中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第1章课后习题详解

中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第1章课后习题详解

第一章函数、极限与连续

内容概要

名

称

主要内容（1.1、1.2）

函数邻

域

(){}δ

δ<

-

=a

x

x

a

U,（即(){}

,

U a x a x a

δδδ

=-<<+）(){}

0,0

U a x x a

δδ

=<-<（(){}

0,,0

U a x a x a x

δδδ

=-<<+≠）

函

数

两个要素：对应法则f以及函数的定义域D

由此，两函数相等⇔两要素相同；（与

自变量用何字母表示无关）解析表示法的函数类型：显函数，隐函数，分段函数；

特

性

局

部

有

界

性

对集合D

X⊂，若存在正数M，使对所有X

x∈，恒有()M

x

f<，称函数()x

f在X上有界，或()x

f是X上的有界函数；反之无界，即任意正数M（无论M多大），总存在（能找到）X

x∈

，使得()M

x

f>

局

部

单

调

性

区间D

I⊂，对区间上任意两点

2

1

x

x，当

2

1

x

x<时，恒有：

()()

2

1

x

f

x

f<，称函数在区间I上是单调增加函数；

反之，若()()2

1

x

f

x

f>，则称函数在区间I上是单调减小函数；

奇

偶

性

设函数()x

f的定义域D关于原点对称；若D

x∈

∀，恒有()()x

f

x

f=

-，则称()x

f是偶函数；若D

x∈

∀，恒有()()x

f

x

f-

=

-，则称()x f是奇函数；

周

期

性

若存在非零常数T，使得对D

x∈

∀，有()D

T

x∈

±，且

()()x f

T

x

f=

+，则称()x f是周期函数；

初等函数几类基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数；反函数求法和性质；复合函数性质；初等函数

课后习题全解

习题1-1

★

1．求下列函数的定义域：

知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x 的取值的集合； 思路：常见的表达式有 ① a

log

□,（ □0>） ② /N □, （ □0≠） ③ (0)≥

④ arcsin

（

[]1,1-∈）等

解：

（1）[)(]1,00,11

10010112

2

⋃-∈⇒⎩⎨⎧≤≤-≠⇒⎩⎨⎧≥-≠⇒--=x x x x x x x y ； （2）3112

1

121arcsin ≤≤-⇒≤-≤-⇒-=x x x y ；

（3）()()3,00,030031

arctan 3⋃∞-∈⇒⎩

⎨⎧≠≤⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒+-=x x x x x x x y ；

（4）

()()3,11,1,,13

10301lg 3⋃-∞-∈⇒⎩⎨⎧-<<<⇒⎩

⎨⎧-<-<⇒-=

-x x or x x x x x y x

；

（5）()()4,22,11601

11

0)16(log 22

1⋃∈⇒⎪⎩

⎪⎨⎧-<-≠-<⇒-=-x x x x x y x ； ★

2．下列各题中，函数是否相同？为什么？

（1）

2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=；（2）12+=x y 与12+=y x

知识点：函数相等的条件；

思路：函数的两个要素是f （作用法则）及定义域D （作用范围），当两个函数作用法则f 相同

（化简

后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；

解：（1）

2

lg )(x x f =的定义域D=

{}R x x x ∈≠,0，

x

x g lg )(=的定义域

{},0R x x x D ∈>=，

虽然作用法则相同x x lg 2lg 2=，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；

（2）

12+=x y ，以x 为自变量，显然定义域为实数R ；

12+=y x ，以x 为自变量，显然定义域也为实数R ；两者作用法则相同“2□

1+”

与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；

★

3．

设⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥<=3,03

,sin )(ππϕx x x x ，求)2()4

()4()6(

--ϕπ

ϕπϕπ

ϕ，，，，并做出函数

)(x y ϕ=的图形

知识点：分段函数； 思路：注意自变量的不同范围；

解：216

sin )6(=

=π

πϕ，224sin 4==⎪⎭

⎫

⎝⎛ππϕ，224sin 4=

⎪⎭

⎫

⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-

ππϕ

()02=-ϕ；如图：

★

4．试证下列各函数在指定区间内的单调性 ：

（1）

()1,1∞--=

x

x

y （2）x x y ln 2+=，()+∞,0 知识点：单调性定义。单调性是局部性质，函数在定义域内不一定有单调性，但是可以考查

x

3

π2

3

3

π

图

y