5.1 晶体的光学各向异性

第5章 光在各向异性介质中的传输特性(Transmission 章
characteristics of light in anisotropy dielectric)
光在晶体中与光在各向同性介质中传播特性的主要 光在晶体中与光在各向同性介质中传播特性的主要 晶体 差别是，光在晶体中不同方向传播时， 差别是，光在晶体中不同方向传播时，其光学性质 不同，能够产生双折射、双反射和偏振效应。 不同，能够产生双折射、双反射和偏振效应。
pi = ∑ Tij q j
j
i, j = 1, 2,3
(4)
1. 张量的概念 是张量， 如果 T 是张量，则 p 矢量的某坐标分量不仅与 q 矢量的同一坐标分量有关，还与其另外两个分量有 矢量的同一坐标分量有关， 关。
p1 = T11q1 + T12 q2 + T13q3 p2 = T21q1 + T22 q2 + T23q3 p3 = T31q1 + T32 q2 + T33q3
(3)
其一般分量形式为
pi = ∑ Tij q j
j
i, j = 1, 2,3
(4)
1. 张量的概念 按照爱因斯坦求和规则： 按照爱因斯坦求和规则：若在同一项中下标重复两 爱因斯坦求和规则 则可自动地按该下标求和， 次，则可自动地按该下标求和，将上式简化为
pi = Tij q j i, j = 1, 2,3 (5)
p =T ⋅q (1)
式中， 二阶张量。 式中，T 是关联 p 和 q 的二阶张量。
1. 张量的概念 在直角坐标系 O－x1x2x3 中，上式可表示为矩阵形式
p1 T11 T12 T13 q1 p = T T T q 2 21 22 23 2 p3 T31 T32 T33 q3
Di = ε 0ε ij E j i, j = 1, 2, 3 (15)
5.1.2 晶体的介电张量 (Dielectric tensor of crystals)
D = ε 0ε r E
的方向相同， 电位移矢量 D 与电场矢量 E 的方向相同，即 D 矢 矢量的相应分量线性相关。 量的每个分量只与 E 矢量的相应分量线性相关。
方解石晶体
第5章 光在各向异性介质中的传输特性(Transmission 章
characteristics of light in anisotropy dielectric)
光在晶体界面上折射、反射时，一般将产生两束折 光在晶体界面上折射、反射时，一般将产生两束折 两束 射光、反射光，而且它们是偏振方向互相垂直的线 射光、反射光，而且它们是偏振方向互相垂直的线 偏振光。 偏振光。
T111 T122 T133 T123 T132 T131 T113 T112 T121 Tijk = T211 T222 T233 T223 T232 T231 T213 T212 T221 T311 T322 T333 T323 T332 T331 T313 T312 T321
(2)
式中， 式中，三个矩阵分别表示矢量 p、二阶张量 T 、 矢量 q。 。
和
1. 张量的概念 二阶张量有九个分量，每个分量都与一对坐标相关。 二阶张量有九个分量，每个分量都与一对坐标相关。 (1)式的分量表示式为 式的分量表示式为
p1 = T11q1 + T12 q2 + T13q3 p2 = T21q1 + T22 q2 + T23q3 p3 = T31q1 + T32 q2 + T33q3
3. 对称张量 二次曲面: 二次曲面: 若曲面 S 在直角坐标系下的方程是关 三元二次方程, 于 x, y, z 的三元二次方程,则称曲面 S 是二次曲 面。
主轴坐标系： 主轴坐标系：坐标轴选择得和椭球的主轴方向一 致的坐标系称为主轴坐标系。 致的坐标系称为主轴坐标系。
3. 对称张量 在主轴坐标系中，张量只有三个对角分量非零， 在主轴坐标系中，张量只有三个对角分量非零，为 对角化张量。 对角化张量。
3. 对称张量 可表示为
T1 0 0 0 T 0 2 0 0 T3
最后应指出，张量与矩阵是有区别的， 最后应指出，张量与矩阵是有区别的，张量代表一 物理量，因此在坐标变换时， 种物理量，因此在坐标变换时，改变的只是表示方 式, 其物理量本身并不变化, 而矩阵则只有数学意义。 其物理量本身并不变化 而矩阵则只有数学意义。 数学意义
2. 张量的变换 其分量表示形式为
Tij′ = aik a jlTkl i, j , k , l = 1, 2, 3 (10)
这就是张量变换定律。如果用张量的新坐标分量表示 这就是张量变换定律。 原坐标分量， 原坐标分量，可通过逆变换得到
′ Tij = aki aljTkl
(11)
2. 张量的变换 如果考虑的是矢量，则新坐标系中的矢量表示式 ′ 如果考虑的是矢量，则新坐标系中的矢量表示式 A′ 与原坐标系中的表示式 A 间的矩阵变换关系为
5.1.2 晶体的介电张量 (Dielectric tensor of crystals) 对于各向异性介质， 对于各向异性介质，D 和 E 间的关系为 各向异性介质
D = ε 0ε r ⋅ E (14)
式的分量形式为 是二阶张量。 介电常数 ε = ε 0ε r 是二阶张量。 (14)式的分量形式为
e 光一般不遵从折射定律： 光一般不遵从折射定律：
e 光折射线也不一定在入射面内。 光折射线也不一定在入射面内。 入射面内
光光光光光(e绕o转）.swf
5.1 晶体的光学各向异性 (Optical anisotropy in crystals) 晶体结构表现出一定的空间周期性和对称性。 晶体结构表现出一定的空间周期性和对称性。这种 周期性和对称性 结构特点导致了晶体宏观性质的各向异性 宏观性质的各向异性。 结构特点导致了晶体宏观性质的各向异性。
SZS 光光光 .swf
第5章 光在各向异性介质中的传输特性(Transmission 章
characteristics of light in anisotropy dielectric)
o 光遵从折射定律： 光遵从折射定律：
n1 sin θi = n2 sin θto
sin θi ≠ const sin θt e
(8)
1. 张量的概念 一个标量可以看作是一个零阶张量，一个矢量 矢量可以 一个标量可以看作是一个零阶张量，一个矢量可以 标量可以看作是一个零阶张量 看作是一个一阶张量 标量无下标， 一阶张量。 看作是一个一阶张量。标量无下标，矢量有一个下 二阶张量有两个下标，三阶张量有三个下标。 标，二阶张量有两个下标，三阶张量有三个下标。
T
Ti
Tij Tijk
2. 张量的变换 假若在原坐标系 O-x1x2x3 中，某张量表示式为 [Tij]， 该张量的表示式为[T 在新坐标系 O-x1′x2′x3′ 中，该张量的表示式为 ′ij].
O -x1 x2 x3 → O -x1′ x2′ x3′
Tij → Tij′
2. 张量的变换 的坐标 则当原坐标系 O-x1x2x3 与新坐标系 O-x1′x2′x3′的坐标 变换矩阵为 [aij] 时，[Tij] 与 [T′ij] 的关系为
Dwk.baidu.com= ε 0ε r ⋅ E
(14)
的方向不同, 电位移矢量 D 与电场矢量 E 的方向不同, 即 D 矢 矢量的各个分量线性相关。 量的每个分量均与 E 矢量的各个分量线性相关。
5.1.2 晶体的介电张量 (Dielectric tensor of crystals) 是一个对称张量 对称张量， 晶体的介电张量 ε r 是一个对称张量，因此它有六个 独立分量。经主轴变换后的介电张量是对角张量, 独立分量。经主轴变换后的介电张量是对角张量,只 有三个非零的对角分量。 三个非零的对角分量。
5.1.2 晶体的介电张量 (Dielectric tensor of crystals) 介电常数 ε 是表征介质电学特性的参量在各向同性 是表征介质电学特性的参量在各向同性 介质中 满足如下关系: 介质中,电位移矢量 D 与电场矢量 E 满足如下关系:
D = ε 0ε r E
标量。 介电常数 ε = ε0 εr 是标量。
i e
o
第5章 光在各向异性介质中的传输特性(Transmission 章
characteristics of light in anisotropy dielectric)
o 光和 e 光在晶体中具有不同的传播速度。o光在 光在晶体中具有不同的传播速度。 光在 晶体中各方向的传播速度都相同 传播速度都相同； 晶体中各方向的传播速度都相同；e 光在晶体中的 传播速度随方向而改变。 传播速度随方向而改变。
3. 对称张量 称为对称张量 对称张量, 一个二阶张量 [Tij]，如果有 Tij＝Tji,称为对称张量, 如果有 它只有六个独立分量。 它只有六个独立分量。 六个独立分量
T11 T12 T13 T T T 21 22 23 T31 T32 T33
3. 对称张量 与任何二次曲面一样，二阶对称张量存在着一个主 与任何二次曲面一样，二阶对称张量存在着一个主 轴坐标系。 轴坐标系。
第5章 光在各向异性介质中的传输特性(Transmission 章
characteristics of light in anisotropy dielectric)
前面几章我们由光的电磁理论出发，讨论了光在各 前面几章我们由光的电磁理论出发，讨论了光在各 向同性介质中的传播规律 现在， 的传播规律。 向同性介质中的传播规律。现在，仍然从光的电磁 各向异性介质中的传播规律 理论出发，讨论光在各向异性介质中的传播规律。 理论出发，讨论光在各向异性介质中的传播规律。
A1′ a11 a12 a13 A1 A′ = a a a A 2 21 22 23 2 A3 a31 a32 a33 A3 ′
(12)
其分量变换公式为
Ai′ = aij Aj i, j = 1, 2, 3 (13)
钠
氯
5.1 晶体的光学各向异性 (Optical anisotropy in crystals)
在晶体中，描述光学特性的参量与方向有关， 在晶体中，描述光学特性的参量与方向有关，因方 向而异，它们是一些张量 张量。 向而异，它们是一些张量。
5.1.1 张量的基础知识 (basic knowledge of tensor) 1. 张量的概念 张量是使一个矢量与一个或多个其它矢量相关联的 例如, 量。例如,矢量 p 与矢量 q 有关则其一般关系应为
3. 对称张量 于是，当坐标系进行主轴变换时， 于是，当坐标系进行主轴变换时，二阶对称张量即 可对角化。例如， 可对角化。例如，某一对称张量
T11 T12 T13 T T T 21 22 23 T31 T32 T33
经上述主轴变换后 经上述主轴变换后，
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ T11 = T1 , T22 = T2 , T3′3 = T3 , T12 = T21 = T13 = T31 = T23 = T32 =0
(3)
1. 张量的概念 相关， 矢量 p 与两个矢量 u 和 v 相关，其一般关系式为
p = T : uv (6)
分量表示式为
pi = Tijk u jυ k i, j , k = 1, 2,3 (7)
式中， 三阶张量， 个分量。 式中，T 为三阶张量，包含 27 个分量。
1. 张量的概念 其矩阵形式为
T ′ T ′ T ′ 11 12 13 a11 a12 a13 T11 T12 T13 a11 a21 a31 T21′ T22′ T23′ = a21 a22 a23 T21 T22 T23 a12 a22 a32 (9) T31′ T32′ T33′ a31 a32 a33 T31 T32 T33 a13 a23 a33