高三数学一轮复习 45分钟滚动基础训练卷(13)(江苏专版)

[考查范围：第41讲～第44讲分值：100分]
一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置)
1．在平面直角坐标系中，直线x＋3y－3＝0的倾斜角是________．
2．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆方程为________．
3．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x＋y－2＝0与x－7y－4＝0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为________．
4．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为213
13
，则
c＋2
a
的值为
________．
5．[2012·温州调研] 已知直线3x－y＋2m＝0与圆x2＋y2＝n2相切，其中m，n∈N*，且n－m<5，则满足条件的有序实数对(m，n)共有________个．
6．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥23，则k的取值范围是________．
7．一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程是________．
8．某圆拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m．现有一船宽9 m，在水面以上部分高3 m，故通行无阻．近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载，降低船身．当船身至少应降低________ m时，船才能通过桥洞．(结果精确到0.01 m)
二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
9．已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0.试确定m，n的值，使：
(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；
(2)l1∥l2；
(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
10．[2012·淮安初期模拟] 已知圆M的方程为x2＋(y－2)2＝1，直线l的方程为x－2y＝0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.
(1)若∠APB＝60°，试求点P的坐标；
(2)若P点的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD＝2时，求直线CD的方程．
11．已知圆x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0(0<a≤4)的圆心为C，直线l：y＝x＋m.
(1)若m＝4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；
(2)若直线l是圆心下方的切线，当a在(0,4]变化时，求m的取值范围．
12．如图G13－1所示，l1、l2是通过城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连接M、N两地之间的铁路线是圆心在l2上的一段圆弧．若点M在点O正北方向，且|MO|＝3 km，点N到l1、l2的距离分别为4 km,5 km.
(1)建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；
(2)若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O 的距离大于4 km，并且铁路上任意一点到校址的距离不能少于26 km，求校址距点O的最近距离．(校址视为一个点)
图G13－1
45分钟滚动基础训练卷(十三) 1．150° [解析] 由k ＝－33得tan α＝－3
3
，又0°≤α<180°，
∴α＝150°.
2．(x －2)2＋y 2
＝5 [解析] 圆心(－2,0)关于原点(0,0)的对称点是(2,0)．
3．3 [解析] l 1：x ＋y －2＝0，k 1＝－1，l 2：x －7y －4＝0，k 2＝1
7
，设底边为l 3：y ＝
kx .
由题意，l 3到l 1所成的角等于l 2到l 3所成的角于是有k 1－k 1＋k 1k ＝k －k 21＋k 2k ⇒k ＋1k －1＝7k －1
7＋k
， 解得k ＝3.
4．±1 [解析] 由题意得，36＝－2a ≠－1
c ，∴a ＝－4，c ≠－2，
则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c
2＝0，
由两平行线间的距离公式，得21313
＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪c 2＋113
，
解得c ＝2或－6，所以
c ＋2
a
＝±1. 5．4 [解析] 由题意可得，圆心到直线的距离等于圆的半径，即2m －1
＝n ，所以2m －1
－
m <5.因为m ，n ∈N *
，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，n ＝4或⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝4，n ＝8，故有序实数对(m ，n )共有4个．
6.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0 [解析] 由题可知圆心到直线的距离d ＝|3k －2＋3|1＋k 2＝|3k ＋1|1＋k
2
，则MN ＝24－3k ＋12
1＋k 2
≥23，解得－34≤k ≤0. 7．4 [解析] 圆C 的圆心C 的坐标为(2,3)，半径r ＝1.点A (－1,1)关于x 轴的对称点A ′的坐标为(－1，－1)．因A ′在反射线上，所以最短距离为|A ′C |－r ，即
[2－－1]2＋[3－－1]2
－1＝4.
8．1.22 [解析] 建立直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2
.
∵圆经过点(10,0)，(0,4)，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
100＋b 2
＝r 2
，
4－b 2＝r 2
，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＝－10.5，
r ＝14.5.
∴圆的方程是x 2
＋(y ＋10.5)2
＝14.52
(0≤y ≤4)．令x ＝4.5，得y ≈3.28( m)．
故当水位暴涨1.5 m 后，船身至少应降低1.5－(3.28－3)＝1.22 m ，船才能通过桥洞．
9．[解答] (1)∵m 2
－8＋n ＝0且2m －m －1＝0， ∴m ＝1，n ＝7.
(2)由m ·m －8×2＝0得m ＝±4， 由8×(－1)－nm ≠0，n ≠±2，
即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当2m ＋8m ＝0，
即m ＝0时l 1⊥l 2，又－n
8
＝－1，∴n ＝8.
[点评] 如果将直线的方程转化为斜截式，则需要讨论字母系数，但用l 1∥l 2⇔ A 1B 2＝A 2B 1且A 2C 1≠A 1C 2(或B 2C 1≠B 1C 2)和l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0更便捷．
10．[解答] (1)设P (2m ，m )，由题可知|MP |＝2，
所以(2m )2＋(m －2)2
＝4，
解之得m ＝0或m ＝4
5
.
故所求点P 的坐标为P (0,0)或P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫85，45. (2)易知k 存在，设直线CD 的方程为y －1＝k (x －2)，由题知圆心M 到直线CD 的距离为22，所以22＝|－2k －1|1＋k
2
，解得k ＝－1或k ＝－17， 故所求直线CD 的方程为x ＋y －3＝0或x ＋7y －9＝0.
11．[解答] (1)∵x 2＋y 2＋2ax －2ay ＋2a 2
－4a ＝0，
∴(x ＋a )2＋(y －a )2
＝4a .
∴圆心为C (－a ，a )，半径为r ＝2a .
设直线l 被圆C 所截得的弦长为2t ，圆心C 到直线l 的距离为d . m ＝4时，直线l ：x －y ＋4＝0.
圆心C 到直线l 的距离d ＝|－a －a ＋4|
2
＝2|a －2|.
t 2＝(2a )2－2(a －2)2＝－2a 2＋12a －8＝－2(a －3)2＋10. ∴当a ＝3时，直线l 被圆C 所截得弦长的最大值为210. (2)圆心C 到直线l 的距离 d ＝|－a －a ＋m |2
＝22
|2a －m |，
∵直线l 是圆C 的切线，∴d ＝r ，即|m －2a |2
＝2a .
∴m ＝2a ±22a .
∵直线l 在圆C 的下方，
∴m ＝2a －22a ＝(2a －1)2
－1. ∵a ∈(0,4]，∴m ∈[－1,8－42]．
12．[解答] (1)分别以l 1、l 2为y 轴和x 轴建立坐标系，
由已知得M (0,3)，N (4,5)，故k MN ＝1
2
，又线段MN 的中点为(2,4)，
所以线段MN 的垂直平分线的方程为y －4＝－2(x －2)，
令y ＝0得x ＝4，故圆心A 的坐标为(4,0)，半径r ＝4－02＋0－32
＝5，
因此所求的圆A 的方程为(x －4)2＋y 2
＝25，
故所求圆弧的方程为(x －4)2＋y 2
＝25(0≤x ≤4，y ≥3)． (2)设校址选在B (a,0)(a >4)，则x －a 2＋y 2≥26对0≤x ≤4恒成立， 即x －a 2＋25－x －42≥26对0≤x ≤4恒成立，
整理得(8－2a )x ＋a 2
－17≥0对0≤x ≤4恒成立，
令f (x )＝(8－2a )x ＋a 2
－17，由a >4可得8－2a <0， 所以f (x )在区间[0,4]上为减函数，
要使得(8－2a )x ＋a 2
－17≥0，当且仅当a >4和f (4)≥0，
即a >4和(8－2a )×4＋a 2
－17≥0，解之得a ≥5， 即校址应选在距O 点最近5 km 的地方．。