第52炼 证明等差等比数列
等比等差通项公式
等比等差通项公式等差数列和等比数列是高中数学中常见的数列，其中的通项公式是十分重要的公式。
本文将分别介绍等差数列和等比数列的通项公式，并给出详细的推导和证明。
1.等差数列的通项公式等差数列是指数列中相邻两项之差相等的数列。
下面我们来推导等差数列的通项公式。
设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an。
首先，我们观察数列中的每一项，可以发现第n项与首项之间存在一个公有的规律：an = a1 + (n-1)d。
例如，对于等差数列1,4,7,10,...，我们可以写出第n项与首项之间的关系式为：an = 1 + (n-1)3我们进行如下的推导：首先令k=n-1，即n=k+1，代入上述关系式可得：an = 1 + kd。
然后我们将k由1~n-1变为0~n-2，即代入k=0,1,2,...,n-2，可得：a1=1+0da2=1+1da3=1+2d...a(n-1)=1+(n-2)d。
最后一项an则为：an = 1 + (n-1)d。
我们将等式两边的d求和，得到：d+2d+3d+...+(n-1)d=(n-1)d+(n-2)d+...+d=n(n-1)d/2将上述结果代入an的表达式中，可以得到等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d = 1 + (n-1)d = n(n-1)d/2 + a12.等比数列的通项公式等比数列是指数列中相邻两项的比值相等的数列。
下面我们来推导等比数列的通项公式。
设等比数列的首项为a1，公比为r，第n项为an。
首先，我们观察数列中的每一项，可以发现第n项与首项之间存在一个公有的规律：an = a1 * r^(n-1)。
例如，对于等比数列2,6,18,54,...，我们可以写出第n项与首项之间的关系式为：an = 2 * 3^(n-1)。
我们进行如下的推导：首先令k=n-1，即n=k+1，代入上述关系式可得：an = a1 * r^k。
然后我们将k由0~n-2变为1~n-1，即代入k=1,2,3,...,n-1，可得：a1=a1*r^1a2=a1*r^2a3=a1*r^3...an-1 = a1 * r^(n-1)。
等差等比数列的证明例举
等差等比数列的证明在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。
一、基础知识：1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列 （1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差），1n na q a +=（等比） （2）通项公式：n a kn m =+（等差），()0n n a k q q =⋅≠（等比）（3）前n 项和：2n S An Bn =+（等差），n n S kq k =-（等比）（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列： （1）通常利用定义法，寻找到公差（公比）（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N *∀∈，均有：122n n n a a a ++=+ （等差） 212n n n a a a ++=⋅ （等比）二、典型例题：例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521nn n a a a n N a *+==∈+． 求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列 思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在1na 这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：113121213n n n n n na a a a a a +++=⇒=+即112133n n a a +=+，在考虑构造“1-”：112111111333n n n a a a +⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭即数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列思路二：代入法：将所证数列视为一个整体，用n b 表示：11n nb a =-，则只需证明{}n b 是等比数列即可，那么需要关于n b 的条件（首项，递推公式），所以用n b 将n a 表示出来，并代换到n a 的递推公式中，进而可从n b 的递推公式出发，进行证明 解：令11n n b a =-，则11n n a b =+ ∴ 递推公式变为：11311311113211n n n n n b b b b b +++=⇒=+++⋅++1113333n n n n b b b b ++⇒+=+⇒={}n b ∴是公比为13的等比数列。
等差等比数列计算方法
等差、等比数列的公式1．概念与公式：①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列；2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+=3°.前n 项和公式：公式：.2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=②等比数列：1°.定义若数列q a a a nn n =+1}{满足（常数），则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;11kn k n n q a q a a --==3°.前n 项和公式：),1(1)1(111≠--=--=q qq a qq a a S nn n 当q=1时.1na S n =2．简单性质：①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a ②中项及性质：1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2b a A +=2°.设a ,G ,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±=③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ⋅=⋅④顺次n 项和性质：1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=nk n n k nn k kk kaa a 121312,,则组成公差为n 2d 的等差数列；2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=nk n n k nn k kk kaa a 121312,,则组成公差为q n 的等比数列.（注意：当q =－1，n 为偶数时这个结论不成立）⑤若}{n a 是等比数列，则顺次n 项的乘积n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,, ++++组成公比这2nq的等比数列.⑥若}{n a 是公差为d 的等差数列,1°.若n 为奇数，则,,:(21+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2°.若n 为偶数，则.2nd S S =-奇偶练习 1．三个数,,1,,1,1,122成等比数列又成等差数列n m nm的值为则nm n m ++22 （ ）A ．－1或3B ．－3或1C ．1或3D ．－3或－1 2．在等比数列1020144117,5,6,}{a a a a a a a n 则中=+=⋅=（ ）A ．2332或B ．2332--或 C ．515--或 D ．2131-或3．等比数列===302010,10,20,}{M MM M n a n n 则若项乘积记为前（ ）A ．1000B ．40C ．425D ．814．已知等差数列5，8，11，…与3，7，11，…都有100项，则它们相同项的个数 （ ） A ．25 B ．26 C ．33 D ．345．已知一个等差数列的前5项的和是120，最后5项的和是180，又所有项的和为360，则此数列的项数为 （ ） A ．12项 B ．13项 C ．14项 D ．15项 6．若两个等差数列)(27417,}{},{+∈++=N n n n B A B A n b a nn n n n n 且满足和项和分别为的前则的值是1111b a（ ）A ．47 B ．23 C ．34 D ．71781．B 2．A 3．D 4．A 5．A 6．C求通项方法（一）一 公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。
等差数列与等比数列的证明
3.2.3 证明数列是等差、等比数列证明一个数列是等差数列或者等比数列是高考的常考题型，是近几年出现的高频考点。
证明一个数列是等差数列的方法有（1）定义法：1()n n a a d n N ++-=∈，其中d 为常数；则数列}{n a 是等差数列（2）等差中项法：112(2)n n n a a a n -+=+≥，则数列}{n a 是等差数列；（3）通项公式法：若一个数列的通项公式为n a qn p =+，其中,p q 则数列}{n a 是等差数列。
证明一个数列是等比数列的方法：（1）定义法：1(0)n na q q a +=≠其中q 为常数，则数列}{n a 为等比数列（2）定比中项法：211n n n a a a +-=(2)n ≥，则数列}{n a 为等比数列。
例1、数列{}n a 满足12211,2,22n n n a a a a a ++===-+.（1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列；（2）求{}n a 的通项公式.解：2122n n n a a a ++=-+Q ，2112n n n n a a a a +++∴-=-+，即112,2n n n n b b b b ++=+∴-=1211b a a =-=，1(1)221n b n n ∴=+-⨯=-（2）1213221,1,3n n n a a b n a a a a +-==-∴-=-=Q 1...23n n a a n --=- 21(1)n a a n ∴-=-，222n a n n ∴=-+例2、已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，111,0,1,n n n n a a a a S λ+=≠=-其中λ为常数（1）证明：2n n a a λ+-=；（2）是否存在λ，使得}{n a 为等差并说明理由解：1121(1)1,(2)1n n n n n n a a S a a S λλ++++=-=-Q ，(2)(1)∴-得：121()n n n n a a a a λ+++-=0n a ≠Q 2n n a a λ+∴-=（2）112121,1,1a a a S a λλ==-∴=-Q 31a λ=+Q ，令2132a a a =+，4λ∴= 由（1）可知：2n n a a λ+∴-=，}{21n a -∴是首项为1，公差为4的等差数列，2143n a n -=-}{2n a 是首项为3，公差为4的等差数列，241n a n =-，121,2n n n a n a a +∴=--=∴存在4λ=，使得数列}{n a 为等差数列例3设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知121,2,a a ==且2133n n n a S S ++=-+，n N +∈（1）证明：23n n a a +=；解：2133,(1)n n n a S S ++=-+Q 当2n ≥时，2133,(2)n n n a S S +-=-+(1)(2)-得：2113n n n n a a a a +++-=-，2(2)n n a a n +∴=≥ 123121121,2,333()3a a a S S a a a ===-+=-++Q ，23n n a a +∴=（n N +∈） 设等差数列}{n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上，（1）证明：数列}{n b 为等比数列解：(,)n n a b Q 在函数()2x f x =的图象上，2n a n b ∴=，112n a n b ++=，1122n n a a d n nb b +-+== ∴数列}{n b 为等比数列。
证明或判断等差等比数列的常用方法
证明或判断等差（等比）数列的常用方法湖北省 王卫华玉芳翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何 处理这些题目呢？且听笔者一一道来.一、利用等差（等比）数列的定义等差（等比）数更最主要的方法•如:记 bn""1"1,2,….1 1 所以｛b n ｝是首项为a ，公比为一的等比数列. 42评析：此题并不知道数列｛b n ｝的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明, 这是常规做法。
1猜想：｛b n ｝是公比为一的等比数列.21 1 证明如下：因为b n^a 2n^V-a 2n 2n 42bn,(nN )在数列{a n }中，若a na n-1（d 为常数）或a na n-1q （ q 为常数），则数列｛a n｝为等差（等比） 数列.这是证明数列｛耳｝为例1 • （2005北京卷）设数列｛a n ｝的首项a1 =:a =丄，且a41-an 2 1|a 」 an 4n 为偶数n 为奇数 所以b 1 （n ）判断数列｛b n ｝是否为等比数列，并证明你的结论.)a ? = a 1 ■—4 =a ；，a 3a ?=-2 : * 1 13 1 a4 = a 3 = a，所以 a5 = 4 2 82 1 1 b 2 = 1 1 =a 1a - 4 *3 一 a 1 4 3 4 2 . J a 」， 4 .4(i)求 a ?, 83 ；解：（i 1a 1 ；2 81 3a 4 一 4a16， 1 4」例2 •（ 2005山东卷）已知数列｛a n｝的首项a i =5 ,前n项和为S n ,且Sn 1 =2S n n •5（T N）（i）证明数列｛a n 1｝是等比数列；（n）略.解：由已知S n .1 =2S n • n • 5(n • N*)可得n _ 2时，& -n • 4两式相减得：S n 1 -S n = 2(S n -S ni) 1，即a n 1 = 2a n • 1，从而a n 1 T = 2(a n 1), 当n =1 时，s2=20 1 5，所以a2 a^2a1 6,又q =5，所以a2=11，从而a2 1 ^2(a1 1).a +1故总有a n「仁2(a n 1), n • N ”，又=5, a1 ^0，从而亠2 .a n +1所以数列｛a n 1｝是等比数列.评析：这是常见题型，由依照含S n的式子再类似写出含S n」的式子，得到a n pa n q 的形式，再利用构造的方法得到所要证明的结论.本题若是先求出通项a n的表达式，则较繁.注意事项：用定义法时常采用的两个式子a n—a n」=d和a n 4 -a n = d有差别，前者必a须加上“ n > 2 ”否则n=1时a0无意义，等比中一样有：n > 2时，有亠才|| = q (常a n」数式0 )；②n w N州时，有(常数=0).二•运用等差或等比中项性质a n■ a n2 - 2a n1 ：= ｛a n｝是等差数列，a n a n2 - a n1(a n0) ：= ｛a n｝是等比数列，这是证明数列｛坯｝为等差(等比)数列的另一种主要方法.例3. (2005江苏卷)设数列｛a n｝的前项为S n，已知a1 =1, a2 = 6, a3 = 11，且(5n -8)S n 1 -(5n 2)S n=An B, n =1,2,3,|,其中A, B 为常数.(1 )求A与B的值；(2)证明数列｛a n｝为等差数列；(3)略.解：(1 )由印=1, a2 =6, a3 =11，得S =1, S2 = 7, S3 = 18 .― A B 二-28, 把n =1,2 分别代入(5n-8)S1-(5n 2)S=An B，得2A• B =-48L解得，A = -20 , B = -8 .(n )由(I )知，5n(S n 1—S n) -8S n 1 —2£ = -20n -8，即又 5(n l)a n 2 -8S 2 -2S n i = -20(n 1) —8 . ②②-①得，5(n 1)a n 2 -5na n彳-8a n 2 -2a n* - -20 ,即(5n -3间2 -(5n 2)a. 1 = -20 . ③又(5n 2)a n 3 -(5n 7)% 2 - -20 . ④④-③得，(5n 2)(a n 3 — 2a. .2 a. .J =0 ,二兔3 — 2a. .2 a. 1 =0 ,…a n 3・一a n 2 = 2・一1 | = a3 —玄2 =5，又玄2 —玄1 =5 ,因此，数列是首项为1,公差为5的等差数列.评析：此题对考生要求较高，通过挖掘S n的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处理大大简化了计算.例4.(高考题改编)正数数列｛a n｝和｛b n｝满足：对任意自然数n, a n, b n, a n..成等差数列，b n, a n i, b n.成等比数列.证明：数列｛Jb n｝为等差数列.证明：依题意，a n 0, b n 0,2b n =a n •a n 1，且a n d ='••、b n b n 1 ,a n =b n」b n(n > 2).2b n 二.b n」b n b n b n 1 .由此可得2 m=.昭「b n?.即._昭-m - bn -兀(门> 2).数列｛.,0｝为等差数列.5na n i . —8S n i. -2S h = _20n -8 , ①评析：本题依据条件得到an与bn的递推关系，通过消元代换构造了关于 f. bj的等差数列，使问题得以解决.三.运算数学归纳法这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“n = k时命题成立”到“ n = k • 1时命题成立”要会过渡.例5 . (2004全国高考题)数列的前n项和记为& ,已知a^1 ,n 亠2 i S Ia* 1 = S n(n =1,2」1().证明：数列-n是等比数列.n L n J证明：由a1 -1, a n 1 =Sn (n - 1,2j H)，知a? ― S = 3a1, —1 = 2 ,1 2 2勺=1，猜测 S n 是首项为1,公比为2的等比数列.1 nS下面用数学归纳法证明：令 b^S n .n（1）当 n =2时，b 2 =2b\，成立.⑵当 n = 3时，S 3 = a 1 a 2 a 3 =13 2(1 3) = 12,0 = 4 = 2b 2，成立. 假设n =k 时命题成立，即b k =2b k 」.c k 2S S + ----------------------- 2那么当 n =k 1 时，b k j =汪1 二 S k ' a k 1 Jk+1 k+1k+1综上知 §n 是首项为1，公比为2的等比数列.I n J例6. （2005浙江卷）设点 代（人,0, P n （X n ,2n 」）和抛物线2 * 1G ： y =x - a n X b n （n ・N ）,其中a . = -2 -4n - ^nJ , X n 由以下方法得到：花=1,点P （x 2,2）在抛物线G 注仝 a 1x b 上，点A （x 1,0）到p 的距离是 A 到G 上点的最短距离，…，点P n 1（X n 1,2"）在抛物线C n ： y = X 2 * a n X * b n 上，点A （绻0）到P n 1的距离是A到C n 上点的最短距离.(1 )求X 2及C 1的方程.(2)证明 {X n } 是等差数列. 解：(I)由题意得：A(1,0), G : y =x 2-7x • d .设点 P(x, y)是 C 1 上任意一点，贝U |AP|「(x-1)2 y 2「(x-1)2 (x 2-7x bj 2 令 f (x) =(x -1) (x -7x bi),则f (x) =2(x -1)2(x -7x bi)(2x _7).由题意：f ，(x 2) =0,即 2( x 2 -1) 2(X 22 -7X 2 bj(2x 2 _7) =0.又 F 2(x 2,2)在 C 1 上，2=x 22-7x 2 d,解得：x 2 =3,3 =14.，故 C 1 方程为 y =x 2 -7x • 14.2& = 2b k ,命题成立.(II)设点P(x, y)是C n上任意一点，则I A n PF ・.(X-X n)2• (X2• a n X • b n)2令g(x) =(x -X n)2(X2a n X b n)2,则g'(x) =2(x -X n) 2(X2a n X b n)(2x a n).由题意得 g '(X n 』=O ，即 2(X n 卑—X n )+2(X nf +a n X n 申 +b n )(2X n 出 +a n )=O 又；"2n =Xn] +anXn 卑 +g ,■ (X n 1 -X n ) 2n (2X nia." 0(n 一 1).即(1 2「1)X ni-X n 2匕=0(* )F 面用数学归纳法证明 x n =2n -1①当n 二1时，X-] =1,等式成立.即当n =k T 时，等式成立.由①②知，等式对 n N 成立..｛x n ｝是等差数列.评析：例5是常规的猜想证明题， 考查学生掌握猜想证明题的基本技能、 掌握数列前n 项和 这个概念、用数学归纳法证明等差数列的方法； 例6是个综合性比较强的题目， 通过求二次 函数的最值得到递推关系式，再直接猜想然后用归纳法证明， 解法显得简洁明了， 如果直接 利用递推关系式找通项，反而不好作.四.反证法解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发， 理和运算，最后得到所要求的结论， 但有时会遇到从正面不易入手的情况， 考虑.如：例7.（2000年全国高考（理））设｛a .｝，b n ｝是公比不相等的两等比数列, 明数列｛C n ｝不是等比数列.证明：设｛a n ｝｛ b n ｝的公比分别为p , q , p = q , c^ a n b n ，为证｛q ｝不是等比数 列只需证 c ；工 G L C 3 .事实上， c 2 =（a i p bq ）2 二a ： p 2 b 2q 2 2aib pq二佝 bOG b ?） = （a 「b ）（4 p 2 dq 2） =aip 2 b ^2q 2 a 1b 1（p 2 q 2）Tp^q, p 2+q 2 >2pq ，又a , b 不为零，二c f ^^Lc 3，故｛cj 不是等比数列.评析：本题主要考查等比数列的概念和基本性质、 推理和运算能力， 对逻辑思维能力有较高要求.要证｛c n ｝不是等比数列，只要由特殊项（如c f =6“）就可否定.一般地讲,否定性的命题常用反证法证明， 其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的②假设当n =k 时，等式成立, 即 x k =2k-1,则当n 二k T 时，由（* ）知 k 山1k(1 2 风 - X • 2 % 兰1又 a k = -2 -4k -2 肓X k 1kX k _ 2 a ^- 厂占=2k 1 .经过一系列的推 这时可从反面去五•看通项与前n项和法若数列通项a能表示成a n= a n・b ( a, b为常数)的形式，则数列是等差数列；右通项a n能表示成a n - cq (c, q均为不为0的常数，n・N ) 的形式，则数列^n? 是等比数列.若数列：a n f的前n项和Sn能表示成& = an2• bn(a,b为常数)的形式，则数列：a n f 等差数列；若S n能表示成S n =Aq n-A(A, q 均为不等于0的常数且1)的形式，则数列是公比不为1的等比数列•这些结论用在选择填空题上可大大节约时间.例8 (2001年全国题)若S n是数列牯」的前n项和，S n = n2,则｛a j是( ).A.等比数列，但不是等差数列 B .等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列解析：用到上述方法，一下子就知道答案为B,大大节约了时间，同时大大提高了命中率.六•熟记一些常规结论，有助于解题若数列｛a n｝是公比为q的等比数列，则(1)数列｛a n｝｛ a n｝( ■为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；(2)若｛b n｝是公比为q ■的等比数列，则数列｛a n Lb n｝是公比为qq ■的等比数列；‘1〕 1(3)数列」丄〉是公比为1的等比数列；冃J q(4)｛a n｝是公比为q的等比数列；(5)在数列｛a n｝中，每隔k(k・N )项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为q k 1；(6) {a n a n 1}{ a n —an 1}{ a2n4}{ a2n}, g a2 a3, a4 a5 a6, a? p等都是等比数列；(7)若m , n , p(m n, p N )成等差数列时，a m, a. , a p成等比数列；(8)S n , S2n _S n , S3^ _ S2n均不为零时，则S , Sn〜, §3^ S2n成等比数列;(9)若｛log b a n｝是一个等差数列，则正项数列｛a n｝是一个等比数列.若数列｛a n｝是公差为d等差数列，则(1) ｛ka n b｝成等差数列，公差为kd (其中k = 0, k, b是实常数)；(2)｛S(n i)k -S kn｝, ( k • N , k为常数)，仍成等差数列，其公差为k2d ；(3) 若｛a n｝｛ b n｝都是等差数列，公差分别为d i, d2，则｛a n二b n｝是等差数列，公差为d^d2;(4)当数列｛a n｝是各项均为正数的等比数列时，数列｛lg a n｝是公差为lgq的等差数列；(5)m, n, p(m, n, p N )成等差数列时，a m，a n，a p成等差数列.例9.(96年全国高考题)等差数列｛a n｝的前n项和为30,前2n项和为100则它的前3n 项和为( ) A. 130 B. 170 C. 210 D. 260解：由上面的性质得：S n, S zn-S, S3n-S2n成等比数列，故2(S2n - S n) =S n (S3n - S2n),.2(100-30) =3O(S3n -100),S3n =210 .故选c.评析：此题若用其它方法，解决起来要花比较多的时间，对于选择题来说得不断尝试. 记住上面这些结论，在做选择填空题时可大大节约时间，并且能提高命中率.。
证明等差或等比数列
例3: 已知数列an 满足 lg an 3n 5 ， 证明：数列an 等比数列。
例4:
已知数列an 满足
a1Байду номын сангаас
2 3
, an1
，2an an 1
证明：数列
1
an
1
等比数列。
例5: 设二次方程 an x2 an1x 1 0的两根
a 和 b 满足 6a 2ab 6b 3
（1）试用 an 表示 an1 ;
数列，则Sn
例9: 已知公差大于零的等差数列an的前n
项和为 Sn ,且 a3 a4 117 , a2 a5 22.
（1）求 an ；
（2）若{bn}是等差数列，且 bn
Sn nc
，
求非零常数 c .
(1) 定义法: 证明
an q(q为常数且 q 0, n N *且n 2) an1
(2) 中项法: 利用中项公式
若三个数a,G,b成等比数列，则 ab G2。
例1: 已知数列an 的通项公式为 an 6n 1
那么这个数列一定是等差数列吗?
例2: 已知数列an 的前n项和为 Sn n(2n 1) 证明：数列an 等差数列。
等差、等比数列的证明或判断
判断数列 an是否为等差数列的常用方法：
(1) 定义法: 证明an－an－1＝d (常数)
(2) 中项法: 利用中项公式，若2b＝a＋c, 则a, b, c成等差数列.
(3) 通项公式法: 等差数列的通项公式是 关于n的一次函数.
判断数列an 是否为等比数列的常用方法：
（2）证明：数列
an
2
3
等比数列。
例6: 已知数列an 的前n项和为 Sn ,
等差数列与等比数列的证明方法
(充分条件)
a
2 n
an1
an1
（n≥1） {an} 是等比数列，
注:
b ac且(a c 0) 是 a、b、c 等比数列的充分不必要条件
b ac 是 a、b、c 等比数列的必要不充分条件.
b ac且(a c 0) 是 a、b、c 等比数列的充要条件. 任意两数 a、c 不一定有等比中项，除非有 ac＞0，则等比中项一定有两个.
一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手
的情况，这时可从反面去考虑．
六、等差数列与等比数列的一些常规结论
若数列{an}是公比为 q 的等比数列，
则
（1）数列{an} {an}（ 为不等于零的常数）仍是公比为 q 的等比数列；
（2）若{bn}是公比为 q 的等比数列，则数列{an bn}是公比为 qq 的等比数列；
②﹣①得：
………① ………②
1 n1 n an1 an2 a1 an2 a1 an1
两边同以 anan1a1 得： a1 (n 1)an1 nan2 ………③
同理： a1 nan (n 1)an1
………④
③—④得： 2nan1 n(an an2 )
即： an2 an1 an1 an
等差数列与等比数列的证明方法
高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何
处理这些题目呢？
证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、 数学归纳法、反证法。
一、 定义法
10 .证明数列是等差数列的充要条件的方法：
an1 an d(常数) an是等差数列
（8）若{logb an} 是一个等差数列，则正项数列{an}是一个等比数列． 若数列{an}是公差为 d 等差数列，
高考高中数学第52炼 证明等差等比数列
第52炼 等差等比数列的证明在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。
一、基础知识：1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列 （1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差），1n na q a +=（等比） （2）通项公式：n a kn m =+（等差），()0n n a k q q =⋅≠（等比）（3）前n 项和：2n S An Bn =+（等差），n n S kq k =-（等比）（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列： （1）通常利用定义法，寻找到公差（公比）（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N *∀∈，均有：122n n n a a a ++=+ （等差） 212n n n a a a ++=⋅ （等比）二、典型例题：例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521nn n a a a n N a *+==∈+． 求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列 思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在1na 这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：113121213n n n n n na a a a a a +++=⇒=+即112133n n a a +=+，在考虑构造“1-”：112111111333n n n a a a +⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭即数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列思路二：代入法：将所证数列视为一个整体，用n b 表示：11n nb a =-，则只需证明{}n b 是等比数列即可，那么需要关于n b 的条件（首项，递推公式），所以用n b 将n a 表示出来，并代换到n a 的递推公式中，进而可从n b 的递推公式出发，进行证明 解：令11n n b a =-，则11n n a b =+ ∴ 递推公式变为：11311311113211n n n n n b b b b b +++=⇒=+++⋅++1113333n n n n b b b b ++⇒+=+⇒={}n b ∴是公比为13的等比数列。
等差、等比数列证明的几种情况（最终5篇）
等差、等比数列证明的几种情况（最终5篇）第一篇：等差、等比数列证明的几种情况等差、等比数列证明的几种情况在高中数学教材中，对等差，等比数列作了如下的定义：一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于一个常数d，则这个数列叫等差数列，常数d称为等差数列的公差。
一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于一个常数q，则这个数列叫等比数列，常数q称为等比数列的公比。
在涉及到用定义来说明一个数列为等差数列或等比数列时，很多时候往往容易忽略定义的完整性，现举一些例子来加以说明。
1、简单的证明例：已知数列前n项和sn=n2+2n，求通项公式an，并说明这个数列是否为等差数列。
解：n=1时，a1=s1=1+2=3；n≥2时，an=sn-sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1因为n=1时，a1=2⨯1+1=3所以an=2n+1因为n≥2时，an-an-1=2为常数，所以{an}为等差数列。
2、数列的通项经过适当的变形后的证明例：设数列{an}的前n项的和为Sn，且a1=1,Sn+1=4an+2,(n∈N*)。
（1）设bn=an+1-2an，求证：数列{bn}是等比数列；（2）设cn=an，求证：数列{cn}是等差数列； 2n证明：（1）n≥2时Θan+1=Sn+1-Sn=4an-4an-1，∴an+1-2an=2(an-2an-1)，∴bn=2bn-1又b1=a2-2a1=S2-3a1=a1+2=3∴{bn}是首项为3，公比为2的等比数列。
（2）Θbn=3⨯2n-1,∴an+1-2an=3⨯2n-1,∴cn+1-cn=an+1an113n-1()-=a -2a=⨯3⨯2=, n+1n42n+12n2n+12n+1又c1=a11=，2213∴{cn}是首项为，公差为的等差数列。
243、证明一个数列的部分是等差（等比）数列例3：设数列{an}的前n项的和Sn=n2+2n+4,(n∈N+)，⑴写出这个数列的前三项a1,a2,a3；⑵证明：数列{an}除去首项后所成的数列a2,a3,a4Λ是等差数列。
高中数学优秀讲义微专题52 证明等差等比数列
微专题52 等差等比数列的证明在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。
一、基础知识：1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列 （1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差），1n na q a +=（等比） （2）通项公式：n a kn m =+（等差），()0n n a k q q =⋅≠（等比）（3）前n 项和：2n S An Bn =+（等差），n n S kq k =-（等比）（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列： （1）通常利用定义法，寻找到公差（公比）（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N *∀∈，均有：122n n n a a a ++=+ （等差） 212n n n a a a ++=⋅ （等比）二、典型例题：例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521nn n a a a n N a *+==∈+． 求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列 思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在1na 这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：113121213n n n n n na a a a a a +++=⇒=+即112133n n a a +=+，在考虑构造“1-”：112111111333n n n a a a +⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭即数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列思路二：代入法：将所证数列视为一个整体，用n b 表示：11n nb a =-，则只需证明{}n b 是等比数列即可，那么需要关于n b 的条件（首项，递推公式），所以用n b 将n a 表示出来，并代换到n a 的递推公式中，进而可从n b 的递推公式出发，进行证明 解：令11n n b a =-，则11n n a b =+ ∴ 递推公式变为：11311311113211n n n n n b b b b b +++=⇒=+++⋅++1113333n n n n b b b b ++⇒+=+⇒={}n b ∴是公比为13的等比数列。
等差等比数列的通项公式
逐差法
公式法
逐商法
迭加法
通项公式
累乘法
迭代式的含义：
Sn a1 a2 a3 an g(n)
求求和公式常用方法：
错项减
公式法
归纳法
求和公式
颠倒加
裂项消
拆并转
求Sn实质上是求{Sn}的通项公式
递推公式的含义：
若数列的第n项an与该数列其他若干个项存在等量关系 这个关系就称为该数列的一个递推公式
第n项是第m项的基础上，迭加(n-m)差个公差
2. 等比数列通项公式的推广引申 ①通项公式是指数型函数,反之亦然
an a1qn1 a0qn
y a0qx
②推广式
an amqnm
第n项是第m项的基础上，迭乘(n-m)差个公比
练习2.通项公式的推广引申
(1)等差数列{an}中，a5=15，a10=25.求通项an
预习：
等差等比数列的求和公式
一、背诵公式
二、推导公式
三、推广引申
数列概述
公式法
非等差等比数列
等差等比数列
数列问题多变幻 等差等比是典范 八通六和及性质 三大公式能互换
没公式,有办法
通项公式的含义：
数列an 的第n项 an与项数n的关系若能用一个公式
an f (n) 给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式
求通项公式常用的方法：
等差数列的定义如果三数aab成等差数列则a叫做a和b的等差中项逐差法及递推公式等差中项等比数列的定义如果三数agb成等比数列则g叫做a和b的等比中项逐商法及递推公式等比中项定义法常数通项公式法求和公式法是等差数列是等比数列是等差数列bnbbaan2m
§136 等差等比数列的通项公式
等差数列与等比数列的证明方法
等差数列与等比数列的证明方法高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何 处理这些题目呢证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、 数学归纳法、反证法。
一、定义法10.证明数列是等差数列的充要条件的方法：a n 1 a n d （常数）a n 是等差数列a 2n 2 a 2n d （常数） a 2n 是等差数列 a 3n 3 a 3nd （常数）a 3n 是等差数列20.证明数列是等差数列的充分条件的方法：a n a n 1 d （n 2） 斗是等差数列 a n 1 a n a n a n 1（n 2）a n 是等差数列30.证明数列是等比数列的充要条件的方法：鱼 q （q 0且为常数，a i 0） a n 为等比数列 a n 40.证明数列是等比数列的充要条件的方法：a n注意事项：用定义法时常米用的两个式子 a n a n i d 和a n i a n d 有差别，前者 必须加上“n > 2”，否则n 1时a 0无意义，等比中一样有：n > 2时，有-a ^ L q a n 1 （常数0 ）；②nN 时，有公1 q（常数0）.a n例1.设数列ag’L ,a n ,L 中的每一项都不为0。
证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何 n N,证明：先证必要性设｛a n ｝为等差数列，公差为d,则a n q （n>2, q 为常数且丰0）a n 为等比数列a n 1都有1 1 a 1a2 a 2a 31 a n a n 1n aA 1当d=0时，显然命题成立 当d 丰0时，11 11为为 1 d a n On 11 1 1-- 十 -- 十 ‘ ■ ■ +a L a2 a 2a 5 a h a rn-liff i i) fi i] f i i 11 叩电a J l 幻W [a 虹1111 1 1 a a+1 -+- a 1 nd[&i a n+l ) a 找 1%®^a l a n+l a l a ii+l再证充分性:1 1 1 L1 n a〔 aa 2 a 3a 3 a 4a n a n 1ai am②一①得:1 n 1 na n 1 a n 2 a a n 2 司 O n 1两边同以 a n a n 何得：a 1 (n 1)a n 1 na n 2 ........................ (3同理：a 〔 na n (n 1)a n 1 ③一④得：2na n 1n(a n a n 2)即：an 2 an 1 an 1 4 为等差数列 例2.设数列(a n )的前n 项和为S n ,试证(a n )为等差数列的充要条件是S n证：)若(a n )为等差数列，则11 1 L1 1 n 1 a〔 a a 2 a 3 a 3 a 4a n a n 1 a n 1 a n 2a〔 aa〔a n a2 a n 1 a3 a n 22S n (a i a n) (a2 a” 2) (a n a i)S n n(a i a n)2）当n>2时，由题设，S n 1(n 1)(a i2n(a i a n)2所以a n S n S n i响a?)2 (n i)(a i a ni)2同理有a n i(n i)(a 〔如)晌a”)2 2从而a n i a n (n i)(a i a ni) (n i)(a i a n i)n(a i a n)整理得：a n+i — a n=a n — a n i，对任意n> 2成立.从而（a n｝是等差数列.例3.已知数列a n是等比数列（S n 是其前n项的和，则S k, S2k S k, S3k S2k ,…，仍成等比数列。
数列专题4：证明等差等比数列
(文（1）理（2）)若数列an 唯一，求a的值； （文）（2）是否存在两个等比数列an , bn , 的等差数列？若存在，求 an , bn 的通项公式； 若不存在，说明理由。 使得b1 a1，b2 a2 , b3 a3 , b4 a4成公差不为0
（2011四川理）设d 为非零实数， 1 1 2 n n an C n d 2C n d 2 ( n 1)C n 1d n1 nC n d n n ( n N * ). (1)写出a1 , a2 , a3并判断 an 是否为等比数列.若是， 给出证明；若不是，说明理由； （2）设b n ndan ( n N * ), 求数列bn 的前n项和S n .
n
(1)求a3 , a4 , a5的值； （2）设c n a2 n1 a2 n 1 , n N * , 证明：cn 是等比数列 a2 k , k N * , Sk 7 证明： ( n N * ). a 6 k 1 k
3 1 例：数列an 中，a1 , an 2 ( n 2, n N ), 5 an 1 1 数列bn 满足bn = （n N ). an -1
(1)求证：数列bn 是等差数列； （2）求 an 中的最大项与最小项，并说明理由。
例：已知各项全不为零的数列an 的前n项和Sn， n(1 an ) Sn = , n N . 2 (1)求证：数列an 为等差数列。
变式训练 1 设 Sn 为数列{bn}的前 n 项和，且满足 b1＝1， 1 2bn 2＝1 (n≥2)．证明：数列 是等差数列，并求 bnSn－Sn Sn 数列{bn}的通项公式． 2bn 证明 由已知 2＝1 (n≥2)， bnSn－Sn
高中数学中的等差中项与等比中项公式推导
高中数学中的等差中项与等比中项公式推导简介：等差数列和等比数列广泛运用于高中数学中，可以用来解决很多实际问题。
在数列的运算过程中，等差数列的中项公式和等比数列的中项公式是必不可少的推理方法。
本文简要介绍了等差数列和等比数列的概念、性质和相关定理，并简单推导了等差数列中项公式和等比数列中项公式的推导过程。
希望读者在阅读本文后能够更加深入地理解中项公式的本质和应用。
一、等差数列与等比数列的基本概念与性质1.等差数列的基本概念和性质定义：若数列${a_1},{a_2}, \cdots,{a_n}, \cdots$ 具有公差$d$，则称该数列为等差数列。
等差数列的第 $n$ 项通项公式为${{a}_{n}}={{a}_{1}}+(n-1)d$。
性质：(1) 公差相等的等差数列，任意两项的差相等。
(2)若 ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{n}},\cdots $ 为等差数列，则 ${{a}_{n}}={{a}_{1}}+(n-1)d$，${{a}_{n-1}}={{a}_{1}}+(n-2)d$，$\cdots $，${{a}_{2}}={{a}_{1}}+d$。
(3) 等差数列的和公式：$$S_n={{\frac{a_1+a_n}{2}}}n=\frac{(a_1+a_1+(n-1)d)n}{2}=\frac{n{{(a_1+a_n)}}}{2}$$2.等比数列的基本概念和性质定义：若数列${a_1},{a_2}, \cdots,{a_n}, \cdots$ 具有公比$q$，则称该数列为等比数列。
等比数列的第 $n$ 项通项公式为${{a}_{n}}={{a}_{1}}{{q}^{n-1}}$。
性质：(1) 公比不等于零的等比数列，任意两项的比相等。
(2) 若 ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{n}},\cdots $ 为等比数列，则 ${{a}_{n}}={{a}_{1}}{{q}^{n-1}}$，${{a}_{n-1}}={{a}_{1}}{{q}^{n-2}}$，$\cdots $，${{a}_{2}}={{a}_{1}}q$。
等比数列的证明★
等比数列的证明★第一篇：等比数列的证明等比数列的证明数列an前n项和为Sn已知a1=1a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......)证明(1)(Sn/n)是等比数列(2)S(n+1)=4an1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn即nS(n+1)-nSn=(n+2)SnnS(n+1)=(n+2)Sn+nSnnS(n+1)=(2n+2)SnS(n+1)/(n+1)=2Sn/n即S/=2S1/1=A1=1所以Sn/n是以2为公比1为首项的等比数列2、由1有Sn/n是以2为公比1为首项的等比数列所以Sn/n的通项公式是Sn/n=1*2^(n-1)即Sn=n2^(n-1)那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)An=Sn-S(n-1)=n2^(n-1)-(n-1)2^(n-2)=n*2*2^(n-2)-(n-1)2^(n-2)=*2^(n-2)=(n+1)2^(n-2)=(n+1)*2^n/2^2=(n+1)2^n/4=S(n+1)/4所以有S(n+1)=4Ana(n)-a(n-1)=2(n-1)上n-1个式子相加得到：an-a1=2+4+6+8+.....2(n-1)右边是等差数列，且和=(n-1)/2=n(n-1)所以：an-2=n^2-nan=n^2-n+24、已知数列{3*2的N此方}，求证是等比数列根据题意，数列是3*2^n(^n表示肩膀上的方次),n=1,2,3,...为了验证它是等比数列只需要比较任何一项和它相邻项的比值是一个不依赖项次的固定比值就可以了.所以第n项和第n+1项分别是3*2^n和3*2^(n+1),相比之后有:/(3*2^n)=2因为比值是2,不依赖n的选择,所以得到结论.5数列an前n项和为Sn已知a1=1a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......)证明(1)(Sn/n)是等比数列(2)S(n+1)=4an1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn即nS(n+1)-nSn=(n+2)SnnS(n+1)=(n+2)Sn+nSnnS(n+1)=(2n+2)SnS(n+1)/(n+1)=2Sn/n即S/=2S1/1=A1=1所以Sn/n是以2为公比1为首项的等比数列2、由1有Sn/n是以2为公比1为首项的等比数列所以Sn/n的通项公式是Sn/n=1*2^(n-1)即Sn=n2^(n-1)那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)An=Sn-S(n-1)第二篇：证明等比数列证明等比数列记Cn=an*a(n+1)cn/c(n-1)=an*a(n+1)/an*a(n-1)=a(n+1)/a(n-1)=3a(2n-1)=3*a(2n-3)a(2n)=3*a(2n-2)bn=a(2n-1)+a(2n)=3*a(2n-3)+3*a(2n-2)=3(bn-1)因此bn/b(n-1)=3，所以bn为等比数列，公比为3。
高考数列基本题型六证明等差与等比数列
高考数列基本题型六.证明等差与等比数列1.（2022年全国甲卷）记S n为数列{a n}的前n项和．已知2S n n+n=2a n+1．(1)证明：{a n}是等差数列；(2)若a4,a7,a9成等比数列，求S n的最小值．【解答】解：(1)因为2S n n+n=2a n+1，即2S n+n2=2na n+n①，当n≥2时，2S n−1+(n−1)2=2(n−1)a n−1+(n−1)②，①−②得，2S n+n2−2S n−1−(n−1)2=2na n+n−2(n−1)a n−1−(n−1)，即2a n+2n−1=2na n−2(n−1)a n−1+1，即2(n−1)a n−2(n−1)a n−1=2(n−1)，所以a n−a n−1=1，n≥2且n∈N∗，所以{a n}是以1为公差的等差数列．(2)由（1）可得a4=a1+3，a7=a1+6，a9=a1+8，又a4，a7，a9成等比数列，所以a72=a4⋅a9，即(a1+6)2=(a1+3)⋅(a1+8)，解得a1=−12，所以a n=n−13，所以S n=−12n+n(n−1)2=12n2−252n=12�n−252�2−6258，所以，当n=12或n=13时(S n)min=−78．2．（2019•新课标Ⅱ）已知数列{a n}和{b n}满足a1＝1，b1＝0，4a n+1＝3a n﹣b n+4，4b n+1＝3b n ﹣a n﹣4．（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n﹣b n}是等差数列；（2）求{a n}和{b n}的通项公式．【解答】解：（1）证明：∵4a n+1＝3a n﹣b n+4，4b n+1＝3b n﹣a n﹣4；∴4（a n+1+b n+1）＝2（a n+b n），4（a n+1﹣b n+1）＝4（a n﹣b n）+8；即a n+1+b n+1=12（a n+b n），a n+1﹣b n+1＝a n﹣b n+2；又a1+b1＝1，a1﹣b1＝1，∴{a n+b n}是首项为1，公比为12的等比数列，{a n﹣b n}是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）可得：a n+b n＝（12）n﹣1，a n﹣b n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；∴a n＝（12）n+n−12，b n＝（12）n﹣n+12．3．（2018•新课标Ⅰ）已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n=aa nn nn．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，则：aa nn+1nn+1aa nn nn=2（常数），由于bb nn=aa nn nn，故：bb nn+1bb nn=2，数列{b n}是以b1为首项，2为公比的等比数列．整理得：bb nn=bb1⋅2nn−1=2nn−1，所以：b1＝1，b2＝2，b3＝4．（2）数列{b n}是为等比数列，由于bb nn+1bb nn=2（常数）；所以：数列{b n}是以b1为首项，2为公比的等比数列．（3）由（1）得：bb nn=2nn−1，根据bb nn=aa nn nn，所以：aa nn=nn⋅2nn−1．4．（2021•乙卷）记S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知2SS nn+1bb nn=2．（1）证明：数列{b n}是等差数列；（2）求{a n}的通项公式．【解答】解：（1）证明：当n＝1时，b1＝S1，由2bb1+1bb1=2，解得b1=32，当n≥2时，bb nn bb nn−1=S n，代入2SS nn+1bb nn=2，消去S n，可得2bb nn−1bb nn+1bb nn=2，所以b n﹣b n﹣1=12，所以{b n}是以32为首项，12为公差的等差数列．（2）由题意，得a1＝S1＝b1=32，由（1），可得b n=32+（n﹣1）×12=nn+22，由2SS nn+1bb nn=2，可得S n=nn+2nn+1，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1=nn+2nn+1−nn+1nn=−1nn(nn+1)，显然a1不满足该式，所以a n=�32，nn=1−1nn(nn+1)，nn≥2．5．（2021•甲卷）已知数列{a n}的各项均为正数，记S n为{a n}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{a n}是等差数列；②数列{�SS nn}是等差数列；③a2＝3a1．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【解答】解：选择①③为条件，②结论．证明过程如下：由题意可得：a2＝a1+d＝3a1，∴d＝2a1，数列的前n项和：SS nn=nnaa1+nn(nn−1)2dd=nnaa1+nn(nn−1)2×2aa1=nn2aa1，故�SS nn−�SS nn−1=nn√aa1−(nn−1)√aa1=√aa1（n≥2），据此可得数列{�SS nn}是等差数列．选择①②为条件，③结论：设数列{a n}的公差为d，则：�SS1=√aa1，�SS2=�aa1+(aa1+dd)=�2aa1+dd，�SS3=�aa1+(aa1+dd)+(aa1+2dd)=�3(aa1+dd)，数列{�SS nn}为等差数列，则：�SS1+�SS3=2�SS2，即：(√aa1+�3(aa1+dd))2=(2�2aa1+dd)2，整理可得：d＝2a1，∴a2＝a1+d＝3a1．选择③②为条件，①结论：由题意可得：S2＝a1+a2＝4a1，∴�SS2=2√aa1，则数列{�SS nn}的公差为dd=�SS2−�SS1=√aa1，通项公式为：�SS nn=�SS1+(nn−1)dd=nn√aa1，据此可得，当n≥2时，aa nn=SS nn−SS nn−1=nn2aa1−(nn−1)2aa1=(2nn−1)aa1，当n＝1时上式也成立，故数列的通项公式为：a n＝（2n﹣1）a1，由a n+1﹣a n＝[2（n+1）﹣1]a1﹣（2n﹣1）a1＝2a1，可知数列{a n}是等差数列．6．（2017•新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2＝2，S3＝﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．【解答】解：（1）设等比数列{a n}首项为a1，公比为q，则a3＝S3﹣S2＝﹣6﹣2＝﹣8，则a1=aa3qq2=−8qq2，a2=aa3qq=−8qq，由a1+a2＝2，−8qq2+−8qq=2，整理得：q2+4q+4＝0，解得：q＝﹣2，则a1＝﹣2，a n＝（﹣2）（﹣2）n﹣1＝（﹣2）n，∴{a n}的通项公式a n＝（﹣2）n；（2）由（1）可知：S n=aa1(1−qq nn)1−qq=−2[1−(−2)nn]1−(−2)=−13[2+（﹣2）n+1]，则S n+1=−13[2+（﹣2）n+2]，S n+2=−13[2+（﹣2）n+3]，由S n+1+S n+2=−13[2+（﹣2）n+2]−13[2+（﹣2）n+3]=−13[4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×（﹣2）n+1]，=−13[4+2（﹣2）n+1]＝2×[−13（2+（﹣2）n+1）]＝2S n，即S n+1+S n+2＝2S n，∴S n+1，S n，S n+2成等差数列．7．（2022年北京）已知Q:a1,a2,⋯,a k为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的n∈{1,2,⋯,m}，在Q中存在a i,a i+1,a i+2,⋯,a i+j(j≥0)，使得a i+a i+1+a i+2+⋯+a i+j=n，则称Q为m−连续可表数列．(1)判断Q:2,1,4是否为5−连续可表数列？是否为6−连续可表数列？说明理由；(2)若Q:a1,a2,⋯,a k为8−连续可表数列，求证：k的最小值为4；(3)若Q:a1,a2,⋯,a k为20−连续可表数列，且a1+a2+⋯+a k<20，求证：k≥7．【解答】解：(1)a2=1，a1=2，a1+a2=3，a3=4，a2+a3=5，所以Q是5−连续可表数列；易知，不存在i,j使得a i+a i+1+⋯+a i+j=6，所以Q不是6−连续可表数列．(2)若k≤3,设为Q:a,b,c,则至多a+b,b+c,a+b+c,a,b,c，6个数字，没有8个，矛盾；当k=4时,数列Q:1,4,1,2，满足a1=1，a4=2，a3+a4=3，a2=4，a1+a2=5，a1+a2+ a3=6，a2+a3+a4=7，a1+a2+a3+a4=8，∴k min=4．(3)Q:a1,a2,⋯,a k，若i=j最多有k种，若i≠j，最多有C k2种，所以最多有k+C k2=k(k+1)2种，若k≤5，则a1,a2,…,a k至多可表5(5+1)2=15个数，矛盾,从而若k<7,则k=6，a,b,c,d,e,f至多可表6(6+1)2=21个数，而a+b+c+d+e+f<20，所以其中有负的，从而a,b,c,d,e,f可表1~20及那个负数（恰21个），这表明a~f中仅一个负的，没有0，且这个负的在a~f中绝对值最小，同时a~f中没有两数相同,设那个负数为−m(m≥1)，则所有数之和≥m+1+m+2+⋯+m+5−m=4m+15，4m+15≤19⇒m=1，∴{a,b,c,d,e,f}={−1,2,3,4,5,6}，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足20个，∵1=−1+2（仅一种方式），∴−1与2相邻，若−1不在两端,则"x , -1 , 2 , __,__,__"形式，若x=6，则5=6+(−1)（有2种结果相同，方式矛盾），∴x≠6，同理x≠5,4,3，故−1在一端，不妨为"−1 ,2, A, B, C, D"形式，若A=3,则5=2+3（有2种结果相同，矛盾），A=4同理不行，A=5，则6=−1+2+5（有2种结果相同，矛盾），从而A=6，由于7=−1+2+6,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能−1,2,6,3,5,4，①或−1,2,6,4,5,3，②这2种情形，对①：9=6+3=5+4，矛盾，对②：8=2+6=5+3，也矛盾，综上k≠6∴k≥7．。
等差等比数列的证明
（2）
证明
an 2n
为等差数列，并求an
第七课时B组
8.已知数列an 的前n项和为Sn，Sn
=
1 3
(an
1)
（1）求a1、a2 .
（2）求证：数列an 是等比数列
等差、等比的计算问题的常用方法
方法1、利用等差、等比的性质 方法2、利用基本量（解方程组）
项(an)的性质： an=am+(n-m)d 任两项的关系式
am+an=ap+aq(m+n=p+q)角标和性质
和(Sn)的性质： Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m , 成等差
Sn与项an的关系：
重点回顾
数列
等差数列
等比
定义 通项公式
an+1-an=d 或 an-an-1=d
an= a1+(n-1)d
前n项和
性质 和Sn与项an 的关系
aanm=+ama+n(=n-amp)+d aq(m+n=p+q)
等差、等比数列的证明
1、定义法 an+1 - an=d 或 an-an-1=d
2、中项法 2an=an-1+an+1 (n>1)
3、通项公式法 an=pn+q(关于n的一次函数)
4、前n项和法 Sn=An2+Bn
等差、等比数列的证明 一、等差数列的证明
例1 已知数列an的前n项和为Sn=3n2 -2n， 证明数列an 成等差数列，并求其首项、
公差、通项公式
第四课时拓展延伸（2015新课标全国卷）
设Sn是数列an的前n项和，且a1= -1
an+1
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第52炼 等差等比数列的证明在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。
一、基础知识：1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列 （1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差），1n na q a +=（等比）（2）通项公式：n a k n m =+（等差），()0nn a k q q =⋅≠（等比）（3）前n 项和：2n S A n B n =+（等差），nn S kq k =-（等比）（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列： （1）通常利用定义法，寻找到公差（公比）（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N *∀∈，均有：122n n n a a a ++=+ （等差） 212n n n a a a ++=⋅ （等比）二、典型例题：例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521n n n a a a n N a *+==∈+．求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列 思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在1na 这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：113121213n n n n n na a a a a a +++=⇒=+即112133n na a +=+，在考虑构造“1-”：112111111333n nn a a a +⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭即数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列思路二：代入法：将所证数列视为一个整体，用n b 表示：11n nb a =-，则只需证明{}n b 是等比数列即可，那么需要关于n b 的条件（首项，递推公式），所以用n b 将n a 表示出来，并代换到n a 的递推公式中，进而可从n b 的递推公式出发，进行证明 解：令11n nb a =-，则11n n a b =+∴递推公式变为：11311311113211n n n n n b b b b b +++=⇒=+++⋅++1113333n n n n b b b b ++⇒+=+⇒={}n b ∴是公比为13的等比数列。
即数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列 小炼有话说：（1）构造法：在构造的过程中，要寻找所证数列形式的亮点，并以此为突破对递推公式进行变形，如例1中就是抓住所证数列有一个“倒数”的特点，进而对递推公式作取倒数的变换。
所以构造法的关键之处在于能够观察到所证数列显著的特点并加以利用（2）代换法：此方法显得模式化，只需经历“换元→表示→代入→化简”即可，说两点：一是代换11n nb a =-体现了两个数列{}{},n n a b 的一种对应关系，且这种对应是同序数项的对应（第n 项对应第n 项）；二是经过代换，得到{}n b 的递推公式，而所证n b 是等比数列，那么意味着其递推公式经过化简应当形式非常简单，所以尽管代入之后等式复杂，但坚定地化简下去，通常能够得到一个简单的答案。
个人认为，代入法是一个比较“无脑”的方法，只需循规蹈矩按步骤去做即可。
例2：数列{n a }的前n 项和为n S ，2131(*)22n n S a n n n N +=--+∈（*）．设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列，并求出{}n a 的通项公式思路：本题所给等式,n n S a 混合在一起，可考虑将其转变为只含n a 或只含n S 的等式，题目中n n b a n =+倾向于项的关系，故考虑消掉n S ，再进行求解解：213122n n S a n n +=--+ ①()()()211131112,22n n S a n n n n N --+=----+≥∈ ②∴①- ②可得：112121n n n n a a n a a n ---=--⇒=--()()()1112112n n n n a n a n a n a n --∴+=+-⇒+=+-⎡⎤⎣⎦ 即112n n b b -={}n b ∴是公比为12的等比数列 111b a =+ 令1n = 代入（*）可得：11131122S a +=--+=- 112a ∴=- 112b ∴=111122n n n b b -⎛⎫⎛⎫∴=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 12nn n a b n n ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭小炼有话说：（1）遇到,n n S a 混合在一起的等式，通常转化为纯n a （项的递推公式）或者纯n S （前n 项和的递推公式），变形的方法如下：① 消去n S ：向下再写一个关于1n S -的式子（如例2），然后两式相减（注意n 取值范围变化） ② 消去n a ：只需1n n n a S S -=-代换即可（2,n n N ≥∈）（2）,n n S a 混合在一起的等式可求出1a ，令1n =即可（因为11S a =）（3）这里体现出n n b a n =+的价值：等差等比数列的通项公式是最好求的：只需一项和公差（公比），构造出等差等比数列也就意味这其通项可求，而通过n n b a n =+也可将n a 的通项公式求出。
这里要体会两点：一是回顾依递推求通项时，为什么要构造等差等比数列，在这里给予了一个解释；二是体会解答题中这一问的价值：一个复杂的递推公式，直接求其通项公式是一件困难的事，而在第一问中，恰好是搭了一座桥梁，告诉你如何去进行构造辅助数列，进而求解原数列的通项公式。
所以遇到此类问题不要只停留在证明，而可以顺藤摸瓜将通项一并求出来例3：已知数列{}n a 满足：1116,690,n n n a a a a n N *--=-+=∈且2n ≥，求证：13n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列 解：设13n n b a =-，则13n na b =+代入11690n n n a a a ---+=可得：11111336390n n n b b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111133691890n nn n n b b b b b ---⇒+++--+=111330n nn nb b b b --⇒-+=113n n b b -⇒-={}n b ∴为等差数列，即13n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列例4：已知曲线:1C xy =，过C 上一点(),n n n A x y 作一斜率为12n n k x =-+的直线交曲线C于另一点()111,n n n A x y +++（1n n x x +≠且0n x ≠，点列{}n A 的横坐标构成数列{}n x ，其中1117x =.（1）求n x 与1n x +的关系式； （2）令1123n n b x =+-，求证：数列{}n b 是等比数列；解：（1）曲线1:C y x=()1:2n nn l y y xx x -=--+()11111121n n n n n n n nny x y y x x x y x ++++⎧=⎪⎪⎪∴-=--⎨+⎪⎪=⎪⎩12n n n x x x +∴=+（2）11121233n n n n b x x b =+⇒=+--，代入到递推公式中可得：11112222111333n n n b b b +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭11111112211111133422=411133333333n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b +++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⇒++-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭---()()11111211444439339n n n n n n n n n b b b b b b b b b +++++⇒+++=-+-++()()1112433n n n n n b b b b b +++⇒+=-+12n n b b +⇒=- {}n b ∴是公比为2-的等比数列小炼有话说：本题（2）用构造法比较复杂，不易构造出n b 的形式，所以考虑用代入法直接求解例5：已知数列{}n a 满足()()1146410,21nn n a n a a a n N n *++++==∈+，判断数列221n a n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出n a 解：设()221221n n n n a b a n b n +=⇒=+-+代入到()14641021nn n a n a n ++++=+可得：()()()14621241023221n n nn b n nb n +++-++⎡⎤⎣⎦+-=+()()()()123214222321812410n n n n b n n n b n n +⇔++--=++--++()()()()1232122321n n n n b n n b +⇔++=++12n n b b +⇔=而112233a ab ++==∴① 2a =-时，10b =，{}n b 不是等比数列② 2a ≠-时，{}n b 是等比数列，即221n a n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等比数列 11222213n n a a n -++∴=⋅+ ()()1221223n n a n a -++∴=⋅-例6：（2015山东日照3月考）已知数列{}n a 中，111,1,33,n n na n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数 ，求证：数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列 思路：所证数列为232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，可发现要寻找的是{}n a 偶数项的联系，所以将已知分段递推关系转变为2n a 与()21n a -之间的关系，再进行构造证明即可证明：由11,33,n n na n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数可得： ()2211213n n a a n -=+- ()2122322n n a a n --=-⋅-()2221322213n n a a n n -∴=--+-⎡⎤⎣⎦ 22222112221133n n n a a n n a --∴=-++-=+222223111323232n n n a a a --⎛⎫∴-=-=- ⎪⎝⎭∴数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列 例7：（2015湖北襄阳四中阶段性测试）已知数列{}n a 满足11a =，且对任意非负整数(),m n m n >均有： ()22112m n m n m n a a m n a a +-++--=+（1）求02,a a（2）求证：数列{}1m m a a +-是等差数列，并求出n a 的通项公式 解：（1）令m n =可得：202011m m a a a a +-=⇒=再令0n =可得：()201212m m a m a a +-=+2423m m a a m ∴=+- 21413a a ∴=-= 021,3a a ∴==（2）思路：考虑证明数列{}1m m a a +-是等差数列，则要寻找1m m a a +-，1m m a a --的关系，即所涉及项为11,,m m m a a a +-，结合已知等式令1n =，利用（1）中的2423m m a a m =+-，将2m a 代换为m a 即可证明，进而求出通项公式 证明：在()22112m n m n m n a a m n a a +-++--=+中令1n =得：()1122122m m m a a m a a +-++-=+11222224m m m a a m a a +-∴++-=+由（1）得22423,3m m a a m a =+-=代入可得：11222442m m m a a m a m +-∴++-=+()()1111222m m m m mm m a a a a a a a +-+-∴+-=⇒---=∴数列{}1m m a a +-是公差为2的等差数列()()121212m m a a a a m m +∴-=-+-= ()121m m a a m -∴-=-()-1222m m a a m --=-212a a -=()()121211m a a m m m ∴-=+++-=-⎡⎤⎣⎦()11m a m m ∴=-+例8：（2010 安徽，20）设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0，求证：{}n a 是等差数列的充分必要条件是：对n N *∀∈都有1223111111n n n n a a a a a a a a +++++=思路：证明充要条件要将两个条件分别作为条件与结论进行证明，首先证明必要性，即已知等差数列证明恒等式。