初等代数研究(绪言第一章数)完整
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1859年 清代数学家李善兰译algebra为“代数学”。
3
绪言
• §1 关于代数学发展的几个历史观点
0、代数学简史
用字母代替数、方程的出现
《九章算术》中正负数的使用（公元1世纪）
丢番图采用符号（公元250年）
初等代数的形成
~16世纪 方程理论的形成
（矩阵、行列式）
高等代数的创建 16~18世纪
抽象代数的产生和深化
（1）集合等价
如果集合A和B的元素之间可以建立一一对应的关系，
就称集合A和B等价，记作A～B．
集合的等价具有性质：
① A～A（反身性）
（小学如何教：认识“2”）
② A～B，则B～A（对称性）
③ A～B，B～C，A～C（传递性）
19
§1 数系的扩展
1、正整数的基数理论
幼儿园的小朋友如何认 识“1”和“2”？老师其 实就是这样教的．
1、数的形成和发展 以下是按时间顺序列举的世界上几种古 老文明的早期记数系统：
11
世界上几种古老文明的早期记数系统：
12
世界上几种古老文明的早期记数系统：
13
§1 数系的扩展
一、数的发展简史Hale Waihona Puke Baidu
2、数的扩展方法与扩展原则
数系（number system）——通常是指对加法和 乘法运算封闭的数集。主要有自然数系、整数系、 有理数系、实数系和复数系。
不同于历史上人们认识数的过程中数集扩充的顺 序，“数系”的逻辑扩展应该如下所示的顺序:
N* 1, 2,3,L
Z
Q
R
C
14
§1 数系的扩展
一、数的发展简史
1、数的形成和发展
• 数系（集）扩充一般有两种方法：
• 一是添加元素法。
• 二是构造法。
•
所谓构造法指的是先用旧数集A中的数为材
料构成一个新数集B，然后指出新数集B中某一真
《中学数学研究》
第一部分：初等代数研究
赣南师范学院数计学院 曾建国 2010年8月
绪言
• 问题： • 1.自然数是如何产生的？ • 2.为什么1+1=2？ • 3.为什么“负负得正”？ • 4.什么是解析式、代数式？二者有无差别？ • 5.两直线平行，则同位角相等。为什么？ • …… • 作为未来的中学数学教师，我们必须掌握中学课本以外的
子集与A相等（严格讲，是B的某个真子集与A同
构），复数系的建立就是采用这一种方法.
15
§1 数系的扩展 一、数的发展简史
1、数的形成和发展
• 数集扩充应遵循的原则：
• 从数集A扩充为数集B，必须遵循下列原则：
• （1）A⊂B，即A是B的真子集；
• （2）A中已定义的元素之间的基本关系和运算，在B中也有相 应的定义，并且B中的定义，对于B的子集A中的元素来说，与 原来A中的定义一致；
日本琉球群岛的结绳。
台湾高山族的结绳（现藏中央民族大学）
9
中国古籍上记有伏羲“结绳而治”。
§1 数系的扩展
一、数的发展简史
1、数的形成和发展
从历史上看，人类对于数的认识，大体上是按照如 下顺序进行的:
添正分数
添零
正整数
正有理数
非负有理数
添负数
有理数
添无理数
实数
添虚数
复数
10
§1 数系的扩展 一、数的发展简史
5
绪言
§1 关于代数学发展的几个历史观点 二、代数学是研究方程理论的科学
（18世纪后期~19世纪后期）
代数学以研究方程理论为中心，包括矩阵、行列式、 二次型在内的高等代数内容。
三、代数学是研究各种代数结构的科学
（19世纪~ ）
19世纪，在伽罗瓦群以后，代数的研究内容从原来 以研究代数方程的理论为中心，转变到研究定义在 任意性质的元素集上的代数运算规律和性质。
6
第一章 数 §1 数系的扩展 §2 整数的整除性
7
§1 数系的扩展
1、数的形成和发展
数的概念的形成大约是在30万年以前 Ⅰ最早是手指计数。十进制、五进制多发于此 Ⅱ石子计数。但计数的石子堆很难长久保存 信息 Ⅲ结绳计数、刻痕计数
8
§1 数系的扩展
1、数的形成和发展
1937年，捷克出土的幼狼胫骨上 边有55道刻痕。距今约3万年。
（2）集合的基数（势）
彼此等价的所有集合的共同特征的标志叫做基数．
（3）正整数的定义
定义1.非空有限集合的基数叫做正整数。
空集的基数叫做0，集合的A的基数记作|A|。
一切正整数组成的集合，叫做正整数集，记为N* 。
20
§1 数系的扩展
1、正整数的基数理论
近世代数 研究各种代数结构 19世纪~至今
4
绪言
• §1 关于代数学发展的几个历史观点
一、代数学是研究字母运算的科学 （~18世纪后期）
认为代数学是研究字母运算的科学，这是 代数学的原始观点，这种观点一直延续到18 世纪后期。
韦达是第一个系统使用字母，从而使符号化 代数实现的数学家。
1768年，欧拉发表《对代数的完整的介 绍》，系统地论述了方程理论和其它代数知 识，表明初等代数已经完全形成。
17
§1 数系的扩展 二、正整数理论
建立自然数（正整数）理论的几种方案
①康托尔的集合论为基础建立自然数基数理论 ②皮亚诺以公理法为基础建立自然数序数理论 ③罗素等人试图用纯逻辑学建立自然数理论
18
§1 数系的扩展
二、正整数理论
1、正整数的基数理论
1874年康托尔创立了集合论，在此基础上，建 立起自然数（正整数）的基数理论：
• （3）在A中不是总能施行的某种运算，在B中总能施行 • （在A中无解的某类方程，在集B中有解）； • （4）B是满足上述三个原则的A的所有扩充中的最小扩充. 16
§1 数系的扩展 二、正整数理论
尽管早在30万年以前，人们可能已经开始 形成了数的概念，但自然数理论的完善、即把 自然数作为严格的逻辑系统，采用公理化的方 法来研究，却直到19世纪末才得以实现。
一些知识,如： • ①数学知识的历史背景 • ②对有关知识的更深层次的理解
• 教给学生一杯水，教师必须先有一桶水！
2
绪言
• §1 关于代数学发展的几个历史观点
0、代数学简史
代数学起源可以追溯到公元前1800年左右，代数学奠 基于16世纪和17世纪初。
公元820年前后时，花剌子模（穆罕默德·伊本·穆斯·阿 里·花剌子模-数学家和天文学家）的著作《Kitab al jabrw’al-mugabala》，意思是“整理”和“对比”。到14 世纪，aljabr演变成了algebra，这就是拉丁文的“代数学”。 其中Algoritmi是花拉子模的拉丁译名，现代术语“算法” （Algorithm）即源于此。
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绪言
• §1 关于代数学发展的几个历史观点
0、代数学简史
用字母代替数、方程的出现
《九章算术》中正负数的使用（公元1世纪）
丢番图采用符号（公元250年）
初等代数的形成
~16世纪 方程理论的形成
（矩阵、行列式）
高等代数的创建 16~18世纪
抽象代数的产生和深化
（1）集合等价
如果集合A和B的元素之间可以建立一一对应的关系，
就称集合A和B等价，记作A～B．
集合的等价具有性质：
① A～A（反身性）
（小学如何教：认识“2”）
② A～B，则B～A（对称性）
③ A～B，B～C，A～C（传递性）
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§1 数系的扩展
1、正整数的基数理论
幼儿园的小朋友如何认 识“1”和“2”？老师其 实就是这样教的．
1、数的形成和发展 以下是按时间顺序列举的世界上几种古 老文明的早期记数系统：
11
世界上几种古老文明的早期记数系统：
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世界上几种古老文明的早期记数系统：
13
§1 数系的扩展
一、数的发展简史Hale Waihona Puke Baidu
2、数的扩展方法与扩展原则
数系（number system）——通常是指对加法和 乘法运算封闭的数集。主要有自然数系、整数系、 有理数系、实数系和复数系。
不同于历史上人们认识数的过程中数集扩充的顺 序，“数系”的逻辑扩展应该如下所示的顺序:
N* 1, 2,3,L
Z
Q
R
C
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§1 数系的扩展
一、数的发展简史
1、数的形成和发展
• 数系（集）扩充一般有两种方法：
• 一是添加元素法。
• 二是构造法。
•
所谓构造法指的是先用旧数集A中的数为材
料构成一个新数集B，然后指出新数集B中某一真
《中学数学研究》
第一部分：初等代数研究
赣南师范学院数计学院 曾建国 2010年8月
绪言
• 问题： • 1.自然数是如何产生的？ • 2.为什么1+1=2？ • 3.为什么“负负得正”？ • 4.什么是解析式、代数式？二者有无差别？ • 5.两直线平行，则同位角相等。为什么？ • …… • 作为未来的中学数学教师，我们必须掌握中学课本以外的
子集与A相等（严格讲，是B的某个真子集与A同
构），复数系的建立就是采用这一种方法.
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§1 数系的扩展 一、数的发展简史
1、数的形成和发展
• 数集扩充应遵循的原则：
• 从数集A扩充为数集B，必须遵循下列原则：
• （1）A⊂B，即A是B的真子集；
• （2）A中已定义的元素之间的基本关系和运算，在B中也有相 应的定义，并且B中的定义，对于B的子集A中的元素来说，与 原来A中的定义一致；
日本琉球群岛的结绳。
台湾高山族的结绳（现藏中央民族大学）
9
中国古籍上记有伏羲“结绳而治”。
§1 数系的扩展
一、数的发展简史
1、数的形成和发展
从历史上看，人类对于数的认识，大体上是按照如 下顺序进行的:
添正分数
添零
正整数
正有理数
非负有理数
添负数
有理数
添无理数
实数
添虚数
复数
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§1 数系的扩展 一、数的发展简史
5
绪言
§1 关于代数学发展的几个历史观点 二、代数学是研究方程理论的科学
（18世纪后期~19世纪后期）
代数学以研究方程理论为中心，包括矩阵、行列式、 二次型在内的高等代数内容。
三、代数学是研究各种代数结构的科学
（19世纪~ ）
19世纪，在伽罗瓦群以后，代数的研究内容从原来 以研究代数方程的理论为中心，转变到研究定义在 任意性质的元素集上的代数运算规律和性质。
6
第一章 数 §1 数系的扩展 §2 整数的整除性
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§1 数系的扩展
1、数的形成和发展
数的概念的形成大约是在30万年以前 Ⅰ最早是手指计数。十进制、五进制多发于此 Ⅱ石子计数。但计数的石子堆很难长久保存 信息 Ⅲ结绳计数、刻痕计数
8
§1 数系的扩展
1、数的形成和发展
1937年，捷克出土的幼狼胫骨上 边有55道刻痕。距今约3万年。
（2）集合的基数（势）
彼此等价的所有集合的共同特征的标志叫做基数．
（3）正整数的定义
定义1.非空有限集合的基数叫做正整数。
空集的基数叫做0，集合的A的基数记作|A|。
一切正整数组成的集合，叫做正整数集，记为N* 。
20
§1 数系的扩展
1、正整数的基数理论
近世代数 研究各种代数结构 19世纪~至今
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绪言
• §1 关于代数学发展的几个历史观点
一、代数学是研究字母运算的科学 （~18世纪后期）
认为代数学是研究字母运算的科学，这是 代数学的原始观点，这种观点一直延续到18 世纪后期。
韦达是第一个系统使用字母，从而使符号化 代数实现的数学家。
1768年，欧拉发表《对代数的完整的介 绍》，系统地论述了方程理论和其它代数知 识，表明初等代数已经完全形成。
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§1 数系的扩展 二、正整数理论
建立自然数（正整数）理论的几种方案
①康托尔的集合论为基础建立自然数基数理论 ②皮亚诺以公理法为基础建立自然数序数理论 ③罗素等人试图用纯逻辑学建立自然数理论
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§1 数系的扩展
二、正整数理论
1、正整数的基数理论
1874年康托尔创立了集合论，在此基础上，建 立起自然数（正整数）的基数理论：
• （3）在A中不是总能施行的某种运算，在B中总能施行 • （在A中无解的某类方程，在集B中有解）； • （4）B是满足上述三个原则的A的所有扩充中的最小扩充. 16
§1 数系的扩展 二、正整数理论
尽管早在30万年以前，人们可能已经开始 形成了数的概念，但自然数理论的完善、即把 自然数作为严格的逻辑系统，采用公理化的方 法来研究，却直到19世纪末才得以实现。
一些知识,如： • ①数学知识的历史背景 • ②对有关知识的更深层次的理解
• 教给学生一杯水，教师必须先有一桶水！
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绪言
• §1 关于代数学发展的几个历史观点
0、代数学简史
代数学起源可以追溯到公元前1800年左右，代数学奠 基于16世纪和17世纪初。
公元820年前后时，花剌子模（穆罕默德·伊本·穆斯·阿 里·花剌子模-数学家和天文学家）的著作《Kitab al jabrw’al-mugabala》，意思是“整理”和“对比”。到14 世纪，aljabr演变成了algebra，这就是拉丁文的“代数学”。 其中Algoritmi是花拉子模的拉丁译名，现代术语“算法” （Algorithm）即源于此。