误差分类及特性.
误差分类及特性
(一) 误差分类
根据观测误差性质，可将其分为系统误差和偶然误差两类。
（1）系统误差
在相同的观测条件下，对某量作一系列观测，如果误差的出现在符号和大小相同或按一定规律变化，这种误差称为系统误差．．．．。
系统误差对成果的影响具有规律性，可采取一定措施或采用改正公式消除或削弱其对观测成果的影响。
主要方法有：①在观测方法和程序上采取必要措施削弱其影响，如角度测量中，经纬仪盘左盘右观测，消除视准差、横轴误差和竖盘指标差等系统误差影响；水准测量中的前后视距相等，消除视准轴和水准管轴不平行引起的i 角误差、地球曲率和大气折光对观测高差影响;②找出产生系统误差的原因，利用公式对观测值进行改正，如对钢尺量丈量距离，应加尺长改正、温度改正、地球曲率改正，以消除该三项系统误差影响等。
（2）偶然误差
在相同的观测条件下，对某量作一系列观测，如果误差的出现在符号和大小均不一致，即从表面上看，没有什么规律性，这种误差称为偶然误差，．．．．．偶然误差又称为随机误差．．．．。
偶然误差是由于人的感觉器官和仪器的性能受到一定的限制，以及观测时受到外界条件中气温、湿度、风力、明亮度、大气等的影响产生的。
例如用刻至1mm 的钢尺，只能估读到十分之一毫米，读数时可能偏大，也可能偏小，从而产生读数误差，其对成果的影响符号和大小不具有预见性，对观测结果影响呈现出偶然。
测量工作过程中，除了上述两种误差外，还可能发生错误，即粗差．．，粗差不是观测误差。
粗差大多是由于是作业员疏忽大意造成的，如大数被读错、记错等。
为有效的发现粗差，采取必要的重复观测、多余观测、严格的检验、验算等措施，一经发现存在粗差，必须舍弃或进行重测，及时更正。
(二)偶然误差特性
偶然误差，从单个误差看，其大小和符号没有规律性，即呈现出一种偶然性（随机性），但随着观测个数的增多，则呈现出一定的明显的统计规律性。
下面通过事例来说明。
在某测区，在相同的条件下，独立地观测358个三角形的全部内角，由于观测值含有误差，各三内角观测值之和不等于其真值180°。
由（4－1）式知三角形内角和的真误差可由下式算出：
)(180321L L L i ++-=∆ n i ,2,1 = 4—2
式中（321L L L ++）表示各三角形内角观测值之和。
现取误差区间2''=∆d 的间隔，将按绝对值的大小排列。
统计出在各区间内的正负误差个数，列成误差频率分布表，出现在某区间的误差的个数称为频数，用k 表示，频数除以误差的总个数n 得k/n ，称此为误差在该区间的频率。
为更直观，根据表的数据画出直方图。
横坐标表示正负误差的大小，纵坐标表示各区间内误差出现的频率n k y /=除以区间的间隔
∆d ，统计结果如表4-1，由该表看出，该组误差具有如下规律：小误差比大误差出现的机
会多，绝对值相等的正、负误差出现的个数相近；最大的误差不超过一定的限值。
通过大量的实践，可以总结出偶然误差具有如下四个统计特性：
（1） 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不超过一定的限值。
（2） 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大。
（3） 绝对值相等的正、负误差出现的机会相等。
（4） 随着观测次数无限增加，偶然误差的算术平均值趋近于零。
即
[]0lim
lim
1
=∆=∆
∞
→=∞
→∑n
n
n n
i i
n 4--3
n ——观测次数, [ ]表示求和。
(a)直方图 (b)分布曲线
图4-1 频率直方图
由偶然误差统计特性可知，当对某量有足够多的观测次数时，其正负误差可以相互抵消。
因此，可采用多次观测，并取其算术平均值的方法，来减小偶然误差对观测结果的影响。
观测值偏离真值的程度，称为观测值的准确度。
系统误差对观测值的准确度有较大的影响。
故必需按照系统误差的性质和特点对观测成果进行处理。
在一定观测条件下对应的一组误差分布，如果该组误差总的来说偏小些，如图4-1中)(x f 曲线峰值较高，误差分布就较
集中，反之绝对值较多时，)(x f 分布就较分散，所以误差分布的离散程度，反映了观测结果精度高低，其分布越集中，则观测结果的精度越高，反之越低。
所以通常由偶然误差大小和分布状态，评定成果的精度。
(三)测量精度指标
精度是指对某个量的进行多次同精度观测中，其偶然误差分布的密集程度或离散程度。
为了衡量观测结果精度的高低，必须有一个衡量精度的标准，常用的有：
（1）中误差
在相同的观测条件下，对某量进行多次观测，得到一组等精度的独立观测值
n L L L ,,,21 ，每个观测值的真误差为n ∆∆∆,,,21 ，方差2σ的定义为：
[]n
n ∆∆=∞
→lim
2σ 4—4
式中，n ——观测次数，方差的平方根σ称为标准差．．．
在实际工作中，观测次数n 有限，取观测值真误差平方和的平均值，再开方定义为中误．．差．
，作为衡量该组观测值精度指标，即： []n
m ∆∆±
= 4—5
式中m ——中误差
[]∆∆——一组等精度观测误差i ∆的平方总和
n ——观测数
标准差σ要求∞→n ，中误差m 是n 有限时求得的标准差估值，当∞→n ，中误差m 接近标准差σ。
中误差m 值小，表明误差的分布较为密集，各观测值之间的差异也较小，这组观测的精度就高；反之，中误差m 值较大，表明误差的分布较为离散，观测值之间的差异也大，这组观测的精度就低。
当观测量的真值未知时，计算多次等精度观测值n L L L ,,,21 的算术平均值L ：
[]n
L n L L L L n =+++=
21 4—6
利用偶然误差∞→n 算术平均值趋近于零特性，算术平均值L 比任一观测值更接近于真值，该结论将在4.3节中详细证明。
我们把最接近于真值的近似值称为最或然值或称为最可
靠值。
令
i i L L v -= （n i ,,2,1 =） 4—7
i v 称观测值的改正数，在4.3节将证明其总和等于零。
此时，用观测值的改正数中误差计算公式应为：
[]
1
-±
=n vv m 4—8
式中：n ——观测次数；
v ——改正数，即算术平均值L 与各观测值i l 之差。
（4-8）式是用观测值的改正数即最或然误差计算观测值中误差最常用的实用公式，又称白塞尔公式。
（2）平均误差
在相同的观测条件下，得到一组独立的真误差n ∆∆∆,,,21 的绝对值的算术平均值的
极限定义为平均误差．．．．：
[]n
n ∆=∞
→lim
θ 4—9
式中 ∆——真误差的绝对值；
n ——观测数。
当观测数n 有限时，计算θ的估值，即
[]n
∆±
=θ 4—10
称为平均误差，其可靠性不如中误差，我国统一采用中误差作为衡量精度指标。
（3）相对中误差
在衡量观测精度时，有时依据中误差并不能反映测量精度的优劣。
例如，分别丈量了长度为100m 和50m 的两段距离，其中误差均为±0.02m ，是否说明两段距离丈量的精度相同呢？显然不能，此时，必须引入相对误差衡量精度。
相对中误差是中误差的绝对值与观测值的比值，为无量纲数。
通常分子为1，分母为整数的分数形式表示，即
m
L L
m K 1
=
=
4—11 式中：K ——相对中误差或简称相对误差；
m ——距离L 的观测中误差。
上例中：
500011
11=
=
L m K ； 2500
1
222==L m K 故第一段距离的相对误差较小，即第一段距离精度高。
（4）容许误差
偶然误差特性表明，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不超过一定的限值。
根据
误差理论和大量的实践证明：在等精度观测某量的一组误差中，大于两倍中误差的偶然误差出现的概率为4.6%，大于三倍中误差的偶然误差出现的概率仅为0.3%。
因此，在实际工作中，为确保观测成果的质量，通常规定以观测值中误差的三倍为偶然误差的极限值，称为极．限误差．．．；若精度要求较高，常用两倍中误差作为极限误差．．．．
，即：
m
2
=
∆
限～m
34—12
极限误差又被称为容许误差，如果发现某观测值其误差超过极限误差，则视为错误观测值，应舍去。
测量学 测量误差基本知识
B 观测者的误差
C 测量误差
D 外界条件的变化
难度系数 c
若观测量的真值为X，观测值为li(i=1,2,…,n)，其算术 平均值为L，则描述观测值的（真）误差的正确表达式是 （A ）
A 观测值的（真）误差为 i= li -X; B 观测值的（真）误差为 i = X-L; C 观测值的（真）误差为 i = L-X; D 观测值的（真）误差为 i= li -X;
难度系数 A
L1、L2、L3为一组等精度观测值，其误差分别为-7mm, -2mm, +7mm，则它们的精度为（ A ）
A L1、L2、L3的精度相同； B L1最高、L3最低； C L3最高、L1最低； D L2最高、L1与L3相同 。
难度系数 B
丈量了D1、D2两段距离，其观测值及中误差分别为： D1=105.53m±0.05m，D2=54.60m±0.05m，这说明 ( A B ).
A D1和D2的中误差相同， B D1的相对精度高于D2的相对精度 C D1和D2的中误差不相同 D D1的相对精度低于D2的相对精度 E D1的相对精度与D2的相对精度相同。
难度系数 B
难度系数 B
精度指标
衡量精度的指标有：（ A C D ）
A 中误差
B 对中误差
C 相对误差
D 容许误差
E 偶然误差
难度系数 C
若水平角测量的中误差为6，则其极限误差可以取 值为（ C E ）
A 3
B 6
C 12
D 15
E 18
难度系数 C
观测值L1、L2为同一组等精度观测值，其含义是（ C D E ） A L1、L2的真误差相等 B L1、L2的改正数相等 C L1、L2的中误差相等 D L1、L2的观测条件基本相同 E L1、L2服从同一种误差分布
平差总结(sy)
一、填空1.误差来源：测量仪器、观测者、外界条件。
2.误差分类：偶然误差、系统误差、粗差。
3.测量平差的基本任务：是处理一系列带有偶然误差的观测值，求取未知量的最佳估值，评定测量成果的精度。
4.偶然误差的四个特性：有限性、单峰性、对称性、有偿性。
5.水准测量中，观测值权的大小主要取决于或的大小。
6.独立观测值Li(i=1,2,3...n)的权均为p，则算术平均值x=L/n的权为np 。
7.间接平差法是以为函数模型的平差方法。
8.衡量精度的指标：中误差、平均误差、然误差。
9.相对中误差的概念为（中误差与观测值之比）其表示为（1/N）二、名词解释1.偶然误差：在相同观测条件下做一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差来看该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。
系统误差：在相同观测条件下做一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出系统性，或者在观测过程中按照一定的规律变化，或者为某一常数，这种误差称为系统误差。
2.测量平差：依据某种最优化准则，由一系列带有观测误差的测量数据，求定未知量的最佳估值及精度的理论和方法。
3.数学期望：随机变量取值的概率平均值协方差：是描述两随机变量的相关度偶然误差的特性：在一定观测条件下，误差的绝对值有一定的限值绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大绝对值相等的正负值出现的概率相同偶然误差数学期望为04.精度：就是指误差分布的密度或离散程度。
✓协方差传播定律：由观测值中误差求取观测值函数的中误差或方差，解决精度问题✓协因数传播定律：由观测值协因数求取观测值函数的协因数阵权：表示各观测值方差之间比例关系的数字特征水准测量定权的方法1.根据测站的观测高差定权2.根据距离的观测高差定权2.测量上确定权的常用方法？水准测量的权、同精度观测值的算术平均值的权5.单位权中误差：权为1的观测值的中误差（与单位权对应的观测值的中误差）必要元素：能够唯一确定一个几何模型所必要的元素6.条件方程：一个几何模型的独立量个数最多为t个，除此之外，增加一个量必然要产生一个相应的函数关系式，这种函数关系式在测量平差中称为条件方程。
实验误差分析及数据处理
u + Δu = f (x + Δx, y + Δy,z + Δz)
由泰勒公式，并略去误差的高次项，得
115
地球物理实验
u + Δu = f (x, y,z) + ∂f Δx + ∂f Δy + ∂f Δz
∂x ∂y ∂z
或
Δu = ∂f Δx + ∂f Δy + ∂f Δz
∂x ∂y ∂z
该式即为误差传递公式。 例如我们通过直接测量圆柱形试件的直径D及高H来计算试件的体积V。
前面提到测量值=真值+误差，这里误差包含了系统误差和偶然误差，则测量值=真值+
系统误差+偶然误差，当系统误差修正后，误差主要即是偶然误差。在多次测量中，偶然误
差是一随机的变量，那么测量值也就是一随机变量，我们则可用算术平均值和标准误差来
描述它。
算术平均值 X ：
X
=
1 n
n
∑
i =1
xi
式中xi为第i次测量的测量值，n为测量次数，当n→∞时， X →xt（真值），但是当n增加到 一定程度时， X 的精度的提高就不显着了，所以一般测量中n只要大于10就可以了。
明误差在 ± 1.96s 以外的值都要舍去，这里
1.96s=1.96×1.12=2.19
我们以算术平均值代表真值，表中第4个测量值的偏差 di 为2.4，在 ± 2.19 以外，应当舍
去，再计算其余9个数据的算术平均值和标准误差，有
m = ∑ mi = 416.0 = 46.2
n
9
∑ s =
d
2 i
偶然误差是一种不规则的随机的误差，无法予测它的大小，其误差没有固定的大小和 偏向。
第5章 误差理论
多次观测中寻找偶然误差的规律：
对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角, 三角形内角之和的真值为180°，观测值为三个内角之和 (i +i+ i)，因此其真误差(三角形闭合差)为：
i = 180°– ( i + i+ i)
观测数据统计结果列于 表5-1,据此分析三角形 内角和的真误差 i 的 分布规律。
算术平均值为何是该量最可靠的数值？可以用偶然 误差的特性来证明：
49 19
证明算术平均值是最或然值
按真值计算各个 观测值的真误差： 将上列等式相加， 并除以n,得到：
[] X [l ] n n 根据偶然误差特性： [ ] 0 lim n n
[l ] X lim n n
49
10
偶然误差的特性
1.有界性：在有限次观测
中，偶然误差不超过一定 数值； 2.趋向性：误差绝对值小 的出现的频率大，误差绝 对值大的出现的频率小； 3.对称性：绝对值相等的 正负误差频率大致相等； 4.抵偿性：当观测次数无 限增大时，由于正负相消， 偶然误差的平均值趋近于 零。用公式表示为：
按观测值的改正值计算中误差
Δ 9 4 4 16 1 0 16 9 4 9 72
2
第一组观测 观测值 l Δ -3 180°00ˊ03" -2 180°00ˊ02" +2 179°59ˊ58" +4 179°59ˊ56" -1 180°00ˊ01" 180°00ˊ00" 180°00ˊ04" 179°59ˊ57"
2
lim
n
Δ12 Δ22 Δn2 n
误差的分类及特点
误差的分类及特点
误差从性质上分类、特点
误差从性质上可分为三大类，即：
系统误差
随机(偶然)误差
疏失误差（粗大误差、过失误差）
系统误差
系统误差：系统误差是指按一定规律出现的误差；在同一条件下，多次重复测试同一量时，误差的数值和正负号有较明显的规律。
系统误差通常在测试之前就已经存在，而且在试验过程中，始终偏离一个方向，在同一试验中其大小和符号相同。
例如，电压表示值的偏差等。
特征：有其对应的规律性，它不能依靠增加测量次数来加以消除，一般可通过试验分析方法掌握其变化规律，并按照相应规律采取补偿或修正的方法加以消减。
随机误差（偶然误差）
随机误差（偶然误差）：在同一条件下，对某一量多次重复测量时，各次的大小和符号均以不可预定的规律变化的误差，谓之随机误差或偶然误差。
是具有不确定性的一类误差。
它的产生是由测量过程中出现的各种各样不显着而又难于控制的随机因素综合影响所造成。
特征：个别出现的偶然性而多次重复测量总体呈现统计规律，服从高斯。
第五章误差基本知识
现在的位置：课程介绍 >> 理论部分 >> 电子讲稿第五章误差基本知识5.1误差的来源和分类一、定义：观测值与真值之差，记为：X为真值，即能代表某个客观事物真正大小的数值。
为观测值，即对某个客观事物观测得到的数值。
为观测误差，即真误差。
二、误差的来源1、测量仪器一是仪器本身的精度是有限的，不论精度多高的仪器，观测结果总是达不到真值的。
二是仪器在装配、使用的过程中，仪器部件老化、松动或装配不到位使得仪器存在着自身的误差。
如水准仪的水准管轴不平行视准轴，使得水准管气泡居中后，视线并不水平。
水准尺刻划不均匀使得读数不准确。
又如经纬仪的视准轴误差、横轴误差、竖盘指标差都是仪器本身的误差。
2、观测者是由于观测者自身的因素所带来的误差，如观测者的视力、观测者的经验甚至观测者的责任心都会影响到测量的结果。
举例：如水准尺倾斜、气泡未严格居中、估读不准确、未精确瞄准目标都是观测误差。
3、外界条件测量工作都是在一定的外界环境下进行的。
例如温度、风力、大气折光、地球曲率、仪器下沉都会对观测结果带来影响。
上述三项合称为观测条件a.等精度观测：在相同的观测条件下进行的一组观测。
b.不等精度观测：在不同的观测条件下进行的一组观测。
测量误差的分类根据测量误差表现形式不同，误差可分为系统误差、偶然误差和粗差。
1、系统误差定义：误差的符号和大小保持不变或者按一定规律变化，则称其为系统误差。
如：钢尺的尺长误差。
一把钢尺的名义长度为30m，实际长度为30.005m，那么用这把钢尺量距时每量一个整尺段距离就量短了5mm，也就是会带来-5mm的量距误差，而且量取的距离越长，尺长误差就会越大，因此系统误差具有累计性。
如：水准仪的i角误差，由于水准管轴与视准轴不平行，两者之间形成了夹角i，使得中丝在水准尺上的读数不准确。
如果水准仪离水准尺越远，i角误差就会越大。
由于i角误差是有规律的，因此它也是系统误差。
正是由于系统误差具有一定的规律性，因此只要找到这种规律性，就可以通过一定的方法来消除或减弱系统误差的影响。
第1讲 绪论、误差分类、误差特性
E ( L) L E ( L) L
仅指偶 然误差
§ 1-2 偶然误差的统计性质
• 例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，每个三角 形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计 算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。
• 误差产生原因
测量仪器：水准尺分分划误差等 观测者：人的分辨力限制 外界条件：温度、湿度、气压、大气折光等
• 上述三方面因素是误差的主要来源，合称为观测条件。
观测条件好
观测条件差
误差小
误差大
精度高
精度低
不管观测条件如何，测量中产生误差是不可避免的。
§ 1-1观测误差与测量平差的任务
• 误差的分类
随堂练习1
• 题1：在水准测量中，有下列几种情况使水准尺读数带有误差，试判 别误差的性质及符号:
• （1）视准轴与水准轴不平行
系统误差
当 i 角为正值时，观测值大，符号为" "
当 i 角为负值时，观测值小，符号为" "
•
（2）仪器下沉
系统误差， 观测值小，符号为 " "
• （3）读数不准确
测量平差：即测量数据调整。
依据某种最优化的准则，由一系列带有观测误差的测量据， 求定未知量的最佳估量及精度的理论和方法。
ห้องสมุดไป่ตู้
§ 1-1观测误差与测量平差的任务
测量平差的简史和发展
问题
18世纪末 多余未知参数的观测值集合 未知数的最佳估值
解决
1794年，C.F.GUASS，从概率统计角度，提出了最小二乘 1806年，A.M. Legendre，从代数角度，提出了最小二乘。《决定彗星轨道 的新方法》 1809年， C.F.GUASS，《天体运动的理论》
第五章 测量误差的基本知识
第七章测量误差基本知识内容：了解测量误差来源及产生的原因；掌握系统误差和偶然误差的特点及其处理方法；理解精度评定的指标（中误差、相对误差、容许误差）的概念；了解误差传播定律的应用。
重点：系统误差和偶然误差的特点及其处理方法。
难点：中误差、相对误差、容许误差的概念；误差传播定律的应用。
§ 5.1 测量误差的概念测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为系统误差和偶然误差。
一、系统误差 (system error)1、定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
2、特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。
二、偶然误差 (accident error)1、定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。
但具有一定的统计规律。
2、特点：（1）具有一定的范围。
（2）绝对值小的误差出现概率大。
（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。
（4）数学期限望等于零。
即：误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。
此外，在测量工作中还要注意避免粗差 (gross error) （即：错误）的出现。
偶然误差分布频率直方图§ 5.2 衡量精度的指标测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。
一、中误差方差：——某量的真误差， [] ——求和符号。
规律：标准差估值（中误差 m ）绝对值愈小，观测精度愈高。
在测量中，n为有限值，计算中误差 m 的方法，有：1、用真误差（ true error ）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。
真误差Δ——观测值与其真值之差，有：标准差中误差（标准差估值）， n 为观测值个数。
[ 例题 ] ：对 10 个三角形的内角进行了观测，根据观测值中的偶然误差（三角形的角度闭合差，即真误差），计算其中误差。
RTK的误差特性及控制方法
RTK的误差特性及控制方法1RTK定位的误差，一般分为两类：（1）同仪器和干扰有关的误差：包括天线相位中心变化、多径误差、信号干扰和气象因素。
（2）同距离有关的误差：包括轨道误差、电离层误差和对流层误差。
对固定基地站而言，同仪器和干扰有关的误差可通过各种校正方法予以削弱，同距离有关的误差将随移动站至基地站的距离的增加而加大，所以RTK的有效作业半径是非常有限的（一般为几公里）。
2同仪器和干扰有关的误差（1）天线相位中心变化天线的机械中心和电子相位中心一般不重合。
而且电子相位中心是变化的，它取决于接收信号的频率、方位角和高度角。
天线相位中心的变化，可使点位坐标的误差一般达到3-5CM。
因此，若要提高RTK定位精度，必须进行天线检验校正，检验方法分为实验室内的绝对检验法和野外检验法。
（2）多路径误差多径误差是RTK定位测量中最严重的误差。
多径误差取决于天线周围的环境。
多径误差一般为几CM，高反射环境下可超过10CM。
多径误差可通过下列措施予以削弱：A、选择地形开阔、不具反射面的点位。
B、采用扼流圈天线。
C、采用具有削弱多径误差的各种技术的天线。
D、基地站附近辅设吸收电波的材料。
（3）信号干扰信号干扰可能有多种原因，如无线电发射源、雷达装置、高压线等，干扰的强度取决于频率、发射台功率和至干扰源的距离。
为了削弱电磁波幅射副作用，必须在选点时远离这些干扰源，离无线电发射台应超过200米，离高压线应超过50米。
在基地站削弱天线电噪声最有效的方法是连续监测所有可见卫星的周跳和信噪比。
（4）气象因素快速运动中的气象峰面，可能导致观测坐标的变化达到1~2DM。
因此，在天气急剧变化时不宜进行RTK测量。
3同距离有关的误差同距离有关的误差的主要部分可通过多基准站技术来消除。
但是，其残余部分也随着至基地站距离的增加而加大。
（1）轨道误差目前，轨道误差只有几米，其残余的相对误差影响约为1PPM，就短基线（<10KM）而言，对结果的影响可忽略不计。
测量误差的基本知识
§5.5误差传播定律的应用
一、水准测量的误差分析
每站的高差为：h = a - b ；m读≈ ±3mm
一站的高差中误差：m站 =
≈ ±4mm
线路n站，则总高差：
取3倍中误差为限差，则普通水准路线的容许误 差为 ：
二、水平角观测的误差分析
用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角，那么用盘 左盘右观测同一方向的中误差为±6 ″，
1、倍数函数：Z=kx 中误差：mz=kmx
2、和差函数 ：Z=x1±x2±…±xn 中误差：mz m12 m22 ... mn2
3、线形函数 ： Z=k1x1±k2x2±…±knxn 中误差：mz (k1)2 m12 (k2 )2 m22 ... (k n)2 mn2
加权平均值的中误差： M0 = = ±3.2mm
一、一般函数的中误差
设Z=f(x1,x2,…,xn)，其中x1,x2,…,xn属于独立自 变量（如直接观测值），他们的中误差分别为 m1,m2,…,mn则函数Z的中误差为 ：
mz
(
f x1
)
2
m12
f (
x2
) 2 m22
f ... (
xn
) 2 mn2
二、特殊函数的中误差
小结
• 正确列出函数式； • 检查观测值是否独立； • 求偏微分并代入观测值确定系数； • 套用公式求出中误差。
思考题：一个边长为l的正方形，若测量一 边中误差为ml＝±1cm，求周长的中误差？ 若四边都测量，且测量精度相同，均为ml， 则周长中误差是多少？
§5.4等精度直接观测值
1.算术平均值原理 假设对某量X 进行了n次等精度的独立观测，得
5.偶然误差的特性