高等数学自学提纲

高等数学自学提纲（第一学期）
一• 函数的连续性
1．什么叫函数的增量（改变量）？用几何图形表示函数增量为正、为负、为零的不同情况。

2．阐述函数y = f(x)在点X连续的三种定义，为什么说这三种定义实质是一样的？
3．函数y = f(x)在点X连续的几何意义是什么？
4．用“ e - d ”语言叙述函数 y = f(x)在点X左连续和右连续的定义，并说明y=f(x)在
(a,b) 和[a ，b]上连续的含义。

5．试说明函数y = f(x)在点X连续与函数当x趋近X时极限存在，这两个概念之间的联系与区
别。

6．应用函数连续的定义，讨论下列函数在给定点是否连续。

A• 讨论 f(x) = 在x = 1是否连续？
B• 若 f(x)在X点连续，g(u)在u点连续，u0= f(X) , 证明复合函数g[f(x)]在X点连续。

C• f(x)在X点是连续的， | f(x) | 和在X点是否连续？为什么？
7．试阐述函数y=f(x)在X0点连续，X (a ,b)；以及y = f(x)在（a ，b）上连续、在（a，b)上一致连续的区别。

8．函数间断点的定义，间断点分类的标准是什么？
9．分析函数y = [x] 连续与间断的情况。

10．找出下列函数的间断点，并指出间断点的类型。

（1）y = （2）y =
二• 一元函数的微分
1．微分的定义是什么？若y = f(x) 是可微函数，那么当Δx=0时Δy – dy与Δx是什么关系？
2．分别用语言和图形来说明微分的几何意义。

3．说明函数y = f(x) 在X点可微与可导的关系。

4．为什么说自变量的微分就等于自变量的增量？
6．函数的增量可表为Δy = dy + 0(Δx)，即函数y = f(x)的微分dy是Δy的主要部分，故dy必小于Δy，这个结论是否正确？为什么？
6．说明的区别。

7．什么叫一阶微分形式的不变性？高阶微分是否也具有微分形式不变性？举例说明。

8．函数y = f(x)的导数和微分dx是否都与x和Δx有关？为什么？
9．求下列微分：
（1）y = ln(cos ) （2）y = f(arctg )
10．利用微分求函数近似值的公式和步骤是什么？并计算
11．在下面三种情况下，函数y = f(x)的微分有什么特点？
（ 1）给定点X与Δx的具体数值。

（ 2）给定点X，但没给Δx的具体数值。

（ 3）即未给定点X，也未给Δx的具体数值。

12．利用微分计算函数y = f(x)的绝对误差|Δy|和相对误差的公式是什么？并计算下题：
单摆振动周期公式 T = ，由的值可计算重力加速度g的值，如果
= 100.44cm，测得T = 2.0103秒，且|ΔT|≤0.0005秒，求g值，并估计绝对误差和相对误差。

三• 不定积分—积分方法
1．第一换元积分法的基本思想和技巧。

2．第二换元积分法的步骤，常用的变量替换有哪几种？
3．分部积分法的公式是什么？在分部积分法的计算中，确定公式中的u、v有什么规律？
4．什么叫有理函数？有理真分式？有理假分式？既约分式（不可约多项式）？部分分式？部分分式
有哪四种形式？
5．将下列有理真分式化为部分分式之和。

（1）
（2）
6．有理函数的积分程序是什么？
7．什么叫三角函数有理式？如何根据三角函数有理式的特点选择合适的积分方法？
8．叙述下列无理函数积分的步骤：
（1）
（2）
（3）
9．总结各种积分方法的规律和技巧。

四• 平面方程和直线方程
1．写出平面的点法式方程，说明方程中各字母的含义，并求过点（1，1，1）且法线一组方向数为
{2，2，3}的平面方程。

2．写出平面的一般方程。

如何从点法式方程推出一般方程？在一般方程中
A• 当 A = 0 或 B = 0 ，或C = 0时，平面的特征是什么？
B• 当 A 和D 同时为 0 ，或 B 和D 同时为 0 ，或C 和 D 同时为 0 ，平面的特征是什么？
C• 当 A 和B 同时为 0 ，或 B 和C 同时为 0 ，或 A 和C 同时为 0 ，平面的特征是什么？
D• 当 A 、B 和D 同时为 0 ，或B 、C 和D 同时为 0 ，或A、C和D 同时为 0 ，平面的特征是什么？
3．写出平面的截距式方程。

说明方程中每个字母的含义，如何从截距式方程推出一般方程。

写出平面3x - 4y + z - 5 = 0的截距式方程。

4．写出平面的法式方程。

一般方程与法式方程是什么关系？将平面x - 2y + 2z - 3 = 0化为法式方程。

5．根据混合积的知识，推出过三点,,的平面方程（也叫平面的三点式方程）。

6．列表总结平面方程的五种形式以及它们之间的相互转化，并指出平面方程的特点。

7．叙述平面与平面的三种位置关系（平行、相交、垂直），并求过z轴且与平面
2x + y - z = 0的夹角为的平面。

8．写出直线的标准方程，并说明方程中每个字母的含义。

求经过点（3，5，-2）和（1，3，4）两点的直线方程。

9．如何从直线的标准方程推出直线的参数方程？
10．写出直线的一般方程，并说明方程中每个字母的含义。

由一般方程化为标准方程的步骤是什么并将
化为标准方程。

11．叙述直线与直线的三种位置关系（平行、相交、垂直），并求过B点（1，-2，3）与z轴相交且与直线垂直的直线方程。

12．推出点到直线、点到平面距离的公式,并求点A（1，2，3）到直线的距离d 。

13．叙述直线与平面的三种位置关系（平行、相交、垂直）。

14．用你自己的话概括一下第六章、第三节主要讲了哪些内容？
高等数学自学提纲（第二学期）
一．偏导数的应用
1．空间曲线的切线和法平面是如何定义的？
2．推出空间曲线：和在处的切线方程和法平面方程。

3．求圆柱螺旋线：在的切线方程，在的法平面方程。

4．推出空间曲线：在处的切线方程和法平面方程。

5．写出球面：与椭球面：交线上对应于x = 1点处的切线方程和法平面方程。

6．曲面的切平面和法线是如何定义的？
7．推出空间曲面由隐函数和显函数给出时，在处的切平面方程和法线方
程。

8．求曲面在点（2，1，4）的切平面方程和法线方程以及法线的方向余弦。

9．多元函数的方向导数是如何定义的？
10．z = f ( x ,y )在点p（x , y）可微，z在p点沿任一方向的方向导数与偏导有何联系？u = f (x,y,z)在空间点p（x , y , z）可微, 在p点沿任一方向的方向导数如何表示？
11．求函数在点M(1，2，-2) 沿曲线: 的切线方向上的方向导数。

二• 第一型曲线积分和第二型曲线积分
1．第一型曲线积分是如何定义的？它的物理意义是什么？
2．第一型曲线积分有哪些性质？
3．计算第一型曲线积分关键步骤是什么？
4．计算第一型曲线积分，L是圆，直线y=x和x轴在第一象限中所围的边界。

5．第二型曲线积分是如何定义的？第二型曲线积分的矢量形式以及它的物理意义是什么？
6．第二型曲线积分有哪些性质？
7．第二型曲线积分的计算公式。

8．第一型曲线积分与第二型曲线积分的区别和联系。

9．计算第二型曲线积分，L是椭圆在上半平面中从点 B（-a ,0）到点A（a ，0）的一段。

三．数项级数
1．阐述级数、数项级数、函数项级数的定义。

2．阐述级数的部分和、级数余项、级数收敛、级数发散的概念。

3．判断下列级数的敛散性，若收敛求级数的和数。

（ 1）
（ 2）
（ 3）
4．收敛级数有哪些性质？
5．为什么级数前加上或去掉有限项或改变有限项的值，级数的敛散性不变？
6．分析下面两句话是否正确？
（ 1）一个级数适当加括号后所得新级数是发散的，则原级数一定是发散的。

（ 2）一个级数适当加括号后所得新级数是收敛的，则原级数一定是收敛的。

7．Cauchy收敛准则的内容是什么？结合p281例6说明用Cauchy收敛准则去证明级数收敛这项工作的实质是什么？
8．正项级数的定义是什么？正项级数的部分和序列有什么特点？“正项级数的部分和序列{Sn}若有界，则这个正项级数就收敛”这句话是否正确？
9．正项级数敛散性的判别方法有哪几种？具体内容是什么？在比较判别法中，通常用哪些级数作为比较标准。

10．什么是任意项级数？什么是交错级数？交错级数的Leibnitz判别法的内容是什么？
11．阐述绝对值级数、绝对收敛、条件收敛的概念。

绝对收敛的级数有哪些性质？
12．讨论级数发散、绝对收敛、条件收敛三种情况。

13．如果级数和均收敛，级数和级数是否收敛？为什么？14．将各种判别级数敛散性的方法作一下总结。

（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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