一类四阶非线性椭圆方程的无穷多个变号解

一类四阶非线性椭圆方程的无穷多个变号解
高敏;武瑛
【摘要】In engineering practice, the fourth-order elliptic equation with the biharmonic op-erator?2u+c?u=f (x, u), x∈?, can be used to describe the deformation of an suspension bridge. When the bridge is in equilibrium and there are no external forces, the corresponding equation satisfies the boundary condition u|?? =?u|?? =0. In this paper, a class of fourth-order elliptic boundary value problems is examined under the assumption that the nonlinear term f is asymptotically linear at 0 and superquadric at∞with respect to u. The proof method is the descending flow invariant set method. The main results are two theorems which establish the existence of one sign-changing solution and infinitely many sign-changing solutions, respec-tively. The main results and the proofs are different from those presented in current literature.%在工程实际中,含有双调和算子的四阶椭圆问题?2 u+c?u=f(x,u),x∈?,可用来描述悬索桥的非线性振动.当悬索桥处于平衡位置且不受外力的理想情形下,相应的边界条件为u|??=?u|??=0.本文研究了一类四阶椭圆边值问题,其中非线性项f在0处渐近线性、在∞处超二次.证明方法为下降流不变集方法,主要结果是证明了这类四阶椭圆边值问题存在一个变号解以及存在无穷多个变号解的两个定理.所得结果及其证明方法均不同于现有文献中的结果.
【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】2017(034)006
【总页数】9页(P637-645)
【关键词】四阶椭圆边值问题;解的存在性;变号解;临界点
【作者】高敏;武瑛
【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院,西安 710062;西安科技大学理学院,西安 710054
【正文语种】中文
【中图分类】O175.4
1 引言
本文研究下面的四阶非线性椭圆问题
其中Δ2是双调和算子，Ω为RN中具有光滑边界的有界开区域，
c∈R,|f(x,t)|≤C(1+|t|s−1),∀(x,t)∈Ω×R,s∈(2,2∗)(N ≥3),s∈(2,+∞)(N≤ 2)．
在问题(1)中，令f(x,u)=b[(u+1)+−1]，则可得到下面的Dirichlet问题
其中u+=max{u,0},b∈R．
对于问题(2)，Lazer和Mckenna在文献[1]中运用变分方法证明了当N=1且b＞λk(λk−c)时，其存在2k−1个解．Tarantello在文献[2]中运用度理论，在b≥ λ1(λ1−c)时，找到一个负解．对于问题(1)，Micheletti和Pistoia在文献[3,4]中运用变分方法证明了在非线性项f(x,u)=bg(x,u)的情况下，非平凡解的存在性．Zhang在文献[5]中证明了非线性项f(x,u)在一些弱的条件下，问题(1)解的存在性．Zhang和Li在文献[6]中运用Morse理论和局部环绕证明了多个非平凡解的存在性．除了文献[7,8]，问题(1)的变号解的存在性与多重性没有被深入研
究．在文献[7]中，作者运用变号临界点定理得到四个以及无穷多个变号解的存在性．在文献[8]中，作者运用极小极大方法构造变号解．受这些思想的启发，本文
运用临界点理论中的下降流不变集方法去研究问题(1)的变号解的存在性与多重性．特征方程
具有无穷多个特征值λk,k=1,2,…，且0＜λ1＜λ2≤ λ3≤ …,λk→ ∞．相应的特征
函数为φk(k=1,2,…)，那么φ1是定号函数，φi(i≥2)是变号函数．由文献[9]知，
特征方程
具有无穷多个特征值µk=λk(λk−c),k=1,2,…，相应的特征函数为φk(x)．不妨设c ＜λ1，记，且构成H的一组正交基，则H关于如下内积
构成一个Hilbert空间，其范数为‖u‖2=〈u,u〉．用‖u‖p表示u的Lp范数．于是，问题(1)弱解的存在性问题可转化为下列泛函G:H→R1的临界点问题
其中
易知G是C1泛函，其在某点u∈H处的梯度可表示为问题(1)的解等价于泛函G
的临界点．
首先，我们先列出需要用到的条件，并给出主要结论．
(H0):f∈C(Ω¯ ×R,R),f(x,0)=0.
(H1): 存在η＞2,m＞0，使得
(H2): 对x∈Ω一致成立.
(H3):f(x,t)关于t是奇函数，即
定理1 设(H0)—(H2)成立，那么问题(1)存在一个正解，一个负解和一个变号解．定理2 设(H0)—(H3)成立，那么问题(1)有无穷多个变号解．
2 预备知识
下面的抽象结果来自文献[10]，为便于使用，此处给出原本定理在Hilbert空间中的情形，定理更一般的情形与下降流不变集的知识，可参见文献[10,11]．
设H是Hilbert空间，为两个闭凸子集，泛函．我们需要下列条件：
(A1):，其中int表示集合的内部．
(A2):
(A3):是紧算子．
(A4): 对于任意b∈R，存在常数a＞0，使得当u∈Gb={u∈H,G(u)≤b}时，我们有
(A5): 存在α1∈Z，一列正整数(Rn)n∈N以及H的一列子空间(Hn)n∈N满足dimHn≥n，使得
其中Bn={u ∈Hn:‖u‖H≤ Rn}．
(A6): 存在一条道路h:[0,1]→H，使得
并且
定义1 设G∈C1(H,R).如果满足{G(un)}有界且G′(un)→0,n→∞，的任意点列{un}
都有收敛子列，则称G在H上满足PS条件．
在下列定理中，CH(S)表示由集合S扩张成的相对于H的完全下降流不变集[11]．定理3 设(A1)—(A4),且(A6)成立，G在H上满足PS条件，那么G在四个互不相交的集合中各有一个临界点，这四个集合分别为
定理4 设(A1)—(A6)成立，J′是奇的且G满足PS条件，则G有一列临界点
且‖G(un)‖→∞,n→∞．
由(H0),(H1)及(H2)知，存在m＞0，使得
对于上述m＞0，考虑如下与问题(1)等价的边值问题
其中fm(x,u)=f(x,u)+mu,(x,u)∈Ω×R．于是，问题(1)的解相应于如下泛函Gm:H→R的临界点
其中
是H上与‖·‖等价的范数，且
相应地，H上与m有关的内积定义为
易知Gm是C1泛函，其在某点u∈H处的梯度可表示为
容易看出
令P={u∈H:u(x)≥0,a.e.,x∈Ω}．对µ0＞0，记
显然，是H中具有非空内点集的闭凸集．
引理1 设(H0),(H1)成立，则泛函Gm在H上满足PS条件．
证明由(7)，我们只需证明G在H上满足PS条件．设{un}⊂H且存在C＞0，使得|G(un)|≤C，且当n→0时，G′(un)→0．由定义1知，要证明泛函G满足PS条件，只需证明{un}有界．
由(H1)，我们有
于是，由Cauchy-Schwarz不等式，有
因为，故存在N0∈N，使得
因此，{un}有界．
引理2 设(H0),(H1),(H2)成立，则存在ε0＞0，使得当µ0∈(0,ε0]时，有
证明由(H0),(H2)知，存在δ＞0，使得
因为|f(x,t)|≤ C(1+|t|s−1)，令C1=C/δs−1+C，我们有
结合(8)与(9)，并注意到fm的定义，可得
对于任意u∈H，定义它的正部和负部
显然，对任意u∈H，有u=u++u−．由(5)有
对u∈H，记．由(10)、(11)及H¨older不等式，有
进一步，由Sobolev空间嵌入定理可知，存在常数C2,C3＞0，使得
从而有
根据(12)，我们有
另一方面，对任意w∈P，有
因此得到
由于s＞2，故存在ε＞0，使得当0＜dist(u,P)≤ε时，有distm(v,P)＜distm(u,P)，这意味着
同理存在ε＞0，使得当0＜dist(u,−P)≤ε时，有distm(v,−P)＜distm(u,−P)，即
引理3 设fm满足(H0),(H1)的条件，则(A4)成立．
证明对于u∈H，有
当G(u)≤b且(H1)成立时，则存在C4＞0，由式(13)得到
即
由Young不等式，存在C5＞0，使得
又由于，所以存在a＞0，由式(14)得到
3 定理证明
定理1的证明我们需要证明定理3的所有条件都成立．由引理1和引理2知，在(H0),(H1),(H2)的条件下，Gm在H上满足PS条件，且(A2)成立．由文献[12]中的定理6.3.2可知Gm∈C1(H,R)，且Jm′是紧算子，故(A3)成立．根据引理3，(H0),(H1)可保证(A4)成立．由(7)，我们只需证明G在H上使得(A6)成立．为此，定义道路h:[0,1]→H如下
其中φ1＞0是对应特征值µ1的特征函数．取φ2∈H,φ2/=0，且〈φ1,φ2〉=.0．显然
当(H1)成立时，由文献[12]中定理7.4.2知，存在K1＞0,K2＞0，使得
于是，我们有
其中
由于η＞2，故
另一方面，由引理2知，当(H0),(H2)成立，有．再结合文献[10]中的引理3.8，由的定义有
因此，当R充分大时，有
至此，定理3的所有条件都成立，定理3保证了问题(6)至少有四个解：一个零解、一个正解、一个负解、一个变号解．由问题(1)与问题(6)等价，故定理1成立．
定理2的证明由文献[12]中的定理6.3.2知G∈C1(H,R)，且J′是紧算子，故(A3)
成立．由引理2知，(A2)成立．显然有．当f满足(H0),(H1)的条件，则(A4)成立，当f(x,t)满足(H3)时，显然J′是奇的，G是偶泛函．由(7)，我们只需证明G在H
上使得(A5)成立．
取u ∈Hn=span{φ1,φ2,…,φn}，显然有dimHn ≥ n．于是
由Hn是有限维空间，存在K6＞0，使得
因为η＞2，故有
故存在，当‖u‖＞Rn时，有
因此有
其中Bn={u ∈Hn:‖u‖H≤ Rn}．
至此，定理4的所有条件都成立，因此，问题(6)在
中有无穷多个的解．根据M的构造，显然这些解都是变号解．又因问题(1)与问题(6)等价，故定理1成立．
参考文献：
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