正态分布大数定律与中心极限定理

1 2
拐点
3 2
O


2 3
x
随机变量 X 落在 3 , 3 之外的概率小于3‰。 通常认为这一概率很小，根据小概率事件的实际不可能性 原理，我们常把区间 3 , 3 看作是随机变量 X 的
D( X ) 1 2
2
( x )2 e

( x )2 2 2
t
dx
x

2 2 t e dt 2
t2 2
2 2
2 2 D( X ) 2

0

0
t e dt
s
1 2
t 2 2
2
t2 令 s, 则e 2
1 （ ）(0) ； 由（）容易得到（ 2 2 1 ）。 2 （3） x 1 x
标准正态分布密度关于 轴对称，即P( X x ) P( X x ) y
1 e 2
x2 2
dx

0
1 e 2
x2 2
1 dx 2
即（ x ) P ( X x ) P ( X x ) 1 P ( X x ) 1 （x )
标准正态变量的分布函 数则表示为 ( x)，则 ( x)与其密度
( x)的关系式为： ( x ) ( x ), ( x )

x

( x )dx
x

1 e 2

t2 2
dt
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
4.正态密度函数的性质
（） ( x)dx 1
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
x 2
P ( x1 X x2 ) F ( x2 ) F ( x1 ) ( t 2 ) ( t1 ) (
x2
x1 , x2 也可求单侧概率： P( X x2 ) ( x2
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
所以
即
80 d 0.01 利用0.9901正态分布表，有 0.5
故设定温度d至少为81.165度.
(2.33) 0.9901
(2.33) 0.01
一般地，给定实数 则称
(0 1) 存在实数 u 使得 P( X u )
例题4.1.2 若 X ~ N , 2 , 求X 落在区间 k , k 内的概率， 其中 k 1, 2, 3,
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
解
P k X k P X k


k k k k 2 k 1
P ( X x ) F ( x )且F ( x )
x

f ( x )dx ，或f ( x ) F ( x )
x2 x1
P ( x1 X x 2 ) F ( x 2 ) F ( x1 ) f ( x )dx
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
1.正态变量的密度函数 设连续型随机变量 X 的概率密度为 ( x ) 1 f ( x) e 2 , x 2
特别地，当 0, 1时，正态分布 N 0 , 1叫做标准正态分布。 其概率密度为
x
1 2 e
x2 2
,
x
2.正态分布 N , 2 的密度曲线
f x 1 2

x 2
2 2
若固定μ=0
e
f x
f x
查表得 P X 21 1 0.6826
P X 2 22 1 0.9544
P X 3 23 1 0.9973
P X 4 24 1 0.99994

1 2
O

1 （ ） 2
x
O
x
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
3.正态变量的分布函数
因此，正态分布 , N 的表达式为： 1
2
首先：分布函数与密度 的关系式是f ( x ) F ( x ), F ( x )
F x
x

f ( x )dx
F x
2 2
其中 及 ＞0都为常数，这种分布叫做正态分布或高斯分布。 记作 N , 2 .







f x dx


1 2
x 2

2
e
2 2
dx
t
x

2 2

0
e
t2 2
2
t2 2
1


e
t2 2
dt
5.用（x)求F ( x) 标准正态分布函数( x)的数值已经编制成表，一般概率
统计教材后都有标准正态分布函数表，可以根据x值求出( x). 对于一般正态变量 X ~ N ( , 2 ), 有
x2 1 2 2 Px1 X x2 F ( x2 ) F ( x1 ) x1 e 2 dx 2 2 x t2 x2 t x1 t x2 t 1 1 1 e 2 dt e 2 dt e 2 dt x1 2 2 2
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
一、正态分布的概率密度函数与分布函数
1.背景：正态分布是现代统计学的基础。18世纪科学家发现测 量的误差具有惊人的规律性，这种规律性满足类似于某种特殊 的“中间大，两头小”的特征，现实中众多的问题都具有这种 特性，棣美佛、拉普拉斯、高斯是最初研究类似现象并发现了 其密度和分布的数学家。他们将这种分布称为正态分布。 2.一般正态分布的概率密度函数与分布函数 我们已知连续随机变量 的密度与分布关系如下 X
实际可能的取值区间这一原理叫做三倍标准差原理（或3σ 法则）。
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
例4.1.3 把温度调节器放入储存着某种液体的容器中， 调节器的设定温度 为d 度,已知液体的温度T是随机变量，且
X ~ N (d ,0.52 )
（1）若 d 90 度，求T 89 度的概率； （2）若要求保持液体的温度至少为80度的概率不少于0.99， 问d至少为多少度？
( x )2 2 2

( x )2 2 2
t2 2
t2 2
t2 2
注意奇函数对称区间积 分为零，而偶函数对称 区间积分加倍且 前者为（ ） ，后者为奇函数对称积 分
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
1.方差 x E ( X ) 2 f ( x )dx将正态分布密度代入 由方差定义D( X )

) (
x1

)

) () (
x2

)
,
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
例题4.1.1 已知X ~ N (0,1)，试求 P( X 3) P x 1.5 解：查表可得：(3) 0.9987 (1.5) 0.9332 故




f ( x )dx ( x )dx 1且 ( x )是偶函数



1 e 2
x2 2
2 dx 2

0

1 e 2
x2 2
2 dx 2


0
1 e 2
x2 2
dx 1
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理

0
t 1 s ds, e dt 令 s 0, 则dt 2 2

1 2
1 1 s dt s 2 e ds 2

2 f x dx 2


0
e
t2 2
2 dt 2


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0
1 1 s 1 1 2 ( ) 1 s e ds 2 2
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
E( X )
X ~ N ( , 2 )
f ( x) 1 2
e

( x )2 22
x 0
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
2 若 k 为奇数，奇函数对称积分
若 k 为偶数，
k ( X )
1
( x ) e
k

P X 5 2(5) 1 0.9999994
注意到：P X 3 23 1 0.9973
P X 3 1 0.9973 0.002 0.003
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
f x
拐点

( x )2 2 2
dx
t x
k k t e dt 2
t2 2
则： k 0
z
t2 2
k 1, 3, 5,
k
2 k
k 2
2
k
2
0 t e dt
k
2


t2
2 k
k 2

0 e z dz

z
k 1 2

k 1 ( k 1)!! k 2
1 2
e
x

t 2
2 2
dt
0.5
4.标准正态分布的密度函数与分布函数 O x 若随机变量 X服从 0， 2 1的正态分布，则称 X服从标准
正态分布，记作 N (0,1)。一般地，将标准正态 分布用符号 ( x)表示。
一般地，标准正态分布 的密度函数用符号 ( x)来表示，
解 （1）由已知，所求的概率为
89 90 P T 89 (2) 1 (3) 1 0.9772 0.0228. 0.5 （2）据题意，需求d,使得 P T 80 0.99 因为
80 d P T 80 1 P X 80 1 0.99 0.5
0 0
1 ( x)dx . 2
2
正态密度N ( , )的密度f ( x )
x2 2
1 e 2

x 2
2 2
和标准正态密度
1 ( x) e 首先都具有一般密度函 数的非负规范性，另外 ， 2 标准正态密度由于是偶 函数，还具有对称区间 积分的特殊性
2 2
t2 2
dt
2 2
s

1 2
2
e
s
是偶函数

2s
2
e ds
s



0
s e ds

1 2
s
3 2 2 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 2
k
3.中心矩
由中心矩公式k ( X ) x E ( X ) f x dx
P( X 3) (3) 1 (3) 1 0.9987 0.0013
P x 1.5 P(1.5 X 1.5) (1.5) (1.5) (1.5) 1 (1.5) 2 (1.5) 1 2 0.9332 1 0.8664
百分位点.
u 为随机变量X上的
百分位点的解释和应用在数理统计部分还要详细说明
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
二、正态分布的数字特征 1.数学期望
根据数学期望即均值定 义：E ( X ) xf ( x )dx 1 2 将正态分布N ( , )的密度函数f ( x ) e 2 － x 0代入公式 1 t x 1 E( X ) dx ( t )e dt xe 2 2 1 e dt 2 te dt＝ 2