振动和波典型例题

【例1】如图所示，在质量为M的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m（M≥m）的D、B两物体．箱子放在水平地面上，平衡后剪断D、B间的连线，此后D将做简谐运动．当D运动到最高点时，木箱对地压力为（）
A、Mg； B．（M－m）g； C、（M＋m）g ； D、（M＋2m）g
【解析】当剪断D、B间的连线后，物体D与弹簧一起可当作弹簧振
子，它们将作简谐运动，其平衡位置就是当弹力与D的重力相平衡时的
位置．初始运动时D的速度为零，故剪断D、B连线瞬间D相对以后的平
衡位置的距离就是它的振幅，弹簧在没有剪断D、B连线时的伸长量为x1＝2 mg／k，在振动过程中的平衡位置时的伸长量为x2＝mg／k，故振子振动过程中的振幅为 A＝x2－x1= mg ／k
D物在运动过程中，能上升到的最大高度是离其平衡位移为A的高度，由于D振动过程中的平衡位置在弹簧自由长度以下mg／k处，刚好弹簧的自由长度处就是物D运动的最高点，说明了当D运动到最高点时，D对弹簧无作用力，故木箱对地的压力为木箱的重力Mg．点评：一般说来，弹簧振子在振动过程中的振幅的求法均是先找出其平衡位置，然后找出当振子速度为零时的位置，这两个位置间的距离就是振幅．本题侧重在弹簧振子运动的对称性．解答本题还可以通过求D物运动过程中的最大加速度，它在最高点具有向下的最大加速度，说明了这个系统有部分失重，从而确定木箱对地面的压力
【例2】在光滑的水平面上停放着一辆质量为M的小车，质量为m的物体与劲度系数为k的一轻弹簧固定相连．弹簧的另一端与小车左端固定连接，将弹簧压缩x0后用细绳将m 栓住，m静止在小车上的A点，如图所示，m与M 间的动摩擦因数为μ，O 点为弹簧原长位置，将细绳烧断后，m、M开始运动．求：①当m位于O点左侧还是右侧且跟O点多远时，小车的速度最大？并简要说明速度为最大的理由．②判断m与M的最
终运动状态是静止、匀速运动还是相对往复的运动？
【解析】①在细线烧断时，小球受水平向左的弹力F与水平向右的摩擦力f作用，开始时F必大于f．m相对小车右移过程中，弹簧弹力减小，而小车所受摩擦力却不变，故小车做加速度减小的加速运动．当F=f时车速达到最大值，此时m必在O点左侧。

设此时物体在O点左侧x处，
则kx=μmg。

所以，当x＝μmg／k时，小车达最大速度．
②小车向左运动达最大速度的时刻，物体向右运动也达最大速度，这时物体还会继续向右运动，但它的运动速度将减小，即小车和物体都在做振动．由于摩擦力的存在，小车和物体的振动幅度必定不断减小，设两物体最终有一共同速度v，因两物体组成的系统动量守恒，
且初始状态的总动量为零，故v=0，即m 与M 的最终运动状态是静止的
【例3】如图所示，在光滑导轨上有一个滚轮A ，质量为2m ，轴上系一根长为L 的线，下端悬挂一个摆球B ，质量为m ，设B 摆小球作小幅度振动，求振动周期。

【分析】将2m 的A 球和m 的B 球组成系统为研究对象，系统的重心O 点可视为单摆的悬点，利用水平方向动量守恒可求出等效摆长。

【解析】A 和B 两物体组成的系统由于内力的作用，在水平方向上动量守恒，因此A 和B 速度之比跟质量成反比，即v A /v B =m B /m A =1/2．因此A 和B 运动过程中平均速度A v /B v =1/2，亦即位移 S A /S B ＝1/2。

，
因为ΔOAA /
∽ΔOBB /
，则OB/OA ＝2/1。

对B 球来说，其摆长应为2/3 L ，因此B 球的周期T ＝2g L 3/2 。

【例4】一弹簧振子沿x 轴振动，振幅为4 cm. 振子的平衡位置位于x 袖上的0点.图甲中的a ,b,c,d 为四个不同的振动状态：黑点表示振子的位置，黑点上箭头表示运动的方向．图乙给出的①②③④四条振动图线， 可用于表示振子的振动图象是（ AD ）
A.若规定状态a 时t ＝0，则图象为①
B.若规定状态b 时t ＝0，则图象为②
C.若规定状态c 时t ＝0，则图象为③
D.若规定状态d 时t ＝0，则图象为④
解析:若t ＝0，质点处于a 状态，则此时x ＝＋3 cm 运动方向为正方向，只有图①对；若t ＝0时质点处于b 状态，此时x ＝＋2 cm ，运动方向为负方向，②图不对；若取处于C 状态时t=0，此时x=－2 cm ，运动方向为负方向，故图③不正确；取状态d 为t=0时,图④刚好符合，故A,D 正确．
点评: 对振动图象的理解和掌握要密切联系实际，既能根据实际振动画出振动图象；又能根据振动图象还原成一个具体的振动，达到此种境界，就可熟练地用图象分析解决振动
【例5】如图所示，a 、b 是一列横波上的两个质点，它们在X 轴上的距离s=30m ，波沿x 轴正方向传播，当a 振动到最高点时b 恰好经过平衡位置，经过3s ，波传播了30m ，并且a 经过平衡位置，b 恰好到达最高点，那么．
A ．这列波的速度一定是10 m ／s
B ．这列波的周期可能是0．8s
C ．这列波的周期可能是3s
D ．这列波的波长可能是 24 m
解析：因波向外传播是匀速推进的，故v ＝ΔS ／Δt=10m/s ，设这列波的振动周期为T ，由题意知经3s ，a 质点由波峰回到平衡位置，可得T/4十nT/2＝3（n=1，2……）
另由v=λ/T 得波长λ=12120
+n ，（n ＝0，1，2……）
在n ＝2时，对应的波长λ＝24 m ；在n ＝7时，T ＝0．8s ．故选项A 、B 、D 正确．答案：ABD
【例6】一列简谐横波在传播方向上相距为3米的两个质点P 和Q 的振动图象分别用图中的实线和虚线表示，若P 点离振源较Q 点近，则该波的波长值可能为多少？若Q 点离振源较P 点近，则该波的波长值又可能为多少？
分析：由图可知，T= 4s ，P 近，波由P 向Q 传，P 先振动，Q 后振 动，∆t=Kt+3T/4，所以，S PQ =k λ+3λ/4，则
3
k 412
3k 434+=+⨯=
λ k=0，1，2
若Q 近，波由Q 向P 传，Q 先振动，P 后振动，∆t=Kt+T/4，所以，S PQ =k λ+λ/4，则
1
k 412
1k 434+=+⨯=
λ k=0，1，2
【例7】 有两列简谐横波a 、b 在同一媒质中沿x 轴正方向传播，波速均为v ＝2.5m/s 。

在t ＝0时，两列波的波峰正好在x ＝2.5m 处重合，如图所示。

（1）求两列波的周期T a 和T b 。

（2）求t ＝0时，两列波的波峰重合处的所有位置。

（3）辨析题：分析并判断在t ＝0时是否存在两列波的波谷重合处。

某同学分析如下：既然两列波的波峰存在重合处，那么波谷与波谷重合处也一定存在。

只要找到这两列波半波长的最小公倍数，……，即可得到波谷与波谷重合处的所有
位置。

你认为该同学的分析正确吗？若正确，求出这些点的位置。

若不正确，指出错误处并通过计算说明理由。

解析：
（1）从图中可以看出两列波的波长分别为λa ＝2.5m ，λb ＝4.0m ，因此它们的周期分别为
2.5
2.5
a
a T v
λ=
=
s ＝1s 4.0
2.5
b
b T v
λ=
=
s ＝1.6s （2）两列波的最小公倍数为 S ＝20m
t ＝0时，两列波的波峰生命处的所有位置为
x ＝（2.5±20k ）m ，k ＝0，1，2,3，……
（3）该同学的分析不正确。

要找两列波的波谷与波谷重合处，必须从波峰重合处出发，找到这两列波半波长的厅数倍恰好相等的位置。

设距离x ＝2.5m 为L 处两列波的波谷与波谷相遇，并设
L ＝（2m －1）
2
a
λ L ＝（2n －1），式中m 、n 均为正整数
只要找到相应的m 、n 即可
将λa ＝2.5m ，λb ＝4.0m 代入并整理，得
21 4.08
21 2.55
a b m n λλ-===- 由于上式中m 、n 在整数范围内无解，所以不存在波谷与波谷重合处。

【例8】 一列简谐横波沿直线由a 向b 传播，相距10.5 m 的a 、b 两处的质点振动图象如图中a 、b 所示，则( )
A.该波的振幅可能是20 cm
B.该波的波长可能是8.4 m
C.该波的波速可能是10.5 m/s
D.该波由a 传播到b 可能历时7 s
解析：题目中给出了两个质点的振动图象，从图中直接可以看出振动的振幅为10 cm ，周期为4 s ，A 错误，因为波是沿着a 向b 传播，所以从振动形式可以看出，b 比a 至少晚
振动34个周期，满足t ＝(n ＋34)T ＝4n ＋3s ，(n ＝0,1，2…)，再利用v ＝λT ＝s
t ，可得B 、C 错，
D 正确.
【例9】如图所示，（1）为某一波在t ＝0时刻的波形图，（2）为参与该波动的P 点的振动图象，则下列判断正确的是
A ． 该列波的波速度为4m ／s ；
B ．若P 点的坐标为x p ＝2m ，则该列波沿x 轴正方向传播
C 、该列波的频率可能为 2 Hz ；
D ．若P 点的坐标为x p ＝4 m ，则该列波沿x 轴负方向传播；
解析:由波动图象和振动图象可知该列波的波长λ=4m ，周期T ＝1．0s ，所以波速 v ＝λ／T ＝4m ／s ． 由P 质点的振动图象说明在t=0后，P 点是沿y 轴的负方向运动：若P 点的坐标为x p ＝2m ，则说明波是沿x 轴负方向传播的；若P 点的坐标为x p ＝4 m ，则说明波是沿x 轴的正方向传播的．该列波周期由质点的振动图象被唯一地确定，频率也就唯一地被确定为f ＝ l ／t ＝0Hz ．综上所述，只有A 选项正确．
点评：当一列波某一时刻的波动图象已知时，它的波长和振幅就被唯一地确定，当其媒质中某质点的振动图象已知时，这列波的周期也就被唯一地确定，所以本题中的波长λ、周期T 、波速v 均是唯一的．由于质点P 的坐标位置没有唯一地确定，所以由其振动图象可知P 点在t ＝0后的运动方向，再由波动图象确定波的传播方向
9．(2011年江西南昌高二检测)在一均匀介质中选取平衡位置在同一直线上的9个质点，相邻两质点间的距离均为0.1 m ，如图12－8甲所示，一列横波沿该直线向右传播，t ＝0时到达质点1，质点1开始向下运动，振幅为0.2 m ，经过时间0.3 s 第一次出现如图乙所示的波形．则( )
图12－8
A ．第9个质点的起振方向向上
B ．该波的周期为0.2 s
C ．该波的波速为4 m/s
D ．在介质中还有一质点P ，距质点1的距离为10 m ，则再经2.35 s P 点处于波峰．
解析：选BCD.由于质点1起振方向向下，故最前面质点的起振方向也向下．根据t ＝0.3 s 时的波形图可知，0.3 s 内传播了Δx ＝1.5 λ＝1.2 m ，
故波速v ＝Δx Δt ＝1.2
0.3
m/s ＝4 m/s.
质点的振动周期等于波传播的周期T ＝0.2 s.
t ＝0.3 s 时，最前面的波峰为质点7，故波峰传到P 点的时间Δt ＝10－0.6
4
s ＝2.35 s.
10.一列简谐横波沿直线传播，该直线上的a 、b 两点相距4.42 m.图中实、虚两条曲线分别表示平衡位置在a 、b 两点处质点的振动曲线，从图示可知( )
A.此列波的频率一定是10 Hz
B.此列波的波长一定是0.1 m
C.此列波的传播速度可能是34 m/s
D.a 点一定比b 点距波源近
解析：由图象可知：T ＝0.1 s ，f ＝1
T
＝10 Hz ，A 正确.若波从a 到b ，t ＝0.03 s ＋nT (n ＝
0,1,2，…)，由v ＝s t ＝ 4.420.03＋0.1n m/s ＝442
10n ＋3
m/s (n ＝0,1,2，…)；当n ＝1时，v ＝34 m/s ，
C 正确.由于波的传播方向未确定及波的多解性，所以B 、
D 错误.
答案：AC
11.一列简谐横波沿x 轴传播，周期为T ，t ＝0时刻的波形如图所示.此时平衡位置位于x ＝3 m 处的质点正在向上运动，若a 、b 两质点平衡位置的坐标分别为x a ＝2.5 m ， x b ＝5.5 m ，则( )
A.当a 质点处在波峰时，b 质点恰在波谷
B.t ＝T
4时，a 质点正在向y 轴负方向运动
C.t ＝3T
4
时，b 质点正在向y 轴负方向运动
D.在某一时刻，a 、b 两质点的位移和速度可能相同
解析：由图可得出此波的波长为4 m ，t ＝0时刻x ＝3 m 处的质点向上振动，可得该波向左传播.将整个波形图向左平移1.5 m 时，a 质点到达波峰，此时b 质点正好在平衡位置，与t ＝0时刻平衡位置在7 m 处的质点振动状态一样，故a 质点到达波峰时，b 质点正在平
衡位置并向上振动，A 错误；将图象整体向左平移1 m ，即波传播T
4
时，a 的振动状态与t ＝
0时刻平衡位置在3.5 m 处的质点振动状态一样，即处在平衡位置上方并向y 轴正方向运动，
B 错误；将图线整体向左平移3 m ，即波传播3T
4
时，b 的振动状态与t ＝0时刻平衡位置在8.5
m 处的质点振动状态一样，即处在平衡位置上方并向y 轴负方向运动，C 正确；只有平衡位置相距波长整数倍的质点才可能速度、位移都相同(而且总是相同).D 错误.
答案：C
12. 图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图，图乙为质点P 以此时刻为计时起点的振
动图象。

从该时刻起（AC
.
A ．经过0.35 s 时，质点Q 距平衡位置的距离小于质点P 距平衡位置的距离
B ．经过0.25 s 时，质点Q
的加速度大于质点P 的加速度 C ．经过0.15 s ，波沿x 轴的正方向传播了3 m D ．经过0.1 s 时，质点Q 的运动方向沿y 轴正方向
13.两列简谐波均沿x 轴传播，传播速度的
－－
大小相等，其中一列沿x 轴正方向传播，如图32中实线所示。

一列波沿x 负方向传播，如图32中虚线所示。

这两列波的频率相等，振动方向均沿y 轴，则图中x=1,2,3,4,5,6,7,8各点中振幅最大的是x= 的点，振幅最小的是x= 的点。

解析:对于x=4、8的点，此时两列波引起的位移的矢量和为零，但两列波引起的振动速度的矢量和最大，故应是振动最强的点，即振幅最大的点。

对于x=2和6的点，此时两列波引起的位移矢量和为零，两列波引起的振动速度的矢量和也为零，故应是振动最弱的点，即振幅最小的点。

14．一列简谐横波由质点A 向质点B 传播。

已知A 、B 两点相距4m ，这列波的波长大于2m
而小于20m 。

下图表示在波的传播过程中A 、B 两质点的振动的图象。

求波的传播速度。

解：由振动图象读出T =0.4s 。

分析图象可知：t =0时，
质点A 位于+y 方向最大位移处，而质点B 则经过平衡位置向－y 方向运动。

所以AB 间距4=(n+3/4)λ，λ=16/(4n+3)，其中n=0,1,2,…，因为这列波的波长大于2m 而小于20m ，所以n =0、1两个可能的取
值，即：λ1=
316m ，λ2=7
16m ，因v =λ/T ，所以v 1=340m/s v 1=7
40m/s 。

15．一列横波在t =0时刻的波形如图，传播方向沿x 轴正方向，已知在0.9s 末，P 点恰好出
现第3次波谷，则从零时刻算起，经过多长时间，在Q 点第1次出现波峰？
解：波沿x 轴正方向传播，质点P 此时刻从平衡位置向y
轴负方向开始振动，经T /4时间第一次达波谷位置，P 点第三次达波谷经2T +T /4时间，所以2T /4=0.9s ，得T =0.4s ，波的传播速度为v =5m/s ，t =0时播已经传至x =2.5m 处，传至Q 点需时间为t 1=（8－2.5）/5=1.1s 这样，Q 点从平衡位置开始向y 轴负方向运动，第一次到波峰还需3T /4=0.3s ，故须经
1.4s 在Q 点第一次出现波峰。