交通运筹学第4章 运输与指派问题

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一、最小元素法 这种方法的基本思想是就近优先供应， 即对单位运价表中最小运价 cij 对应的变 量 xij 优先赋值 ，然后对次小运价对应 的变量赋值并满足约束，依次下去，直 到最后得到一个初始基本可行解。
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、 、
【例】某建筑公司拟从 A1 A2 A3 三个管桩厂购买管桩，供 4个工地使用。已知各管桩厂可供应管桩的数量（百 根），各工地需要的数量（百根）及从各管桩厂到各 工地的运输单价（千元/百根）如表所示，试用最小元 素法求解该运输问题。

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解 设 xij i 1,2; j 1,2,3 为 i 个产地运往第 j 个需求地的运量，这样得到运输问题的数学模型为： （1）目标函数为总的运费最小，即：
min Z 6x11 4x12 6x13 6x21 5x22 5x23
（2）各产地的供给量与运出量应平衡，即：
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二、元素差额法（Vogel近似法） 最小元素法的缺点是：可能开始时节省一 处的费用，但随后在其他处要多花几倍的运费。 元素差额法对最小元素法进行了改进。如果不 能按最小运费就近供应，就考虑次小运费，这 就有一个差额，差额越大，说明不能按最小运 费调运时，运费增加就越多，因此对差额最大 处就应当采用最小运费调运。
i 1,2,, m j 1,2,.n
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【定理5.1】设有m个产地n个销地且产销平衡的运输问 题，则基变量数为m+n-1。 【定理5.2】若变量组包含有闭回路 C xi1 j1 , xi1 j2 ,, xis j1


则变量对应的列向量线性相关。
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第二节 运输单纯形法



6 x11 4 x12 6 x13 200 6 x 21 5 x 22 5 x 23 300
6 x11 6 x 21 150 4 x12 5 x 22 150 6 x 5 x 200 23 13
（3）各需求地的供给量与需求量应平衡，即：
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调整运量
当某个检验数小于零时，需要调整运量从而改进 运输方案，改进方法为闭回路法，其步骤为： （1）确定进基变量。 （2）确定出基变量。 （3）调整运量，在进基变量的闭回路中将标有负号 的最小运量作为调整运量 ，正号格加上这个运量负号 格减去这个运量。
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【例】求下列运输问题的最小运输费用的最优解
（4）运量应大于或等于零，即：
Βιβλιοθήκη Baiduxij 0, i 1,2; j 1,2,3
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使总运输费用最小的运输问题的数学模型为：
min Z cij xij
i 1 j 1 m n
n xij ai j 1 m xij b j i 1 xij 0
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三、左上角法（西北角法） 左上角法的基本思想是优先产销平衡表的左上角 （西北角）的供应关系。即对单位运价表中左上角处 的运价cij 对应的变量 xij 优先赋值 xij minai , b j 当行或 列分配完毕后，再对表中余下部分的左上角赋值，依 次下去，直到右下角的元素分配完毕。
9 7 6 40
12 9
6 50 3 7 7 60 5 9 11 50 40 60 20
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二、位势法
闭回路法计算各个空格检验数时需要找出对应的闭 回路，这使得在运输问题比较大时计算量很大。下面 介绍较为简便的方法—位势法。
【例】用位势法求上题给出的初始基本可行解的检验数。
第四章
运输与指派问题
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主要内容

第一节 运输问题的数学模型
第二节 运输单纯形法
第三节 指派问题
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第一节 运输问题的数学模型

【例5.1】现从两个产地A1，A2将物品运往B1，B2，B3三个 地区。各产地的产量、各需求地（销地）的需求量及产地到 需求地的运价如表5-1所示，问如何安排运输计划使总的运输 费用最小。
【例】试用西北角法求解上题的初始基本可行解。
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最优性判别
判断初始运输方案是否为最优方案，仍然是用检 验数来判别。因运输问题的目标函数都是求最小值， 所以当所有检验数时，运输方案最优，否则，再改进 当前的运输方案。下面介绍求检验数的两种方法：闭 回路法和位势法。
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一、闭回路法
这种方法求非基变量检验数的步骤为： （1）在基本可行解矩阵中，以该非基变量为起点，以基 变量为其他顶点，找一条闭回路； （2）由起点开始，分别在顶点上交替标上代数符号； （3）用代数符号乘以相应的运价，代数和即为检验数。 【例】求下列运输问题的一个 初始基本可行解及其检验数。 矩阵中的元素为运价，右边的 元素为产量，下方的元素为销 量。
5.2.1 确定初始基本可行解 最小元素法，西北角法，元素差额法 5.2.2 求检验数 闭合回路法、位势法 5.2.3 调整运量 闭合回路法
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最大值问题： （1）所有非基变量的检验数ij 0 时最优。在求初始运输方 案时可采用最大元素法或西北角法。 （2）将极大化问题转化为极小化问题 产销不平衡问题： 在实际问题中常常会遇到总产量和总销量不相等的情况，即产 销不平衡，这时就需要把产销不平衡问题化成产销平衡问题。
5 8 9 3 6 4 10 12 14 45 65 50
2 70 7 80 5 40 30
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最大值问题
当运输问题的目标函数求最大值时，有两种求解方 法。 （1）所有非基变量的检验数 ij 0时最优。在求初始运 输方案时可采用最大元素法或西北角法。 （2）将极大化问题转化为极小化问题。
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不平衡运输问题
在实际问题中常常会遇到总产量和总销量不相等 的情况，即产销不平衡，这时就需要把产销不平衡问 题化成产销平衡问题。 （1）产大于销时 （2）销大于产时
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【例】设有A1和 A2 两个化肥厂供应 B1 B2 B3 三个地 区。假定等量的化肥在这些地区使用效果相同。各地 化肥年产量，各地区的需求量及从化肥厂到各地区运 送单位化肥的运价如表所示。试求出总的运费最节省 的化肥调拨方案。