几何矢量-向量代数与空间解析几何

x 2 2,
PP1 2 PP2 , x 2 11 2 x 2 2
x 1,
所求点为 (1,0,0), ( 1,0,0).
三、小结
空间直角坐标系 （轴、面、卦限）
（注意它与平面直角坐标系的区别）
空间两点间距离公式
M1 M 2
x2 x1 y2 y1 z2 z1
解 M1 M 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14,
2
M 2 M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M 3 M1
2
2
(4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
原结论成立.
M 2 M 3 M 3 M1 ,
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铃
一、空间点的直角坐标
1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 o , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系.
右手规则即以右手 • 坐标原点 握住 z 轴，当右手 • 坐标轴 的四个手指从正向 Ⅳ 度转向正向 y 轴 Ⅶ 时，大拇指的指向 就是 z 轴的正向.
2 2
2
R(0,0, z )
1 1
z
B(0, y, z )
M
C ( x, o, z )
o
Q(0, y,0)
y
x P( x,0,0)
A( x, y,0)
点的坐标面对称
z
Pyz ( x, y, z)
P( x, y, z)
Pxz ( x, y, z)
o
y
x
特征：对应分量绝对值相等 对称面所在两个对应分量符号相同 另一个对应分量符号相反．
点的距离计算
例
设 P 在 x 轴上， 它到 P1 (0, 2,3) 的距离为到
点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解 因为 P 在x 轴上， 设P点坐标为 ( x ,0,0),
PP1 x 2 2 2 32 x 2 11,
2 2 PP2 x 1 1 2
y
x
特征：对应分量绝对值相等，全部对应分量符号相反
点的对称性例题
例 说明（-1,2,3),(1,-2,3),(1,-2,-3)对称性 解：（-1,2,3),(1,-2,3)只有z分量相同，其余对应分量相反
故（-1,2,3),(1,-2,3) 关于z轴对称 （-1,2,3),(1,-2,-3) 对应分量相反 故（-1,2,3),(1,2,-3) 关于原点对称 （1,-2,3),(1,-2,-3)的x，y分量相同，其余对应分量相反 故（-1,2,3),(1,2,-3) 关于xoy对称
二、空间两点间的距离
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点
z
R
M1
M2
d M1 M 2 ?
P
o
在直角 M 1 NM 2 Q 及 直 角 M PN 1 N 中，使用勾股定 y 理知
2 2
x
d M1 P PN NM 2 ,
本章先引入空间直角坐标系，把点和有序数组、 空间图形和代数方程联系起来，建立起对应关系， 给数和代数方程以几何直观意义，从而可以利用代 数方法研究空间图形的性质和相互关系；接着介绍 向量概念，然后以向量代数为工具，重点讨论空间 基本图类——平面，直线，常用的曲面和曲线。
§9.1 空间直角坐标系
一、空间点的直角坐标 二、空间两点间的距离
特殊地：若两点分别为 M ( x , y , z ) , O (0,0,0)
d OM x 2 y 2 z 2 .
点的距离计算
例
已知点 M (2,1,1) ，
(1)求点 M 到 y 轴的距离．
(2)求点 M 到 yoz 面的距离．
(3)求点 M 到点(1,0,-1)点的距离．
解：(1)求点 M 到 y 轴的距离为 22 (1) 2 5
2
2
M1 P x2 x1 , PN y2 y1 ,
NM 2 z2 z1 ,
d
2 2
z
R
M1
M2
Q
o
P
N
y
x
2
M 1 P PN NM 2
2
M1 M 2
x2 x1 y2 y1 z2 z1 .
2 2
空间两点间距离公式
ຫໍສະໝຸດ Baidu第九章
向量代数与空间解析几何
第一部分 向量代数
第二部分 空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
这一章，我们为学习多元函数微积分学 作准备，介绍空间解析几何和向量代数。这 是两部分相互关联的内容。用代数的方法研 究空间图形就是空间解析几何，它是平面解 析几何的推广。向量代数则是研究空间解析 几何的有力工具。这部分内容在自然科学和 工程技术领域中有着十分广泛的应用，同时 也是一种很重要的数学工具。
(2)点 M 到 yoz 轴的距离为 ｜２｜＝２
(3)点 M 到点(1,0,-1)轴的距离为
(2 1) 2 (1 0) 2 (1 (1)) 2 2
点的距离计算
例 求证以 M 1 ( 4,3,1) 、 M 2 ( 7,1,2) 、 M 3 ( 5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
z
z 轴(竖轴)
Ⅲ
Ⅱ
• 坐标面 x轴以 角 2 (八个) • 卦限
yoz 面
o xoy面
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
x轴(横轴)
x
Ⅷ
Ⅴ
在直角坐标系下
有序数组 ( x, y, z ) 点 M (称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C
Pxy ( x, y, z)
点的坐标轴对称
Pz ( x, y, z) z
特征：对应分量绝对值相等 对称轴所在分量符号相同
另外两个对应分量符号相反
P( x, y, z)
o
y
Px ( x, y, z)
x
Py (x, y, z)
点的中心对称
z
P( x, y, z)
o
P '( x, y, z )