二阶非线性泛函微分方程解的振动性与渐近性
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t →+∞
∫t
∞
0
q(t )dt < ∞ ； (ii) ∀ε > 0,
dy < ∞ ；(iii) a ' (t ) ≥ 0, 且 τ (t ) ≤ t ，并且定理 [ f ( y)]1/ σ ∞ 1 1 中 的 其 它 条 件 均 成 立 ， 另 外 (iv) τ '(t )( ⋅ t0 a (t ) ∞ 1
(且不恒为 0) (3)
考虑如下两类二阶非线性泛函微分方程 (1) (a (t )( y ' (t )) σ )'+ q (t ) f ( y (τ (t ))) g ( y ' (t )) = 0 σ ( a (t )( y ' (t )) )'+ q (t ) F ( y (t ), y (τ (t )) g ( y ' (t )) = 0 (2) 其中 t ≥ t 0 ， σ 为正常数，当 t ≥ t 0 时， a(t ) > 0 ， q(t ) ≥ 0 ， 且 q(t ) 不 最 终 恒 为 0 ， τ ' (t ) > 0 ， 且 limτ (t ) = +∞ .关于方程(1)、(2)及其特殊形式的振动
1
σ
y ' (t1 )(
0 = (a (t )( y '(t )σ )) '+ q (t ) f ( y (τ (t ))) g ( y '(t )) ≤ (a (t ))( y '(t ))σ ) '+ Aq (t ) f ( y (τ (t )))
(8)
由 t1 到 t 积分（8）式有
结合 σ =偶数/奇数, 由 (a (t )( y ' (t )) σ )' ≥ 0 可得:
a (t1 )( y '(t1 ))σ > 0 ,于是有:
1 1σ ) >0 a (t ) 由 (H2) 可 知 t 充 分 大 时 必 有 y(t)>0, 与 t ≥ t1 时 y (t ) < 0 最终成立矛盾. 情形 2 设 t ≥ t1 ≥ T0 时， 且 y ' (τ (t )) < 0 ， y ' (t ) < 0 ， y ' (t ) ≥ (a (t1 ))
情形 2 设 t ≥ t1 ≥ T0 时, y ' (t ) < 0 ,且 y ' (τ (t )) < 0 ， 由定理的条件,可知(5)、(6)仍然成立，从而由(6)的 右端为 − ∞ ，左端非负导出矛盾. σ =偶数/奇数时, 结合定理的条件，由方程(1) 可知， （ i ） 当 y (t ) > 0 时 ， ( a (t )( y ' (t )) σ )' ≤ 0 且 (ii)当 y (t ) < 0 时，(a (t )( y ' (t )) σ )' ≥ 0 a (t )( y ' (t )) σ ≥ 0 ； 且 a (t )( y ' (t )) σ ≥ 0 ，从而当 y (t ) 不振动时必有 y ' (t ) 也是不振动的. (I)当 t ≥ T0 ≥ t 0 时， y (t ) > 0 ，且 y (τ (t )) > 0 . 情形 1 当 t ≥ t1 ≥ T0 时， y ' (t ) > 0 且 y '(τ (t )) > 0 . 由定理的条件，可知(5)、(6)式均成立，结合(6)式可 类似地导出矛盾. 情形 2 当 t ≥ t1 ≥ T0 时, y ' (t ) < 0 ,且 y '(τ (t )) < 0 . 由 y (t ) > 0 可知，当 t → +∞ 时 y (t ) 存在非负的极限. 设 lim y (t ) = M > 0 ,则当 t ≥ t1 时, f ( y (τ (t ))) ≥ f ( M ) .
第 17 卷 第 2 期 2005 年 6 月
湖 南 文 理 学 院 学 报（自 然 科 学 版） Journal of Hunan University of Arts and Science(Natural Science Edition)
Vol. 17 No. 2 Jun . 2005
文章编号：1672-6146(2005)02-0008-03
( H 0 ) uf (u ) > 0(u ≠ 0), 且 f ' (u ) ≥ 0 ；
( H 1 ) 存在常数， A > 0 使 g (u ) ≥ A ；
[1-8]
(5)
a(t )( y '(t ))σ f '( y (τ (t ))) y '(τ (t ))τ '(t ) < − Aq(t ) [ f ( y (τ (t )))]2
a(t )( y '(t ))σ − q(t ) f ( y (τ (t ))) g ( y '(t )) )' = − y (t ) y (t )
a(t )( y '(t ))σ +1 − q(t ) f ( y (τ (t ))) g ( y '(t )) ≤ ≤0 y 2 (t ) y (t )
∫ε
来自百度文库
±∞
∫
∫t
q( s)ds) σ dt = ∞ ，则定理 1 的结论成立.
证明 类似于定理 1 的证明，在定理 2 的条件 下， y (t ) 是方程(1)的不振动解时，则 y ' (t ) 也是不振 动的.下面我们分情形进行证明. σ =奇数/奇数时 (I)设 t ≥ T0 ≥ t 0 时， y (t ) > 0 且 y (τ (t )) > 0 . 情形 1 当 t ≥ t1 ≥ T0 时，y ' (t ) > 0 且 y′(τ (t )) > 0 . 则由(5)、(6)有，当 t ≥ t1 时:
a (t )( y '(t )σ ) ≥ a(t1 )( y '(t1 ))σ + A∫ q ( s)(− f ( y (τ ( s ))))ds ≥ a (t1 )( y '(t1 ))σ > 0
t1 t
a (t1 ) 1σ ) <0 a(t ) 从而当 t → +∞ 时，必有 y (t ) → −∞ .因此， y (t ) < 0 时，必有 lim y (t ) = −∞ .定理 1 证毕. y ' (t ) ≤ y ' (t1 )(
t →+∞
t
t1
y ' (t ) ≤ (
a (t1 ) 1σ ) y ' (t1 ) < 0 a (t )
1
(7**)
由 t1 到 t 积分上式有:
y (t ) ≤ y (t1 ) + (a(t1 ))
σ
y '(t1 ) ∫ [
t1
t
1 1σ ] ds , a( s )
(II)设 t ≥ T0 ≥ t 0 时， y (t ) < 0 ，且 y (τ (t )) < 0 . 情形 1 当 t ≥ t1 ≥ T0 时, y ' (t ) > 0 ,且 y '(τ (t )) > 0 .
t →+∞
由定理的条件可知 y (t ) 不振动时， y ' (t ) 也不振动. 下面分情形导出矛盾: (I)设 t ≥ T0 ≥ t 0 时， y (t ) > 0 ， y (τ (t )) > 0 . 情形 1 设 t ≥ t1 ≥ T0 时, y′(t ) > 0 ， 且 y ' (τ (t )) > 0 , 又由方程(1)有:
τ ′(t ) > 0 ，且 lim τ (t ) = +∞ .利用一些分析的技巧，得到了
t →+∞
(i) σ =奇数/奇数时，方程(1)振动； (ii) σ =偶数/奇数时，方程(1)的解或者振动；或
t → +∞
t → +∞
者有 lim y (t ) = 0 ；或者 lim y (t ) = −∞ . 证明
t →+∞
(8*)
注 1 由于本文在考虑文[1-4]中微分方程在具 有时滞的广泛情形，我们的结论不要求 a(t ) 是可微 函数，而且在本文的条件下，定理 1 比文[1-4]中的 相应结论更广泛， 从而推广了文[1-5]中的相应结论. 定 理 2 假 设 (i)
a(t ) 1 有 (8**) y ' (t ) ≥ ( 1 ) σ y ' (t1 ) > 0 a (t ) 从而当 t 充分大时，必有 y (t ) > 0 ，与假设矛盾.
二阶非线性泛函微分方程解的振动性与渐近性
赵敏之 1, 赵智国 2
(1.湖南商务职业技术学院, 湖南 长沙 410205; 2.中国人民保险公司湖南分公司 信息技术处, 湖南 长沙 410008)
摘 要 ： 讨 论 了 两 类 二 阶 非 线 性 泛 函 微 分 方 程 (a(t ) ⋅
则
( y '(t ))σ ) '+ q(t ) f ( y(τ (t ))) g ( y '(t )) = 0 , (a(t ) ⋅ ( y '(t ))σ ) '+ q (t ) F ( y (t ), y (τ (t )) g ( y '(t )) = 0 ,其中 t ≥ t 0 ， σ 为正常数， 当 t ≥ t 0 时， a(t ) > 0 ， q (t ) ≥ 0 ，且 q (t ) 不最终恒为 0 ，
σ =奇数/奇数时,设 y (t ) 是方程(1)的一个
这两类方程的解振动与渐近性的充分性判据， 所获结果可分 别应用于 σ =奇/奇与 σ =偶/奇的情形.改进并推广了已有文 献中的相应结论. 关键词：泛函微分方程；振动；渐近性； 中图分类号: O 175 文献标识码：A
非振动解，由方程(1)有
(
( a(t )( y '(t ))σ ) ' = −q(t ) g ( y '(t )) − f ( y (τ (t )))
与渐近性的研究已经取得了丰富的结果 ，但是， 对于 σ 既可以为奇数/奇数，又可以为偶数/奇数的 振动与渐近性的判据相对较少 .本文利用一些分析 的技巧，得到方程(1)、(2)解振动与渐近性的充分性 判据，所获结果可分别应用于 σ =奇/奇与 σ =偶/奇 的情形.改进推广了已有文献[1-5]中的相应结论. 我们称一个非平凡函数 y (t ) 为方程(1)(或(2))的 一个解是指 y (t ) 满足式 (1)( 或式 (2)). 这个解振动是 指它在某半直线[t0,+∞)上有定义且零点集为无界集; 否则称它为不振动的 . 若方程 (1)( 或 (2)) 的所有解振 动，则称方程(1)(或(2))是振动的.为了方便，我们总 假定所考虑的函数在其定义域内连续. 定理 1 如果
t1
a(t )( y ' (t )) ≤ a(t1 )( y ' (t1 ))
结合条件 ( H 1 ) 有
σ
σ
q ( s )ds ≤ a (t1 )( y '(t1 ))σ − Af ( M ) ∫ q ( s )ds
则由条件 ( H 2 ) 可知上式右端为 − ∞，与左端非负矛 盾.从而有 lim y (t ) = 0 .
(a (t )( y '(t ))σ ) '+ Aq (t ) f ( y (τ (t ))) ≤ (a (t )( y '(t ))σ ) '+ q (t ) f ( y (τ (t ))) g ( y '(t )) 从而由方程(1)有，当 t ≥ t1 时:
(H 2 )
∫
+∞
t0
q( s)ds = +∞ ，
对(5)由 t1 到 t 积分可得 a(t )( y '(t ))σ a(t1 )( y '(t1 ))σ < −A f ( y (τ (t ))) f ( y(τ (t1 )))
∫
t
t1
q( s)ds
(6)
由条件 ( H 2 ) 可知，当 t → +∞ 时，右端为 − ∞ ，与 左边非负矛盾. 情形 2 设 t ≥ t1 ≥ T0 时，y ' (t ) < 0 ， 且 y '(τ (t )) < 0 ，由 ( H 1 ) 有，当 t ≥ t1 时,
由 a (t1 )(( y ' (t1 )) σ )' ≥ 0 可得,当 t ≥ t1 时 a (t )( y '(t ))σ ≥
于是由（H2）可知，当 t 充分大时，必有 y (t ) < 0 ， 与假设矛盾. (II)设 t ≥ T0 ≥ t 0 时， y (t ) < 0 ， y (τ (t )) < 0 . 情形 1 设 t ≥ t1 ≥ T0 时, y ' (t ) > 0 ,且 y ' (τ (t )) > 0 , 由 ( H 1 ) 有， t ≥ t1 时
∫
+∞
1 [ a (t )]
1
,
t0
σ
dt = +∞ ；
第2期
赵敏之, 赵智国
二阶非线性泛函微分方程解的振动性与渐近性
9
t
(a(t)( y' (t))σ )'≤ − Aq(t ) f ( y(τ (t))) < 0 由 t1 到 t 积分(7)式有
(7) (7 )
*
a (t )( y '(t ))σ ≤ a (t1 )( y '(t1 ))σ − A∫ f ( y (τ (t ))) ⋅
∫t
∞
0
q(t )dt < ∞ ； (ii) ∀ε > 0,
dy < ∞ ；(iii) a ' (t ) ≥ 0, 且 τ (t ) ≤ t ，并且定理 [ f ( y)]1/ σ ∞ 1 1 中 的 其 它 条 件 均 成 立 ， 另 外 (iv) τ '(t )( ⋅ t0 a (t ) ∞ 1
(且不恒为 0) (3)
考虑如下两类二阶非线性泛函微分方程 (1) (a (t )( y ' (t )) σ )'+ q (t ) f ( y (τ (t ))) g ( y ' (t )) = 0 σ ( a (t )( y ' (t )) )'+ q (t ) F ( y (t ), y (τ (t )) g ( y ' (t )) = 0 (2) 其中 t ≥ t 0 ， σ 为正常数，当 t ≥ t 0 时， a(t ) > 0 ， q(t ) ≥ 0 ， 且 q(t ) 不 最 终 恒 为 0 ， τ ' (t ) > 0 ， 且 limτ (t ) = +∞ .关于方程(1)、(2)及其特殊形式的振动
1
σ
y ' (t1 )(
0 = (a (t )( y '(t )σ )) '+ q (t ) f ( y (τ (t ))) g ( y '(t )) ≤ (a (t ))( y '(t ))σ ) '+ Aq (t ) f ( y (τ (t )))
(8)
由 t1 到 t 积分（8）式有
结合 σ =偶数/奇数, 由 (a (t )( y ' (t )) σ )' ≥ 0 可得:
a (t1 )( y '(t1 ))σ > 0 ,于是有:
1 1σ ) >0 a (t ) 由 (H2) 可 知 t 充 分 大 时 必 有 y(t)>0, 与 t ≥ t1 时 y (t ) < 0 最终成立矛盾. 情形 2 设 t ≥ t1 ≥ T0 时， 且 y ' (τ (t )) < 0 ， y ' (t ) < 0 ， y ' (t ) ≥ (a (t1 ))
情形 2 设 t ≥ t1 ≥ T0 时, y ' (t ) < 0 ,且 y ' (τ (t )) < 0 ， 由定理的条件,可知(5)、(6)仍然成立，从而由(6)的 右端为 − ∞ ，左端非负导出矛盾. σ =偶数/奇数时, 结合定理的条件，由方程(1) 可知， （ i ） 当 y (t ) > 0 时 ， ( a (t )( y ' (t )) σ )' ≤ 0 且 (ii)当 y (t ) < 0 时，(a (t )( y ' (t )) σ )' ≥ 0 a (t )( y ' (t )) σ ≥ 0 ； 且 a (t )( y ' (t )) σ ≥ 0 ，从而当 y (t ) 不振动时必有 y ' (t ) 也是不振动的. (I)当 t ≥ T0 ≥ t 0 时， y (t ) > 0 ，且 y (τ (t )) > 0 . 情形 1 当 t ≥ t1 ≥ T0 时， y ' (t ) > 0 且 y '(τ (t )) > 0 . 由定理的条件，可知(5)、(6)式均成立，结合(6)式可 类似地导出矛盾. 情形 2 当 t ≥ t1 ≥ T0 时, y ' (t ) < 0 ,且 y '(τ (t )) < 0 . 由 y (t ) > 0 可知，当 t → +∞ 时 y (t ) 存在非负的极限. 设 lim y (t ) = M > 0 ,则当 t ≥ t1 时, f ( y (τ (t ))) ≥ f ( M ) .
第 17 卷 第 2 期 2005 年 6 月
湖 南 文 理 学 院 学 报（自 然 科 学 版） Journal of Hunan University of Arts and Science(Natural Science Edition)
Vol. 17 No. 2 Jun . 2005
文章编号：1672-6146(2005)02-0008-03
( H 0 ) uf (u ) > 0(u ≠ 0), 且 f ' (u ) ≥ 0 ；
( H 1 ) 存在常数， A > 0 使 g (u ) ≥ A ；
[1-8]
(5)
a(t )( y '(t ))σ f '( y (τ (t ))) y '(τ (t ))τ '(t ) < − Aq(t ) [ f ( y (τ (t )))]2
a(t )( y '(t ))σ − q(t ) f ( y (τ (t ))) g ( y '(t )) )' = − y (t ) y (t )
a(t )( y '(t ))σ +1 − q(t ) f ( y (τ (t ))) g ( y '(t )) ≤ ≤0 y 2 (t ) y (t )
∫ε
来自百度文库
±∞
∫
∫t
q( s)ds) σ dt = ∞ ，则定理 1 的结论成立.
证明 类似于定理 1 的证明，在定理 2 的条件 下， y (t ) 是方程(1)的不振动解时，则 y ' (t ) 也是不振 动的.下面我们分情形进行证明. σ =奇数/奇数时 (I)设 t ≥ T0 ≥ t 0 时， y (t ) > 0 且 y (τ (t )) > 0 . 情形 1 当 t ≥ t1 ≥ T0 时，y ' (t ) > 0 且 y′(τ (t )) > 0 . 则由(5)、(6)有，当 t ≥ t1 时:
a (t )( y '(t )σ ) ≥ a(t1 )( y '(t1 ))σ + A∫ q ( s)(− f ( y (τ ( s ))))ds ≥ a (t1 )( y '(t1 ))σ > 0
t1 t
a (t1 ) 1σ ) <0 a(t ) 从而当 t → +∞ 时，必有 y (t ) → −∞ .因此， y (t ) < 0 时，必有 lim y (t ) = −∞ .定理 1 证毕. y ' (t ) ≤ y ' (t1 )(
t →+∞
t
t1
y ' (t ) ≤ (
a (t1 ) 1σ ) y ' (t1 ) < 0 a (t )
1
(7**)
由 t1 到 t 积分上式有:
y (t ) ≤ y (t1 ) + (a(t1 ))
σ
y '(t1 ) ∫ [
t1
t
1 1σ ] ds , a( s )
(II)设 t ≥ T0 ≥ t 0 时， y (t ) < 0 ，且 y (τ (t )) < 0 . 情形 1 当 t ≥ t1 ≥ T0 时, y ' (t ) > 0 ,且 y '(τ (t )) > 0 .
t →+∞
由定理的条件可知 y (t ) 不振动时， y ' (t ) 也不振动. 下面分情形导出矛盾: (I)设 t ≥ T0 ≥ t 0 时， y (t ) > 0 ， y (τ (t )) > 0 . 情形 1 设 t ≥ t1 ≥ T0 时, y′(t ) > 0 ， 且 y ' (τ (t )) > 0 , 又由方程(1)有:
τ ′(t ) > 0 ，且 lim τ (t ) = +∞ .利用一些分析的技巧，得到了
t →+∞
(i) σ =奇数/奇数时，方程(1)振动； (ii) σ =偶数/奇数时，方程(1)的解或者振动；或
t → +∞
t → +∞
者有 lim y (t ) = 0 ；或者 lim y (t ) = −∞ . 证明
t →+∞
(8*)
注 1 由于本文在考虑文[1-4]中微分方程在具 有时滞的广泛情形，我们的结论不要求 a(t ) 是可微 函数，而且在本文的条件下，定理 1 比文[1-4]中的 相应结论更广泛， 从而推广了文[1-5]中的相应结论. 定 理 2 假 设 (i)
a(t ) 1 有 (8**) y ' (t ) ≥ ( 1 ) σ y ' (t1 ) > 0 a (t ) 从而当 t 充分大时，必有 y (t ) > 0 ，与假设矛盾.
二阶非线性泛函微分方程解的振动性与渐近性
赵敏之 1, 赵智国 2
(1.湖南商务职业技术学院, 湖南 长沙 410205; 2.中国人民保险公司湖南分公司 信息技术处, 湖南 长沙 410008)
摘 要 ： 讨 论 了 两 类 二 阶 非 线 性 泛 函 微 分 方 程 (a(t ) ⋅
则
( y '(t ))σ ) '+ q(t ) f ( y(τ (t ))) g ( y '(t )) = 0 , (a(t ) ⋅ ( y '(t ))σ ) '+ q (t ) F ( y (t ), y (τ (t )) g ( y '(t )) = 0 ,其中 t ≥ t 0 ， σ 为正常数， 当 t ≥ t 0 时， a(t ) > 0 ， q (t ) ≥ 0 ，且 q (t ) 不最终恒为 0 ，
σ =奇数/奇数时,设 y (t ) 是方程(1)的一个
这两类方程的解振动与渐近性的充分性判据， 所获结果可分 别应用于 σ =奇/奇与 σ =偶/奇的情形.改进并推广了已有文 献中的相应结论. 关键词：泛函微分方程；振动；渐近性； 中图分类号: O 175 文献标识码：A
非振动解，由方程(1)有
(
( a(t )( y '(t ))σ ) ' = −q(t ) g ( y '(t )) − f ( y (τ (t )))
与渐近性的研究已经取得了丰富的结果 ，但是， 对于 σ 既可以为奇数/奇数，又可以为偶数/奇数的 振动与渐近性的判据相对较少 .本文利用一些分析 的技巧，得到方程(1)、(2)解振动与渐近性的充分性 判据，所获结果可分别应用于 σ =奇/奇与 σ =偶/奇 的情形.改进推广了已有文献[1-5]中的相应结论. 我们称一个非平凡函数 y (t ) 为方程(1)(或(2))的 一个解是指 y (t ) 满足式 (1)( 或式 (2)). 这个解振动是 指它在某半直线[t0,+∞)上有定义且零点集为无界集; 否则称它为不振动的 . 若方程 (1)( 或 (2)) 的所有解振 动，则称方程(1)(或(2))是振动的.为了方便，我们总 假定所考虑的函数在其定义域内连续. 定理 1 如果
t1
a(t )( y ' (t )) ≤ a(t1 )( y ' (t1 ))
结合条件 ( H 1 ) 有
σ
σ
q ( s )ds ≤ a (t1 )( y '(t1 ))σ − Af ( M ) ∫ q ( s )ds
则由条件 ( H 2 ) 可知上式右端为 − ∞，与左端非负矛 盾.从而有 lim y (t ) = 0 .
(a (t )( y '(t ))σ ) '+ Aq (t ) f ( y (τ (t ))) ≤ (a (t )( y '(t ))σ ) '+ q (t ) f ( y (τ (t ))) g ( y '(t )) 从而由方程(1)有，当 t ≥ t1 时:
(H 2 )
∫
+∞
t0
q( s)ds = +∞ ，
对(5)由 t1 到 t 积分可得 a(t )( y '(t ))σ a(t1 )( y '(t1 ))σ < −A f ( y (τ (t ))) f ( y(τ (t1 )))
∫
t
t1
q( s)ds
(6)
由条件 ( H 2 ) 可知，当 t → +∞ 时，右端为 − ∞ ，与 左边非负矛盾. 情形 2 设 t ≥ t1 ≥ T0 时，y ' (t ) < 0 ， 且 y '(τ (t )) < 0 ，由 ( H 1 ) 有，当 t ≥ t1 时,
由 a (t1 )(( y ' (t1 )) σ )' ≥ 0 可得,当 t ≥ t1 时 a (t )( y '(t ))σ ≥
于是由（H2）可知，当 t 充分大时，必有 y (t ) < 0 ， 与假设矛盾. (II)设 t ≥ T0 ≥ t 0 时， y (t ) < 0 ， y (τ (t )) < 0 . 情形 1 设 t ≥ t1 ≥ T0 时, y ' (t ) > 0 ,且 y ' (τ (t )) > 0 , 由 ( H 1 ) 有， t ≥ t1 时
∫
+∞
1 [ a (t )]
1
,
t0
σ
dt = +∞ ；
第2期
赵敏之, 赵智国
二阶非线性泛函微分方程解的振动性与渐近性
9
t
(a(t)( y' (t))σ )'≤ − Aq(t ) f ( y(τ (t))) < 0 由 t1 到 t 积分(7)式有
(7) (7 )
*
a (t )( y '(t ))σ ≤ a (t1 )( y '(t1 ))σ − A∫ f ( y (τ (t ))) ⋅