变力曲线运动推导动能定理
§2-6功 动能 动能定理
F (3 2t )i (SI) 的作用，从静止出发沿x轴运
动，求：当t=1s时物体的速度 解：由质点的动能定理
例2 一物体质量M=2kg的质点，受合外力
1 A Fdx mv 2 0 0 2
t
A (3 2t )dx ?
由牛顿定律求出a，转化为运动学第二类问题
动能定理: 合外力对质点所作的功等于质点动 能的增量. 功是一个过程量，而动能是一个状态量，动能定 理是过程量和状态量增量的关系。
讨论 1）合力做正功时，质点动能增大；反之，质点 动能减小。 2）动能的量值与参考系有关。 3）动能定理由牛顿第二定理推出，所以只适用于 质点,只适用于惯性系。 4）质点速度接近光速，则动能定理的叙述不变， 但动能表达式改变!
3.功率
力在单位时间内做的功，用P 表示
F v
功率是反映力做功快慢的物理量。功率越大，做 同样的功花费的时间就越少。
例1 设作用在质量为2kg物体上的力F= 6t.如果物体 由静止出发沿直线运动，求头2秒内该力所作的功？ 解： 这是变力作功的问题。以物体的起始位置为原
点，向右为正取坐标如图：
A Fi ri
从a→b变力 Fi 作的总功为：
当 ri 0 时求和变为积分，沿曲线L
A
b
0
a
b F dr F cos dr
a
2
,
dA 0
dA < 0 dA = 0
= 2,
2 < <,
A是标量， 反映了能量的变化，功的正负取决于 力与位移的夹角。 在具体计算时，由于
2-6 功 动能 动能定理
一 功 功是表示力对空间累积效应的物理量。 1. 恒力作用 直线运动 若F是恒力且物体沿直线运动发生位移 a→b ,
动能定理的几种典型应用
动能定理的几种典型应用应用一：动能定理解决匀变速直线运动问题例1、一个质量m=2kg 的小物体由高h=1.6m 倾角︒=30α的斜面顶端从静止开始滑下，物体到达斜面底端时速率是4m/s ，那么物体在下滑的过程中克服摩擦力做功是多少焦耳？由公式20222v v aS -=可知222022/5.22.3242s m S v v a =⨯=-= 对物体受力分析并由牛顿第二定律可知：ma f mg =-αsin 所以N N ma mg f 55.2221102sin =⨯-⨯⨯=-=α J J fS W f 16)1(2.35180cos -=-⨯⨯=︒= 解法二：由动能定理221mv W mgh f =+ 可得：J J mgh mv W f 166.110242212122-=⨯⨯-⨯⨯=-= 应用二：动能定理解决曲线运动问题例2、在离地面高度h=10m 的地方，以s m v /50=水平速度抛出，求：物体在落地时的速度大小？ 解法一：由221gt h =得 s s g h t 2101022=⨯== 所以s m s m gt v y /210/210=⨯== 所以s m s m v v v y /15/)210(522220=+=+=解法二：由动能定理可得 20222121mv mv mgh -=所以：s m s m v gh v /15/51010222202=+⨯⨯=+= 两种方法计算的结果完全一致，可见：动能定理同样适用于曲线运动。
并且可以求变力的功，如下题。
例3．质量m=2kg 的物体从高h=1.6m 的曲面顶部静止开始下滑，到曲面底部的速度大小为4m/s 。
求物体在下滑过程中克服摩擦力所做的功？应用3：利用动能定理求解多个力做功的问题例4、如图所示，物体置于倾角为37度的斜面的底端，在恒定的沿斜面向上的拉力的作用下，由静止开始沿斜面向上运动。
F 大小为2倍物重，斜面与物体的动摩擦因数为0.5，求物体运动5m 时速度的大小。
动能定理的适用范围
动能定理的适用范围
动能定理是从牛顿第二定律F=ma和匀变速直线运动公式v22－v12=2al推导而得的，虽然它是在受恒力作用、物体做直线运动的特殊条件下得到的，但是，当物体受变力作用或做曲线运动时，我们可把过程分解成许多小段，认为物体在每小段受恒力作用、做直线运动。
因此，无论作用在物体上的合力的大小和方向是否改变，物体是沿直线运动还是沿曲线运动，结论仍然成立。
也就是说，动能定理适用于直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功。
力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分段作用。
只要求出和确定各力做功的多少和正负即可。
值得注意的是，在推导动能定理的过程中应用了只能在惯性参考系中成立的牛顿第二定律，因而动能定理也只适用于惯性参考系。
而对于不同的惯性参考系，虽然力对物体做的功、物体的动能、动能的变化都不相同，但动能定理作为一个力学规律在不同的参考系中仍然成立。
动能定理适用于在惯性参考系中运动的任何物体。
动能定理中涉及的物理量有F、l、m、v、W、E k等，在处理含有上述物理量的力学问题时，可以考虑使用动能定理。
由于只需从力在各段位移内的功和这段位移始末两状态动能变化去研究，无需注意其中运动状态变化的细节，又由于功和动能都是标量，无方向性，无论是对直线运动或曲线运动，计算都会特别方便。
当题给条件涉及力的位移效应，而不涉及加速度和时间时，用动能定理求解一般比用牛顿第二定律和运动学公式求解简便。
用动能定理还能解决一些用牛顿第二定律和运动学公式难以求解的问题，如变力作用过程、曲线运动等问题。
2.24 动能定理的应用
动能定理的应用五 其它问题
❖ ◆运用动能定理求圆周运动问题
例：如图所示，长为L的细绳拴一个小球在竖直平 面内做圆周运动，请问：
❖ （1）小球在最低点A初速为多大时，恰好能完 成一次圆周的运动。
❖ （2）最高点和最低点绳子拉力之差为多大？
B
6m
O
解题关键：同时列g出动能定理
4、动能定理的研究对象一般是一个物体，也可以是几 个物体组成的系统；
5、动能定理的计算式是标量式，遵循代数运算，v为 相对地面的速度；
6、对状态与过程关系的理解： a.功是过程量，动能是状态量。 b.动能定理表示了过程量等于状态量的改变量的关系。
（涉及一个过程两个状态） c.动能定理反应做功的过程是能量转化的过程。等式的左
皮球，测得橡皮球落地前瞬间速度 变力做功
抛球时由动能定理：
v＝12 m/s
为12
m/s，求该同学抛球时所做的
W＝mv02 ＝0.5´ 82 J＝16 J
2
2
解得Wf＝-5 J
功和橡皮球在空中运动时克服空气
抛出后由动能定理：
mgh＋Wf＝
1 2
mv2－
1 2
mv02
即橡皮球克服空 气阻力做功为5 J
阻力做的功．(g取10 m/s2)
例1.用拉力F使一个质量为m的木箱由静止开始 在水平冰道上移动了s，拉力F跟木箱前进的方 向的夹角为α，木箱与冰道间的摩擦因数为μ， 求木箱获得的速度？
Fcos αs-fs= 1 mv2 -0
2 f= μ（mg-Fsin α ）
[F cos (mg F sin )]s 1 mv2 0
2
高三物理动能定理
程中克服摩擦力做的功．
解：(1)由B到C平抛运动的时间为t 竖直方向：hBc=s sin37o=1/2gt2 （1） 水平方向：s cos370=vBt 代入数据，解（1）（2）得 (2) A到B过程，由动能定理有 （ 2） vB=20m/s （3）
1 2 mghAB W f mvB 2
代入数据，解（3）（4）得 Wf ＝－3000J
2 1 1 2 WF mgS mv83 0.1 4 10 167 4 2 2 676J 2 2
028.上海普陀区08年1月期末调研试卷23
23、如图所示，一个质量为m的圆环套在一根固
定的水平直杆上，环与杆间的动摩擦因数为 µ 。
现给环一个向右的初速度v0，如果环在运动过程
F1 mg ma1 F2 mg ma2
12 0 -4
F/N
2 4 6 8 10 12 14 16 t/s
加速度为a2=-2m/s2
画出v-t 图像如图示， 在一个4秒时间内的位移为8m， 84s内的位移等于21×8=168m 由图像和比例关系知：在3s末物体的速度大小为2m/s, 在3—4秒时间内的位移为1m， 83s末物体的速度大小为v83=2m/s ， 83内物体的位移大小为S=167m， v/ ms-1 4 t/s 0 2 4 6 8 10 12 80 82 84 1 2 WF mgS mv83 由动能定理 力F对物体所做的功为
6、 应用动能定理解题的注意事项： ①要明确物体在全过程初、末两个状态时的动能；
②要正确分析全过程中各段受力情况和相应位移， 并正确求出各力的功；
③动能定理表达式是标量式，不能在某方向用速度 分量来列动能定理方程式：
④动能定理中的位移及速度，一般都是相对地球而 言的．
变力曲线运动推导动能定理
变力曲线运动推导动能定理一、引言动能定理是经典力学中的一条重要定理，它是描述物体运动情况的一种重要方法。
本文将探讨变力曲线运动如何推导动能定理。
二、变力曲线运动变力曲线运动是指物体受到的力不是一定的常量，而是随着时间变化的，同时物体的运动轨迹也不是一直在直线上的，而是在空间中呈现出一种曲线轨迹。
三、推导动能定理在变力曲线运动中，物体所受的力不再是一个标量了，而是一个矢量。
因此，在推导动能定理时，我们需要使用矢量的方法。
设物体在时刻$t$时的速度为$v$，在$t+\Delta t$时的速度为$v+\Delta v$，物体在这一段时间内所受的力为$\vec{F}$，可以通过牛顿第二定律得到：$$\vec{F}=\frac{m(v+\Delta v)-mv}{\Delta t}$$化简后得到：$$\vec{F}=\frac{m\Delta v}{\Delta t}+\frac{mv}{\Delta t}$$可以看出，该式是由两部分组成的，左半部分是物体所受的加速度$\vec{a}$，右半部分是物体所受的速度变化率$\frac{dv}{dt}$。
进一步化简得到：$$\vec{F}=m\vec{a}+m\frac{dv}{dt}$$将该式代入动能公式$E_k=\frac{1}{2}mv^2$中，得到：$$\frac{\Delta E_k}{\Deltat}=m\vec{v}\cdot\vec{a}+m\vec{v}\cdot\frac{d\vec{v}}{dt}$$根据矢量的乘法运算，$\vec{v}\cdot\vec{a}$是力和速度之间的夹角余弦值，即：$$\vec{v}\cdot\vec{a}=v|\vec{a}|\cos{\theta}$$此外，$m\vec{v}\cdot\frac{d\vec{v}}{dt}$可以通过矢量微积分的方法求出，最终得到：$$\frac{\Delta E_k}{\Deltat}=m\vec{v}\cdot\vec{a}+\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2\rig ht)$$右边这一项就是动能的时间导数，即时间变化率。
高中物理动能定理的内容与公式
高中物理动能定理的内容与公式高中物理动能定理公式是W=(1/2)mV₁²-(1/2)mVo²=Ek₂-Ek₁，W为外力做的功，Vo是物体初速度，V₁是末速度，Ek₂表示物体的末动能，Ek₁表示物体的初动能。
W是动能的变化，又称动能的增量，也表示合外力对物体做的总功。
动能定理研究的对象是单一的物体，或者可以称单一物体的物体系。
动能定理的计算式是等式，一般以地面为参考系。
动能定理适用于物体的直线运动，也适应于曲线运动;适用于恒力做功，也适用于变力做功;里可以是分段作用，也可以是同时作用，只要可以求出各个力的正负代数和。
拓展阅读：高中物理动能定理的知识点动能定理的基本概念合外力做的功，等于物体动能的改变量，这就是动能定理的内容。
动能定理还可以表述为：过程中所有分力做的功的代数和，等于动能的改变量。
这里的合外力指研究对象受到的所有外力的合力。
动能定理的表达式动能定理的基本表达式：F合s=W=ΔEk;动能定理的其他表示方法：∫Fds=W=ΔEk;F1s1+F2s2+F3s3+……=ΔEk;功虽然是标量，但有正负一说。
最为严谨的公式是第二个公式;最常用的，有些难度的却是第三个公式。
动能定理根源我们来推导动能定理，很多学生可能认为这是没有必要的，其实恰恰相反。
近几年的高考物理试题，特别注重基础知识的推导和与应用。
理解各个知识点之间的关联，能够帮你更好的理解物理考点。
在内心理解了动能定理，知道了它的本源，才能在考试中科学运用动能定理来解题。
动能定理的推导分为如下两步：(1)匀变速直线运动下的动能定理推导过程物体做匀变速直线运动，则其受力情况为F合=ma;由匀变速直线运动的公式：2as=v2-v02;方程的两边都乘以m，除以2，有：mas=½(mv2-v02)=Ek2-Ek1=ΔEk;上述方程的左端mas=F合s=W;因此有：F合s=W=ΔEk;这就是动能定理在匀变速直线运动情况下的推导过程。
曲线运动第12讲 功能关系(动能定理及其应用篇)
功能关系（动能定理及其应用）知识点梳理1．动能：物体由于运动而具有的能量。
影响因素：<1>质量 <2>速度 表达式：E k =221mv 单位：J 2、动能定理<1>定义：物体动能的变化量等于合外力做功。
<2>表达式：△E k =W F 合3、W 的求法动能定理中的W 表示的是合外力的功，可以应用W ＝F 合·lc os α（仅适用于恒定的合外力）计算，还可以先求各个力的功再求其代数和，W ＝W 1＋W 2＋…（多适用于分段运动过程）。
4．适用范围动能定理应用广泛，直线运动、曲线运动、恒力做功、变力做功、同时做功、分段做功等各种情况均适用。
5．动能定理的应用（1）选取研究对象，明确它的运动过程；（2）分析研究对象的受力情况和各力的做功情况：受哪些力→各力是否做功→做正功还是负功→做多少功→各力做功的代数和（3）明确研究对象在过程的始末状态的动能E k 1和E k 2；母本身含有负号。
方法突破之典型例题题型一对动能定理的理解1．一个人用手把一个质量为m=1kg的物体由静止向上提起2m，这时物体的速度为2m/s，则下列说法中正确的是（）A．合外力对物体所做的功为12JB．合外力对物体所做的功为2JC．手对物体所做的功为22JD．物体克服重力所做的功为20J2．关于对动能的理解，下列说法不正确的是（）A．凡是运动的物体都具有动能B．动能总是正值C．一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化D．一定质量的物体，速度变化时，动能一定变化光说不练，等于白干1、若物体在运动过程中所受的合外力不为零，则（）A．物体的动能不可能总是不变的B．物体的动量不可能总是不变的C．物体的加速度一定变化D．物体的速度方向一定变化2、物体在合外力作用下，做直线运动的v﹣t图象如图所示，下列表述正确的是（）A．在0～1s内，合外力做正功B．在0～2s内，合外力总是做正功C．在1～2s内，合外力不做功D．在0～3s内，合外力总是做正功3、物体沿直线运动的v－t关系如图所示，已知在第1秒内合外力对物体做的功为W，则（）A．从第1秒末到第3秒末合外力做功为4WB．从第3秒末到第5秒末合外力做功为－2WC．从第5秒末到第7秒末合外力做功为WD．从第3秒末到第4秒末合外力做功为－0.75W4、美国的NBA篮球赛非常精彩，吸引了众多观众.经常有这样的场面：在临终场0.1s的时候，运动员把球投出且准确命中，获得比赛的胜利.如果运动员投篮过程中对篮球做功为W，出手高度为h1，篮筐距地面高度为h2，球的质量为m，空气阻力不计，则篮球进筐时的动能表达正确的是（）A.mgh1+mgh2－WB.mgh2－mgh1－WC.W+mgh1－mgh2D.W+mgh2－mgh15、轻质弹簧竖直放在地面上，物块P 的质量为m ，与弹簧连在一起保持静止。
动能定理及其应用
动能定理及其应用
学习目标 1、理解做功的过程就是能量转化或 转移的过程，会用动能定理处理单个 物体的有关问题。 ２、知道动能定理也可用于变力做功 与曲线运动的情景，能用动能定理计 算变力做功。
1．定义：物体由于 运动 而具有的 能． 2．公式：Ek＝ 焦耳 . 标量 ，1 J＝1 N·m＝1 3．单位： kg·m2/s2.
4．动能定理公式中等号的意义
(1)数量相等(2)单位相同(3)因果关系
应用动能定理解题的基本步骤
(1)选取研究对象，明确它的运动过程． (2)分析研究对象的受力情况和各力的做 功情况．
(3)明确物体在过程的始末状态的动能Ek1 和Ek2. (4)列出动能定理的方程W总＝Ek2－Ek1及 其他必要的解题方程，进行求解．
对动能定理的进一步理解 1．动能定理中所说的“外力”，是指物体 受到的所有力． 包括 （包括或不包括） 重力． 2．位移和速度：必须是相对于同一个参考 系的，一般以 地面 为参考系． 3．动能定理适用范围： 直线运动、曲线运动、恒力做功、变力做功、同时做功、
分段做功，一个持续的过程，几个分段过程的全过程．
【答案】
160 s 64 （ ）m 3
题型四：应用动能定理解决分段运动问 题
例5. 总质量为M的机车，沿水平直线轨 道匀速前进，其末节车厢质量为m，途 中脱节，司机发觉时，机车已行驶L的 距离，于是立即关闭油门，除去牵引力， 设运动的阻力与质量成正比，机车的牵 引力是恒定的，当机车的两部分都停止 时，它们的距离是多少？ ML 【答案】 s M-m
题型一：应用动能定理解决恒力下的直线 运动问题 例1：如图所示，用拉力F使一个质量为m 的木箱由静止开始在水平地面上移动了L, 拉力F跟木箱前进的方向的夹角为θ，木箱 与地面间的动摩擦因数为μ，求木箱获得 的速度？ F
变力曲线运动推导动能定理
变力曲线运动推导动能定理概述动能定理是物理学中一个非常基本的定理，它描述了一个物体的动能的变化与物体所受的净外力的关系。
在变力曲线运动中，物体所受的力随时间变化，因此，推导动能定理需要考虑力的变化情况。
本文将介绍如何推导出变力曲线运动的动能定理。
推导过程为了推导动能定理，我们需要从牛顿第二定律出发，并结合力的定义和功的概念展开推导。
1. 牛顿第二定律根据牛顿第二定律，物体所受的净外力等于物体的质量乘以加速度，即 [F_{net} = m a] 其中，F net是物体所受的净外力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
2. 力的定义力是对物体施加作用，使其发生加速度的物理量。
力可以由势能的改变、速度的改变或质量的改变引起。
根据牛顿第二定律，我们可以将力表示为物体的质量乘以加速度的形式。
在变力曲线运动中，力随时间变化，因此，我们可以将力表示为时间的函数：[F(t)]3. 功的概念力对物体做功时，会使物体的动能发生变化。
功的定义为力与物体位移的乘积，即：[W = F d]4. 推导动能定理的基本思路我们利用功的概念，将物体在时间t1到t2内所受的所有力对物体做的功进行求和。
这个时间段内力的作用是连续变化的，因此，我们将时间t1到t2分成n个小时间段，每个小时间段的时间间隔为Δt。
在每个小时间段内，力的大小可以近似视为常数。
我们考虑第i个小时间段内物体所受的力为F i，物体在该时间段内的位移为Δx i。
根据功的定义，这个小时间段内力对物体所做的功为W i=F i⋅Δx i。
将所有小时间段内的功求和，得到时间t1到t2内物体所受的所有力对物体做的总功为：[W = {i=1}^{n} W_i = {i=1}^{n} F_i x_i]5. 近似处理在计算总功的时候，我们取小时间段个数n趋于无穷大，即lim n→∞。
同时，我们假设每个小时间段的长度都趋于无穷小，即limΔt→0。
这样，在实际计算时，我们可以将总功的求和式转化为积分形式。
理论力学基础 动能定理
M2 M1
(
Fx
dx
Fy
dy
Fzdz)
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
理论力学
第十二章 动能定理
三、重力之功 Fx Fy 0 Fz mg
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
质点系
第
一 节
W m g(z z )
12
i
i1
i2
力
的
功
由 mzC mi zi
量分别为m和2m，且OC＝AC＝BC＝l，滑块A和
第 B重量均为m。常力偶M作用在曲柄上，设＝0
三 节 动
时系统静止，求曲柄角速度和角加速度 (以转角
表示)。
vB
能
定 理
K
vA
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
理论力学
第十二章 动能定理
例题六 图示系统中，滚子A 、滑轮B 均质，重
量和半径均为Q 及r，滚子沿倾角为 的斜面向
W d r F
三
节 m d v d r mdv d r mdv v mvdv
动 能 定
dt
d
(
1
dt
mv2 )
理
2
动能定理的微分形式: W d ( 1 mv2 )
2
动能定理的积分形式:
W
1 2
mv22
1 2
mv12
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
下滚动而不滑动，借跨过滑轮B的不可伸长的绳
第 索提升重P的物体，同时带动滑轮B绕O轴转动，
动能定理
动能定理动能定理表达式是由牛顿第二定律F=ma 和运动学公式V 22=V 12+2as 推导出来的,但它的应用范围却广泛的多,如变力作用的运动过程、曲线运动问题、 多过程运动问题等，都可以用它来求解。
该考点在近年高考中题型各异，重在规律的理解及应用，单独出现以选择题为主，而与其他知识综合出题则多以计算题出现．若是恒力作用下的匀变速直线运动，不涉及加速度和时间，用动能定理求解一般比用牛顿运动定理和运动学公式求解更为简便。
利用动能定理求解时，首要问题是要确定过程中哪些力在做功，其次，要合理、正确的选定初、末状态。
例1：动能定理求解变力做功如图所示，一辆汽车通过图中的细绳拉起井中质量为m 的物体，开始时，车在A 点，绳子已经拉紧且是竖直的，左侧绳长为H 。
提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A 经过B 驶向c ，设A 到B 的距离也为H ，车过B 点时的速度为v ，求车由A 移动到B 的过程中，绳Q 端的拉力对物体做的功．设绳和滑轮的质量及摩擦力不计，滑轮尺寸不计．例2：动能定理处理多过程问题（初、末状态的选定）如图所示，物体在离斜面底端4 m 处由静止滑下，若动摩擦因数均为o.5，斜面倾角为37°，斜面与平面间由一小段圆弧连接，求物体能在水平面上滑行多远? 例3：动能定理处理往复运动问题一封闭的弯曲玻璃管处于竖直平面内，其中充满某种液体，内有一个密度为液体密度一半的木块，从管的A 端由静止开始运动，木块与管壁间的动摩擦因数μ=0.5，管两壁长AB=cB=L=2m ，顶端B 处为一小段光滑的圆弧，两壁与水平面成a=37°角，如图所示，求： (1)木块第一次到达B 点时的速度； (2)木块从开始运动到最后静止通过的路程。
例4：动能定理在电学中的应用一带正电的小球，系于长为l 的不可伸长的轻线一端，线的另一端固定在O 点，它们处在匀强电场中，电场的方向水平向右，场强的大小为E 。
已知电场对小球的作用力的大小等于小球的重力．现先把小球拉到图中的P 1处，使轻线拉直，并与场强方向平行，然后由静止释放小球．则小球到达与p 1点等高的P 2点时速度的大小。
动能定理
一滑块沿倾角30度的斜面上滑，初速度 vo 2m /，滑 s 块与斜面间的滑动摩擦系数 0.3。求： 1.滑块在斜面上向上滑行的距离S。 2.滑块下滑回到斜面底端时的速度v。 分析与解答：取滑块为研究对象。
1.滑块上滑时受到重力mg，斜面支持力N，摩擦力f。 取刚开始滑行和最高处为始、末两状态，则： 2 初态 E k 1 1 mv o ，终态 Ek 2 0
1 W WG W N W f mv 2 2
，
N f
3 3 v (1 )9.8 0.27 滑雪者从A点由静止沿斜面滑下，沿一平台滑 过后水平飞离B点，最后落到地面，空间几何 尺度（H、h和L）如图所示。斜面、平台与滑 雪板之间的动摩擦因数为μ。假设滑雪者由斜 面底端进入平台后立即沿水平方向运动，且速 度大小不变。求： (1)滑雪者离开B点时的速度大小； (2)滑雪者从B点开始做平抛运动的水平距离s。
在动能定理W= EK 中，若W>0，则 EK >0，表明合外力对物体做正功，物体动 能增加，这时合外力与物体运动方向一 致。 若W<0，则 E K 0 ，表明合外力对物体 做负功，物体动能减少，这时合外力与 物体运动方向相反，是减速运动过程。 EK =0表明合外力对物体不 若W=0，则， 做功，物体动能不变。
风能是一种环保型能源．目前我国风力发电总装机容 量已达2640MW（MW表示兆瓦）．据勘测我国的风 力资源至少有2.53105MW，所以风力发电是很有前 途的一种能源． 风力发电是将风的动能转化为电能．设空气的密度为 ，水平风速为v，风力发电机每个叶片长为L，设通 过叶片旋转所围成的圆面积内的所有风能转化为电能 的效率为．求： （1）该风力发电机的发电功率P的数学表达式． （2）若某地平均风速为v = 10m/s，所用风力发电机 的叶片长L = 4m，空气密度 = 1.3kg/m3，效率为 = 25%，每天平均发电20小时，每天能获得多少电能？
理论力学18—动能定理
2
质点动能的增量 等于作用在质点 上的力的元功。
18.3 动能定理
d(1 mv2) δW 2
积分上式，得
v2 v1
d(1mv2) 2
W12
或
12mv2212mv12 W12
在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量 等于作用于质点的力作的功。
18.3 动能定理
解：分析系统，初瞬时的动能为 T1 0
设连杆OA运动到水平位置时的
角速度为，由于OA＝AB，所以杆
AB的角速度也为，且此时B端为杆
AB的速度瞬心，因此轮B的角速度为
零，vB=0。系统此时的动能为
T2 12IO2 12IB2
a
O
1(1ml2)2 1(1ml2)2 1ml22
23
23
3
F A
vA
B vB
j v A O 1 A A B 2 a c o s a
TA
12mAvA2
ma22
2
v B O 1 B A B 2 a sin j3 a
O
TB12mBvB2
3ma22
2
vA
vC
j
AB
O1
C
vB B
对于曲柄OC：
IO13mOCa2 ma2
vA
TOC1 2IO21 6ma22
A
O1
规尺作平面运动，用绕速度瞬心转动的公 式求动能：
因此所有力的功为
W W T W F 2 0 0 1 5 0 5 0 N c m
18.2 质点和质点系的动能
1. 质点的动能 设质点的质量为m，速度为v，则质点的动能为
T 1 mv 2 2
动能是标量，在国际单位制中动能的单位是焦耳(J)。
动能动能定理
动能 动能定理【基本概念、规律】一、动能1．定义：物体由于运动而具有的能． 2．表达式：E k ＝12mv 2. 3．单位：焦耳，1 J ＝1 N·m ＝1 kg·m 2/s 2. 4．矢标性：标量．二、动能定理1．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化．2．表达式：W ＝E k2－E k1＝12mv 22－12mv 21. 3．适用范围(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动．(2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功．(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用．【重要考点归纳】考点一 动能定理及其应用1．对动能定理的理解(1)动能定理公式中等号表明了合外力做功与物体动能的变化间的两个关系： ①数量关系：即合外力所做的功与物体动能的变化具有等量代换关系．②因果关系：合外力的功是引起物体动能变化的原因．(2)动能定理中涉及的物理量有F 、l 、m 、v 、W 、E k 等，在处理含有上述物理量的问题时，优先考虑使用动能定理．2．运用动能定理需注意的问题(1)应用动能定理解题时，不必深究物体运动过程中状态变化的细节，只需考虑整个过程的功及过程初末的动能．(2)若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可分段考虑，也可整个过程考虑．但求功时，有些力不是全过程都作用的，必须根据不同的情况分别对待求出总功，计算时要把各力的功连同正负号一同代入公式．3.应用动能定理解题的基本思路(1)选取研究对象，明确它的运动过程；(2)分析研究对象的受力情况和各力的做功情况： 受哪些力→各力是否做功→做正功还是负功→做多少功→各力做功的代数和(3)明确研究对象在过程的初末状态的动能E k1和E k2；(4)列动能定理的方程W合＝E k2－E k1及其他必要的解题方程，进行求解．考点二动能定理与图象结合问题解决物理图象问题的基本步骤1．观察题目给出的图象，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义．2．根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式．3．将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、图线的交点，图线下的面积所对应的物理意义，分析解答问题．或者利用函数图线上的特定值代入函数关系式求物理量．4.解决这类问题首先要分清图象的类型．若是F－x图象，则图象与坐标轴围成的图形的面积表示做的功；若是v－t图象，可提取的信息有：加速度(与F合对应)、速度(与动能对应)、位移(与做功距离对应)等，然后结合动能定理求解．考点三利用动能定理求解往复运动解决物体的往复运动问题，应优先考虑应用动能定理，注意应用下列几种力的做功特点：1．重力、电场力或恒力做的功取决于物体的初、末位置，与路径无关；2．大小恒定的阻力或摩擦力的功等于力的大小与路程的乘积．【思想方法与技巧】涉及多个原型的力学综合题1.涉及多个原型的试题，一般都属于多过程或多状态问题，正确划分过程或确定研究状态是解题的前提，找出各子过程间的联系是解题的关键，确定遵守的规律是解题的核心．。
第2讲动能和动能定理
第2讲 动能和动能定理1.动能(1)定义：物体由于运动而具有的能．(2)公式：E k ＝12m v 2.(3)单位：焦耳，1 J ＝1 N·m ＝1 kg·m 2/s 2. (4)矢标性：动能是标量，只有正值． (5)动能是状态量，因为v 是瞬时速度．1．(2012·苏州模拟)一个小球从高处自由落下，则球在下落过程中的动能( )． ①与它下落的距离成正比 ②与它下落距离的平方成正比 ③与它运动的时间成正比 ④与它运动时间的平方成正比A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③ 答案 C2．(2012·中山模拟)质量为m 的物体在水平力F 的作用下由静止开始在光滑地面上运动，前进一段距离之后速度大小为v ，再前进一段距离使物体的速度增大为2v ，则( )．A ．第二过程的速度增量大于第一过程的速度增量B ．第二过程的动能增量是第一过程动能增量的3倍C ．第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做的功D ．第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做功的2倍解析 由题意知，两个过程中速度增量均为v ，A 错误；由动能定理知：W 1＝12m v 2，W 2＝12m (2v )2－12m v 2＝32m v 2，故B 正确，C 、D 错误．答案 B3．一个25 kg 的小孩从高度为3.0 m 的滑梯顶端由静止开始滑下，滑到底端时的速度为2.0 m/s.取g ＝10 m/s 2，关于力对小孩做的功，以下结果正确的是( )．A ．合外力做功50 JB ．阻力做功500 JC ．重力做功500 JD ．支持力做功50 J解析 合外力做的功W 合＝E k －0，即W 合＝12m v 2＝12×25×22 J ＝50 J ，A 项正确；W G －W 阻＝E k －0，故W 阻＝mgh －12m v 2＝750 J －50 J ＝700 J ，B 项错误；重力做功W G ＝mgh ＝25×10×3 J ＝750 J ，C错；小孩所受支持力方向上的位移为零，故支持力做的功为零，D 错．答案 A4．如图4－2－1所示，一半径为R 的半圆形轨道BC 与一水平面相连，C 为轨道的最高点，一质量为m 的小球以初速度v 0从圆形轨道B 点进入，沿着圆形轨道运动并恰好通过最高点C ，然后做平抛运动．求：图4－2－1(1)小球平抛后落回水平面D 点的位置距B 点的距离．(2)小球由B 点沿着半圆轨道到达C 点的过程中，克服轨道摩擦阻力做的功．解析 (1)小球刚好通过C 点，由牛顿第二定律mg ＝m v C 2R小球做平抛运动，有2R ＝12gt 2 s ＝v C t解得小球平抛后落回水平面D 点的位置距B 点的距离 s ＝2R(2)小球由B 点沿着半圆轨道到达C 点，由动能定理 －mg ·2R －W f ＝12m v C 2－12m v 02解得小球克服摩擦阻力做功 W f ＝12m v 02－52mgR . 答案 (1)2R (2)12m v 02－52mgR考点一 对动能定理的理解 1．动能定理公式中等号的意义等号表明合力做功与物体动能的变化间的三个关系： (1)数量关系：即合外力所做的功与物体动能的变化具有等量代换关系．可以通过计算物体动能的变化，求合力的功，进而求得某一力的功．(2)单位相同：国际单位都是焦耳．(3)因果关系：合外力的功是引起物体动能变化的原因． 2．准确理解动能定理动能定理⎝⎛⎭⎫W ＝ΔE k ＝12m v t 2－12m v 02适用于任何力作用下，以任何形式运动的物体(或系统)，是一标量式，不存在方向问题，它把过程量(做功)与状态量(动能)联系在一起，常用于求变力做功、分析复杂运动过程、判断能量间的转化关系等．【典例1】如图4－2－2所示，图4－2－2电梯质量为M ，在它的水平地板上放置一质量为m 的物体．电梯在钢索的拉力作用下由静止开始竖直向上加速运动，当上升高度为H 时，电梯的速度达到v ，则在这个过程中，以下说法中正确的是( )．A ．电梯地板对物体的支持力所做的功等于m v 22B ．电梯地板对物体的支持力所做的功小于m v 22C ．钢索的拉力所做的功等于m v 22＋MgHD ．钢索的拉力所做的功大于m v 22＋MgH解析 以物体为研究对象，由动能定理W N －mgH ＝12m v 2，即W N ＝mgH ＋12m v 2，选项A 、B 错误．以系统为研究对象，由动能定理得：W T －(m ＋M )gH ＝12(M ＋m )v 2，即W T ＝12(M ＋m )v 2＋(M ＋m )gH >m v 22＋MgH ，选项D 正确，选项C 错误． 案 D【变式1】 (2012·山东东营)图4－2－3人通过滑轮将质量为m 的物体，沿粗糙的斜面由静止开始匀加速地由底端拉上斜面，物体上升的高度为h ，到达斜面顶端的速度为v ，如图4－2－3所示，则在此过程中( )．A ．物体所受的合外力做功为mgh ＋12m v 2B ．物体所受的合外力做功为12m v 2C ．人对物体做的功为mghD ．以上说法都不对解析 物体沿斜面做匀加速运动，根据动能定理：W 合＝W F －W f －mgh ＝12m v 2，其中W f 为物体克服摩擦力做的功．人对物体做的功即是人对物体的拉力做的功，所以W 人＝W F ＝W f ＋mgh ＋12m v 2，A 、C 错误，B 正确． 答案 B考点二 动能定理在多过程中的应用 优先考虑应用动能定理的问题 (1)不涉及加速度、时间的问题．(2)有多个物理过程且不需要研究整个过程中的中间状态的问题． (3)变力做功的问题．(4)含有F 、s 、m 、v 、W 、E k 等物理量的力学问题． 【典例2】如图4－2－4所示，用特定材料制作的细钢轨竖直放置，半圆形轨道光滑，半径分别为R 、2R 、3R 和4R ，R ＝0.5 m ，水平部分长度L ＝2 m ，轨道最低点离水平地面高h ＝1 m ．中心有孔的钢球(孔径略大于细钢轨直径)，套在钢轨端点P 处，质量为m ＝0.5 kg ，与钢轨水平部分的动摩擦因数为μ＝0.4.给钢球一初速度v 0＝13 m/s.取g ＝10 m/s 2.求：图4－2－4(1)钢球运动至第一个半圆形轨道最低点A 时对轨道的压力． (2)钢球落地点到抛出点的水平距离．解析 (1)球从P 运动到A 点过程 由动能定理得： mg ·2R －μmg ·L ＝12m v 12－12m v 02由牛顿第二定律：N －mg ＝m v 12R 由牛顿第三定律：N ＝－N ′解得：N ′＝－178 N ．故对轨道压力为178 N 方向竖直向下(2)设球到达轨道末端点速度为v 2，对全程由动能定理得：－μmg ·5L －4mgR ＝12m v 22－12m v 02解得v 2＝7 m/s 由平抛运动h ＋8R ＝12gt 2 s ＝v 2t 解得：s ＝7 m. 答案 (1)178 N 竖直向下(2)7 m——应用动能定理的解题步骤【变式2】如图4－2－5所示，物体在有动物毛皮的斜面上运动，由于毛皮的特殊性，引起物体的运动有如下特点：①顺着毛的生长方向运动时，毛皮产生的阻力可以忽略，②逆着毛的生长方向运动时，会受到来自毛皮的滑动摩擦力，且动摩擦因数μ恒定．斜面顶端距水平面高度为h ＝0.8 m ，质量为m ＝2 kg 的小物块M 从斜面顶端A 由静止滑下，从O 点进入光滑水平滑道时无机械能损失，为使M 制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线B 处的墙上，另一端恰位于水平轨道的中点C .已知斜面的倾角θ＝53°，动摩擦因数均为μ＝0.5，其余各处的摩擦不计，重力加速度g ＝10 m/s 2，下滑时逆着毛的生长方向．求：图4－2－5(1)弹簧压缩到最短时的弹性势能(设弹簧处于原长时弹性势能为零)． (2)若物块M 能够被弹回到斜面上，则它能够上升的最大高度是多少？(3)物块M 在斜面上下滑过程中的总路程．解析 (1)物块M 从斜面顶端A 运动到弹簧压缩到最短，由动能定理得mgh －μmg cos θh sin θ－E p ＝0 则弹性势能E p ＝mgh －μmg cos θhsin θ＝10 J.(2)设物块M 第一次被弹回，上升的最大高度为H ，由动能定理得mg (h －H )－μmg cos θh sin θ＝0 则H ＝h －μcos θhsin θ＝0.5 m.(3)物块M 最终停止在水平面上，对于运动的全过程，由动能定理有mgh －μmg cos θ·s ＝0物块M 在斜面上下滑过程中的总路程s ＝hμcos θ＝2.67 m.答案 (1)10 J (2)0.5 m (3)2.67 m考点三 用动能定理求变力的功(小专题) 一、状态分析法动能定理不涉及做功过程的细节，故求变力功时只分析做功前后状态即可． 【典例3】如图4－2－6所示，图4－2－6质量为m 的物体被线牵引着在光滑的水平面上做匀速圆周运动，拉力为F 时，转动半径为r .当拉力增至8F 时，物体仍做匀速圆周运动，其转动半径为r2，求拉力对物体做的功．解析 对物体运用牛顿第二定律得拉力为F 时，F ＝m v 12r ，①拉力为8F 时，8F ＝m v 22r 2.②联立①②及动能定理得：拉力做功W ＝12m v 22－12m v 12＝2Fr －12Fr ＝32Fr .答案 32Fr二、过程分割法有些问题中，作用在物体上的某个力在整个过程中是变力，但若把整个过程分为许多小段，在每一小段上此力就可看做是恒力．分别算出此力在各小段上的功，然后求功的代数和．即可求得整个过程变力所做的功．【典例4】如图4－2－7所示，质量为m 的物体静图4－2－7止于光滑圆弧轨道的最低点A ，现以始终沿切线方向、大小不变的外力F 作用于物体上使其沿圆周转过π2到达B 点，随即撤去外力F ，要使物体能在竖直圆轨道内维持圆周运动，外力F 至少为多大？ 解析 物体从A 点到B 点的运动过程中，由动能定理可得 W F －mgR ＝12m v B 2①如何求变力F 做的功呢？过程分割，将AB 划分成许多小段，则当各小段弧长Δs 足够小时，在每一小段上，力F 可看做恒力，且其方向与该小段上物体位移方向一致，有W F ＝F Δs 1＋F Δs 2＋…＋F Δs 1＋…＝F (Δs 1＋Δs 2＋…＋Δs 1＋…)＝F ·π2R ②从B 点起撤去外力F ，物体的运动遵循机械能守恒定律，由于在最高点维持圆周运动的条件是mg ≤m v 2R ，即在圆轨道最高点处速度至少为Rg .故由此机械能守恒定律得： 12m v B 2＝mgR ＋m (Rg )22③联立①②③式得：F ＝5mg π. 答案 5mgπ三、对象转换法在有些求功的问题中，作用在物体上的力可能为变力，但转换对象后，就可变为求恒力功． 【典例5】如图4－2－8所示，质量为2 kg 的木块套在光滑的竖直杆上，图4－2－8用60 N 的恒力F 通过轻绳拉木块，木块在A 点的速度v A ＝3 m/s 则木块运动到B 点的速度v B 是多少？(木块可视为质点，g 取10 m/s 2)解析 先取木块作为研究对象，则由动能定理得： W G ＋W T ＝12m v B 2－12m v A 2①其中W G ＝－mg ·AB ，W T 是轻绳上张力对木块做的功， 由于力的方向不断变化，这显然是一个变力做的功，对象转换： 研究恒力F 的作用点，在木块由A 运动到B 的过程中，恒力F 的功W F ＝F (AC －BC )，它在数值上等于W T .故①式可变形为：－mgAB ＋F (AC －BC )＝12m v B 2－12m v A 2，代入数据解得v B ＝7 m/s.答案 7 m/s【典例】 (2011·浙江卷，24)(20分)节能混合动力车是一种可以利用汽油及所储存电能作为动力来源的汽车．有一质量m ＝1 000 kg 的混合动力轿车，在平直公路上以v 1＝90 km/h 匀速行驶，发动机的输出功率为P ＝50 kW.当驾驶员看到前方有80 km/h 的限速标志时，保持发动机功率不变，立即启动利用电磁阻尼带动的发电机工作给电池充电，使轿车做减速运动，运动L ＝72 m 后，速度变为v 2＝72 km/h.此过程中发动机功率的15用于轿车的牵引，45用于供给发电机工作，发动机输送给发电机的能量最后有50%转化为电池的电能．假设轿车在上述运动过程中所受阻力保持不变．求：(1)轿车以90 km/h 在平直公路上匀速行驶时，所受阻力F 阻的大小； (2)轿车从90 km/h 减速到72 km/h 过程中，获得的电能E 电；(3)轿车仅用其在上述减速过程中获得的电能E 电维持72 km/h 匀速运动的距离L ′. 解 (1)轿车牵引力与输出功率的关系P ＝F 牵v将P ＝50 kW ，v 1＝90 km/h ＝25 m/s 代入得 F 牵＝Pv 1＝2×103 N ．(4分)当轿车匀速行驶时，牵引力与阻力大小相等，有F 阻＝2×103 N ．(2分)(2)在减速过程中，注意到发动机只有15P 用于汽车的牵引．根据动能定理有15Pt －F 阻L ＝12m v 22－12m v 12(5分) 代入数据得Pt ＝1.575×105 J(3分)电源获得的电能为E 电＝50%×45Pt ＝6.3×104 J ．(2分)(3)根据题设，轿车在平直公路上匀速行驶时受到的阻力仍为F 阻＝2×103 N ．在此过程中，由能量守恒定律可知，仅有电能用于克服阻力做功，则E 电＝F 阻L ′(2分)代入数据得L ′＝31.5 m ．(2分)答案 (1)2×103N (2)6.3×104J (3)1.5 m 一、动能及动能定理的单独考查(低频考查) 1．(2009·上海单科，5)小球由地面竖直上抛，上升的最大高度为H ，设所受阻力大小恒定，地面为零势能面．在上升至离地高度h 处，小球的动能是势能的2倍，到达最高点后再下落至离地高度h 处，小球的势能是动能的2倍，则h 等于( )．A.H 9B.2H 9C.3H 9D.4H 9 解析 设小球的初动能为E k0，阻力为F ，根据动能定理，上升到最高点有，E k0＝(mg ＋F )H ，上升到离地面h 处有，E k0－2mgh ＝(mg ＋F )h ，从最高点到离地面h 处，有(mg －F )(H －h )＝12mgh ，解以上三式得h ＝49H . 答案 D2．(2011·课标全国卷，15改编)一质点开始时做匀速直线运动，从某时刻起受到一恒力作用．此后，该质点的动能不可能( )．A ．一直增大B ．先逐渐减小至零，再逐渐增大C ．先逐渐增大至某一最大值，再逐渐减小D ．先逐渐减小至某一非零的最小值，再逐渐增大解析 若力F 的方向与初速度v 0的方向一致，则质点一直加速，动能一直增大，选项A 正确．若力F 的方向与v 0的方向相反，则质点先减速至速度为零后反向加速，动能先减小至零后增大，选项B 正确．若力F 的方向与v 0的方向成一钝角，如斜上抛运动，物体先减速，减到某一值，再加速，则其动能先减小至某一非零的最小值，再增大，选项D 正确． 答案 C二、动能定理的应用且综合其他考点出现(高频考查) 3．(2009·上海单科，20)质量为5×103 kg 的汽车在t ＝0时刻速度v 0＝10 m/s ，随后以P ＝6×104 W 的额定功率沿平直公路继续前进，经72 s 达到最大速度，该汽车受恒定阻力，其大小为2.5×103 N ．求：(1)汽车的最大速度v m ；(2)汽车在72 s 内经过的路程s .解析 (1)达到最大速度时，牵引力等于阻力P ＝f v m v m ＝P f ＝6×1042.5×103m/s ＝24 m/s(2)由动能定理可得Pt －fs ＝12m v m 2－12m v 02所以s ＝2Pt －m (v m 2－v 02)2f ＝2×6×104×72－5×103×(242－102)2×2.5×103m ＝1 252 m 答案 (1)24 m/s(2)1 252 m图4－2－94．(2011·江苏卷，14)如图4－2－9所示，长为L 、内壁光滑的直管与水平地面成30°角固定放置．将一质量为m 的小球固定在管底，用一轻质光滑细线将小球与质量为M ＝km 的小物块相连，小物块悬挂于管口．现将小球释放，一段时间后，小物块落地静止不动，小球继续向上运动，通过管口的转向装置后做平抛运动，小球在转向过程中速率不变．(重力加速度为g )．(1)求小物块下落过程中的加速度大小； (2)求小球从管口抛出时的速度大小；(3)试证明小球平抛运动的水平位移总小于22L .解析 (1)设细线中的张力为T ，根据牛顿第二定律得Mg －T ＝Ma T －mg sin 30°＝ma 且M ＝km 解得a ＝2k －12(k ＋1)g .(2)设M 落地时速度大小为v ，m 射出管口时速度大小为v 0.M 落地前由动能定理得Mg ·L sin 30°－mg ·L sin 30°·sin 30°＝12(M ＋m )v 2，对m ，M 落地后由动能定理得－mg (L －L sin 30°)sin 30°＝12m v 02－12m v 2 联立解得v 0＝k －22(k ＋1)gL (k >2)．(3)小球做平抛运动，则s ＝v 0t L sin 30°＝12gt 2 解得s ＝Lk －22(k ＋1)由k －22(k ＋1)<12得s ＝Lk －22(k ＋1)<22L .答案 (1)2k －12(k ＋1)g (2)k －22(k ＋1)gL (k >2) (3)见解析。
第三节 动能定理
例1：如图所示，质量为m的物体在水平恒力 F的作用下，由静止开始前进S1后撤去F，物 体与水平面的摩擦力恒为f，物体从开始到最 终停止运动的位移是多少？
N G G
N
N
G
三、动能定理解题步骤
1、确定研究对象，受力分析；
2、确定初、末状态和研究过程；并且一定 要有文字说明。 3、找出初、末状态之间各个力的功，并求出 总功； 4、将初、末状态动能表示出来； 5、列方程求解；
第三节 一、动能定理 1、推导
动能定理
问题：如图所示，一个物体质量为m，初速 度为V1，与地面的动摩擦力为 f ，在与运动方 向相同的恒力F作用下发生一段位移s，速度增 加到V2。根据牛顿第二定律合运动学公式导出 合外力对物体做的功和动能变化的关系。
3、动能定理：合外力对物体做的功等于物体动 能的变化。
如图9所示，质量为M=0.2 kg的木块放在水平台 面 上，台面比水平地面高出h=0.20 m，木块 距水平台的 右端L=1.7 m．质量为m=0.10M的 子弹以v0=180 m/s 的速度水平射向木块，当子 弹以v=90 m/s的速度水平射 出时，木块的速 度为v1=9 m/s(此过程作用时间极短，可认为木 块的位移为零)．若木块落到水平地面时的落地 点到台面右端的水平距离为s=1.6 m，求：(g取 10 m/s2) (1)木块对子弹所做的功W1 和子弹对木块所做的功W2； (2)木块与台面间的动摩擦因数μ.
质量为m的小球被系在轻绳的一端，在竖直平面 内做半径为R的圆周运动，运动过程中受到空气 阻力作用。设某一时刻小球通过轨道最低点时 绳子的拉力为7mg，此后小球继续运动到最高点， 且恰好能通过最高点。，则此过程中小球克服 空气阻力做的功为多少？ B
vB
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变力曲线运动推导动能定理
动能定理是物理学中的一个重要定理，它描述了物体的动能与物体所受的力之间的关系。
在运动学中，我们学习了变力曲线运动，这种运动中物体所受的力是随着时间变化的，因此我们可以通过变力曲线运动来推导动能定理。
我们需要了解动能的定义。
动能是物体由于运动而具有的能量，它的大小与物体的质量和速度有关。
动能的公式为K=1/2mv^2，其中m是物体的质量，v是物体的速度。
接下来，我们来看一下变力曲线运动。
在这种运动中，物体所受的力是随着时间变化的，因此我们需要将力与时间的关系表示为一个函数f(t)。
根据牛顿第二定律，物体所受的力等于物体的质量乘以加速度，即F=ma。
因此，我们可以将f(t)表示为物体的加速度a与时间t的函数，即f(t)=ma(t)。
现在，我们来推导动能定理。
根据牛顿第二定律，物体所受的力等于物体的质量乘以加速度，即F=ma。
将这个公式代入动能公式K=1/2mv^2中，得到K=1/2m(v^2/a)F。
由于f(t)=ma(t)，因此可以将F表示为f(t)的积分，即F=∫f(t)dt。
将这个公式代入K=1/2m(v^2/a)F中，得到K=1/2m(v^2/a)∫f(t)dt。
现在，我们需要将f(t)表示为物体的速度v与时间t的函数。
根据牛顿第二定律，物体所受的力等于物体的质量乘以加速度，即F=ma。
将这个公式代入速度公式v=at中，得到v=∫a(t)dt。
将这个公式代入K=1/2m(v^2/a)∫f(t)dt中，得到K=1/2mv^2-1/2m∫f(t)v(t)dt。
我们可以将K=1/2mv^2-1/2m∫f(t)v(t)d t表示为动能定理的形式，即K1+∫f(t)v(t)dt=K2。
这个公式描述了物体在变力曲线运动中的动能变化，它告诉我们物体的动能变化等于物体所受的力与速度的积分。
通过变力曲线运动推导动能定理可以帮助我们更好地理解物体的动能与物体所受的力之间的关系。
在实际应用中，我们可以利用动能定理来计算物体的动能变化，从而更好地控制物体的运动。