从用《几何画板》教双曲线谈起

从用《几何画板》教双曲线谈起

1、把制作的过程告诉学生

本学期开学初，我用全国中小学计算机教育研究中心推荐的《几何画板》软件上了一堂平面解析几何课．一上课，我首先把课件制作的过程告诉学生：

（1）在平面上，作线段21F F ，“测算”（“测算”是该软件中的“菜单项”，以下同）其

长度．定义为2c ．

（2）在同一平面上作一条直线L ，在上面取两点A 、M ．

（3）“构造”线段AM ，“测算”其长度，定义为r 1．

（4）以线段AM 为半径，以点F 1为圆心，“构造”圆C 1．

（5）在直线L 上再取一点B ，使其在M 的右侧，且使AB ＞21F F ．

（6）“构造”线段BM ，“测算”其长度，定义为r 2；“构造”线段AB ，“测算”其长度，

定义为2a ．

（7）以线段BM 为半径，2F 为圆心“构造”圆2C ．

（8）C 1与2C 交于P 、P '；“构造”线段PF 1、PF 2（提示：｜1PF ｜= ｜AM ｜，｜PF 2｜

= BM ），并选择“跟踪” P 、P '．

（9）拖动点M 在L 上运动，出现点P 的轨迹是椭圆．

学生：“？”，这不是椭圆吗？今天老师不是讲双曲线吗？继续拖动点M ，使M 在B 的右侧，出现两圆1C 与2C 不相交（如图1）．

老师：两圆C 1与C 2为什么不相交？两圆相交的条件是什么？

……

师，生：两圆相交的条件是两圆的连心线F F 12的长小于两半径的和而大于两半径的差｜AB ｜．

现在连心线F F 12的长小于两半径的

和｜AM ｜+｜BM ｜，但不大于两半径

的差｜MA ｜－｜MB ｜．

老师：两半径的差是多少？

学生：两半径的差是｜AB ｜．

老师：怎样使两圆相交呢？

学生：改变A ，B 间的距离，使｜AB ｜

＜｜F F 12｜（教师拖动点B ，使B 到A 的距离｜AB ｜（2a ）小于｜F F 12｜(2c )，此刻两圆开始相交，又出现点P 、P ’．

老师：（不要立即拖动点M ，否则会出现“双曲线”的一部分）点P 满足的几何条件是什么？

学生：（很容易）｜MA ｜－｜MB ｜＝｜AB ｜是定值．

教师缓缓拖动点M ，出现双曲线的右支（学生：这不是“单曲线”吗？），再拖动点M ，使其在点Ａ的左侧，出现双曲线的左支．这就是我们要研究的“双曲线”．提问：什么叫双曲线？

学生：平面上一个动点到两个定点的距离的差的绝对值是一个定值，且这个定值小于两定点间的距离的点的轨迹．

这堂课是“双曲线”这一节的第一课时，目的是让学生完成“双曲线”概念的构建、“双曲线”标准方程的推导．

2、建构主义理论指导下的媒体运用

“建构主义”理论是近代国际教育改革探索中的新理论，吸取了近几十年来哲学、心理学、思维科学、教育领域的新成果，结合教学的基本性质和特点，对各科教学作出全面的阐述，成为教育理论和实际教学的指导性理论．建构主义理论的核心即认为“知识不是被动接受的，而是认知主体积极建构的”．建构主义认为，虽然学生学习的数学都是前人已经建造好了的，但对学生来说，仍是全新的、未知的，需要每个人再现类似的创造过程来形成，即用学生自己的活动对人类已有的数学知识构建起自己的正确理解，这应该是学生亲身参与的充满丰富、生动的概念或思维活动的组织过程．

随着计算机的日益普及，以多媒体计算机为核心的辅助教学也日益兴起，各种类型的教学软件也不断出现．但是任何一种新的教育技术、教学手段的运用，无不受着教育思想、教育理论的支配．如果把过去的老师一支笔、一张嘴、一块黑板的“满堂灌”变成计算机的“满堂灌”，计算机成了放像机，教师成了“放映员”，这是对计算机辅助教学的误解．开始也许因新鲜，出现过提高学习兴趣的假像，时间一长，学生会讨厌这种教学，因为你又通过另一种手段加重了学生的负担．这不是教育的改革．笔者在“双曲线”这堂课的教学中，事先并没有制作好课件，而是把制作的过程展现在学生面前，力图正确利用《几何画板》这一优秀软件，通过这一“过程”来让学生完成“双曲线”的“意义建构”．整个过程有停顿、有沉默，决不把教师的认识强加给学生，始终让学生处于认知的“主体”地位．学生的思维得到了发展，观察能力、归纳能力得到提高；概念的理解更加准确、完整；知识间的联系建立；印象也更加深刻．

笔者从事数学教学二十六年，教过十几次“双曲线”．总是用一根拉链演示以下，形成“双曲线”的一支，告诉学生调换固定拉链的图钉又有另一支，就开始给“双曲线”下定义，推导标准方程，……．学生感觉不出为什么要｜P 1F ｜－｜P F 2｜＜｜21F F ｜，尤其对定义中的“绝对值”印象不深；学生也感觉不出椭圆与双曲线的联系；AB ＜｜21F F ｜，AB ＞｜21F F ｜，AB =｜21F F ｜会引起什么变化，缺乏感性认识．到了高三，甚至高考时也不能

立即辨认｜z ＋i ｜＋｜z －i ｜=2所表示的是一条线段（高考题）；

a c 的大小变化对双曲线开口的影响虽然课本上有过证明，但印象不深．有了《几何画板》的动态操作，这一切都变得方便快捷，形象、生动．这一节课除弄清了以上几个问题外，也完成了标准方程的推导．由于加强了双曲线与椭圆的联系，有一部分同学课后提出平面上，到两个定点距离的积（或商）是一个常数时，这个动点的轨迹是什么．用《几何画板》立即进行了“实验”，同学们得到了满意的回答，思维得到发展，素质得到提高．

3、学习建构主义理论，理解《几何画板》，用好《几何画板》

“没有实践的理论是空洞的理论，没有理论指导的实践是盲目的实践”．建构主义理论随着计算机和网络技术的飞速发展越来越显示出强大的生命力．建构主义理论把“情景”、“协作”、“会话”、“意义建构”作为学习的四大要素或四大属性．

“情景”即要求学习环境中的情景必须有利于学生对所学内容的“意义建构”．《几何画板》提供了一个“数学实验”、“做数学”的环境，是建构主义理想的学习媒体．数学中有许多需要反复比较、仔细观察、认真体会才能发现的数量关系；有各种各样的情况需要考虑；各种各样的概念的形成过程需要暴露．用《几何画板》可以把概念的形成过程暴露出来；随时看到各种情形下的数量关系的变化或不变；它可以把“形”和“数”的潜在关系及其变化动态的显现在屏幕上．而且这个过程可以根据需要进行控制．是进行探索、验证的好帮手，是创设“情景”的极好工具．学生通过用《几何画板》制作的过程，比较的过程，产生他的经验体系，完成他的认知．笔者曾与学生、同事讨论过一个简单而有趣的问题：△ABC 的边BC 固定，点A 在定圆上运动，判断它的外心轨迹的形状．有的认为还是圆，有的认为应该是线段．用《几何画板》一实验，发现是“线段”（如图2）．在意料之中呀——不会脱离BC 的垂直平分线！认为是线段的这部分同学很高兴．当把点B 拖入圆内时，外心O 的轨迹却是直线！同学们不敢再说话．忽然一个同学说：“噢，我知道了，把点B 、C 都拖入圆内时，外心的轨迹会是射线．”我问他为什么？他说，线段、直线都有了，还差（缺）射线呀？看来他对化学中的门捷列夫周期表很熟悉，还有一个空格应该由射线这个“元素”来填呀．这样的结论看来已经很“完美”了，但是，即使点B 、C 都拖到圆外，外心的轨迹也可能是射线（BC 与圆相交）！这样的“情景”，怎样的效果！直线的倾斜角、直线的斜率，以及当直线在平面上绕一点转

动时其斜率如何变化，也是一个学生容易出错的问题．利用《几何画板》就可以把它们的变动情况以及数量关系都显示在屏幕上，不

用老师开口，同学们就会发现：当直线绕定点逆时针旋转（不绕过垂直于x 轴）时，斜率总是在增大．同一个屏幕上，还显示了函数

k =tg α，α∈[0，π)的图象，又从“形”的角度认识斜率与倾斜角

间的数量关系．相信一定会减少解不等式－1< tg α<1[α∈[0，π)]

所出现的错误． 图2

“协作”对学习资料的收集与分析、假设的提出与验证、学习成果的评价，乃至意义的最终建构都有着重要的作用，应该发生在学习过程的始终．《几何画板》作为计算机辅助教学的软件，可以对学习的成果进行存储，以便再认识、再探索、再实验．与学习者有很好的“协作”功能．课堂上一次不能完成的认识，课后可以到“电子阅览室”，教室的讲台旁（我校高中教室都配有“奔腾”多媒体计算机、大屏幕投影仪，学校有网络电子阅览室）再进行研究、交流、探讨．三角函数y =Ａsin(ωx +φ)的图象的教学一直是一个难点．传统的教学，往往就一、两个ω的值（如ω＝2，ω=2

1）作出它们的图象就开始归纳．列表描点，没有动态的演示，没有更多的比较、更多的探索．而《几何画板》与您可以很好的“协作”，容许你对一切想探试的值进行探试，来加深对这一问题的认识．由于计算机强大的计算功能，容许你有一些“怪异”的想法．在极坐标方程ρ＝2a cos(n θ)（a 、n 为非零常数）中，当n 为奇数时，是n 叶玫瑰线，当n 为偶数时，是2n 叶玫瑰线．“调皮”的学生给一个让你为难的值n =3.5，啊，重瓣的玫瑰，“数学美”立马展现在你的面前．再给n =20怎么样，“孔雀开屏”；再给n =1.1，1.01，1.001…，这不是圆吗？再给n =0.1，0.01，0.001，…，为什么还是圆，圆心到了极点．极限得到运用，知识间的联系建立．计算机任你“摆布”，多好的“伙伴”．

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