射影几何计算题选讲

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射影几何例题选讲
June 15, 2015
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Examples
写出下列点的齐次坐标： （0，0） 、 （1，0） 、 （0，1） 、以 3 为斜率的 方向的无穷远点。
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射影几何例题选讲
June 15, 2015
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求交比
Examples
设 P1 、P2 、P4 三点的坐标分别为 (1, 1, 1)、(1, −1, 1)、(1, 0, 1)，且 (P1 P2 , P4 P3 ) = 2。求 P3 的坐标。
方法二：
设所求的对合方程为 mtt′ + n(t + t′ ) + p = 0。 令 t = t′ ，可知 mt2 + 2nt + p = 0与 at2 + 2bt + c = 0有相同的根， p 2n 故 m a = 2b = c ≡ λ，从而 m = aλ, n = bλ, p = cλ，所求的对合方程 ′ 为 att + 2b(t + t′ ) + c = 0。
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射影几何例题选讲
June 15, 2015
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求一维射影对应式
射影对应式的一般形式为 aλλ′ + bλ + cλ′ + d = 0，ad − bc ̸= 0。
Examples
求射影对应式，使直线 l上坐标为 1，2，3 的三点对应于直线 l′ 上的 坐标为 4，3，2 的三点。
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射影几何例题选讲
June 15, 2015
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求对合的方程
对合方程的一般形式为 aλλ′ + b(λ + λ′ ) + c = 0，ac − b2 ̸= 0。
Examples
求对合的方程，它的自对应点的参数为
(i)2与 3； (ii)at2 + 2bt + c = 0的根。
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Proof.
（ii）方法一：
设自对应元素为 t1 , t2 ，则它们是 at2 + 2bt + c = 0的根，所以 b c t1 + t2 = − 2 a ，t1 t2 = a 。 ′ 设 x, x 是此对合对应中的任意一对对应元素，则它们与 t1 , t2 调和共 轭，即 (xx′ , t1 t2 ) = −1， 所以 2xx′ − (t1 + t2 )(x + x′ ) + 2t1 t2 = 0， 从而 axx′ + b(x + x′ ) + c = 0。
解.
设 l上任一点的坐标为 x，l′ 上对应点的坐标为 x′ ， 由于射影对应保持交比不变，有 整理得 x + x′ − 5 = 0。
1−3 2−3
:
1−x 2−x
=
4−2 3−2
:
4−x′ 3−x′ ，
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解.
这些点的齐次坐标依次为 (0, 0, 1)、(1, 0, 1)、(0, 1, 1)、(1, 3, 0)。
Examples
写出下列直线的齐次坐标：x轴、y轴、无穷远直线、过原点且斜率 为 2 的直线。
解.
这些直线的齐次坐标依次为 [0, 1, 0]、[1, 0, 0]、[0, 0, 1]、[2, −1, 0]。
把这些数据代入仿射变换的一般式得 { { { 1 = a11 + a1 −1 = −a11 + a12 + a1 −1 = a11 − a12 + a1 , , , 0 = a21 + a2 1 = −a21 + a22 + a2 2 = a21 − a22 + a2
3 解之得 a11 = 2, a12 = 2, a21 = − 3 2 , a22 = −2, a1 = −1, a2 = − 2 ,
a1 −1
21 ≡ λ1 , a1 =
a22 −来自百度文库 2
=
a2 −1
≡ λ2 .
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射影几何例题选讲
June 15, 2015
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求点和直线的坐标
设平面上的点的非齐次坐标为 (x, y)，则该点的齐次坐标是 x2 1 (x1 , x2 , x3 )，其中 x x3 = x， x3 = y； 斜率为 k，k ̸= ∞的方向的无穷远点的齐次坐标为 (1, k, 0)或者 2 (x1 , x2 , 0)，其中 x x 1 = k； y轴方向的无穷远点的齐次坐标为 (0, 1, 0)。 假设直线 ℓ的方程为 ax1 + bx2 + cx3 = 0，则该直线的齐次坐标为 [a, b, c]； 无穷远直线的方程是 x3 = 0，齐次坐标为 [0, 0, 1]。
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解法三.
在仿射变换的一般式中令 x = x′ , y = y′ ，则直线 (a11 − 1)x + a12 y + a1 = 0和 a21 x + (a22 − 1)y + a2 = 0与 x + 2y − 1 = 0为同一直线， 故
求仿射变换式就是将已知条件代入这个一般式中，求出其中的六个 参数。
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June 15, 2015
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Examples
求仿射变换式，使直线 l : x + 2y − 1 = 0上的点不变，而点 (1, − 1)变为 (−1, 2)。
方法二：
′ xx A + (x + x′ )B + C = 0 4A + 4B + C = 0 按方法一，可得 ， 9A + 6B + C = 0 此方程组有非零解 A, B, C，故其系数行列式为零， xx′ x + x′ 1 4 4 1 = 0， 即 9 6 1 展开得 2xx′ − 5(x + x′ ) + 12 = 0。
所求的变换为
{
x′ = 2x + 2y − 1 3 y′ = − 3 2 x − 2y + 2
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射影几何例题选讲
June 15, 2015
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解法二.
x′ a11 a12 a1 x 把仿射变换的一般形式写成 y′ = a21 a22 a2 y , 1 0 0 1 1 a11 a12 a1 记 B = a21 a22 a2 ,则将已知条件代入得 0 0 1
̸= 0,
一般的二维射影坐标变换为 ′ a11 a12 a13 ρx1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ρx′ = a x + a x + a x a21 a22 a23 , 21 1 22 2 23 3 2 ρx′ = a x + a x + a x a31 a32 a33 31 1 32 2 33 3 3
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June 15, 2015
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求仿射变换式
仿射变换式的一般形式为 { ′ x = a11 x + a12 y + a1 , y′ = a21 x + a22 y + a2 其中 a11 a12 a21 a22 ̸= 0。
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求射影坐标变换
一般的一维射影坐标变换为 { ′ ρx1 = a11 x1 + a12 x2 a a , 11 12 ρx ′ = a x + a x a 21 1 22 2 21 a22 2
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解.
设所求的对和方程为 Axx′ + B(x + x′ ) + C = 0。 （i）方法一：
由已知条件有 4A + 4B + C = 0 ， 9A + 6B + C = 0 于是 A : B : C = −2 : 5 : −12， 所以所求的对和方程为 2xx′ − 5(x + x′ ) + 12 = 0。 {
̸= 0.
求射影变坐标换是将已知数据代入一般的射影坐标变换式，求出系 数即可。 但要注意的是，每代入一组数据，变换式中的 ρ要改成不同的字母。
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射影几何例题选讲
June 15, 2015
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解法一.
在直线 l上任取两点 (1, 0)和 (−1, 1)，则由已知条件，所求的仿射变 换将 (1, 0)变成 (1, 0)，将 (−1, 1)变成 (−1, 1)，将 (1, − 1)变成 (−1, 2)。
a11 −1 1
=
a12 2
=
把 a11 = λ1 + 1，a12 = 2λ1 ，a1 = −λ1 ，a21 = λ2 ，a22 = 2λ2 + 1， a2 = −( λ2 代入变换式得 ) ( )( ) ( ) x′ λ1 + 1 2λ1 x −λ1 = + . y′ λ2 2λ2 + 1 y −λ2 此变换把点 (1, −1)变换成点 (−1, 2)，代入上式，然后解出 λ1 = 1, λ2 = −3/2， ( ′ ) ( )( ) ( ) x 2 2 x −1 因此所求的变换为 = + . y′ −3/2 −2 y 3/2
解.
以 P1 、P2 为基点，则 P4 = P1 + P2 。设 P3 = P1 + µP2 。 由已知 1/µ = 2，得 µ = 1/2，
1 1 3 所以 P3 = (1, 1, 1) + 2 (1, −1, 1) = ( 3 2 , 2 , 2 ) = (3, 1, 3)。
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1 1 −1 −1 1 −1 0 = B 0 , 1 = B 1 , −1 = B 2 . 1 1 1 1 1 1 1 −1 1 1 −1 −1 2 , 因此有 0 1 −1 = B 0 1 1 1 1 1 1 1
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射影几何例题选讲
June 15, 2015
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解法二（续）.
从而得： −1 1 −1 1 1 −1 −1 2 2 −1 2 = −3/2 −2 3/2 . B = 0 1 −1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 于是，所求的变换为 ( ′ ) ( )( ) ( ) x 2 2 x −1 = + . y′ −3/2 −2 y 3/2