《概率论与数理统计》习题 第五章 数理统计的基本概念

第五章 数理统计的基本概念

一. 填空题

1. 设X 1, X 2, …, X n 为来自总体N(0, σ2

), 且随机变量)1(~)

(22

1

χ∑==n

i i

X C Y , 则常数

C=___.

解.

∑=n

i i

X

1

~ N(0, n σ2

),

)1,0(~1

N n X

n

i i

σ

∑=

所以

2

1,1σ

σ

n c n c =

=

.

2. 设X 1, X 2, X 3, X 4来自正态总体N(0, 22)的样本, 且2

43221)43()2(X X b X X a Y -+-=, 则a = ______, b = ______时, Y 服从χ2分布, 自由度为______. 解. X 1－2X 2～N(0, 20), 3X 3－4X 4～N(0, 100)

)1,0(~2022

1N X X -,

)1,0(~1004343N X X -

20

1

,20

1

=

=

a a ; 100

1,100

1

=

=

b b . Y 为自由度2的χ2分布.

3. 设X 1, X 2, …, X n 来自总体χ2(n)的分布, 则._____)(______,)(==X D X E 解. 因为X 1, X 2, …, X n 来自总体χ2(n), 所以

E(X i ) = n, D(X i ) = 2n (i = 1, 2, …, n)

,)(n X E = 22)

()(2

2

1=⋅=

=∑=n

n

n n

X D X D n

i i

二. 单项选择题

1. 设X 1, X 2, …, X n 为来自总体N(0, σ2

)的样本, 则样本二阶原点矩∑==n i i X n A 1

2

21的方差为

(A) σ2

(B) n 2

σ (C) n 42σ (D) n

4

σ

解. X 1, X 2, …, X n 来自总体N(0, σ2), 所以

,1)(),1(~)(

222=σ

χσ

i

i

X E X 2)(

2=σ

i

X D

n

n n

n

X D n

X D A D n

i i

n

i i

4

2

42

21

4

212222))(

()

()(σσσ

σ=⋅=

=

=

∑∑==. (C)是答案. 2. 设X 1, X 2为来自正态总体N(μ,σ2)的样本, 则X 1 + X 2与X 1－X 2必 (A) 线性相关 (B) 不相关 (C) 相关但非线性相关 (D) 不独立 解. 假设 Y 1 = X 1 + X 2, Y 2 = X 1－X 2 所以 E(Y 2) = E(X 1)－E(X 2) = 0.

cov(Y 1, Y 2) = E(Y 1Y 2)－E(Y 1)E(Y 2) = E(0)()()2

22

12

22

1=-=-X E X E X X . (B)是答案.

3. 设X 服从正态分布N(0, 22), 而X 1, X 2, …, X 15为来自总体X 的简单随机样本, 则随机变

量)

(22

152112

10

21X X X X Y ++=所服从的分布为 (A) χ2(15) (B) t(14) (C) F(10, 5) (D) F(1, 1)

解. )10(~42

21021χX X +, )5(~4

22

15211χX X +

所以 )5,10(~20

402

15

211210

21F X X X X ++++ , 即 )5,10(~)(22152112

1021F X X X X Y ++= (C)是答案.

三. 计算题

1. 设X 1, X 2, …, X 10为总体N(0, 0.32

)的一个样本, 求∑=>10

1

2)44.1(

i i

X

P .

解. 因为X 1, X 2, …, X 10为总体N(0, 0.32)的一个样本, 所以

)10(~3

.010

122

2

∑=i i X χ ()44.1(10

1

2

P X P i i

=>∑=1.0)16)10(()09.044.13.010

12

2

2=>=>∑=i i P X χ 2. 从一正态总体中抽取容量为10的一个样本, 若有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上, 试求总体的标准差. 解. 因为总体X 服从N(μ, σ2), 所以

)1,0(~10

/N X σμ

-. 由