2013年普陀区初三数学一模卷含答案
上海市普陀区中考数学一模试卷.pdf
锐角三角比表示）
14．如图，点 D、E、F 分别是△ABC 三边的中点，那么与 DF 相等的向量是
__________ ．
15．如图，点 G 是△ABC 的重心，AG⊥GC，AC=4，那么 BG 的长为 ___________．
16．如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=6cm，cot A 2 ，那么△ABC 的面积是____________ cm2． 3
由（1）知，∠3=∠2，…………………………………………………………(1 分) ∴△ABH∽△ECM．………………………………………………………………(1 分) （3）解：过点 M 作 MR⊥BC，垂足为 R．…………………………………………………(1 分) ∵AB=BE=EC=2， ∴AB∶BC=MR∶RC=1∶2，…………………………………………………… (1 分)
24．（本题满分 12 分，其中第（1）小题 2 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 5 分） 如图，点 A 在 x 轴上，OA=4，将线段 OA 绕
点 O 顺时针旋转 120°至 OB 的位置． （1）求点 B 的坐标； （2）求经过点 A、O、B 的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P， 使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？ 若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
答：轮船继续向东航行20海里，距离小岛C最近. ……………………………………(1 分)
23．
（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABE=∠ECF=90°．………………(1 分)
∵AE⊥EF，∴∠1+∠2=90°．
3
又∵∠1+∠3=90°，
∴∠3=∠2， …………………………(1 分)
2013.-2014 , 12月27日学年度普陀区(初三)数学一模试卷
FB CE DA 2013学年普陀区九年级数学期终调研试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．用放大镜将图形放大，应该属于（ ）A ．平移变换；B ．相似变换；C ．对称变换；D ．旋转变换． 2．在比例尺是1:38000的黄浦江交通游览图上，某隧道长约7cm ，它的实际长度约为（ ）A ．0.266km ；B ．2.66km ；C ．26.6km ；D ．266km . 3．在△ABC 中，1tanA =，cotB =ABC 是（ ）A ．钝角三角形；B ．直角三角形；C ．锐角三角形；D ．等腰三角形.4．二次函数()2230y ax x a =--<的图像一定不经过（ ）A ．第一象限；B ．第二象限；C ．第三象限；D ．第四象限.5．下列命题中，正确的是（ ）A ．如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线一定平行于三角形的第三边；B ．不同向量的单位向量的长度都相等，方向也都相同；C ．相似三角形的中线的比等于相似比；D ．一般来说，一条线段的黄金分割点有两个.6．在Rt △ABC 中，A ∠=90°，AC a =，ACB θ∠=，那么下面各式正确的是（ ）A ．AB a sin θ=⋅； B ．AB a cos θ=⋅；C ．AB a tan θ=⋅；D ．AB a cot θ=⋅.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如图，直线AD ∥BE ∥CF ，13BC AC =，4DE =，那么EF 的值是 ． 8．在一个陡坡上前进5米，水平高度升高了3米，则坡度i = ．9．抛物线21y x =-关于x 轴对称的抛物线的解析式是 ．10．请写出一个以直线2x =-为对称轴，且在对称轴左侧部分是上升的抛物线的表达式可以是 ．11．如果E 、F 是△ABC 的边AB 和AC 的中点，AB a = ，AC b = ，那么EF =．12．如图，在边长为1的正方形网格中有点P 、A 、B 、C ，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是．13．若α为一锐角，且cos sin α=60°，则α= ．14．已知αsin α= ．15．如果直角三角形的斜边长为12，那么它的重心与外心之间的距离为 ．16．已知二次函数的顶点坐标为()2,3-，并且经过平移后能与抛物线22y x =-重合，那么这个二次函数的解析式是 ．17．若一个三角形的边长均满足方程2680x x -+=，则此三角形的周长为 ．18．已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，15AB =，13CD =，8AD =，B ∠是锐角，B ∠的正弦值为45，那么BC 的长为 ．ABCDA BC P 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：()6033060124530sin tan cos cot cot +⋅-⋅．20．（本题满分10分）已知：如图，△ABC 中，点D 是AC 边上的一点，且AD :DC =2:1．（1）设BA a = ，BC b =，先化简，再求作：()3232a b a b ⎛⎫----- ⎪⎝⎭ ；（2）用xa yb + （x 、y 为实数）的形式表示BD．21．（本题满分10分）如图，在△ABC 中，90ACB ∠= ，AC BC =，点P 是△ABC 内一点，且135APB APC ∠=∠= ．（1）求证：△CPA ∽△APB ；（2）试求tan PCB ∠的值．A B CD EB DC A 22．（本题满分10分）如图，浦西对岸的高楼AB ，在C 处测得楼顶A 的仰角为30°，向高楼前进100米到达D 处，在D 处测得A 的仰角为45°，求高楼AB 的高．23．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分） 如图，已知CD 是△ABC 中ACB ∠的角平分线，E 是AC 上的一点，且2CD BC CE =⋅，6AD =，4AE =．（1）求证：△BCD ∽△DCE ； （2）求证：△ADE ∽△ACD ； （3）求CE 的长．24．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题9分）如图，抛物线22y ax ax b =-+经过点30,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且与x 轴交于点A 、点B ，若23tan ACO ∠=．（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为M ，点P 是线段OB 上一动点（不与点B 重合），45MPQ ∠= ，射线PQ 与线段BM 交于点Q ，当△MPQ 为等腰三角形时，求点P 的坐标．GCBP AFED 25．（本题满分14分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分，第（3）小题2分）如图，在正方形ABCD 中，2AB =，点P 是边BC 上的任意一点，E 是BC 延长线上一点，联结AP ，作PF AP ⊥交DCE ∠的平分线CF 上一点F ，联结AF 交边CD 于点G ． （1）求证：AP PF =；（2）设点P 到点B 的距离为x ，线段DG 的长为y ，试求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当点P 是线段BC 延长线上一动点，那么（2）式中y 与x 的函数关系式保持不变吗？如改变，试直接写出函数关系式．下面是12年度 可以对比2012学年普陀区九年级数学期终调研试卷 2012.12.26（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．如果:2:3x y =，那么下列各式不成立的是………………………………………（ ）． （A ）53x y y += ； （B ） 13x y y -=-； （C ）123x y =； （D ）1314x y +=+． 2．某一时刻，身髙1.6 m 的小明在阳光下的影长是0.4 m ，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5m ，那么该旗杆的高度是……………………………………………………（ ）． （A ）1.25m ； （B ）10m ；（C ）20 m ； （D ）8m ．3．如果二次函数2y x bx c =++配方后为2(2)1y x =+-，那么b ， c 的值分别为…（ ）． （A ）4-，5； （B ）4，3； （C ）4-， 3； （D ）4，5．4．如图，已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ，点A ， B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为……………………（ ）． （A ）（2，3）； （B ）（4，3）； （C ）（3，3）； （D ）（3，2）．5．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为……………………（ ）．（A ） 12； （B）5； （C）5； （D ）10．6. 已知线段a 、b 、c ，求作第四比例线段x ，下列作图正确的是……………………（ ）．（A ） （B ） （C ） （D ）二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果在比例尺为1︰1 000 000的地图上，A 、B 两地的图上距离是1.6厘米，那么A 、B 两地的实际距离是 千米．8．把长度为4cm 的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm ．9．如果两个相似三角形的对应角平分线比是1︰4，那么它们的周长比是 ．10．如果抛物线21)21y m x mx =-++（的图像开口向下，那么m 的取值范围是__________． 11．将二次函数22y x =-的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图像的解析式为 ________________．12．二次函数2y ax bx c =++中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表，则m 的值为__________ ．13．在Rt △ABC 中，∠C =90°，B α∠=，AB=2，那么BC = _____________．（结果用α的锐角三角比表示）14．如图，点D 、E 、F 分别是△ABC 三边的中点，那么与DF相等的向量是__________ ．15．如图，点G 是△ABC 的重心，AG ⊥GC ，AC =4，那么BG 的长为 ___________． 16．如图，△ABC 中，∠C =90°，BC =6cm ，cot 23A =，那么△ABC 的面积是____________ cm 2．（第4题）（第5题）a xbc acb x xcb a cax b17．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm ，深为30cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度1:5i =，那么AC 的长度是 cm ．18. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN ∥AB ，MC ＝6，NC＝MABN 的面积是______________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 计算：2cos30(sin 60)︒⋅︒20．（本题满分10分）如图，已知两个不平行的向量a 、．先化简，再求作：13(3)()22a b a b +-+．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．（本题满分10分）a（第20题图）（第17题）（第18题）（第22题）已知：在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C =90°，AB=AD =25，BC =32．连接BD ，AE ⊥BD ，垂足为点E ． （1）求证：△ABE ∽△DBC ；（2）求线段AE 的长．22．（本题满分10分）21.3,0 63.5929sin21.3,tan 21.3,sin 63.5,tan 63.52)25510A CBC C ︒︒︒≈︒≈︒≈︒≈ 一艘轮船自西向东航行，在处测得东偏北方向有一座小岛继续向东航行8海里到达处，测得小岛此时在轮船的东偏北方向上。
2013年上海市普陀区中考数学一模试卷及答案(word解析版)
上海市普陀区2013年中考数学一模试卷一.选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）B2．（4分）（2013•普陀区一模）某一时刻，身髙1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m，同一3．（4分）（2013•普陀区一模）若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b、k4．（4分）（2013•普陀区一模）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）5．（4分）（2013•普陀区一模）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）=；=；==6．（4分）（2013•普陀区一模）已知线段a、b、c，求作第四比例线段x，下列作图正确的．．．二.填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2013•普陀区一模）如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是34千米．÷8．（4分）（2013•普陀区一模）把长为10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5﹣5cm．线段分割叫做黄金分割，他们的比值（×﹣原线段的9．（4分）（2013•普陀区一模）如果两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4，那么它们的周长之比是1：4．10．（4分）（2013•普陀区一模）如果抛物线y=（k﹣1）x2+4x的开口向下，那么k的取值范围是k＜1．11．（4分）（2013•普陀区一模）把抛物线y=x2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=（x﹣3）2﹣2．12．（4分）（2013•普陀区一模）二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则m的值为﹣1．13．（4分）（2013•普陀区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，则BC= 2．14．（4分）（2013•普陀区一模）如图，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，那么与相等的向量是和．相等的向量．相等的向量是和．故答案为：和．15．（4分）（2013•普陀区一模）如图，G是△ABC的重心，AG⊥GC，AC=4，则BG的长为4．16．（4分）（2013•普陀区一模）如图，△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，tanB=，则△ABC 的面积是12cm2．tanB===tanB==，17．（4分）（2013•普陀区一模）如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1：5，则AC的长度是210cm．18．（4分）（2013•普陀区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC=6，NC=，那么四边形MABN的面积是．=），即可求得四边形）NC=22，=24﹣=18．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2013•普陀区一模）计算：．，﹣20．（10分）（2013•普陀区一模）如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）．21．（10分）（2013•普陀区一模）已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=25，BC=32．连接BD，AE⊥BD，垂足为E．（1）求证：△ABE∽△DBC；（2）求线段AE的长．22．（10分）（2013•普陀区一模）一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？（参考数据：sin21.3°≈，tan21.3°≈，sin63.5°≈，tan63.5°≈2）CBD=，，，﹣=60=1523．（12分）（2013•普陀区一模）如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长．EM=，即可求得答案．EM=24．（12分）（2013•普陀区一模）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．×=2，）代入，得﹣+时，在POD==不符合题意，舍去，2|2|2）25．（14分）（2013•普陀区一模）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．（1）如图①，对△ABC作变换[60°，]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC=3；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为60度；（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；（3）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n的值．（=2=。
【初中数学】2013年浙江省舟山市普陀区初中九年级学业考试适应性测试数学试题 浙教版
2013年舟山市普陀区初中九年级学业考试适应性测试数学 试题卷考生须知：1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题。
2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效,考试时不 能使用计算器。
参考公式：二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 图象的顶点坐标是)44,2(2ab ac a b --。
温馨提示：请仔细审题，细心答题，答题前仔细阅读答题纸上的“注意事项”。
卷Ⅰ（选择题）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1．2的相反数是（ ▲ ）A ． -2B ．2C ．-21D ．212．下列计算正确的是 （ ▲ ）A ． 02=0Ｂ．9 =3Ｃ．3-1= -3Ｄ． 2 +3= 53．据交通运输部统计，2013年春运期间，全国道路、水路、民航、铁路运送旅客总量超过了3400000000人次，该数用科学记数法可表示为（ ▲ ）A ．23.410⨯B ．103.410⨯C ．93.410⨯D ．100.3410⨯4．如图是由4个相同的正方体搭成的几何体，则其俯视图是（ ▲ ）5．使分式22xx -+无意义的x 的值是（ ▲ ） A.2x = B.2x =- C.2x ≠D.2x ≠-6．如图，已知CD AB //,若15A ∠=,25E ∠=，则C∠等于（ ▲ ）A ．15B ．25C ．35D ．407．市委、市政府打算在2015年底前，完成国家森林城市创建．这是小明随机抽取我市10个小区所得到的绿化率情况，结果如下表：则关于这10个小区的绿化率情况，下列说法错误．．的是（ ▲ ） A ．中位数是25% B ．众数是25% C ．极差是13% D ．平均数是26．2% 8．将一个半径为R ，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面（无重叠），设圆锥底面半径为r ，则R 与r 的关系正确的是（ ▲ ）A ．R ＝8rB ．R ＝6rC ．R ＝4rD ．R ＝2r9．甲、乙两车分别从相距km 200的B A ,两地同时出发，它们离A 地的路程随时间变化的图象如图所示，则下列结论不．正确．．的是( ▲ ) A ．甲车的平均速度为；B ．乙车行驶3小时到达A 地,稍作停留后返回B 地；C ．经815小时后,两车在途中相遇； D ．乙车返回B 地的平均速度比去A 地的平均速度小。
2013学年普陀区九年级数学期终调研试卷含答案
2012学年普陀区九年级数学期终调研试卷 2012.12.26（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．）． （A 2 ）． （A 3． ）． （A 4AB（A 5． ）． （A6. 已知线段a 、b 、c ，求作第四比例线段x ，下列作图正确的是……………………（ ）．（第4题）（第5题）a xbc a cbx x cba c axb（A ） （B ） （C ） （D ） 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果在比例尺为1︰1 000 000的地图上，A 、B 两地的图上距离是1.6厘米，那么A 、B 两地的实际距离是 千米．8．把长度为4cm 的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm ．9．如果两个相似三角形的对应角平分线比是1︰4，那么它们的周长比是 ．三边的中点，那么与DF 相等的向量是17．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm ，深为30cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度1:5i =，那么AC 的长度是 cm ．18. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN ∥AB ，MC ＝6，NC ＝，那么四边形MABN 的面积是______________．（第14题）（第15题）（第16题）三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．20．133)()a b a b +-+．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．已知：在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C =90°，AB=AD =25，BC =32．连接BD ，AE ⊥BD ，垂足为点E ． （1）求证：△ABE ∽△DBC ；（2）求线段AE 的长．（第17题）（第18题）（第21题）22．（本题满分10分）21.3,0 63.5929sin21.3,tan 21.3,sin 63.5,tan 63.52)25510A CBC C ︒︒︒≈︒≈︒≈︒≈ 一艘轮船自西向东航行，在处测得东偏北方向有一座小岛继续向东航行8海里到达处，测得小岛此时在轮船的东偏北方向上。
2013年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷(word版答案扫描)
2013.2.五校联考数学部分试题简析选择题部分：（比较基础） 第4题：本题考查圆与圆的位置关系，少数同学没有仔细看选项忽略了同心圆的情况而错选A ． 第5题：本题作为选择题进行考查较为简单，如果改成填空题则需要分类讨论x 可能取到的值． 第6题：通过观察A 、B 两点的坐标可以知道直线的“k ”一定等于1-，同时直线又经过横坐标与纵坐标互为相反数的点C ，显然这条直线的表达式只可能是y x =-，当然本题也可用待定系数法进行求解．填空题部分：（整体难度适中，有陷阱，花样多，稍难于上海市历年中考填空题） 第12题：本题是一道“阅读信息题”，由“偶函数”的定义易知二次函数图像的对称轴是直线x = 0，于是b = 0，得到A 、B 、P 三点的坐标即可求得三角形的面积，较简单． 第13题：本题属于“陷阱题”，得分率较低，如果三角形刚好能不受损地通过圆圈，那么该圆的最小直径应该等于等边三角形的高（使三角形所在的平面与圆所在平面保持垂直），“20”和“2033”学生是最为集中的错解． 第14题：本题又是一道“阅读信息题”，“上升数”的概念不难理解，但是计算时比较容易出错，两位数的个数为90，而“上升数”共有8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36个，套用概率公式即可． 第15题：本题属于“信息迁移题”，从特殊到一般，给出了计算一般四边形面积的一种方法，如图1，可以过点C 作BD 的平行线，过点A 作该平行线的垂线，垂足为点H ，在Rt △ACH中，sin AH m θ=，于是四边形的面积1sin 2S mn θ=，较为简单．填空题部分最后三题难度相比前面有所提高 第16题：本题是一道常规的计算题，综合考查相似、三角比、勾股定理等知识，关键在于利用已知的角度关系证出△BED ∽△BDC ，难度一般．图1 AB C Dθ HA CB E D 图2简解如下：如图2，可设BE = x ，易证△BED ∽△BDC ，由比例关系得BD = 2x ，BC = 4x ，在Rt △ABC 中，222(4)9(29)x x +=+，解得x = 3，即BE = 3．第17题：本题是一道比较常见的折叠题，需要注意题目中的“直线AB ”与“折痕所在直线”，显然满足题意的情况有两种：点E 在线段AB 上（图3）、点E 在AB 的延长线上（图4），因此需要分类讨论，属于拉开差距的题目． 简解如下：（I ）对于图3，作PH ⊥AB ，垂足为点H ，易得AH = BE = 1，则HE = 2． 设BC = PH = x ，易证△ABC ∽△PHE ，42xx =，解得22x =，此时cot ∠CAB =2． （II ）对于图4，作PH ⊥BC ，垂足为点H ，则PH = AB = 4．易得14BQ BE QH PH ==，14BQ CH QH ==，设BC = x ，则23QH x =． 易证△ABC ∽△QHP ，2434xx =，解得26x =，此时cot ∠CAB =63．第18题：本题是一道综合题，以圆（扇形）为载体，主要考查了勾股定理、相似三角形等初中阶段的重要知识，同时又是一道动态问题，在运动中建立变量之间的函数关系式，难度比较适中，但可以拉开一定差距． 简解如下：如图5，联结EG ，过点M 、N 分别作OD 、OC 的平行线，两平行线相交于点I ． ∵OC = x ，∴OD =21x -．易证△DMF ∽△GME ，△CNH ∽△ENG ，由“相似三角形对应边上的高之比等于相似比”，可得222133MI OD x ==-． 类似地，可得13NI x =．在Rt △MNI 中，222221(1)()33y x x =-+，整理得21433y x =-，定义域是01x <<．图3 A B C D E H P A BC D EP Q H 图4 图5AP C HOG NE D MF BI解答题部分：（难点比较分散，综合性较强，但多数题目十分容易上手，难题分值不高） 第21题：本题是一道几何和函数知识结合的应用题，运用图形的几何性质建立函数关系式求最值．需要注意的是由于第（2）问的函数解析式有两种不同的情况，那么第（3）问在求解时需要分别求出正比例函数和二次函数在各自定义域内的最大值并进行比较，从而得到最终结果，难度一般． 第22题：本题较为新颖，第（1）问只需注意分类讨论比较简单，第（2）问考查作图能力，难度也不大，容易出错的是“网格中与△ABC 相似且面积最大的格点三角形的个数”，考虑正方形的两条对角线都是其本身的对称轴，不难想到：以正方形的每条对角线为最长边可作出4个三角形与原三角形相似，那么符合题意的三角形一共有8个（如图6所示）．第23题：本题是一道折叠题，但是并非最为常见的三角形、四边形的折叠，而是圆的折叠问题，且涉及的知识点较多：有轴对称、垂径定理、相切两圆的性质、平行四边形的判定、三角形的中位线等，第（2）问证明平行四边形的关键在于首先明确折叠前后得到的圆弧所在的圆都是等圆，然后找到折叠前两条外切的圆弧所在的圆的圆心，联结后得到两圆的连心线，将图形补全，从而利用三角形的中位线来证明四边形OMPN 的两组对边分别平行，得到结论，稍有难度． 第24题：本题是试卷的函数压轴题，较为全面地考查了初中阶段最重要的三种函数，同时又是一道“阅读信息题”，给出了“伴侣正方形”的新定义，初看感觉非常容易理解，实则不然，“伴侣正方形”的四个顶点所在的位置情况可能会比较复杂，讨论起来有一定的难度．题目的前两问比较简单，作为铺垫使学生对新概念有一定的理解，第（3）问中，由于知道C 、D 中的一个点的坐标，欲求二次函数2y ax c =+的解析式，必须先求出“伴侣正方形”在二次函数上的另一个顶点的坐标，显然本题满足题意的二次函数解析式不止一个．在解答第（3）小题时可以先设点D 的坐标为(3,4)，如图7（图中红色正方形）所示，当点A 在x 轴正半轴上，点B 在y 轴负半轴上时：过点D 、C 分别作DE ⊥x 轴、CF ⊥y 轴，垂足分别为点E 、F ，易证△DEA ≌△AOB ≌△BFC ，即可得到点C 的坐标为(1,3)-，求出二次函数的解析式．其他几种情况与之类似，由于“伴侣正方形”四个顶点的不确定性，本题的分类讨论包含了两个层次，难度较大，某些不符合题意情况可以直接依据图形进行排除，图6最后一共有四条抛物线符合题意（图7供参考）．第25题：本题是试卷的几何压轴题，综合考查了图形的平移、旋转、全等三角形、相似三角形等知识，但是前两问还是相当容易上手的，第（3）问则需要通过辅助线同时构造出一个新的等腰直角三角形、一对全等三角形、一对相似三角形作为“桥梁”，实现比例的转化从而得到答案．本题的结果说明：在题设条件下，将△ABC 绕点C 逆时针旋转m 度，其中090m ≤，AMDM的值始终与C 、E 两点之间的距离x 成正比（图8）．此题思维上的难度较大，是一道能达到选拔优秀学生目的的试题．本题所用到的两个基本模型都是比较常见的， 相似三角形漏斗模型、全等三角形旋转模型：图8DEAFMlCBG DC ABEFO 图7。
2013九年级数学中考适应性测试题(舟山市陀区附答案)
2013九年级数学中考适应性测试题（舟山市陀区附答案）2013年普陀区初中九年级学业考试适应性测试数学试题卷考生须知：1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题。
2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效,考试时不能使用计算器。
参考公式：二次函数图象的顶点坐标是。
温馨提示：请仔细审题，细心答题，答题前仔细阅读答题纸上的“注意事项”。
卷Ⅰ（选择题）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）1．2的相反数是（▲）A．-2B．2C．-D．2．下列计算正确的是（▲）A．Ｂ．9=3Ｃ．3-1=-3Ｄ．2+3=53．据交通运输部统计，2013年春运期间，全国道路、水路、民航、铁路运送旅客总量超过了3400000000人次，该数用科学记数法可表示为（▲）A．B．C．D．4．如图是由个相同的正方体搭成的几何体，则其俯视图是（▲）5．使分式无意义的的值是（▲）A.B.C.D.6．如图，已知,若,，则等于（▲）A．B．C．D．7．市委、市政府打算在2015年底前，完成国家森林城市创建．这是小明随机抽取我市10个小区所得到的绿化率情况，结果如下表：小区绿化率（%）20253032小区个数2431则关于这10个小区的绿化率情况，下列说法错误的是（▲）A．中位数是25%B．众数是25%C．极差是13%D．平均数是26．2% 8．将一个半径为R，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面（无重叠），设圆锥底面半径为r，则R与r的关系正确的是（▲）A．R＝8rB．R＝6rC．R＝4rD．R＝2r9．甲、乙两车分别从相距的两地同时出发，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示，则下列结论不正确的是(▲)A．甲车的平均速度为；B．乙车行驶小时到达地,稍作停留后返回地；C．经小时后,两车在途中相遇；D．乙车返回地的平均速度比去地的平均速度小。
2013年普陀区九年级数学期终调研试卷 20121226
2013年普陀区九年级数学期终调研试卷 2012.12.26（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．如果:2:3x y =，那么下列各式不成立的是………………………………………（ ）． （A ）53x y y += ； （B ） 13x y y -=-； （C ）123x y =； （D ）1314x y +=+． 2．某一时刻，身髙1.6 m 的小明在阳光下的影长是0.4 m ，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5m ，那么该旗杆的高度是……………………………………………………（ ）． （A ）1.25m ； （B ）10m ；（C ）20 m ； （D ）8m ．3．如果二次函数2y x bx c =++配方后为2(2)1y x =+-，那么b ， c 的值分别为…（ ）． （A ）4-，5； （B ）4，3； （C ）4-， 3； （D ）4，5． 4．如图，已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ，点A ， B 均在抛物线上，且A B与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为……………………（ ）．（A ）（2，3）； （B ）（4，3）； （C ）（3，3）； （D ）（3，2）． 5．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为……………………（ ）． （A ） 12；（B ）55； （C ）255； （D ） 1010．OxyAx = 2B（第4题）（第5题）6. 已知线段a 、b 、c ，求作第四比例线段x ，下列作图正确的是……………………（ ）．（A ） （B ） （C ） （D ） 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果在比例尺为1︰1 000 000的地图上，A 、B 两地的图上距离是1.6厘米，那么A 、B 两地的实际距离是 千米．8．把长度为4cm 的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm ．9．如果两个相似三角形的对应角平分线比是1︰4，那么它们的周长比是 ．10．如果抛物线21)21y m x mx =-++（的图像开口向下，那么m 的取值范围是__________． 11．将二次函数22y x =-的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图像的解析式为 ________________．12．二次函数2y ax bx c =++中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表，则m 的值为__________ ．x2-1-1 2 34y72 1- 2-m2713．在Rt △ABC 中，∠C =90°，B α∠=，A B=2，那么BC = _____________．（结果用α的锐角三角比表示）14．如图，点D 、E 、F 分别是△ABC 三边的中点，那么与DF相等的向量是__________ ．15．如图，点G 是△ABC 的重心，AG ⊥GC ，AC =4，那么BG 的长为 ___________． 16．如图，△ABC 中，∠C =90°，BC =6cm ，cot 23A =，那么△ABC 的面积是____________ cm 2．a xbc a cbx x cba c axb17．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm ，深为30cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度 1:5i =，那么AC 的长度是 cm ．18. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN ∥AB ，MC ＝6，NC ＝23，那么四边形MABN 的面积是______________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 计算： 2cot 30cos30(sin 60)2cos 45︒︒⋅︒-⋅︒．20．（本题满分10分）如图，已知两个不平行的向量a 、b ．先化简，再求作：13(3)()22a b a b +-+．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）ba（第20题图）（第17题）（第18题）（第22题）[来源:]21．（本题满分10分）已知：在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C =90°，AB=AD =25，BC =32．连接BD ，AE ⊥BD ，垂足为点E ． （1）求证：△ABE ∽△DBC ；（2）求线段AE 的长．22．（本题满分10分）21.3,063.5929sin21.3,tan 21.3,sin 63.5,tan 63.52)25510A CBC C ︒︒︒≈︒≈︒≈︒≈ 一艘轮船自西向东航行，在处测得东偏北方向有一座小岛继续向东航行8海里到达处，测得小岛此时在轮船的东偏北方向上。
2013年上海普陀中考数学试卷及答案
2013年上海普陀中考数学试卷及解答一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．A、=3，故此选项错误；B、是最简二次根式，故此选项正确；C、=2，不是最简二次根式，故此选项错误；D、=，不是最简二次根式，故此选项错误；故选：B．2．下列关于x的一元二次方程有实数根的是（）A．x2+1=0 B．x2+x+1=0 C．x2﹣x+1=0 D．x2﹣x﹣1=0 解：A、这里a=1，b=0，c=1，△=b2﹣4ac=﹣4＜0，方程没有实数根，本选项不合题意；B、这里a=1，b=1，c=1，△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，方程没有实数根，本选项不合题意；C、这里a=1，b=﹣1，c=1，△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，方程没有实数根，本选项不合题意；D、这里a=1，b=﹣1，c=﹣1，△=b2﹣4ac=1+4=5＞0，方程有两个不相等实数根，本选项符合题意；故选D3．如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+3解：抛物线y=x2+2向下平移1个单位，抛物线的解析式为y=x2+2﹣1，即y=x2+1．故选C．4．数据 0，1，1，3，3，4 的中位数和平均数分别是（）A．2和2.4 B．2和2 C．1和2 D．3和2解：这组数据的中位数为：（1+3）÷2=2，平均数为：=2．故选B．5．如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5解：AD：DB=3：5，BD：AB=5：8，DE∥BC，CE：AC=BD：AB=5：8，EF∥AB，CF：CB=CE：AC=5：8．故选A．6．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（）A．∠BDC=∠BCD B．∠ABC=∠DAB C．∠ADB=∠DAC D．∠AOB=∠BOC解：A、∵∠BDC=∠BCD，∴BD=BC，根据已知AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；B、根据∠ABC=∠DAB和AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；C、∵∠ADB=∠DAC，AD∥BC，∴∠ADB=∠DAC=∠DBC=∠ACB，∴OA=OD，OB=OC，∴AC=BD，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项正确；D、根据∠AOB=∠BOC，只能推出AC⊥BD，再根据AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误．故选C．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．分解因式：a2﹣1= （a+1）（a﹣1）．解：a2﹣1=（a+1）（a﹣1）．8．不等式组的解集是x＞1 ．解：，由①得，x＞1；由②得，x＞﹣3，故此不等式组的解集为：x＞1．故解答为：x＞1．9．计算：= 3b ．解：原式==3b，故解答为3b．10．计算：2（﹣）+3= ．解：2（﹣）+3=2﹣2+3=2+．故解答为：2+．11．已知函数，那么= 1 ．解：f（）==1．故解答为：1．12．将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母e的概率为．解：∵英文单词theorem中，一共有7个字母，其中字母e有2个，∴任取一张，那么取到字母e的概率为．故解答为．13．某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图所示，那么报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为40% ．解：总人数是：50+80+30+40=200（人），则报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为×100%=40%．故解答是：40%．14．在⊙O中，已知半径长为3，弦AB长为4，那么圆心O到AB的距离为．解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，∵AB=4，∴BD=AB=×4=2，在Rt△OBD中，∵OB=3cm，BD=2cm，∴OD===．故解答为：．15．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是AC=DF ．（只需写一个，不添加辅助线）解：AC=DF，理由是：∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，∴BC=EF，∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS），故解答为：AC=DF．16．李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是 2 升．解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由函数图象，得，解得：，则y=﹣x+3.5．当x=240时，y=﹣×240+3.5=2升．故解答为：217．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°．解：由题意得：α=2β，α=100°，则β=50°，180°﹣100°﹣50°=30°，故解答为：30°．18．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l 与边BC交于点D，那么BD的长为．解：过点A作AQ⊥BC于点Q，∵AB=AC，BC=8，tanC=，∴=，QC=BQ=4，∴AQ=6，∵将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，过B′点作B′E⊥BC于点E，∴B′E=AQ=3，∴=，∴EC=2，设BD=x，则B′D=x，∴DE=8﹣x﹣2=6﹣x，∴x2=（6﹣x）2+32，解得：x=，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为：．故解答为：．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）（本大题共7题，19～22题10分，23、24题12分，25题14分，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．计算：．解：原式=2+﹣1﹣1+2=3．20．解方程组：．解：，由②得：（x+y）（x﹣2y）=0，x+y=0或x﹣2y=0，原方程组可变形为：或，解得：，．21．已知平面直角坐标系xOy（如图），直线经过第一、二、三象限，与y轴交于点B，点A（2，t）在这条直线上，联结AO，△AOB的面积等于1．（1）求b的值；（2）如果反比例函数（k是常量，k≠0）的图象经过点A，求这个反比例函数的解析式．解：（1）过A作AC⊥y轴，连接OA，∵A（2，t），∴AC=2，对于直线y=x+b，令x=0，得到y=b，即OB=b，∵S△AOB=OB•AC=OB=1，∴b=1；（2）由b=1，得到直线解析式为y=x+1，将A（2，t）代入直线解析式得：t=1+1=2，即A（2，2），把A（2，2）代入反比例解析式得：k=4，则反比例解析式为y=．22．（10分）某地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图2所示，其示意图如图3所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB=143°，AB=AE=1.2米，求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到直线BC的距离）．（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参照数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75．）解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．∵∠EAB=143°，∠BAG=90°，∴∠EAH=∠EAB﹣∠BAG=53°．在△EAH中，∠EHA=90°，∠AEH=90°﹣∠EAH=37°，AE=1.2米，∴EH=AE•cos∠AEH≈1.2×0.80=0.96（米），∵AB=1.2米，∴栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH≈1.2+0.96=2.16≈2.2（米）．故栏杆EF段距离地面的高度为2.2米．23．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE=BC，∴EF=DF﹣DE=BC﹣CB=CB，∴DE=EF；（2）∵四边形DBCF为平行四边形，∴DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0），经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连接OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．解：（1）过点A作AE⊥y轴于点E，∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠AOE=30°，∴AE=1，EO=，∴A点坐标为：（﹣1，），B点坐标为：（2，0），将两点代入y=ax2+bx得：，解得：，∴抛物线的表达式为：y=x2﹣x；（2）过点M作MF⊥OB于点F，∵y=x2﹣x=（x2﹣2x）=（x2﹣2x+1﹣1）=（x﹣1）2﹣，∴M点坐标为：（1，﹣），∴tan∠FOM==，∴∠FOM=30°，∴∠AOM=30°+120°=150°；（3）∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠ABO=∠OAB=30°，∴AB=2EO=2，当△ABC1∽△AOM，∴=，∵MO==，∴=，解得：BC1=2，∴OC1=4，∴C1的坐标为：（4，0）；当△C2AB∽△AOM，∴=，∴=，解得：BC2=6，∴OC2=8，∴C2的坐标为：（8，0）．综上所述，△ABC与△AOM相似时，点C的坐标为：（4，0）或（8，0）．25．在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，联结QP （如图）．已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x的值．解：（1）在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP2=AP2+AB2=x2+25．∵MQ是线段BP的垂直平分线，∴BQ=PQ，BM=BP，∠BMQ=90°，∴∠MBQ+∠BQM=90°，∵∠ABP+∠MBQ=90°，∴∠ABP=∠BQM，又∵∠A=∠BMQ=90°，∴△ABP∽△MQB，∴，即，化简得：y=BP2=（x2+25）．当点Q与C重合时，BQ=PQ=13，在Rt△PQD中，由勾股定理定理得：PQ2=QD2+PD2，即132=52+（13﹣x）2，解得x=1；又AP≤AD=13，∴x的取值范围为：1≤x≤13．∴y=（x2+25）（1≤x≤13）．（2）当⊙P与⊙Q相外切时，如答图1所示：设切点为M，则PQ=PM+QM=AP+QC=AP+（BC﹣BQ）=x+（13﹣y）=13+x﹣y；∵PQ=BQ，∴13+x﹣y=y，即2y﹣x﹣13=0将y=（x2+25）代入上式得：（x2+25）﹣x﹣13=0，解此分式方程得：x=，经检验，x=是原方程的解且符合题意．∴x=．（3）按照题意画出图形，如答图2所示，连接QE．∵EF=EC，EF⊥PQ，EC⊥QC，∴∠1=∠2（角平分线性质）．∵PQ=BQ，∴∠3=∠4，而∠1+∠2=∠3+∠4（三角形外角性质），∴∠1=∠3．又∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠3=∠5，∴∠1=∠5，又∵∠C=∠A=90°，∴△CEQ∽△ABP，∴，即，化简得：4x+5y=65，将y=（x2+25）代入上式得：4x+（x2+25）=65，解此分式方程得：x=，经检验，x=是原方程的解且符合题意，∴x=．。
2013上海市中考数学试卷WORD版真题和答案
上海市2013年初中毕业统一学业考试数学(本试卷满分150分，考试时间100分钟)第I卷（选择题共24分）一、选择题：(本大题共6小题，每小题4分，共24分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列式子中，属于最简二次根式的是（）2．下列关于x的一元二次方程有实数根的是（）(A)x2+1=0； (B)x2+x+1=0；(C)x2-x+l=0； (D)x2-x-1=0．3．如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（） (A)y=(x-1)2+2； (B)y=(x+1)2+2；(C)y=x2十1； (D)y=x2+3．4．数据0，1，1，3,3,4的中位数和平均数分别是（）(A)2和2.4； (B)2和2； (C)1和2； (D)3和2．5．如图1，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）(A)5：8； (B)3：8； (C)3：5； (D)2：5．6．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O．下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（）(A)∠BDC=∠BCD ； (B)∠ABC=∠DAB ；(C)∠ADB=∠DAC ； (D)∠AOB=∠BOC ．第II 卷（非选择题 共126分）二、填空题：(本大题共12小题，每小题4分，共48分请把答案填在题中横线上) 7·因式分解：a 2-1= .8·不等式组1023x x x ->⎛ +>⎝的解集是 . 9．计算：23b a a b∙= . 10．计算：2()3a b b -+= .11·已知函数23()1f x x =+，那么f = . 12·将“定理“的英文单词theorem 中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌上，任取一张，那么取到字母e 的概率为 ．13·某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图2所示，那么报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为 .14·在⊙O 中，已知半径长为3，弦AB 长为4，那么圆心O 到AB 的距离为 升． 15·如图3，在△ABC 和△DEF 中，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，BF=CE,AC ∥DF,请添加一个条件，使△ABC ≌△DEF ，这个添加的条件可以是 ．(只需写一个，不添加辅助线)16·李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y(升)与行驶里程数x(千米)之间是一次函数关系，其图像如图4所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是 .升．17·当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．18·如图5，在△ABC中，AB=AC，BC=8， tanC=32，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落边在AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为·三、解答题：(本大题共7小题，共78分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)19．(本小题满分10分)1112π-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭20．(本小题满分10分)解方程组：22220-=-⎛--=⎝x yx xy y①②21．(本小题满分10分)已知平面直角坐标系xOy(如图6)，直线12y x b=+经过第一、二、三象限，与y轴交于点B，点A(2，t)在这条直线上，连接AO，△AOB的面积等于1．(1)求b的值；(2)如果反比例函数y=kx(k是常数，k≠o)的图像经过点A，求这个反比例函数的解析式．22．(本小题满分10分)某地下车库出口处”两段式栏杆”如图7—1．所示，点A是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图7—2所示，其示意图如图7—3所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB=143°，AB=AE=1．2米．求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度(即直线EF上任意一点到直线BC的距离)。
【精品】word2014初三数学普陀一模试卷及答案
2013学年普陀区九年级期终调研数学试卷（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．3．本次测试可使用科学计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．用放大镜将图形放大，应该属于（）．平移变换；．相似变换；．对称变换；．旋转变换．2．在比例尺是1:38000的黄浦江交通游览图上，某隧道长约7，它的实际长度约为（）．0.266；．2.66；．26.6；．266.3．在△中，，，那么△是（）．钝角三角形；．直角三角形；．锐角三角形；．等腰三角形.4．二次函数的图像一定不经过（）．第一象限；．第二象限；．第三象限；．第四象限.5．下列命题中，正确的是（）．如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线一定平行于三角形的第三边；．不同向量的单位向量的长度都相等，方向也都相同；．相似三角形的中线的比等于相似比；．一般来说，一条线段的黄金分割点有两个.第7题6．在△中，90°，，，那么下面各式正确的是（）．；．；．；．.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如图，直线∥∥，，，那么的值是．8．在一个陡坡上前进5米，水平高度升高了3米，则坡度．9．抛物线关于轴对称的抛物线的解析式是．10．请写出一个以直线为对称轴，且在对称轴左侧部分是上升的抛物线的表达式可以是．11．如果、是△的边和的中点，，，那么．12．如图，在边长为1的正方形网格中有点、、、，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是________．13．若为一锐角，且60°，则．14．已知为一锐角，化简：．15．如果直角三角形的斜边长为12，那么它的重心与外心之间的距离为．16．已知二次函数的顶点坐标为，并且经过平移后能与抛物线重合，那么这个二次函数的解析式是．17．若一个三角形的边长均满足方程，则此三角形的周长为．18．已知梯形中，∥，，，，是锐角，的正弦值为，那么的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：．20．（本题满分10分）已知：如图，△中，点是边上的一点，且:2:1．（1）设，，先化简，再求作：；（2）用（、为实数）的形式表示．21．（本题满分10分）如图，在△中，，，点是△内一点，且．（1）求证：△∽△；（2）试求的值．22．（本题满分10分）如图，浦西对岸的高楼，在处测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进100米到达处，在处测得的仰角为45°，求高楼的高．23．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）如图，已知是△中的角平分线，是上的一点，且，，．（1）求证：△∽△；（2）求证：△∽△；（3）求的长．24．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题9分）如图，抛物线经过点，且与轴交于点、点，若．（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为，点是线段上一动点（不与点重合），，射线与线段交于点，当△为等腰三角形时，求点的坐标．25．（本题满分14分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分，第（3）小题2分）如图，在正方形中，，点是边上的任意一点，是延长线上一点，联结，作交的平分线上一点，联结交边于点．（1）求证：；（2）设点到点的距离为，线段的长为，试求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）当点是线段延长线上一动点，那么（2）式中与的函数关系式保持不变吗？如改变，试直接写出函数关系式．2013学年普陀区九年级数学期终调研试卷参考答案及评分说明一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．(B)； 2．(B)； 3．(A)； 4．(A)； 5．(D)； 6．(C)．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．2； 8．1∶； 9．；10．等； 11．； 12．△PAB∽△PCA；13．30°； 14．； 15．2；16.； 17．6或12或10； 18．22或12．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.解：原式……………………………………………………………（5分）…………………………………………………………………………（3分）．………………………………………………………………………（2分）20.解：(1)=…………………（2分）=．……………………………（2分）∴就是所求的向量，=．（不在原图上作，正确，不扣分）（画图2分，结论1分）（2）………………………………………………（2分）=．………………………………………………………………（1分）21.(1)证明：∵∠APB=∠APC=135°，…………………（1分）又∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠1+∠3=45°，…………………………（1分）∠2+∠3=45°，…………………………（1分）∴∠2=∠1．…………………………………（1分）∴△APB∽△CPA．…………………………（2分）(2)解：∵△APB∽△CPA，∴，………………………（1分）∴，．……………………………………………………（2分）在△PBC中，∵∠CPB=90°，tan∠PCB==2．…………………………………………………………………（1分）22．解：由题意得：AB⊥CB，∠C=30°，∠ADB=45°，CD=100m．…………………（4分）在Rt△ADB中，∵∠ADB=∠DAB =45°，∴DB=AB．……………………………………………………（1分）在Rt△ACB中，∵∠ABC =90°，∠C=30°，∴tan30°＝，……………………………………………（1分）∴，……………………………………………（1分）∴，………………………………………（1分）解得：．……………………………………………（1分）答：高楼AB的高为米．…………………………………………………（1分）23．(1)证明：∵CD是△ABC中∠ACB的角平分线，∴∠1=∠2；……………………………………（1分）∵，∴；…………………………………（1分）∴△DCE∽△BCD．……………………………（1分）(2)证明：∵△DCE∽△BCD．∴∠4=∠B；………………………………………………………………………（1分）∵∠4+∠3=∠2+∠B，∴∠3=∠2；………………………………………………………………………（1分）∴∠3=∠1；………………………………………………………………………（1分）又∵∠A=∠A，………………………………………………………………………（1分）∴△ADE∽△ACD．………………………………………………………………（1分）(3)解：∵△ADE∽△ACD，∴，………………………………………………………………………（1分）∵AD=6，AE=4，∴，……………………………………………………………………（1分）解得 CE=5．所以CE的长为5．…………………………………………………………………（2分）24.解：(1)∵抛物线经过点C（0，），∴b=，OC=．……………………………………………………………（1分）∵∠AOC=90°，tan∠ACO=，∴OA=OC=1，∴点A坐标为（，0），…………………………………（1分）代入解析式，解得a=，所以解析式为：．……………………………………………（1分）(2)由解得：M（1，），B（3，0）．……………………………………………（2分）过点M作MD⊥ｘ轴交于点D，…………（1分）∵DM=DB=2，∴∠OBM=45°．………………………（1分）①当QP=QM时，∠QPM=∠QMP=45°，∴∠PQM=90°．又∵∠OBM=45°，∴∠MPB=90°．∴P（1，0）．………………………………（1分）②当PM=PQ时，∵∠MPQ=∠OBM =45°，∠PMQ=∠BMP，∴△PMQ∽△BMP，…………………………………………………………（1分）∴BP=BM=，……………………………………………………………（1分）∴P（，0）．…………………………………………………………（1分）③当MP=MQ时，点Q与点B重合，点P与点A重合，不合题意，舍去．…………………（1分）综上所述，符合条件的点P坐标为（1，0）或（，0）．25.解：(1)在AB上截取AQ=PC，联结PQ．……………………………………………（1分）∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠B=∠DCE=90°．∵点P在BC上，BQ=BP，∴∠1=∠2=45°．又∵CF是∠DCE的平分线，∴∠FCD=45°，∴∠AQP=∠PCF=135°．…（1分）∵PF⊥AP，∴∠APB+∠3=∠APB+∠4=90°．∴∠3=∠4．………………………………………（1分）∴△QAP≌△CPF，………………………………（1分）∴AP=PF．…………………………………………（1分）(2)过点F作FM⊥CE，垂足为M，…………………………………………………（1分）∵∠B=∠FMP=90°，又∵∠3=∠4，AP=PF ，∴△ABP≌△PMF．………………………………………………………………（1分）∴BP=MF．过点F作FN⊥CD，垂足为N，…………………………………………………（1分）∵CF是∠DCE的平分线，∴FM=FN，∴四边形CMFN是正方形．∴CN=NF=FM=BP=x，DN=2–x．∵DG=y，GN=2–x–y．…………………………………………………………（1分）∵AD∥NF，∴，∴，…………………………………………………………………（1分）∴，(0≤x< 2)．……………………………………………………（2分）(3)，(x> 2)．…………………………………………………………………（2分）。
上海市普陀区2013-2014学年九年级上学期期末数学试题
（1）设 BA a ， BC b ，先化简，再求作： 2a b
3a
3 b
；
2
B
（2）用 xa yb （ x 、 y 为实数）的形式表示 BD ．
A
D C
21．（本题满分 10 分） 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， ACB
APB APC 135 ． （1）求证：△ CPA ∽△ APB； （2）试求 tan PCB 的值．
．
12．如图，在边长为 1 的正方形网格中有点 P 、 A 、 B 、 C ，则图中所形成的三角形中，
相似的三角形是
．
A
13．若 为一锐角，且 cos sin 60°，则
．
P
B
D E F
C
14．已知 为一锐角，化简：
sin 1 2 sin
．
15．如果直角三角形的斜边长为 16．已知二次函数的顶点坐标为
上海市普陀区 2013-2014 学年九年级上学期期末数学试题
（测试时间： 100 分钟，满分： 150 分）
一、选择题： （本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1．用放大镜将图形放大，应该属于（
）
A ．平移变换；
B ．相似变换；
变换．
C ．对称变换；
D ．旋转
2．在比例尺是 1: 38000 的黄浦江交通游览图上， 某隧道长约 7 cm ，它的实际长度约为 （
8．在一个陡坡上前进 5 米，水平高度升高了 3 米，则坡度 i
．
9．抛物线 y x2 1关于 x 轴对称的抛物线的解析式是
．
A
．
B
C
10．请写出一个以直线 x
以是
．
2 为对称轴，且在对称轴左侧部分是上升的抛物线的表达式可
上海普陀区初三一模试卷
AC普陀区2015学年度第一学期初三质量调研数学试卷一、选择题1. 如图1，BD 、CE 相交于点A ，下列条件中，能推得DE ∥BC 地条件是( ) (A)AE:EC=AD:DB ；(B)AD:AB=DE:BC ； (C)AD:DE=AB:BC ；(D)BD:AB=AC:EC .2. 在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 地中点，DE ∥BC ，如果△ADE 地面积等于3，那么△ABC 地面积等于( ) (A)6；(B)9；(C)12；(D)15.3. 如图2，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 是斜边AB 上地高，下列线段地比值不等于cos A 地值地是( )(A)ADAC ； (B)ACAB ； (C)BD BC；(D)CD BC.4. 如果a 、b 同号，那么二次函数地大致图像是( )5. 下列命题中，正确地是( )(A)圆心角相等，所对地弦地弦心距相等； (B)三点确定一个圆；(C)平分弦地直径垂直于弦，并且平分弦所对地弧； (D)弦地垂直平分线必经过圆心.图1图2ABOB已知在平行四边形ABCD 中，点M、N 分别是边BC 、CD 地中点，如果，那么向量关于地分解式是( )(A)； (B)； (C)； (D)(B).二、填空题7. 如果x:y=2:5，那么y xx y-+=__________； 8. 计算：2()+()=_________；9. 计算：2sin 45cot 30tan 60︒+︒⋅︒=____________；已知点P 把线段分割成AP 和PB (AP>PB )两段，如果AP 是AB 和PB 地比例中项，那么AP:AB 地值等于________；在函数①，②，③，④中，y 关于x 地二次函数是___________(填写序号)；12. 二次函数地图像有最_______点；(填“高”或“低”)13. 如果抛物线地顶点坐标为(1,3)，那么m+n 地值等于_______；14. 如图3，点G 为△ABC 地重心，DE 经过点G ，DE ∥AC ，EF ∥AB ，如果DE 长是4，那么CF 地长是_________；15. 如图4，半圆形纸片地半径长是1cm ，用如图所示地方法将纸片对折，使对折后半圆地中点M 与圆心O 重合，那么折痕CD 地长是________cm ；已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，点P 、Q 分别在边AB 、AC 上，AC=4，BC=AQ=3，如果△APQ 与△ABC 相似，那么AP 地长等于________；图3图4图5某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程地安全性，工人师傅将原坡角为45°地传送带AB ，调整为坡度i=地新传送带AC (如图5所示)，已知原传送带AB 地长是米.那么新传送带AC 地长是________米；已知A (3,2)是平面直角坐标系中地一点，点B 是x 轴负半轴上一动点，联结AB ，并以AB 为边在x 轴上方作矩形ABCD ，且满足BC:AB=1:2，设点C 地横坐标是a ，如果用含a 地代数式表示点D 地坐标，那么点D 地坐标是_______.三、解答题19. 已知：如图6，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=BC ，点M 是边BC 地中点，.(1) 填空：=_________，=_____________(结果用、表示)；(2) 直接在图中画出向量(不要求写作法，但要指出图中表示结论地向量).将抛物线y=先向上平移2个单位，再向左平移m (m>0)个单位，所得新抛物线经过点()，求新抛物线地表达式及新抛物线与y 轴交点地坐标.如图7，已知AD 是地直径，AB 、BC 是地弦，AD ⊥BC ，垂足是点E ，BC=8，DE =2.求地半径长和sin ∠BAD 地值.图6FEGDCBABAED已知：如图8，有一块面积等于1200cm 2地三角形铁片ABC ，已知底边BC 与底边上地高地和为100cm(底边BC 大于底边上地高)，要把它加工成一个正方形铁片，使正方形地一边EF 在边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，求加工成地正方形铁片DEFG 地边长.23. 已知：如图9，在四边形ABCD 中，∠ADB=∠ACB ，延长AD 、BC 相交于点E ，求证：(1) △ACE ∽△BDE ； (2) BE·DC=AB·DE.已知，如图10，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数地图像经过点A (0,8)、B (6,2)、C (9,m )，延长AC 交x 轴于点D.(1)求这个二次函数地解析式及m 地值；图7图8图9(2)求∠ADO地余切值；(3)过点B地直线分别于y轴正半轴、x轴、线段AD交于点P(点A地上方)、M、Q，使以点P、A、Q为顶点地三角形与△MDQ相似，求此时点P地坐标.图10如图11，已知锐角∠MBN地正切值等于3，△PBD中，∠BDP=90°，点D在∠MBN地边BN上，点P在∠MBN内，PD=3，BD=9.直线l经过点P，并绕点P旋转，交射线BM于点A，交射线DN于点C.设=x，(1)求x=2时，点A到BN地距离；B(2)设△ABC 地面积为y ，求y 关于x 地函数解析式，并写出函数地定义域； (3)当△ABC 因l 地旋转成为等腰三角形时，求x 地值.备用图。
2013年上海市中考数学试卷及答案(Word版)
2013年市初中毕业统一学业考试数学试卷考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）A ．9；B ．7；C ．20；D ．13．2．下列关于x 的一元二次方程有实数根的是（ ）A ．210x +=；B ．210x x ++=；C ．210x x -+=；D ．210x x --=．3.如果将抛物线22y x =+向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）A ．()212y x =-+；B ．()212y x =++； C ．21y x =+； D ．23y x =+．4．数据0，1，1，3，3，4的中位数和平均数分别是（ ）A ．2和2．4；B ．2和2；C ．1和2；D ．3和2．5．如图1，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且:3:5AD DB =，那么:CF CB 等于（ ）A ．5:8；B ．3:8；C ．3:5；D ．2:5．6．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 和BD 交于点O ，下列条件中，能判断梯形ABCD 是等腰梯形的是（ ）A ．BDC BCD ∠=∠；B ．ABC DAB ∠=∠； C ．ADB DAC ∠=∠；D ．AOB BOC ∠=∠．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．因式分解：21a -=．8．不等式组1023x x x ->⎧⎨+>⎩的解集是．9．计算：23b aa b⋅=．10．计算：()23a b b -+=．11．已知函数()231f x x =+，那么()2f =．12．将“定理”的英文单词theorem 中的7个字母分别写在7相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一，那么取到字面e 的概率是．13．某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图2所示，那么报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为．14．在⊙O 中，已知半径长为3，弦AB 长为4，那么圆心O 到AB 的距离为．15．如图3，在△ABC 和△DEF 中，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，B F =C E ，A C ∥D F ，请添加一个条件，使△ABC ≌△DEF ，这个添加的条件可以是（只需写一个，不添加辅助线）．16．老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y （升）与行驶里程x （千米）之间是一次函数关系，其图像如图4所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是升．17．当三角形中一个角α是另一个角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小角的度数为．18．如图5，在△ABC 中，AB AC =，8BC =，32tanC =，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为．三、解答题：（本大题共7题，19~22题10分，23、24题12分，25题14分，满分满分78分）19．计算：1018212π-⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭．20．解方程组：22220x y x xy y -=-⎧⎨--=⎩．21．已知平面直角坐标系xOy （如图6），直线12y x b =+经过第一、二、三象限，与y 轴交于点B ，点()2,A t 在这条直线上，联结AO ，△AOB 的面积等于1． （1）求b 的值；（2）如果反比例函数ky x=（k 是常量，0k ≠）的图像经过点A ，求这个反比例函数的解析式．22．某地下车库出口处“两段式栏杆”如图（1）所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF 升起后的位置如图（2）所示，其示意图如图（3）所示，其中AB BC ⊥，EF ∥BC ，143EAB ∠=， 1.2AB AE ==米，求当车辆经过时，栏杆EF 段距离地面的高度（即直线EF 上任意一点到直线BC 的距离）．（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计，参考数据：370.60sin ≈，370.80cos ≈，370.75tan ≈．）23．如图8，在△ABC 中，90ACB ∠=，B A ∠>∠，点D 为边AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于点E ，CF ∥AB 交DE 的延长线于点F ． （1）求证：DE EF =；（2）联结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的延长线于点G ，求证：B A DGC ∠=∠+∠．24．如图9，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线()20y ax bx a =+>经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，2AO BO ==，120AOB ∠=． （1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM ，求AOM ∠的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．25．在矩形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点，联结BP ，线段BP 的垂直平分线交边BC 于点Q ，垂足为点M ，联结QP （如图10）．已知13AD =，5AB =．设AP x =，BQ y =． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值围；（2）当以AP 长为半径的⊙P 和以QC 长为半径的⊙Q 外切时，求x 的值；（3）点E 在边CD 上，过点E 作直线QP 的垂线，垂足为F ．如果4EF EC ==，求x 的值．2013年市初中毕业统一学业考试数学试卷参考答案一、选择题1、B；2、D；3、C；4、B；5、A；6、C二、填空题7、（a+1）（a﹣1）； 8、x＞1； 9、3b； 10、2+； 11、1； 12、； 13、40%；14、； 15、AC=DF； 16、2； 17、30°； 18、．三、解答题19．解：原式=2+﹣1﹣1+2=320．解：，由②得：（x+y）（x﹣2y）=0，x+y=0或x﹣2y=0，原方程组可变形为：或，解得：，21．解：（1）过A作AC⊥y轴，连接OA，∵A（2，t），∴AC=2，对于直线y=x+b，令x=0，得到y=b，即OB=b，∵S△AOB=OB•AC=OB=1，∴b=1；（2）由b=1，得到直线解析式为y=x+1，将A（2，t）代入直线解析式得：t=1+1=2，即A（2，2），把A（2，2）代入反比例解析式得：k=4，则反比例解析式为y=．22．解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．∵∠EAB=143°，∠BAG=90°，∴∠EAH=∠EAB﹣∠BAG=53°．在△EAH中，∠EHA=90°，∠AEH=90°﹣∠EAH=37°，AE=1.2米，∴EH=AE•cos∠AEH≈1.2×0.80=0.96（米），∵AB=1.2米，∴栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH≈1.2+0.96=2.16≈2.2（米）．故栏杆EF段距离地面的高度为2.2米．23．证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE=BC，∴EF=DF﹣DE=BC﹣CB=CB，∴DE=EF；（2）∵四边形DBCF为平行四边形，∴DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．24．解：（1）过点A作AE⊥y轴于点E，∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠AOE=30°，∴AE=1，EO=，∴A点坐标为：（﹣1，），B点坐标为：（2，0），将两点代入y=ax2+bx得：，解得：，∴抛物线的表达式为：y=x2﹣x；（2）过点M作MF⊥OB于点F，∵y=x2﹣x=（x2﹣2x）=（x2﹣2x+1﹣1）=（x﹣1）2﹣，∴M点坐标为：（1，﹣），∴tan∠FOM==，∴∠FOM=30°，∴∠AOM=30°+120°=150°；（3）∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠ABO=∠OAB=30°，∴AB=2EO=2，当△ABC1∽△AOM，∴=，∵MO==，∴=，解得：BC1=2，∴OC1=4，∴C1的坐标为：（4，0）；当△C2AB∽△AOM，∴=，∴=，解得：BC2=6，∴OC2=8，∴C2的坐标为：（8，0）．综上所述，△ABC与△AOM相似时，点C的坐标为：（4，0）或（8，0）．25．解：（1）在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP2=AP2+AB2=x2+25．∵MQ是线段BP的垂直平分线，∴BQ=PQ，BM=BP，∠BMQ=90°，∴∠MBQ+∠BQM=90°，∵∠ABP+∠MBQ=90°，∴∠ABP=∠BQM，又∵∠A=∠BMQ=90°，∴△ABP∽△MQB，∴，即，化简得：y=BP2=（x2+25）．当点Q与C重合时，BQ=PQ=13，在Rt△PQD中，由勾股定理定理得：PQ2=QD2+PD2，即132=52+（13﹣x）2，解得x=1；又AP≤AD=13，∴x的取值围为：1≤x≤13．∴y=（x2+25）（1≤x≤13）．（2）当⊙P与⊙Q相外切时，如答图1所示：设切点为M，则PQ=PM+QM=AP+QC=AP+（BC﹣BQ）=x+（13﹣y）=13+x﹣y；∵PQ=BQ，∴13+x﹣y=y，即2y﹣x﹣13=0将y=（x2+25）代入上式得：（x2+25）﹣x﹣13=0，解此分式方程得：x=，经检验，x=是原方程的解且符合题意．∴x=．（3）按照题意画出图形，如答图2所示，连接QE．∵EF=EC，EF⊥PQ，EC⊥QC，∴∠1=∠2（角平分线性质）．∵PQ=BQ，∴∠3=∠4，而∠1+∠2=∠3+∠4（三角形外角性质），∴∠1=∠3．又∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠3=∠5，∴∠1=∠5，又∵∠C=∠A=90°，∴△CEQ∽△ABP，∴，即，化简得：4x+5y=65，将y=（x2+25）代入上式得：4x+（x2+25）=65，解此分式方程得：x=，经检验，x=是原方程的解且符合题意，∴x=．。
2023-2024学年上海市普陀区九年级(上)期末数学试卷(一模)及答案解析
2023-2024学年上海市普陀区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答1．（4分）将抛物线y＝3x2沿着y轴向上平移1个单位后，所得新抛物线的表达式是（）A．y＝x2+1B．y＝x2﹣1C．y＝3x2+1D．y＝3x2﹣1 2．（4分）在Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°，，BC＝3，那么AC的长等于（）A．1B．9C．D．3．（4分）下列关于抛物线y＝2x2和抛物线y＝﹣2x2的说法中，不正确的是（）A．对称轴都是y轴B．在y轴左侧的部分都是上升的C．开口方向相反D．顶点都是原点4．（4分）已知，是非零向量，如果＝﹣3，下列说法中正确的是（）A．B．C．D．5．（4分）如图，在四边形ABCD中，如果AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，那么下列结论中不一定成立的是（）A．AC＝BD B．AD∥BC C．∠DAB＝∠ADC D．∠ABD＝∠DBC 6．（4分）如图，△ABC和△DCB都是直角三角形，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，AC、BD相交于点O，如果∠DBC＝30°，那么OC：AC的值是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知＝，那么＝．8．（4分）已知正比例函数y的值随着自变量x的值增大而增大，那么这个正比例函数的解析式可以是．（只需写一个）9．（4分）化简：＝．10．（4分）已知二次函数y＝x2+3x+m﹣2的图象与y轴的交点在正半轴上，那么m的取值范围是．11．（4分）如图，点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，且DE∥BC，如果AB ＝6，AE＝3，CD＝5，那么AC＝．12．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，如果AC＝5，CD＝4，那么△ACD与△CBD的相似比k＝．13．（4分）已知点A在抛物线y＝（x﹣1）2+2上，点A′与点A关于此抛物线的对称轴对称，如果点A的横坐标是﹣1，那么点A′的坐标是．14．（4分）如图，抛物线y＝﹣x2+4x的顶点为P，M为对称轴上一点，如果PM＝OM，那么点M的坐标是．15．（4分）已知点P为等边三角形ABC的重心，D为△ABC一边上的中点，如果这个等边三角形的边长为2，那么PD＝．16．（4分）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形顶点的位置上，联结AB、CD相交于点P，根据图中提示添加的辅助线，可以得到cos∠BPC的值等于．17．（4分）△ABC中，点D在边BC上，DC＝2BD，点E、F分别在边AB、AC上，，如果BC＝6，那么EF＝．18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，E为边CD的中点，联结AE、BE，P 为边AD上一点，将△ABP沿BP翻折，如果点A的对应点A′恰好位于△ABE内，那么AP的取值范围是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AD、BC的中点，BD与EF 交于点G，O为BD上一点，OF∥DC．（1）求的值；（2）设，，如果DE：BF＝1：3，那么＝，＝．（用向量、表示）21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A（1，m）．（1）求这个反比例函数的解析式；（2）点B在这个反比例函数位于第一象限的图象上，过点B作BH⊥x轴，垂足为点H．如果∠AOH＝∠OBH，求点B的坐标．22．（10分）如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻碍，无法直接从山脚B处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量：第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为37°；第二步：从C处后退30米，在D处测得山顶A的仰角为26.6°；第三步：测得小河宽BC为33米．已知点B、C、D在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡AB的坡度．（参考数据：sin22.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.5，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠ADE＝∠B，∠EAF＝∠FDC，DE与AC交于点F．（1）求证：；（2）联结BF，如果AB2＝AF•AC，求证：AD•BC＝AE•BF．24．（12分）九年级第一学期教材第2页结合教材图形给出新定义对于图1中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形ABCD ，得到四边形A 1B 1C 1D 1；放大四边形ABCD ，得到四边形A 2B 2C 2D 2．图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图1中，四边形A 1B 1C 1D 1和四边形A 2B 2C 2D 2都与四边形ABCD 形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形.如图1，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心．（1）填空：在图1中位似中心是点；多边形是特殊的多边形．（填“位似”或“相似”）（2）在平面直角坐标系xOy 中（如图2），二次函数y ＝x 2﹣3x 的图象与x 轴交于点A ，点B 是此函数图象上一点（点A 、B 均不与点O 重合），已知点B 的横坐标与纵坐标相等，以点O 为位似中心，相似比为，将△OAB 缩小，得到它的位似△OA 1B 1．①画出△OA1B1，并求经过O、A1、B1三点的抛物线的表达式；②直线y＝kx（k＞0）与二次函数y＝x2﹣3x的图象交于点M，与①中的抛物线交于点N，请判断△OA1N和△OAM是否为位似三角形，并根据新定义说明理由．25．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E是边BC延长线上一点，过点B 作BM⊥DE，垂足为点M，联结CM，设CE＝a（0＜a＜1）．（1）求证：△DCE∽△BME；（2）∠CME的大小是否是一个确定的值？如果是，求出∠CME的正切值；如果不是，那么用含字母a的代数式表示∠CME的正切值；（3）P是边AD上一动点（不与点A、D重合），联结PB、PM．随着点P位置的变化，在△PBM中除∠BPM外的两个内角是否会有与∠CME相等的角，如果有，请用含字母a的代数式表示此时线段AP的长；如果没有，请说明理由．2023-2024学年上海市普陀区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答1．（4分）将抛物线y＝3x2沿着y轴向上平移1个单位后，所得新抛物线的表达式是（）A．y＝x2+1B．y＝x2﹣1C．y＝3x2+1D．y＝3x2﹣1【分析】根据函数图象平移规律，可得答案．【解答】解：将抛物线y＝3x2沿着y轴向上平移1个单位后，所得新抛物线的表达式是y＝3x2+1，故选：C．【点评】主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．2．（4分）在Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°，，BC＝3，那么AC的长等于（）A．1B．9C．D．【分析】根据题意，表示出∠B的正切即可解决问题．【解答】解：在Rt△ABC中，tan B＝，又因为，BC＝3，所以，解得AC＝1．故选：A．【点评】本题考查解直角三角形，熟知正切的定义是解题的关键．3．（4分）下列关于抛物线y＝2x2和抛物线y＝﹣2x2的说法中，不正确的是（）A．对称轴都是y轴B．在y轴左侧的部分都是上升的C．开口方向相反D．顶点都是原点【分析】根据二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵抛物线y＝2x2和抛物线y＝﹣2x2，∴它们的对称轴都是y轴，故选项A不符合题意；抛物线y＝2x2在y轴左侧的部分是下降的，抛物线y＝﹣2x2在y轴左侧的部分都是上升的，故选项B符合题意；它们的开口方向相反，故选项C不符合题意；顶点都是原点，故选项D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4．（4分）已知，是非零向量，如果＝﹣3，下列说法中正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平面向量的运算法则逐一判断即可．【解答】解：∵，是非零向量，＝﹣3，∴，故A、B错误；||＝3||，3||＝9||，故C正确，D错误，故选：C．【点评】本题考查了平面向量，熟记平面向量的运算法则是解题的关键．5．（4分）如图，在四边形ABCD中，如果AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，那么下列结论中不一定成立的是（）A．AC＝BD B．AD∥BC C．∠DAB＝∠ADC D．∠ABD＝∠DBC 【分析】由“SAS“可证△ABC≌△DCB和△ABD≌△DCA，利用全等三角形的性质可求解．【解答】解：在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴AC＝BD，∠ACB＝∠DBC，故选项A不合题意，∴∠ABD＝∠ACD，∴△ABD≌△DCA（SAS），∴∠DAB＝∠ADC，∠DAC＝∠ADB，故选项C不合题意，∴∠ADB＝∠DBC，∴AD∥BC，故选项B不合题意，故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．6．（4分）如图，△ABC和△DCB都是直角三角形，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，AC、BD相交于点O，如果∠DBC＝30°，那么OC：AC的值是（）A．B．C．D．【分析】过点O作OE⊥BC于点E，证△OCE是等腰直角三角形，得OE＝CE，OC＝OE，设OE＝CE＝a，则OC＝a，再由勾股定理得BE＝a，然后求出AC＝，即可解决问题．【解答】解：如图，过点O作OE⊥BC于点E，则∠OEB＝∠OEC＝90°，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ACB＝45°，BC＝＝AC，∴△OCE是等腰直角三角形，∴OE＝CE，∴OC＝＝OE，设OE＝CE＝a，则OC＝a，∵∠DBC＝30°，∴OB＝2OE＝2a，∴BE＝＝＝a，∴BC＝BE+CE＝（+1）a，∴AC＝BC＝×（+1）a＝，∴＝＝﹣1，故选：D．【点评】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知＝，那么＝．【分析】直接根据已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案．【解答】解：∵＝，∴设x＝5a，则y＝2a，那么＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出x，y的值是解题关键．8．（4分）已知正比例函数y的值随着自变量x的值增大而增大，那么这个正比例函数的解析式可以是y＝x．（只需写一个）【分析】根据正比例函数的性质可知k＞0，从而可以写出一个符合要求的函数解析式．【解答】解：∵正比例函数y的值随着自变量x的值增大而增大，∴k＞0，∴这个正比例函数的解析式可以是y＝x，故答案为：y＝x．【点评】本题考查正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答．9．（4分）化简：＝．【分析】根据平面向量的运算法则求解即可．【解答】解：＝2＝，故答案为：，【点评】本题考查了平面向量，熟记平面向量的运算法则是解题的关键．10．（4分）已知二次函数y＝x2+3x+m﹣2的图象与y轴的交点在正半轴上，那么m的取值范围是m＞2．【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图形与y轴的交点坐标为（0，c）即可解决问题．【解答】解：由题知，将x＝0代入二次函数表达式得，y＝m﹣2．又因为二次函数y＝x2+3x+m﹣2的图象与y轴的交点在正半轴上，所以m﹣2＞0，解得m＞2．故答案为：m＞2．【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，能用m表示出二次函数与y轴交点的纵坐标是解题的关键．11．（4分）如图，点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，且DE∥BC，如果AB＝6，AE＝3，CD＝5，那么AC＝．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，则利用比例的性质求出AC即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得AC＝．故答案为：．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．12．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，如果AC＝5，CD＝4，那么△ACD与△CBD的相似比k＝．【分析】相似三角形对应边的比叫相似比，由此即即可求解．【解答】解：∵CD是AB边上的高，∴∠ADC＝90°，∵AC＝5，CD＝4，∴AD＝＝3，∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠A+∠ACD＝∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴△ACD与△CBD的相似比k＝＝．故答案为：．【点评】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形相似比的定义．13．（4分）已知点A在抛物线y＝（x﹣1）2+2上，点A′与点A关于此抛物线的对称轴对称，如果点A的横坐标是﹣1，那么点A′的坐标是（3，6）．【分析】根据抛物线，可以计算出点A的纵坐标，写出抛物线的对称轴，再根据点A′与点A关于此抛物线的对称轴对称，即可得到点A′的坐标．【解答】解：∵点A在抛物线y＝（x﹣1）2+2上，点A的横坐标是﹣1，∴点A的纵坐标为：（﹣1﹣1）2+2＝6，该抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点A的坐标为（﹣1，6），∵点A′与点A关于此抛物线的对称轴对称，∴点A′的坐标是（3，6），故答案为：（3，6）．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．14．（4分）如图，抛物线y＝﹣x2+4x的顶点为P，M为对称轴上一点，如果PM＝OM，那么点M的坐标是（2，）．【分析】依据题意，设OM＝PM＝x，由抛物线y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，求出顶点P（2，4），再在Rt△MGO求得MG，进而可以判断得解．【解答】解：如图，由题意，设OM＝PM＝x．由抛物线y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴P（2，4）．∴OG＝2，PG＝4．∴MG＝PG﹣PM＝4﹣x．∴在Rt△MGO中，OG2+MG2＝OM2．∴22+（4﹣x）2＝x2．∴x＝．∴MG＝．∴M（2，）．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．15．（4分）已知点P为等边三角形ABC的重心，D为△ABC一边上的中点，如果这个等边三角形的边长为2，那么PD＝．【分析】在△ABC中，延长AG交BC于点D，根据重心的概念得到BD＝DC，根据等边三角形的性质得到AD⊥BC，根据勾股定理求出AD，根据重心的性质计算，得到答案．【解答】解：在等边三角形ABC中，延长AP交BC于点D，∵点P是△ABC的重心，∴BD＝DC＝1．∵△ABC为等边三角形，∴AD⊥BC．∴AD＝＝＝．∵点P是△ABC的重心，∴PD＝AD＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了重心的概念、等边三角形的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．16．（4分）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形顶点的位置上，联结AB、CD相交于点P，根据图中提示添加的辅助线，可以得到cos∠BPC的值等于．【分析】利用“两直线平行，内错角相等”，将∠BPC转化为∠ABE即可解决问题．【解答】解：因为CD∥BE，所以∠BPC＝∠ABE．在Rt△ABC中，，同理可得，．又因为∠AEB＝90°，则在Rt△ABE中，cos∠ABE＝，所以cos∠BPC＝cos∠ABE＝．故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，能通过平行线将∠BPC转化为∠ABE是解题的关键．17．（4分）△ABC中，点D在边BC上，DC＝2BD，点E、F分别在边AB、AC上，，如果BC＝6，那么EF＝4．【分析】利用确定EF于BC的关系，已知BC，可得EF．【解答】解：过E作EM⊥BC，交BC于M，过F作FN⊥BC，交BC于N，设△ABC中，以BC为底的高线为h，，∵DC＝2BD，∴BD＝BC，＝，S△BDF＝，S△ABC＝∵，S△BDE，∴EM＝EN＝h，∴E、F分别是边AB、AC的三等分点，即＝，∵∠EAF＝∠BAC，∴△ABC∽△AEF，∴，∵BC＝6，∴EF＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了三角形的面积，关键是掌握三角形面积公式．18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，E为边CD的中点，联结AE、BE，P 为边AD上一点，将△ABP沿BP翻折，如果点A的对应点A′恰好位于△ABE内，那么AP的取值范围是2＜AP＜2﹣2．【分析】根据翻折的性质、直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质进行计算即可．【解答】解：如图1，当BP⊥AE时，AP的值最小，此时A点的对应点A′落在AE上，∴∠ABP+∠BAF＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠D＝90°，即∠BAF+∠EAD＝90°，∴∠ABP＝∠FAP，∵∠BAD＝∠ADE＝90°∴△BAP∽△ADE，∴，∴，∴AP＝2；如图2，当BP平分∠ABE时，AP最长，此时A点的对应点A′落在BE上，连接PE，由题意可知，AP＝A′P，在Rt△BCE中，BC＝9，EC＝CD＝3，∴BE＝＝3，由翻折可知AB＝A′B＝6，∴A′E＝BE﹣A′B＝3﹣6，设AP＝x，则A′P＝x，PD＝9﹣x，在Rt△PDE中，PE2＝PD2+DE2＝（9﹣x）2+32，在Rt△PEA′中，PE2＝A′P2+A′E2＝x2+（3﹣6）2，∴（9﹣x）2+32＝x2+（3﹣6）2，解得x＝2﹣2，即此时AP＝2﹣2；综上所述，当点A的对应点A′恰好位于△ABE内部时AP的取值范围为2＜AP＜2﹣2．【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，掌握矩形、翻折的性质，直角三角形的边角关系是正确解答的前提．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．【分析】利用特殊锐角的三角函数值计算即可．【解答】解：原式＝（）2+3×﹣＝+﹣＝+﹣＝+﹣（+1）＝+﹣﹣1＝﹣．【点评】本题考查特殊锐角的三角函数值，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．20．（10分）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AD、BC的中点，BD与EF 交于点G，O为BD上一点，OF∥DC．（1）求的值；（2）设，，如果DE：BF＝1：3，那么＝，＝．．（用向量、表示）【分析】（1）由三角形中位线定理易得OF为△BCD的中位线，进而可得OE为△ABD 的中位线，于是；（2）易得＝，＝，于是＝＝，易证△DEG∽△BFG，得到＝，进而EG＝，以此即可得到答案．【解答】解：（1）∵OF∥CD，点C为BC的中点，∴OF为△BCD的中位线，∴点O为BD的中点，又∵点E为AD的中点，∴OE为△ABD的中位线，∴OE∥AB，OE＝，即．（2）∵，，∴＝，＝，∴＝＝，∵AD∥BC，∴△DEG∽△BFG，∴＝，即EG＝，∴EG＝，∴＝．故答案为：，．【点评】本题主要考查三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质、平面向量，熟练掌握平面向量的运算法则是解题关键．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A（1，m）．（1）求这个反比例函数的解析式；（2）点B在这个反比例函数位于第一象限的图象上，过点B作BH⊥x轴，垂足为点H．如果∠AOH＝∠OBH，求点B的坐标．【分析】（1）将点A坐标代入解析式可求m和k的值，即可求解；（2）由锐角三角函数可求OH＝2BH，代入解析式可求解．【解答】解：（1）∵正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A（1，m）．∴m＝2×1＝2，k＝1×m＝2，∴点A（1，2），反比例函数的解析式为y＝；∵点A（1，2），∴AC＝2，CO＝1，∴tan∠AOH＝＝2，∵∠AOH＝∠OBH，∴tan∠AOH＝tan∠OBH＝2＝，∴OH＝2BH，∵点B在这个反比例函数y＝位于第一象限的图象上，∴OH•BH＝2，∴BH＝1，∴OH＝2，∴点B坐标为（2，1）．【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，锐角三角函数，反比例函数的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．22．（10分）如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻碍，无法直接从山脚B处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量：第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为37°；第二步：从C处后退30米，在D处测得山顶A的仰角为26.6°；第三步：测得小河宽BC为33米．已知点B、C、D在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡AB的坡度．（参考数据：sin22.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.5，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）CH，进而出去AH，再求出BH，根据坡度的概念计算，得到答案．【解答】解：如图，过点A作AH⊥DC，交DC的延长线于点H，在Rt△ADH中，∠ADH＝26.6°，∵tan∠ADH＝，∴DH＝≈2AH，在Rt△ACH中，∠ACH＝37°，∵tan∠ACH＝，∴CH＝≈AH，∵DC＝DH﹣CH，∴2AH﹣AH＝30，解得：AH＝45，∴CH＝AH＝60（米），∴BH＝CH﹣CB＝60﹣33＝27，∴山坡AB的坡度为：45：27＝1：．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠ADE＝∠B，∠EAF＝∠FDC，DE与AC交于点F．（1）求证：；（2）联结BF，如果AB2＝AF•AC，求证：AD•BC＝AE•BF．【分析】（1）利用三角形内角和定理可证得∠E＝∠C，再由∠ADE＝∠B，可证得△ADE ∽△ABC，利用相似三角形性质即可证得结论；（2）由AB2＝AF•AC，可得＝，再由∠BAC＝∠FAB，可证得△ABC∽△AFB，推出＝，结合（1）即可证得结论．【解答】（1）证明：∵∠EAF+∠AFE+∠E＝∠FDC+∠CFD+∠C＝180°，∠EAF＝∠FDC，∠AFE ＝∠CFD ，∴∠E ＝∠C ，∵∠ADE ＝∠B ，∴△ADE ∽△ABC ，∴＝；（2）证明：如图，∵AB 2＝AF •AC ，∴＝，∵∠BAC ＝∠FAB ，∴△ABC ∽△AFB ，∴＝，由（1）知：＝，∴＝，∴AD •BC ＝AE •BF ．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形对应边成比例．24．（12分）九年级第一学期教材第2页结合教材图形给出新定义对于图1中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形ABCD ，得到四边形A 1B 1C 1D 1；放大四边形ABCD ，得到四边形A 2B 2C 2D 2．图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大如图1，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心．或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图1中，四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2都与四边形ABCD形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形.（1）填空：在图1中位似中心是点P；位似多边形是特殊的相似多边形．（填“位似”或“相似”）（2）在平面直角坐标系xOy中（如图2），二次函数y＝x2﹣3x的图象与x轴交于点A，点B是此函数图象上一点（点A、B均不与点O重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为，将△OAB缩小，得到它的位似△OA1B1．①画出△OA1B1，并求经过O、A1、B1三点的抛物线的表达式；②直线y＝kx（k＞0）与二次函数y＝x2﹣3x的图象交于点M，与①中的抛物线交于点N，请判断△OA1N和△OAM是否为位似三角形，并根据新定义说明理由．【分析】（1）由位似的定义即可求解；（2）证明A1B1是△OAB的中位线，求出点A1、B1的坐标分别为：（3，0）、（4，4），即可求解；②联立y＝x2﹣3x和y＝kx得：x2﹣3x＝kx，得到（2k+6，2k2+6k），同理可得，点N （3+k，k2+3k），即可求解．【解答】解：（1）由题意得：在图1中位似中心是点P，位似多边形是特殊的相似多边形，故答案为：P，位似、相似；（2）①△OA1B1如下图所示，∵点B的横坐标与纵坐标相等，则点B在直线y＝x上，联立抛物线和直线y＝x的表达式得：x2﹣3x＝x，解得：x＝4，则点B（4，4）；由位似比等于相似比，则点A1是AO的中点，则A1B1是△OAB的中位线，则点A1、B1的坐标分别为：（3，0）、（4，4），设新抛物线的表达式为：y＝ax（x﹣3），将（4，4）代入上式得：4＝4a，解得：a＝1，则经过O、A1、B1三点的抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x；②是，理由：联立y＝x2﹣3x和y＝kx得：x2﹣3x＝kx，解得：x＝0（舍去）或2k+6，即点M（2k+6，2k2+6k）；同理可得，点N（3+k，k2+3k），则OA1：OA＝3：6＝1：2；ON：OM＝x N：x M＝1：2＝OA1：OA，故△OA1N和△OAM是位似三角形．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，数涉及到三角形相似问题，理解位似的定义是解题的关键．25．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E是边BC延长线上一点，过点B 作BM⊥DE，垂足为点M，联结CM，设CE＝a（0＜a＜1）．（1）求证：△DCE∽△BME；（2）∠CME的大小是否是一个确定的值？如果是，求出∠CME的正切值；如果不是，那么用含字母a的代数式表示∠CME的正切值；（3）P是边AD上一动点（不与点A、D重合），联结PB、PM．随着点P位置的变化，在△PBM中除∠BPM外的两个内角是否会有与∠CME相等的角，如果有，请用含字母a 的代数式表示此时线段AP的长；如果没有，请说明理由．【分析】（1）由矩形的性质得∠DCE＝∠BCD＝90°，由BM⊥DE于点M，得∠BME＝90°，则∠DCE＝∠BME，而∠E＝∠E，所以△DCE∽△BME；（2）联结BD，由相似三角形的性质得＝，变形为＝，因为∠E＝∠E，所以△CME∽△DBE，则∠CME＝∠DBC，所以∠CME的大小是一个确定的值，tan∠CME ＝tan∠DBC＝＝；（3）分两种情况讨论，一是∠PBM＝∠CME，联结BD，作PG⊥BD于点G，因为∠PDG＝∠DBC，所以＝tan∠PDG＝tan∠DBC＝，则PG＝DG，所以PD＝＝DG，再证明∠PBG＝∠EDC，则＝tan∠PBG＝tan∠EDC＝＝a，所以PG＝a•BG，于是得DG＝a•BG，则DG＝a•BG，可求得BD＝＝2，则DG＝a（2﹣DG），所以DG＝，求得PD＝DG＝，则AP＝4﹣＝；二是∠PMB＝∠CME，联结BD交PM于点F，可证明△PFD∽△BFM，得∠DPF＝∠MBF，＝，再证明△PFB∽△DFM，得∠BPF＝∠MDF，则∠BPD＝∠BPF+∠DPF＝∠MDF+∠MBF＝90°，所以点P与点A重合，不符合题意．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，E是边BC延长线上一点，∴∠DCE＝∠BCD＝90°，∵BM⊥DE于点M，∴∠BME＝90°，∴∠DCE＝∠BME，∵∠E＝∠E，∴△DCE∽△BME．（2）解：∠CME的大小是一个确定的值，如图1，联结BD，∵△DCE＝△BME，∴＝，∴＝，∵∠E＝∠E，∴△CME∽△DBE，∴∠CME＝∠DBC，∴∠CME的大小是一个确定的值，∵∠BCD＝90°，CD＝AB＝2，BC＝4，∴tan∠CME＝tan∠DBC＝＝＝，∴∠CME的大小是一个确定的值，∠CME的正切值是．（3）解：有与∠CME相等的角，如图2，∠PBM＝∠CME，联结BD，作PG⊥BD于点G，则∠PGD＝∠PGB＝90°，∵AD∥BC，∴∠PDG＝∠DBC，∴＝tan∠PDG＝tan∠DBC＝，∴PG＝DG，∴PD＝＝＝DG，∵∠PBM＝∠CME＝∠DBC，∴∠PBM﹣∠DBM＝∠DBC﹣∠DBM，∴∠PBG＝∠EBM，∵∠EBM＝∠EDC＝90°﹣∠E，∴∠PBG＝∠EDC，∴＝tan∠PBG＝tan∠EDC＝＝＝a，∴PG＝a•BG，∴DG＝a•BG，∴DG＝a•BG，∵AD＝BC＝4，BD＝＝＝2，∴DG＝a（2﹣DG），∴DG＝，∴PD＝DG＝×＝，∴AP＝4﹣＝；如图3，∠PMB＝∠CME，联结BD交PM于点F，∵∠CME＝∠DBC＝∠PDF，∴∠PMB＝∠PDF，∵∠PFD＝∠BFM，∴△PFD∽△BFM，∴∠DPF＝∠MBF，＝，∴＝，∵∠PFB＝∠DFM，∴△PFB∽△DFM，∴∠BPF＝∠MDF，∵∠BMD＝∠A＝90°，∴∠BPD＝∠BPF+∠DPF＝∠MDF+∠MBF＝90°，∵BP⊥AD，BA⊥AD，∴点P与点A重合，不符合题意，综上所述，有与∠CME相等的角，线段AP的长为．【点评】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题。
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2012学年普陀区九年级数学期终调研 2012.12.26（测试时间：100分钟，满分：150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．如果:2:3x y =，那么下列各式不成立的是………………………………………（ ）． （A ）53x y y += ； （B ） 13x y y -=-； （C ）123x y =； （D ）1314x y +=+． 2．某一时刻，身髙1.6 m 的小明在阳光下的影长是0.4 m ，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5m ，那么该旗杆的高度是……………………………………………………（ ）． （A ）1.25m ； （B ）10m ；（C ）20 m ； （D ）8m ．3．如果二次函数2y x bx c =++配方后为2(2)1y x =+-，那么b ， c 的值分别为…（ ）． （A ）4-，5； （B ）4，3； （C ）4-， 3； （D ）4，5． 4．如图，已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ，点A ， B 均在抛物线上，且AB与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为……………………（ ）． （A ）（2，3）； （B ）（4，3）； （C ）（3，3）； （D ）（3，2）．5．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为……………………（ ）． （A ） 12； （B ）55； （C ）255； （D ） 1010．6. 已知线段a 、b 、c ，求作第四比例线段x ，下列作图正确的是……………………（ ）．（A ） （B ） （C ） （D ）二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果在比例尺为1︰1 000 000的地图上，A 、B 两地的图上距离是1.6厘米，那么A 、B 两地的实际距离是 千米．Oxy Ax = 2B（第4题）（第5题）a xbc acb x xcb a cax b8．把长度为4cm 的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm ．9．如果两个相似三角形的对应角平分线比是1︰4，那么它们的周长比是．10．如果抛物线21)21y m x mx=-++（的图像开口向下，那么m 的取值范围是__________．11．将二次函数22y x =-的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图像的解析式为 ________________．12．二次函数2y ax bx c =++中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表，则m 的值为__________ ．x2- 1- 0 1 23 4 y721- 2-m2713．在Rt △ABC 中，∠C =90°，B α∠=，A B=2，那么BC = _____________．（结果用α的锐角三角比表示）14．如图，点D 、E 、F 分别是△ABC 三边的中点，那么与DF 相等的向量是__________ ． 15．如图，点G 是△ABC 的重心，AG ⊥GC ，AC =4，那么BG 的长为 ___________． 16．如图，△ABC 中，∠C =90°，BC =6cm ，cot 23A =，那么△ABC 的面积是____________ cm 2．17．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm ，深为30cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度1:5i =，那么AC 的长度是 cm ．18. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN ∥AB ，MC ＝6，NC ＝23，那么四边形MABN 的面积是______________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） （第14题）（第15题）（第16题）（第17题）（第18题）（第22题）19．（本题满分10分） 计算： 2cos30(sin 60)2cos 45︒⋅︒-⋅︒20．（本题满分10分）如图，已知两个不平行的向量a 、b ． 先化简，再求作：13(3)()22a b a b +-+．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．（本题满分10分）已知：在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C =90°，AB=AD =25，BC =32．连接BD ，AE ⊥BD ，垂足为点E ． （1）求证：△ABE ∽△DBC ；（2）求线段AE 的长．22．（本题满分10分）21.3,0 63.5929sin21.3,tan 21.3,sin 63.5,tan 63.52)25510A CBC C ︒︒︒≈︒≈︒≈︒≈ 一艘轮船自西向东航行，在处测得东偏北方向有一座小岛继续向东航行8海里到达处，测得小岛此时在轮船的东偏北方向上。
之后，轮船继续向东航 行多少海里，距离小岛最近？（参考数据：CA23．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题4分, 第（3）小题5分）ba（第20题图）（第21题）如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC、CD于点M、F，BG⊥AC，垂足为点G，BG交AE于点H．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长．（第23题）24．（本题满分12分，其中第（1）小题2分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（第24题）25．（本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．（1）如图①，对△ABC作变换[60°，3]得△AB′C′，那么AB CABCSS''∆∆=；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为度．（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC作变换[θ，n]得△AB'C'，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值．（3）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n的值．2012学年普陀区九年级数学期终调研试卷参考答案及评分说明一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．(D)； 2． (C)； 3．(A)； 4．(B)； 5．(B)； 6．(D)．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．16； 8．(252-)； 9．1︰4； 10．1m <； 11．22(1)2y x =---；12．1-； 13．2cos α； 14．EA 和CE ； 15．4； 16．12； 17．210 ； 18．183．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19.解：原式2333()22222=⨯-⨯……………………………………………………（4分）33324=⨯- ………………………………………………………………（4分） 538=-． …………………………………………………………………（2分） 20. 解： 13(3)()22a b a b +-+13322a b a b =+--………………………………………………………（1分）2a b =-+…………………………………………………………………（4分）21.（1）证明：∵AB=AD =25，∴∠1 =∠2.……………… (1分)∵AD ∥BC ，∴∠1=∠3.……………………(1分)∴∠2=∠3. …………………………………(1分) ∵AE ⊥BD ， ∴∠AEB =∠C =90°. ………………………(1分)∴△ABE ∽△DBC . ………………………(1分)（2）解：∵AB=AD ，又AE ⊥BD ，∴BE=DE .∴BD =2BE .…………………………………………………………………(1分)由△ABE ∽△DBC ，得AB BEBD BC=. ……………………………………(1分) ∵AB=AD =25，BC =32，∴25232BEBE =. ∴BE =20． ………………………………………………………………(2分)∴22AE AB BE =-222520=-(2520)(2520)=+⨯-=15． ……………………………………………………………………(1分)22．解：过点C 作CD ⊥AE ，垂足为点D ，1 23 CE此时轮船离小岛最近，BD 即为所求．………(1分) 由题意可知：∠A =21.3°，AB =80海里，∠CBE =63.5°．…(1分) 在Rt △ACD 中，tan ∠A =CD AD =25，……………………………………………(1分) 2(80)5CD BD =+；………………………………………………………(1分) 同理：2CD BD =；………………………………………………………………(2分) ∴22(80)5BD BD =+，…………………………………………………………(2分) 解得： 20BD =．…………………………………………………………(1分)C 答：轮船继续向东航行20海里，距离小岛最近.……………………………………(1分)23．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABE =∠ECF =90°．………………(1分) ∵AE ⊥EF ，∴∠1+∠2=90°． 又∵∠1+∠3=90°，∴∠3=∠2， …………………………(1分)∴△ABE ∽△ECF ． …………………(1分) （2）答：△ABH ∽△ECM ．………………………(1分) 证明：∵BG ⊥AC ，∠ABE =90°， ∴∠4+∠BAG =∠5+∠BAG = 90°． ∴∠4=∠5．………………………………………………………………………(1分) 由（1）知，∠3=∠2，…………………………………………………………(1分) ∴△ABH ∽△ECM ．………………………………………………………………(1分) （3）解：过点M 作MR ⊥BC ，垂足为R ．…………………………………………………(1分) ∵AB=BE=EC =2，∴AB ∶BC =MR ∶RC =1∶2，…………………………………………………… (1分) ∠1=45°，CR =2MR ， ∴∠2=45°，………………………………………………………………………(1分) ∴ER=MR ， ………………………………………………………………………(1分)∴MR =23，∴222233EM =⨯=．……………………………………………(1分)24. 解：1 2 3 45（1）如图，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为的点C ．……………………………………………(1分) ∵∠AOB =120°，∴∠BOC =60°．又∵OA=OB =4，∴=2OC ，=23BC ．∴点B 的坐标为（﹣2，﹣23）．…………………………………………………(2分) （2）∵抛物线过原点O 和点A 、B ，∴可设抛物线的解析式为2(0)y ax bx a =+≠，……………………………………(1分) 将A （4，0），B （﹣2，﹣23）代入，得1640,422 3.a b a b +=⎧⎪⎨-=-⎪⎩ ……………………………………………………………………(2分) 解得3,23.a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴此抛物线的解析式为32363y x =-+．………………………………………………(2分) （3）存在．……………………………………………………………………………………(1分) 解：如图，抛物线的对称轴是x =2，直线x =2与x 轴的交点为D ，设点P 的坐标为（2，y ）．①若OB=OP ，则22+|y |2=42，解得y =±23， 当y =23时，在Rt △POD 中，∠PDO =90°， sin ∠POD =PDOP3=，∴∠POD =60°． ∴∠POB =∠POD +∠AOB =60°+120°=180°，即P 、O 、B 三点在同一直线上．∴y =23不符合题意，舍去．∴点P 的坐标为（2，﹣23）．………………………………………………………(1分) ②若BO=BP ，则42+|y +23|2=42，解得y =﹣23．∴点P 的坐标为（2，﹣23）．……………………………………………………………(1分)③若PO=PB ，则22+|y |2=42+|y +23|2，解得y =﹣23．∴点P 的坐标为（2，﹣23）．……………………………………………………………(1分)综上所述，符合条件的点P 只有一个，其坐标为（2，﹣23）．…………………(1分) 25.解：（1） 3；60． …………………………………………………………………………(2分) （2）∵四边形 ABB′C′是矩形，∴∠BAC′=90°．………………………………………(1分)∴θ=∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC =90°﹣30°=60°．……………………………………(1分) 在 Rt △AB B' 中，∠ABB'=90°，∠BAB′=60°，∴∠AB′B =30°．…………………（1分） ∴AB′=2 AB ，即2AB n AB'==．……………………………………………………（1分）（3）∵四边形ABB′C′是平行四边形，∴AC′∥BB′．又∵∠BAC =36°，∴θ=∠CAC′=∠ACB =72°． …………………………………（1分） ∴∠C′AB′=∠BAC =36°． …………………………………………………………（1分） 而∠B =∠B ，∴△ABC ∽△B′BA ． ………………………………………………（1分） ∴AB ∶BB′=CB ∶AB ． ……………………………………………………………（1分） ∴AB 2=CB•BB′=CB （BC +CB′）． …………………………………………………（1分） 而 CB′=AC=AB=B′C′，BC =1，∴AB 2=1（1+AB ），………………………………（1分） 解得，AB15±=．…………………………………………………………………（1分） ∵AB ＞0，∴512BC n BC '==．…………………………………………………（1分）。