函数与方程教案

第四章：函数应用

§1：函数与方程

教学分析:课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标之间的关系作为本节的入口。其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系。 教学目标：1、让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图像性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点。2、通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认识规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界。 重点难点：根据二次函数图像与x 轴的交点个数判断一元二次方程的根的个数；函数零点的概念。

复习引入：

同学们好，今天我们来进行第四章函数应用的学习，这一节课我们先来学习第一节函数与方程。在讲新课之前，我们已经学习过一元一次方程、一元二次方程，并会对它们进行求解。现在来看几个方程：①ax+b=0(a ≠0) 这是一个一元一次方程，我们能很容易求出方程的解是x=－a

b .②ax 2+bx+c=0(a ≠0) 这是一个一元二次方程，在对一元二次方程求解时我们会先用判别式△=b 2－4a

c 来判断方程是否有实解。当△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，x 1≠x 2;当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，x 1=x 2;当△＜0时，

一元二次方程没有实数根。当方程有实数根时，我们可以通过求根公

式求出一元二次方程的根：x=a

ac b b 242-±-。③x 5+4x 3+3x 2+2x+1=0

我们知道这是一个一元五次方程，对于这样一个高次方程大家会不会求解？能不能知道这个方程是否有解？下面我们就来学习怎样判断一个给定方程的解是否存在的问题？

（写标题）1.1利用函数性质判定方程解的存在

一、例1：给出三个方程：x2-2x-3=0； x2-2x+1=0 ；x2-2x+3=0 分析：这三个都是简单的一元二次方程，我们可以通过判别式△来判断方程是否有解，若有解，也能很容易的求出。

解：①△＞0 x

1=3，x

2

=-1；对应函数：f(x) = x2-2x-3

②△=0 x

1= x

2

=1；对应函数：f(x) = x2-2x+1

③△＜0 无实解；对应函数：f(x) = x2-2x+3

图像：

提问：观察求出的三个方程的根与对应函数的图像有什么关系？

总结：①一元二次方程的根就是对应函数图像与x轴交点的横坐标。

②一元二次方程根的个数与对应函数图像与x轴交点的个数相

等。

对于函数图像与x轴的交点，我们来学习一个新的数学名词——函数零点。

二、函数零点

1．概念：我们把函数y=f(x)的图像与横轴交点的横坐标称为这个

函数的零点。

说明：①零点是所在函数图像与x轴交点的横坐标。

②零点是一个实数，并不是一个点。

③函数的零点就是相应方程的根。

④函数零点的个数与相应方程的根的个数相等。

学习过零点概念及以上4点说明，我们已经学会判断零点：要求函数的零点就要看函数图像与x轴是否有交点，也即相应方程是否有实根。因此得到判断零点的方法。

2．判断零点的方法：方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点。可得出：方程f(x)=0的实

根与函数y=f(x)的零点是一一对应的。

那如果所给的函数的图像不易画出，又不能求出其对应方程的根时，我们怎样判断函数有没有零点呢？

观察例1中第一个方程的对应图像：f(x) = x2-2x-3

从图像上看，我们知道函数f(x) = x2-2x-3有两个零点：-1,3.而能找到区间[-2,0]使零点-1在[-2,0]内，区间[2,4]使零点3在[2,4]内。且有f(-2)=5＞0,f(0)=-3＜0, f(-2)×f(0)＜0; f(2)=-3＜0, f(4)=5＞0,f(2)×f(4)＜0.可以发现f(-2)×f(0)＜0，函数f(x) = x2-2x-3在区间（-2,0）内有零点-1是方程x2-2x-3=0的一个根；同样地，f(2)×f(4)＜0，函数f(x) = x2-2x-3在区间（2,4）内有零点3是方程x2-2x-3=0的另一个根。因此可以得到以下结论：

3.零点存在性定理：若函数y=f(x)在闭区间[a,b]的图像是连续曲

线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)×f(b)＜0，则在区间（a,b ）内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间（a,b ）内至少有一个实数解。

零点存在性定理是用来判断一个方程是否存在解的，因此，现在我们可以来判断上课开始的那个一元五次方程是否存在解了？ x 5+4x 3+3x 2+2x+1=0

解：考虑f(x) = x 5+4x 3+3x 2+2x+1

试探：当x=0时，f(0)=1＞0；当x=1时，f(1)=1+4+3+2+1=11＞0；

当x=-1时，f(-1)=-1-4+3-2+1=-3＜0 ∴f(0)×f(-1)＜0 则函数f(x) = x 5+4x 3+3x 2+2x+1在区间（-1,0）内至少有一个零点，即方程在（-1,0）内至少有一个实数解。

三、 举例：

例2：已知函数f(x) =3x -x 2，问：方程f(x)=0在区间[-1,0]内有没有实数解？

分析：问方程在区间内有没有实数解，意味着什么?即要判断相应函

数在这个区间[-1,0]内有没有零点，由零点存在性定理，我们只需验证f(0)×f(-1)是否小于0。

解：∵f(-1)=31 -（- 1）2=31-1=-3

2＜0, f(0)= 30-（0）2=1＞0，f(0)×f(-1)＜0

而函数f(x) =3x -x 2的图像是连续曲线，∴f(x) 在区间[-1,0]内有零点，即方程f(x)=0在区间[-1,0]内有实数解。

例3：判定方程（x -2）（x -5）=1有两个相异的实数解，且一个大于