2011年高考浙江卷理科数学(详细解析)

2011年高考浙江卷理科数学
一、选择题 （本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设函数2,0,
()()4,0.
x x f x f x x α-≤⎧==⎨⎩若,则实数α=
（A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2 【答案】B
【解析】当0≤α时，4,42)(-==-=ααf ；
当0>α，4,42)(2
===ααf .
（2）把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若z=1+I,则(1)z z +⋅= （A ）3-i （B ）3+i （C ）1+3i （D ）3 【答案】A
【解析】∵i z +=1，∴i z -=1，∴i z z z z -=-+=•+3)1)(2()1(.
(3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是
【答案】D
【解析】由正视图可排除A 、B 选项；由俯视图可排除C 选项. （4）下列命题中错误的是
（A ）如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
参考公式：
如果事件A ，B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A ，B 相互独立，那么 P(A ·B)=P(A)·P(B)
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p,那么n
次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率
P n (k)=C k n p k (1-p)n-k
(k=0,1,2,…，n) 台体的体积公式 V=)(3
12211S S S S h ++
其中S ,S 分别表示台体的上、
柱体的体积公式 Sh V =
其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高
锥体的体积公式
Sh V 31=
其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高
球的表面积公式
S=4πR 2
球的体积公式
π34R
V =
（B ）如果平面不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ⋂，那么l γ⊥平面 （D ）如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【答案】D
【解析】若面⊥α面β，在面α内与面的交线不相交的直线平行平面β，故A 正确；B 中若α内存在直线垂直平面β，则βα⊥，与题没矛盾，所以B 正确；由面⊥面的性质知选项C 正确.
（5）设实数,x y 满足不等式组250270,0x y x y x +-⎧⎪
+-⎨⎪⎩
＞＞≥，y ≥0，若,x y 为整数，则34x y +的最小值是
（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19 【答案】B
【解析】可行域如图所示
联立⎩⎨⎧=-+=-+072052y x y x ，解之得⎩⎨⎧==1
3y x ，又∵边界线为虚线取不到，且目标函数线的斜率为43-，∴当
y x z 43+=过点（4，1）时，有最小值16.
（6）若02
π
α＜＜
，02π
β-
＜＜，1cos()43πα+=，cos()42πβ-=cos()2βα+=
（A （B ） （C （D ）
【答案】C 【解析】∵31)4
cos(
=
+απ
，20πα<<，∴332)4sin(=+απ，又∵3
3
)24cos(=-βπ，02<<-βπ，∴
3
6
)24sin(=
-βπ，
∴
)]
2
4
(
)4
cos[(
)2
cos(β
π
απ
β
α-
-+=+
＝
)24
sin(
)4
sin(
)2
4
cos(
)4cos(
β
π
απ
β
π
απ
-
++-
+＝363323331⨯+⨯＝9
3
5. （7）若,a b 为实数，则“01m ab ＜＜
”是11
a b b
a
＜或＞的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】当0,0>>b a 时，由10<<ab 两边同除b 可得b
a 1
<成立；当0,0<<b a 时，两边同除以a 可得a b 1>成立，∴“10<<ab ”是“b a 1<或a b 1>”的充会条件，反过来0<ab ，由b a 1<或a b 1
>得不
到10<<ab .
（8）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线22
1:14
y C x -
=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则
（A ）2
132a =
（B ）213a = （C ）212
b = （D ）2
2b = 【答案】 C
【解析】由双曲线4
2
2
y x -＝1知渐近线方程为x y 2±=，又∵椭圆与双曲线有公共焦点，
∴椭圆方程可化为2
2x b ＋()225y b +＝()
2
25b b +，联立直线与椭圆方程消y 得，
()2055222
2
++=
b b b x
，又∵1C 将线段AB 三等分，∴()
3220
552212
222
a b b b =++⨯+，
解之得2
12
=
b .
（9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率[ （A ）
15 （B ）25 （C ）35 D 45
【答案】B
【解析】由古典概型的概率公式得52
215
5
2
22233232222=+-=A A A A A A A P .
（10）设a ，b ，c 为实数，)1)1()(),)(()(22+++=+++=bx cx ax x g c bx x a x x f （.记集合S=()0,,()0,,x f x x R T x g x x R =∈==∈若S ，T 分别为集合元素S ，T 的元素个数，则下列结论不可能．．．
的是 （A ）S =1且T =0 （B ）1T =1S =且 （C ）S =2且T =2 （D ）S =2且T =3 【答案】C
【解析】当0===c b a 时，1=s 且 0||=T ；当0,0≠=b a 且042
<-c b 时，1=s 且1||=T ；当
04,02>-≠a b a 时，2=s 且3||=T .
非选择题部分（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分
（11）若函数2
()f x x x a =-+为偶函数，则实数a = 。

【答案】0
【解析】∵)(x f 为偶函数，∴)()(x f x f =-，
即,||)(||2
2a x a x a x x a x x -=+⇒+---=+-∴0=a .
（12）若某程序图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是 。

【答案】5
【解析】3=k 时，34=a ＝64，4
3=b ＝84，b a <；
4=k 时，4
4=a ＝256，4
4=b ＝256，b a =；
5=k 时，5
4=a ＝2564⨯，4
5=b ＝625，b a >.
（13）设二项式)0()(6
>-a x
a x 的展开式中3x 的系数为A,常数项为B ，
若B=4A ，则a 的值是 。

【答案】2 【解
析】
由
题意得
()k k k k
k k k x
C a x a x C T 2
3
66661
--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=， ∴()262
C a A -=，()4
64
C a B -=，又∵A B 4=，
∴()464C a -()26
2
4C a -=，解之得42=a ，又∵0>a ，∴2=a .
（14）若平面向量α，β满足|α|≤1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平
行四边形的面积为1
2
，则α与β的夹角θ的取值范围是 。

【答案】 ]6
5
,6[
ππ 【解析】由题意得：2
1
sin =θβα，∵1=α，1≤β，∴2
121sin ≥=
βθ， 又∵),0(πθ∈，∴)6
5
,6(
ππθ∈.
（15）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司
面试的概率为
2
3
，得到乙公司面试的概率为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的。

记X 为该毕业生得到面试得公司个数。

若1
(0)12
P X ==，则随机变量X 的数学期望()E X =
【答案】3
5
【解析】∵ ()12
1
32102=⎪⎭⎫ ⎝⎛-
==p X P ，∴21=p .
∴()3
1
22131213212
2
=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==X P ，
()125
21312213222
2=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==X P ，
()6
1
213232
=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==X P ，
∴()3
5
61312523111210=⨯+⨯+⨯+⨯=X E .
（16）设,x y 为实数，若2241,x y xy ++=则2x y +的最大值是 .。

【答案】
5
102 【解析】∵1422=++xy y x ，∴13)2(2
=-+xy y x ，即122
3
)2(2
=•-
+xy y x ， ∴1)22(23)2(22≤+•-+y x y x ，解之得：58)2(2≤+y x ，即5
1022≤+y x .
（17）设12,F F 分别为椭圆2
213
x y +=的焦点，点,A B 在椭
圆上，若125F A F B =;则点
A 的坐标是 . 【答案】()1,0
【解析】设直线A F 1的反向延长线与椭圆交于点B '，又∵B F A F 215=，由椭圆的对称性可得
115F B A F '=，设()11,y x A ，()22,y x B '，
又∵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
22336||11x A F ，='||1B F ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+223362x ， ∴()
⎪⎩⎪
⎨⎧--=++⨯=+21
21252)22
3(365)223(36x
x x x 解之得01=x ，∴点A 的坐标为()1,0.
三、解答题;本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（18）（本题满分14分）在ABC 中，角..A B C 所对的边分别为a,b,c.
已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214
ac b =. （Ⅰ）当5
,14
p b =
=时，求,a c 的值； (Ⅱ)若角B 为锐角，求p 的取值范围；
（19）（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a 为a(a R ∈),设数列的前n 项和为n S ，且
11
a ，21a ，4
1a 成等比数列 （1）求数列{}n a 的通项公式及n S （2）记1231111...n n A S S S S =
++++，212221111
...n
n B a a a a =++++
，当2n ≥时，试比较n A 与n B 的大小. （20）本题满分15分）如图，在三棱锥P-ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O
落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2
（Ⅰ）证明：AP ⊥BC ；
（Ⅱ）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A-MC-B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由。

（21）（21）（本题满分15分）已知抛物线1:C 2
x ＝y ，圆
2:C 22(4)1x y +-=的圆心为点M 。

（Ⅰ）求点M 到抛物线1C 的准线的距离；
（Ⅱ）已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂足于AB ，求直线l 的方程.
（22）（本题满分14分）设函数()f x ＝2()ln x a x -，a ∈R
（Ⅰ）若x ＝e 为()y f x =的极值点，求实数a ；
（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈（0,3e ]，恒有()f x ≤42
e 成立. 注：e 为自然对数的底数。

参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题5分，满分50分。

（1）B （2）A （3）D （4）D （5）B （6）C （7）A （8）C （9）B （10）D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题4分，满分28分。

（11）0（12）5（13）2（14）[566
,ππ
] （15）5
3 （16
）
（17）(0,±1)
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

（Ⅰ）解：由题设并利用正弦定理，得54
1
4
a c ac +=⎧⎨=⎩
解得1
41a c =⎧⎨=⎩或14
1
a c =⎧⎨=⎩ （Ⅱ）解：由余弦定理，
b 2=a 2+
c 2-2ac cosB =(a+c)2-2ac cosB
=p 2b 2-22
1122cos ,
b b B -即2
31
cos ,22
p B =+ 因为0
cos 1,B 得23
(,2)2
p ∈，由题设知0
p
2p
（19）本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同事考查分类讨论思想。

满分14分。

（Ⅰ）解：设等差数列{a n }的公差为d,由2214
111(
),a a a =⋅
得2111()(3)a d a a d +=+。

因为0d ≠,所以1n d a a ==
所以(1)
,2
n n an n a na S +==
， （Ⅱ）解：因为 所以
1211(),1
n S a n n =-+ 123111121...(1).1
n n A S S S S a n =
+++=-+ 因为1122,n n a a --=所以
2112221
1()11111212....(1).1212
n n
n n
B a a a a a a --=+++==-- 当n≥2时，0122...1n n
n n n n C C C C n =++++，即1111,12
n n -
-+ 所以，当a ＞0时，n
n A B ；当a ＜0时，n n A B 。

（20）本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查想象能力
和运算求解能力。

满分15分。

方法以：
（Ⅰ）证明：如图，以O 为原点，以射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz 则O （0,0,0），A （0，-3,0），B （4,2,0），C （-4,2,0）
P （0,0,4）(0,3,4),(8,0,0),AP BC ==-由此可得0AP BC ⋅=所以
AP ⊥BC ，即AP ⊥BC.
（Ⅱ）解：设,1,(0,3,4),PM PA PM λλλ=≠=--
BM BP PM BP PA λ=+=+
(4,2,4)(0,3,4)λ=--+--
(4,23,44),λλ=----
(4,5,0),(8,0,0).AC BC =-=-
1111(,,),n x y z =
设平面
BMC
的法向量
平面APC 的法向量 1222(,,),n x y z =。