八年级数学下册 《分式的加减法》例题精讲与同步练习 北师大版

《分式的加减法》例题精讲与同步练习

【基础知识精讲】

1.分式的通分

(1)把几个异分母的分式分别化为与原来分式相等的同分母的分式叫做通分.

(2)通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方法确定：

①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；

②最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积;

(3)如果分母是多项式，则首先对多项式进行因式分解.

2.分式的加减法

(1)同分母的分式加减法

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.即：

c

b a

c b c a ±=± (2)异分母的分式加减法

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.即：

bd

bc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=± 3.分式的混合运算

分式的加、减、乘、除、乘方混合运算顺序:

先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号内的，若是同级混合运算按从左到右的顺序进行.

【重点难点解析】

1. 重点难点分析

重点：是掌握通分的方法和分式的加减运算；

难点：是异分母的分式的加减法运算和分式的四则混合运算.

2. 典型例题解析

例1 通分

2312++-x x x ，652--+x x x ，3272---x x x 解 ∵x 2+3x+2=(x+1)(x+2)

x 2-x-6=(x-3)(x+2)

x 2-2x-3=(x-3)(x+1)

∴它们的最简公分母为(x+1)(x+2)(x-3) ∴)

3()2)(1()3()1(2312-⋅++-⋅-=++-x x x x x x x x =)

3)(2)(1(342-+++-x x x x x )

1()2)(3()1()5(652+⋅+-+⋅+=--+x x x x x x x x

=)

3()2)(1(562-⋅++++x x x x x )

2()1)(3()2()7(3272+⋅+-+⋅-=---x x x x x x x x =)

3)(2)(1(1452-++--x x x x x 例2 计算222222a

12a 21a 1a 5a 21a a 5a 3----+---- 解 原式=1

221152153222222--+-+----a a a a a a a a =1

)22()152()53(2222--++---a a a a a a =1

22152532222--+-+--a a a a a a =1

3322--a a =3 点评 在做减法时，分避免出错，最好添上一个括号，去括号时注意变号.

例3 计算6

52222+----+x x x x x x 解 原式=)

3)(2()2)(1(2----++x x x x x x =

)3)(2)(1()1()3)(2(--++--+x x x x x x x =)

3)(2)(1(622--+----x x x x x x x =)

3)(2)(1(62--+--x x x x =-

)3)(2)(1(62--++x x x x 例4 计算2

1121221+---++-x x x x

分析 此题若将4个分式同时通分，分子将是很复杂的，计算比较麻烦.分别观察其特点，把一、四和二、三两个分式分别先相加，由于分子的一次项相加后和为零，使计算较为简单.

解 原式=)

1)(1()1(2)1(2)2)(2()2()2(-++--++---+x x x x x x x x =)

1)(1(4)2)(2(4-+--+x x x x =)

1)(1)(2)(2()2)(2(4)1)(1(4-+-+-+--+x x x x x x x x =

)1)(1)(1)(2(12-+-+x x x x 例5 计算22

)1(341+-----x x x x . 分析 此题如果直接通分，运算势必十分复杂，当各分子的次数大于或等于分母的次数时，可利用多项式除法，将其分离为整式部分与分式部分的和再加减会使运算简便.

解 原式=

22

3)2(343)4(+-+---+-x x x x =1+)2

33(43-+--x x +2 =2343---x x =)

4)(2()4(3)2(3-----x x x x =

)4)(2(6--x x

【难题巧解点拨】

例6 计算3

21211⨯+⨯+……+)1(1+n n 分析 若先通分，再相加，可以说无从下手，但若注意到

)1(1+n n =111+-n n ，先分后合，将使计算容易进行.

解 3

21211⨯+⨯+……+)1(1+n n

=(2111-)+(3121-)+……+(1

11+-n n ) =1-1

1+n =1+n n

【课本难题解答】

P87习题A 组5(5) B 组3(2)

计算 1.(x-y+y x xy -4)(x+y-y

x xy +4) 2.2

22

4442y x x y x y x y x y y x x +÷--+⋅- 解 1.原式=[y x xy y x y x -+--4)(2][y

x xy y x y x +-++4)(2] =y

x y x y x y x +-⋅-+2

2)()(=(x+y)(x-y)=x 2-y 2 2.原式=22

222224222))((x

y x y x y x y x y x xy +⋅-+-- =))(()(2222222222y x y x x y xy y

x y x xy y x y x y x xy -+-=--=--- =-y

x xy + 注：(1)中将x-y ，x+y 看作一个整体通分，比逐一通分简便，注意这一技巧，计算最后结果不写成乘积式而是多项式（或单项式）

(2)中注意运算顺序（先乘除、后加减）最后结果能约分要约分，化为最简分式.

【典型热点考题】

例7 计算1-(x-x -11)2÷1

2122+-+-x x x x （武汉中考题） 解 原式=1-(112-+-x x x )2·1

)1(22+--x x x =1-(x 2-x+1)=-x 2

+x 例8 当x=-151时，求(1+12-x )3(1-2

3-x )2÷(235422+---x x x x )2的值 (天津中考题)