f习题课(定积分)

7. 定积分常用公式 (1) 瓦里斯公式
π 2 0 π 2 0
∫
sinn xdx = ∫ cosn xdx =
( n − 1 )! ! π n !! ⋅ 2 ( n − 1 )! ! n !!
n 为 正 偶数 n 为 正 奇数
(2)
∫
a
−a
0 f ( x )d x = a 2 ∫0 f ( x )d x
. .
.
( 6)
x
∫
2
0
f ( x )d x =
∫
1
0
x dx +
2
∫
2
1
1 1 d x = + ln 3 − ln 2 . 1+ x 3
2. 定积分性质 比较定理： 比较定理：
f ( x ), g ( x ) ∈ C [a , b ], f ( x ) ≥ g ( x ), 且 f ( x) ≡ g( x),
则 ∫ f ( x )d x >
0
. . .
T
例11. 计算 I = 解：
∫
2 nπ
0
2 nπ
1 − cos 2 x d x
sin x d x
n为自然数 为自然数. 为自然数
I =
2∫
0
被积函数以π 为周期, 被积函数以π 为周期
∴ I = 2 2 n ∫ sin x d x
0 π
= − 2 2 n cos x
π 0
= 4 2n.
∫
b
a
f ( x ) d x = [F ( x ) ] a
b
其中 , F ′ ( x ) = f ( x ) .
这个公式揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的 联系，给定积分提供了一个有效而简便的计算方法。 联系，给定积分提供了一个有效而简便的计算方法。
.
它表明：一个连续函数在区间 上的定积分等于它的任一个 它表明：一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于它的任一个 上的 原函数在区间[a, 上的增量 上的增量。 原函数在区间 b]上的增量。 恩格斯评价说，这是整个微积分学中最精彩的部分。 恩格斯评价说，这是整个微积分学中最精彩的部分。它闪烁着 人类思想和智慧的灿烂光辉！ 人类思想和智慧的灿烂光辉！ 定积分是个数，原函数是个函数。 定积分是个数，原函数是个函数。从数过渡到函数是这个公式 的关键。这一过渡是由积分限为变元的函数完成的。 的关键。这一过渡是由积分限为变元的函数完成的。 积分限为变元的函数完成的
.
.
(4) 若 f ( x )为连续奇函数，则其 不定积分是一个偶函数 族； 为连续奇函数，
为连续偶函数， 若 f ( x )为连续偶函数，则其不 定积分中仅有一个是奇 函数 。
证明: 思考：f ( x )的不定积分怎样表示 ？ I =
∫
x
0
f ( t )dt + C .
令F ( x ) =
∫
x
0
∫
h( x )
f ( t )d t ，则 F ′( x ) = ?
F ′( x ) = f [ g ( x )] ⋅ g ′( x ) − f [ h( x )] ⋅ h ′( x )
例 4. d dx
∫
sin x x2
e
− x2
d dx = dx
∫
sin x x
2
e
−t2
dt
− x4
=e
− sin 2 x
. . .
证毕. 证毕
7.
定积分常用公式
( 3) 若 f ( x + T ) = f ( x ),
则
a + nT
∫
a +T
a
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx
0
T
进一步， 试证明之 。进一步， ∫a
f ( x ) dx = ?
证明: 令F (a ) = ∫
a +T
a
f ( x )dx
则F ′(a ) = f (a + T ) − f (a ) = 0
使
∫
b
a
f ( x ) d x = f (ξ )( b − a ).
. . .
注：此定理解决积分去掉积分号的问题。 如下例 此定理解决积分去掉积分号的问题。
积分中值定理应用
例 2 : 求 I = lim
n→ ∞
∫
n+ p
n
sin x dx x
( p > 0)
.
由中值定理， 解 ：由中值定理， sin ξ I = lim p ⋅ , n→ ∞ ξ
2 0
证毕. 证毕
例12
计算
∫
π 2 0
cos p x dx = I p p sin x + cos x
( p > 0)
解： 因为 I = I 1 =
∫
π 2 0
sin p x dx p p sin x + cos x
1 ∴ I = (I + I1 ) = 1 2 2
∫
π 2 0
π . 1d x = 4
∴ lim
n→ ∞
其中 n ≤ ξ ≤ n + p ，
∫
n+ p
n
sin x 1 d x = lim ⋅ p sin ξ ξ →∞ ξ x
=0
( 因为：| p sin ξ |≤ | p |). 因为：
. .
3. 用定积分的定义求极限
等分 基本思想： 基本思想： 设 f ( x )在 [ a , b ]上连续 . n等分 [ a , b ].
∴ F (a )与a无关.
T 0
取a = 0，
证毕. 证毕
a + nT
则F (a ) = F (0) = ∫ f ( x )dx .
进一步， 进一步， ∫
a a + nT
f ( x ) dx =
∫
a +T
a
+∫
a + 2T
a +T
+ ⋅⋅⋅ + ∫
a + ( n − 1 )T
= n ∫ f ( x ) dx .
xi
n i =1
当 a = 0 , b = 1时， lim ∑ n→ ∞
i 1 f ( )⋅ = n n
∫
1
0
f ( x )d x .
如下例： 如下例：
3. 用定积分的定义求极限
n n n 例 3. 求 lim 2 + 2 + ⋅⋅⋅ + 2 2 2 n→ ∞ n + 1 2 n +2 n +n n n n 解： lim 2 + 2 + ⋅⋅⋅+ 2 2 2 n→ ∞ n + 1 2 n +2 n +n n n = lim ∑ 2 2 n→ ∞ i =1 n + i
cos x − 2 x e
.
.
例5
d dx
∫
x
0
sin( t − x )d t
解： 先积分，再求导 . 先积分，
d d t= x [ − 1 + cos x ] = − sin x [ − cos( t − x ) t = 0 ] = 原式 = dx dx
例6 F ( x) =
∫
x
5
y t d t d y , 求 F ′′( x ). ∫2 sin t
重点、难点与例子. 一. 重点、难点与例子 1. 定积分的存在定理 在闭区间[a,b]上连续，则 f (x) 在[a,b]上可积。 上连续， 上可积。 若 f (x) 在闭区间 上连续 上可积 推广之： 推广之： 上只有有限个第一类间断点， 若 f (x) 在[a,b]上只有有限个第一类间断点，则 f (x) 在 上只有有限个第一类间断点 [a,b]上可积。 上可积。 上可积
6. 计算定积分 计算定积分(N—L公式）与计算不定积分的不同之处： 公式） 公式 与计算不定积分的不同之处： (1) 变量代换写出，要换限； 变量代换写出，要换限； (2) 被积函数表示式受积分限的制约。 被积函数表示式受积分限的制约。
例9.
∫
2
0
(4 − x 2 ) dx
. .
3 2
解： 令x = 2 sin t ,
0
x
∫
x
0
f ( t )dt + C 是偶函数族 .
. .
同理可证 函数， 若 f ( x )为 偶 函数， 仅当C = 0 时 I 为奇函数 (同理可证 ).
. .
( 5)
∫
π 2 0
f (sin x )dx = ∫ f (cos x )dx
π 2 0
证明: 令 x = π − t 2
左边 = − ∫ π f (cos t )dt = 右边 .
为奇函数， f ( t )dt . 若 f ( x )为奇函数，
−x 0
对F ( − x ) = ∫
f ( t )dt
令 t = − y,
x
则F ( − x ) = − ∫ f ( − y )dy = ∫0 f ( y )dy = F ( x )
0
x
∴ F ( x ) = ∫ f ( t )dt是偶函数 . ∴ I =
y
x2 例1： f ( x ) = 1 1 + x
当0 ≤ x < 1 当1 ≤ x ≤ 2
2
几何上， 几何上，f (x)的积分是 的积分是 面积S 之代数和。 面积 1与 S2之代数和。