北师大版九年级数学上期末备考压轴题专项培优：特殊的平行四边形(解析版)

期末备考压轴题专项培优：特殊的平行四边形
1．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．设点N 的坐标为（m，n）．
（1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段BD上，点B（﹣1，0），A（0，1）．且BM＝t（0＜t≤2），则点D的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣1）；
请直接写出点N纵坐标n的取值范围是0＜n≤；
（2）若正方形的边长为2，求EC的长，以及AM+BM+CM的最小值．
（提示：连结MN：＝+1，＝﹣1）
解：（1）如图1，以直线BD为x轴，直线AC为y轴，建立平面直角坐标系，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵点B（﹣1，0），A（0，1），
∴D（1，0），C（0，﹣1）；
过N作NH⊥BD于h，
∴∠NHB＝90°，
∵将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，
∴∠NBH＝60°，BM＝BN，
∴NH＝BN＝t，
∵0＜t≤2，
∴点N纵坐标n的取值范围是0＜n≤；
故答案为：（1，0），（0，﹣1）；0＜n≤；
（2）如图所示，连接MN，过E作EH⊥BC，交CB的延长线于H，
由旋转可得，BM＝BN，∠NBM＝60°，
∴△BMN是等边三角形，
∴MN＝BM，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝BA，∠ABE＝60°，
∴∠ABM＝∠EBN，
∴△ABM≌△EBN（SAS），
∴AM＝EN，
∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM，
∴当E，N，M，C在同一直线上时，AM+BM+CN的最小值是CE的长，又∵∠ABE＝60°，∠ABH＝90°，
∴∠EBH＝30°，
∴Rt△EBH中，EH＝EB＝×2＝1，
∴BH＝＝＝，
∴CH＝2+，
∴Rt△CEH中，CE＝＝＝＝；∴AM+BM+CM的最小值为+．
2．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作▱ECFG．
（1）证明▱ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连结BD、CG，求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．
解：（1）证明：，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°；
（3）如图2中，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝6，AD＝8，
∴BD＝10，
∴DM＝BD＝5．
3．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以AD为边向外作等边△ADE，连接CE，交BD于F．
（1）如图1，若AE＝，求DF的长；
（2）如图2，点M为AB的延长线上一点，连接CM，连接FM且FM平分∠AMC，求证：CM＝MF﹣AM．
解：（1）如图1，连接OE，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，OA＝OD＝OB＝OC
∵△ADE是等边三角形
∴AD＝DE＝AE＝，∠ADE＝60°
∴CD＝AD＝，OD＝OB＝
∵AE＝DE，OD＝OA
∴OE垂直平分AD
即OE⊥AD，DH＝AH
∴OE＝OH+EH＝+＝，
∵∠ADC＝∠DHE＝90°
∴CD∥OE
∴△CDF∽△EOF
∴＝，即DF＝OF
∵DF+OF＝OD＝
∴OF＝﹣DF
∴DF＝（﹣DF），解得：DF＝﹣1．
（2）如图2，连接EO，过点F作PQ⊥CD交EO于N，在MA上截取MT＝MC，连接FT，设正方形边长为a，
∵四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形
∴AD＝AB＝CD＝DE＝a，∠ADC＝∠DAB＝90°∠ADE＝60°
易证OE⊥AD
∴OE＝a，OD＝a，
由（1）知△CDF∽△EOF
∴＝，即a•DF＝a•OF
∵DF+OF＝a
∴OF＝a﹣DF
∴a•DF＝a（a﹣DF）
∴DF＝a，
∵△DPF是等腰直角三角形
∴DP＝PF＝DF＝a，
∴FQ＝a﹣a＝a＝CP，
∵FM平分∠AMC，
∴∠CMF＝∠AMF
在△MCF和△MTF中
∴△MCF≌△MTF（SAS）
∴CF＝FT
∴Rt△CFP≌Rt△FTQ（HL）
∴QT＝PF＝a，
∵AQ＝DP
∴AQ＝QT
∵BM+AB﹣AT＝MT＝CM
∴CM﹣BM＝AB﹣AT＝a﹣2×a＝a，CM+BM＝MT+BM＝BT+2BM＝a﹣2×a+2BM＝a+2BM
∴CM2﹣BM2＝（CM﹣BM）（CM+BM）＝a（a+2BM）
∵CM2﹣BM2＝BC2＝a2，
∴a（a+2BM）＝a2，
∴BM＝a
在Rt△BCM中，tan∠BMC＝＝＝，
∴∠BMC＝60°
∴∠AMF＝30°
∴＝cos∠AMF＝cos30°＝
∴2MQ＝MF
∵2MQ＝2BM+2BQ＝2BM+2BT+2QT＝（BM+BT）+（BM+BT+AT）＝CM+AM ∴CM+AM＝MF
即CM＝MF﹣AM．
4．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BD为菱形的一条对角线．
（1）如图1，过A作AE⊥BC于点E，交BD于点F，若EF＝2，求菱形ABCD的面积；
（2）如图2，M为菱形ABCD外一点，过A作AN⊥BM交BM的延长线于点N，连接AM，DM，AG⊥DM于点G，且∠AMN＝∠AMD，求证：DM＝BM+AM．
（1）解：如图1中，
∵四边形ABC都是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，
∵AE⊥BC，
∴∠BEF＝90°，
∵EF＝2，
∴BF＝2EF＝4，∠BFE＝60°，
∵∠BFE＝∠ABF+∠F AB，
∴∠ABF＝∠F AB＝30°，
∴BF＝AF＝4，
∴AE＝AF+EF＝6，
∴AB＝＝4，
∴BC＝AB＝4，
∴S
＝BC•AE＝24．
菱形ABCD
（2）证明：如图2中，
∵∠AMN＝∠AMG，AN⊥MN，AG⊥DM，
∴AN＝AG，
∵∠MNA＝∠MGA＝90°，AM＝AM，AN＝AG，∴Rt△MAN≌Rt△MAG（HL），
∴NM＝MG，
∵∠ANB＝∠AGD＝90°，AN＝AG，AB＝AD，
∴Rt△ANB≌Rt△AGD（HL），
∴∠ABN＝∠ADG，BN＝DG，
∴∠BMD＝△BAD＝120°，
∴∠NMG＝60°，
∴∠AMN＝∠AMG＝30°，
∴DM﹣BM＝MG+DG﹣（BN﹣MN）＝2MN＝AM，
∴DM＝BM+AM．
5．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（2）若AD＝12，DC＝3，∠EBD＝60°，则BE＝6时，四边形BFCE是菱形．（只需完成填空，不需写出具体过程．）
（1）证明：∵在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴BE＝FC，∠ABE＝∠DCF，
∴∠EBC＝∠FCB，
∴BE∥FC，
∴四边形BFCE是平行四边形；
（2）解：当四边形BFCE是菱形，
则BE＝EC，
∵AD＝12，DC＝3，AB＝DC，
∴BC＝6，
∵∠EBD＝60°，EB＝EC，
∴△EBC是等边三角形，
∴BE＝6．
故答案为：6．
6．已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；
（3）若BD＝2AB，
①探究四边形GEHF的形状，并说明理由；
②当AB＝2，∠ABD＝120°时，直接写出四边形GEHF的面积．
（1）证明：连接AC，如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴BD的中点在AC上，
∵E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，
∴E、F分别为OB、OD的中点，
∵G是AD的中点，
∴GF为△AOD的中位线，
∴GF∥OA，GF＝OA，
同理：EH∥OC，EH＝OC，
∴EH＝GF，EH∥GF，
∴四边形GEHF是平行四边形；
（2）解：当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；理由如下：
连接GH，如图2所示：
则AG＝BH，AG∥BH，
∴四边形ABHG是平行四边形，
∴AB∥GH，
∵AB⊥BD，
∴GH⊥BD，
∴GH⊥EF，
∴四边形GEHF是菱形；
故答案为：AB⊥BD；
（3）解：①四边形GEHF是矩形；理由如下：
由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，
∴GH＝AB，
∵BD＝2AB，
∴AB＝BD＝EF，
∴GH＝EF，
∴四边形GEHF是矩形；
②作AM⊥BD于M，GN⊥BD于N，如图3所示：则AM∥GN，
∵G是AD的中点，
∴GN是△ADM的中位线，
∴GN＝AM，
∵∠ABD＝120°，
∴∠ABM＝60°，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝1，AM＝BM＝，
∴GN＝，
∵BD＝2AB＝4，
∴EF＝BD＝2，
∴△EFG的面积＝EF×GN＝×2×＝，
∴四边形GEHF的面积＝2△EFG的面积＝．
7．如图，边长为6的正方形ABCD中，E，F分别是AD，AB上的点，AP⊥BE，P为垂足．
（1）如图1，AF＝BF，AE＝2，点T是射线PF上的一个动点，当△ABT为直角三角形时，求AT的长；
（2）如图2，若AE＝AF，连接CP，求证：CP⊥FP．
（1）解：在正方形ABCD中，可得∠DAB＝90°．
∵在Rt△BAE中，tan∠ABE＝＝＝，
∴∠ABE＝30°．
点T是射线PF上的一个动点，当△ABT为直角三角形时，分三种情况：
①当点T在AB的上方，∠ATB＝90°，
显然此时点T和点P重合，即AT＝AP＝AB＝3；②当点T在AB的下方，∠ATB ＝90°，如图①所示．
在Rt△APB中，由AF＝BF，
可得：AF＝BF＝PF＝3，
∴∠BPF＝∠FBP＝30°，
∴∠BFT＝60°．
在Rt△ATB中，TF＝BF＝AF＝3，
∴△FTB是等边三角形，
∴TB＝3，AT＝＝3；
③当点T在AB的下方，∠ABT＝90°时，如图②所示．
在Rt△FBT中，∠BFT＝60°，BF＝3，BT＝BF•tan60°＝3．
在Rt△ATB中：AT＝＝3．
综上所述：当△ABT为直角三角形时，AT的长为3或3或3；
（2）证明：如图③所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC，AD∥BC，∠DAB＝90°，
∴∠3＝∠4．
∵在Rt△EAB中，AP⊥BE，
∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠3＝∠4，
∵tan∠1＝，tan∠3＝，
∴＝，
∵AE＝AF，AB＝BC，
∴＝，
∴△PBC∽△P AF，
∴∠5＝∠6．
∵∠6+∠7＝90°，
∴∠5+∠7＝90°，即∠CPF＝90°，
∴CP⊥FP．
8．已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）已知AB＝5，AD＝8．求四边形GEHF是矩形时BD的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠GDE＝∠FBH，
∵G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，
∴在Rt△AED和Rt△CFB中，EG＝AD＝GD，FH＝BC＝HB，∴EG＝FH，∠GED＝∠GDE，∠FBH＝∠BFH，
∴∠GED＝∠BFH，
∴EG∥FH，
∴四边形GEHF是平行四边形；
（2）解：连接GH，
当四边形GEHF是矩形时，∠EHF＝∠BFC＝90°，
∵∠FBH＝∠BFH，
∴△EFH∽△CBF，
∴＝，
由（1）可得：GA∥HB，GA＝HB，
∴四边形GABH是平行四边形，
∴GH＝AB＝5，
∵在矩形GEHF中，EF＝GH，且AB＝5，AD＝8，
∴＝，
解得：BF＝，
∴BE＝BF﹣EF＝﹣5＝，
在△ABE和△CDF中
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF＝，
∴BD＝BF+DF＝+＝．
9．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．
（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；
（2）如图2，若DA＝DE，求证：BF+DF＝AF．
解：（1）设BM＝x，则CM＝2x，BC＝3x，
∵BA＝BC，∴BA＝3x．
在Rt△ABM中，E为斜边AM中点，
∴AM＝2BE＝2．
由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，
即40＝x2+9x2，解得x＝2．
∴AB＝3x＝6．
（2）延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点．∵DF平分∠CDE，
∴∠1＝∠2．
∵DE＝DA，DP⊥AF
∴∠3＝∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，
∴∠2+∠3＝45°．
∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°．
∴AH＝AF．
∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°，
∴∠BAF＝∠DAH．
又AB＝AD，
∴△ABF≌△ADH（SAS）．
∴AF＝AH，BF＝DH．
∵Rt△F AH是等腰直角三角形，
∴HF＝AF．
∵HF＝DH+DF＝BF+DF，
∴BF+DF＝AF．
10．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的两条直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H．
【感知】如图①，若四边形ABCD是正方形，且AG＝BE＝CH＝DF，则S
四边形AEOG
＝ S 正方形ABCD ；
【拓展】如图②，若四边形ABCD 是矩形，且S 四边形AEOG ＝S 矩形ABCD ，设AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝m ，求AG 的长（用含a 、b 、m 的代数式表示）；
【探究】如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，且AB ＝3，AD ＝5，BE ＝1，试确定F 、G 、H 的位置，使直线EF 、GH 把四边形ABCD 的面积四等分．
解：【感知】如图①，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠OAG ＝∠OBE ＝45°，OA ＝OB ，
在△AOG 与△BOE 中，
， ∴△AOG ≌△BOE ，
∴S 四边形AEOG ＝S △AOB ＝S 正方形ABCD ；
故答案为：；
【拓展】如图②，过O 作ON ⊥AD 于N ，OM ⊥AB 于M ，
∵S △AOB ＝S 矩形ABCD ，S 四边形AEOG ＝S 矩形ABCD ，
∴S △AOB ＝S 四边形AEOG ，
∵S △AOB ＝S △BOE +S △AOE ，S 四边形AEOG ＝S △AOG +S △AOE ， ∴S △BOE ＝S △AOG ， ∵S △BOE ＝BE •OM ＝m
b ＝mb ，S △AOG ＝AG •ON ＝AG •a ＝AG •a ， ∴mb ＝AG •a ，
∴AG ＝；
【探究】如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，则KL＝2OK，PQ＝2OQ，
∵S
平行四边形ABCD
＝AB•KL＝AD•PQ，
∴3×2OK＝5×2OQ，
∴＝，
∵S
△AOB ＝S
平行四边形ABCD
，S
四边形AEOG
＝S
平行四边形ABCD
，
∴S
△AOB ＝S
四边形AEOG
，
∴S
△BOE ＝S
△AOG
，
∵S
△BOE ＝BE•OK＝×1×OK，S
△AOG
＝AG•OQ，
∴×1×OK＝AG•OQ，∴＝AG＝，
∴当AG＝CH＝，BE＝DF＝1时，直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q 的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，
∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，
由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝16﹣t，得t＝8，
故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；
（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，
∴四边形AQCP为平行四边形，
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形
即＝16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，
故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；
（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，
则周长为4×10cm＝40cm；
面积为10cm×8cm＝80cm2．
12．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上的点，BE交AC于点F，连接DF．
（1）求证：∠BAF＝∠DAF，∠AFD＝∠CFE；
（2）若AB∥CD，试证明：四边形ABCD是菱形；
（3）在（2）的条件下，试确定点E的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说理由．
证明：（1）在△ABC和△ADC中
，，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ABF和△ADF中
，
∴△ABF≌△ADF，
∴∠AFB＝∠AFD，
∵∠CFE＝∠AFB，
∴∠AFD＝∠CFE，
∴∠BAF＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；
（2）∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AB＝CB＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（3）∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF，
∵CF＝CF，
∴△BCF≌△DCF，
∴∠CBF＝∠CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠DEF＝90°，
∴∠EFD＝∠BCD．
13．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个点，过点O作直线MN∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．
（1）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；
（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？证明你的结论．
（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，
∵EF∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，
∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，
∴OE＝OC，OF＝OC，
∴OE＝OF；
∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF＝180°，
∴∠ECF＝90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF＝＝10，
∴OC＝OE＝EF＝5；
（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°．求AE的长．
（1）证明：在菱形ABCD中，OC＝AC．
∴DE＝OC．
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形．
∴OE＝CD．
（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AC＝AB＝2．
∴在矩形OCED中，
CE＝OD＝．
在Rt△ACE中，
AE＝．
15．如图，以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG．（1）求证：△BDE≌△BAC；
（2）求证：四边形ADEG是平行四边形．
（3）直接回答下面两个问题，不必证明：
①当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？
②当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？
（1）证明：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，
∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．
∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．
在△BDE和△BAC中，
，
∴△BDE≌△BAC（SAS），
（2）∵△BDE≌△BAC，
∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．
∵AD是正方形ABDI的对角线，
∴∠BDA＝∠BAD＝45°．
∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，
∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD
＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°
＝225°﹣∠BAC
∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°
∴DE∥AG，
∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．
（3）①当四边形ADEG是矩形时，∠DAG＝90°．
则∠BAC＝360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，即当∠BAC＝135°时，平行四边形ADEG是矩形；
②当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．
由①知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．
∵四边形ABDI是正方形，
∴AD＝AB．
又∵四边形ACHG是正方形，
∴AC＝AG，
∴AC＝AB．
∴当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．。