中级宏观经济学配套练习及答案

第二讲 配套习题及答案
1.若效用函数现为：
γγ-=1),(l c l c u （10<<γ）
其他条件与实例中给出的相同，试分别求分散经济与计划经济的最优解。

计划者目标函数为：
}{max 1,γγ-l c l
c ..t s αα--==10)(l h zk y c
代约束条件进目标函数，可以得到无约束的最大化问题：
{}γγαα---110])([max l l h zk l
一阶条件为：
)(l FOC γγααγγγγααγγγγα-------=--l l h k z l l h k z )1()()()1()1(011)1(0
求解可得：
αγγ--=
*1)1(h l αγ
αγ--=*1)1(h n 代*n 进生产函数可得：
αααγαγ-**⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==101)1(h zk y c
企业利润函数为：
wn k r n zk -+-=-)1(1ααπ
企业利润最大化的一阶条件为：
0)1(11=+-=∂∂--r n k z k
αααπ 0)1(=--=∂∂-w n k z n
αααπ 利用这两个一阶条件可以取得均衡的价格解，为：
αααγαγ-*⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1)1(0h zk w
11)1(110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--*α
ααγαγαh k z r
2.假设行为人的效用函数如下：)ln()ln(l c U +=，其中c 是行为人的消费，l 是行为人每天用于闲暇的时间。

行为人每天的时间除了用于闲暇，就是用于工作，但他既可以为自己工作也可以为别人工作。

他为自己工作时的产出函数为5.0)(4s n y =，其中s n 为用于自己工作的时间。

如果他为别人工作，每小时得到的报酬是工资，记为w （当然是用消费品衡量的）。

试写出该行为人的最优化问题，并求解之。

)ln(){ln(max ,,l c s
n l c + ..t s w n l n c s s )24()(45.0--+=
代约束条件进目标函数，分别对l 和s n 两个变量求一阶导数，并令其
为零，有：
)(l FOC l
w n l n w s s 1)24()(45.0=--+ )(n FOC 0)24()(4)(25.05.0=--+--w
n l n w n s s s 求解上述联立方程，可得：
w n s 4=
*
2212w l +
=* 421285.0--+=
*w w w
c 3.考虑一个具有如下代表性行为人的模型。

代表性消费者的效用函数如下：
l c l c u +=β),(
其中，c 是消费，l 是闲暇，且0>β。

消费者拥有一单位的时间禀赋和0k 单位的资本。

代表性企业生产消费品的技术由如下的生产函数来
表示：
αα-=1n Ak y
其中，y 是产出，A 是全要素生产率，k 是资本投入，n 是劳动投入，且10<<α。

记w 为市场的实际工资，r 为资本的租金率。

a.试求解实现竞争均衡时的所有价格和数量。

b.试分析全要素生产率A 的一个变化会对消费、产出、就业、实际工资以及资本租金率产生怎样的影响。

解：a.第一步，分析消费者行为：
l c l c u l
c l c +=β,,max ),(max ..t s 0)1()1(k r l w c ++-=
代约束条件进目标函数，可转化为无约束的最大化问题。

l k r l w l
+++-])1()1([max 0β 对l 求一阶导数，并令其为零，可得：
β1=
w
第二步，分析企业的行为：
d d d d d k k r wn n Ak )1()1(1δπαα-++--=-
n FOC 0)1(=---w n Ak d d ααα
d k FOC 011=----δαααr n Ak d d
根据市场出清条件，可得如下方程组：
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=+==----0111)1(k k r n Ak n Ak d
d d d d δαβααααα
求解得：
[]
[]⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-**δαβααβααααα1110)1()1(A r k A n 第三步，全部均衡解：
[]αααβ10)1(11k A n l --=-=**
[][]01110
0)1()1(k A k A Ak c y αααα
ααααβαβ--**-=-== α1=*w
或者，考虑计划经济情形：
l c l c u l
c l c +=β,,max ),(max ..t s αα--=10)1(l Ak c
代约束条件进目标函数，可转化为无约束的最大化问题：
()[]l l Ak l
+--ααβ10)1(max 对l 求一阶导数，并令其为零，可得：
1)1()1(0=---αααβl Ak
解得：
[]αααβ1
0)1(1k A l --=* []αααβ1
0)1(k A n -=* b.()0)1()1(101<---=∂∂-k A A l αααβαβα
()0)1()1(101>--=∂∂-k A A n αααβαβα
()0)1(1011>-=∂∂=∂∂--k A A c A y αααααβα
()0)1(11>-=∂∂--αααααβA A r 0=∂∂A
w 说明：闲暇将随技术进步而减少，因而就业将随技术进步而增加；产出、消费和资本租金率将随技术进步而上升；实际工资不会随技术进步的变化而变化。

4.考虑一个如下的含有政府的代表性行为人的经济。

消费者的偏好由如下的效用函数代表：
g l c l c u ln ln ln ),(γθ++=
这里，c 是消费；l 是闲暇；g 是政府购买；0,>γθ。

消费者拥有一单位的时间禀赋。

私人消费品的生产技术如下：
zn y =
这里，y 是产出，n 是劳动投入，0>z 。

假设政府通过向消费者征收一个总额税来为自己的购买融资。

（1）对于一个给定的g ，试求均衡时的消费、产出和就业。

证明这
些均衡数量是帕累托最优的。

（2）试分析当政府购买发生变化时，这些均衡数量会受到怎样的影响。

平衡预算乘数时大于1还是小于1，解释之。

（3）现在假设政府是一个“仁慈”的政府，它将选择一个最优的g 。

也就是说，政府将选择一个合适的g 去最大化代表性行为人的福利。

试求解最优水平的政府购买数量。

解：
（1）在给定0,>τg 时，消费者的最优规划问题可以表述如下：
]ln ln [ln max ,g l c l
c γθ++ ..t s τ--=)1(l w c
代约束条件进目标函数，可以转化为无约束的极值问题：
{}g l l w l
ln ln ])1(ln[max γθτ++-- 该最大化问题的一阶条件为： 0)1(=+---l
l w w θτ 利用这一一阶条件，可以求得消费者的闲暇需求函数： ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫
⎝⎛+=w l τθθ11 )
1()(θτθ+-=w w 利用闲暇的需求函数，再加上消费者的时间约束和预算约束，我们可以进一步求得消费者的劳动供给和消费需求函数： )
1(θθτ++=w w n ， θτ+-=1w c
可以注意到，闲暇和消费都是都是随总额税的增加而减少的，这确保在我们假设的效用函数下，这两种商品都是正常商品。

也可以注意到，闲暇和消费都随w 的增加而增加，这意味着在我们的模型中，相对于收入效应而言，替代效应是占主导地位的。

从企业的利润最大化问题中，我们能得到：
z w =
竞争均衡的定义要求政府的预算要平衡：
τ=g
代这些表达式进入消费者的闲暇和消费需求函数中，可以得到如下的竞争均衡数量： )1()(θθ+-=z g z l ， )
1(θθ++=z g z n ， θ+-=1g z c 注意，当我们把消费者的时间预算代进其预算约束的时候，我们已
经运用了劳动市场的出清条件，l n -=1。

利用或者商品市场出清条件，
y g c =+，或者生产函数，zn y =，并与上述均衡数量相结合，可以求得均衡产量： θ
θ++=1g z y 给定时，
0>g 我们可以借助如下的社会计划者最优问题来求得帕累托最优的均衡数量：
]ln ln [ln max ,g l c l
c γθ++ ..t s )1(l z g c -=+
代约束条件进目标函数，可以转化为无约束的极值问题：
{}g l g l z l
ln ln ])1(ln[max γθ++--
该最大化问题的一阶条件为：
0)1(=+---l
g l z z θ 利用该一阶条件，可以求得消费者的闲暇需求函数： ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫
⎝⎛+=z g l 11θθ )
1()(θθ+-=z g z 利用闲暇的需求函数，再加上消费者的时间约束、生产函数和资源约束，我们可以进一步求得如下的均衡数量： )
1(θθ++=z g z n ，θθ++=1g z y ， θ+-=1g z c 因为这些解与上面我们已经推导出来的竞争均衡数量是相同的，因此，竞争均衡分配是帕累托最优的分配。

在这一例子中，之所以两者的结果相同是因为总额税并不会产生扭曲效应。

（2）因为在题（1）中我们已经求得均衡数量解，因而，我们之需要简单地让这些均衡解对g 求全导数，就可以得到结论：
0)1(>+=θθz dg dn
01>+=θθdg dy 011<+-=θ
dg dc 可以注意到，平衡预算乘数是小于1的。

因为，θθ+<1，所以，11<+=θ
θdg dy 。

（回忆：政府预算约束g =τ必须成立，因而，g 的任何
一个变化一定对应着τ的一个相同变化：dg d =τ。

因此，我们有“平衡预算乘数”这一名词。

）也可以注意到，挤出是不完全的：因为0>θ，所以111<+=θ
dg dc 。

（3）为了确定最优水平的政府购买数量，政府在给定行为人对g 变化的最优反应的基础上通过选择一个合适的g 来最大化代表性行为人的福利。

我们可以把在题（1）中求得的行为人的决策规则看成是一个g 的函数：)(g c c =和)(g l l =。

这些函数告诉我们行为人的最优选择c 和l 是如何随着g 的变化而变化的。

政府的最优化问题可以描述如下：
[]g g l g c g
ln )(ln )(ln max γθ++ 或者，等价地： ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-g z g z g z g ln )1()(ln 1ln max γθθθθ 一阶条件如下： 01=+----
g
g z g z γθ 或者 g g z γθ=-+1 （1） 注意，方程（1）的左边代表的是政府购买的边际成本。

这些成本是借助纯财富效应通过减少消费和闲暇的形式实现的。

方程（1）的右边代表的是政府购买的边际收益。

因此，最优的g 平衡着政府购买的边际收益和边际成本。

注意到边际成本随着g 的增加而增加，而边际
收益则随着g 的增加而减少。

求解（1）式可以得到最优的政府购买水平： γ
θγ++=*1z g （2） 5.考虑一个具有和题1相同的偏好和生产技术的代表性行为人经济。

假设现在政府通过向消费者的劳动收入征收比例税来为自己的购买进行融资。

让t 代表税率，因而政府的总税收收入等于)1(l tw -，这里，w 是实际工资。

（1）写出政府的预算约束。

（2）对于给定的g ，试求竞争均衡中的消费、产出和就业。

讨论这一均衡是否是帕累托最优均衡。

（3）证明竞争均衡的最优数量将随着g 的变化而变化。

（4）求解实现福利最大化的政府购买g 的水平。

这里的答案为什么与在题1中征总额税时的答案不同？请解释之。

解：
（1）政府的预算约束是政府购买等于税收收入：
)1(l tw g -=
（2）由于税收扭曲的存在，我们不能用社会计划者的最优问题去求解竞争均衡。

在给定0,>τg 时，消费者的最优规划问题可描述如下：
]ln ln [ln max ,g l c l
c γθ++ ..t s )1)(1(t l w c --=
代约束条件进目标函数，可以转化为无约束的极值问题：
{}g l t l w l
ln ln )]1)(1(ln[max γθ++--
该最大化问题的一阶条件为：
0)1)(1()1(=+----l
t l w t w θ
利用该一阶条件，可以求得消费者的闲暇需求函数： θ
θ
+=
1l
可以注意到该表达式与税后实际工资无关。

在这种情形下，替代效应在数值上等于收入效应，因此正好相互抵消。

代闲暇的需求函数进预算约束方程，我们可以进一步求得消费者的消费需求函数： θ
+-=
1)
1(t w c 可以注意到消费与税后收入成正比关系。

因此，消费将随税率的提高而下降。

从企业的最大化问题中，我们可以得到： z w = 市场出清条件是： l n -=1 )(zn y g c ==+
因此，竞争均衡的数量解将由如下的表达式给出： θ
θ
+=
1l ，θ+=
11n ，θ+=1z y ，g z
c -+=
θ
1 我们在第一题的（1）部分已经求得帕累托最优的数量解。

通过对比，可以发现只有在0=g 时两个解才一致。

只要0>g ，竞争均衡分配将总是次优的。

（3）
0=dg dn ，0=dg dy ，1-=dg
dc
注意，在这种情况下，挤出效应是完全的：
1=dg
dc。

（4）政府的最优化问题能描述如下：
[]g g l g c g
ln )(ln )(ln max γθ++
这里，)(g c 和)(g l 代表了竞争均衡的数量（我们已经在（2）中求得）。

代入)(g c 和)(g l 的表达式，可以得到政府的最优化问题： ⎥
⎦⎤⎢⎣⎡
+⎪⎭⎫
⎝⎛++⎪⎭⎫
⎝⎛-+g g z g
ln 1ln 1ln max γθθθθ 或者，更简洁地： ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+⎪⎭⎫
⎝⎛-+g g z g
ln 1ln max γθ 一阶条件如下：
g
g z γ
θθ=+-+)1(1 （3）
再一次，可以注意到，方程（3）的左边代表的是政府购买的边际成本。

方程（3）的右边代表的是政府购买的边际收益。

求解（3）式可以得到最优的政府购买水平： θγ
γθγ+++=
*1z
g （4）
比较表达式（4）和第一题中的表达式（2），我们可以看到在目前的情形下，政府的购买水平更小（因为0>θγ）。

也就是说，最优水平的
g 在征总额税时要比在征比例税时来得大。

因为，在征比例税时，税
收将对劳动供给和消费需求产生一个扭曲效应。

而这些额外的成本是伴随着政府的行为而产生的，因此，g 自然会下降。

比较（1）和（3）式可以发现，在g 给定时，在征比例税时，政府活动的边际成本更大，而边际收益两者却是一样的。

第三讲 配套习题及答案
1.在我们的讲义的实例中曾描述了一个两期模型，现在，若在这个两期模型中的期效用函数成为： 21
)(t
t c c u =
（1）.试推导出欧拉方程。

（2）.试求代表性消费者的最优消费组合),,(121**
*b c c 。

（3）.试求均衡的利率*r 。

（1）欧拉方程为
)1()
()
(1r c u c u t t +=''+β 因为21)(t
t c c u =，所以21
2
1)(-
='t t c c u ，因而有：
)1(2
112r c c +=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛**β
（2）我们有三个未知数，但相应的也有三个方程，一个是欧拉方程，另两个就是约束条件。

⎪⎩⎪
⎨⎧=+++=+=******21
21112212)1()1(c r b y b c y r c c β
求解得： [
]
)
1()1(1)
1(2
121r r r y y c +++++=
*β )
1(1)]
1()[1(21222
r r y y r c +++++=*ββ
[
]
)
1()1(1)
1(2
1211r r r y y y b +++++-
=*β
（3）在均衡时，01=*b ，因此： 12
1122-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=*y y r β 2.假设玛丽只生活两期。

在每一期里她都可以不劳而获地得到一些消费品：第一期记为1e ；第二期记为2e 。

她对两期消费品的偏好可由如下的效用函数来表达：)ln()ln(),(2121c c c c u β+=，其中，1c 和2c 分别是她在第一期和第二期的消费；β是一个间于0和1之间的参数，表示的是时间偏好。

当然，如果玛丽觉得第一期的禀赋，也即1e 太多，她是可以把它储蓄起来，以供第二期消费的。

我们把她储蓄的数量记为
s 。

非常不幸，老鼠会偷吃她储蓄的物品，因此，假如她在第一期储
蓄s 单位的物品，在第二期她只能得到s )1(δ-单位，其中，δ是一个间于0和1之间的参数。

.试写出玛丽的最优化问题。

（你应该描述出她的选择变量、目标函数和约束条件。

）
b.试求解最优化问题的解。

（当然，你应给把诸如1e ,、2e 、β、δ等参数看作外生给定的。

）
c.假如玛丽现在发现了一种可以减少老鼠偷吃的方法，这会对她的最优选择产生怎样的影响？（无非是对δ的变化作一个比较静态分析!）
a. )ln(){ln(max
21,,2
1
c c s
c c β+ ..t s 11e s c =+ s e c )1(22δ-+= b.构建拉格朗日函数：
])1([][)ln()ln(22211121c s e s c e c c --++--++=δλλβ 一阶条件为：
)(1FOCc
01
11
=-λc )(2FOCc
022
=-λβ
c
)(FOCs 0)1(21=-+-δλλ
利用三个一阶条件可求得欧拉方程：
)1(1
2
δβ-=c c 结合约束方程，可求得： )
1)(1()1(2
1βδδβ+---=
e e s
)1)(1()1(2
111βδδβ+----=e e e c
)
1()1(2
122βδβ+--+
=e e e c
c.分别对δ求导数，可得： 0)
1()1(22
1>+-=∂∂βδδe c 011
2<+-=∂∂β
βδe c
0)1()1()1(2
22<+-+-=∂∂βδβδe s 因为玛丽学会了防止老鼠偷吃的技术，因此，δ将下降。

根据偏导数的符号，我们可以判断：第一期的消费将减少，而第二期的消费和第一期的储蓄都将增加。

3.在讲义中，我们假设行为人在初始时拥有外生给定的资本0k ，并且这些资本是不能直接用于消费的。

现在如果我们取消资本不能直接用于消费这一强制性规定（这样，第一期的收入就不需要自己去生产了）。

效用函数与生产函数的具体形式仍与讲义中的相同，试求每一期的均衡数量解和价格解。

解：考虑计划经济的情形
{})()(max 21,,21c u c u k
c c β+
..t s
101k k c -=
)(12k zf c =
如果)ln()(t t c c u =，αzk k zf y ==)(，可解得：
011k k αβ
αβ
+=
*
0111
k c αβ
+=
* α
αβαβ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=*
02
1k z c 企业利润函数为：
d d d k k r k zf )1()1()(δπ-++-=
假设,1=δ企业利润最大化的一阶条件为：
r k f z d +='1)(
利用这一条件，可求得：
111
0-⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡+=-*ααβαβαk z r
2.考虑如下这样一个两期问题：行为人在第一期和第二期分别得到外生收入1Y 和2Y ，行为人需要选择一个最优的消费组合),(21C C 来实现自己的效用最大化。

我们假设期效用函数是一阶导数大于零二阶导数小于零的，并记利率为r 。

a.以现值的形式写出行为人的跨期预算约束条件。

b.现在假设政府以t 的税率对利息收入征税。

当然，我们也假定，如果你是债务人，当你在向债权人支付利息时，政府也会安相同的比率对你的利息支出进行补偿。

现在写出新情形的现值跨期预算约束条件。

c.假设在最优的情况下，行为人是一个储蓄者而不是一个借贷者，也即11C Y >。

请计算政府在每一期的税收收入。

d.现在假设政府取消了对利息征税，转而决定对每一期都征收一个固定数量的总额税，分别记为1T 和2T ： ⅰ.写出行为人新的预算约束条件。

ⅱ.为了维持政府税收收入的现值不变，新的总额税应该满足怎样的条件？
ⅲ.假如新总额税满足了（ⅱ）中的条件，行为人在新的情况形下还能承担原先的消费组合吗？
ⅳ.假如新总额税满足了（ⅱ）中的条件，行为人在第一期的消费是上升的、下降的、还是不变的？ 1.a.行为人的预算约束为： r
Y
Y r C C ++=++
112121
b.行为人新的预算约束为： ]
)1(1[])1(1[2
121r t Y Y r t C C -++
=-++
c.政府两期的总税收收入为： )(11C Y tr -
d.ⅰ.行为人新的预算约束为： r
T Y T Y r C C +-+-=++
1)
()(1221121 ⅱ.政府在征总额税以后，其税收的现值收入为： r
T T ++
12
1 要保证政府税收的现值收入不变，要求下式成立，即： r
T
T r C Y tr ++=+-11)(2111
ⅲ.假如（ⅱ）中所给出的条件成立，意味着在两种税收体制下，行
为人的收入现值是相同的，因此，老的消费组合),(21*
*C C 在新的税收制
度下一定是消费的起得。

ⅳ.假如（ⅱ）中所给出的条件成立，行为人第一期得消费将减少，因为，在新的税收制度下，第二期的价格为r
+11
，要比在老的税收制度下的价格
r
t )1(11
-+更低，因此，行为人会减少第一期的消费而增加
第二期的消费。

3.考虑一个仅生活两期的代表性行为人。

在第一期行为人参加工作并可获得w 的工资收入，在第二期行为人退休并以自己在第一期的储蓄为生。

行为人一生的效用为)(11
)(21c u c u ρ
++
，其中期效用函数是递增
且严格凹的，21,c c 分别表示行为人在第一期和第二期的消费数量。

假定行为人在第一期的储蓄（记为s ）可以获得的报酬率，也即利率为r 。

（1）写出行为人的最优化问题（目标函数和约束条件）
（2）推导出行为人实现效用最大化时的一阶条件，并用储蓄s 表达出来。

（3）根据题（2）的结果，推导出w s ∂∂/的表达式。

从中你可以判断出工资收入变动会对储蓄产生怎样的影响？对你的结论给出一个简单的经济解释。

（4）根据题（2）的结果，推导出r s ∂∂/的表达式。

从中你可以判断出利率变动会对储蓄产生怎样的影响？请试着推导该偏导数的
符号与跨期替代弹性（我们定义为)
()()(c u c c u c '''-=σ）之间的关系。

2.（1） )(11
)(max 21,2
1c u c u c c ρ
++
w s c t s =+1.
.
s r c )1(2+=
（2）代约束条件进目标函数，消掉变量1c 和2c ，对另一变量s 求一阶导数并令其为零，可得：
0)(11)(2
1='++-'c u r c u ρ
或者
0])1[(11)(=+'++-
-'s r u r
s w u ρ
（3）（2）式中的一阶条件实际上以隐函数的形式给出了变量的r w s 、、之间的
关系，我们把这个隐函数记为： ])1[(11)(),,(s r u r
s w u r s w F +'++--'=ρ
利用隐函数求导定理，有
)1,0()()(1)1()(//1221∈''+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡''++''=∂∂∂∂-=∂∂c u c u r c u s F w F w s ρ
由偏导数的值域可知，当工资收入上升时，行为人的储蓄也会随之增加。

（4）利用隐含数求导法则，可以得到：
)()(1)1()
(11)()()(1)1()(1)1(1)(//12222212222c u c u r c u c c u c u c u r c u s r c u s
F r F r s ''+''++''+++'-=''+''++''++++'-=∂∂∂∂-=∂∂ρ
ρ
ρρρρ
＝)
()1()()1()
()(122
222c u c u r c u c c u ''++''+''+'-
ρ ＝)
()1()()1()(11)(122
22c u c u r c c u ''++''+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-
'-ρσ 该符号不确定，依赖于跨期替代弹性的大小。

当1>σ时，0/<∂∂r s ；当1=σ时，
0/=∂∂r s ；当1<σ时，0/>∂∂r s 。

第五讲 配套习题及答案
1.考虑一个有如下效用函数的生活无限期的行为人： t t t c ln 11∑∞
=-β
假定该行为人不拥有任何初始资产（01=A ）。

该行为人可以进入一个资本市场，在这里，他（她）可以以固定的利率r 借入或借出收入。

假设行为人在每一期的收入固定等于0>y 。

（1）写出行为人的最优化问题。

确信包含了转换条件。

（2）试用拉格朗日和动态规划两种方法推导出行为人的欧拉方程。

（3）用行为人的欧拉方程和跨期预算约束条件求出她的最优消费路径。

（4）比较行为人的最优消费路径和收入路径，并解释他们的差异。

解：
（1）行为人的最优化问题可描述如下： t t t c ln max 11∑∞
=-β
..t s ,2,1,)1(1=++=++t y A r A c t t t 0)1(lim
1
=++∞→T
T T r A （2）用拉格朗日方法推导跨期欧拉方程，我们首先需要求出如下最大化问题的一阶条件： {}[]{}
∑∞
=+---+++∞=+1
11
,,)1(ln max
1
1t t t t t t t A c A c y A r c t t t t λβ
λ
这里，0≥t λ是时期t 预算约束的拉格朗日乘子。

对于所有的 ,2,1=t ，关于t t t A c λ,,1+的一阶条件分别如下：
01
=--t t
t c λβ
0)1(1=++-+t t r λλ 0)1(1=--+++t t t A c y A r
利用前两个一阶条件，可以得到跨期欧拉方程：
1
1
1
1
)
1(1)
1(++-+=⇒
+=t t t t
t
t c r c c r c βββ 用动态规划的方法求解，我们首先需要用递规的形式构建出行为人的最优化问题：
{})(ln max
)(1,1
++=+t t A
c t A v c A v t t
β ..t s y A r A c t t t ++=++)1(1 或
(){})()1(ln max )(111
+++-++=+t t t A
t A v A y A r A v t β 对应于该值函数右边最大化问题的一阶条件为：
)(1
1+'=t t
A v c β 贝尔曼方程两边同时对t A 求导并应用包洛定理，有： t
t c r
A v +=
'1)( 利用上式替代掉一阶条件中的)(1+'t A v ，可以得到跨期欧拉方程：
1
1)1(1++=t t c r c β （3）以如下的方式表述欧拉方程：
t t t
t t t c r c r c c c r c )1()1(1
)1(1111+=⇒+=⇒+=+++βββ 我们可以看到，给定1c ，这最优的消费路径由如下形式给出： 12)1(c r c +=β
1223)]1([)1(c r c r c +=+=ββ 1334)]1([)1(c r c r c +=+=ββ
或者，更简洁地表示为：
,2,1,)]1([11=+=-t c r c t t β
现在，我们需要从跨期预算约束中决定出1c 。

应用转换条件、初始资本01=A 这些条件，跨期预算约束可以写为：
∑∑∞
=-∞
=-+=+11
11)
1()1(t t t t t r y
r c 1
111-∞
=∑⎪⎭
⎫
⎝⎛+=t t r y
然后，运用几何级数求和公式，有： y r r r c t t t ⎪⎭
⎫
⎝⎛+=+∑
∞
=-1)1(11
替代掉t c ，我们可以求解出1c ：
y r r r c r t t t ⎪⎭⎫
⎝⎛+=++∑∞
=--1)1()]1([1
1
11β ⇒ y r r c t t ⎪⎭
⎫
⎝⎛+=∑∞
=-11
11β ⇒ y r r c ⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=1)1(1β 因此，最优的消费路径将由下式给出： ,2,1,1)1()]1([1=⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+=-t y r r r c t t ββ （4）注意。

假如1)1(=+r β，那么，对于所有的 ,2,1=t ，有y c t =。

在这一特殊的情形中，消费路径等于收入路径（为常数y ）。

假如1)1(>+r β，那么，最优的消费路径是单调增加的。

假如1)1(<+r β，那么，最优消费路径是单调减少的。

第六讲 配套习题及答案
1.我们知道，在连续时间下，一个变量的增长率可以表示为该变量的自然对数对时间的导数，也即dt
t z d t z t z
)(ln )()(= 。

请利用这一事实证明如下结论：
(a).两个变量乘积的增长率等于它们各自增长率之和。

也即，如果
)()()(t y t x t z =，那么，)
()()()()()(t y t y t x t x t z t z +=。

(b).两个变量比率的增长率等于它们各自增长率之差。

也即，如果
)()()(t y t x t z =
，那么，)
()()()()()(t y t y t x t x t z t z
-=。

(c).如果α)()(t x t z =，那么，
)
()()()(t x t x
t z t z α=。

2.考虑一处于平衡增长路径上的索洛经济，为了简单，假定无技术进步。

现在假定人口增长率下降。

(a).处于平衡增长路径上的每工人平均资本、每工人平均产量和每工人平均消费将发生什么变化？画出经济向其新平衡增长路径移动的过程中这些变量的路径。

(b).说明人口增长率下降对产量路径的影响。

3.假定生产函数为柯布－道格拉斯函数。

(a).将*k 、*y 和*c 表示为模型的参数s 、n 、g 、δ和α的函数。

(b).k 的黄金值是多少？
(c).为得到黄金资本存量，所需要的储蓄率是多少？ 4.考虑不变替代弹性（CES ）生产函数，σ
σσ
σσσ/)1(/)1(]
)
([/)1(--+=-AL K Y ，
其中，∞<<σ0且1≠σ。

(a).证明：该生产函数为规模报酬不变的。

(b).求出该生产函数的密集形式。

(c).在什么条件下该密集形式满足0)(,0)(<⋅''>⋅'f f ？ (d).在什么条件下该密集形式满足稻田条件？
5.假定对资本和劳动均按其边际产品支付报酬。

用w 表示
N AN K F ∂∂/),(，r 表示K AN K F ∂∂/),(。

(a).试证明劳动的边际产出w 为)]()([k f k k f A '-。

(b).试证明如果劳动和资本均按其边际产出取得报酬，规模报酬不变意味着：生产要素总收入等于总产量。

也就是证明在规模报酬不变的情形下，),(AN K F rK wN =+。

(c).如果生产函数的具体形式为一柯布-道格拉斯型生产函数，也即
αα-=1)(),(AN K AN K F ，试证明这里α就是资本这种生产要素所获得的
收入在总收入（也即总产出）中所占的份额。

(d).卡尔多（1961年）曾列出了一些关于经济增长的典型特征，其中的两个是：(1)资本的报酬率（r ）近似不变；（2）产量中分配向资本和劳动收入比例也大致不变。

处于平衡增长路径上的索洛经济是否表现出这些性质？在平衡增长路径上，w 和r 的增长率各是多少？ (e).假定经济开始时，*<k k 。

随着k 移向*k ，w 的增长率是高于、低于还是等于其在平衡增长路径上的增长率？对r 来说，结果又是什么？
6.设生产函数为βαβα--=1)(R AL K Y ，其中R 为土地数量。

假设，
0,0>>βα
且1<βα＋。

生产要素按照nL L gA A K sY K
==-= 、、δ和0=R 变动。

(a).该经济是否有唯一且稳定的平衡增长路径？也就是说，该经济是否收敛于这样一种情形：在此情形下，R A L K Y 和、、、均以不变（但不必相同）速率增长？如果这样，其增长率各为多少？若非如此，为什么？
(b).根据你的答案，土地存量不变这一事实是否意味着持久增长是不可能的？请直观地解释。

第七讲 配套习题及答案
1.考虑一个如下的新古典增长模型，其中，代表性的家庭的偏好由如下的效用函数给出： γ
β
γ
t t t
c ∑∞
=0
这里，10<<β，t c 是人均消费，01≠<γγ且。

人口以固定速率n 增长，因此：
0)1(N n N t t += 这里，00>N 。

生产技术由下述函数所代表： αα-=1t t t N K Y
这里，10<<α，t Y 是总产出，t K 是总资本存量。

资本使用一期就完全折旧，初始资本存量是正的：00>K 。

政府通过向家庭征收总额税的方式来为自己的购买融资，其数量为t gN ，其中，0>g 。

出于简单
化，我们假设政府把它所购买的商品均扔入大海里。

(1).以动态规划的形式构建社会计划者的最优化问题。

这一规划能被用作去求竞争均衡解吗？为什么可以或不可以？
(2).求解均衡路径上的资本劳动比率、人均消费和储蓄率。

(3).在第(2)部分的解是否依赖g ？解释原因。

解：
（1）社会计划者的问题可以写为： γ
β
γ
t t t
K c c t t ∑∞
=+0,1
max
..t s t
t t t t t gN N K K c N -=+-+αα11 0
)1(N n N t t += 预算约束方程两边同时除以t N ，可以构建如下的贝尔曼方程：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=++)(max )(1,1t t
k c t k v c k v t t βγγ
..t s g k k n c t t t -
=+++α
1)1( 这里，t
t
t N K k ≡。

因为不存在税收扭曲、外部性，或者市场失灵，社会计划者的最优问题可以用作去求竞争均衡的最优解。

注意，社会计划者把政府支出看作是外生的变量，也即，在上述的计划最优问题中，
g 是作为一个参数而加以考虑的。

（2）代预算约束条件进目标函数，我们可以重写题（1）中的动态规划问题为如下形式：
[]
⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+-+-=+++)()1(max )(1
1
1t t t k t k v g k n k k v t βγγα
求解右边的贝尔曼方程，一阶条件由下式给定：
0)()1(1
1
='++-+-t t k v c n βγ )(111+-'
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⇒t t
k v n c βγ 包洛定理意味着如下的等式成立：
1
1)(--='γααt t t c k k v
联合包洛定理和一阶条件可以得到欧拉方程：
1
11111-+-+-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=γαγβαt t t
c k n c
代平衡增长条件，*
+*+====k k k c c c t t t t 1
1,进欧拉方程，可以求得： α
αβ-*⎪⎭
⎫
⎝⎛+=111n k
代平衡增长条件和*k 的表达式进预算约束条件，可以得到：
g n n n c -⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+-+⎪⎭⎫
⎝⎛+=-*
)1(1111
αβαβα
储蓄率由下式给出：
α
αt
t t t t t t t t k k n k N k
N Y K
s 1
1
11)1(+++++=
=≡ 因此，
αβα=+=≡-*+*
11
))(1(k n Y K s
t
t （3）让每个平衡增长的表达式对g 求导数，有：
0,1,0=∂∂-=∂∂=∂∂*
**g
s
g c g k 也就是说，储蓄和资本积累是不受政府支出变化的影响的。

产出也不受影响，稳定状态的消费将被政府购买的增加而一对一地挤出。

2.考虑一个由许多相同行为人组成的经济。

每个行为人的偏好由如下的效用函数给出：
t t t
c ln 0
∑∞
=β
这里，10<<β， t c 是时期t 的消费。

每个行为人在每一期都拥有一单位的时间禀赋，并且都有相同的初始资本存量0k 。

在时期t ，消费者以实际工资率t w 的价格出售t n 单位的时间给代表性的企业作为企业的劳动投入；同时，以实际租金率t r 的价格租t k 单位的资本给企业。

企业的利润归消费者所有，并且消费者能以一对一的方式把当前的产出转化为下一期的资本。

每期资本都完全被折旧。

因此，消费者在时期t 的预算约束就为：
t t t t t t t k r n w k c π++=++1 代表性企业的生产函数如下： θααt t t t K n Ak y -=1
这里，t K 代表经济中所有行为人的平均资本持有量。

注意，各参数受如下的限制：1,10,0,0=+<<>>θααθA 。

(1).解释在本模型中生产技术背后的经济直觉。

(2).设计一个中央计划问题，使得劳动努力、消费和资本积累的路径与竞争均衡的路径相同。

以递归的形式写出这一问题，并标明时期t 的状态变量和选择变量。

（提示：强制计划者把t K 看作参数。

） (3).假设值函数是可微的，推导相应的一阶条件、包洛定理和欧拉方程。

(4).描述出资本和消费的竞争均衡增长路径。