正交试验的方差分析法
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3.3正交试验方差分析
A6 ＝
1（y1 3
y22
7
格式 8＝
13（K12
3 K32 2
y3）2 （y4 3y5
K 3 2）-
T2 9
1 2
y6）2 1（y7 3 1
y8
2y9）2 2 3
（y1yy62 y7 y8
9
...
y水9）平2（修3次正重项） 复测定值
9
3
3
2
1
y9
分析第1列因素时，其它列暂不考虑，将其看做条件因因素素A。第3
i
(6-2)
i i
(6-3)
则
xij i ij
(6-4)
其中 μ表示全试验观测值总体的平均数；
上一张 下一张 主 页 退 出
偏差平方和
kn
SST
(xij x.. ) 2
因为
i1 j 1
k n
kn
(xij x..)2
(xi. x..) (xij xi.) 2
SST ＝ xi2－ i＝1
i＝1
n
n
SS
j
＝1 r
m i＝1
K
ij
（
－ 2
i＝1
x n
i
）2
（j ＝1，2，...，k）
试验总次数为n，每个因素水平数为
m个，每个水平作r次重复r＝n/m。
当m＝2时， SSj＝ n1（K1j - K2j）2（j＝1，2，...，k）
总自由度：
dfT＝n-1
i1 j1
i1 j1
k n
(xi. x..)2 2(xi. x..)(xij xi.) (xij xi.)2
(整理)正交试验结果的方差分析方法
正交试验结果的方差分析方法计算公式和项目试验指标的加和值=,试验指标的平均值与表4-13一样，第j列的(1) I j”水平所对应的试验指标的数值之和(2) II j——“ 2”水平所对应的试验指标的数值之和(3)……(4) k j——同一水平出现的次数。
等于试验的次数除以第j列的水平数.(5)I j/k j——“水平所对应的试验指标的平均”(6)II j/k j——“2”水平所对应的试验指标的平均值(7)……以上各项的计算方法，与“极差法”同，见4.1.7节(8)偏差平方和(4-1)(9) fj ——自由度.fj第j列的水平数－1.(10）Vj——方差.Vj =Sj/fj(4-2)（11）Ve——误差列的方差。
(4-3)（12）Fj——方差之比(4-4)（13）查F分布数值表（见附录6），做显著性检验。
显著性检验结果的具体表示方法与第3章相同。
（14）总的偏差平方和(4-5) （15）总的偏差平方和等于各列的偏差平方和之和。
即(4-6) 式中，m为正交表的列数。
若误差列由5个单列组成，则误差列的偏差平方和S e等于5个单列的偏差平方和之和,即：S e=S e1+S e2+S e3+S e4+S e5；也可用S e= S总－S’来计算，其中：S’为安排有因素或交互作用的各列的偏差平方和之和应引出的结论。
与极差法相比，方差分析方法可以多引出一个结论：各列对试验指标的影响是否显著，在什么水平上显著。
在数理统计上，这是一个很重要的问题。
显著性检验强调试验误差在分析每列对指标影响中所起的作用。
如果某列对指标的影响不显著，那么，讨论试验指标随它的变化趋势是毫无意义的。
因为在某列对指标的影响不显著时，即使从表中的数据可以看出该列水平变化时，对应的试验指标的数值也在以某种“规律”发生变化，但那很可能是由于实验误差所致，将它作为客观规律是不可靠的。
有了各列的显著性检验之后，最后应将影响不显著的交互作用列与原来的“误差列”合并起来，组成新的“误差列”，重新检验各列的显著性。
(整理)正交试验结果的方差分析方法
正交试验结果的方差分析方法计算公式和项目试验指标的加和值=,试验指标的平均值与表4-13一样，第j列的(1) I j”水平所对应的试验指标的数值之和(2) II j——“ 2”水平所对应的试验指标的数值之和(3)……(4) k j——同一水平出现的次数。
等于试验的次数除以第j列的水平数.(5)I j/k j——“水平所对应的试验指标的平均”(6)II j/k j——“2”水平所对应的试验指标的平均值(7)……以上各项的计算方法，与“极差法”同，见4.1.7节(8)偏差平方和(4-1)(9) fj ——自由度.fj第j列的水平数－1.(10）Vj——方差.Vj =Sj/fj(4-2)（11）Ve——误差列的方差。
(4-3)（12）Fj——方差之比(4-4)（13）查F分布数值表（见附录6），做显著性检验。
显著性检验结果的具体表示方法与第3章相同。
（14）总的偏差平方和(4-5) （15）总的偏差平方和等于各列的偏差平方和之和。
即(4-6) 式中，m为正交表的列数。
若误差列由5个单列组成，则误差列的偏差平方和S e等于5个单列的偏差平方和之和,即：S e=S e1+S e2+S e3+S e4+S e5；也可用S e= S总－S’来计算，其中：S’为安排有因素或交互作用的各列的偏差平方和之和应引出的结论。
与极差法相比，方差分析方法可以多引出一个结论：各列对试验指标的影响是否显著，在什么水平上显著。
在数理统计上，这是一个很重要的问题。
显著性检验强调试验误差在分析每列对指标影响中所起的作用。
如果某列对指标的影响不显著，那么，讨论试验指标随它的变化趋势是毫无意义的。
因为在某列对指标的影响不显著时，即使从表中的数据可以看出该列水平变化时，对应的试验指标的数值也在以某种“规律”发生变化，但那很可能是由于实验误差所致，将它作为客观规律是不可靠的。
有了各列的显著性检验之后，最后应将影响不显著的交互作用列与原来的“误差列”合并起来，组成新的“误差列”，重新检验各列的显著性。
第三章 正交试验设计(2)-正交试验数据方差分析和贡献率分析
Hubei Automotive Industries Institute
试验优化设计
主讲：刘建永
材 料 工 程 系 Department of Materials Engineering
第三章 正交试验设计
正交试验数据 方差分析与贡献率分析
正交试验结果的方差分析
1.离差平方和的计算
总离差平方和：
项目 因素A 因素B 因素C 误差 总和
平方和SS SSA SSB SSC SSE SST
自由度DF a－ 1 a－ 1 a－ 1 a－ 1 n－1
纯平方和 SSA－ fA×MSE SSB－ fB×MSE SSC－ fC×MSE fT×MSE SST
贡献率 ρA ρB ρC ρE
其中： 纯平方和＝ SS因－ f因×MSE 贡献率ρ因等于纯平方和与SST的比值 贡献率最大的几个因素是重要因素，与误差贡献率差不多的认为不 重要。
μ 3.2 的 1 − α 置信区间为： μ 3.2± t1−α / 2 ( f e′)σ / ne ˆ ˆ
′ ˆ 这里 σ = S e / f e′ ， ′ S e = S e + 不显著因子的平方和， f e′ = f e + 不显著因子的自由度，
ne = 试验次数 1 + 显著因子自由度之和
n e = 9 /( 1 + f A + f C ) = 9 / 5 = 1 . 8 ， ′ S e = S e + S B=132 ， f ′ = f + f =4 ，
y 31 54 38 53 49 42 57 62 64 T=450 yi2 =23484 ST=984
∑
方差分析表 把上述计算表中得到的平方和与自由度移至一张方差分 析表中继续进行计算。 例 3.3 的方差分析表 来源 平方和 S 自由度 f 均方和 MS 因子 A 因子 B 因子 C 误差 e T 618 114 234 18 984 2 2 2 2 8 309 57 117 9 F比 34.33 6.33 13.00
试验优化设计
主讲：刘建永
材 料 工 程 系 Department of Materials Engineering
第三章 正交试验设计
正交试验数据 方差分析与贡献率分析
正交试验结果的方差分析
1.离差平方和的计算
总离差平方和：
项目 因素A 因素B 因素C 误差 总和
平方和SS SSA SSB SSC SSE SST
自由度DF a－ 1 a－ 1 a－ 1 a－ 1 n－1
纯平方和 SSA－ fA×MSE SSB－ fB×MSE SSC－ fC×MSE fT×MSE SST
贡献率 ρA ρB ρC ρE
其中： 纯平方和＝ SS因－ f因×MSE 贡献率ρ因等于纯平方和与SST的比值 贡献率最大的几个因素是重要因素，与误差贡献率差不多的认为不 重要。
μ 3.2 的 1 − α 置信区间为： μ 3.2± t1−α / 2 ( f e′)σ / ne ˆ ˆ
′ ˆ 这里 σ = S e / f e′ ， ′ S e = S e + 不显著因子的平方和， f e′ = f e + 不显著因子的自由度，
ne = 试验次数 1 + 显著因子自由度之和
n e = 9 /( 1 + f A + f C ) = 9 / 5 = 1 . 8 ， ′ S e = S e + S B=132 ， f ′ = f + f =4 ，
y 31 54 38 53 49 42 57 62 64 T=450 yi2 =23484 ST=984
∑
方差分析表 把上述计算表中得到的平方和与自由度移至一张方差分 析表中继续进行计算。 例 3.3 的方差分析表 来源 平方和 S 自由度 f 均方和 MS 因子 A 因子 B 因子 C 误差 e T 618 114 234 18 984 2 2 2 2 8 309 57 117 9 F比 34.33 6.33 13.00
正交试验的方差分析法
C×D
B×D A×D
A
B A×B C A×C D A×D
C×D
B×D
B×C
A
B A×B C A×C D
E
D×E C×D C×E B×D B×E A×E A×B
B×C
(四) 列出试验方案
把正交表中安排原因旳各列(不包括欲考 察旳交互作用列)中旳每个数字依次换成该原 因旳实际水平，就得到一种正交试验方案。
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此例不考察交互作用，可将品种(A)、 密度(B)和施氮量 (C)依次安排在L9(34)旳第1、 2、3列上，第4 列 为空列，见表2-4。
表11-4 表头设计
列号 1 2 3 4 因素 A B C 空
原因 数 2 3
4
L9（34）表头设计
列
号
1
2
3
4
A A B×C1
C 3 1(3) 2(5) 3(8) 2(5) 3(8) 1(3) 3(8) 1(3) 2(5)
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第二节 正交试验资料旳方差分析
若各号试验处理都只有一种观察值，则称 之为单个观察值正交试验；
若各号试验处理都有两个或两个以上观察 值，则称之为有反复观察值正交试验。
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A原因是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平 ； B原因是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平 ； C原因是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。 这是一种3原因每个原因3水平旳试验 ，各原因旳 水平之间全部可能旳组合有27种。
上一张 下一张 主 页 退 出
假如进行全方面试验 ，能够分析各原因 旳效应 ，交互作用，也可选出最优水平组合。
正交试验方差分析
1（50） 1（6.5） 1（2.0） 1 1 2 2 2（7.0） 2（2.4） 3（7.5） 3（2.8 2 3 1 3 2 3
2（55） 1
3（58） 1
8பைடு நூலகம்
9 K1j
3
3 15.76
2
3 25.18
1
2 22.65
3
1 20.74
10.9
8.95
T 65.58
K2j
K3j K1j2 K2j2 K3j2
n
对上式做如下变换
SST ( X ij X ) 2 ( X ij X i. X i. X ) 2
i 1 j 1 i 1 j 1
r
n
r
n
( X ij X i. ) ( X i. X ) 2 (X ij X i. )( X i. X )
各式的物理意义
X
所有数据的平均值称为总平均 值 第i个水平的数据平均值称为组平均值 随机误差，又称为组内离差平方和
X i.
SSE 表示每一个数据与其组平均值的离差平方和，反映了实验中的
SS A
表示组平均值与总的平均值得离差平方和，反映了由于因素不同水平引 起的差异又称为组间离差平方和
再稍做整理
X 总和 2 2 SST ( X ij X ) ( X ij ) N i 1 j 1 i 1 j 1 X 总和 校正项CF N
2 2 i 1 j 1 r n i 1 j 1 r n i 1 j 1
r
n
r
n
r
n
( X ij X i. ) ( X i. X ) 2
2 i 1 j 1 i 1 j 1
卫生统计学第八章正交试验方差分析
REPORTING
WENKU DESIGN
正交试验设计定义与原理
正交试验设计定义
正交试验设计是研究多因素多水平的一种设计方法，它是根 据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验， 这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点。
正交试验设计原理
正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种 设计方法。它是由试验因素的全部水平组合中，挑选部分有 代表性的水平组合进行试验的，通过对这部分试验结果的分 析，了解全面试验的情况。
THANKS
感谢观看
REPORTINGΒιβλιοθήκη https://VS
正交表特点
每列中不同数字出现的次数相等；任意两 列中数字的排列方式齐全而且均衡。
正交试验设计步骤
挑因素，选水平
根据试验的目的和专业知识，挑选出与考察指标有关的因素。对选出的因素要分清主次，合理安排。 选取的水平数应根据实际情况而定，过少会导致结果不准确，过多则可能数据分布的规律性较差，代 表性差；
通过建立线性模型来描述各因素 与结果之间的关系，从而进行方 差分析和参数估计。
PART 03
正交试验方差分析步骤
REPORTING
WENKU DESIGN
数据整理与描述性统计
整理试验数据
按照试验因素和水平整理数据，列出试验指标的观察值。
计算总均值和总变异
计算所有观察值的总和、均值、离差平方和等描述性统计量。
选正交表，进行表头设计
根据确定的列数（C）与水平数（t）选择相应的正交表。选择的原则是首先满足列数，其次是水平数。若 有2个或2个以上正交表满足条件时则应选取行数最少的一个；
正交试验设计步骤
明确试验方案，进行试验；
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正交试验设计定义与原理
正交试验设计定义
正交试验设计是研究多因素多水平的一种设计方法，它是根 据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验， 这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点。
正交试验设计原理
正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种 设计方法。它是由试验因素的全部水平组合中，挑选部分有 代表性的水平组合进行试验的，通过对这部分试验结果的分 析，了解全面试验的情况。
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正交表特点
每列中不同数字出现的次数相等；任意两 列中数字的排列方式齐全而且均衡。
正交试验设计步骤
挑因素，选水平
根据试验的目的和专业知识，挑选出与考察指标有关的因素。对选出的因素要分清主次，合理安排。 选取的水平数应根据实际情况而定，过少会导致结果不准确，过多则可能数据分布的规律性较差，代 表性差；
通过建立线性模型来描述各因素 与结果之间的关系，从而进行方 差分析和参数估计。
PART 03
正交试验方差分析步骤
REPORTING
WENKU DESIGN
数据整理与描述性统计
整理试验数据
按照试验因素和水平整理数据，列出试验指标的观察值。
计算总均值和总变异
计算所有观察值的总和、均值、离差平方和等描述性统计量。
选正交表，进行表头设计
根据确定的列数（C）与水平数（t）选择相应的正交表。选择的原则是首先满足列数，其次是水平数。若 有2个或2个以上正交表满足条件时则应选取行数最少的一个；
正交试验设计步骤
明确试验方案，进行试验；
正交试验的方差分析
x 1 4
20 K 1
5 l 1
xkl
1 4
4 K 1
xk
4.2
• 依次求出Q、f、S2、F,与F表比较 2 Q1=10 (xi1 x )2 i 1 =10×[(3.65-4.2)2+(4.75-4.2)2]=6.05
• 其余Qj （j=2,3）同理可求
45
Qr
(xkl xk )2
产率
产率
﹪
-55
xK
50
-5
59
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
56
1
58
3*
55
0
58
3
47
-8
52
-3
x = -5/8
(1)方差分析 • 依次求出Q、f、S2、F，与F表比较
第1列差方和：
2
Q1=4 (xi1 x )2 i 1 = 4{[3/4-(-5/8)]2+[(-2)-(-5/8)]2} = 121/8
• 其余Qj（j=2…7）同理可求
9-3-2 关于Qr的计算 一 表头留出空白列
其它的列若与空白列的Q值相近，加起来共同作 为Qr的估计值，可以提高方差分析检验的灵敏度(自 由度增大了)
二 无空白列
1 根据以往资料
若已知 2 ，可认为fr=∞，此时
F
Q因子 / f因子
2
，查表 Fα (f因子,∞)
2 选更大的正交表，从而留出空白列
1
2
2
1
1
2
2
1
2
2
1
2
1
1
2
3
2
-12
-12
-4
-5
正交实验的计算步骤
正交实验的计算步骤：1．直观分析法该法先将各列相同水平实验组的实测数据进行累加，故得到不同水平时的累加值K1、K2、K3等。
K b =ΣX b然后求得各列K值的极差（R）R=Kmax-Kmin再求得极差的误差值（Re）,通常以较小R值或其与空白列R值之和表示。
并求各列R值与R e 之比（G）G=R/R e 若G›1.5时，确认该列因素为主要因素，K b 较大者为较好水平。
2．方差分析法本例N=9,a、b、c分别为因素A、B、C 每个水平实验重复次数，本例为3。
1）CT=全部试验值总和的平方的均数，又称校正值2）三因素同水平指标值和即K值的平方和用Q来表示Q A=(K1a2+ K2a2+K3a2 )/a 计算Q B、Q C、Q空3）组间平方和用S表示S A = Q A―CT 依次类推S空= Q空―CT是误差的估计值，即误差S e4）总平方和的计算S总＝W-CTW=各指标值平方后的和5）组内平方和的计算，即误差，用S e 来表示误差一般来自空相，即上面计算的S空来表示计算方法：因为S总＝S A＋S B＋S C＋S e故S e＝S总－S A－S B－S C6）自由度 df因各因素的自由度等于水平数减1，即为3－1＝2。
df T总的平方和的自由度等于实验次数减1，即为9－1＝8。
df e误差自由度等于总自由度减去各因素自由度之和，即为8－2－2－2＝27）均方的计算用Z表示，Z A= S A/df A 依次类推Z e= S e/df e8）F检验F A= Z A/Z e依次类推F B、F C9）查F检验的临界值F P表为F0。
05(2,2)＝19.0 F0。
01(2,2)=99.0F值› F0。
05，则P‹ P0。
05,具有显著性10）最优工艺的选择做完显著性检验后，可以选择最优工艺水平，对显著因素控制，选择K值大的水平组即可。
对于不显著因素则考虑生产实际情况。
正交试验设计2正交试验数据方差分析和贡献率分析
正交试验设计2正交试验数据方差分析和贡献率分析正交试验设计是一种实验设计方法，通过选择适当的试验水平组合和设置统计模型，以减少试验阶段的试验次数和工作量，提高试验的效率和准确性。
正交设计通过对变量进行排列组合，使各变量的效应独立出现并减少副效应的影响，从而使实验结果更加可靠。
正交设计数据分析方法方差分析(ANOVA)是一种统计方法，用于测试在不同因素水平下的平均值是否相等。
在正交试验中，方差分析可以用于测试各个因子对试验结果的影响是否显著。
方差分析通常包括总体均值检验、各因子的效应检验以及误差项的检验。
通过方差分析可以确定哪些因子对试验结果的影响是显著的，进而确定最佳的试验条件。
贡献率分析是一种用于确定各个因子对试验结果的贡献程度的方法。
贡献率分析可以通过计算各个因子的均方根(RMS)值来确定各个因子的贡献程度。
贡献率可以用来排除一些不显著的因子，从而进一步优化试验条件。
1.节省试验次数和工作量：由于正交设计能够减少变量之间的相关性，可以通过较少的试验次数得到可靠的结果。
2.减少误差项：正交设计通过考虑副效应的影响，减少了试验误差的可能性，提高了数据的可靠性。
3.确定关键因素：正交设计通过方差分析和贡献率分析，可以确定对试验结果有着显著影响的关键因素，从而进行进一步优化。
4.灵活性：正交设计可以根据实验需求进行灵活的调整和改变，以适应多样的试验条件和目标。
总结正交试验设计是一种有效的实验设计方法，可用于减少试验次数和工作量，提高试验效率和准确性。
方差分析和贡献率分析是对正交设计数据进行进一步分析和总结的重要工具，可以帮助确定关键因素和优化试验条件。
正交试验设计能够在实验设计的早期阶段对各个因子进行全面考虑，从而为实验结果的有效性和可靠性打下基础。
正交试验设计中的方差分析
方差分析（ANOVA）是一种统计技术， 用于比较三个或更多组数据的平均值 是否存在显著差异。
目的
通过方差分析，可以确定不同组之间 的平均值差异是否由随机误差引起， 还是由处理因素或自变量引起。
方差分析的数学模型
数学模型
方差分析使用数学模型来描述数据之间的关系，特别是不同组之间的平均值差异。模型通常包括组间差异和组内 差异两部分。
医学研究
通过正交试验设计中的方差分析，研究不同治疗方案、药物剂量等因素对疾病治疗效果的影响，为临床 治疗提供科学依据。
方差分析的局限性
04
方差分析对数据的要求
独立性
数据必须是相互独立的，不存 在相互关联或依赖关系。
正态性
数据应符合正态分布，才能保 证统计推断的准确性。
同方差性
各组数据的方差应相等，否则 可能导致误判。
制定试验方案
根据正交表设计试验方案，确定每个因素的每个 水平。
实施试验
按照试验方案进行试验，记录每个试验的结果。
方差分析
利用方差分析法对试验结果进行分析，确定各因 素对试验结果的影响程度和显著性。
优化方案
根据方差分析结果，优化试验方案，进行下一步试验。
方差分析的基本原理
02
方差分析的定义与目的
定义
拉丁方设计方差分
析
适用于需要控制试验条件的试验， 通过拉丁方设计平衡试验条件和 试验误差。
正交试验设计中的方差分析步骤
确定试验因素和水平
根据研究目的和实际情况确定试验因 素和水平。
制定正交表
根据试验因素和水平选择合适的正交 表。
安排试验
按照正交表进行试验，记录试验数据。
方差分析
对试验数据进行方差分析，包括自由 度、离均平方和、均方、F值等计算。
目的
通过方差分析，可以确定不同组之间 的平均值差异是否由随机误差引起， 还是由处理因素或自变量引起。
方差分析的数学模型
数学模型
方差分析使用数学模型来描述数据之间的关系，特别是不同组之间的平均值差异。模型通常包括组间差异和组内 差异两部分。
医学研究
通过正交试验设计中的方差分析，研究不同治疗方案、药物剂量等因素对疾病治疗效果的影响，为临床 治疗提供科学依据。
方差分析的局限性
04
方差分析对数据的要求
独立性
数据必须是相互独立的，不存 在相互关联或依赖关系。
正态性
数据应符合正态分布，才能保 证统计推断的准确性。
同方差性
各组数据的方差应相等，否则 可能导致误判。
制定试验方案
根据正交表设计试验方案，确定每个因素的每个 水平。
实施试验
按照试验方案进行试验，记录每个试验的结果。
方差分析
利用方差分析法对试验结果进行分析，确定各因 素对试验结果的影响程度和显著性。
优化方案
根据方差分析结果，优化试验方案，进行下一步试验。
方差分析的基本原理
02
方差分析的定义与目的
定义
拉丁方设计方差分
析
适用于需要控制试验条件的试验， 通过拉丁方设计平衡试验条件和 试验误差。
正交试验设计中的方差分析步骤
确定试验因素和水平
根据研究目的和实际情况确定试验因 素和水平。
制定正交表
根据试验因素和水平选择合适的正交 表。
安排试验
按照正交表进行试验，记录试验数据。
方差分析
对试验数据进行方差分析，包括自由 度、离均平方和、均方、F值等计算。
正交试验设计中的方差分析
个水平，每个水平做p次试验，则n=mp。
那么正交试验的方差分析可以从以下几步进行：
1.计算差方和（离差平方和）： 包括以下几部分：
1)各因素差方和：
正交试验都是多因素多水平的试验，因此有必要对各因素的 差方和进行计算。 各因素差方和等于它的各水平均值k1A,k2A,…,kmA之间偏差平 方和。 以因素A为例，它在正交表中的某列，用xij表示A在第i个水 平的第j次试验结果，则;
即：fA×B=fA×fB 试验误差的自由度fe＝fT－f因 。
3.计算平均差方和（均方）： 在计算各因素的差方和时，按照前面的讲述，它是各水平的 偏差方的和，其大小与水平数有关，故此还不能确切的反映 各因素的情况。为了消除水平数的影响，可以计算其平均差 方和：
因素的平均差方和＝因素差方和 ＝Q因 因素的自由度 f因
试验误差的差方和是所有试验结果在不同水平下的指标值与该 水平下的均值之间的差的平方和。它是由随机误差引起的，故 叫误差的差方和。
Qe QT ( QA QB QN )
2.计算自由度：
试验的总自由度： fT n 1
各因素自由度： f因 m 1
如果有交互作用，则交互作用的自由度为两因素自由度之积:
一．几个数据处理中常用的数理统计名词：
首先对几个数理统计名词进行回顾
1. 平均值 x
就是所有数据的和除以数据的个数。
x
1 n
n i 1
xi
1 n
x1
x2
xn
总体平均值：
1 n
n
xi
i 1
n
总体：数理统计学中指的是研究对象的某一特性值的全体； 样本：从总体中随机抽出的一组测量值。
2.极差 R： 就是一组数据中的最大值减去最小值得到的差值。 3.差方和Q： 测量值对平均值的偏差的平方和，就叫～。也叫离差平方和。
那么正交试验的方差分析可以从以下几步进行：
1.计算差方和（离差平方和）： 包括以下几部分：
1)各因素差方和：
正交试验都是多因素多水平的试验，因此有必要对各因素的 差方和进行计算。 各因素差方和等于它的各水平均值k1A,k2A,…,kmA之间偏差平 方和。 以因素A为例，它在正交表中的某列，用xij表示A在第i个水 平的第j次试验结果，则;
即：fA×B=fA×fB 试验误差的自由度fe＝fT－f因 。
3.计算平均差方和（均方）： 在计算各因素的差方和时，按照前面的讲述，它是各水平的 偏差方的和，其大小与水平数有关，故此还不能确切的反映 各因素的情况。为了消除水平数的影响，可以计算其平均差 方和：
因素的平均差方和＝因素差方和 ＝Q因 因素的自由度 f因
试验误差的差方和是所有试验结果在不同水平下的指标值与该 水平下的均值之间的差的平方和。它是由随机误差引起的，故 叫误差的差方和。
Qe QT ( QA QB QN )
2.计算自由度：
试验的总自由度： fT n 1
各因素自由度： f因 m 1
如果有交互作用，则交互作用的自由度为两因素自由度之积:
一．几个数据处理中常用的数理统计名词：
首先对几个数理统计名词进行回顾
1. 平均值 x
就是所有数据的和除以数据的个数。
x
1 n
n i 1
xi
1 n
x1
x2
xn
总体平均值：
1 n
n
xi
i 1
n
总体：数理统计学中指的是研究对象的某一特性值的全体； 样本：从总体中随机抽出的一组测量值。
2.极差 R： 就是一组数据中的最大值减去最小值得到的差值。 3.差方和Q： 测量值对平均值的偏差的平方和，就叫～。也叫离差平方和。
正交试验设计(方差分析)
第1列的极差较小,说明因素A的水平变动时,指标变动 较小，说明因素A对指标影响较小；
而第4列是空列,极差为0.34,这是由随机误差产生的,又 因为因素A的极差0.36与空列的极差0.34接近，所以可粗略 地认为因素A对指标影响不显著
由此可以根据极差的大小顺序排出因素的主次：
主
次
B、C、A
由因素的主次可以看出后区牵伸（因素B）对指标影响 最主要,其次是后区隔距（因素C），罗拉加压影响最小.
C
1.6 3.9 4.0 0.53 1.30 1.33 0.80
误差列
各数据说明
2.9
其中：
3.8 2.8 0.97 1.27 0.93 0.34
K ( j) i
为第j列的第i水 平数据之和
k( j) i 为其平均值
R( j)
为第j列的极差
9
T xi i 1
＝9.5
返回
2． 分据知，第2列和第3列的极差较大， 这反映了当因素B、C的水平波动时,指标波动较大,说明因 素B、C对指标影响较大；
上一张 下一张 主 页 退 出
6.5.1 正交试验结果的方差分析
方差分析基本思想是将数据的总变异分解成因 素引起的变异和误差引起的变异两部分，构造F统 计量，作F检验，即可判断因素作用是否显著。
正交试验结果的方差分 析思想、步骤同前！！
方差分析的基本步骤与格式
设： 用正交表Ln(rm)来安排试验 试验结果为yi（i=1,2,…n）
方差分析时，在进行表头设计时一般要求留有空列，即误差 列
误差的离差平方和为所有空列所对应离差平方和之和 ：
SSe SS空列
（2）计算自由度
第6讲（5）
正交试验设计 （方差分析）
而第4列是空列,极差为0.34,这是由随机误差产生的,又 因为因素A的极差0.36与空列的极差0.34接近，所以可粗略 地认为因素A对指标影响不显著
由此可以根据极差的大小顺序排出因素的主次：
主
次
B、C、A
由因素的主次可以看出后区牵伸（因素B）对指标影响 最主要,其次是后区隔距（因素C），罗拉加压影响最小.
C
1.6 3.9 4.0 0.53 1.30 1.33 0.80
误差列
各数据说明
2.9
其中：
3.8 2.8 0.97 1.27 0.93 0.34
K ( j) i
为第j列的第i水 平数据之和
k( j) i 为其平均值
R( j)
为第j列的极差
9
T xi i 1
＝9.5
返回
2． 分据知，第2列和第3列的极差较大， 这反映了当因素B、C的水平波动时,指标波动较大,说明因 素B、C对指标影响较大；
上一张 下一张 主 页 退 出
6.5.1 正交试验结果的方差分析
方差分析基本思想是将数据的总变异分解成因 素引起的变异和误差引起的变异两部分，构造F统 计量，作F检验，即可判断因素作用是否显著。
正交试验结果的方差分 析思想、步骤同前！！
方差分析的基本步骤与格式
设： 用正交表Ln(rm)来安排试验 试验结果为yi（i=1,2,…n）
方差分析时，在进行表头设计时一般要求留有空列，即误差 列
误差的离差平方和为所有空列所对应离差平方和之和 ：
SSe SS空列
（2）计算自由度
第6讲（5）
正交试验设计 （方差分析）
正交设计-方差分析
3
(4) {εi}是试验误差,它们相互独立,且遵从标准正态分布N(0,1), 所以多个试验误差的平均值近似等于零。
(二)
有了数学模型,还应通过子样的实测值,对以上的各个参数作 出估计。
由数理统计知识
_
E（ x ）＝μ
_
_
E（x ）——表示x
计量。可表示为：
_
x
_
。即，x
μ的一个无偏估
4
11.2 正交试验的方差分析法
（一）变差平方和的分解
1.总变差平方和
S总
ST
p
i 1
r
( xij j 1
_
x) 2
( 2 2 1)
(90 89.6) 2 (92 89.6) 2 ...... (88 89.6) 2
353.6
2.组间变差平方和
SA
p
i 1
r
_
( xi
j 1
_
x) 2
p
_
r ( xi
14
以 例 2－ 1为 例 ， 检 验 其 中 因 素 A的 显 著 性
（1 ）
计
算
F=
SA Se
/ /
fA fe
303.6 / 4 50.0 /10
15.18
（2） 查 F表 （ P246 )，对 a＝0.05及 a＝ 0.01分 别 有
F0.05 (4,10) 3.5
F0.01 (4,10) 6.0
比如saxbsaxb1saxb2???????aninkkajijxx11121121121121111????????????????nkkniininiajijajijaxnkaxnxasaaapqsaa?????aniiakaq121???ajijixk119正交设计方差分析1991620203试验误差的离差的平方和se设s因交为所有因素以及要考虑的交互作用的离差的平方和因为sts因交se所以sests因交计算自由度
(4) {εi}是试验误差,它们相互独立,且遵从标准正态分布N(0,1), 所以多个试验误差的平均值近似等于零。
(二)
有了数学模型,还应通过子样的实测值,对以上的各个参数作 出估计。
由数理统计知识
_
E（ x ）＝μ
_
_
E（x ）——表示x
计量。可表示为：
_
x
_
。即，x
μ的一个无偏估
4
11.2 正交试验的方差分析法
（一）变差平方和的分解
1.总变差平方和
S总
ST
p
i 1
r
( xij j 1
_
x) 2
( 2 2 1)
(90 89.6) 2 (92 89.6) 2 ...... (88 89.6) 2
353.6
2.组间变差平方和
SA
p
i 1
r
_
( xi
j 1
_
x) 2
p
_
r ( xi
14
以 例 2－ 1为 例 ， 检 验 其 中 因 素 A的 显 著 性
（1 ）
计
算
F=
SA Se
/ /
fA fe
303.6 / 4 50.0 /10
15.18
（2） 查 F表 （ P246 )，对 a＝0.05及 a＝ 0.01分 别 有
F0.05 (4,10) 3.5
F0.01 (4,10) 6.0
比如saxbsaxb1saxb2???????aninkkajijxx11121121121121111????????????????nkkniininiajijajijaxnkaxnxasaaapqsaa?????aniiakaq121???ajijixk119正交设计方差分析1991620203试验误差的离差的平方和se设s因交为所有因素以及要考虑的交互作用的离差的平方和因为sts因交se所以sests因交计算自由度
正交试验的方差分析
计算平均离差平方和(均方):
在计算各因素离差平方和时，我们知道，它们都是若干项平方的和, 它们的大小与项数有关，因此不能确切反映各因素的情况。为了消 除项数的影响，我们计算它们的平均离差的平方和。
因素的平均离差平方和 = (因素离差的平方和)/因素的自由度 = S因 /f因
试验误差的平均离差平方和 = (试验误差的离差的平方和)/试验误差的自由度 = SE / fE
33.212 ) 377.17, 35.882 ) 376.29,
QC
1 (6.272 9
35.212
59.162 )
531.00,
Q( AXB)1
1 (35.632 9
32.082
32.932 )
375.89,
Q( AXB)2
1 (34.302 9
31.732
34.612 ) 375.68,
考 虑A，B的交互作用。试进行方差分析。
第22页/共47页
第三节： 2水平正交设计的方差分析
解：(选用正交表L8(27)
第23页/共47页
第三节： 2水平正交设计的方差分析
这 里
ST
QT
P
8
xk2
k 1
T2 8
65668 1 (724)2 8
146
SA
1 8
(K1
K2 )2
1 8
(366 358)2
第四节：混合型正交设计的方差分析
混合型正交设计的方差分析，本质上与一般水平数相等正交设计 的
方差分析相同，只要在计算时注意到各水平数的差别就行了。
8
现以L8(4X24)混合S型T 正交QT表为P例：k 1
xk2
1 8
正交设计试验资料的方差分析
数据整理
将收集到的数据整理成 表格形式，便于后续分 析。
数据筛选
对异常值进行筛选和处 理，确保数据质量。
正交设计试验资料的方差分析过程
确定试验因素和水平
明确试验因素和各因素的水平， 为后续分析提供基础。
计算各因素的效应值
根据试验结果，计算各因素的效 应值。
计算误差平方和
根据效应值和水平，计算误差平 方和。
跨学科融合
标准化与规范化
结合其他学科的理论和方法，拓展正交设 计试验的应用领域，推动多学科交叉融合 发展。
制定和完善正交设计试验的标准和规范， 提高试验的可靠性和可比性。
正交设计试验资料方差分析的实际应用价值
科学研究
在科学研究领域，正交设计 试验资料方差分析可用于探 索和验证科学假设，揭示现 象背后的机制和规律。
正交试验设计的基本原理
1 2
正交性原理
正交试验设计基于正交性原理，即每个因素在试 验中出现的次数相同，且各次出现的概率相等。
均匀分散原理
正交试验设计通过均匀分散原理，确保每个水平 在试验中都有均衡的分布，从而减少结果的偏差。
3
代表性原理
正交试验设计通过代表性原理，选取具有代表性 的样本点进行试验，以反映整体情况。
正交设计试验资料的方差 分析
• 正交设计试验概述 • 方差分析基础 • 正交设计试验资料的方差分析方法 • 实例分析 • 总结与展望
01
正交设计试验概述
正交试验设计的基本概念
正交试验设计是一种统计技术，用于 在多因素、多水平条件下进行试验， 以最小化试验次数，同时最大化信息 收集。
它利用正交表来安排试验，确保每个 因素的每个水平都被等可能地选取， 从而得到全面而均衡的试验结果。
正交试验设计的方差分析
F比 = S
f因素
(2) F分布表及其查阅方法
误差
f 误差
为了判断F比值的大小所表明的物理意义(即F比值多大 时，可以认为实验结果的差异主要是由因素水平的 改变所引起的；其值多小时，可以认为实验结果的 差异主要是由实验误差所引起的)，这就需要有一个 标准来衡量F比值，此标准就是根据统计数学原理编 制的F分布表，F分布表列出了各种自由度情况下F比 的临界值。
114.09 117.25 120.34 38.03 39.08 40.11 2.08
C mZn (g)
122.77 115.23 113.68 40.92 38.41 37.89 3.03
空白列
10min内H2的 产率
119.9 117.56 114.22 39.96 39.18 38.07 1.89
(5) F值的计算及因素显著性的检验 因素水平的变化引起的平均偏差平方和与误差 的平均偏差平方和的比值称为F值，即：
S因素
F =S
f因素 f 误差
误差
用F值的大小来判断因素水平对实验指标的影响。 显然，只有当比值大于1时，才能表明因素水平的 改变对实验指标的影响，即超过了实验误差所产生 的影响。
为了判断因素对实验结果形象的显著性的大小， 须将计算得到的F值与从F分布表上查到的相应临界 值进行比较。当F值大于临界值时，表明该因素对实 验结果影响显著。 就本例而言：FA=(123.37/2)/(27.71/6)=13.36 查F检验的临界值表可知： F0.10(2, 6)=3.46， F0.05(2, 6)=5.14， F0.01(2, 6)=10.9 由于FA> F0.10(2, 6)，所以我们可以认为，有99%以上 的把握判断因素A的水平改变对实验结果有极为显 著的影响，以“**”标记。由此可得出如下结论： 对10minH2产率的影响是由硫酸浓度的差异所引起的。
正交试验设计结果的方差分析
n
T xi i 1
②各因素引起的离差平方和
• 第j列所引起的离差平方和 ：
S j
1 r
(
m p1
K
2 pj
)
T2 n
k
ST S j Se j 1
③交互作用的离差平方和
• 若交互作用只占有一列，则其离差平方和就等于 所列离差平方和之和，
第6章 正交试验设计结果的方差分析
正交试验设计结果的方差分析法
• 能估计误差的大小 • 能精确地估计各因素的试验结果影响的重要程度
6.1 方差分析的基本步骤
• 正交试验多因素的方差分析，其基本思想是先计算出各因素 和误差的离差平方和，然后求出自由度、均方、F值，最后进 行F检验。
• 如果用正交表Ln(mk)来安排试验，则因素的水平数为m，正交 表的列数为k，总试验次数为n，试验结果为xi(i＝1~n)。
– 若m ＝ 2， fA×B＝fj – 若m ＝ 3， fA×B＝ 2fj= fA ＋fB ④误差的自由度：
fe＝空白列自由度之和
（3）计算均方
•
以A因素为例
：VA
SA fA
以A×B为例 ：
VAB
S AB f AB
误差的均方：
Ve
Se fe
注意：
• 若某因素或交互作用的均方≤Ve，则应将它们归入误差列 • 计算新的误差、均方
（6）列方差分析表
6.2 二水平正交试验的方差分析
• 正交表中任一列对应的离差平方和：
例6-1
6.2.2 三水平正交试验的方差分析
• m=3，所以任一列的离差平方和：
例6-3 注意： ➢ 交互作用的方差分析 ➢ 有交互作用时，优方案的确定
6.3 混合水平正交试验的方差分析
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(一) 正交设计的基本概念
正 交 设 计 是利用正交表来安排多因素试
验、分析试验结果的一种设计方法。它从多因 素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的 水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的 分析了解全面试验的情况 合。
上一张 下一张 主 页 退 出
，找出最优水平组
例如， 研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产 量的影响： A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平 ； B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平 ； C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。 这是一个3因素每个因素3水平的试验 ，各因素的 水平之间全部可能的组合有27种。
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退 出
(三) 表头设计
表头设计就是把挑选出的因素和要考察 的交互作用分别排入正交表的表头适当的列 上。 在不考察交互作用时，各因素可随机安 排在各列上；若考察交互作用，就应按该正 交表的交互作用列表安排 各 因 素与交互作 用。
上一张 下一张 主 页 退 出
此例不考察交互作用，可将品种(A)、
素
C 3 1(3) 2(5) 3(8) 2(5) 3(8) 1(3) 3(8) 1(3) 2(5)
退 出
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第二节 正交试验资料的方差分析
若各号试验处理都Biblioteka 有一个观测值，则称之为单个观测值正交试验；
若各号试验处理都有两个或两个以上观测
值，则称之为有重复观测值正交试验。
上一张 下一张 主 页
因 水 1 2 3 平 品种 (A) 二九矮(A1) 高二矮(A2) 窄叶青 (A3) 密度 (B) 15(B1) 20(B2) 25(B3) 素 施氮量 (C) 3(C1) 5(C2) 8(C3)
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退 出
(二) 选用合适的正交表
根据因素、水平及需要考察的交互作用 的多少来选择合适的正交表。 选用正交表的原则是：既要能安排下试 验的全部因素(包括需要考查的交互作用)，又 要使部分水平组合数（处理数）尽可能地少。
稻优良品种(A)：二九矮、高二矮、窄叶青 ， 3 种密度(B)： 15、20、25（万苗/666.7m2）；3 种施氮量(C)： 3、5、8（kg/666.7m2），试采 用正交设计安排一个试验方案。
(一) 确定试验因素及其水平, 列出因素水 平表
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表11-3 因素水平表
各列中出现的最
大数字不完全相同的正交表称为 混合水平正 L8(41×24)表中有一列最大数字为4，有
4列最大数字为2。 也就是说该表可以安排1
个4水平因素和4个2水平因素。
L16(44×23)，L16(4×212)等都混合水平
正交表。
上一张 下一张 主 页 退 出
三、正交设计方法
【例11· 某水稻栽培试验选择了3个水 1】
退 出
一、 单个观测值正交试验资料的方差分析
对【例11-1】用L9(34)安排试验方案后，
各号试验只进行一次，试验结果列于表2-6。试 对其进行方差分析。
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退 出
x1 8 9 5 3 7 6 4 2
表11-6 正交试验结果计算表
因 素 B (2) 1 2 3 1 C (3) 1 2 3 2 产量 340.0(x1) 422.5(x2) 439.0(x3) 360.0(x4) A (1) 1 1 1 2
验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案
包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最
佳的生产条件。
一、正交设计的基本原理
上一张 下一张 主 页
退 出
表11-1
B1 B2 B3 B1 B2 B3 B1 B2 B3
33试验的全面试验方案
C1 A1B1C1 A1B2C1 A1B3C1 A2B1C1 A2B2C1 A2B3C1 A3B1C1 A3B2C1 A3B3C1 C2 A1B1C2 A1B2C2 A1B3C2 A2B1C2 A2B2C2 A2B3C2 A3B1C2 A3B2C2 A3B3C2 C3 A1B1C3 A1B2C3 A1B3C3 A2B1C3 A2B2C3 A2B3C3 A3B1C3 A3B2C3 A3B3C3
上一张 下一张 主 页 退 出
表11-2
L8(27)正交表
上一张 下一张 主 页
退 出
2水平正交表还有L4(23)、L16(215)等； (二) 正交表的特性 1、任一列中，不同数字出现的次数相同
3水平正交表有L9(34)、L27(313) 、…、 等。
例如L8(27)中不同数字只有1和2，它们各
出现4次；L9(34)中不同数字有1、2和3，它们
各出现3次 。
上一张 下一张 主 页
退 出
2、任两列中，同一横行所组成的数字对出 现的次数相同
例如 L8(27)的任两列中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)
各出现两次；L9(34)任两列中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出现1次。即 每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数 相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀的。
A1
A2
A3
图11-1
3因素每个因素3水平试验点的均衡分布图
上一张 下一张 主 页
退 出
正交设计就是从全面试验点（水平组合） 中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）
来进行试验。图1中标有‘ 的9个试验点。即：
’9个试验点，就
是利用正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来 (1)A1B1C1 (2)A1B2C2 (3)A1B3C3
上一张 下一张 主 页
退 出
一般情况下，试验因素的水平数应恰好 等于正交表记号中括号内的底数；因素的个 数（包括需要考查交互作用）应不大于正交 表记号中括号内的指数；各因素及交互作用 的自由度之和要小于所选 正交表 的 总 自由 度，以便估计试验误差。 若各因素及交互作用的自由度之和等于 所选正交表总自由度，则可采用有重复正交 试验来估计试验误差。
(4)A2B1C2 (5)A2B2C3 (6)A2B3C1
(7)A3B1C3 (8)A3B2C1 (9)A3B3C2
上一张 下一张 主 页 退 出
上述选择 ，保证了A因素的每个水平与B 因素 、 C 因 素的各个水平在试验中各搭配一 次。 从图1中可以看到，9个试验点分布是均衡 的 ，在立方体的每个平面上 有且仅有3个试验 点；每两个平面的交线上有且仅有1个试验点。 9个试验点均衡地分布于整个立方体内 ， 有很强的代表性，能够比较全面地反映全面试 验的基本情况。
因素数 2
3
1 A A B×C1 A B×C1 B×D1 C×D1
4
L8(27) 表头设计
因素数 3 1 A 2 B
4
4 5
A
A A D×E
B
B C×D B C×D
列 号 3 4 5 C A×B A×C C A×B A×C C×D B×D C A×B A×C B×D C A×B A×C C×E B×D B×E
上一张 下一张 主 页
退 出
如果进行全面试验 ，可以分析各因素的 效应 ，交互作用，也可选出最优水平组合。 但全面试验包含的水平组合数较多，工
作量大 ，由于受试验场地、经费等限制而难
于实施 。
如果试验的主要目的是寻求最优水平组
合，则可利用正交设计来安排试验。
上一张 下一张 主 页
退 出
正交设计的基本特点是：用部分试验来代
2、3列上，第4 列 为空列，见表2-4。 表11-4 表头设计 列 号 因 素 1 A 2 B 3 C
密度(B)和施氮量 (C)依次安排在L9(34)的第1、
4 空
L9（34）表头设计
列 号 2 B B A×C1 B A×C1 A×D1 C×D2 3 A×B1 C A×B1 C A×B1 A×D2 B×D2 4 A×B2 A×B2 A×C2 B×C2 D A×B2 A×C2 B×C2
(三) 正交表的类别 1、相同水平正交表 各列中出现的最大数
字相同的正交表称为相同水平正交表。
L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中最大数字 为2，称为两水平正交表； L9(34)、L27(313)等各列中最大数字为3，称 为3水平正交表。
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2、 混合水平正交表 交表。
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此例有3个3水平因素，若不考察交互作
用，则各因素自由度之和为因素个数× (水 平数-1) = 3 × (3-1) =6，小于L9(34)总自由度 9-1=8，故可以选用L9(34)； 若要考察交互作用，则应选用L27(313)， 此时所安排的试验方案实际上是全面试验方 案。
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用正交表安排的试验，具有均衡分散和整
齐可比的特点。 均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因 素 水 平 组合在全部水平组合中的分布是均衡 的 。 由 图11-1可以看出，在立方体中 ，任一 平面内都包含 3 个 试验点， 任两平面的交线 上都包含1个试验点。
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在这9个水平组合中，A因素各水平下包括 了B、C因素的3个水平，虽然搭配方式不同， 但B、C皆处于同等地位，当比较A因素不同水 平时，B因素不同水平的效应相互抵消，C因素 不同水平的效应也相互抵消。所以A因素3个水 平间具有可比性。同样，B、C因素3个水平间 亦具有可比性。
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二、正交表及其特性
(一) 正交表
表 11-2 是L8(27)正交表，其中 “L”代表
正交表；L 右下角的数字“8”表示有8行，用
正 交 设 计 是利用正交表来安排多因素试
验、分析试验结果的一种设计方法。它从多因 素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的 水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的 分析了解全面试验的情况 合。
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，找出最优水平组
例如， 研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产 量的影响： A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平 ； B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平 ； C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。 这是一个3因素每个因素3水平的试验 ，各因素的 水平之间全部可能的组合有27种。
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(三) 表头设计
表头设计就是把挑选出的因素和要考察 的交互作用分别排入正交表的表头适当的列 上。 在不考察交互作用时，各因素可随机安 排在各列上；若考察交互作用，就应按该正 交表的交互作用列表安排 各 因 素与交互作 用。
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此例不考察交互作用，可将品种(A)、
素
C 3 1(3) 2(5) 3(8) 2(5) 3(8) 1(3) 3(8) 1(3) 2(5)
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第二节 正交试验资料的方差分析
若各号试验处理都Biblioteka 有一个观测值，则称之为单个观测值正交试验；
若各号试验处理都有两个或两个以上观测
值，则称之为有重复观测值正交试验。
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因 水 1 2 3 平 品种 (A) 二九矮(A1) 高二矮(A2) 窄叶青 (A3) 密度 (B) 15(B1) 20(B2) 25(B3) 素 施氮量 (C) 3(C1) 5(C2) 8(C3)
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(二) 选用合适的正交表
根据因素、水平及需要考察的交互作用 的多少来选择合适的正交表。 选用正交表的原则是：既要能安排下试 验的全部因素(包括需要考查的交互作用)，又 要使部分水平组合数（处理数）尽可能地少。
稻优良品种(A)：二九矮、高二矮、窄叶青 ， 3 种密度(B)： 15、20、25（万苗/666.7m2）；3 种施氮量(C)： 3、5、8（kg/666.7m2），试采 用正交设计安排一个试验方案。
(一) 确定试验因素及其水平, 列出因素水 平表
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表11-3 因素水平表
各列中出现的最
大数字不完全相同的正交表称为 混合水平正 L8(41×24)表中有一列最大数字为4，有
4列最大数字为2。 也就是说该表可以安排1
个4水平因素和4个2水平因素。
L16(44×23)，L16(4×212)等都混合水平
正交表。
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三、正交设计方法
【例11· 某水稻栽培试验选择了3个水 1】
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一、 单个观测值正交试验资料的方差分析
对【例11-1】用L9(34)安排试验方案后，
各号试验只进行一次，试验结果列于表2-6。试 对其进行方差分析。
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x1 8 9 5 3 7 6 4 2
表11-6 正交试验结果计算表
因 素 B (2) 1 2 3 1 C (3) 1 2 3 2 产量 340.0(x1) 422.5(x2) 439.0(x3) 360.0(x4) A (1) 1 1 1 2
验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案
包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最
佳的生产条件。
一、正交设计的基本原理
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表11-1
B1 B2 B3 B1 B2 B3 B1 B2 B3
33试验的全面试验方案
C1 A1B1C1 A1B2C1 A1B3C1 A2B1C1 A2B2C1 A2B3C1 A3B1C1 A3B2C1 A3B3C1 C2 A1B1C2 A1B2C2 A1B3C2 A2B1C2 A2B2C2 A2B3C2 A3B1C2 A3B2C2 A3B3C2 C3 A1B1C3 A1B2C3 A1B3C3 A2B1C3 A2B2C3 A2B3C3 A3B1C3 A3B2C3 A3B3C3
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表11-2
L8(27)正交表
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2水平正交表还有L4(23)、L16(215)等； (二) 正交表的特性 1、任一列中，不同数字出现的次数相同
3水平正交表有L9(34)、L27(313) 、…、 等。
例如L8(27)中不同数字只有1和2，它们各
出现4次；L9(34)中不同数字有1、2和3，它们
各出现3次 。
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2、任两列中，同一横行所组成的数字对出 现的次数相同
例如 L8(27)的任两列中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)
各出现两次；L9(34)任两列中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出现1次。即 每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数 相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀的。
A1
A2
A3
图11-1
3因素每个因素3水平试验点的均衡分布图
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正交设计就是从全面试验点（水平组合） 中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）
来进行试验。图1中标有‘ 的9个试验点。即：
’9个试验点，就
是利用正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来 (1)A1B1C1 (2)A1B2C2 (3)A1B3C3
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一般情况下，试验因素的水平数应恰好 等于正交表记号中括号内的底数；因素的个 数（包括需要考查交互作用）应不大于正交 表记号中括号内的指数；各因素及交互作用 的自由度之和要小于所选 正交表 的 总 自由 度，以便估计试验误差。 若各因素及交互作用的自由度之和等于 所选正交表总自由度，则可采用有重复正交 试验来估计试验误差。
(4)A2B1C2 (5)A2B2C3 (6)A2B3C1
(7)A3B1C3 (8)A3B2C1 (9)A3B3C2
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上述选择 ，保证了A因素的每个水平与B 因素 、 C 因 素的各个水平在试验中各搭配一 次。 从图1中可以看到，9个试验点分布是均衡 的 ，在立方体的每个平面上 有且仅有3个试验 点；每两个平面的交线上有且仅有1个试验点。 9个试验点均衡地分布于整个立方体内 ， 有很强的代表性，能够比较全面地反映全面试 验的基本情况。
因素数 2
3
1 A A B×C1 A B×C1 B×D1 C×D1
4
L8(27) 表头设计
因素数 3 1 A 2 B
4
4 5
A
A A D×E
B
B C×D B C×D
列 号 3 4 5 C A×B A×C C A×B A×C C×D B×D C A×B A×C B×D C A×B A×C C×E B×D B×E
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如果进行全面试验 ，可以分析各因素的 效应 ，交互作用，也可选出最优水平组合。 但全面试验包含的水平组合数较多，工
作量大 ，由于受试验场地、经费等限制而难
于实施 。
如果试验的主要目的是寻求最优水平组
合，则可利用正交设计来安排试验。
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正交设计的基本特点是：用部分试验来代
2、3列上，第4 列 为空列，见表2-4。 表11-4 表头设计 列 号 因 素 1 A 2 B 3 C
密度(B)和施氮量 (C)依次安排在L9(34)的第1、
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L9（34）表头设计
列 号 2 B B A×C1 B A×C1 A×D1 C×D2 3 A×B1 C A×B1 C A×B1 A×D2 B×D2 4 A×B2 A×B2 A×C2 B×C2 D A×B2 A×C2 B×C2
(三) 正交表的类别 1、相同水平正交表 各列中出现的最大数
字相同的正交表称为相同水平正交表。
L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中最大数字 为2，称为两水平正交表； L9(34)、L27(313)等各列中最大数字为3，称 为3水平正交表。
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2、 混合水平正交表 交表。
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此例有3个3水平因素，若不考察交互作
用，则各因素自由度之和为因素个数× (水 平数-1) = 3 × (3-1) =6，小于L9(34)总自由度 9-1=8，故可以选用L9(34)； 若要考察交互作用，则应选用L27(313)， 此时所安排的试验方案实际上是全面试验方 案。
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用正交表安排的试验，具有均衡分散和整
齐可比的特点。 均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因 素 水 平 组合在全部水平组合中的分布是均衡 的 。 由 图11-1可以看出，在立方体中 ，任一 平面内都包含 3 个 试验点， 任两平面的交线 上都包含1个试验点。
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在这9个水平组合中，A因素各水平下包括 了B、C因素的3个水平，虽然搭配方式不同， 但B、C皆处于同等地位，当比较A因素不同水 平时，B因素不同水平的效应相互抵消，C因素 不同水平的效应也相互抵消。所以A因素3个水 平间具有可比性。同样，B、C因素3个水平间 亦具有可比性。
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二、正交表及其特性
(一) 正交表
表 11-2 是L8(27)正交表，其中 “L”代表
正交表；L 右下角的数字“8”表示有8行，用