2017高考全国卷理科数学试卷分析

合集下载

2017年高考新课标Ⅰ卷理数试题解析(参考版)

A．10
B．12
C．14
D．16
【答案】B
【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，则表面中含梯形的面积之和为
2 (2 4) 2 1 12 ，故选 B. 2
8．右面程序框图是为了求出满足 3n−2n>1000 的最小偶数 n，那么在和两个空白框中，可以分别填入
A．A>1 000 和 n=n+1 B．A>1 000 和 n=n+2
N(, 2) ．
（1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件数，
求 P( X 1) 及 X 的数期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件，就认为这条生产线在这一
63 2
cosA cos B C 1 ，
2
0 A ， A ， 3
又 a3
2R
a sin A
3 sin
3 2 3
3
32
sin B sin C b c 2R 2R
bc 23
2
bc 12
2 3
.
bc 8 ， a2 b2 c2 2bc cos A
b2 c2 2bc cos 9 3
A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π 个单位长度，得 6
到曲线 C2
B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π 个单位长度，得 12
到曲线 C2
C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 1 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π 个单位长度，得
以 BC，CA，AB 为折痕折起△ DBC，△ ECA，△ FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥。当△ ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______。

2017年高考数学(理)(全国II卷)详细解析

.专业 .专注 .绝密★启用前2017 年一般高等学校招生全国一致考试新课标 II 卷理科数学一、选择题：此题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的．3 i1 ．1iA ．1 2i B．1 2i C．2 i D．2 i【答案】D2．设会合 A 1,2,4 ， B x x2 4x m 0 ．若A B 1 ，则 B A．1, 3 B．1,0 C．1,3 D．1,5 【答案】C【分析】试题剖析：由 A B 1 得 1 B ，即x 1是方程 x2 4x m 0 的根，所以1 4 m 0m, ，3 B 1,3 ，应选 C．【考点】交集运算、元素与会合的关系【名师点睛】会合中元素的三个特征中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的会合，在求出字母的值后，要注意查验会合中的元素能否知足互异性．两个防备：① 不要忽略元素的互异性；② 保证运算的正确性．3 ．我国古代数学名著《算法统宗》中有以下问题：“眺望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯A．1 盏B．3 盏C．5 盏D．9 盏【答案】B4 ．如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A．90B．63C．42D．36【答案】B【分析】试题剖析：由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为 4 的圆柱，其体积 V1 32436 ，上半部分是一个底面半径为3，高为6 的圆柱的一半，其体积 V2 1 ( 32 6) 27 ，故该组合体的体积 V V1 V2 36 27 63 ．故2选 B．【考点】三视图、组合体的体积【名师点睛】在由三视图复原为空间几何体的实质形状时，要从三个视图综合考虑，依据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不行见轮廓线在三视图中为虚线．在复原空间几何体实质形状时，一般是以正视图和俯视图为主，联合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的要点是由三视图确立直观图的形状以及直观图中线面的地点关系和数目关系，利用相应体积公式求解．2x 3y 3 05 ．设x，y知足拘束条件2x 3y 3 0 ，则 z 2x y 的最小值是y 3 0A．15 B．9 C． D ．【答案】A6 ．安排 3 名志愿者达成 4 项工作，每人起码达成 1 项，每项工作由 1 人达成，则不一样的安排方式共有A．12 种B．18 种C．24 种D．36 种【答案】D【分析】试题剖析：由题意可得，一人达成两项工作，其余两人每人达成一项工作，据此可得，只要把工作分红三份：有 C42 种方法，而后进行全摆列，由乘法原理，不一样的安排方式共有C42 A 33 36 种．应选D．【考点】摆列与组合、分步乘法计数原理【名师点睛】（1）解摆列组合问题要按照两个原则：① 按元素(或地点)的性质进行分类；② 按事情发生的过程进行分步．详细地说，解摆列组合问题常以元素(或地点 )为主体，即先知足特别元素 (或地点 )，再考虑其余元素 (或地点 )．（ 2 ）不一样元素的分派问题，常常是先分组再分派．在分组时，往常有三种种类：① 不均匀分组；② 均匀分组；③ 部分均匀分组．注意各样分组种类中，不一样分组方法的求解．7 ．甲、乙、丙、丁四位同学一同去处老师咨询成语比赛的成绩．老师说：你们四人中有 2 位优异，2 位优异，我此刻给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我仍是不知道我的成绩．依据以上信息，则A ．乙能够知道四人的成绩B．丁能够知道四人的成绩C．乙、丁能够知道对方的成绩D．乙、丁能够知道自己的成绩【答案】D. word 可编写.8 ．履行右边的程序框图，假如输入的a 1 ，则输出的 SA．2B．3C．4D．5 【答案】B9．若双曲线 C :x 2 y 21（ a0 ， b0 ）的一条渐近线被圆x 2y 24 所截得的a 222b弦长为 2，则 C 的离心率为A ．2 ． 3C ． 2D ． 2 3B3【答案】A【分析】试题分析：由几何关系可得，双曲线x 2y 2 1 a0, b 0 的渐近线方程为a 2b 2bx ay 0，圆心2 , 0 到渐近线距离为 d 22 123 ，则点 2,0 到直线b x2b a 0 2b，a y 0 的距离为 db 23a 2c4(c 2a 2 )3 ，整理可得 c 24a 2，双曲线的离心率 ec 2 4 2．应选 A ．即c 2a2【考点】双曲线的离心率；直线与圆的地点关系，点到直线的距离公式.专业 .专注 .【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围 )，常有有两种方法：① 求出 a，c，代入公式e c；② 只要a要依据一个条件获得对于a， b ，c 的齐次式，联合 b 2＝c2－a2转变为 a，c 的齐次式，而后等式 (不等式 )两边分别除以 a 或 a2转变为对于 e 的方程 (不等式 )，解方程 (不等式 )即可得 e(e 的取值范围 )．10 ．已知直三棱柱ABC A1B1C1中，ABC 120 ， AB 2 ， BC CC11，则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为3 15 10 3A．B．C．D．2 5 5 3【答案】C11 ．若x 2 是函数 f ( x)( x2ax1)e x 1的极值点，则 f ( x) 的极小值为.专业 .专注 .A．1 B．2e3 C．5e3 D． 1【答案】A【分析】试题分析：由题可得f ( x) x 1( x22 ax)1xe ， a (x1 x)x由于 f ( 2) 0 ，所以a 1 ，f ( x) ( x2 x 1)e x 1，故 f ( x) ( x2 x 2)e x 1，令 f ( x) 0 ，解得 x 2 或 x 1，所以f ( x) 在 ( , 2),(1, ) 上单一递加，在( 2,1) 上单一递减，所以 f ( x) 的极小值为 f (1) (1 1 1)e1 11，应选A．【考点】函数的极值、函数的单一性【名师点睛】（1）可导函数 y＝f(x)在点 x0处获得极值的充要条件是 f ′(x0)＝0，且在 x0左边与右边 f ′(x)的符号不一样学 * ；（ 2）若 f(x)在(a， b)内有极值，那么f(x)在(a，b )内绝不是单一函数，即在某区间上单一增或减的函数没有极值．12 ．已知△ABC是边长为 2 的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA ( PB PC )的最小是A．2 B．3 4D．1 2C．3【答案】B.专业 .专注 .解等问题，而后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．二、填空题：此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．13 ．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100 次， X表示抽到的二等品件数，则DX．【答案】1.96【分析】试题剖析：由题意可得，抽到二等品的件数切合二项散布，即X ~ B 100,0.02，由二项散布的希望公式可得DX np 1 p 100 0.02 0.98 1.96．【考点】二项散布的希望与方差【名师点睛】判断一个随机变量能否听从二项散布，要看两点：① 能否为n次独立重复试验，在每次试验中事件 A 发生的概率能否均为p ；② 随机变量能否为.专业 .专注 .在这 n 次独立重复试验中某事件发生的次数，且 p X k C n k p k 1 p n k表示在独立重复试验中，事件 A 恰巧发生 k 次的概率．14 ．函数f ( x) sin2x 3 cos x 3 (x [0, ]) 的最大值是．4 2【答案】115 ．等差数列a n的前 n 项和为S n，a3 3， S4 n 110，则．k 1S k2n【答案】n 1【分析】.专业 .专注 .16 ．已知F是抛物线C :y2 8x 的焦点，M是C上一点，FM的延伸线交 y 轴于点N．若M 为FN的中点，则 FN ．【答案】6【分析】试题剖析：以下图，不如设点 M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点 F' ，作MB l 与点B， NA l 与点A，由抛物线的分析式可得准线方程为 x 2 ，则AN 2, FF'AN FF '3，由抛物线的定4 ，在直角梯形ANFF'中，中位线 BM 2义有：MF MB3，联合题意，有MN MF3，故FN FM NM 3 3 6 ．.专业 .专注 .【考点】抛物线的定义、梯形中位线在分析几何中的应用．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转变．假如问题中波及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．所以，波及抛物线的焦半径、焦点弦问题，能够优先考虑利用抛物线的定义转变为点到准线的距离，这样就能够使问题简单化．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都一定作答．第 22 、23 题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共 60 分．17．（ 12 分）2B △ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为a, b, c ，已知 sin A C8sin．（1）求cosB；（ 2）若a c 6 ，△ABC 的面积为2，求 b ．【答案】（1 ）cos B 15；（ 2 ）b 2．17.专业 .专注 .“边转角”“角转边”，此外要注意 a c, ac, a2c2三者之间的关系，这样的题目小而活，备授命题者的喜爱．18．（ 12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对照，收获时各随机抽取了100个网箱，丈量各箱水产品的产量（单位：kg）．其频次散布直方图以下：.专业 .专注 .50kg ，新养殖法的箱产量不低于50kg ”，预计A的概率；（2 ）填写下边列联表，并依据列联表判断能否有 99% 的掌握以为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥ 50kg旧养殖法新养殖法（ 3 ）依据箱产量的频次散布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的预计值（精准到0.01 ）．附：，K 2n(ad bc)2(a b)(c d)( a c)(b d)【答案】（1）0.4092；（2）有99%的掌握以为箱产量与养殖方法有关；（3）52.35kg ．.专业 .专注 .【考点】独立事件概率公式、独立性查验原理、频次散布直方图预计中位数【名师点睛】（1）利用独立性查验，能够帮助我们对平时生活中的实质问题作出合理的推测和展望．独立性查验就是观察两个分类变量能否有关系，并能较为正确地给出这类判断的可信度，随机变量的观察值值越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大．（2）利用频次散布直方图求众数、中位数和均匀数时，应注意三点：① 最高的小长方形底边中点的横坐标即众数；② 中位数左边和右边的小长方形的面积.专业 .专注 .和是相等的；③ 均匀数是频次散布直方图的“重心”，等于频次散布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．19 ．（ 12 分）如图，四棱锥 P- ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面， 1 ABC 90 o , E是ABCD AB BC AD , BAD2PD 的中点．（1）证明：直线CE∥平面PAB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45o，求二面角M AB D 的余弦值．【答案】（1 ）证明略；（ 2）10 ．5【考点】判断线面平行、面面角的向量求法【名师点睛】（1）求解此题要注意两点：① 两平面的法向量的夹角不必定是所求的二面角，② 利用方程思想进行向量运算，要仔细仔细、正确计算．（2）设 m ，n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与< m ，n> 互补或相等，故有 |cos θ|＝|cos< m ， n >|= m n．求解时必定要注意联合实质图形判断m n 所求角是锐角仍是钝角．20．（ 12 分）.专业 .专注 .2设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C ：xy 2 1上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N ，点 2P 知足 NP 2NM ．（ 1）求点 P 的轨迹方程；（ 2）设点 Q 在直线 x3 上，且 OP PQ 1 ．证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C的左焦点 F ．【答案】（1 ）x 2 y 2 2 ；（ 2 ）证明略．【考点】轨迹方程的求解、直线过定点问题【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件成立 x ，y 之间的关系 F(x ，y)＝0．.专业 .专注 .（2）待定系数法：已知所求曲线的种类，求曲线方程．（3）定义法：先依据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．（ 4）代入 (有关点 )法：动点P(x，y)依靠于另一动点Q(x0， y0)的变化而运动，常利用代入法求动点 P(x， y)的轨迹方程．21 ．（ 12 分）已知函数 f ( x) ax 2 ax x ln x ，且 f ( x) 0 ．（ 1）求a；（ 2）证明：f ( x)存在独一的极大值点x0，且e2 f ( x0 ) 2 2．【答案】（1 ）a 1；（2）证明看法析．（ 2）由（ 1）知 f x x2 x x ln x ，f ' ( x) 2x 2 ln x．设 h x 2x 2 ln x，则h' ( x) 2 1 ．x当x (0,1) 时， h' ( x) 0 ；当 x (1, ) 时， h' ( x) 0 ，2 2.专业 .专注 .所以 h x 在(0,1)上单一递减，在(1, ) 上单一递加．2 2又h e 2 0， h( 1) 0 ，h 1 0 ，所以 h x 在 (0,1) 有独一零点 x0 ，在[1, ) 有2 2 2独一零点1，且当x 0, x0 时， h x 0 ；当 x x0 ,1 时， h x 0 ，当 x 1, 时，h x 0 ．由于 f ' (x) h x ，所以 x x0是f x 的独一极大值点．由f ' ( x0 ) 0 得ln x0 2 x0 1 ，故 f x0 x0 1 x0．由 x0 0,1 得f x0 1 ．4由于 x x0是f x 在（ 0， 1）的最大值点，由e 1 0,1 ， f '(e 1) 0 得 f ( x0 ) f (e 1 ) e 2．所以 e 2 f x0 2 2 ．【考点】利用导数研究函数的单一性、利用导数研究函数的极值【名师点睛】导数是研究函数的单一性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考取，对导数的应用的观察都特别突出．导数专题在高考取的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的观察主要从以下几个角度进行：（1）观察导数的几何意义，常常与分析几何、微积分相联系；（ 2）利用导数求函数的单一区间，判断单一性；已知单调性求参数；（ 3）利用导数求函数的最值 (极值 )，解决生活中的优化问题；（4）观察数形联合思想的应用．（二）选考题：共 10 分．请考生在第22 、23 题中任选一题作答．假如多做，则按所做的第一题计分．22 ．选修 4― 4：坐标系与参数方程]（ 10 分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos4．（1）M 为曲线 C 1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且知足 |OM | |OP | 16，求点 P 的轨迹 C 2 的直角坐标方程；（ 2）设点 A 的极坐标为 (2,) ，点 B 在曲线 C 2 上，求 △OAB 面积的最大值．324 x 0 ；（ 2） 2 3 ．【答案】（1 ） x 2y 2（2）设点 B 的极坐标为B,B，由题设知 OA2, B4cos ，于是△OAB的面积S1OAB sin AOB4cos| sin() | 2 |sin(2) 3| 23.2332当12 时，S 获得最大值 23 ，所以 △ OAB 面积的最大值为 23 ．【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程、三角形面积的最值【名师点睛】此题观察了极坐标方程的求法及应用。

2017年高考数学理科全国三卷

2017年高考数学理科全国三卷是高考数学卷中的一套试卷，本次试卷在考查学生对数学知识的掌握和运用能力的也注重考查学生的思维能力和解决实际问题的能力。

以下将对2017年高考数学理科全国三卷进行分析及解读，以期帮助考生更好地理解试卷内容，提高解题能力。

1. 试卷结构分析2017年高考数学理科全国三卷主要分为选择题和非选择题两个部分。

选择题占据了试卷的大部分内容，其中包括了单选题和多选题，主要考查学生对基本概念和知识点的理解和掌握。

非选择题主要考查学生的综合运用能力和解决问题的能力，其中包括了填空题、解答题和证明题等题型。

2. 难度分析整体来看，2017年高考数学理科全国三卷的难度适中，试卷内容涵盖了高中数学知识的各个领域，题目设置合理，考查的知识点和解题思路较为全面。

选择题部分既考查了基础知识点的掌握，也考查了相关知识点之间的联系和应用能力；非选择题部分考查了学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力，整体难度分布较为均衡。

3. 知识点覆盖分析2017年高考数学理科全国三卷的试卷内容涵盖了高中数学的各个知识点，包括了代数、几何、数学分析等多个领域。

在选择题部分，涉及到了函数、方程、不等式、概率、统计等多个知识点；在非选择题部分，涉及到了数列、三角函数、导数、积分、向量等多个知识点。

试卷内容贴近高中数学教学大纲，考查的知识点比较全面，对学生的知识掌握和理解能力有较高要求。

4. 解题思路分析2017年高考数学理科全国三卷的解题思路体现了数学的逻辑性和实用性。

在选择题部分，学生需要根据题目给出的条件和问题，灵活运用所学的知识进行分析和解答；在非选择题部分，学生需要对问题进行分析，抓住问题的关键点，运用所学的知识和方法解决实际问题。

整个试卷注重考查学生的解决问题的能力和思维方式，对学生的综合能力有较高的要求。

5. 解题技巧指导针对2017年高考数学理科全国三卷的试卷内容，学生在备考过程中可以注重以下几点解题技巧。

2017年高考数学真题全国卷1理科20题评析

2017年高考数学真题全国卷1理科20题评析平面解析几何一直是高考真题卷中拉开差距的提分题，得分率普遍偏低，透露出来的信息一方面是高考平面解析几何试题本身需要具备较强的逻辑分析能力，以及问题转化能力和一点创新能力，平面解析几何试题对知识的理解运用要求高，尤其面临在高考考场上的高压态势，需要具备以上这些能力同时平稳的发挥出来，需要考生在平时将平面几何题熟练掌握，方能举一反三。

而2017年高考数学真题全国卷1理科20题又再次做了一个很好的示范作用，通过对这道题进行一定的分析，以期对平面几何的类型题有更好的理解和掌握。

所以若要熟练掌握平面解析几何这类问题，从学生自身的角度需要做如下工作：首先以新课标课本作为基础内容的掌握模板，并对《考试说明》中列举的平面解析几何类和代数方程类问题熟记于心，同时需要辅以近五年高考真题的解析与练习，强化和更进一步的认识知识点。

高考题源于教材又高于教材，试题的立意往往立足与课本知识但在此基础上又有一些变动，因此吃透教材所体现的重点、难点、关键点是复习的前提，不断建立、调整和优化自己的认知方式、解题思维以及相对固化的知识结构、方法结构。

其次，注重对平面解析几何的逻辑转化能力的解题能力培养，以提高解题效率。

这需要掌握一定的运算技巧，特别是将平面几何问题转化为代数方程式来求解。

常用的运算策略有：设而不求、运用定义、巧用几何性质、会设善求，而这些运算技巧需要一定的解题经验积累，更新运算的固有观念，尝试从艰涩的数学问题中获得乐趣。

四、?Y语通过对2017年高考数学真题全国卷1理科20题的试题分析，这类的平面解析几何问题需要掌握对直线的斜率的理解、对平面几何的理解和公式推导记忆、代数方法的转化和公式套用和计算，研究对象是平面图形，研究方法是代数方法，桥梁是平面直角坐标系。

做好这类题最重要的就是做到数形结合、代数与几何灵活地转化，这需要对真题的精度剖析和练习计算的经验积累。

2017年高考新课标Ⅰ卷理数试题解析(正式版)(解析版)

第 1 页共 16 页绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，学科网然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =<I B ．A B =R U C ．{|1}A B x x =>UD ．A B =∅I【答案】A【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以{|1}{|0}A B x x x x =<<I I{|0}x x =<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<U U ，故选A.2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π4【答案】B第 2 页共 16 页【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=，选B. 秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率p 满足1142p <<，故选B. 3．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C.第 3 页共 16 页秒杀解析：因为166346()3()482a a S a a +==+=，即3416a a +=，则4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C.5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D【解析】因为()f x 为奇函数且在(,)-∞+∞单调递减，要使1()1f x -≤≤成立，则x 满足11x -≤≤，从而由121x -≤-≤得13x ≤≤，即满足1(2)1f x -≤-≤成立的x 的取值范围为[1,3]，选D. 6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C【解析】因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为22261C 15x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为442621C 15x x x⋅=，故2x 的系数为151530+=，选C. 7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】B【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为12(24)2122⨯+⨯⨯=，故选B.第 4 页共 16 页8．下面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．A >1 000和n =n +1B ．A >1 000和n =n +2C ．A ≤1 000和n =n +1D ．A ≤1 000和n =n+2【答案】D【解析】由题意，因为321000n n ->，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入1000A >，故填1000A ≤，又要求n 为偶数且初始值为0，所以矩形框内填2n n =+，故选D.9．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2【答案】D【解析】因为12,C C函数名不同，所以先将2C利用诱导公式转化成与1C相同的函数名，则22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x=+=+-=+，则由1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos2y x=，再将曲线向左平移π12个单位长度得到2C，故选D.10．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A．16 B．14 C．12 D．10【答案】A11．设x、y、z为正数，且235x y z==，则A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z【答案】D【解析】令235(1)x y z k k===>，则2logx k=，3logy k=，5logz k=∴22lg lg3lg913lg23lg lg8x ky k=⋅=>，则23x y>，22lg lg5lg2515lg25lg lg32x kz k=⋅=<，则25x z<，故选D.12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，第 5 页共 16 页第 6 页共 16 页21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110【答案】A【解析】由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k -LL L则该数列的前(1)122k k k ++++=L 项和为 11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭L L ，要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k L 的部分和，设1212221t t k -+=+++=-L ，所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=，所以对应满足条件的最小整数293054402N ⨯=+=，故选A. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)

2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4 4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．85．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（）A．15B．20C．30D．357．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A．10B．12C．14D．168．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+29．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C210．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16B．14C．12D．1011．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= ．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC ，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则对应概率P==，故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】2A：探究型；5L：简易逻辑；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；p 3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠，故命题p3为假命题；p4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，难度不大，属于基础题．4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（）A．15B．20C．30D．35【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；4R：转化法．【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：（1+）（1+x）6展开式中：若（1+）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得．可知r=2时，可得展开式中x2的系数为．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为．（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A．10B．12C．14D．16【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形=×2×（2+4）=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12，故选：B．【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+2【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；38：对应思想；49：综合法；5K：算法和程序框图．【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A＞1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．9．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题；35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．10．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16B．14C．12D．10【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】方法一：根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=•|y1﹣y2|=×=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A．【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题．　11．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z【考点】72：不等式比较大小．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，2x=，5z=．根据==，＞=．即可得出大小关系．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．110【考点】8E：数列的求和．【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别即可求得N的值．【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n+1﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n﹣2，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．故选：A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=　2　．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】31：数形结合；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为　﹣5　．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=，可得：=，即，可得离心率为：e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC ，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为　4cm3　．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】法一：由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h=，求出S△ABC=3，V==，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，f（x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值．法二：设正三角形的边长为x，则OG=，FG=SG=5﹣，SO=h===，由此能示出三棱锥的体积的最大值．【解答】解法一：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h===，=3，则V===，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，则f（x）≤f（2）=80，∴V≤=4cm3，∴体积最大值为4cm3．故答案为：4cm3．解法二：如图，设正三角形的边长为x，则OG=，∴FG=SG=5﹣，SO=h===，∴三棱锥的体积V===，令b（x）=5x4﹣，则，令b'（x）=0，则4x3﹣=0，解得x=4，∴（cm3）．故答案为：4cm3．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值；58：解三角形．【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，（2）根据两角余弦公式可得cosA=，即可求出A=，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC=acsinB=，∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=，∵===2R==2，∴sinBsinC=•===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．【分析】（1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；（2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB ⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．【分析】（1）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；（ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s估计、可知（﹣3+3）=（9.334，10.606），进而需剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（﹣3+3）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（﹣3+3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为=9.97，σ的估计值为=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在（﹣3+3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为（16×9.97﹣9.22）=10.02，因此μ的估计值为10.02．2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，因此σ的估计值为≈0.09．【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．【考点】K3：椭圆的标准方程；KI：圆锥曲线的综合．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），联立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴===﹣1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，，x1x2=，则=====﹣1，又t≠1，∴t=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）由（1）可知：当a＞0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f（x）最小值，由f（x）min＜0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求导，由g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣﹣1，g（1）=0，即可求得a的取值范围．（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1。

2017年全国统一高考新课标版Ⅰ卷全国1卷理科数学试卷及参考答案与解析

2017年全国统一高考新课标版Ⅰ卷全国1卷理科数学试卷及参考答案与解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A＝{x|x＜1},B＝{x|3x＜1},则( )A.A∩B＝{x|x＜0}B.A∪B＝RC.A∪B＝{x|x＞1}D.A∩B＝∅2.(5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A. B. C. D.3.(5分)设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R,则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R,则z∈R；p 3：若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1＝；p4：若复数z∈R,则∈R. 其中的真命题为( )A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p44.(5分)记Sn 为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24,S6＝48,则{an}的公差为( )A.1B.2C.4D.85.(5分)函数f(x)在(－∞,＋∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)＝－1,则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )A.[－2,2]B.[－1,1]C.[0,4]D.[1,3]6.(5分)(1＋)(1＋x)6展开式中x2的系数为( )A.15B.20C.30D.357.(5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )A.10B.12C.14D.168.(5分)如图程序框图是为了求出满足3n－2n＞1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A.A＞1000和n＝n＋1B.A＞1000和n＝n＋2C.A≤1000和n＝n＋1D.A≤1000和n＝n＋29.(5分)已知曲线C1：y＝cosx,C2：y＝sin(2x＋),则下面结论正确的是( )A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C210.(5分)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|＋|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.1011.(5分)设x、y、z为正数,且2x＝3y＝5z,则( )A.2x＜3y＜5zB.5z＜2x＜3yC.3y＜5z＜2xD.3y＜2x＜5z12.(5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.110二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)已知向量,的夹角为60°,||＝2,||＝1,则|＋2|＝.14.(5分)设x,y满足约束条件,则z＝3x－2y的最小值为.15.(5分)已知双曲线C：－＝1(a＞0,b＞0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN＝60°,则C的离心率为. 16.(5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1,a＝3,求△ABC的周长.18.(12分)如图,在四棱锥P－ABCD中,AB∥CD,且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC,∠APD＝90°,求二面角A－PB－C的余弦值.19.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；经计算得＝＝9.97,s＝＝≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i＝1,2, (16)用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(－3＋3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ－3σ＜Z＜μ＋3σ)＝0.9974,0.997416≈0.9592,≈0.09.20.(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(－1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1,证明：l过定点.21.(12分)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)e x－x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.[选修4-4,坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),直线l的参数方程为,(t为参数).(1)若a＝－1,求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4,g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.(1)当a＝1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1],求a的取值范围.2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A＝{x|x＜1},B＝{x|3x＜1},则( )A.A∩B＝{x|x＜0}B.A∪B＝RC.A∪B＝{x|x＞1}D.A∩B＝∅【分析】先分别求出集合A和B,再求出A∩B和A∪B,由此能求出结果.【解答】解：∵集合A＝{x|x＜1},B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0},∴A∩B＝{x|x＜0},故A正确,D错误；A∪B＝{x|x＜1},故B和C都错误.故选：A.【点评】本题考查交集和并集求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意交集、并集定义的合理运用.2.(5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A. B. C. D.【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积,结合几何概型的概率公式进行求解即可. 【解答】解：根据图象的对称性知,黑色部分为圆面积的一半,设圆的半径为1,则正方形的边长为2,则黑色部分的面积S＝,则对应概率P＝＝,故选：B.【点评】本题主要考查几何概型的概率计算,根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键.3.(5分)设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R,则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R,则z∈R；p 3：若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1＝；p4：若复数z∈R,则∈R. 其中的真命题为( )A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4【分析】根据复数的分类,有复数性质,逐一分析给定四个命题的真假,可得答案.【解答】解：若复数z满足∈R,则z∈R,故命题p1为真命题；p 2：复数z＝i满足z2＝－1∈R,则z∉R,故命题p2为假命题；p 3：若复数z1＝i,z2＝2i满足z1z2∈R,但z1≠,故命题p3为假命题；p 4：若复数z∈R,则＝z∈R,故命题p4为真命题.故选：B.【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了复数的运算,复数的分类,复数的运算性质,难度不大,属于基础题.4.(5分)记Sn 为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24,S6＝48,则{an}的公差为( )A.1B.2C.4D.8【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出{an}的公差.【解答】解：∵Sn 为等差数列{an}的前n项和,a4＋a5＝24,S6＝48,∴,解得a1＝－2,d＝4,∴{an}的公差为4.故选：C.【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.5.(5分)函数f(x)在(－∞,＋∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)＝－1,则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )A.[－2,2]B.[－1,1]C.[0,4]D.[1,3]【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性,可将不等式－1≤f(x－2)≤1化为－1≤x－2≤1,解得答案.【解答】解：∵函数f(x)为奇函数.若f(1)＝－1,则f(－1)＝1,又∵函数f(x)在(－∞,＋∞)单调递减,－1≤f(x－2)≤1,∴f(1)≤f(x－2)≤f(－1),∴－1≤x－2≤1,解得：x∈[1,3],故选：D.【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用,函数的单调性,函数的奇偶性,难度中档.6.(5分)(1＋)(1＋x)6展开式中x2的系数为( )A.15B.20C.30D.35【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可.【解答】解：(1＋)(1＋x)6展开式中：若(1＋)＝(1＋x－2)提供常数项1,则(1＋x)6提供含有x2的项,可得展开式中x2的系数：若(1＋)提供x－2项,则(1＋x)6提供含有x4的项,可得展开式中x2的系数：由(1＋x)6通项公式可得.可知r＝2时,可得展开式中x2的系数为.可知r＝4时,可得展开式中x2的系数为.(1＋)(1＋x)6展开式中x2的系数为：15＋15＝30.故选：C.【点评】本题主要考查二项式定理的知识点,通项公式的灵活运用.属于基础题.7.(5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )A.10B.12C.14D.16【分析】由三视图可得直观图,由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面,根据梯形的面积公式计算即可【解答】解：由三视图可画出直观图,该立体图中只有两个相同的梯形的面,＝×2×(2＋4)＝6,S梯形∴这些梯形的面积之和为6×2＝12,故选：B.【点评】本题考查了体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.8.(5分)如图程序框图是为了求出满足3n－2n＞1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A.A＞1000和n＝n＋1B.A＞1000和n＝n＋2C.A≤1000和n＝n＋1D.A≤1000和n＝n＋2【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A＞1000”,进而通过偶数的特征确定n＝n＋2.【解答】解：因为要求A＞1000时输出,且框图中在“否”时输出,所以“”内不能输入“A＞1000”,又要求n为偶数,且n的初始值为0,所以“”中n依次加2可保证其为偶数,所以D选项满足要求,故选：D.【点评】本题考查程序框图,属于基础题,意在让大部分考生得分.9.(5分)已知曲线C 1：y ＝cosx,C 2：y ＝sin(2x ＋),则下面结论正确的是( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C 2【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可.【解答】解：把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y ＝cos2x 图象,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到函数y ＝cos2(x ＋)＝cos(2x ＋)＝sin(2x＋)的图象,即曲线C 2, 故选：D.【点评】本题考查三角函数的图象变换,诱导公式的应用,考查计算能力.10.(5分)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A 、B 两点,直线l 2与C 交于D 、E 两点,则|AB|＋|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10【分析】方法一：根据题意可判断当A 与D,B,E 关于x 轴对称,即直线DE 的斜率为1,|AB|＋|DE|最小,根据弦长公式计算即可.方法二：设直线l 1的倾斜角为θ,则l 2的倾斜角为＋θ,利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|,|DE|,整理求得答案【解答】解：如图,l 1⊥l 2,直线l 1与C 交于A 、B 两点, 直线l 2与C 交于D 、E 两点, 要使|AB|＋|DE|最小,则A 与D,B,E 关于x 轴对称,即直线DE 的斜率为1, 又直线l 2过点(1,0),则直线l 2的方程为y ＝x －1,联立方程组,则y 2－4y －4＝0,∴y 1＋y 2＝4,y 1y 2＝－4, ∴|DE|＝•|y 1－y 2|＝×＝8,∴|AB|＋|DE|的最小值为2|DE|＝16,方法二：设直线l 1的倾斜角为θ,则l 2的倾斜角为＋θ,根据焦点弦长公式可得|AB|＝＝|DE|＝＝＝∴|AB|＋|DE|＝＋＝＝,∵0＜sin 22θ≤1,∴当θ＝45°时,|AB|＋|DE|的最小,最小为16, 故选：A.【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系,弦长公式,对于过焦点的弦,能熟练掌握相关的结论,解决问题事半功倍属于中档题.11.(5分)设x 、y 、z 为正数,且2x ＝3y ＝5z ,则( )A.2x ＜3y ＜5zB.5z ＜2x ＜3yC.3y ＜5z ＜2xD.3y ＜2x ＜5z 【分析】x 、y 、z 为正数,令2x ＝3y ＝5z ＝k ＞1.lgk ＞0.可得x ＝,y ＝,z ＝.可得3y ＝,2x ＝,5z ＝.根据＝＝,＞＝.即可得出大小关系.另解：x 、y 、z 为正数,令2x ＝3y ＝5z ＝k ＞1.lgk ＞0.可得x ＝,y ＝,z ＝.＝＝＞1,可得2x＞3y,同理可得5z＞2x.【解答】解：x、y、z为正数,令2x＝3y＝5z＝k＞1.lgk＞0.则x＝,y＝,z＝.∴3y＝,2x＝,5z＝.∵＝＝,＞＝.∴＞lg＞＞0.∴3y＜2x＜5z.另解：x、y、z为正数,令2x＝3y＝5z＝k＞1.lgk＞0.则x＝,y＝,z＝.∴＝＝＞1,可得2x＞3y,＝＝＞1.可得5z＞2x.综上可得：5z＞2x＞3y.解法三：对k取特殊值,也可以比较出大小关系.故选：D.【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.12.(5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.110【分析】方法一：由数列的性质,求得数列{bn}的通项公式及前n项和,可知当N为时(n∈N＋),数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和,即为2n＋1－n－2,容易得到N＞100时,n≥14,分别判断,即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项,及前n项和Sn＝2n＋1－2－n,及项数,由题意可知：2n＋1为2的整数幂.只需将－2－n消去即可,分别即可求得N的值.【解答】解：设该数列为{an },设bn＝＋…＋＝2n＋1－1,(n∈N＋),则＝ai ,由题意可设数列{an }的前N项和为SN,数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn＝21－1＋22－1＋…＋2n＋1－1＝2n＋1－n－2,可知当N为时(n∈N＋),数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和,即为2n＋1－n－2,容易得到N＞100时,n≥14,A项,由＝435,440＝435＋5,可知S440＝T29＋b5＝230－29－2＋25－1＝230,故A项符合题意.B项,仿上可知＝325,可知S330＝T25＋b5＝226－25－2＋25－1＝226＋4,显然不为2的整数幂,故B项不符合题意.C项,仿上可知＝210,可知S220＝T20＋b10＝221－20－2＋210－1＝221＋210－23,显然不为2的整数幂,故C项不符合题意.D项,仿上可知＝105,可知S110＝T14＋b5＝215－14－2＋25－1＝215＋15,显然不为2的整数幂,故D项不符合题意.故选A.方法二：由题意可知：,,,…,根据等比数列前n项和公式,求得每项和分别为：21－1,22－1,23－1,…,2n－1,每项含有的项数为：1,2,3,…,n,总共的项数为N＝1＋2＋3＋…＋n＝,所有项数的和为Sn：21－1＋22－1＋23－1＋…＋2n－1＝(21＋22＋23＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－2－n,由题意可知：2n＋1为2的整数幂.只需将－2－n消去即可,则①1＋2＋(－2－n)＝0,解得：n＝1,总共有＋2＝3,不满足N＞100,②1＋2＋4＋(－2－n)＝0,解得：n＝5,总共有＋3＝18,不满足N＞100,③1＋2＋4＋8＋(－2－n)＝0,解得：n＝13,总共有＋4＝95,不满足N＞100,④1＋2＋4＋8＋16＋(－2－n)＝0,解得：n＝29,总共有＋5＝440,满足N＞100, ∴该款软件的激活码440.故选：A.【点评】本题考查数列的应用,等差数列与等比数列的前n项和,考查计算能力,属于难题.二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)已知向量,的夹角为60°,||＝2,||＝1,则|＋2|＝2.【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可.【解答】解：【解法一】向量,的夹角为60°,且||＝2,||＝1,∴＝＋4•＋4＝22＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12,∴|＋2|＝2.【解法二】根据题意画出图形,如图所示；结合图形＝＋＝＋2；在△OAC中,由余弦定理得||＝＝2,即|＋2|＝2.故答案为：2.【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题,解题时应利用数量积求出模长,是基础题.14.(5分)设x,y满足约束条件,则z＝3x－2y的最小值为－5 .【分析】由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得答案.【解答】解：由x,y满足约束条件作出可行域如图,由图可知,目标函数的最优解为A,联立,解得A(－1,1).∴z＝3x－2y的最小值为－3×1－2×1＝－5.故答案为：－5.【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.15.(5分)已知双曲线C：－＝1(a＞0,b＞0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN＝60°,则C的离心率为.【分析】利用已知条件,转化求解A到渐近线的距离,推出a,c的关系,然后求解双曲线的离心率即可.【解答】解：双曲线C：－＝1(a＞0,b＞0)的右顶点为A(a,0),以A为圆心,b为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN＝60°,可得A到渐近线bx＋ay＝0的距离为：bcos30°＝,可得：＝,即,可得离心率为：e＝.故答案为：.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,点到直线的距离公式以及圆的方程的应用,考查转化思想以及计算能力.16.(5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为4cm3.【分析】由题,连接OD,交BC于点G,由题意得OD⊥BC,OG＝BC,设OG＝x,则BC＝2x,DG＝3,V＝＝,令＝5－x,三棱锥的高h＝,求出S△ABCf(x)＝25x4－10x5,x∈(0,),f′(x)＝100x3－50x4,f(x)≤f(2)＝80,由此能求出体积最大值.【解答】解：由题意,连接OD,交BC于点G,由题意得OD⊥BC,OG＝BC,即OG的长度与BC的长度成正比,设OG＝x,则BC＝2x,DG＝5－x,三棱锥的高h＝＝＝,＝3,则V＝＝＝,令f(x)＝25x4－10x5,x∈(0,),f′(x)＝100x3－50x4,令f′(x)≥0,即x4－2x3≤0,解得x≤2,则f(x)≤f(2)＝80,∴V≤＝4cm3,∴体积最大值为4cm3.故答案为：4cm3.【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1,a＝3,求△ABC的周长.【分析】(1)根据三角形面积公式和正弦定理可得答案,(2)根据两角余弦公式可得cosA＝,即可求出A＝,再根据正弦定理可得bc＝8,根据余弦定理即可求出b＋c,问题得以解决.＝acsinB＝,【解答】解：(1)由三角形的面积公式可得S△ABC∴3csinBsinA＝2a,由正弦定理可得3sinCsinBsinA＝2sinA,∵sinA≠0,∴sinBsinC＝；(2)∵6cosBcosC＝1,∴cosBcosC＝,∴cosBcosC－sinBsinC＝－＝－,∴cos(B＋C)＝－,∴cosA＝,∵0＜A＜π,∴A＝,∵＝＝＝2R＝＝2,∴sinBsinC＝•＝＝＝,∴bc＝8,∵a2＝b2＋c2－2bccosA,∴b2＋c2－bc＝9,∴(b＋c)2＝9＋3cb＝9＋24＝33,∴b＋c＝∴周长a＋b＋c＝3＋.【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理,考查了学生的运算能力,属于中档题.18.(12分)如图,在四棱锥P－ABCD中,AB∥CD,且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC,∠APD＝90°,求二面角A－PB－C的余弦值.【分析】(1)由已知可得PA⊥AB,PD⊥CD,再由AB∥CD,得AB⊥PD,利用线面垂直的判定可得AB ⊥平面PAD,进一步得到平面PAB⊥平面PAD；(2)由已知可得四边形ABCD为平行四边形,由(1)知AB⊥平面PAD,得到AB⊥AD,则四边形ABCD 为矩形,设PA＝AB＝2a,则AD＝.取AD中点O,BC中点E,连接PO、OE,以O为坐标原点,分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,求出平面PBC的一个法向量,再证明PD⊥平面PAB,得为平面PAB的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角A－PB－C的余弦值.【解答】(1)证明：∵∠BAP＝∠CDP＝90°,∴PA⊥AB,PD⊥CD,∵AB∥CD,∴AB⊥PD,又∵PA∩PD＝P,且PA⊂平面PAD,PD⊂平面PAD,∴AB⊥平面PAD,又AB⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD；(2)解：∵AB∥CD,AB＝CD,∴四边形ABCD为平行四边形,由(1)知AB⊥平面PAD,∴AB⊥AD,则四边形ABCD为矩形,在△APD中,由PA＝PD,∠APD＝90°,可得△PAD为等腰直角三角形,设PA＝AB＝2a,则AD＝.取AD中点O,BC中点E,连接PO、OE,以O为坐标原点,分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,则：D(),B(),P(0,0,),C().,,.设平面PBC的一个法向量为,由,得,取y＝1,得.∵AB⊥平面PAD,AD⊂平面PAD,∴AB⊥PD,又PD⊥PA,PA∩AB＝A,∴PD⊥平面PAB,则为平面PAB的一个法向量,.∴cos＜＞＝＝.由图可知,二面角A－PB－C为钝角,∴二面角A－PB－C的余弦值为.【点评】本题考查平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力和思维能力,训练了利用空间向量求二面角的平面角,是中档题.19.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；经计算得＝＝9.97,s＝＝≈0.212,其中x为i抽取的第i个零件的尺寸,i＝1,2, (16)用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(－3＋3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ－3σ＜Z＜μ＋3σ)＝0.9974,0.997416≈0.9592,≈0.09.【分析】(1)通过P(X＝0)可求出P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝0.0408,利用二项分布的期望公式计算可得结论；(2)(ⅰ)由(1)及知落在(μ－3σ,μ＋3σ)之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；(ⅱ)通过样本平均数、样本标准差s估计、可知(－3＋3)＝(9.334,10.606),进而需剔除(－3＋3)之外的数据9.22,利用公式计算即得结论.【解答】解：(1)由题可知尺寸落在(μ－3σ,μ＋3σ)之内的概率为0.9974,则落在(μ－3σ,μ＋3σ)之外的概率为1－0.9974＝0.0026,因为P(X＝0)＝×(1－0.9974)0×0.997416≈0.9592,所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝0.0408,又因为X～B(16,0.0026),所以E(X)＝16×0.0026＝0.0416；(2)(ⅰ)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(－3＋3)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(－3＋3)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种状况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ⅱ)由＝9.97,s≈0.212,得μ的估计值为＝9.97,σ的估计值为＝0.212,由样本数据可以看出一个零件的尺寸在(－3＋3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(－3＋3)之外的数据9.22,剩下的数据的平均数为(16×9.97－9.22)＝10.02,因此μ的估计值为10.02.2＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134,剔除(－3＋3)之外的数据9.22,剩下的数据的样本方差为(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008,因此σ的估计值为≈0.09.【点评】本题考查正态分布,考查二项分布,考查方差、标准差,考查概率的计算,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.20.(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(－1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1,证明：l过定点.【分析】(1)根据椭圆的对称性,得到P2(0,1),P3(－1,),P4(1,)三点在椭圆C上.把P 2(0,1),P3(－1,)代入椭圆C,求出a2＝4,b2＝1,由此能求出椭圆C的方程.(2)当斜率不存在时,不满足；当斜率存在时,设l：y＝kx＋t,(t≠1),联立,得(1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－4＝0,由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程,结合已知条件能证明直线l过定点(2,－1).【解答】解：(1)根据椭圆的对称性,P3(－1,),P4(1,)两点必在椭圆C上,又P4的横坐标为1,∴椭圆必不过P1(1,1),∴P2(0,1),P3(－1,),P4(1,)三点在椭圆C上.把P2(0,1),P3(－1,)代入椭圆C,得：,解得a2＝4,b2＝1, ∴椭圆C的方程为＝1.证明：(2)①当斜率不存在时,设l：x＝m,A(m,yA ),B(m,－yA),∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1,∴＝＝＝－1,解得m＝2,此时l过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足.②当斜率存在时,设l：y＝kx＋t,(t≠1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立,整理,得(1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－4＝0,,x1x2＝,则＝＝＝＝＝－1,又t≠1,∴t＝－2k－1,此时△＝－64k,存在k,使得△＞0成立,∴直线l的方程为y＝kx－2k－1,当x＝2时,y＝－1,∴l过定点(2,－1).【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,是中档题.21.(12分)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)e x－x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.【分析】(1)求导,根据导数与函数单调性的关系,分类讨论,即可求得f(x)单调性；＜(2)由(1)可知：当a＞0时才有两个零点,根据函数的单调性求得f(x)最小值,由f(x)min＝g(e－2)＝e－2lne－2＋e－2－1＝－－1,g(1)＝0, 0,g(a)＝alna＋a－1,a＞0,求导,由g(a)min即可求得a的取值范围.(1)求导,根据导数与函数单调性的关系,分类讨论,即可求得f(x)单调性；(2)分类讨论,根据函数的单调性及函数零点的判断,分别求得函数的零点,即可求得a的取值范围.【解答】解：(1)由f(x)＝ae2x＋(a－2)e x－x,求导f′(x)＝2ae2x＋(a－2)e x－1,当a＝0时,f′(x)＝－2e x－1＜0,∴当x∈R,f(x)单调递减,当a＞0时,f′(x)＝(2e x＋1)(ae x－1)＝2a(e x＋)(e x－),令f′(x)＝0,解得：x＝ln,当f′(x)＞0,解得：x＞ln,当f′(x)＜0,解得：x＜ln,∴x∈(－∞,ln)时,f(x)单调递减,x∈(ln,＋∞)单调递增；当a＜0时,f′(x)＝2a(e x＋)(e x－)＜0,恒成立,∴当x∈R,f(x)单调递减,综上可知：当a≤0时,f(x)在R单调减函数,当a＞0时,f(x)在(－∞,ln)是减函数,在(ln,＋∞)是增函数；(2)①若a≤0时,由(1)可知：f(x)最多有一个零点,当a＞0时,f(x)＝ae2x＋(a－2)e x－x,当x→－∞时,e2x→0,e x→0,∴当x→－∞时,f(x)→＋∞,当x→∞,e2x→＋∞,且远远大于e x和x,∴当x→∞,f(x)→＋∞,∴函数有两个零点,f(x)的最小值小于0即可,由f(x)在(－∞,ln)是减函数,在(ln,＋∞)是增函数,∴f(x)＝f(ln)＝a×()＋(a－2)×－ln＜0,min∴1－－ln＜0,即ln＋－1＞0,设t＝,则g(t)＝lnt＋t－1,(t＞0),求导g′(t)＝＋1,由g(1)＝0,∴t＝＞1,解得：0＜a＜1,∴a的取值范围(0,1).方法二：(1)由f(x)＝ae2x＋(a－2)e x－x,求导f′(x)＝2ae2x＋(a－2)e x－1,当a＝0时,f′(x)＝－2e x－1＜0,∴当x∈R,f(x)单调递减,当a＞0时,f′(x)＝(2e x＋1)(ae x－1)＝2a(e x＋)(e x－),令f′(x)＝0,解得：x＝－lna,当f′(x)＞0,解得：x＞－lna,当f′(x)＜0,解得：x＜－lna,∴x∈(－∞,－lna)时,f(x)单调递减,x∈(－lna,＋∞)单调递增；当a＜0时,f′(x)＝2a(e x＋)(e x－)＜0,恒成立,∴当x∈R,f(x)单调递减,综上可知：当a≤0时,f(x)在R单调减函数,当a＞0时,f(x)在(－∞,－lna)是减函数,在(－lna,＋∞)是增函数；(2)①若a≤0时,由(1)可知：f(x)最多有一个零点,＝f(－lna)＝1－－ln, ②当a＞0时,由(1)可知：当x＝－lna时,f(x)取得最小值,f(x)min当a＝1,时,f(－lna)＝0,故f(x)只有一个零点,当a∈(1,＋∞)时,由1－－ln＞0,即f(－lna)＞0,故f(x)没有零点,当a∈(0,1)时,1－－ln＜0,f(－lna)＜0,由f(－2)＝ae－4＋(a－2)e－2＋2＞－2e－2＋2＞0, 故f(x)在(－∞,－lna)有一个零点,假设存在正整数n0,满足n＞ln(－1),则f(n)＝(a＋a－2)－n＞－n＞－n＞0,由ln(－1)＞－lna,因此在(－lna,＋∞)有一个零点.∴a的取值范围(0,1).【点评】本题考查导数的综合应用,考查利用导数求函数单调性及最值,考查函数零点的判断,考查计算能力,考查分类讨论思想,属于中档题.[选修4-4,坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),直线l的参数方程为,(t为参数).(1)若a＝－1,求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.【分析】(1)将曲线C的参数方程化为标准方程,直线l的参数方程化为一般方程,联立两方程可以求得焦点坐标；(2)曲线C上的点可以表示成P(3cosθ,sinθ),θ∈[0,2π),运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离,再结合距离最大值为进行分析,可以求出a的值.【解答】解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数),化为标准方程是：＋y2＝1；a＝－1时,直线l的参数方程化为一般方程是：x＋4y－3＝0；联立方程,解得或,所以椭圆C和直线l的交点为(3,0)和(－,).(2)l的参数方程(t为参数)化为一般方程是：x＋4y－a－4＝0,椭圆C上的任一点P可以表示成P(3cosθ,sinθ),θ∈[0,2π),所以点P到直线l的距离d为：。

2017年全国1卷理科数学详细讲解详析

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页.23小题.满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前.考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时.选出每小题答案后.用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动.用橡皮擦干净后.再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动.先划掉原来的答案.然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后.将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题.每小题5分.共60分。

在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={x |x <1}.B ={x |31x <}.则 A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅【考点】：集合的简单运算.指数函数【思路】：利用指数函数的性质可以将集合B 求解出来.之后利用集合的计算求解即可。

【解析】：由310x x <⇒<.解得{}0B x x =<.故而{}{}0,1A B B x x A B A x x ⋂==<⋃==<.选A 。

2．如图.正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点.则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π4【考点】：几何概型【思路】：几何概型的面积问题.=P 基本事件所包含的面积总面积。

【解析】：()21212=82r S P S r ππ==.故而选B 。

2017年高考真题全国1卷理科数学(附答案解析)

（1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD；
（2）若 PA=PD=AB=DC， ∠APD = 90o，求二面角 A−PB−C 的余弦值.
19．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取
16 个零件，并测量其尺寸（单位： cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正
( ) 常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N µ,σ 2 ．
x − y ≤ 0
15．已知双曲线 C
：
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
> 0,b > 0) 的右顶点为
A ，以
A 为圆心， b
为半径作
圆 A ，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线于交 M 、 N 两点，若 ∠MAN = 60o，则 C 的离心
率为__________．
16．如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D，E，F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得 D，E，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3) 的最大值为______．
（1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在
( µ − 3σ , µ + 3σ ) 之外的零件数，求 P ( X ≥ 1) 及 X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( µ − 3σ , µ + 3σ ) 之外的零件，就认为这
条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：

【数学】2017年高考真题——全国III卷(理)(解析版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ)理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}22(,)1=+=A x y x y ，{}(,)==B x y y x ，则A B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 2．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=( )A ．12B ．22C ．2D ．23.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是( ) A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4. 5()(2)+-x y x y 的展开式中33x y 的系数为( ) A.-80 B.-40 C.40 D.805.已知双曲线C:22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆 221123x y += 有公共焦点，则C 的方程为( ) A.221810x y -= B. 22145x y -= C. 22154x y -= D. 22143x y -= 6．设函数f (x )=cos(x +3π)，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为−2π B ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6π D ．f (x )在(2π,π)单调递减 7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．28.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A.π B.3π4 C.π2 D.π49.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为( ) A.-24 B.-3 C.3 D.810.已知椭圆C ：22221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为( )C.3D.1311.已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =( )A.12-B.13C.12D.1 12. 在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）A.3C. D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若x ，y 满足约束条件0,20,0,-⎧⎪+-⎨⎪⎩x y x y y ≥≤≥则34=-z x y 的最小值为________．14.设等比数列{}n a 满足121+=-a a ，133-=-a a ，则4=a ________．15.设函数10()20xx xf xx+≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x+->的x的取值范围是_________.16.a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所称角的最小值为45°；④直线AB与a所称角的最小值为60°；其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A cos A=0，a,b=2.（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC,求△ABD的面积.18.（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处学科#网理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABD ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值．20.（12分）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程.21.（12分）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222n m ，求m 的最小值．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ+sin θ， M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围.参考答案1.【答案】B 【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，故A B表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即AB 元素的个数为22．【答案】C 【解析】由题，()()()2i 1i 2i 2i 2i 11i 1i 1i 2z -+====+++-，则22112z + 3．【答案】A 【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误， 4．【答案】C 【解析】由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为()()()()2332233355C 2C 240x x y y x y x y ⋅-+⋅-=，则33x y 的系数为40，故选C.5．【答案】B 【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为5y =，则5b a =又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①②解得2,5a b ==，则双曲线C 的方程为22145x y -=，故选B. 6．【答案】D 【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.7．【答案】D【解析】程序运行过程如下表所示：S Mt初始状态 0 100 1 第1次循环结束 100 10-2 第2次循环结束9013此时9091S =<首次满足条件，程序需在3t =时跳出循环，即2N =为满足条件的最小值，故选D.8．【答案】B 【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径221312r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭则圆柱体体积23ππ4V r h ==，故选B.9．【答案】A 【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d . 则2326a a a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++ 又∵11a =，代入上式可得220d d += 又∵0d ≠，则2d =-∴()61656561622422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A. 10．【答案】A 【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴222ab d a a b==+又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b = ∵222b ac =-，可得()2223a a c=-，即2223c a =∴63c e a ==，故选A 11．【答案】C【解析】因为f （x ）=x 2﹣2x +a （e x ﹣1+e﹣x +1）=﹣1+（x ﹣1）2+a （e x ﹣1+）=0，所以函数f （x ）有唯一零点等价于方程1﹣（x ﹣1）2=a （e x ﹣1+）有唯一解，等价于函数y =1﹣（x ﹣1）2的图象与y =a （e x ﹣1+）的图象只有一个交点．①当a =0时，f （x ）=x 2﹣2x ≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；②当a ＜0时，由于y =1﹣（x ﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y =a （e x ﹣1+）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，所以函数y =1﹣（x ﹣1）2的图象的最高点为A （1，1），y =a （e x ﹣1+）的图象的最高点为B （1，2a ），由于2a ＜0＜1，此时函数y =1﹣（x ﹣1）2的图象与y =a （e x ﹣1+）的图象有两个交点，矛盾；③当a ＞0时，由于y =1﹣（x ﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y =a （e x ﹣1+）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，所以函数y =1﹣（x ﹣1）2的图象的最高点为A （1，1），y =a （e x ﹣1+）的图象的最低点为B （1，2a ），由题可知点A 与点B 重合时满足条件，即2a =1，即a =，符合条件；综上所述，a =，故选：C ． 12．【答案】A【解析】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ．以A 为原点，AD 为x 轴正半轴，AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =． ∴22125BD =+=． ∵BD 切C 于点E ． ∴CE ⊥BD ．∴CE是Rt BCD△中斜边BD上的高．12||||22||||||BCDBC CDSECBD BD⋅⋅⋅====△即C∵P 在C上．∴P点的轨迹方程为224(2)(1)5-+-=x y．设P点坐标00(,)x y，可以设出P点坐标满足的参数方程如下：21xyθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩而00(,)AP x y=，(0,1)AB =，(2,0)AD =．∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB ADλμλμμλ=+=+=∴112xμθ==+，1yλθ==．两式相加得：112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=++=++≤(其中sinϕcosϕ=)当且仅当π2π2kθϕ=+-，k∈Z时，λμ+取得最大值3．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．【答案】1-【解析】由题，画出可行域如图：目标函数为34z x y =-，则直线344zy x =-纵截距越大，z 值越小．由图可知：z 在()1,1A 处取最小值，故min 31411z =⨯-⨯=-．14．【答案】8-【解析】{}n a 为等比数列，设公比为q ．121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，即1121113a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①②，显然1q ≠，10a ≠，②①得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =， ()3341128a a q ∴==⨯-=-．15．【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】()1,02 ,0+⎧=⎨>⎩x x x f x x ≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭由图象变换可画出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图象如下：由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.16．【答案】②③【解析】由题意知，a b AC 、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1，故||1AC =，2AB =，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以CD 为x 轴正方向，CB 为y 轴正方向， CA 为z 轴正方向建立空间直角坐标系．则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，直线a 的方向单位向量(0,1,0)=a ，||1=a ．B 点起始坐标为(0,1,0)，直线b 的方向单位向量(1,0,0)=b ，||1=b ．设B 点在运动过程中的坐标(cos ,sin ,0)B θθ'，其中θ为B C '与CD 的夹角，[0,2π)θ∈．那么'AB 在运动过程中的向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=--，||2AB '=．设AB '与a 所成夹角为π[0,]2α∈，则(cos ,sin ,1)(0,1,0)22cos |sin |[0,]22a AB θθαθ--⋅==∈'．故ππ[,]42α∈，所以③正确，④错误．设AB '与b 所成夹角为π[0,]2β∈，cos (cos ,sin ,1)(1,0,0)|cos |2'⋅='-⋅='=βθθθAB b b AB b AB .当AB'与b 夹角为60︒时，即π3α=，sin 32πθα===． ∵22cos sin 1θθ+=，∴|cos |θ=∴1cos |cos |22βθ==． ∵π[0,]2β∈．∴π=3β，此时AB '与b 夹角为60︒． ∴②正确，①错误．三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分．17．解:（1）由sin 0A A =得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈， ∴ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.（2）∵2,4AC BC AB ===，由余弦定理222cos 2a b c C ab +-==∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD =由勾股定理AD 又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=， 1πsin 26ABD S AD AB =⋅⋅=△18．解:(1)易知需求量x 可取200,300,500()21612003035P X +===⨯()3623003035P X ===⨯ ()257425003035P X ++===⨯.则分布列为：⑵①当200n ≤时：，此时max 400，当200n =时取到.②当200300n <≤时：()()4122002200255Y n n =⋅+⨯+-⋅-⎡⎤⎣⎦ 880026800555n n n -+=+=此时max 520Y =，当300n =时取到.③当300500n <≤时，()()()()12220022002300230022555Y n n n =⨯+-⋅-+⨯+-⋅-+⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 320025n-=此时520Y <.④当500n ≥时，易知Y 一定小于③的情况.综上所述：当300n =时，Y 取到最大值为520.19．解:(1)取AC 中点为O ，连接BO ，DO ；ABC ∆为等边三角形∴BO AC ⊥ ∴AB BC =AB BC BD BDABD DBC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴∆≅∆ABD CBD . ∴AD CD =,即ACD ∆为等腰直角三角形， ADC ∠为直角又O 为底边AC 中点 ∴DO AC ⊥令AB a =，则AB AC BC BD a ====易得：22OD a =，32OB a = ∴222OD OB BD +=由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=即OD OB ⊥OD AC OD OB AC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩平面平面OD ABC ∴⊥平面又∵OD ADC ⊂平面由面面垂直的判定定理可得ADC ABC ⊥平面平面 (2)由题意可知--=D ACE B ACE V V 即B ,D 到平面ACE 的距离相等即E 为BD 中点以O 为原点，OA 为x 轴正方向，OB 为y 轴正方向，OD 为z 轴正方向，设AC a =，建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，,0,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2a D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,,02B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,,44a E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 易得：3,,244a a AE a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,22a a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,0,02a OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 设平面AED 的法向量为n 1，平面AEC 的法向量为n 2，则110⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩AE n AD n ，解得()13,1,3=n220⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩AE n OA n ，解得()20,1,3=-n 若二面角D AE C --为θ，易知θ为锐角，则12127cos 7⋅==⋅θn n n n20．解:(1)显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立：222y xx my ⎧=⎨=+⎩得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-． 1212OA OBx x y y ⋅=+ 12(2)(2)my my =++21212(1)2()4m y y m y y =++++24(1)2(2)4m m m =-+++0=∴OA OB ⊥，即O 在圆M 上． (2)若圆M 过点P ，则0AP BP ⋅= 1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++= 1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=21212(1)(22)()80m y y m y y +--++= 化简得2210m m --=解得12m =-或1①当12m =-时，:240l x y +-=圆心为00(,)Q x y ，120122y y y +==-，0019224x y =-+=，半径||r OQ ==则圆229185:()()4216M x y -++=②当1m =时，:20l x y --=圆心为00(,)Q x y ， 12012y y y +==，0023x y =+=，半径||r OQ ==则圆22:(3)(1)10M x y -+-=21．解:(1) ()1ln f x x a x =--，0x >则()1a x af x x x-'=-=，且(1)0f = 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0+∞，上单调增，所以01x <<时，()0f x <，不满足题意；当0a >时，当0x a <<时，()0f x '<，则()f x 在(0,)a 上单调递减；当x a >时，()0f x '>，则()f x 在(,)a +∞上单调递增．①若1a <，()f x 在(,1)a 上单调递增∴当(,1)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ②若1a >，()f x 在(1,)a 上单调递减∴当(1,)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾③若1a =，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增∴()(1)0f x f =≥满足题意综上所述1a =．(2)当1a =时()1ln 0f x x x =--≥即ln 1x x -≤则有ln(1)x x +≤当且仅当0x =时等号成立∴11ln(1)22k k+<，*k ∈N 一方面：221111111ln(1)ln(1)...ln(1)...112222222n n n ++++++<+++=-<，即2111(1)(1)...(1)e 222n +++<．另一方面：223111111135(1)(1)...(1)(1)(1)(1)222222264n +++>+++=>当3n ≥时，2111(1)(1)...(1)(2,e)222n +++∈∵*m ∈N ，2111(1)(1)...(1)222n m +++<，∴m 的最小值为3．22．解:(1)将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ……①()21:2l y x k =+ ……② ①⨯②消k 可得：224x y -=即P 的轨迹方程为224x y -=；(2)将参数方程转化为一般方程3:0l x y +-= ……③联立曲线C 和3l 2204x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩解得ρ=即M．23．解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--⎧⎪=--<<⎨⎪⎩x f x x x x ≤≥.由()1f x ≥可得：①当1-x ≤时显然不满足题意；②当12x -<<时，211-x ≥，解得1x ≥；③当2x ≥时，()31=f x ≥恒成立.综上，()1f x ≥的解集为{}|1x x ≥.(2)不等式()2-+f x x x m ≥等价为()2-+f x x x m ≥，令()()2g x f x x x =-+，则()g x m ≥解集非空只需要()max ⎡⎤⎣⎦g x m ≥.而()2223,131,123,2⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩x x x g x x x x x x x ≤≥. ①当1-x ≤时，()()max 13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦； ②当12x -<<时，()2max 3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭； ③当2x ≥时，()()2max 22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦.综上，()max 54g x =⎡⎤⎣⎦，故54m ≤.。

2017年高考全国新课标Ⅰ卷数学试题评析1

2017年高考全国Ⅰ卷数学试题名师点评第一篇理科纵观2017高考新课标1卷，试卷整体结构与去年基本一致，但是在相应的题目设置上略有调整。

与去年对比，整体难度有所降低，在常规考点部分的题型中规中矩，但是部分题目对学生的理解能力要求较高。

一、试卷各板块占比——覆盖更加全面由模块占比可知，整套试卷在六大板块的考查比重上趋于稳定，但是概率模块想拿满分难度较大，跟去年一样，依然非常重视对学生阅读理解能力的考查。

二、试卷各部分分析——选填更灵活，大题较常规①选填题：选择填空部分的考点设置基本与新课标2016的一致，顺序略有调整，难度有所降低，第3题复数和命题结合，考点新颖。

第12题考点为数列的前n项和，有一定的技巧性，第16题考查立体几何体积的最值问题，这两题综合文字过多，对考生的理解能力要求较大。

②解答题：解答题部分，基本符合新课标卷的一贯风格。

比如解三角形考查了正余弦定理、面积公式以及两角和差公式；函导数考查了求导后含参问题的分类讨论。

但第18题立体几何的难度难度“有失”以往标准，第1问证明过程无需做辅助线；第2问求余弦值由于垂直关系和数量关系明显，所以利用几何法和向量法都十分简单。

第19题概率大题以应用题型考查了相对来说冷门的正态分布，篇幅较长，题目中附加公式和参数过多，对学生的理解能力也有一定的要求。

③选做题：选做题部分，极坐标与参数方程的第2问，用到了参数方程的方法，利用点到直线的距离公式求解即可；而不等式部分难度也较低，考查了绝对值不等式，且不含参数，考生容易拿分。

整体来说，在广东确定使用新课标卷的第二年，考点依然比较常规，依然需要考生注重基础，回归教材，理解知识本身的内涵。

虽然试题的整体难度有所降低，难点也还是对学生阅读理解能力的考查，但想拿高分并不容易。

高考是选拔性考试，整体常规化容易导致区分度降低，新一届高三学生更要加强全国卷模板式训练，要达至全面覆盖且滚瓜烂熟的状态。

第二篇文科卓越教育高考改革研究委员会认为今年广东采用的全国卷I数学（文科）整体稳定，难度在学生的预期和能够接受的范围以内。

2017年高考数学(理科)全国Ⅰ卷试卷分析

高考数学（理科）全国Ⅰ卷试卷分析
合肥一中吴建平1.试卷题型稳定，难、易适中选择、填空、解答题基本是按照由易到难的顺序排列，数学的几大主要板块进行了重点考查，主要是数列、三角函数、立体几何、概率统计、解析几何、函数导数以及选考部分参数方程和不等式，试卷结构和往年保持不变，体现了高考的稳定性和延续性，注重基础知识，体现数学素养，考查计算能力，有利于学生的正常发挥。

2.试卷体现了对数学核心素养和数学文化的考查试卷体现了数学文化，如第2题把几何概型的考查揉合进了我国古代的八卦图中，弘扬了优秀的传统文化，体现了图形的对称美。

12题的数学抽象和推理、16题的数学建模、19题的数学应用和数学建模，都是对学生的核心素养进行了很好的考查。

3.体现了基础性和常规性选择题前11题和填空题前3题都比较基础和常规，解答题的17、18及选考题都是常规的考查，和往年的全国一卷及模考题相类似。

体现了通性、通法，学生如有较扎实的基本功和运算能力，解答这些题目应该完全没有问题。

4.体现了综合性、创新性和应用性总之，整份试卷加强对学生理性思维的考查，渗透了数学文化，突出对创新应用能力的考查。

试题关注社会发展，引导考生运用所学数学知识解决生活实际问题，富有时代气息。

试卷遵循考试大纲的各项规定，试卷结构保持稳定，难易适度，各种难度的试题比例适当。

试卷有利于科学选拔人才，有利于深化课程，有利于促进社会公平，对培养学生的创新精神、实践能力，提升学生核心素养的数学课程、教学都有积极的导向作用。

2017年高考数学(理科)全国Ⅰ卷试题分析

高考数学（理科）全国Ⅰ卷试题分析——基础扎实、减少失误便可成就高分第十中学张庆全国高考理科数学乙卷在7日下午3点与考生见面，揭开了它的神秘面纱，纵观整张试卷，它遵循了《课程》的基本理念，严格贯彻《全国统一高考考试大纲》基本要求，试卷在稳定中做了一定的创新，重视考查学生的核心数学素养，不仅兼顾知识点、思想方法与能力的考查，也关注了数学的应用意识与创新意识；试卷从中低档题到高档题梯度明显，有良好的区分度。

下面我对试题做具体分析，并总结特点，不妥之处，敬请批评指正。

一、试题分析（1）选择题总结：从难度上来看，第1-4题和第8题属于简单题,基本都是单一知识点的考察；5、6、7、9、10、11属于中等题，是考察对于知识的灵活应用；第12题为较难题，以破译激活码为背景，考查与等比数列求和有关问题，需要学生正确理解分析问题，掌握综合知识以及灵活应用。

从内容上来看，简单题主要包含：集合、几何概型、复数、等差数列、程序框图等；中等题主要包括利用函数性质解不等式、二项式定理、空间几何体三视图侧面积、三角函数图像及变换、抛物线焦点弦最值、指对数互化与利用函数性质比较大小等；较难题为等比数列求和有关问题。

（2）填空题总结：第13和14题属于容易题，考查向量模的计算，第15题为中等题，考察双曲线和圆，需要知识的灵活应用；第16为较难题，考查平面几何中的折叠问题，需要学生正确分析问题，掌握综合知识以及灵活应用。

（3）解答题总结：从内容上来看，由于今年考试大纲删除了几何证明选讲，所以选考题的内容是参数方程与坐标系、不等式的二选一，其中22题侧重考查参数方程和普通方程互化，椭圆参数方程应用，不等式考查不等式求解，恒成立求参数范围，均属于常见题型；必考题目包含：解三角形、立体几何、概率统计、解析几何、导数及其应用。

从难度上来看，17-19属于中等题，是考察对于知识的灵活应用（包含概率统计、立体几何、解三角形）；20、21为较难题，基本上是考察综合题，需要学生正确分析问题，掌握综合知识以及灵活应用（包含圆锥曲线与方程、导数及其应用）。

2017全国卷1理科数学试题解析纯版完美版(最新整理)

2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国I 卷)理科数学一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，共60分)1、已知集合A={x|x<1}，B={x|3x <1}，则( )A ．A∩B={x|x<0}B ．A ∪B=R C ．A ∪B={x|x>1} D ．A∩B=∅解析：A={x|x<1}，B={x|3x <1}={x|x<0}，∴A ∩B={x|x<0}，A ∪B={x|x<1}，选A ．2、如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A ．B ．C ．D ．14π812π4解析：设正方形边长为2，则圆半径为1，则正方形的面积为2×2=4，圆的面积为π×12=π，图中黑色部分的概率为．则此点取自黑色部分的概率为=．故选B ．π2π24π83、设有下面四个命题，其中正确的是( )p 1：若复数z 满足∈R ，则z ∈R ；1zp 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ；p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1=；z 2p 4：若复数z ∈R ，则∈R ．z A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4解析：p 1:设z=a+bi ，则==∈R ，得到b=0，所以z ∈R ．故p 1正确；1z 1a +bi a–bia 2+b2p 2:若z 2=–1，满足z 2∈R ，而z=i ，不满足z 2∈R ，故p 2不正确；p 3:若z 1=1，z 2=2，则z 1z 2=2，满足z 1z 2=R ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故p 3不正确；p 4:实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p 4正确；故选B ．4、记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4+a 5=24，S 6=48，则{a n }的公差为( )A ．1 B ．2 C ．4 D ．8解析：a 4+a 5=a 1+3d+a 1+4d=24，S 6=6a 1+d=48，联立求得6×52{2a 1+7d =24①6a 1+15d =48②)①×3–②得(21–15)d=24，∴6d=24，∴d=4，∴选C ．当然，我们在算的时候引用中间项更快更简单：a 4+a 5=24→a 4.5=12，S 6=48→a 3.5=8，∴d=4．5、函数f(x)在(–∞,+∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)=–1，则满足–1≤f(x –2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[–2,2] B ．[–1,1] C ．[0,4] D ．[1,3]解析：因为f(x)为奇函数，所以f(–1)=–f(1)=1，于是–1≤f(x –2)≤1等价于f(1)≤f(x –2)≤f(–1)．又f(x)在(–∞,+∞)单调递减，∴–1≤x –2≤1，∴1≤x≤3．故选D ．6、(1+)(1+x)6展开式中x 2的系数为( )1x2A ．15 B ．20 C ．30 D ．35解析：(1+)(1+x)6=1·(1+x)6+·(1+x)6．对(1+x)6的x 2项系数为C ==15，1x 21x 2266×52对·(1+x)6的x 2项系数为C =15，∴x 2的系数为15+15=30．故选C ．1x2467、某多面体的三视图如图，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．16解析：由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面，∴S 梯=(2+4)×2÷2=6，S 全=6×2=12．故选B ．8、右面程序框图是为了求出满足3n –2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A ．A>1000和n=n+1B ．A>1000和n=n+2C ．A≤1000和n=n+1D ．A≤1000和n=n+2解析：因为要求A 大于1000时输出，且框图中在“否”时输出，∴“”中不能输入A>1000，排除A 、B ．又要求n 为偶数，且n 初始值为0，“中n 依次加2可保证其为偶，故选D ．9、已知曲线C 1：y=cosx ，C 2：y=sin(2x+)，则下面结论正确的是( )2π3A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲π6线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲π12线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线12π6C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲π12线C 2解析：C 1：y=cosx ，C 2：y=sin(2x+)，首先曲线C 1、C 2统一为一三角函数名，可将C 1：y=cosx 用诱导公式处2π3理．y=cosx=cos(x+–)=sin(x+)．横坐标变换需将ω=1变成ω=2，π2π2π2即y=sin(x+)→y=sin(2x+)=sin2(x+)→y=sin(2x+)=sin2(x+)．π2C 1上各点横坐标缩短为它原来的一半π2π42π3π3注意ω的系数，在右平移需将ω=2提到括号外面，这时x+平移至x+，π4π3根据“左加右减”原则，“x+”到“x+”需加上，即再向左平移．π4π3π12π1210、已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的交点，过F 作两条互相垂直l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，|AB|+|DE|的最小值为( ) A ．16B ．14 C ．12 D ．10解析：设AB 倾斜角为θ．作AK 1垂直准线，AK 2垂直x 轴，易知．{|AF|·cos θ+|GF|=|AK 1|(几何关系)|AK 1|=|AF||GP|=PP ,2))=P)∴|AF|·cosθ+P=|AF|．同理|AF|=，|BF|=，∴|AB|==．P 1–cos θP 1+cos θ2P 1–cos 2θ2Psin 2θ又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为+θ，|DE|==，而y 2=4x ，即P=2．π22P sin 2(\F(π,2)+θ)2Pcos 2θ∴x|AB|+|DE|=2P(+)=4==≥16，当θ=取等号，即|AB|+|DE|最小值为16，故1sin 2θ1cos 2θsin 2θ+cos 2θsin 2θcos 2θ4sin 2θcos 2θ16sin 2θπ4选A ．11、设x ，y ，z 为正数，且2x =3y =5z ，则( )A ．2x<3y<5zB ．5z<2x<3yC ．3y<5z<2xD ．3y<2x<5z解析：取对数：xln2=yln3=zln5，=>，∴2x>3y ．又∵xln2=zln5，则=<．∴2x<5z ，∴3y<2x<5z ，故选D ．x y ln3ln232x z ln5ln25212、几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，在接下来的三项式26，21，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N ：N>100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( ) A ．440B ．330C ．220 D ．110解析：设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．设第n 组的项数为n ，则n 组的项数和为，n(1+n)2由题，N>100，令>100→n≥14且n ∈N +，即N 出现在第13组之后．第n 组的和为=2n–1．n(1+n)21–2n 1–2n 组总共的和为–n=2n –2–n ．2(1–2n )1–2若要使前N 项和为2的整数幂，则N–项的和2k –1应与–2–n 互为相反数，即2k –1=2+n(k ∈N+，n≥14)．n(1+n)2∴k=log 2(n+3)．∴n=29，k=5．∴N=+5=440，故选A ．29×(1+29)2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．1、已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2b |=________．解析：|a +2b |2=(a +2b )2=|a |2+2·|a ||2b |·cos60°+(2|b |)2=22+2×2×2×+22=4+4+4=12，∴|a +2b |==2．121232、设x ，y 满足约束条件，则z=3x–2y 的最小值为_______．{x +2y ≤12x +y ≥–1x–y≤0)解析：不等式组表示的平面区域如图．{x +2y ≤12x +y ≥–1x–y ≤0)2x +y +1=0由z=3x–2y 得y=x–，32z2求z 的最小值，即求直线y=x–的纵截距的最大值32z2当直线y=x–过图中点A 时，纵截距最大32z2由解得A 点坐标为(–1,1)，此时z=3×(–1)–2×1=–5．{2x +y =–1x +2y =1)3、已知双曲线C ：–=1，(a>0，b>0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条x 2a 2y 2b2渐近线交于M ，N 两点，若∠MAN=60°，则C 的离心率为_______．解析：如图，|OA|=a ，|AN|=|AM|=b ．∵∠MAN=60°，∴|AP|=b ，|OP|==，32|OA|2–|PA|2a 2–34b 2∴tanθ==，又∵tanθ=，∴=，解得a 2=3b 2，∴e===． |AP||OP|32b a 2–34b 2b a 32ba 2–34b 2b a 1+b 2a 21+132334、如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ，D 、E 、F 为元O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是一BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为_______．解析：由题，连接OD ，交BC 与点G ，由题，OD ⊥BC ，OG=BC ，即OG 的长度与BC 的长度或成正比．36设OG=x ，则BC=2x ，DG=5–x ．∴三棱锥的高h===．3DG 2–OG 225–10x +x 2–x 225–10x 又∵S △ABC =2·3x·=3x 2，∴V=S △ABC ·h=x 2·=·，312313325–10x 325x 4–10x 3令f(x)=25x 4–10x 3，x ∈(0,)，f'(x)=100x 3–50x 4．52令f'(x)>0，即x 4–2x 3<0，x<2．∴f(x)≤f(2)=80，∴V≤×=4，∴体积最大值为4cm 3．380515三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17–21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．1、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为．a 23sinA(1)求sinBsinC ；(2)若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC 的周长．解析：本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.(1)∵△ABC 面积S=且S=bcsinA ，∴=bcsinA ．∴a 2=bcsinA ．a 23sinA 12a 23sinA 1232∵由正弦定理得sin 2A=sinBsinCsin 2A ，由sinA≠0得sinBsinC=．3223(2)由(1)得sinBsinC=，cosBcosC=．∵A+B+C=π，∴cosA=cos(π–B–C)=–cos(B+C)=sinBsinC–cosBcosC=．231612又∵A ∈(0,π)，∴A=60°，∴sinA=，cosA=．3212由余弦定理得a 2=b 2+c 2–bc=9 ①由正弦定理得b=·sinB ，c=·sinC ，∴bc=·sinBsinC=8②a sinA a sinA a 2sin 2A由①②得b+c=．∴a+b+c=3+，即△ABC 的周长为3+．3333332、(12分)如图，在四棱锥P–ABCD 中，AB ∥CD 中，且∠BAP=∠CDP=90°．(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA=PD=AB=DC ，∠APD=90°，求二面角A–PB–C 的余弦值．解析：(1)证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA ⊥AB ，PD ⊥CD ．又∵AB ∥CD ，∴PD ⊥AB ．又∵PD∩PA=P ，PD 、PA ⊂平面PAD ．∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ．∴平面PAB ⊥平面PAD ．(2)取AD 中点O ，BC 中点E ，连接PO ，OE ，∵AB ∥CD ∴四边形ABCD 为平行四边形，∴OE ∥AB ．由(1)知，AB ⊥平面PAD ，∴OE ⊥平面PAD ，又PO 、AD ⊂平面PAD ．∴OE ⊥PO ，OE ⊥AD ．又∵PA=PD ，∴PO ⊥AD ．∴PO 、OE 、AD 两两垂直∴以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O–xyz ．设PA=2，∴D(–,0,0)、B(,2,0)、P(0,0,)、C(–,2,0)，∴PD =(–,0,–)、PB =(,2,– )、BC =(–2,0,0) 222222222设n =(x,y,z)为平面PBC 的法向量由，得．令y=1，则z=，x=0，可得平面PBC 的一个法向量n =(0,1,)． {n ·PB =0n ·BC =0){x +2y–z =0–2x =0)22∵∠APD=90°，∴PD ⊥PA ．又知AB ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ．∴PD ⊥AB ，又PA∩AB=A ，∴PD ⊥平面PAB即PD 是平面PAB 的一个法向量，PD =(–,0,–)． ∴cos<PD ,n >===–．22PD ·n |PD ||n |–22333由图知二面角A–PB–C 为钝角，所以它的余弦值为–．333、(12分)为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性：②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得1619.97i i x x ===∑，0.212s ==≈，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数为μ的估计值，用样本标准差s 作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过x μσ程进行检查，剔除(–3,+3)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．μσμσ附：若随机变量Z 服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ–3σ<Z<μ+3σ)．0.997416≈0.9592，≈0.09．0.008解析：(1)由题可知尺寸落在(μ–3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974，落在(μ–3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0026．P(X=0)=C (1–0.9974)0·0.997416≈0.9592，P(X≥1)=1–P(X=0)≈1–0.9592=0.0408，016由题可知X~B(16,0.0026)，∴E(X)=16×0.0026=0.0416．(2)①尺寸落在(μ–3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0026，由正态分布知尺寸落在(μ–3σ,μ+3σ)之外为小概率事件，因此上述监控生产过程的方法合理．②(μ–3σ=9.97–3×0.212=9.334，μ+3σ=9.97+3×0.212=10.606，∴(μ–3σ,μ+3σ)=(9.334,10.606)∵9.22∉(9.334,10606)，∴需对当天的生产过程检查，因此剔除9.22．剔除数据之后：μ==10.02．9.97×16–9.2215σ2=[(9.95–10.02)2+(10.12–10.02)2+(9.96–10.02)2+(9.96–10.02)2+(10.01–10.02)2+(9.92–10.02)2+(9.98–10.02)2+(10.04–10.02)2+(10.26–10.02)2+(9.91–10.02)2+(10.13–10.02)2+(10.02–10.02)2+(10.04–10.02)2+(10.05–10.02)2+(9.95–10.02)2]×，∴σ=≈0.09．1150.0084、(12分)已知椭圆C ：+=1(a>b>0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3(–1,)，P 4(1,)中恰有三点在椭圆C 上．x 2a 2y 2b 23232(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A 、B 两点，若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．解析：(1)根据椭圆对称性，必过P 3、P 4．又P 4横坐标为1，椭圆必不过P 1，所以过P 2、P 3、P 4三点将P 2(0,1)、P 3(–1,)代入椭圆方程得，解得a 2=4，b 2=1．∴椭圆C 的方程为：+y 2=1．32x 24(2)①当斜率不存在时，设l ：x=m ，A(m,y A )，B(m,–y A )，k P2A +k P2B =+=–=–1y A –1m –y A –1m 2m得m=2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l ：y=kx+b(b ≠1)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立，整理得(1+4k 2)x 2+8kbx+4b 2–4=0．∴x 1+x 2=，x 1x 2=．{y =kx +b x 2+4y 2–4=0)–8kb 1+4k 24b 2–41+4k 2则k P2A +k P2B =+====–1．y 1–1x 1y 2–1x 2x 2(kx 1+b)–x 2+x 1(kx 2+b)–x 1x 1x 28kb 2–8k–8kb 2+8kb1+4k 24b 2–41+4k 28k(b–1)4(b +1)(b–1)又b ≠1，∴b=–2k–1，此时△=–64k ，存在k 使得△>0成立．∴直线l 的方程为y=kx–2k–1．当x=2时，y=–1．所以l 过定点(2,–1)．5、(12分)已知函数f(x)=ae 2x +(a–2)e x –x ．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a 的取值范围．解析：(1)由于f(x)=ae 2x +(a–2)e x –x ，故f'(x)=2ae 2x +(a–2)e x –1=(ae x –1)(2e x +1)①当a≤0时，ae x –1<0，2e x +1>0．从而f'(x)<0恒成立．f(x)在R 上单调递减②当a>0时，令f'(x)=0，从而x 综上，当a≤0时，f(x)在R lna,+∞)上单调递增(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在R 上单调减，故f(x)在R 上至多一个零点，不满足条件．当a>0时，f min =f(–lna)=1–+lna ．1a令g(a)= f min =1–+lna(a>0)，则g(a)在(0,+∞)上单调增，而g(1)=0．故当0<a<1时，g(a)<0．当1a a=1时g(a)=0．当a>1时若a>1，则f min =1–+lna=g(a)>0，故f(x)>0恒成立，从而f(x)无零点，不满足条件．1a 若a=1，则f min =1–+lna=0，故f(x)=0仅有一个实根x=–lna=0，不满足条件．1a 若0<a<1，则f min =1–+lna<0，注意到–lna>0．f(–1)=++1–>0．1a a e 2a e 2e故f(x)在(–1,–lna)上有一个实根，而又ln(–1)>ln =–lna ．3a 1a且f(ln(–1))=e 的ln(–1)次方·(a·e 的ln(–1)次方+a–2)–ln(–1)=(–1)·(3–a+a–2)–ln(–1)=(–1)–ln(–1)>0．3a 3a 3a 3a 3a 3a 3a 3a故f(x)在(–lna,ln(–1))上有一个实根．3a又f(x)在(–∞,–lna)上单调减，在(–lna,+∞)单调增，故f(x)在R 上至多两个实根．又f(x)在(–1,–lna)及(–lna,ln(–1))上均至少有一个实数根，故f(x)在R 上恰有两个实根．3a综上，0<a<1．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．1、[选修4–4：坐标系与参考方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为(θ为参数)，直线l 的{x =3cos θy =sin θ)参数方程为(t 为参数)．{x =a +4t y =1–t)(1)若a=–1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为，求a ．17解析：(1)a=–1时，直线l 的方程为x+4y–3=0．曲线C 的标准方程是+y 2=1，x 29联立方程，解得：或，则C 与l 交点坐标是(3,0)和(–,)．{x +4y–3=0x 2){x =3y =0)21252425(2)直线l 一般式方程是x+4y–4–a=0．设曲线C 上点P(3cosθ,sinθ)．则P 到l 距离d==，其中tan φ=．依题意得：d max =，解得a=–16或|3cos θ+4sin θ–4–a|17|5sin(θ+φ)–4–a|173417a=8．2、[选修4–5：不等式选讲]已知函数f(x)=–x 2+ax+4，g(x)=|x+1|+|x–1|．(1)当a=1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1]，求a 的取值范围．解析：(1)当a=1时，f(x)=–x 2+x+4，是开口向下，对称轴x=的二次函数．g(x)=|x+1|+|x –1|=12，{2x(x >1)2(–1≤x ≤1)–2x(x <–1))当x ∈(1,+∞)时，令–x 2+x+4=2x ，解得x=．17–12g(x)在(1,+∞)上单调递增，f(x)在(1,+∞)上单调递减．∴此时f(x)≥g(x)解集为(1,]．17–12当x ∈[–1,1]时，g(x)=2，f(x)≥f(–1)=2；当x ∈(–∞,–1)时，g(x)单调递减，f(x)单调递增，且g(–1)=f(–1)=2．综上所述，f(x)≥g(x)解集[–1,]．17–12(2)依题意得：–x 2+ax+4≥2在[–1,1]恒成立．即x 2–ax–2≤0在[–1,1]恒成立．则只须，解出：–1≤a≤1．故a 取值范围是[–1,1]．{12–a·1–2≤0(–1)2–a(–1)–2≤0)“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

2017年高考数学(理科)全国Ⅰ卷试卷分析

2017年高考数学（理科）全国Ⅰ卷试卷分析合肥一中吴建平1.试卷题型稳定，难、易适中选择、填空、解答题基本是按照由易到难的顺序排列，数学的几大主要板块进行了重点考查，主要是数列、三角函数、立体几何、概率统计、解析几何、函数导数以及选考部分参数方程和不等式，试卷结构和往年保持不变，体现了高考的稳定性和延续性，注重基础知识，体现数学素养，考查计算能力，有利于学生的正常发挥。

12题的数学抽象和推理、16题的数学建模、19题的数学应用和数学建模，都是对学生的核心素养进行了很好的考查。

3.体现了基础性和常规性选择题前11题和填空题前3题都比较基础和常规，解答题的17、18及选考题都是常规的考查，和往年的全国一卷及模考题相类似。

体现了通性、通法，学生如有较扎实的基本功和运算能力，解答这些题目应该完全没有问题。

4.体现了综合性、创新性和应用性如选择题12题考查数列的通项、求和及不等式问题，16题考查了平面图形的折叠、函数模型的建立、锥体体积公式和函数最值的求法。

19题数学应用问题贴近生活、贴近学生，具有浓厚的生活气息，体现了数学和实际的紧密结合，对学生阅读理解、提取信息和数据处理能力要求较高，20题考查运算能力、特殊和一般关系问题，第21题第（1）问要求考生求出导函数的零点，进而对参数进行分类讨论，掌握函数的单调性；在此基础上，第（2）问要求根据函数有两个零点的条件，确定参数的取值范围，试题层层深入，为考生解答提供广阔的想象空间。

在知识的交汇点处命题，对学生的理性思维进行了很好的考查。

总之，整份试卷加强对学生理性思维的考查，渗透了数学文化，突出对创新应用能力的考查。

试题关注社会发展，引导考生运用所学数学知识解决生活实际问题，富有时代气息。

试卷遵循考试大纲的各项规定，试卷结构保持稳定，难易适度，各种难度的试题比例适当。

2017年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含答案及解析)

2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．2C．1D．02．（5分）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（）A．B．C．D．23．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．（5分）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为（）A．﹣80B．﹣40C．40D．805．（5分）已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，且与椭圆+=1有公共焦点，则C的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1 6．（5分）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A．5B．4C．3D．28．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．C．D．9．（5分）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24B．﹣3C．3D．810．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）A．﹣B．C．D．112．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3B．2C．D．2二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

2017年高考真题(全国Ⅰ卷)数学理科含答解析

2017年普通高等学校招生统一考试全国I 卷理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅【答案】A 【解析】试题分析：由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以{|1}{|0}A B x x x x =<<{|0}x x =<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=< ，故选A.【考点】集合的运算，指数运算性质【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π4【答案】B 【解析】试题分析：设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=，选B.秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率p 满足1142p <<，故选B. 【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A . 3．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B【考点】复数的运算与性质【名师点睛】分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成i(,)z a b a b =+∈R 的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C 【解析】【考点】等差数列的基本量求解【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D 【解析】试题分析：因为()f x 为奇函数且在(,)-∞+∞单调递减，要使1()1f x -≤≤成立，则x 满足11x -≤≤，从而由121x -≤-≤得13x ≤≤，即满足1(2)1f x -≤-≤成立的x 的取值范围为[1,3]，选D. 【考点】函数的奇偶性、单调性【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题，要充分利用奇、偶函数的性质与单调性解决不等式和比较大小问题，若()f x 在R 上为单调递增的奇函数，且12()()0f x f x +>，则120x x +>，反之亦成立. 6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C 【解析】试题分析：因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x ++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为22261C 15x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为442621C 15x x x⋅=，故2x 的系数为151530+=，选C.【考点】二项式定理【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含2x 的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的r不同.7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【解析】试题分析：由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为12(24)2122⨯+⨯⨯=，故选B.【考点】简单几何体的三视图【名师点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图. 8．下面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A>1 000和n=n+1 B．A>1 000和n=n+2C．A≤1 000和n=n+1 D．A≤1 000和n=n+2【答案】D【考点】程序框图【名师点睛】解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义.本题巧妙地设置了两个空格需要填写，所以需要抓住循环的重点，偶数该如何增量，判断框内如何进行判断可以根据选项排除.9．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+2π3)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2 【答案】D 【解析】试题分析：因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x =+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos 2y x =，再将曲线向左平移π12个单位长度得到2C ，故选D.【考点】三角函数图象变换【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住ππsin cos(),cos sin()22αααα=-=+；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言.10．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【考点】抛物线的简单几何性质【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则22||sin pAB α=，则2222||πcos sin (+)2p pDE αα==，所以222221||||4(cos sin cos p p AB DE ααα+=+=+ 222222222111sin cos )4()(cos sin )4(2)4(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα=++=++≥⨯+=. 11．设x 、y 、z 为正数，且235x y z==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D【考点】指、对数运算性质【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k -则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为 11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭，要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k 的部分和，设1212221t t k -+=+++=- ，所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=，所以对应满足条件的最小整数293054402N ⨯=+=，故选A. 【考点】等差数列、等比数列【名师点睛】本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |= .【答案】23 【解析】试题分析：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+= a b a a b b ，所以|2|1223+==a b . 秒杀解析：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为23.【考点】平面向量的运算【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.14．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，，，则32z x y =-的最小值为 .【答案】5- 【解析】试题分析：不等式组表示的可行域如图所示，易求得1111(1,1),(,),(,)3333A B C ---，由32z x y =-得322zy x =-在y 轴上的截距越大，z 就越小，所以，当直线32z x y =-过点A 时，z 取得最小值，所以z 的最小值为3(1)215⨯--⨯=-. 【考点】线性规划【名师点睛】本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.15．已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为 .【答案】233【解析】试题分析：如图所示，作AP MN ⊥，因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则MN 为双曲线的渐近线by x a=上的点，且(,0)A a ，||||AM AN b ==，而AP MN ⊥，所以30PAN ∠= ，点(,0)A a 到直线by x a=的距离22||||1b AP b a =+，在Rt PAN △中，||cos ||PA PAN NA ∠=，代入计算得223a b =，即3a b =，由222c a b =+得2c b =，所以22333c b e a b ===.【考点】双曲线的简单几何性质【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b ；③双曲线的顶点到渐近线的距离是abc. 16．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为.【答案】415 【解析】试题分析：如下图，连接DO 交BC 于点G ，设D ，E ，F 重合于S 点，正三角形的边长为x (x >0)，则1332OG x =⨯36x =.∴356FG SG x ==-， 222233566SO h SG GO x x ⎛⎫⎛⎫==-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3553x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴三棱锥的体积21133553343ABC V S h x x ⎛⎫=⋅=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭△451535123x x =-. 设()45353n x x x =-，x >0，则()3453203n x x x '=-，令()0n x '=，即43403x x -=，得43x =，易知()n x 在43x =处取得最大值.∴max 15485441512V =⨯⨯-=.【考点】简单几何体的体积【名师点睛】对于三棱锥最值问题，需要用到函数思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导的方式进行解决.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A.（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 【解析】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式21sin 23sin a ac B A=，再利用正弦定理将边化成角，从而得出sin sin B C 的值；（2）由1cos cos 6B C =和2sin sin 3B C =计算出1cos()2B C +=-，从而求出角A ，根据题设和余弦定理可以求出bc 和b c +的值，从而求出ABC △的周长为333+.【考点】三角函数及其变换【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 18．（12分）如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠= .（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠= ，求二面角A −PB −C 的余弦值. 【解析】试题解析：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面P AD . 又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD . （2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA 的方向为x 轴正方向，||AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.由（1）及已知可得2(,0,0)2A ，2(0,0,)2P ，2(,1,0)2B ，2(,1,0)2C -. 所以22(,1,)22PC =-- ，(2,0,0)CB = ，22(,0,)22PA =- ，(0,1,0)AB = .设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量，则0,0,PC CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即220,2220,x y z x ⎧-+-=⎪⎨⎪=⎩可取(0,1,2)=--n .设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量，则0,0,PA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ m m 即220,220.x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩可取(1,0,1)=m . 则3cos ,||||3⋅==-<>n m n m n m ，所以二面角A PB C --的余弦值为33-. 【考点】面面垂直的证明，二面角平面角的求解【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键. 19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，16162221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2≈，0.0080.09≈．【解析】试题解析：（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(16,0.0026)X B .因此16(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-≈.X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=.（2）（i ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.（ii ）由9.97,0.212x s =≈，得μ的估计值为ˆ9.97μ=，σ的估计值为ˆ0.212σ=，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=，因此μ的估计值为10.02.162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈，因此σ的估计值为0.0080.09≈. 【考点】正态分布，随机变量的期望和方差【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的3σ原则. 20．（12分）已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，32），P 4（1，32）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 【解析】试题分析：（1）根据3P ，4P 两点关于y 轴对称，由椭圆的对称性可知C 经过3P ，4P 两点.另外由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此234,,P P P 在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C 的方程；（2）先设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，再设直线l 的方程，当l 与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l ：y kx m =+（1m ≠），将y kx m =+代入2214x y +=，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x 1+x 2，x 1x 2，进而表示出12k k +，根据121k k +=-列出等式表示出k 和m 的关系，从而判断出直线恒过定点.试题解析：（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点. 又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此22211,131,4b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故C 的方程为2214x y +=.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t ，242t -），（t ，242t --）.则22124242122t t k k t t---++=-=-，得2t =，不符合题设. 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=. 由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841kmk -+，x 1x 2=224441m k -+.而12121211y y k k x x --+=+ 121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，于是l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--，所以l 过定点（2，1-）.【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简. 21．（12分）已知函数2()e (2)e x x f x a a x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【解析】试题分析：（1）讨论()f x 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对a 按0a ≤，0a >进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若0a ≤，()f x 至多有一个零点.若0a >，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，求出最小值1(ln )1ln f a a a-=-+，根据1a =，(1,)a ∈+∞，(0,1)a ∈进行讨论，可知当(0,1)a ∈时有2个零点.易知()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点；设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则0000()e (e2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.从而可得a 的取值范围为(0,1).试题解析：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()2e (2)e 1(e 1)(2e 1)x x x x f x a a a '=+--=-+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln f a a a-=-+. ①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点； ③当(0,1)a ∈时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<. 又422(2)e (2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为(0,1).【考点】含参函数的单调性，利用函数零点求参数取值范围【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()f x 有2个零点求参数a 的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断y a =与其交点的个数，从而求出a 的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()f x 有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 【解析】试题分析：（1）先将曲线C 和直线l 的参数方程化成普通方程，然后联立两方程即可求出交点坐标；（2）由直线l 的普通方程为440x y a +--=，设C 上的点为(3cos ,sin )θθ，易求得该点到l 的距离为|3cos 4sin 4|17a d θθ+--=.对a 再进行讨论，即当4a ≥-和4a <-时，求出a 的值.试题解析：（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由22430,19x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得3,0x y =⎧⎨=⎩或21,2524.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-. （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为|3cos 4sin 4|17a d θθ+--=.当4a ≥-时，d 的最大值为917a +.由题设得91717a +=，所以8a =；当4a <-时，d 的最大值为117a -+.由题设得11717a -+=，所以16a =-. 综上，8a =或16a =-. 【考点】坐标系与参数方程【名师点睛】化参数方程为普通方程的关键是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决. 23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）已知函数2–4()x ax f x =++，11()x x g x =++-||||.（1）当a =1时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【解析】试题分析：（1）将1a =代入，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤，对x 按1x <-，11x -≤≤，1x >讨论，得出不等式的解集；（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =.若()()f xg x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥.则()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，从而得11a -≤≤.试题解析：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤.① 当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而11712x -+<≤.- 21 - 所以()()f x g x ≥的解集为117{|1}2x x -+-≤≤.【考点】绝对值不等式的解法，恒成立问题【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图象解题.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2017年高考全国卷II理科数学试卷评析
人民网-教育频道作者：2017-06-08
2017年高考课标全国卷II理科数学遵循《课程标准》的基本理念，严格贯彻《2017年全国(新课标卷)考试说明》基本要求，试卷以知识为载体，以思维能力为核心，全面考查学生的的推理论证，运算，空间想象，数据处理以及应用和创新能力。

具体来说有以下几个特点：
全面检测双基，突出考查重点。

试卷注重对基础知识与基本技能的考查，贴近教学实际，试卷中的每种题型均设置了数量较多的基础题，如第3题以我国古代数学名著《算法统宗》中的数学问题为背景考查学生对数列基础知识的掌握，具有一定人文特色。

同时试卷中数学知识体系的主干内容占有较高比例，如对函数与导数、三角函数与解三角形、立体几何、解析几何、数列、概率统计等内容有非常高比重的考查，充分体现了高考对主干知识的重视程度。

强调通性通法，坚持能力立意。

试卷注重通性通法在解题中的运用，都是运用基本概念分析问题，基本公式运算求解、基本定理推理论证、基本数学思想方法分析和解决问题，这有利于引导中学数学教学回归基础，避免一味钻研偏难怪试题，从而使学生能够在数学学习上获得正常的发展，如第7题考查逻辑推理能力，凸显数学既是一门工具性的基础学科更是一门逻辑思维的学科，如选择第12题考察向量，难度较大，但仍然不离平时强调的定比分点以及相关结论。

同时试卷坚持能力立意，全面考查运算求解、空间想象、抽象概括、推理论证、数据处理以及综合运用有关知识分析和解决问题的能力，其中运算求解能力贯穿试卷始终。

考查数学素养，关注数学应用。

数学素养涵盖数学的基础知识、基本技能和它们所体现的数学思想方法与能力，以及在此基础上的应用意识和创新意识，如第18题以养殖水产为题材，贴近生活实际，所用数学知识(计数和概率)也不复杂，考查学生的阅读理解能力与运用数学模型解决实际问题的能力，更贴近学生应用能力的真实水平。

难度结构合理，提高区分层次。

试卷难度结构合理，由易到难，循序渐进，具有一定梯度，能较好区分不同程度的学生，有利于高校选拔，如选择题第1-9题，填空题第14题、解答题的第17、18题以及选做题的第23、24题都属于基础题，绝大多数学生都能顺利解答;选择题第10、11题，填空题13、15，解答题第19、22题难度中等，对中档程度学生不会构成太大困难;作为能力把关的第12、16、20、21题知识综合性较强，难度较大，能力要求更高。

但这部分试题的设置也是由浅入深，上手容易，但要完整解答并非易事。

如第21题第(1)问考查导数在不等式恒成立问题中的应用，问题常规，但需要学生在这过程中合理的构造函数，强调导数的工具作用，第(2)问以第(1)问的结果为铺垫，考查学生的知识迁移能力、思维灵活性、解题创造性。

学而思高考研究中心认为2017年高考课标全国卷II对中学数学教学起到了很好的导向作用，主要表现为回归课本、夯实基础，重视数学思想方法，加强数学应用与数学思维能力的培养，实现从结果教育到过程教育的转变。