正态分布大数定律与中心极限定理
中心极限定理和大数定律
中心极限定理和大数定律中心极限定理和大数定律是统计学中非常重要的两个概念。
它们在统计学中被广泛应用，对于理解随机事件的规律性和分析数据具有重要意义。
本文将对中心极限定理和大数定律进行详细的阐述。
一、中心极限定理1. 定义中心极限定理是指当样本量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。
也就是说，如果我们从总体中抽取足够多的样本，并计算每个样本的平均值，那么这些平均值将近似于正态分布。
2. 原理中心极限定理的原理可以用数学公式表示为：当n趋向于无穷大时，样本均值（Xbar）服从正态分布N（μ,σ^2/n）。
其中，μ代表总体均值，σ代表总体标准差。
3. 应用中心极限定理在实际应用中非常广泛。
例如，在质量控制过程中，我们可以通过抽取一小部分产品进行检测，并根据检测结果推断整个批次产品的质量状况。
而根据中心极限定理，我们可以通过抽取足够多的样本并计算样本均值，来推断总体均值和标准差，从而判断整个批次产品的质量是否符合要求。
二、大数定律1. 定义大数定律是指当样本量足够大时，样本平均值趋近于总体平均值。
也就是说，如果我们从总体中抽取足够多的样本，并计算每个样本的平均值，那么这些平均值将趋近于总体的平均值。
2. 原理大数定律的原理可以用数学公式表示为：当n趋向于无穷大时，样本均值（Xbar）趋近于总体均值（μ）。
3. 应用大数定律在实际应用中也非常广泛。
例如，在股票市场中，我们可以通过抽取一小部分股票进行分析，并根据分析结果预测整个市场的走势。
而根据大数定律，我们可以通过抽取足够多的股票并计算它们的收益率，来推断整个市场的平均收益率和风险水平。
三、中心极限定理和大数定律之间的关系1. 相似性中心极限定理和大数定律都是关于样本均值的定理，它们都是基于样本量足够大的前提条件下成立的。
2. 区别中心极限定理和大数定律的主要区别在于它们所描述的内容不同。
中心极限定理描述了样本均值的分布情况，而大数定律描述了样本均值与总体均值之间的关系。
为什么中心极限定理是正态分布证明过程
中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它表明在一定条件下，大量独立同分布随机变量的和的分布会趋近于正态分布。
正态分布在统计学和自然科学中具有重要地位，因此中心极限定理的证明过程对于理解正态分布的性质和应用具有重要意义。
本文将通过以下几个方面解析为什么中心极限定理是正态分布的证明过程。
1. 中心极限定理的概念和表述中心极限定理是指在一定条件下，大量独立同分布随机变量的和的分布会趋近于正态分布。
具体来说，设X1，X2，...，Xn是n个独立同分布的随机变量，它们具有相同的数学期望μ和方差σ^2，那么它们的和Sn=(X1+X2+...+Xn)在n趋向于无穷大时，其分布函数将趋近于正态分布的分布函数。
2. 大数定律与中心极限定理的关系中心极限定理与大数定律都是描述随机变量序列的性质的定理，但它们的对象不同。
大数定律是描述随机变量序列的数学期望的性质，而中心极限定理是描述随机变量序列的和的分布的性质。
在证明过程中，我们会分析这两个定理之间的通联和区别。
3. 极限定理的数学推导为了证明中心极限定理，首先需要利用数学分析和概率论的理论知识，对随机变量序列的和的分布进行推导。
我们将会详细介绍中心极限定理的数学推导过程，包括利用特征函数进行推导、应用Moments生成函数以及利用独立同分布的性质等。
4. 中心极限定理的应用与意义我们将讨论中心极限定理在实际问题中的应用和意义。
正态分布在自然界和社会现象中具有广泛的应用，而中心极限定理为我们理解和应用正态分布提供了重要的理论基础。
我们也将介绍中心极限定理在统计学、金融学、医学等领域中的实际应用，以及它对于风险管理、决策分析和科学研究的重要意义。
5. 总结通过对中心极限定理的证明过程进行分析和讨论，我们将更深入地理解中心极限定理的内在含义和数学原理，以及它在现实生活中的重要应用。
也能够更好地理解正态分布的性质和特点，为进一步深入研究概率论和统计学提供理论基础和指导。
中心极限定理是概率论中的一个基本概念，它向我们展示了独立随机变量的和的分布是如何趋向于正态分布的。
大数定律和中心极限定理
大数定律和中心极限定理1 大数定律这里强调的是总体与样本大数定律就是说：当随机事件发生的次数足够多时，发生的频率趋近于预期的概率大数定律说的是当随机事件重复多次时频率的稳定性，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋近于预期的“概率”2 赌徒缪误：1，2，4，8-----在赌钱时——输了就翻倍，一直到赢为止有人说：如果已经连续4次出现正面，接下来的第5次还是正面的话，就接连有5次“正面”，根据概率论，连抛5次正面的几率是1/25=1/32。
所以，第5次正面的机会只有1/32，而不是1/2。
以上混淆了“在硬币第1次抛出之前，预测接连抛5次均为正的概率”和“抛了4次正之后，第5次为正的概率”，既（11111）---- 1/32，(1111)1 ---- 1/2。
3 中心极限定理3.1 大数定律和中心极限定理的关系：上面通过赌徒谬误介绍了概率论中的大数定律。
大数定律说的是当随机事件重复多次时频率的稳定性，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋近于预期的“概率”。
但大数定律并未涉及概率之分布问题。
此外大数定律说明了在一定条件下，当系统的个体足够多时，系统的算数平均值会集中在期望位置。
从这个角度，中心极限定理包含了大数定律。
因为中心极限定理在于揭示系统在期望附近的统计性质，即“以何种方式”集中在期望。
总的来说就是——大数定律反映的是频率->概率（或者认为广义的期望）；而中心极限定理反映的是——在整体结果下，结果内部发生各种情况下的一个概率分布情况。
3.2 那什么是中心极限定理？中心极限定理指的是分别适用于不同条件的一组定理，但基本可以用一句通俗的话来概括它们：大量相互独立的随机变量，其求和后的平均值以正态分布（即钟形曲线）为极限。
Eg：以二项分布为例进行解释（抛硬币）对于抛n次硬币，出现正面k次的一个分布情况，如下：但是对于二项分布不一定是对对称的，除了受抛的次数n影响，还受对应的概率p的影响3.3 晋级再后来，中心极限定理的条件逐渐从二项分布推广到独立同分布随机序列，以及不同分布的随机序列。
大数定理和中心极限定理
大数定理概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。
概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。
概率论与数理统计学的基本定律之一，又称弱大数理论。
发展历史1733年，德莫佛—拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限分布是正态分布。
拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布。
1900年，李雅普诺夫进一步推广了他们的结论，并创立了特征函数法。
这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题，卜里耶为之命名“中心极限定理”。
20世纪初，主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件，二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展。
伯努利是第一个研究这一问题的数学家，他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。
表现形式大数定律有若干个表现形式。
这里仅介绍高等数学概率论要求的常用的三个重要定律：∙切比雪夫大数定理设是一列两两不相关的随机变量，他们分别存在期望和方差。
若存在常数C使得：则对任意小的正数ε，满足公式一：将该公式应用于抽样调查，就会有如下结论：随着样本容量n的增加，样本平均数将接近于总体平均数。
从而为统计推断中依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。
∙伯努利大数定律设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，且事件A在每次试验中发生的概率为P，则对任意正数ε，有公式二：该定律是切比雪夫大数定律的特例，其含义是，当n足够大时，事件A出现的频率将几乎接近于其发生的概率，即频率的稳定性。
在抽样调查中，用样本成数去估计总体成数，其理论依据即在于此。
∙辛钦大数定律辛钦大数定律：常用的大数定律之一设{，i>=1}为独立同分布的随机变量序列，若的数学期望存在，则服从大数定律:即对任意的ε>0，有公式三：、中心极限定理中心极限定理（central limit theorem）是概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理。
大数定律与中心极限定理公式
大数定律与中心极限定理公式
大数定律和中心极限定理是概率论和统计学中的重要概念，它们描述了在大量重复实验或观察中随机变量的性质。
大数定律是指当试验次数趋于无穷时，随机变量的相对频率趋于其概率。
具体来说，如果一个随机变量序列{ξn, n ∈ N} 的期望存在且等于某个常数ξ，那么对于任意小的正数ε，当 n 趋于无穷时，P( ξn - ξ ≥ ε ) 趋于 0。
中心极限定理则是指无论随机变量 X1, X2,..., Xn 的分布是什么，只要 n 足
够大，那么它们的和 X1 + X2 + ... + Xn 除以 n 的标准化形式就会近似地
服从标准正态分布 N(0, 1)。
也就是说，对于任意x ∈ R，有limn→∞
P(∣∑i=1nxi−nμ∣≤xσn)=Φ(x)\lim_{n \to \infty}
P(\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}} \leq x) =
\Phi(x)limn→∞P(∣∣∑i=1nxi−nμ∣∣≤xnσ2)=Φ(x)，其中μ 是 X1, X2,...,
Xn 的期望，σ^2 是它们的方差，Φ(x)是标准正态分布 N(0, 1) 的分布函数。
这两个定理在统计学中有着广泛的应用，例如在样本均值的分布、样本比例的分布、回归分析等方面都有重要的应用。
中心极限定理与大数定律的关系
中心极限定理与大数定律的关系中心极限定理与大数定律是统计学中非常重要且相关的两个概念。
它们都涉及到随机过程和概率分布，但是侧重点不同。
在这篇文章中，我将深入探讨中心极限定理与大数定律之间的关系，并分享我对它们的观点和理解。
一、中心极限定理中心极限定理是概率论和统计学的核心概念之一，它描述了大样本数量下随机变量和的分布趋近于正态分布的现象。
中心极限定理的核心思想是，当我们抽取足够大的样本量时，样本均值的分布将接近于正态分布。
中心极限定理的数学表达可以用公式来表示：_ = (_1 + ?_2 + … + ?_?) /?其中，?_? 表示样本均值；?_1, ?_2, …, ?_? 表示从总体中独立同分布的随机变量；? 表示样本容量。
中心极限定理告诉我们，无论总体分布是什么，当样本数量足够大时，样本均值的分布将近似于正态分布。
这一理论提供了一种对总体分布进行近似和推断的方法。
它在统计学的各个领域广泛应用，例如假设检验、置信区间估计等。
二、大数定律大数定律是概率论和数理统计中的另一个重要概念，它描述了随着样本数量的增加，样本均值趋于总体均值的现象。
大数定律的核心思想是，当我们抽取足够多的样本时，样本均值将逐渐接近于总体均值。
大数定律的数学表达可以用公式来表示：lim (?→∞) ?_? = ?其中，?_? 表示样本均值，? 表示总体均值。
大数定律告诉我们，当样本数量趋于无穷大时，样本均值将收敛于总体均值。
这一理论提供了一种在实践中进行估计和推断的依据。
在统计学中，大数定律的应用非常广泛，例如推断统计、抽样调查等。
三、中心极限定理与大数定律的关系中心极限定理和大数定律都描述了随机变量的分布性质。
它们之间存在紧密的关联，可以说中心极限定理是大数定律的基础。
中心极限定理告诉我们，大样本的样本均值分布近似于正态分布；而大数定律告诉我们，大样本的样本均值趋近于总体均值。
具体而言，中心极限定理为大数定律提供了理论基础。
中心极限定理和大数定律的区别
中心极限定理和大数定律的区别
（1）大数定律说的是，n只要越来越大，把n个独立分布的数加起来除以n得到的这个样本均值会依概率收敛到真值u，但是样本均值的分布情况是怎么样的我们不知道。
（2）中心极限定理是说，n只要越来越大，这n个数的样本均值会趋近于正态分布，并且这个正态分布是以u为均值，sigma^2/n为方差。
（3）综上所述，这两个定律都是在说样本均值的性质。
随着n增大，大数定律说样本均值几乎必然等于均值。
中心极限定律说，它越开越趋近于正态分布，并且这个正态分布的方差越来越小。
中心极限定理，是说随着样本数量的增加，样本的均值分布呈正态分布。
对原总体的分布不做任何要求，意味着无论总体是什么分布，其抽样样本的均值的频数的分布都随着抽样数的增多而趋于正态分布。
大数定律（law of large numbers）是一种描述当试验次数很大时，所呈现的概率性质的定律。
概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算数平均值收敛的定律。
1。
第二节--中心极限定理
四、拉普拉斯中心极限定理
例3 100台车床独立工作，每台实际工作时间占全部 工作时间的80%. 求任一时刻有70至86台车床工作的 概率.
解：设
Xi
0, 1,
第i台床不工作 第i台床工作
i 1, 2,
,100
则 Xi B(1, 0.8)
100
100
依题意， E( X ) E( Xi ) E( Xi ) 80
设随机变量序列{ Xi }(i 1, 2, )独立同分布，
EXi , DXi 2 , i 1, 2, ，则
lim
n
P
n i 1
n
Xi E( Xi )
i 1
n
D( Xi )
i 1
x
lim P n
n i 1
Xi n n 2
x
1
x t2
e 2 dt ( x)
2
设随机变量序列{ Xi }(i 1, 2, )独立同0-1分布，即
n
Xi B(1, p), EXi p, DX i pq, i 1, 2, ， X i nA，
i 1
n
n
lim n
P
i 1
Xi E( Xi )
i 1
n
D( Xi )
i 1
x
lim
n
P
nA np npq
x
近似
Xi N (n，n 2 ),
i 1
X
1 n
n
近似
X i N (， 2
i 1
n)
n
近似
~ Xi独立同0 - 1分布 Xi nA N (np，npq)
i 1
大数定律与中心极限定理
概率论第五章大数定律与中心极限定理讲解
1 P
1200
Xk
k 1
10
0
2
1[
2
2
]
2 22 2 0.0228 0.0456
例2 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均 值为100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的 寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于 1920小时的概率.
可知，当 n 时，有 1nn 源自1XiP E( X1)
a
因此我们可取 n 次测量值 x1, x2, , xn 的算术平均值
作为a
得近似值，即
a
1 n
n i1
xi ,当n充分大时误差很小。
例4 如何估计一大批产品的次品率 p ？ 由伯努利大数定律可知，当 n 很大时，可取频率
则对任意的 x ，有
n ~ N(np, np(1 p)) n , 近似地
即 n np ~ N (0,1)
np(1 p)
或 lim P{ n np
x
x}
1
t2
e 2 dt x
n np(1 p)
2
证 因为 n ~ b(n, p)
n
所以 n X k k 1
i 1
1200
1200
心极限定理可得 X k ~ N (n,n 2),即 X k ~ N (0,100)
k 1
k 1
则所求概率为
1200
1200
P k1 X k
20
P
Xk 0
k 1
概率统计(5)大数定律与中心极限定理
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定理2: 定理
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贝努利大数定律) (贝努利大数定律)设nA是n次独立重复试 次独立重复试 定理3: 定理 验中事件A出现的次数 是事件 出现的次数. 是事件A在每次试验中发生的 验中事件 出现的次数 p是事件 在每次试验中发生的 概率 (0<p<1),则对任意的ε >0有: 则对任意的 有 或 证明:设Xi表示第 i 次试验中事件 出现的次数, 次试验中事件A出现的次数 出现的次数, 证明: i=1,2,…,n,则X1,X2,…,Xn相互独立且均服从参数为 的 相互独立且均服从参数为p的 则 (0-1)分布,故有 E(Xi)=p, D(Xi)=p(1-p) i=1,2,…,n 分布, 分布 由契比雪夫大数定律知, 且 ,由契比雪夫大数定律知,对于任意 的 ,有
定理1: 定理
相互独立, 证 因X1,X2,…相互独立,所以 相互独立
1 n 1 n 1 l D ∑ X i = 2 ∑ D( X i ) < 2 nl = n n n i =1 n i =1
又因
1 n 1 n E ∑ X i = ∑ E ( X i ), n i =1 n i =1
ε
ε2
可见契比雪夫不等式成立. 可见契比雪夫不等式成立
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设电站供电网有10000盏电灯 夜晚每一盏灯开灯的 盏电灯,夜晚每一盏灯开灯的 例2 设电站供电网有 盏电灯 概率都是0.7,而假定开,关时间彼此独立 估计夜晚同时 而假定开, 概率都是 而假定开 关时间彼此独立,估计夜晚同时 开着的灯数在6800与7200之间的概率 之间的概率. 开着的灯数在 与 之间的概率 表示在夜晚同时开着的灯的数目,它服从参数为 解 设X表示在夜晚同时开着的灯的数目 它服从参数为 表示在夜晚同时开着的灯的数目 n=10000,p=0.7的二项分布 的二项分布. 的二项分布 若要准确计算,应该用贝努利公式 应该用贝努利公式: 若要准确计算 应该用贝努利公式:
第五章大数定律与中心极限定理
• 例:一加法器同时收到 个噪声电压 k(k=1,2,…,20), 一加法器同时收到20个噪声电压 一加法器同时收到 个噪声电压V 它们相互独立且都在区间[0,10]上服从均匀分布 噪声 上服从均匀分布,噪声 它们相互独立且都在区间 上服从均匀分布 的近似值. 电压总和V=V1+V2+…+V20,求P{V>105}的近似值 电压总和 求 的近似值 • 解:易知 易知E(Vk)=5,D(Vk)=100/12,由独立同分布的中心 易知 由独立同分布的中心 20 极限定理知
∑ D( X
k =1
n
k
)=
σ2
n
1 n 所以 P{| ∑ X k − µ |< ε } = P {| X n − E ( X n ) |< ε } n k =1 D( X n ) σ2 ≥ 1− = 1− 2 2 nε ε
设随机变量序列{Y 如果存在一个常数a 定义 设随机变量序列{Yn}，如果存在一个常数a，使得 ε>0 对任意的 ε>0，有
1 故 n
X k 1 . ∑ 2 P→ 3 k =1
§2
中心极限定理
定理(林德贝尔格 勒维 定理):设 定理 林德贝尔格-勒维 林德贝尔格 勒维(Lindeberg-Levy)定理 设 定理 {Xk}为相互独立的随机变量序列 服从同一分布 且 为相互独立的随机变量序列,服从同一分布 为相互独立的随机变量序列 服从同一分布,且 具有数学期望E(Xk)=µ和方差 和方差D(Xk)=σ2 ,则随机变 具有数学期望 和方差 则随机变 量
X 1 ~ U ( −1, 1). 则 1 （1） n X k，（2）1 ∑ n k =1
n 2 X k 分别 依概 率收 敛吗 ？ ∑ k =1 n
正态分布大数定律与中心极限定理
0
1 e 2
x2 2
2 dx 2
0
1 e 2
x2 2
dx 1
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理பைடு நூலகம்
0
1 （ 2 ）(0) ； 由（ 1 ）容易得到（ 2 ）。 2 （3） x 1 x
1 e 2
x2 2
dx
P ( X x ) F ( x )且F ( x )
x
f ( x )dx ，或f ( x ) F ( x )
x2 x1
P ( x1 X x 2 ) F ( x 2 ) F ( x1 ) f ( x )dx
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
1.正态变量的密度函数 设连续型随机变量 X 的概率密度为 ( x ) 1 f ( x) e 2 , x 2
2 2
和标准正态密度
1 ( x) e 首先都具有一般密度函 数的非负规范性，另外 ， 2 标准正态密度由于是偶 函数，还具有对称区间 积分的特殊性
f ( x )dx ( x )dx 1且 ( x )是偶函数
1 e 2
x2 2
2 dx 2
( x )2 2 2
dx
t x
k k t e dt 2
t2 2
则： k 0
z
t2 2
k 1, 3, 5,
k
2 k
k 2
2
k
2
0 t e dt
k
2
第五章大数定理与中心极限定理
2. 随机事件的频率
lim P p =1 n n
p f n p
n
作业
P112
1、3、6、7
§5.4中心极限定理
在客观实际中有许多随机变量,它们是由大 量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的。 而其中每一个别因素在总的影响中所起的作用 都是微小的。这种随机变量往往近似地服从正 态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背 景。
设{ξn}为随机变量序列，ξ为随机变量，其对 应的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在F(x)的连 续点，有
第五章
大数定律与中心极限定理
5.1大数定律的概念 5.2切贝谢夫不等式 5.3切贝谢夫定理 5.4中心极限定理
“概率是频率的稳定值”。前面已经提到， 当随机试验的次数无限增大时，频率总在其概 率附近摆动，逼近某一定值。大数定理就是从 理论上说明这一结果。正态分布是概率论中的 一个重要分布，它有着非常广泛的应用。中心 极限定理阐明，原本不是正态分布的一般随机 变量总和的分布，在一定条件下可以渐近服从 正态分布。这两类定理是概率统计中的基本理 论，在概率统计中具有重要地位。
பைடு நூலகம்
大数定律以确切的数学形式表达了这种规 律性,并论证了它成立的条件,即从理论上阐述 了这种大量的、在一定条件下的、重复的随机 现象呈现的规律性即稳定性.由于大数定律的作 用,大量随机因素的总体作用必然导致某种不依 赖于个别随机事件的结果.
§5.2 切贝谢夫不等式
一个随机变量离差平方的数学期望就是它的
f n p
n
证明:设
则
1 第i次试验事件A发生 i 0 第i次试验事件A不发生
E (i ) p, D(i ) p(1 p)
正态分布与两个极限定理
F x
1 2
e
x
t 2
2 2
dt
第十二讲 相关系数与正态分布
特殊地，标准正态变量 的分布函数为 ( x)，则 ( x)与其密度 ( x)的关系式为： t2 x x 1 2 ( x) ( x), ( x) (t )dt e dt 2
2
t
t
x
z2 2
其中x1可取 , x2可取 ，即：
P( X x2 ) F ( x2 ) F ( ) X ) ( ) (
x2
x1
)
（ 3 ）对称性： x 1 x
标准正态分布密度关于 y轴对称，即P( X x) P( X x)
( x) P( X x) P( X x) 1 P( X x) 1 ( x).
第十二讲 相关系数与正态分布
4 1 1 1 1.5 0.0668 . P X 4 1 P X 4 2
第十二讲 相关系数与正态分布
例题12-1-2（2010，4分）
设f1 ( x )为标准正态分布的概率密度，f 2 ( x )为[1, 3]上的 af1 ( x ), x 0 均匀分布的概率密度，若f ( x ) , (a 0, b 0), bf2 ( x ), x 0 则a , b应满足（ ） ( A)2a 3b 4; ( B )3a 2b 4; (C )a b 1; ( D )a b 2.
5. 由( x )求区间概率和分布函数: 设X ~ N ( , 2 ),则
z 1 z x 1 2 2 e dz F ( x) e dt 2 2 z2 x 1 z2 2 x e dz ( z ) ( ) ( ) 2 2 z1 所以：若X ~ N ( , 2 ), 则: x2 x1 P( x1 X x2 ) F ( x2 ) F ( x1 ) ( ) ( )
中心极限定理的基本概念和应用场景
中心极限定理的基本概念和应用场景中心极限定理（Central Limit Theorem）是概率论和统计学中的重要定理之一，它描述了在某些条件下，大量独立同分布随机变量的和的分布会近似服从正态分布。
该定理的重要性在于它提供了一种解决实际问题时的近似方法，其应用场景涵盖了各个领域。
一、中心极限定理的基本概念中心极限定理基于大数定律及正态分布的性质，其基本概念可归纳为以下几点：1. 大数定律大数定律指出对于独立同分布随机变量而言，随着样本容量的增大，随机变量的平均值收敛于其数学期望。
这意味着当样本量充足时，可以准确估计出总体的特征。
2. 正态分布正态分布是一种对称的连续概率分布，具有均值为μ、标准差为σ的特征。
在正态分布中，均值、中位数和众数是相等的，呈现出钟型曲线的形态。
许多随机现象在一定条件下可以近似地服从正态分布。
3. 中心极限定理中心极限定理描述了当独立同分布随机变量的样本容量足够大时，其和的分布将近似于正态分布。
我们可以通过计算样本的均值与标准差来评估总体参数，并进行各类假设检验和置信区间估计。
二、中心极限定理的应用场景中心极限定理在实际问题中有广泛的应用，以下介绍几个常见的应用场景：1. 抽样调查在社会科学和市场调研中，抽样调查是获取数据的重要方式。
利用中心极限定理，我们可以通过随机抽样的方式获取样本数据，并利用样本数据的均值和标准差来估计总体参数，如人口普查、选民调查等。
2. 假设检验假设检验是统计学中对某个假设进行科学验证的一种方法。
中心极限定理使得我们可以通过计算样本均值和标准差，进而得到服从正态分布的统计量，进行假设检验。
例如，医学研究中对某种新药疗效的检验、市场营销中对广告效果的评估等。
3. 投资风险评估在金融领域，投资风险评估是一项重要的任务。
中心极限定理可以用于评估一揽子投资组合的风险分布情况，预测其潜在的回报和风险水平，并为投资决策提供科学依据。
4. 信号处理在信号处理领域，中心极限定理被广泛应用于噪声信号的处理和恢复过程中。
概率论中的大数定律与中心极限定理的应用
概率论中的大数定律与中心极限定理的应用概率论是一门研究随机事件发生规律的学问，其定理与应用广泛应用于统计学、金融学、生产管理、人工智能等领域。
在概率论中，大数定律和中心极限定理是最为基础和重要的定理之一，它们有着广泛的应用和深远的影响。
一、大数定律大数定律是指在某一条件下，重复试验的结果越多，这些结果统计平均后越趋近于一个确定的值。
大数定律可以帮助我们理解并预测某些随机事件的出现概率，从而制定更好的决策。
例如，翻硬币的结果是正面朝上还是反面朝上，这是一个具有随机性的试验。
用大数定律来解释，如果连续翻硬币1000次，正面朝上的次数大约为500次。
但是，如果连续翻硬币10000次，正面朝上的次数就会非常接近5000次。
这是因为随着试验次数的增加，正反两面朝上的出现概率逐渐趋近于50%，从而平均值逐渐稳定。
大数定律还可以应用于金融和经济领域。
在股票市场中，如果一个股票在长期内表现良好，那么其价值也会随着时间的增加而逐步稳定。
这就可以用大数定律来解释：由于牛市和熊市等因素的干扰，每日的股票价格可能会有波动，但随着时间的增加，这些波动相互抵消，从而使得该股票的总体价格与预期价值趋向于一致。
二、中心极限定理中心极限定理是指，如果连续进行多次随机试验，独立的结果会呈现出一种特殊的分布规律——正态分布。
正态分布有着明确的数学规律，可以通过概率计算和模型预测来描述和解释随机事件的统计特征。
例如，某一工厂每天生产的零件数量是不确定的，但是我们可以假设每种零件的生产概率分布相同，并应用中心极限定理来描述其总体分布规律。
在经过大量试验之后，我们可以发现，当零件数量充分大时，每天的生产总量的分布大致呈现出正态分布的特征，其中大部分零件的生产数量集中在平均值周围。
我们可以用这种分布规律来制定生产管理策略，从而提高生产效率和质量。
中心极限定理还可以应用于汇率和金融市场的预测。
在汇率市场中，每日的汇率涨跌幅度往往是不确定的，但是我们可以通过历史交易数据来计算总体波动率，并利用中心极限定理来预测未来一段时间内的汇率波动规律。
概率论第五章 大数定律及中心极限定理
的标准化变量为
n
X i n
Yn i1 n
则Yn的分布函数Fn(x)对任意的x∈(-∞,+∞)都有
n X i n
lim
n
Fn
(
x)
lim
n
P(Yn
x)
lim
n
P
i 1
n
x
x
1
t2
e 2 dt
2
该定理说明，当n充分大时， Yn近似地服从标准正 态分布，Yn~N(0,1)， (n )
P|
X
|
2 2
P X
1
2 2
证明 (1)设X的概率密度为p(x),则有
P{| X | } p(x)dx
| x |2
p(x)dx
|x|
|x|
2
1
2
(x
)2
p(
x)dx
2 2
Xi 2
0
pi
1 4
1 2
2
(i 1,2, , n, )
1 4
解
因为 X1, X 2 , , X n ,
相互独立， EX i 0 ， E
X
2 i
1
又
DX i
E
X
2 i
EX i
2
1 0
1， i
1,2,
, n,
所以,满足切比雪夫大数定理的条件,可使用大数定理.
中心极限定理和大数定律的关系
中心极限定理和大数定律的关系
中心极限定理和大数定律都是概率论中非常重要的定理，它们描述了随机变量的一些重要特性。
虽然它们在表述和应用上有所不同，但实际上它们之间是存在关系的。
中心极限定理是描述独立随机变量和的分布趋近于正态分布的
定理。
它说明了当独立随机变量的数量足够大时，它们的和的分布会趋近于正态分布。
这个定理在统计学和财务学中非常有用。
大数定律是描述随机变量样本平均值趋近于真实均值的定理。
它说明了当样本数量足够大时，样本平均值会趋近于真实均值。
这个定理在实验设计和统计学中也非常有用。
虽然这两个定理描述的是不同的随机变量特性，但它们之间是有联系的。
事实上，大数定律是中心极限定理的一个直接应用。
中心极限定理使用正态分布来描述随机变量和的分布，而大数定律使用样本平均值来描述真实均值。
因此，当我们应用中心极限定理时，我们可以使用大数定律来估计真实均值，从而更好地了解我们研究的随机变量特性。
- 1 -。
为什么n大于30,中心极限定理趋于正态分布
为什么n大于30,中心极限定理趋于正态分布为什么n大于30，中心极限定理趋于正态分布1. 介绍在统计学中，中心极限定理是一个非常重要的概念。
它告诉我们，当样本容量足够大时，样本均值的分布将趋近于正态分布，而与总体分布的形态无关。
那么为什么我们常常说当样本容量大于30时，中心极限定理趋于正态分布呢？本文将深入探讨这个问题，并对中心极限定理进行全面评估。
2. 中心极限定理的概念我们要了解中心极限定理的概念。
中心极限定理指出，对于任意分布的总体，当样本容量n足够大时，样本均值的分布将近似服从正态分布。
这是统计学中一个非常重要的定理，它为我们进行统计推断提供了重要的理论基础。
3. 当样本容量大于30时为什么我们常说当样本容量大于30时，中心极限定理趋于正态分布呢？这其实是一个经验性的结论，来源于长期实践中的总结。
当样本容量大于30时，我们通常认为样本均值的分布已经足够接近正态分布了。
这是因为在实际应用中，当样本容量较大时，样本均值的分布已经趋于稳定，不再受到特殊值的影响，从而呈现出正态分布的特征。
4. 从简到繁的探讨接下来，我们将从简到繁地探讨为什么n大于30时，中心极限定理趋于正态分布的问题。
我们可以通过简单的数学推导来解释这个现象。
假设我们有一个总体，它的分布形态可以是任意的，但我们知道它的均值和方差。
当我们从总体中抽取样本，并计算样本均值时，根据大数定律，样本均值将趋于总体均值。
而当样本容量大于30时，由于大数定律的作用，样本均值的分布将趋于稳定，呈现出正态分布的特征。
5. 样本容量的影响另外，我们还可以从样本容量的角度来探讨这个问题。
当样本容量较小时，由于样本的随机性较大，样本均值的分布可能会出现偏差较大的情况。
而当样本容量逐渐增大时，样本均值的分布将会变得更加稳定，最终趋于正态分布。
当样本容量大于30时，样本均值的分布已经足够接近正态分布了。
6. 个人观点和理解在我看来，中心极限定理是统计学中一个非常重要的定理。
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第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
所以
即
80 d 0.01 利用0.9901正态分布表，有 0.5
故设定温度d至少为81.165度.
(2.33) 0.9901
(2.33) 0.01
一般地，给定实数 则称
(0 1) 存在实数 u 使得 P( X u )
) (
x1
)
) () (
x2
)
,
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
例题4.1.1 已知X ~ N (0,1)，试求 P( X 3) P x 1.5 解：查表可得：(3) 0.9987 (1.5) 0.9332 故
标准正态变量的分布函 数则表示为 ( x)，则 ( x)与其密度
( x)的关系式为： ( x ) ( x ), ( x )
x
( x )dx
x
1 e 2
t2 2
dt
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
4.正态密度函数的性质
（） ( x)dx 1
解 （1）由已知，所求的概率为
89 90 P T 89 (2) 1 (3) 1 0.9772 0.0228. 0.5 （2）据题意，需求d,使得 P T 80 0.99 因为
80 d P T 80 1 P X 80 1 0.99 0.5
2 2
其中 及 ＞0都为常数，这种分布叫做正态分布或高斯分布。 记作 N , 2 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f x dx
1 2
x 2
2
e
2 2
dx
t
x
2 2
0
e
t2 2
2
t2 2
1
e
t2 2
dt
E( X )
X ~ N ( , 2 )
f ( x) 1 2
e
( x )2 22
x 0
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
2 若 k 为奇数，奇函数对称积分
若 k 为偶数，
k ( X )
1
( x ) e
k
百分位点.
u 为随机变量X上的
百分位点的解释和应用在数理统计部分还要详细说明
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
二、正态分布的数字特征 1.数学期望
根据数学期望即均值定 义：E ( X ) xf ( x )dx 1 2 将正态分布N ( , )的密度函数f ( x ) e 2 － x 0代入公式 1 t x 1 E( X ) dx ( t )e dt xe 2 2 1 e dt 2 te dt＝ 2
t 1 s ds, e dt 令 s 0, 则dt 2 2
1 2
1 1 s dt s 2 e ds 2
2 f x dx 2
0
e
t2 2
2 dt 2
0
1 1 s 1 1 2 ( ) 1 s e ds 2 2
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
P X 5 2(5) 1 0.9999994
注意到：P X 3 23 1 0.9973
P X 3 1 0.9973 0.002 0.003
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
f x
拐点
P ( X x ) F ( x )且F ( x )
x
f ( x )dx ，或f ( x ) F ( x )
x2 x1
P ( x1 X x 2 ) F ( x 2 ) F ( x1 ) f ( x )dx
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
1.正态变量的密度函数 设连续型随机变量 X 的概率密度为 ( x ) 1 f ( x) e 2 , x 2
1 2
e
x
t 2
2 2
dt
0.5
4.标准正态分布的密度函数与分布函数 O x 若随机变量 X服从 0， 2 1的正态分布，则称 X服从标准
正态分布，记作 N (0,1)。一般地，将标准正态 分布用符号 ( x)表示。
一般地，标准正态分布 的密度函数用符号 ( x)来表示，
实际可能的取值区间这一原理叫做三倍标准差原理（或3σ 法则）。
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
例4.1.3 把温度调节器放入储存着某种液体的容器中， 调节器的设定温度 为d 度,已知液体的温度T是随机变量，且
X ~ N (d ,0.52 )
（1）若 d 90 度，求T 89 度的概率； （2）若要求保持液体的温度至少为80度的概率不少于0.99， 问d至少为多少度？
1 2
O
1 （ ） 2
x
O
x
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
3.正态变量的分布函数
因此，正态分布 , N 的表达式为： 1
2
首先：分布函数与密度 的关系式是f ( x ) F ( x ), F ( x )
F x
x
f ( x )dx
F x
f ( x )dx ( x )dx 1且 ( x )是偶函数
1 e 2
x2 2
2 dx 2
0
1 e 2
x2 2
2 dx 2
0
1 e 2
x2 2
dx 1
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
0
1 2
拐点
3 2
O
2 3
x
随机变量 X 落在 3 , 3 之外的概率小于3‰。 通常认为这一概率很小，根据小概率事件的实际不可能性 原理，我们常把区间 3 , 3 看作是随机变量 X 的
特别地，当 0, 1时，正态分布 N 0 , 1叫做标准正态分布。 其概率密度为
x
1 2 e
x2 2
,
x
2.正态分布 N , 2 的密度曲线
f x 1 2
x 2
2 2
若固定μ=0
e
f x
f x
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
一、正态分布的概率密度函数与分布函数
1.背景：正态分布是现代统计学的基础。18世纪科学家发现测 量的误差具有惊人的规律性，这种规律性满足类似于某种特殊 的“中间大，两头小”的特征，现实中众多的问题都具有这种 特性，棣美佛、拉普拉斯、高斯是最初研究类似现象并发现了 其密度和分布的数学家。他们将这种分布称为正态分布。 2.一般正态分布的概率密度函数与分布函数 我们已知连续随机变量 的密度与分布关系如下 X
2 2
t2 2
dt
2 2
s
1 2
2
e
s
是偶函数
2s
2
e ds
s
0
s e ds
1 2
s
3 2 2 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 2
k
3.中心矩
由中心矩公式k ( X ) x E ( X ) f x dx
D( X ) 1 2
2
( x )2 e
( x )2 2 2
t
dx
x
2 2 t e dt 2
t2 2
2 2
2 2 D( X ) 2
0
0
t e dt
s
1 2
t 2 2
2
t2 令 s, 则e 2
1 （ ）(0) ； 由（）容易得到（ 2 2 1 ）。 2 （3） x 1 x
标准正态分布密度关于 轴对称，即P( X x ) P( X x ) y
1 e 2
x2 2
dx
0
1 e 2
x2 2
1 dx 2
即（ x ) P ( X x ) P ( X x ) 1 P ( X x ) 1 （x )
例题4.1.2 若 X ~ N , 2 , 求X 落在区间 k , k 内的概率， 其中 k 1, 2, 3,
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
解
P k X k P X k
k k k k 2 k 1
查表得 P X 21 1 0.6826
P X 2 22 1 0.9544
P X 3 23 1 0.9973
P X 4 24 1 0.99994
5.用（x)求F ( x) 标准正态分布函数( x)的数值已经编制成表，一般概率
统计教材后都有标准正态分布函数表，可以根据x值求出( x). 对于一般正态变量 X ~ N ( , 2 ), 有