⋃+时,()0f x '<;当x ∈(0,2)时,()0f x ¢>.因为()0x f x '⋅>可化为()00x f x '>⎧⎨>⎩或()00x f x '<⎧⎨<⎩，解得：0<x <2或x <0,所以不等式()0x f x '⋅>的解集为()(),00,2-∞.故选:C5、已知在R 上可导的函数()f x 的图象如下图所示，则不等式()()()10x f x f x '->的解集为______．【答案】()()(),21,01,-∞-⋃-⋃+∞【解析】由函数()f x 的图象可知当<2x -时，()0f x <；当20x -<<或0x >时，()0f x >当1x <-或0x >时，()0f x ¢>；当10x -<<时，()0f x '<则当<2x -时，()()10x f x f x '-<<>0,0,，则()()()10x f x f x '->当2<<1x --时，()()10x f x f x '-<>>0,0,，则()()()10x f x f x '-<当10x -<<时，()()10x f x f x '-<><0,0,，则()()()10x f x f x '->当01x <<时，()()10x f x f x '-<>>0,0,，则()()()10x f x f x '-<当1x >时，()()10x f x f x '->>>0,0,，则()()()10x f x f x '->综上()()()10x f x f x '->的解集为()()(),21,01,-∞-⋃-⋃+∞.故答案为：()()(),21,01,-∞-⋃-⋃+∞【题组4利用单调性解不等式】1、已知函数()52e e x x f x x x -=-+-，若()()2120f a f a -+≤，则实数a 的取值范围为（）A．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C．12,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】函数()f x 的定义域为R ，()()52e e x xf x x x f x --=-++-=-，故函数()f x 为奇函数，()44452e e 5250x x f x x x x -=-++≥+=≥'≥且()f x '不恒为零，故函数()f x 在R 上为增函数，由()()2120f a f a -+≤可得()()()2211f a f a f a ≤--=-，则221a a ≤-，所以，2210a a +-≤，解得112a -≤≤.故选：A.2、定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数记为()f x '，若()y f x =为奇函数且(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '+<，则不等式()0f x <的解集是（）A．,1(),)1(-∞-⋃+∞B．(1,1)-C．(,1)(0,1)-∞-⋃D．(1,0)(1,)-⋃+∞【答案】D【解析】设()(),0g x xf x x =>，则()()()g x f x xf x ''=+，因为当0x >时，()()0f x xf x '+<成立，所以()0g x '<，()g x 为递减函数，又因为函数()y f x =为奇函数，可得()()f x f x -=-，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，所以函数()g x 为偶函数，所以函数()g x 在(,0)-∞为单调递增函数，因为(1)0f -=，所以(1)0f =，(1)0g =，(1)0g -=，当0x =时，由()y f x =为奇函数可得()0f x =不满足题意；当0x >时，由()0f x <可得()()()01g x xf x g =<=，所以1x >；当0x <时，由()0f x <可得()()()01g x xf x g =>=-，所以1x >-，此时10x -<<，综上所述，不等式()0f x <的解集是(1,0)(1,)-⋃+∞故选：D3、已知定义在R 上的函数()f x 满足()11f =，且()f x 的导函数()f x '在R 上恒有()12f x '<，则不等式()122x f x <+的解集为（）A．()1,+∞B．(),1-∞C．()1,1-D．()(),11,-∞+∞【答案】A【解析】因为()122x f x <+可化为()1022x f x --<，令()()122x g x f x =--，则()()12g x f x ''=-，因为()12f x '<，所以()0g x '<，所以()g x 在R 上单调递减，因为()11f =，所以()()1111022=--=g f ，所以()()1g x g <，所以1x >，即不等式()122x f x <+的解集为()1,+∞．故选：A．4、已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()20f x x xf '+>，则不等式()()()220212021420x f x f +++-<的解集为（）A．()2019,+∞B．()2021,2019--C．(),2019-∞-D．()2019,0-【答案】C【解析】令2()()g x x f x =，则2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x '=+''=+，因为当0x >时，有()()20f x x xf '+>，所以当0x >时，()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上为增函数，因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以22()()()()()g x x f x x f x g x -=--=-=-，所以()g x 为R 上的奇函数，所以()g x 在R 上为增函数，由()()()220212021420x f x f +++-<，得()()()22021202142x f x f ++<--，()()()2220212021(2)2x f x f ++<---，所以(2021)(2)g x g +<--，因为()g x 为奇函数，所以(2021)(2)g x g +<，所以20212x +<，得2019x <-，所以不等式的解集为(),2019-∞-，故选：C5、已知定义在R 上的偶函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x >时，()()0f x f x x'+<，且(2)3f =-，则不等式6(21)21f x x --<-的解集为（）A．13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D．1113,,2222⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】当0x >时，()()()()0f x xf x f x f x x x'+'+=<，所以当0x >时，()()0xf x f x '+<，令()()F x xf x =，则当0x >时，()()()0F x xf x f x +''=<，故()()F x xf x =在0x >时，单调递减，又因为()y f x =在在R 上为偶函数，所以()()F x xf x =在R 上为奇函数，故()()F x xf x =在R 上单调递减，因为(2)3f =-，所以()()2226F f ==-，当12x >时，6(21)21f x x --<-可变形为()21(21)6x f x --<-，即()()212F x F -<，因为()()F x xf x =在R 上单调递减，所以212x ->，解得：32x >，与12x >取交集，结果为32x >；当12x <时，6(21)21f x x --<-可变形为()21(21)6x f x -->-，即()()212F x F ->，因为()()F x xf x =在R 上单调递减，所以212x -<，解得：32x <，与12x <取交集，结果为12x <；综上：不等式6(21)21f x x --<-的解集为13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A【题组5利用单调性比较大小】1、设1ea =，ln 22b =，()333ln 3e c -=，则（）．A．c a b <<B．b a c<<C．b<c<aD．c b a<<【答案】D【解析】∵1ln e ee a ==，()33ln 333ln 33ln 3e e c ---==，令()ln xf x x=，则()e a f =，()2b f =，()3ln 3c f =-，()221ln 1ln ⋅--'==x xx x f x x x ，当0e x <<时，()0f x '>，即()ln xf x x=在()0,e 上单调递增.∵03ln 32e <-<<，∴()()()3ln 32e f f f -<<，即c b a <<.故选：D.2、已知8ln 6a =，7ln 7b =，6ln 8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A．b c a >>B．c b a >>C．a c b >>D．a b c>>【答案】D【解析】令()()14ln f x x x =-，则()14ln 1f x x x +'=--.因为ln y x =-在()0,∞+上单调递减，141y x=-在()0,∞+上单调递减，所以()14ln 1f x x x+'=--在()0,∞+上单调递减.而()145ln 5105f '=-+->，()146ln 6106f '=-+-<，所以在()6,+∞上有()0f x '<.所以()()14ln f x x x =-在()6,+∞上单调递减.所以()()()678f f f >>，即8ln 67ln 76ln 8>>.故a b c >>.故选：D.3、已知12ln 2,,e 12a b c =-==-，则（）A．c a b>>B．c b a>>C．a c b >>D．a b c >>【答案】A【解析】依题意令()e x f x x =-，则()2ln 2ln 2a f =-=，1122b f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()e 11cf =-=则()e 1x f x '=-，所以当0x >时()0f x '>，即()e x f x x =-在()0,∞+上单调递增，又121ln e ln 212=<<，所以()()1ln 212f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即b a c <<；故选：A 4、已知e lg 2lg 5a =--，545e 4b =-，13ln 92c =-，则下列不等式成立的是（）A．b c a>>B．c a b >>C．c b a >>D．b a c>>【答案】A 【解析】依题意e lg 2lg 5e lg10e 1a =--=-=-，1ln 3213ln93ln93ln3e ln 32c =-=-=-=-，构造函数()e x f x x =-，定义域为()0,∞+，求导得()e 10x f x '=->，所以，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，因为e 2.718≈，5e 148.3≈，又4381=，则54e 3>，则4ln 35<，即5ln 34<，即51ln 34<<，因为()1a f =，54b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()ln 3c f =，故a c b <<.故选：A.5、设2021202220232023,2022,2021a b c ===，则（）A．a b c<<B．c b a <<C．c a b<<D．a c b <<【答案】A【解析】因为2021202220232023,2022,2021a b c ===，同时取自然对数可得ln 2021ln 2023a =，ln 2022ln 2022b =，ln 2023ln 2021c =，因为20212023202220224044+=+=，故考虑设()()(4044)ln 1011f x x x x =->，则()ln 2023a f =，()ln 2022b f =，()ln 2021c f =，且()4044()ln 11011f x x x x'=-+->，因为函数ln 1y x =--在()+∞1011，上单调递减，函数4044y x =在()+∞1011，上单调递减，所以4044()ln 1f x x x'=-+-在()+∞1011，上单调递减，又(1011)ln1011410f '=-+-<，所以当1011x >时，()0f x '<，所以函数()(4044)ln f x x x =-在()+∞1011，上单调递减，又202120222023<<，所以()()()202320222021f f f <<，所以2021ln 20232022ln 20222023ln 2021<<，即ln ln ln a b c <<，所以a b c <<，故选：A.。

人教A版高中数学选择性必修第二册分层作业册精品课件第五章 5.3.1 函数的单调性

当-a>0,即a<0时,f'(x)>0的解为x>-a,此时f(x)在(0,-a]上单调递减,在[-a,+∞)
上单调递增.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
B级关键能力提升练
13.[2024安徽安庆高二阶段练习]函数y=f(x)的图象如图所示,f'(x)是函数f(x)
(2)由题意 f'(x)=(x
所以
1 3 x
2 1 3 x
+ x- )e ,令(x + x- )e >0,得
2 2
2 2
2
x>1 或
3
x<- ,
2
3
f(x)的单调递增区间是(1,+∞)和(-∞,- ).
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
解析由题中
+
f'(x)的图象可以看出,在(a,b)内,f'(x)>0,且在(a, 2 )内,f'(x)单调递
+
增,在( 2 ,b)内,f'(x)单调递减,所以函数
f(x)在(a,b)内单调递增,且其图象在
5.[探究点三(角度1)]函数f(x)=xln x的单调递减区间是( B )
1
A.[0,e ]
1
B.(0,e ]
C.(0,e]
D.[e,+∞)

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

专题5.3.1 函数的单调性知识储备1.函数的单调性与导数的关系函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，(1)若f ′(x )>0，则f (x )在区间(a ，b )内是单调递增函数； (2)若f ′(x )<0，则f (x )在区间(a ，b )内是单调递减函数； (3)若恒有f ′(x )＝0，则f (x )在区间(a ，b )内是常数函数．讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.2.常用结论汇总——规律多一点(1)在某区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(2)可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．能力检测注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单选题1．（2020·全国高二课时练习）设函数()f x 的图象如图所示，则导函数()f x 的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】∵()f x 在(,1)-∞，(4,)+∞上为减函数，在(1,4)上为增函数， ∴当1x <或4x >时，()0f x '<；当14x <<时，()0f x '>．故选：C ．2．（2020·全国高二专题练习）设奇函数()f x 在R 上存在导函数()'f x ，且在(0,)+∞上2()f x x '<，若331(1)()(1)3f m f m m m ⎡⎤--≥--⎣⎦，则实数m 的取值范围为（） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】331(1)()(1)3f m f m m m ⎡⎤--≥--⎣⎦，即3311(1)(1)()33f m m f m m ≥----，构造函数31()()3g x f x x =-，由题意知：在(0,)+∞上，2()()0g x f x x '=-<'，故()g x 在(0,)+∞上单调递减，()f x 为奇函数，()()()3311()33g x f x x f x x g x ∴-=-+=-+=-，即()g x 为奇函数，故()g x 在R 上单调递减，因此原不等式可化为：()()1g m g m -≥，即1m m -≤，解得12m ≥.故选：D ．3．（2020·全国高二课时练习）函数()sin 2,()3f x x xf f x π''⎛⎫=+⎪⎝⎭为()f x 的导函数，令31,log 22a b ==，则下列关系正确的是（）A ．()()f a f b C ．()()f a f b =D ．()()f a f b ≤【答案】B【解析】由题意得，()cos 23f x x f π''⎛⎫=+⎪⎝⎭，cos 2333f f πππ''⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得132f π⎛⎫'=-⎪⎝⎭，所以()sin f x x x =-．所以()cos 10f x x '=-≤，所以()f x 为减函数．因为331log 2log 2b a =>==，所以()()f a f b >，故选：B ． 4．（2020·全国高二课时练习）若函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】设导函数()y f x '=的图象与x 轴交点的横坐标从左到右依次为123,,x x x ，其中1320,0x x x <>>，故()y f x =在()1,x -∞上单调递减，在()12,x x 上单调递增，在()23,x x 上单调递减，在()3,x +∞单调递增．故选：D ．5．（2020·全国高二课时练习）若函数()()3230,f x ax x x b a b =+++>∈R 恰好有三个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是（） A ．()()0,33,+∞ B ．[)3,+∞ C ．(]0,3 D ．()0,3【答案】D【解析】由题意得()()23610f x ax x a '=++>，函数()f x 恰好有三个不同的单调区间，()f x '∴有两个不同的零点，所以，361200a a ∆=->⎧⎨>⎩，解得0<<3a .因此，实数a 的取值范围是()0,3.故选：D.6．（2020·全国高二课时练习）函数2()ln f x x x =的单调递减区间为（）A ．B ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．)+∞D ．0,e ⎛ ⎝⎭【答案】D【解析】由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21()2ln 2ln (2ln 1)f x x x x x x x x x x=⋅+⋅=+=+'．令()0f x '<，得2ln 10x ，解得0x <<，故函数2()ln f x x x =的单调递减区间为0,e ⎛ ⎝⎭．故选：D 7．（2020·江苏南通市·高三期中）设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x '+>，()02020f =，则不等式()20191x f x e ->+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（） A ．()(),00,-∞⋃+∞ B ．()(),02019,-∞+∞C ．()0,∞+D ．()2019,+∞【答案】C【解析】因为()f x 满足()()1f x f x '+>，，令()()1xg x e f x =-⎡⎤⎣⎦，则()()()10xg x e f x f x ''=+->⎡⎤⎣⎦，所以()g x 在R 上是增函数，又()02020f =，则()02019g =，不等式()20191xf x e ->+可化为()12019x e f x ->⎡⎤⎣⎦，即()()0g x g >，所以0x >，所不等式的解集是()0,∞+，故选：C8．（2020·洛阳理工学院附属中学高三月考（理））已知奇函数()f x 的定义域为ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，其图象是一段连续不断的曲线，当π02x -<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+>成立，则关于x 的不等式()π2cos 3f x f x ⎛⎫<⎪⎝⎭的解集为（） A ．ππ23⎛⎫-⎪⎝⎭， B ．ππ23⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C ．ππππ2332⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， D ．πππ0332⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，【答案】A【解析】设()()cos f x g x x= ，则()()()2cos sin cos f x x f x xg x x'+'=当π02x -<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+>成立，此时()0g x '> 所以()()cos f x g x x=在02π⎛⎫-⎪⎝⎭，上单调递增. 又()f x 为奇函数，则()00f =，则()()cos f x g x x=为奇函数，又()00g =则()()cos f x g x x=在02，上单调递增，所以()g x 在ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增.当ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，恒有cos 0x >()π2cos 3f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()π3πcos cos 3f f x x ⎛⎫⎪⎝⎭<，即()3g x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，由()()cos f x g x x=在ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，所以23x ππ-<<故选：A二、多选题9．（2020·全国高二课时练习）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数()'f x 的图象如图所示，则对于任意()1212,x x x x ∈≠R ，下列结论正确的是（）A ．()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦B ．()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦C ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭【答案】AD【解析】由题中图象可知，导函数()'f x 的图象在x 轴下方，即()0f x '<，且其绝对值越来越小，因此过函数()f x 图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得()f x 的大致图象如图所示．A 选项表示12x x -与()()12f x f x -异号，即()f x 图象的割线斜率()()1212f x f x x x --为负，故A 正确；B 选项表示12x x -与()()12f x f x -同号，即()f x 图象的割线斜率()()1212f x f x x x --为正，故B 不正确；122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭表示122x x +对应的函数值，即图中点B 的纵坐标，()()122f x f x +表示当1x x =和2x x =时所对应的函数值的平均值，即图中点A 的纵坐标，显然有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，故C 不正确，D 正确．故选:AD ．10．（2020·全国高二课时练习）（多选）如图是函数()y f x =的导函数()'f x 的图象，则下面判断正确的是（）A ．()f x 在(3,1)-上是增函数B ．()f x 在(1,3)上是减函数C ．()f x 在(1,2)上是增函数D ．当4x =时，()f x 取得极小值【答案】CD【解析】()'f x 的图象在(3,1)-上先小于0，后大于0，故()f x 在(3,1)-上先减后增，因此A 错误；()'f x 的图象在(1,3)上先大于0，后小于0，故()f x 在(1,3)上先增后减，因此B 错误；由图可知，当(1,2)x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在(1,2)上单调递增，因此C 正确；当(2,4)x ∈时，()0f x '<，当(4,5)x ∈时，()0f x '>，所以当4x =时，()f x 取得极小值，因此D 正确．故选：CD ．11．（2020·全国高二课时练习）(多选)已知函数2()(ln )f x x x a a =-+，则下列结论正确的是（）A ．0,0,()0a x f x ∃>∀>B ．0,0,()0a x f x ∃>∃>C ．0,0,()0a x f x ∀>∀>D ．0,0,()0a x f x ∀>∃>【答案】ABD 【解析】当12a =时，211()ln 22f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，函数的定义域为(0,)+∞，211()2ln 2ln 2ln 2f x x x x x x x x x x x ⎛⎫=-+⋅=-+= ⎪⎝'⎭，令()0f x '=，得1x =，当1x >时，()0f x '>，此时函数单调递增，当01x <<时，()0f x '<，此时函数单调递减，故当1x =时，函数()f x 取得极小值，也是最小值，11(1)022f =-+=，则0,()(1)0x f x f ∀>=，故选项A 正确；当5a =时，2()(ln 5)5f x x x =-+，则22()(ln 5)5450f e e e e =-+=-+<，故0,0,()0a x f x ∃>∃>，故选项B 正确，选项C 错误；因为2(1)1(ln1)0f a a a a =-+=-+=，所以0,10a x ∀>∃=>，使()0f x 成立，因此选项D正确.故选：ABD.12．（2020·广东揭阳市·高三期中）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（） A ．()2x f x = B ．()sin f x x x =- C ．()x x f x e e -=- D ．()||f x x x =-【答案】BCD【解析】对于A ，()2x f x =既不是奇函数也不是偶函数，且单调递增，故A 错误；对于B ，()f x 的定义域为R ，且()()()()sin sin f x x x x x f x -=-+=--=-，()f x ∴是奇函数，又()cos 10f x x '=-≤恒成立，故()f x 是减函数，故B 正确；对于C ，()f x 的定义域为R ，且()()xxf x e f x e--=-=-，()f x ∴是奇函数，)0(x x f x e e -'--<=，故()f x 是减函数，故C 正确；对于D ，()f x 的定义域为R ，且()()||||f x x x x x f x -=-==-，()f x ∴是奇函数，又22,0(),0x x f x x x x x ⎧<=-=⎨-≥⎩是减函数，故D 正确.故选：BCD.三、填空题13．（2020·全国高二课时练习）已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()()xf xg x e =的单调递减区间为___________．【答案】()0,1、()4,+∞【解析】由图象可知，不等式()()0f x f x '-<的解集为()()0,14,+∞，()()x f x g x e =，()()()()()()()2x x x x f x e f x e f x f x g x e e ''-⋅'-=='，由()0g x '<，可得()()0f x f x '-<，解得()()0,14,x ∈+∞.因此，函数()()x f x g x e=的单调递减区间为()0,1、()4,+∞．故答案为：()0,1、()4,+∞.14．（2020·山西高三期中（理））已知()3216132m f x x x x =-++在()1,1-单调递减，则m 的取值范围为______．【答案】[]5,5- 【解析】()f x 在()1,1-单调递减，∴2()60f x x mx '=+-≤在()1,1-恒成立，又2()6f x x mx '=+-是开口向上的二次函数，为使()0f x '≤在()1,1-恒成立，只需(1)0(1)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩，即160160m m --≤⎧⎨+-≤⎩，则[]5,5m ∈-.故答案为：[]5,5-.15．（2020·全国高二单元测试）设()'f x 是函数()f x 在R 的导函数，对x R ∀∈，2()()f x f x x -+=，且[0x ∀∈，)+∞，()f x x '>．若()()2f a f a --22a -，则实数a 的取值范围为__．【答案】(-∞，1] 【解析】2()()f x f x x -+=，2211()()022f x x f x x ∴-+--=，令21()()2g x f x x =-， 2211()()()()022g x g x f x x f x x -+=--+-=， ∴函数()g x 为奇函数．(0,)x ∈+∞时，()f x x '>．(0,)x ∴∈+∞时，()()0g x f x x '='->，故函数()g x 在(0,)+∞上是增函数，故函数()g x 在(,0)-∞上也是增函数，由(0)0f =，可得()g x 在R 上是增函数．()()2f a f a --22a -，等价于()()()2222a f a f a ---22a -，即()()2g a g a -，2a a ∴-，解得1a ．故答案为：(-∞，1]．四、双空题16．（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）已知函数()(0)bf x ax b x=+>的图象在点()()1,1P f 处的切线与直线210x y +-=垂直，则a 与b 的关系为_______(用b 表示)，若函数()y f x =在区间1[,)2+∞上单调递增，则b 的最大值等于______. 【答案】2b + 23【解析】由题意，函数()(0)b f x ax b x=+>，可得2()b f x a x '=-，所以(1)f a b '=-，即函数()f x 的图象在点()()1,1P f 处的切线的斜率为k a b =-又由函数()f x 的图象在点()()1,1P f 处的切线与直线210x y +-=垂直，所以()1()12a b -⨯-=-，可得2a b -=，即a 与b 的关系为2a b -=；又由函数()y f x =在区间1[,)2+∞上单调递增，可得2()0b f x a x '=-≥在区间1[,)2+∞上恒成立，即22b b x +≥在区间1[,)2+∞上恒成立，整理得22b x b ≤+在区间1[,)2+∞上恒成立，又由2min 1()4x =，所以124b b ≤+，解得203b <≤，所以b 的最大值等于23.故答案为：2a b -=，23.。